（概率论与数理统计专业论文）双指数跳扩散模型下的期权定价及应用.pdf

摘要 双指数跳扩散模型能够很好的拟合在金融实证中资产收益分布所呈现出的尖峰、不对 称的厚尾以及隐含波动率”微笑”曲线的特征因此本文选用双指数跳扩散过程来刻画 金融市场规律在双指数跳扩散模型下，主要考虑了三个问题； 首先，本文讨论了双指数跳扩散模型下金融市场的无套利性及完备性，得出在该模型 下，等价鞅测度存在却不唯一并着重讨论了在该模型下的极小鞅测度与最小熵鞅测度 给出了极小鞅测度下的鞅密度过程的具体表达式和在极小鞅测度下的欧式看涨期权的定 价公式对于最小熵鞅测度，给出了用e s s c h e r 变换求解最小熵鞅测度时，参数所满足的 条件 其次，本文利用公平保费原理，讨论了双指数跳扩散模型下的保险精算定价得到了 欧式看涨期权的保险精算定价公式，并用保险精算定价方法给出了欧式期权的甲价关系， 进而间接地给出了此模型下欧式看跌期权的保险精算定价公式另外，将保险精算定价方 法应用于外汇期权，得到了外汇期权的保险精算定价公式 第三，从风险管理的角度出发，利用v a r 作为风险度量标准，给出了双指数跳扩散 模型下的欧式期权的v a r 值所满足的条件并用扩散近似的方法给出了欧式期权v a r 值 的显示解 关键词：双指数跳扩散模型，期权定价，极小鞅测度，最小熵鞅测度，保险精算定价， v h r ， a b s t r a c t d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e lo f f e r sag o o de x p l a n a t m nf o rt w oe m p i r i c a l p h e n o m e n a ：t h ea s y m m e t r i cl e p t o k u r t i cf e a t u r ea n dt h ev o l a t i l i t ys m i l e t h i sm o d e li s8 e o l e c t e dt od e s c r i b et h ef i n a n c i a lm a r k e ti nt h i sp a p e r t h r e em a i np r o m b l e m sa r ec o n s i d e r e d u n d e rd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l f i r s t l y , u n d e rd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l ，t h em a r k e tw h e t h e rh a sa r b i o t r a g ea n di t sc o m p l e t e n e s sa r ed i s c u s s e d u n d e rt h i sm o d e l ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e e x i s t sb u tn o tu n i q u e b e c a u s eo ft h i s ，m i n i m a lm a r t i n g a l em e a s u r ea n dm i n i m a le n t r o p y m a r t i n g a l em e a s u r sa r em a i n l yd i s c u s s e d ，f o rt h ef o r m e r ，t h ec o n c r e t ee x p r e s s i o no ft h e m i n i m a lm a r t i n g a l em e a s u r ed e n s i t yp r o c e s si sw o r k e do u t ，a n dt h ef o r m u l ao fe u r o p e a n c a l lo p t i o ni sg i v e n f o rt h el a t t e r ，t h ec o n d i t i o nt h a tt h ep a r a m e t e rs h o u l dm e e tt og e tt h e s o l u t i o no ft h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e r s u r eb ye s s c h e rt r a n s f o r m a t i o ni si n f e r r e d s e c o n d l y , a c t u a r i a lp r i c i n gu n d e rt h i sm o d e li sc o n s i d e r e db yf a i ri n s u r a n c ep r e m i u m t h i sp a p e rg i v e st h ef o r m u l ao fe u r o p e a nc a l lo p t i o n 8a c t u a r i a lp r i c i n g a n dt h ep u t c a l lp a r i t yr e l a t i o n s h i pb ya c t u a r i a lp r y i n gm e t h o d t h ee u r o p e a np u to p t i o n sa c t u a r i a l p r i c i n gi sg e tb yp u t c a l lp a r i t yr e l a t i o n s h i p a tl a s tt h em e t h o di sa p p l i e dt of o r e i g n e x c h a n g eo p t i o np r i c i n g a tl a s t ，f r o mt h ep o i n to fv i e wo fr i s km a n a g e m e n t ， c a ri sc h o o s e na st h es t a n d a r d o fr i s km e a s u r ei nt h i sp a p e r t h ec o n d i t i o no fe u r o p e a no p t i o n 8v a rv a l u es h o u l dm e e t u n d e rd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o ni s g i v e n a n de u r o p e a no p t i o n sv a r v a l u ei s e s t i m a t e da p p r o x i m a t e l yb yt h em e t h o do fd i f f u s i o na p p r o x i m a t i o n k e yw o r d s ：d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l ，o p t i o np r i c i n g ，m i n i m a lm a r - t i n g a l em e a s u r e ，m i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r e ，a c t u a r i a lp r i c i n g ，v a r i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 ， 签名：基垂l 孽日期：丝z ! ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：二蛆导师签名，鑫寻衅日期：蛳 第一章绪论 1 1 期权定价及市场模型的研究现状 期权定价是金融数学的热点问题它涉及到随机分析，鞅论，随机最优控制，数学规 划等理论一般通过选用合适的数学模型来刻画金融市场来进行研究，通常选用股票作为 标的资产 模型与理论的发展经历了多个阶段，旱在1 9 0 0 年，法国数学家l b a c h e l i e r 首次提出 用布朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 描述股票价格的变动，并给出了看涨期权的预期价格这 在期权理论史占有先驱地位但是他的定价模型有一个缺点：股票价格有可能出现负值 直到1 9 6 4 年，p a u ls a m u e l s o n ( 诺贝尔经济学奖的获得者) 对l b a c h e l i e r 的模型进 行了修正，他用几何布朗运动来描述股票波动规律若以最表示股票的价格，卢表示股 票的预期收益率，盯表示股票的波动率，p | s a m u e l s o n 1 】提出的模型是。 j 口 等= 舻+ a d w t ( 1 - 1 ) o t 到了1 9 7 3 年，f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s l 2 基于套利推理，从构造个对冲交 易策略出发，导出了著名的b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式这一公式成为了期权定价理论 的里程碑它的刨新之处在于不依赖于投资人的风险偏好，在风险中性世界给出定价同 年，r c m e r t o n 3 1 对b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式进行了完善和多方面的推广到了后 来人们用这个定价公式对历史期权价格进行了验证，发现实际价格与理论价格基本接近， 这一理论研究成果被用于实际金融市场交易中雨由他们开创的期权定价理论( o p t ) 被 誉为”华尔街的第二次革命”1 9 9 7 年m s c h o l e s 和r c m e r t o n ( f b l a c k 已故) 因这 一伟大贡献获得了诺贝尔经济学奖 在b l a c k - s c h o l e s 模型中假设了股票价格是连续变化的，而在实际当中，股票价格并 非连续变化的它容易受到外界的干扰，比如政治等多方面的因素，股价呈现出了跳跃 在1 9 6 7 年s j p r e s s 4 提出用布朗运动和波松过程叠加起来刻画股票价格过程它能够 反应出股价的扩散部分和跳跃部分但是渡松过程固定的跳不能很好的刻画市场中存在的 蔓二童堑鲨 2 不同跳跃程度而l d v y 过程的跳具有不同的形式。后来许多学者开始用l d v y 过程刻画 股票价格t c h a n i s 和y m i y a h a r a 6 1 分别对这一模型的极小鞅测度与最小熵鞅测度进 行了研究但是l g v y 过程在现实市场中的应用却受到限制 虽然b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式得出的理论价格与实际价格比较接近，但是来自于 实证的研究【”【8 j 指出用带有常数漂移项和常数波动率几何布朗运动来描述股票价格波动 规律是不恰当的与正态分布相比，在实证中股票的收益分布呈现出非对称性和较厚的尾 部在大量的实证研究中，收益的分布还呈现出向左的倾斜，还有比正态分布高的峰值 另外，在实证中还出现了波动率微笑的特征在经典的b l a c k - s c h o l e s 模型中，隐含 波动率为常数，但是实际隐含波动率曲线形状却像”微笑”的样子，是一条关于敲定价格 的凸曲线 进步改善b l a c k - s c h o l e s 模型的工作也从未停止过，许多学者提出了一些模型为 了解释在资产收益分布中的非对称特征，提出如下一些模型， ( 1 ) 混顿理论，s t a b l e 过程，如m a n d e l b r o t ，s a m o r o d n i t s k ya n dt a q q u l l 0 1 ； ( 2 ) 一般双曲模型，如，b a m d o r f f - n i e l s e na n ds h e p h a r d ( “l ； ( 3 ) 时间变化的布朗运动，如，m a d a ne ta 1 【1 【” 为了拟合另外一个特征，一些新的模型被提出，如； ( 1 ) 随机波动率和g a r c h 模型，如，h u l la n dw h i t e ，e n g l e 1 5 】； ( 2 ) c e v 模型，如，c o xa n dr o s s 1 6 i ： ( 3 ) 由m e r t o n l 3 提出的正态跳模型； ( 4 ) 仿射随机波动率和仿射跳扩散模型，如，h e s t o n ，d u f f l ee ta 1 【1 8 1 ； ( 5 ) 基于l e v y 过程的模型，如，g e r m a ne ta 1 上述模型虽然大多能够得到欧式看涨期权的显式解，但很难给出美式期权还有道路依 赖型期权的显式解 双指数跳扩散模型是也是基于b l a c k - s c h o l e s 模型与点过程的叠加它的跳部分的对 数服从双指数分布k o u 2 q 介绍了双指数跳扩散模型，指出了双指数跳扩散模型能够很 笙二童缝堡 3 好的拟合在实证中产生的”尖峰厚尾”及”微笑”特征并给出了在双指数跳扩散模型 下的欧式期权的显式定价与以上学者提出模型不同的是，在k o u 2 1 】中，给出了道路依 赖型期权的定价的显示解，如永久美式期权，障碍期权及回望期权 双指数跳扩散模型其实也是一种几何l g v y 过程正如本文中讨论的那样，在双指数 跳扩散模型下，市场是不完备的要用鞅方法对未定权益定价涉及到等价鞅测度的选择 而极小鞅测度最小熵鞅测度是最常见的两个鞅测度，h f 6 1 1 m e r 和m s c h w e i z w e r l 2 2 】提 出了极小鞅测度的概念；y m i y a h a r a l 2 s 提出了最小熵鞅测度关于极小鞅测度的研究比 较完善，t a x a i 2 q 给出了跳扩散过程的极小鞅密度过程的表达式而关于最小熵鞅测度 的研究相对少些 y m i y a h a r a 6 l 对几何l v y 过程的最小熵鞅测度进行了研究本文 在双指数跳扩散模型下对这两个等价鞅测度进行了一些研究 常用的定价方法有无套利复制方法，鞅方法和保险精算定价方法它们适用的模型不 一样无套利复制方法适用于完备市场( 如b l a e k - s c h o l e s 模型) 市场中的任一未定权益 都可以通过基本资产的组合来复制当市场是不完备的时候( 如股价由l v y 过程刻画) ， 该方法失效但可以用鞅方法进行定价用鞅方法定价，要选择等价鞅测度使股票的贴现 价格在等价鞅测度下为鞅鞅方法不仅可以应用于完备市场还可以用于不完备市场中的 定价由鞅方法给出的定价是无套利价但是在有套利的市场( 如股价服从几何分式布朗 运动) ，鞅方法也不能用来定价可以选用保险精算方法进行定价保险精算在1 9 9 8 年由 m o g e n sb l a d t 和t i n ah v i i dr y d b e r g 2 5 】利用公甲保费原理提出的保险精算定价选用的 是一般概率测度，期权的执行条件也与传统的不一样( 这些在文中会详细介绍) 保险精算 定价也因此具有一定的灵活性，适用于完备市场也适用于不完备的或有套利的市场由于 双指数跳扩散模型具有数据拟合好的特点，讨论其保险精算定价也具有意义本文主要用 鞅方法和保险精算方法在双指数跳扩散模型下进行期权定价研究 另外，作为一种金融衍生工具，期权成为金融风险管理的热门之一 v a r ( v a l u e - a t r i s k ) 是最常用的一种风险度量工具即给定概率置信水甲内最坏情况下的损失v a r 值 其实就是概率分布中的分位数它最大的优点就是用一个数字表明了一个机构在市场上所 面临的风险也因其简单实用被广泛采纳( 例如著名的”巴塞尔协议”关于商业银行资本 充足率要求就是以v n r 为基础的) 本文利用v a r 作为风险度量标准，讨论了在双指数跳 扩散模型下的欧式期权的v a r 计算方法以及用扩散近似的方法估计其v a r 值 蔓= 童堑堡 4 本文围绕双指数跳扩散模型展开讨论。文章结构如下t 第一章介绍了金融市场模型的发展和现状，对本文主要结果和本文相关的预备知识 作了简要介绍 、 第二章在双指数跳扩散模型下，讨论了市场的完备性得出了在双指数跳扩散模型 下等价鞅测度存在却不唯一 第三章考虑了在双指数跳扩散模型下的极小鞅测度与最小熵鞅测度，并给出了极小 鞅测度的鞅密度过程的表达式及选用极小鞅测度时的欧式看涨期权的定价还得到了求解 最小熵鞅测度时参数所需要满足的条件 第四章给出了双指数跳扩散模型下的欧式期权的保险精算定价公式，以及欧式期权 保险精算定价所满足的平价关系另外将保险精算定价方法应用到汇率服从双指数跳扩散 模型的外汇期权的定价中，得出了外汇期权的保险精算定价 第五章从风险管理的角度考虑期权的 c a r 值计算问题，给出了双指数跳扩散模型下 欧式期权的 c a r 值计算表达式和用扩散近似的方法给出了双指数跳扩散模型下欧式期权 的v a r 值近似估计 1 2 预备知识 在带有滤子的概率空间( q ，乃，p ) 上，假定滤子流( 五) 炬帆即满足通常条件并假 设考虑的所有过程都是适应于滤子流( 五) 的 1 2 1 标值点过程 点过程被用来描述一段时间段内随机发生的事件，可以用一列非负的随机变量来描 述 0 = t o 丑 t 2 ： 瓦表示事件第n 次发生的时问，并且假设死是非爆炸的 = l i r a t 瓦= + o c ， 第一章绪论 等价的可以用计数点过程来表示 越= 竹，t 【矗，矗+ 1 ) ，n 0 或者 n t = 垴鲥 n 兰l 它表示直到( 包括) 时间t 事件发生的次数非爆炸的条件就变为胍 1 1 满足， 1 ) 矗是一个点过程； 2 ) k 是一个e 标值随机变量序列 对于每个事件a ，定义计数点过程 记 于是定义随机测度 i ( a ) = ， s 。， ) ， ( 1 2 ) n 1 m = m ( e ) p ( ( o ，】，a ) = 批( a ) ，t 0 ，a 如果由积分形式来表达，定义 ， ( 1 - 3 ) 以啪m 蛐，= 吾职机旷耋配m 阻。， 5 第一章绪论 设p ( d t ，d y ) 的补偿测度为u ( d t ，句) ，本文假设跳的随机强度为常数a 刻t 发生的在空间e 上跳的概率测度那么定义符号值测度q ( d t ，d y ) q ( d t ，d y ) = p ( d t ，d y ) 一a m t ( 咖) 班， 则q ( d t ，d y ) 是一个局部鞅，且对每一个五可料的，e 标值的过程h ， z 上日( s m 。，匆) m t ( 由) 是在时 ( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) 是个( p ，矗) 鞅( 局部鞅) ( a ，m t ( d y ) ) 被称作标值点过程p ( d t ，d y ) 的( p i 五) 局部特征 在表述e 标值的点过程时，可以等价地用( 矗，k ) 来表示，或者用p ( d t ，d y ) 来表示 1 2 2 鞅表示定理 在本文的研究中，用布朗运动和标值点过程来刻画模型设( w t ) t o 。钉为概率空间 ( q ，五，p ) 上的标准布朗运动而m 是一个p 鞅 鞅表现定理是关于布朗运动的一个重要的定理设( 五) 是布朗运动眦生成的自然 盯域，那么任何一个关于( 五) 适应的平方可积鞅m 都可以表示成对布朗运动的随机 积分 对于包含有布朗运动和标值点过程的同样有鞅表示定理t 定理1 2 2 给定布朗运动( 瞰) 和一个标值点过程p ( d s ，d y ) ，设 五= 盯 仉0 ，p ( ( o ，s ，a ) ，b ；0 s t ，a ，b 厂) ， ，是p 零集，对于任意的( p 1 五) 局部鞅帆有如下表述： 。m t = m o + o d w , + o ：h ( s ，”) a ( d s ，a ”) ， ( ，一，) 其中也是个可料的下方可积过程，h 是个五可料的e 标值的过程，并且关于a m ( d y ) 可积 1 2 3 指数公式 定义标值点过程如上文所述，及( 1 - 4 ) 式定义的积分考虑跳扩散过程的一般形式： 五= + f o t o t s 如+ o 。岛d 比+ z 上1 ( s 川p ( d s 咖) ，( 1 - s ) 6 第一章绪论 置= e 印呸：c i 1 2 ，如+ f o o p t o d w , + z 忉c 1 + 7 ( s , y s n t ，d 肌】，。，。， = 弱e 印【z 。( 一；醒) d s + z 玩d 里( 1 + 7 ( 死，碥) ) 以u 7 星二重堑堡 8 定理1 2 5 【0 , t 】是有限区问，p ( d t ，d y ) 是一个( p i 厂) 的e 标值点过程，其局部特征 是( a ，m t ( 咖) ) 仇0 是，可料的，k ( y ) 0 是一个，可料的e 标值过程，并且p a s 对所有的t 【0 ，卅 z 讥a o o ；上( y ) 仇t ( 句) = 1 定义l t = l l ”工 2 ) 其中l 1 满足( 1 1 2 ) 式，l 2 满足 d l 2 = 也( 口) 一1 ) l l p q ( d t ，匆) ，( 1 - 1 4 ) 其中q ( d t ，d y ) = p ( d t ，d y ) 一a m t ( 句) 出是关于p ( d t ，句) 的测度如果对所有的t ， e l f 2 ) = 1 ，那么定理1 2 4 的结论仍然成立并且p ( d t ，d y ) 具有( q ，五) 的局部特征 ( e t a ，h t ( ) m t ( 由) ) 由定理1 2 5 可以得出r a d o n n i k o d y m 导数厶满足， 厶= e 印 一1 砖d s + z 以d 、) e 印 z 上( 1 一以k ( ，( 咖) d s ) 罂n t 惦； 靠( k ) ) _ ( 1 - 1 5 ) 2 1 引言 第二章金融市场模型及完备性刻画 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 发表了关于期权定价的开创性论文【2 】，由他们提出的期权 定价模型是迄今为止最为成功的期权定价模型，他们采用几何布朗运动来刻画股票的波动 规律并证明了著名的b l a c k - s h o l e s 公式，为期权以及其它未定权益的定价打下了坚实的 基础 虽然b l a c k - s h o l e s 模型在市场的实践中得到了大量、充分的检验，但大量的金融实践 已经表明它与实际金融市场有偏差在实证中出现了两种现象t ( 1 ) 资产的收益分布与正 态分布相比具有较高的尖峰和两个非对称的较厚的尾部，也就是资产收益的概率分布比对 数正态分布有更厚的左尾和更瘦的右尾；( 2 ) 具有隐含波动率”微笑”的现象，资产的波 动率曲线形状像人微笑的形状 然而基于布朗运动和正态分布的b l a c k - s h o l e s 模型使用的是常数波动率这恰恰与实 证得到的结果不太相符 因此，许多学者对b l a c k - s h o l e s 模型进行了修改并且提出了新的模型，比如随机波动 率模型( h u l l ，w h i t e 1 4 1 ，e n g l e 15 i ) ，正态跳模型( m e r t o n l 3 ) 等等虽然这些模型能够给出 欧式看涨期权的定价，但是很难给出道路依赖期权的显示解如美式期权，回望期权以及 障碍期权等的显示解在这些模型下很难得到 双指数跳扩散模型也是基于b l a c k s h o l e s 模型的一种新模型见k o u l 2 0 1 s g k o u 做 了大量的研究口叫旧【2 “该模型非常简单模型假设资产的价格的对数服从布朗运动加 上个跳的大小服从双指数分布的复合波松过程其具有以下几个优点：( 1 ) 它能够解释 金融实证现象中的非对称、尖蜂厚尾特征及波动率微笑( 2 ) 在该模型下能够得到许多 期权定价的显示解，比如欧式看涨看跌期权 2 0 j ；利率衍生物，如互换，债券期权等1 2 0 1 2 q ； 道路依赖型期权如永久美式期权，障碍期权及回望期权1 2 0 2 8 j 2 “( 3 ) 它能够很好的被嵌入 到理性期望均衡框架中 因此，本文选取双指数跳扩散模型进行研充 9 第二章金融市场模型及完备性刻画 2 2 金融市场模型的建立 b l a c k - s h o l e s 模型里采用的标的资产的价格是连续变化的而在实际当中，资产价格 ( 往往采用股票价格) 不是连续变化的，比如受到政治等多种因素的影响，中间会呈现有间 断的跳跃 假设用s 表示一种资产( 如股票) 的价格，它是一个随机过程在它的轨道中，除 了跳跃部分，介于每两次跳跃之间的轨道是连续变化的 s 发生跳跃的时刻用一列停时 t 1 死 0 ，口 0 且为常数，分别表示股票的期望收益率和股票的波动率m 是概率 p 下的标准布朗运动肌是一个强度为a 的波松过程， k ) 是一列独立同分布的非负 随机变量，表示资产价格跳跃的高度 令y = l o gv ，m 是服从非对称的双指数分布，其密度为 ，y ( ) = p r h e l “1 1 y o ) + q r 2 e ”1 f 1 ，7 2 0 ，p ，q 0 ，p + q = 1 r 1 1 是保证资产的价格s 具有有限的期望 而p + q = 1 代表向上跳和向下跳的概率，也就是在以分布意义下 一y 兰仨嚣q ) ， p ，f 一分别服从均值为1 q l 和l ，7 2 的指数随机变量 另外，假定模型中的各个随机元，m ，w c t ) 还有y 都是独立的 解上述随机微分方程( 2 - 3 ) 得到： s ；= s e 印 ( 肛一互1 盯2 ) t + a 眦) 鱼k ( z s ) 注2 2 2 当没有跳跃发生的时候，上式就是著名的b l a e k - s h o l e s 模型 箜三童垒壁壹堑夔型垦塞鱼丝型查 1 2 2 3 市场的完备性 等价鞅测度的概念由h a r r i s o n 和k r e p s ” 引入它是刻画金融市场的基本工具用 鞅方法对资产进行定价，等价鞅测度是解决问题的关键下面给定价鞅测度的定义 定义2 3 1 撅率测度q 是等价鞅测度当且仅当q 与p 等价并且折现价格过程鄙b 是q 鞅 有关等价鞅测度的存在性和唯性定理被称为资产定价的基本定理随机过程( s ) 。，o 存在等价鞅测度本质上是与金融市场不存在套利机会等价这一基本结论被称为资产定价 第基本定理而刻画市场完备性与等价鞅测度的唯性之问关系的定理被称为资产定价 第二基本定理h a r r i s o n 和p l i s l m m l 在市场上可交易资产是有限多个且资产的价格过程 为连续半鞅的连续时问贸易的情况下，证明了市场完备的充要条件是等价鞅测度存在且唯 一早在1 9 7 9 年，h a r r i s o n 和k r e p s m l l s l l 在五是有限的假设条件下，证明了无套利机 会与等价鞅测度的存在等价 在等价鞅测度存在唯一的情况下，可以得到未定权益h 唯一的无套利价在等价鞅 测度存在且不唯一的情况下，每一个等价鞅测度都对应一个无套利价，此时的未定权益h 就有很多个无套利定价那么未定权益进行定价的问题就转化为考虑等价鞅测度问题 模型( 2 - 1 ) 和( 2 3 ) 式在形式上便于理解模型的含义，但是，( 2 - 1 ) 式不便于后面的计算 为了方便计算，要对( 2 1 ) 式进行变形，在后面的计算可以看出，模型( 2 1 ) 可以用指数 半鞅的形式来表示 令k 一1 = 玑，代入模型得， 易得 由( 1 - 4 ) 式 梁= # d t + a d + 学t ， e 仉蝴u - 1 2 q 寿+ p 击1 1 叫 21-i，一1 e 孵叫1 ) 2 = q 州r b + p 南- 2 口卉一劫击+ l 粪以：z c 嫩 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 笙三童垒壁立塑堡型垦塞鱼垡型些 1 3 其中p ( d s d y ) 是 0 ，t 】( - 1 ，+ o o ) 上对等于一个复合波松过程( n t ，( ) j 1 ) 的时齐波松 随机测度，将上式代入模型( 2 - 6 ) 就化为 鬃= p 出+ 盯帆+ 仁卯( 此蚺 ，( 2 - 9 ) 设a m ( d y ) d r 为p ( d t ，d v ) 的补偿测度， a 为前面所述波松过程t 的强度，m ( 句) 为 ( ) j l 的概率测度，那么( 入，m ( d y ) ) 为随机测度p ( d t ，d y ) 的局部特征 记 q ( d t ，匆) = p ( d t ，d v ) 一a m ( d y ) d r ( 2 - 1 0 ) 由( 1 - 5 ) 和( 1 - 6 ) 式知，对于每个五可料的在( 一1 ，+ o o ) 标值的过程h ，( 2 - 1 0 ) 式使得 日( s ，y ) q ( d s ，d y ) 是一个( p 兀) 鞅( 局部鞅) d 0j 一1 从而 舰：= z 。- 一鲫( 如，咖) ， ( 2 - 1 1 ) 是个p 鞅 代入到模型( 2 - 9 ) 中得： 鬃= # d t + a d w t + 小( 蛐) + ! a y m ( 舭 = ( p + , k e ( u 1 ) ) d t + a d w t + y q ( d t ，d y ) ( 2 - 1 2 ) = ( p + h e ( 仉) ) d t + 盯d m + a m , ， 其中 。e u i ：，。( 匆) j l ( 2 - 1 2 ) 式是模型( 2 - 3 ) 的另外一种表示方法等号右边第一部分是有限变差项，后面两项 均为鞅，( 2 - 1 2 ) 形式上是指数半鞅，用指数半鞅来表示模型，便于后面的计算和讨论， 为了方便后面的计算和讨论的需要，先考虑帆， 由( 2 - 1 0 ) 式及( 2 1 1 ) 式 = a f u v 一- t 舭删 = j ( 2 仁嫩妒z 仁枷( 啪 协1 3 ) = 仉一$ e ( u 1 ) t ， 第二章金融市场模型及完备性刻画 则： n tn t 【尬，尬】= 阢一a e ( u t ) t ，以一a e ( 以) q 霄f 4 1 = 匹以吲 鬣1 “1(2-14) ：f 矿2 = t 2 p ( d s 赫 讨论等价鞅测度需要考虑鞅密度过程，鞅密度这一概念是由s c h w e i z e r s 2 l 提出的 定义2 3 2 如果一个实值的右连左极过程z 是p 局部鞅，磊= 1 ，且乘积z 亏也是 p 局部鞅，则称z 为可的鞅密度过程 设q 是个与p 等价的鞅测度，则对于任个未定权益x ( t ) ，其折现价格过程- z ( t ) = 器在q 下是叶鞅 令勿：= 面d q ，并且勿l 1 ( d p ) ，那么磊：= e p ( 历i 五) 在p 下是一个鞅要使 君( t ) ：= 昌若为个q 鞅的充分必要条件是五蚤筹为个p 鞅即，磊是亏的鞅密度 过