（概率论与数理统计专业论文）无替换定数截尾寿命试验平均寿命比率统计推断的研究.pdf

摘要 产品质量是一个企业是否具有竞争优势的重要因素之一，产品期望寿命的比率是判 断一个新产品是否优于旧产品或者是否优于市场上其它竞争产品的一个重要指标本文 分别在单参数指数族、双参数指数族和w e i b u l l 分布族下，导出了期望寿命比率的估计 量，及其期望、方差和大样本性质最后，我们还对期望寿命比率的估计量进行了小样 本的数据模拟 关键词；寿命， 比率，指数分布，e i 阮z 2 ( 7 7 ，m ) 分布 5 a b s t r a c t h 遮h e rp r o d u c tq u a l i t yi s1 1 8 u 吞u yo n eo ft h ec r u c i a lf a c t o r st h a tm 出汜a ne n t e r p r i s e m o r ea d v a n t a g e di nt h ec o m p e t i t i v em a r k e t s t h er a t eo ft w oe x p e c t e dl i f e t i m e si sa n i m p o r t a n ti n d e xt oj u d g ei fan e w l yd e s i g n e dp r o d u c ti s b e t 七e rt h a ni t so l dv e r s i o no ra p r o d u c ti so fl o n g e r1 i f 色t i m et h a ni t 8c o m p e t i t o r s i nt h i sp a p e r ，u n d e rt h et y p e 一c e i 卜 s o r i n gl i f et e s t ，陀s e p a r a t e l yd e d u c e dt h ee s t i m a t o r 8o ft h er a t eo f 细oe 印e c t e dl i f e t i m e s f o rt h ef a m i l i e so fs i n g l ep a r 锄e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o i l s ，l o c a t i o n - s c a l ee ) c p o n e n t 谢 d i s t r i b u t i o i l s ，a n dw b i b u l ld i s t r i b u t i o n s t h ee x p e c t a t i o n 8 ，v a r i a n c e sa n dt h e i rl a r g e8 a m - p l ep r o p e r t i e sa r es t u d i e d f i n a u y w ec o n d u c ts m a u8 i m u l a 上i o 璐f b rt h ep r o p e r t i e so ft h e e s t i m a t o r 8f o rs m a l ls a m p l es i z e k e yw b r d s ：l i f es p a n ，r a t i o ，e 。( p o n e n t i 以d i s t r i b u t i o n ，w ，e i 6 仳z 2 ( 叼，r n ) d i s t r i b u t i o n 6 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 作者签嗽汉啉彻岔乡。弓。 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 日期：矽p 乡9 学位论文作者簟套定堤 3 日期：m 支多口 导师签名：歆础 第一章比率估计量的研究与进展 1 1 比率估计量的概念及其应用 在统计实践中，我们经常碰到两个指标比率的估计问题，例如： 例l 某小区共有居民户，从中随机抽取了钆户，先要估计该小区的人均住房面 积 假设k 表示第i 户住房面积，k 表示第i 户的人数，那么需要估计的人均住房面 积就是 月= 警= 戤= 姜= 要 n = = o5 = 2 = 总人数 竺，五 叉x 其中x = 丝l 五，叉= l 墨，五，y = 墨。m ，y = 1 丝。m 从上例可看出人均住房面积其实就是每户平均住房面积与每户平均人数的比率从 而该问题可以有以下思路来解决。先从所抽样本( 五，m ) ，( 拖，蚝) ，( ，k ) 中得到 y 的样本均值和x 的样本均值，然后用他们的比率来估计该小区的人均住房面积即总 体驴和叉比率于是可以有以下定义： 定义1 1 设( x 1 ，m ) ，( 孔，k ) ，( ，k ) 为来自总体( x ，y ) 容量为n 的样本，两 总体均值的比率r = 甓的估计量定义为t a ：兰( 堑：垦! ：孕( 1 1 ) x ( x l ，托，墨) 、7 其中叉( 墨，磁，) ，歹( h ，k ，k ) 分别表示x ，y 的均值估计函数 显然当( x l ，m ) ，( 恐，k ) ，( ，k ) 为简单随机样本时可以有 叉( 五，k ) 2 去五，矿( m ，m ，碥) = 去萋m # l。= - 从而两总体均值的比率估计量为 6 击：1k 驴 r _ 拦。曼nu t = j1 ( 1 2 ) 这是抽样调查中最常用的估计。在第二章可看到当所抽样本为次序统计量时r 的估计不 再是( 1 2 ) 的形式了 特别对于( 1 2 ) 如果一个总体有两个指标x ，y ，其中y 为调查指标( 例l 中每户的 住房面积) ，x 为已知的辅助指标( 例1 中每户的人数) ；于是若在例l 中每户平均住 1 第一章比率估计量的研究与进展华东师范大学硕士论文2 房面积和每户的平均人数的比率的估计量为( 1 。2 ，则可利用x 的均值x 得到调查指标 y 的总体均值的估计即： 驴= 厨 ( 1 3 ) 该估计量称为比估计量再设总体y 均值的简单估计量为雪，当扎很大时，若( x ，y ) 的 相关系数p 疑，( 以， 分别为x ，y 的变异系数) 时有： - 一 y 口r ( y ) 0 为失效分布或寿命分布 寿命分布函数f ( t ) 表示在规定条件下，产品的寿命不超过的概率，即产品在时刻 前发生失效的概率在可靠性理论和实际中常见的寿命分布主要有单参数指数分布、双 参数指数分布与w 已i 阮2 z 分布等 定义2 ，2设x 为连续随机变量，若其分布密度函数为 弋 ，( z ) = 去e 一甲， z ，y( 2 1 ) 1 9 0 为参数，则称x 服从参数为( ，y ) 的双参数指数分布，记作e 。y 尸( p ，7 ) 其中护 称为尺度参数，y 称为位置参数或门限参数 5 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文6 特别地，当7 = 0 时称x 服从参数为日的单参数指数分布，记作e x p ( 日) 指数分布可以用来描述像电视机、变容二极管、电容器、汽车、泵等产品的寿命，并 且具有。无记忆性” 定义2 3设x 为连续随机变量，若其分布函数为 m m 一 一( 寻) m 仁2 ， 则称x 服从参数为( 叼，y ，m ) 的e i 乩f f 分布，记作w e i 阮f 2 ( 叼，y ，m ) 并称7 为门限参 数或位置参数，叼 0 为位置参数，m o 为形状参数 特别当7 = o 时，该分布称为双参数w e i 阮f 2 分布，记作e t 乩z f ( 7 7 ，m ) 当m = 1 时，显然形e i 她2 z 分布就是双参数或单参数指数分布，也就是说w b i b l l l l 分布就是指数 分布的推广e i 乩盯分布在可靠性试验中占有重要地位，e i 阮f f 分布可以适于因某 一局部失效而引起全局机能停止的现象譬如，轴承、陶瓷制品、金属材料及绝缘材料 等产品或材料的寿命 其他常见分布还有极值分布、对数正态分布、伽玛分布等 定义2 4 设寿命t 的失效分布函数为f ( t ) ，称其数学期望 e ( t ) = 亡d f ( t ) j o 为该产品的平均寿命 。 均寿命是描述产品平均能工作多长时间的量，经简单计算，寿命分别服从e x p ( 9 ，叼) 、 w e i 乩z z ( 7 7 ，m ) 的产品，它们的平均寿命分别为7 十p ，叩r ( 去+ 1 ) + ，y 2 1 2可靠性试验数据特征 一般的寿命数据与统计中通常使用的随机样本有很大区别寿命数据往往是不完全 数据，即并不是每一个观测到的值都是确切的寿命值某些数据可能只表示相应个体的 寿命不小于该数值，而并不知道其确切寿命的数值，这样的数据称为截尾数据如从现 场收集的寿命数据，由于在统计时某些产品尚未失效，或因多种原因中断观测，这些产 品的实际寿命应比已观测到的时间长生存数据一般也具有这种特点就是在可以人为 控制的产品寿命试验中，由于试验费时较长，费用较高，往往不能将试验进行到所有受 试样品都失效时为止因此必须在达到规定的时间或在失效的样品达到规定数目时终止 试验这种试验称为截尾试验，前者称为定时截尾试验，后者称为定数截尾试验这时 得到的数据是次序统计量对某些长寿命的产品，为进一步缩短试验所必须的时间且获 得足够的失效数据，试验时常采用加大应力( 诸如热应力、电应力，机械应力等) ，以促 使产品加速失效这种试验称为加速寿命试验。此外，根据试验中是否用“新”的样品替 换已失效的样品，寿命试验还可以分成有替换试验和无替换试验两类。 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文7 2 2 单参数指数分布情形下平均寿命比率的统计推断 由上节可看出，在寿命试验中得到的数据是截尾样本，从而前人提到的比率估计量 不再适合用来估计平均寿命比率，于是我们有必要寻找其他的比率估计量来解决寿命试 验中平均寿命比率的估计问题 引理【3 3 】2 2 1设置1 ) ，五2 ) ，五，) 为来自似p ( p ) 的样本容量为n 的前r 个次 序统计量，令耳= ：1x ( t ) + 一r ) x ( r ) ，晷= 孚，则痧是毋的一致最小方差无偏估计 ，并且学服从p ( 2 r ) 设五1 ) ，五2 ) ，墨，) ，k 1 ) ，k 2 ) ，k ，) 为分别来自服从e x 尸( 目1 ) 和e x p ( 如) 两独立总体x ，y 的样本容量为船的前r 个次序统计量，则由引理2 2 1 可知口1 ，p 2 的一 致最小方差无偏估计： 舀l = 坦，舀2 = 兰竺( 2 3 ) 77 其中 rr = 确+ 一r ) ) ，= + 一r ) ) 讧=1扛：l 显然疋r ，乃，分别为两总体x ，y 定数截尾寿命试验的总时间，并且 i 瓦垒警，毛垒警 相互独立且都服从于x 2 ( 2 7 ) 由定义1 1 自然可以用 鹿：宴 口1 估计两总体x ，y 的平均寿命比率r = 髻= 鲁 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 2 2 1孟的期望和方差 由简单计算可得以下定理 定理2 2 1 设甄1 ) ，x ( 2 ) ，x ( ，) ，k 1 ) ，v 2 ) ，v ，) 为分别来自服从e x p ( 口1 ) 和 e x p ( p 2 ) 两独立总体x ，y 的样本容量为佗的前? 个次序统计量，则 e f 崩 y o rf ，础 由( 2 6 ) 可得到r 的无偏估计 = 刍r = 菩蒜与r 2( r 1 ) 2 ( r 一2 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文8 定理2 2 2 是r 的无偏估计，并且 蠢：掣袁 ( 2 8 ) r 。 哳( 五) = 稿砰，y 甜( 五) y 嚣( 甸 ( 2 9 ) 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 可以看出用豆比用庭来估计r 更精确，特别在小样本下五估计r 更有效 2 2 2 冗方差的无偏估计量 因为 e ( 角) = 芹e ( 霉霉) = 冗2 ( 霉) ) ( e ( 1 霉) ) = 瑞芹一p 一1 ) p 一2 ) “ 所以露= 譬詈籍产角为r 2 的无偏估计量，于是由( 2 6 ) 可得a 方差的无偏估计量 面) = 筹卑 y o r ( r ) = 三 膨 由( 2 9 ) 也可得到夤方差的无偏估计量， 前_ 错篁 2 2 3 盈的渐进正态性 已经知道) ( 2 ( 2 r ) 可以看作2 r 个相互独立且服从( o ，1 ) 的随机变量平方和，从而由 中心极限定理和( 2 4 ) 可知： 、 等乌( o 1 ) r 一 而 墨：贮上堑 ：堑! 墨二! 1 2 ! 亚山堡 2 r 2 2 ri l ( 毛一2 r ) 2 2 r 5 万1 矿十夏、r孑z r - 。 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文9 三1 2 r 一 从而由s l u t s k y 定理可得， 定理2 2 3 设x ( 1 ) ，x ( 2 ) 一，x ( ，) ，k 1 ) ，k 2 ) ，v ，) 为分别来自服从e x p ( 9 1 ) 和 e x p ( 9 2 ) 两独立总体x ，y 的样本容量为礼的前r 个次序统计量，则 ( a r 一1 ) 三( o ，1 ) ( 2 1 0 ) 注意到 二一l r 一1 因此 ( 五r 一1 ) 暑( o ，1 ) ( 2 1 1 ) 2 2 4r 的置信水平为1 一口的置信区间 置信水平为l a 的虎的置信区间的构造可由两种方法得到， 确分布求得，另一种方法可根据曼的渐近分布求得 1 1 r 的精确置信区间 因为 疋= 等，瓦= 警 相互独立都服从x 2 ( 2 r ) ，并且 r 口2 口2 咒2 r r 6 1 愀r f 研 一种是通过簧的精 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 所以 鬟 f ( 2 勘 ( 2 1 4 ) 因此，由( 2 1 4 ) 可得r 置信水平为1 一乜的置信区间； l 叁 皇 1 i - f l 刮2 ( 2 r ，2 川兄2 ( 2 r 2 r ) j 显然由( 2 1 4 ) 可知 ， 志州2 啦r ) 于是r 置信水平为1 一口的置信区间也可表示为： l 一一r 曼- 一一 ! 重 1 【( r 一1 ) f l 刮2 ( 2 哪r ) p 一1 ) f 口2 ( 2 r ，2 r ) j ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文1 0 或 2 ) 晏渐近分布的置信区间 由( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 得冗的基于渐近分布的近似置信区间t 赢，南 眨埘 l1 + 矾一。2 1 + 以2 l p “ 矗，志 ( 2 1 9 ) 而由表3 1 可知置信区间( 2 1 9 ) 的效率非常低，要提高渐近置信区间的估计效率的 方法之一是扩大置信区间，于是兄置信水平为1 一a 的渐近置信区间可以使用以下形式 的修正置信区间s ， l 志，志l 2 。， ， 。 l1 + 阢一a ( 2 ，) 1 + ( 2 ，) l p 一 这三个置信区间的模拟结果及效率比较详见第三章 2 2 5 定数截尾寿命试验中被试验产品个数的确定 在产品定数截尾寿命试验中估计产品的平均寿命比率，当预被试验的产品数竹确定 后，确定试验截尾数r 是定数截尾寿命试验中一个重要问题，由( 2 6 ) ，( 2 9 ) r 越大，试验 误差就越小，估计的精度就越高。但是r 大了，截尾寿命试验所需的费用也就多又因 为试验目的是要估计平均寿命比率，因此，在定数截尾寿命试验中，必须在保证一定精 度的条件下使截尾数r 最小而对估计量的精度要求是；允许估计量的方差不超过y 或 估计量的变异系数不超过、留，本部分对估计量的精度要求采用前者，而 y 凹( 元) = 蒜肌乌r 己 当允许r 最大误差不超过y 时则有 7 粤+ 2 警+ 2 ( 2 2 1 ) 因此，在给定产品数截尾寿命试验中，要使得r 估计r 的最大误差不超过y ，截 尾数r 最小可取呈拳十2 由于盈2 和r 有关，此时应2 可以用以前数据得到的比率来近 似代替。 2 3 双参数指数分布情形下平均寿命比率的统计推断 引理【3 3 】2 3 1 设x ( 1 ) ，五2 ) ，x ( ，) 为来自e x p ( 1 9 ，7 ) 的样本容量为礼的前r 个 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文1 1 次序统计量，令霉= ：1 五；) + 加一r ) x ( ，) ，毒= 警，= 置1 ) 一鲁，则晷，分别 为p ，y 的一致最小方差无偏估计，并且兰坐服从x 2 ( 2 ( r 一1 ) ) 设置1 ) ，五2 ) ，五，) ，k 1 ) ，k 2 ) ，k ，) 为分别来自服从e x p ( 口1 ，饥) 和e x p ( 如，饱) 两独立总体x ，y 的样本容量为n 的前r 个次序统计量，则由引理理2 3 1 可知p 1 ，1 l ，6 1 2 ，他 的一致最小方差无偏估计： 矗= 等华，前= 墨。，鲁如= 等芈，倪幽，一鲁( 2 2 2 ) 其中 并且 = 确+ 一r ) x ( 呻， i = 1 坑三p l ，吼三饥，如三如，恍二能， r 一 ( 2 2 3 )护1jp l ，吼j 饥，如j 如，恍j 能， r 叫 ( 2 2 3 ) 咒，易分别为两总体x ，y 定数截尾寿命试验的总时间 假设置y 相互独立且分别服从于e x p ( 护l ，7 1 ) ，e x p ( 如，能) ，则 刀x = 口l + 一y 1 ，e y = 口2 + 仇 ( 2 2 4 ) 由起义1 1 自然司。以用 詹：磐盟( 2 2 5 ) 9 l + 嚷 估计两总体x ，y 的平均寿命比率r = 畿= 帮暑并且由( 2 2 3 ) 可知 a 二r r 一。o ( 2 2 6 )r r ， r 一。o ( 2 2 6 ) 因此袁是r 的相合估计 由第三章数值模拟结果发现，在截尾数较小时矗的偏倚较大，为了减小该估计量的 偏倚也可以用以下修正估计量估计r ： 詹一箬应 ( 2 2 7 ) 由( 2 2 5 ) ( 2 2 7 ) 可知在双参数指数分带隋形下，a ，袁不仅和反，如有关，而且 还和晚，仍有关，此外经简单验证反，如分别和啊，境相关，因此双参数指数分 布下的平均寿命比率估计量的期望和方差及其是否有效的检验，相比单参数指数分布情 形下的要复杂的多为此本文对双参数指数分布的平均寿命比率估计量的性质，通过计 算机随机数值模拟的方法来验证其模拟结果详见第三章第二节 由引理2 2 1 可知r ，、 厢( 恚。) 绷( o 1 ) ( 2 2 8 ) 时妖n 一 + ，鳓 = 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硬迨塞1 2 而 从而 又 于是 a ；氅堕 口l + 前 ( 如+ 能) ( 口2 + 他) d ( 口1 + 哺) ( p 1 + 饥) ： = 丝丛生丝2r + ：鱼丛生丝! 一：兄 = - _ _ _ _ - - _ 一n 十= 。一l ( 民+ 愧) ( 目l + 7 1 ) ( 口1 + 愧) ( 日l + ，y 1 ) ：! 丝丝二! ! 丛! 丝丝1 2r + 地= = _ _ - _ _ _ 。一f 1 十：一 ( 吼十魄) ( 8 l + ，y 1 )p l + 愧 凡( 1 + 薏) ( 毕) _ 丽警 拿巫三l 皋拿二r ， r o 。 一+ l 一_ n ，t 。_ c x j 日1 + m 口l + 愧 一 哆( 1 + 薏) 净1 ) 钢叭， 偿2 9 ， 注意到 、 霉一1 r 一2 从而也有 厢( 1 + 薏) ，) 蜘叭， 仁3 。， 虎不像单参数指数分布那样容易得到它的精确分布，从而也不容易得到r 的置信水平 为1 一q 的精确置信区间，因此本文从a 的渐近分布得到其渐近置信区间而( 2 2 9 ) ，( 2 3 0 ) 中含有未知参数晚，能，从而要由( 2 2 9 ) 或( 2 3 0 ) 得到r 的置信水平为l a 的渐 近置信区间，本文用相关的无偏估计来代替未知参数。 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文1 3 由x 1 ) 与如相互独立可得； e ( 晚如) = e ( k t ，色一l n ) = e ( k t ) ) e ( 1 晚) 一1 n = 掣( 鲁+ 仇) e ( 奉卜= 一l 一+ 7 y n n l pi 一一 如 、扎“一i ! i ! = 12 鱼j n = 掣( 鲁+ 仇) 志一去 = l 一十- 一一 如诧叫2 ( 7 一2 ) 礼 ：f ：二! 也 ! f r 一2 ) 如。n ( 7 一2 ) 于是篝( 鲁一而与) 是薏的无偏估计，从而当r 较大时可以用舞( 爱) 代替( 2 2 9 ) 一 或( 2 3 0 ) 中的薏，则得到r 的置信水平为1 一a 的渐近置信区问t 而磊拓碉，瓦毒诗高_ 3 。【1 + 巩叫2 潲( 老一尚) ，+ 玩，。潞( 亳一尚) j _ 一一7 或 rr + 仉刮。潲( 害一尚) l + 玩，：高( 鲁一赤) 2 4 彤e 主6 饥2 2 分布情形下平均寿命比率的统计推断 ( 2 3 2 ) 本节主要研究当p = o ，m 为已知自然数情形下平均寿命比率的统计推断问题。 设五1 ) ，x ( 2 ) ，x ( ，) 为来自服从彬e i 乩f z ( 7 7 ，m ) 总体x 容量为礼的前r 个次序统 计量。而墨1 ) ，x 2 ) ，x ( ，) 的联合密度函数为t ，( 甄1 ) ，五。) 7 一，五r ) ) = 万岛垂，( 砾) ) 1 一f ( 五r ) ) r 卅 = 南垂( 等( 警) 一1 卜 一( 等) m 卜卜叫( 等 7 = 南籍腑叫一雒确+ _ x 罱 ) 、甄1 ) sx ( 2 ) x ( r 第二章定数截尾寿命试验中平均比率统计推断研究华东师范大学硕士论文1 4 其中f ( ) ，( ) 分别为w r e i b u u ( 叩，m ) 的分布函数和密度函数于是? 7 的似然函数为 砌，= 篝垂婿1 e 印 2 5 0 时在1 0 0 0 0 个精确置信区间 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 包含真值的个数超过9 6 0 0 个，包含真值的置信区间个数大约占总置信 区间个数的9 6 以上 4 ) 由图3 7 到3 1 2 发现，r = 5 0 ，1 0 0 ，3 0 0 对应的直方图关于对称轴基本左右对称， 对称轴在1 4 1 6 7 上，这说明它们非常接近正态分布的直方图再由它们的对应的正态检 验图发现，数据点基本都落在一条直线上，并且随着r 的增加，数据点越集中在条直 线上 、 以上结果表明，两平均寿命估计量r ，兄都是r 的有偏估计量，当7 i 1 5 0 时， 它们的偏倚、方差和均方误差都非常的小，这说明这两个估计量估计r ，偏差小且稳定 并且冗，r 都具有渐进正态性；当r 2 5 0 时，r 的置信区间2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 估计 冗非常有效从偏倚的角度看r 的偏倚比r 要小，因此两估计量都可用，但是r 比咒 更有效。此外，改变参数的值，经多次数值随机模拟发现，当截尾数取样本容量的一半 以上时，置信区间( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 包含真值的个数都在9 5 以上 第三章数值模拟及例证分析华东师范大学硕士论文2 2 r2 55 07 51 0 01 2 51 5 01 7 52 0 02 2 52 5 q e 陋1 1 4 6 6 l1 4 4 2 0 1 4 3 3 91 4 2 9 5 1 4 2 8 21 4 2 6 21 4 2 4 61 4 2 3 81 4 2 3 6 1 4 2 2 6 ， 胁s 0 0 4 9 50 0 2 5 30 0 1 7 30 0 1 2 9o ，0 1 1 5o 0 0 9 5o 0 0 7 90 0 0 7 20 0 0 6 90 0 0 6 0 y o rf 蓟o 1 3 6 60 0 6 4 9o 0 4 2 40 ，0 3 1 0o 0 2 4 6o 0 2 0 1o 0 1 7 70 0 1 5 40 0 1 3 70 0 1 2 3 m s e ( 袁、)o 。1 3 9 10 0 6 5 60 0 4 2 70 0 3 1 2 0 0 2 4 70 0 2 0 20 0 1 7 80 0 1 5 5o 0 1 3 70 0 1 2 3 、 l ooo32 01 4 58 4 02 7 1 85 7 7 78 4 0 0 r 2 7 53 0 03 2 53 5 0 3 7 54 0 04 2 54 5 04 7 55 0 0 e 1 4 2 2 61 4 2 2 31 4 2 2 21 5 4 2 2 31 4 2 2 01 4 2 1 91 4 2 1 61 4 2 1 61 4 2 1 31 4 2 1 1 ， 咸口sf 硝o 0 0 5 90 0 0 5 60 0 0 5 50 0 0 5 6 0 0 0 5 30 0 0 5 20 0 0 5 0o 0 0 5 00 0 0 4 6o 0 0 4 5 y o t f 蓟 0 0 l1 10 0 1 0 10 0 0 9 3o 0 0 8 6 0 0 0 8 00 ，0 0 7 40 0 0 7 0o 0 0 6 60 0 0 6 30 0 0 6 0 ， m s e ( 袁) 0 0 1 1 10 0 1 0 1o 0 0 9 3o 0 0 8 7 o 0 0 8 00 0 0 7 4o 0 0 7 00 0 0 6 60 0 0 6 30 0 0 6 0 己1 9 6 8 99 9 6 8 9 9 9 8l o o o o 1 0 0 0 0l o o l o o1 0 o l o o l r2 55 07 51 0 01 2 51 5 01 7 52 0 02 2 52 5 0 曰( 司 1 3 9 2 41 4 0 5 91 4 0 8 21 4 1 1 91 4 1 2 21 4 1 3 51 ，4 1 2 81 4 1 4 01 4 1 4 3 1 4 1 4 7 b i 旺8 l 斌 o 0 2 4 2 一o 0 1 0 8 0 0 0 8 5 0 0 0 4 7 0 0 0 4 5 o 0 0 3 2 o 0 0 2 8 一o 0 0 2 6 o 0 0 2 3 0 0 0 2 0 y a r f 硝 o 1 2 0 7o 0 6 0 7o 0 4 0 6 o 0 3 0 40 0 2 4 3 o 0 2 0 2o 0 1 7 lo 0 1 5 00 0 1 3 30 0 1 1 9 m s e f 袁10 ，1 2 1 3 0 0 6 0 8 o 0 4 0 6 o 0 3 0 4o 0 2 4 3o 0 2 0 2 o 0 1 7 l0 0 1 5 0 0 0 1 3 3o 0 l1 1 9 c 2 00l21 21 4 58 2 02 7 1 85 8 0 38 5 2 2 r 2 7 53 0 03 2 53 5 03 7 54 0 04 2 54 5 04 7 55 0 0 曰陋1 1 4 1 5 01 4 1 5 3 1 4 1 5 2 1 5 1 5 7 1 4 1 5 5 1 4 1 5 7 1 4 1 5 9 1 4 1 5 8 1 4 1 5 9 1 4 1 5 7 b t n sf 础。o 0 0 1 6 0 0 0 1 3 0 0 0 1 5 - 0 0 0 0 9 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 一o 0 0 0 8 一o o 0 0 9 0 0 0 0 8 0 0 0 1 0 y o r f 硝 o 0 1 0 9o 0 1 0 lo 0 0 9 2 o 0 0 8 6o 0 0 7 9o 0 0 7 40 0 0 7 0 o 0 0 6 60 0 0 6 20 0 0 5 9 a f s ef 是1o ，o 1 0 90 0 1 0 lo 0 0 9 2 o 0 0 8 6 o 0 0 7 9o ，0 0 7 40 7 0o 0 0 6 6q 6 2o ，0 0 5 9 ， 三2 9 6 8 89 9 5 91 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 第三章 ，数值模拟及例证分析华东师范大学硕士论文2 3 o 9 7 8 瘩星 o 9 5 o g o o 7 s o s o o 2 5 o ，1 0 8 8 詈 图3 7 截尾数弘= 5 0 时r 的直方图 图3 8 截尾数r = 5 0 时真的正态检验图 图3 9 截尾数7 = 1 0 0 时r 的直方图 第三章 数值模拟及例证分析华东师范大学硕士论文2 4 o 9 9 9 o 9 口7 09 5 o 5 0 o 2 5 口，培 o0 1 o 0 0 1 图3 。1 0 截尾数r = 1 0 0 时豆的正态检验图 o997 o 9 9 o7 5 o0 5 o 0 0 1 图3 1 l 截尾数r = 3 0 0 时r 的直方图 图3 1 2 截尾数r = 3 0 0 时r 的正态检验图 第三章数值模拟及例证分析华东师范大学硕士论文2 5 3 3 e 主沈2 2 ( 叩，仇) 分布数值模拟及例证分析 对爿毛自服从e 阮f f ( 啦，仇) ， w e i 阮2 ：( 啦，m ) 的两个相互独立的寿命变量，取定 ? 7 l = 1 0 ，绕= 1 5 ，仇= 5 ，则平均寿命比率真值是r = 1 5 对子r ，数值模拟一千 次，每次模拟2 0 0 个数据，r 取1 0 ，2 0 ，3 0 ，1 8 0 ，1 9 0 ，2 0 0 ；对于r 数值模拟一千次，每次模 拟9 5 个数据( 这主要是因为m a t l a b 7 0 对计算伽马函数有限制) r 取5 ，1 0 ，8 5 ，9 0 ，9 5 通过模拟分析研究平均寿命估计量r ，r 的性质模拟结果见表3 4 ，3 5 ，图3 1 3 。3 1 4 ， 3 。1 5 ，3 1 6 ，3 1 7 ，3 1 8 ；其中厶，三2 ，厶分别是r 的1 0 0 0 个置信水平为9 5 的 置信区间( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) ，( 2 4 4 ) 包含真值的个数 由表3 4 ，3 5 可看出 1 ) 两个统计量的均值均分布在它们真值的附近并且它们的偏倚都非常小，对于每个 截尾数偏倚变化不大，r 偏倚绝对值最大不超过0 0 0 3 1 ，r 最大不超过0 0 0 3 2 ) 两个统计量的方差和均方误差都随截尾数的增加而减小；当r 3 0 时，它们变化 非常平缓，r ，月方差和均方误差最大都不超过o 0 0 6 2 ，对每个截尾数它们的方差和 均方误差几乎相等 3 ) 由l 1 ，厶，厶发现，由r 构成的1 0 0 0 个置信水平为9 5 的置信区间( 2 4 2 ) 包含真值的的个数分别为8 3 0 左右，占总置信区间总数比例是8 3 ；当截尾数r 6 0 时 1 0 0 0 个置信区间( 2 4 3 ) 包含真值的的个数为9 5 0 左右，占置信区间总数比例和置信水平 差不多；对每个截尾数，精确分布置信区间( 2 4 4 ) 中包含真值的个数为9 5 0 个左右 4 ) 由图3 1 3 3 1 8 发现，在截尾数为3 0 ，6 0 ，1 5 0 时统计量冗的直方图关于1 5 基本左右对称，又由正态检验图发现，它们对应的数据点基本在一条直线上，并且截尾 数越大数据点越集中一条直线上 由以上结果表明，r ，r 两个估计量的偏倚绝对值、方差和均方误差都非常小，并 且袁具有渐近正态性，这两个估计量均可作为r 的有效估计量，从而作为r 的点估计 两个估计量几乎没差别；由冗构成的修正置信区间( 2 4 3 ) 比由r 构成的置信区间( 2 4 2 ) 包含真值的比例要高，并且置信区间( 2 4 3 ) 当截尾数较小时已达到较理想的效果；精确 分布的置信区间( 2 4 4 ) 对于每个截尾数包含真值的个数比较平稳，从而在大截尾数条件 下，作为r 的区间估计量，修正置信区间( 2 4 3 ) 优于置信区间( 2 4 2 ) ，在小截尾数下置 信区间( 2 4 4 ) 是最优的 第三章数值模拟及例证分析 华东师范大学硕士论文2 6 rl o2 0均4 05 06 07 08 0 9 0 l e f 旯) 1 4 9 6 9 1 4 9 7 61 4 9 9 6 】4 9 8 91 5 0 0 01 4 9 9 2 1 4 9 8 5 1 4 9 8 8 1 4 9 9 31 4 9 9 1 ， 觑。粤( 扈) o 0 0 3 1 o 0 0 2 4 o 0 0 0 4 0 0 0 l1 o 0 0 0 0 o 0 0 0 8 0 0 0 1 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 7 0 0 0 0 9 y 口r 俭10 0 1 8 70 0 0 9 30 0 0 6 2 0 0 0 4 90 0 0 3 90 0 0 3 1o 0 0 2 6o 0 0 2 3o 0 0 2 00 0 0 1 8 m s e f a 、) o ，0 1 8 7o 0 0 9 30 0 0 6 20 0 0 4 9 o 0 0 3 9o 0 0 3 1o 0 0 2 6o 0 0 2 3 o 0 0 2 0o 0 0 1 8 工l 8 2 38 2 68 2 28 2 08 1 98 3 58 3 08 2 88 3 38 3 8 上2 8 2 38 8 08 8 89 0 79 2 29 3 89 4 89 5 29 6 29 5 6 三3 9 5 29 4 69 3 39 4 89 4 19 5 39 5 29 5 19 5 99 5 9 r1 1 01 2 01 3 01 4 01 5 01 6 01 7 01 8 01 9 02 0 0 ei 赴 1 4 9 9 3 1 4 9 9 61 4 9 9 81 4 9 9 71 5 0 0 1 1 4 9 9 8 1 4 9 9 91 4 9 9 91 4 9 9 91 4 9 9 7 巍。s ( 司 一o 0 0 0 7 o 0 0 0 40 o 0 0 2一o 0 0 0 3o 0 0 0 1 o 0 0 0 2 o 0 0 0 1 o 0 0 0 1 o 0 0 0 1 o 0 0 0 3 v a rf 就 o ，0 0 1 6o 0 0 1 50 0 0 1 4o 0 0 1 3 0 o o l 2o 0 0 1 l0 o o l 00 。o o l oo 0 0 0 9o 0 0 0 9 ， m s 层f 矗、) o 0 0 1 60 0 0 1 5o 0 0 1 4 0 0 0 1 30 0 0 1 20 0 0 l1o 0 0 1 0 o 0 0 1 00 0 0 0 90 0 0 0 9 三18 4 3 8 3 6 8 2 7 8 2 98 3 68 3 18 3 58 3 48 2 98 3 4 上29 6 7 9 6 2 9 5 59 6 l 9 5 79 6 39 6 6 9 6 89 6 9 9 6 4 三3 9 6 29 5 79 4 79 4 89 4 79 4 89 4 39 5 09 5 59 4 3 r51 01 52 02 53 03 54 04 55 0 e ( 夤) 1 4 9 3 7 1 4 9 7 11 4 9 7 01 4 9 9 41 4 9 8 11 4 9 7 51 4 9 7 1 1 4 9 8 4 1 4 9 8 51 4 9 8 6 曰主口sf 鼬一o 0 0 6 3 o 0 0 2 9 0 0 0 3 0 0 0 0 0 6 一o 0 0 1 9 0 0 0 2 5 。o 0 0 2 9 0 0 0 1 6 o 0 0 1 5 0 0 0 1 4 y 甜( 司 0 0 3 8 0d 0 1 7 8 o 0 1 1 60 0 0 8 6 o 0 0 7 0o 0 0 6 1o 0 0 5 2 0 0 0 4 50 0 0 3 90 0 0 3 6 衍s e f 五1o ，0 3 8 10 0 1 7 8o o n 60 0 0 8 6 o ，0 0 7 0o 0 0 6 1o 0 0 5 2o 0 0 4 50 0 0 3 90 0 0 3 6 -， r5 56 q 6 57 07 5 8 08 5 9 09 5 ef 威1 4 9 8 5 1 4 9 9 11 4 9 8 2 l ，4 9 7 61 4 9 8 41 4 9 8 9 1 4 9 8 9 1 4 9 8 9 1 4 9 8 7 ， b z o sf 莉 o 0 0 1 5 o 0 0 0 9 0 0 0 1 8 o 0 0 2 4 0 0 0 1 6 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 - q 0 0 1 3 矿。r ( 五) 0 0 0 3 30 0 0 3 0 0 0 0 2 8o 0 0 2 70 0 0 2 40 0 0 2 20 0 0 2 10 ，0 0 1 9 0 0 0 1 9 m s e l 乱0 ，0 0 3 3d 0 0 3 0o 0 0 2 8o 0 0 2 70 0 0 2 4 0 0 0 2 2o 0 0 2 lo 0 0 1 90 0 0 1 9 第三章数值模拟及例证分析华东师范大学硕士论文2 7 图3 1 3 截尾数r = 3 0 时应的直方图 图3 1 4 截尾数r = 6 0 时a 的直方图 图3 1 5 截尾数r ：1 5 0 时矗的直方图 第三章数值模拟及例证分析华东师范大学硕士论文2 8 图3 1 6 截尾数r = 3 0 时友的正态检验图 n 目r r n i 户r d b - b 川t yh o t 图3 1 7 截尾数r = 6 0 时a 的正态检验图 n 洲a - p r o b b 坤户4 t 图3 1 8 截尾数r = 1 5 0 时鹿的正态检验图 第四章相关讨论 本论文主要讨论了无替换定数截尾寿命试验下，寿命服从单参数指数分布、双参数 指数分布、w 西b u l l 分布的两独立总体的平均寿命比率的点估计及区间估计问题，并进 一步讨论了在不同分布下估计量的无偏性、渐进正态性等优良性质但这些结论是在无 替换定数截尾寿命试验的条件下得到的，在有替换定数截尾寿命试验、有替换或无替换 定时截尾寿命试验、其他寿命试验( 如：恒加速、步加速寿命试验) 和其他寿命分布下是 否也有类似结论，需要进行进一步研究 2 9 参考文献 【1 】梁小筠，祝大平抽样调查的方法与原理，华东师范大学出版社， 1 9 9 4 2 】c h r i sj m b a r t e l s ，g e r d i e nv a ns c h a n 【，k e e sv a nm a a n e n ，w i u e mw 6 u d aa n dt h o m a s d i j k s t r a ，( 2 0 0 7 ) ”胁t o r sa s s o c i a t e dw i t hv a r i a t i o ni nn e o s p o r ac a n i u mb u l k m i l ks p r a t i o si ni n i t i a l l yb u 酝m i l kn e g a t i v et e s t i n gd u t c hd a i r yh e r d s ，”p r e v e n t i v ev e t e r i n a r ) r m e