（机械设计及理论专业论文）轴向运动带的横向与纵向振动分析.pdf

摘要 摘要 轴向运动带系统由转动或平动的刚体和变形固体构成，广泛应用于机械、交 通、航天等行业。随着工程技术的不断发展，轴向运动带系统的研究引起学者们 的广泛关注。轴向运动带根据不同的工程应用，例如动力传送带、磁带、纸带、 纺织纤维、带锯、空中缆车索道、高楼升降机缆绳、单索架空索道等可以简化为 轴向运动弦线和梁的力学模型。这些模型中的横向振动和纵向振动限制了它们的 应用效果。例如，在磁带装置中，振动导致信号调制和加速磁带磨损；又例如， 汽车发动机的平带驱动系统中带的振动将产生噪声和影响发动机运转的平稳性 和可靠性。因此，有必要研究轴向运动带系统。本文研究轴向运动带的横向和纵 向耦合振动问题。利用h a m i l t o n 原理，建立轴向运动带横向和纵向自由振动的 耦合动力学模型。基于g a l e r k i n 方法对轴向运动带系统模型的状态变量作离散， 通过数值仿真，比较轴向运动带的横向振动和纵向振动，分析轴向运动速度对带 的横向振动和纵向振动影响以及初张力对带的横向振动和纵向振动影响。论文的 主要工作如下： ( 1 ) 利用h a m i l t o n 原理建立轴向运动带的两种模型即运动弦线和梁的动力 学方程，并且基于g a l e r k i n 方法对两种模型的动力学方程作离散得到带有非线性 项的常微分方程组。 ( 2 ) 通过数值仿真，给出了两种模型横向振动和纵向振动的比较，讨论了 轴向运动速度对两种模型的横向和纵向振动的影响，并且分析比较了两种模型的 运动特性和不同之处。 ( 3 ) 基于轴向运动带受迫振动的h a m i l t o n 对偶方程组，研究了系统在不同 外激励作用下轴向运动带的受迫振动的响应曲线，并讨论了有阻尼受迫振动的响 应，总结了不同阻尼和不同速度对运动弦线和梁振动的影响。 ( 4 ) 分析了初始张力对轴向运动带振动的响应以及不同初张力对运动带振 动周期和振幅的影响。 ( 5 ) 讨论不同轴向速度和初张力对轴向运动带频率值变化的影响，得到轴 向运动带横向和纵向振动频率的响应曲线以及频率比值随着速度的变化曲线。 关键词：轴向运动带；轴向运动弦线；轴向运动梁；横向振动；纵向振动 a b s t r a c t c o m p l e xm o v i n gb e l ts y s t e mi sc o m p o s e db yr o t a t i o nr i n da n dt r a n s v e r s e d e f o r m a t i o ns o l i d , w i d e l ya p p l i e di nm a c h i n e r y 、t r a n s p o r t a t i o na n da s t r o n a u t i c sa n ds o o i la l o n g 而也t h ed e v e l o p m e n to ft h ep r o j e c tt e c h n o l o g y , i tb e c a m em o r ea n dm o r e i n t e r e s t i n gi ns c h o l a r c o m p l e xm o v i n gb e l ts y s t e mc a nb es i m p l i f i e df o rt h ea x i a l l y m o v i n gs t r i n ga n db e a mm e c h a n i c a lm o d e li nd i f f e r e n tp r o j e c ta p p l i c a t i o n s ，f o r e x a m p l e , d y n a m i cc o n v e y o r s ，t a p e ，t e x t i l ef i b e r s ，h a n d s a w ， r o p e w a y ，l i f tt o w e r c a b l e 、c a b l e w a y t h e s em o d e l sl i m i tt h e i ra p p l i c a t i o nr e s u l t si nt h et r a n s v e l s ea n d l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o n f o re x a m p l e , i nt h et a p ed e v i c e , v i b r a t i o nr e s u l t sm o d u l a t i o n s i g n a la n da c c e l e r a t e dw e a rt a p e a n d , a u t o m o t i v ee n g i n e - b e l td r i v es y s t e m1 j l r i t t lt h e n o i s ea n dv i b r a t i o nw o u l dh a v ea f f e c t e dt h ee n g i n eo p e r a t i o ns t a b i l i t ya n dr e l i a b i l i t y s o ，i ti se s s e n t i a lt oe x a m i n et h ea x i a l l ym o v i n gb e l ts y s t e m 嘶sp a p e rr e s e a r c ht h e a x i a l l ym o v i n gb e l ti n t h et r a n g v e 鹏a n dl o n g i t u d i n a lc o u p l i n gv i b r a t i o n u s e d h a m i l t o np r i n c i p l e , e s t a b l i s h e dt h ea x i a l l ym o v i n gb e l ti nt h et r a n s v e r s ea n d l o n g i t u d i n a lc o u p l i n gd y n a m i c sm o d e l b a s eo nt h eg a l ek i nw a y , id i s c r e t et h es t a t e v a r i a b l e so ft h ea x i a l l ym o v i n gb e l ts y s t e m ic o m p a r et h et r a n s v e r s ea n dl o n g i t u d i n a l f r e ev i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gb e l tb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e na n a l y z et h ee f f e c t o f a x i a l l ym o v i n gv e l o c i t ya n dt e n s i o n 丽t ht h et r a n s v e r s ea n dl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o n t h er e s e a r c ha b o u ta x i a l l ym o v i n gb e l ts y s t e mm o r ea n dm o r ec a u s e so t h e r s c h o l a r st op a ya t t e n t i o n 1 1 l ea x i a l l ym o v i n gb e l ts y s t e mi sac r o s s - c u t t i n gs u b j e c t t h a tm e c h a n i c a ld e s i g na n dm e c h a n i c a ld y n a m i c s ，i n - d e p t hs t u d yo ft h es y s t e m , c 姐 b ee n r i c h e dt h em e c h a n i c a ld y n a m i c sk n o w l e d g e t l l i sp a p e rb a s e do nt h ew o r ko f p r e d e c e s s o r s ， i n t h eh a m i l t o nd y n a m i c ss y s t e m ,r e s e a r c ht h et r a n s v e r s ea n d l o n g i t u d i n a lf r e ev i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gb e l t ，a n dd o e ss a m et h eb a s i cr e s e a r c h w o r kw i t ht h ea x i a l l ym o v i n gb e l tv i b r a t e da n a l y s i s m a i nw o r ka sf o l l o w s ： ( 1 ) h a m i l t o n sp r i n c i p l ee s t a b l i s h e db yt w od y n a m i ce q u a t i o n so ft h em o d e l t h a ta x i a l l ym o v i n gs t r i n ga n db e a m b a s eo nt h eg a l ek i nm e t h o dt od e g e n e r a t e st h e v a r i a b l e so ft h et w om o d e l sa r eo fn o n - l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 2 ) c o m p a r et h et r a n s v e r s ea n dl o n g i t u d i n a lf r e ev i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n g b e l tb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n d i s c u s st h ee f f e c t so ft h ea x i a lm o v i n gv e l o c i t yo nt h e t w om o d e l so ft r a n s v e r s ea n dl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o n c o m p a r ea n da n a l y z eo ft h et w o m o d e l so ft h em o v e m e n to ft h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e s ( 3 ) e s t a b l i s h m e n to ft h ea x i a l l ym o v i n gb e l tf o r c e dv i b r a t i o nh a m i l t o nd u a l a b s t r a c t e q u a t i o n so b t a i n e dt h ef o r c e dv i b r a t i o no ft h es t e a d y - s t a t es o l u t i o n s r e s e a r c ht h e r e s p o n s ec u i n eo ft h ea x i a l l ym o v i n gb e l tw h i c hi si nt h ed i f f e r e n tf o r m so fi n c e n t i v e s a n a l y z et h ed a m p e db yt h ef o r c e dv i b r a t i o nr e s p o n s e s u mu pt h ei n f e c t i o ni n d i f f e r e n ts p e e da n dd i f f e r e n td a m p i n go f v i b r a t i o n ( 4 ) d i s c u s st h ev i b r a t i o nc y c l eo ft h ea x i a l l ym o v i n gb e l tu n d e rt h et e n s i o n a n a l y z et h ee f f e c tt h a ti nd i f f e r e n tt e n s i o no nt h ec y c l ea n da m p l i t u d eo f v i b r a t i o n ( 5 ) d i s c u s st h ee f f e c tt h ed i f f e r e n ta x i a l l yv e l o c i t ya n dt e n s i o no nt h en a t u r a l f r e q u e n c y r e c e i v et h ec u eo ft h ea x i a l l ym o v i n gb e l t t h a t t l d n s v o l 3 0a n d l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nu n d e rt h ed i f f e r e n tt e n s i o n , a n dt h ec u r v et h a tr a t i oo ff r e q u e n c y w i t ht h ev e l o c i t y k e yw o r d s ：a x i a l l ym o v i n gb e l t ；a x i a l l ym o v i n gs t r i n f f , a x i a l l ym o v i n gb e a m t r a n s v e r s ev i b r a t i o n ；l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o n i i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解北京机械工业学院关于收集、保存、使用学位论文 的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以 及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向 国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名：銮德，双 2 , o o 宕年月，p 日 ( 注：非保密论文无需签字) 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：套催，双 期男年；月 第1 章引言 第1 章引言 1 1 课题的背景及意义 带和带驱动以及链和链传动都是广泛应用在实际生活中的动力传输装置。带 作为一种可靠的动力传输装置大约已有2 0 0 年的历史，广泛应用在机械和汽车动 力设备中。例如动力传送带、磁带、纸带、纺织纤维、带锯、空中缆车索道、高 楼升降机缆绳等。这些传输装置使用柔性材料来传输动力、原料或者信息。 在工程实践中，运动带的应用比较广泛，如v 型带和平带等。在以前一段 时间里，虽然运动带系统和传递链系统都是可靠的驱动装置，但在许多实际应用 中还是用链驱动来替换带驱动。比如，汽车上应用的调速链等。然而现在很多汽 车上都使用调速带，相对于链来说，带的成本更低，重量上更轻，并且噪音更小， 并且传输的功率几乎相同，所以在实际生产中使用带传动。由于带有许多不同类 型，在设计和工程应用上来说更加灵活。正是由于这些优点，在驱动装置中，轴 向运动带被广泛的应用，使得以前采用链驱动的装置需要重新设计应用带驱动， 同时原来使用较多数目带的装置也需要重新设计来使用较少数目的带( 可能是一 根带) 。这些变化趋势向带驱动的设计和工程应用提出了挑战，需要对轴向运动 带进行研究，以此来识别、解释和预测带驱动系统中的一些问题。 轴向运动带系统由转动和平动的刚体和变形体构成，其典型的实例是汽车张 紧轮的平带驱动系统和升降电梯。在工程实际中有许多轴向运动材料，如带锯、 纸带、传送带、磁带和电梯缆绳等多种工程系统元件。这些工程元件由于振动带 来的不利因素影响其正常工作并限制了它们的应用效果。例如，在磁带装置中， 振动导致信号调制和加速磁带磨损；又例如，汽车发动机的平带驱动系统中带的 振动将产生噪声和影响发动机运转的平稳性和可靠性。因此，对轴向运动带的振 动进行研究具有一定的工程实际意义。 轴向运动带系统是以机械工程为主的传动系统抽象化的典型力学模型，目前 研究较多的轴向运动连续体主要是弦线和梁。虽然弦线和梁同属于一维连续体， 但两者仍有很多实质性的区别。就力学模型而言，若忽略轴向运动带弯曲刚度时 可简化为轴向运动弦线，弦线必须承受充分大的轴向拉力，静平衡位形为直线； 考虑轴向运动带弯曲刚度时可简化为轴向运动梁，运动梁可以承受轴向拉力或者 压力，静平衡位形可能是直线或者曲线。就数学模型而言，两者有相同的惯性项 和陀螺项，但刚度项不同。 6 第1 章引言 1 2 研究现状 目前，轴向运动带系统的研究主要集中于弦线和梁两种模型的振动。运动带 系统若忽略弯曲刚度时均可简化为轴向运动弦线，对于轴向运动弦线的研究可以 追溯到1 8 世纪初期，随着传送带、履带、电梯缆绳等工程技术的发展，轴向运 动弦线的振动问题引起国内越来越多学者的重视，轴向运动弦线线性振动近来研 究较多的是弦线与其它部件的耦合振动。 工程问题中具有非均匀分布质量的运动弦线可以模型化为运动弦线，轴向运 动弦线研究的早期工作主要讨论振动的频率，研究了一端受简谐纵向位移激励时 运动弦线振动的响应，由共振关系得到了系统的固有频率。陈立群【i ，2 1 研究了一 类轴向运动弦线非线性振动的总机械能变化，并定义了在振动中保持不变的守恒 量同时还研究了加速运动弦线的能量变化情况。m o o n 和w i c k e r t t 3 】在研究边界位 移导致轴向运动弦线非线性受迫振动时，直接对描述系统运动的偏微分方程应用 平均法，导出可解性条件和平均化方程。陈立群和吴俊【”】研究了积分型黏弹性 轴向运动弦线的横向非线性动力学行为。w i c k e r t 和m o t e l e 用运动弦线为模型讨 论纺织工业中纤维线的不稳定问题，发现波的传播速度与弦线运动速度相等时出 现发散不稳定。c h e n g 和p e r k i n s t 7 】研究了有摩擦力作用下的轴向运动弦线的振 动和稳定性。t a n 和c h e n g t 3 】用频域方法研究了平动弦线与液动力学轴承耦合系 统的振动，在一种液动力学轴承力模型基础上通过导出传递函数得到了系统的频 率相应。y a n g 和m o t e t 9 l 应用传递函数分析分布参数系统尤其是受约束情形的自 由振动和受迫振动，并分别讨论了受弹簧约束和在部分弹性基础上轴向运动弦线 的振动。 对于轴向运动梁的研究，许多学者做了大量工作，u l s o y t l 0 】首先建立了缆索 系统耦合弹性梁模型，基于g a l e r l d n 方法，对耦合机制进行了数值分析。w i c k e r t 和m o t e t l l l 发展了适用于陀螺连续体的复模态分析方法【1 2 】，基于正交的模态函数 导出了轴向运动梁对任意初始条件和激励的响应，得到在简支的边界条件下计算 了固有频率和模态函数的方法。s i m p s o n t ”】利用本征值方法研究了轴向运动梁在 固定边界条件下的固有频率和模态函数，但他没有考虑轴向初始力。此外， y a n g t l 建立了分布陀螺系统的本征值包含原理，并应用于分析增加弹性约束对 轴向运动梁纵向振动固有频率的影响。 轴向运动梁在运动过程中能量变化的分析也有了深入的研究，在匀速轴向运 动的情形，w i c k e r t 和m o t e t ”1 得到运动梁的机械能变化与边界值的关系。l e e 和 m o t e t l 6 】进行了更一般的分析和数值验证。r e n s h a w 等【1 7 1 对能量关系进行了更准 确的阐述，并定义了一个在振动过程中的不变量。c h a k r a b o r t y 和m a l l i k t l 8 】在求 解轴向运动梁的固有频率时利用了波传动的“相位闭合方法，即当波在运动梁 7 第1 章引言 上传播反射在一端出现相位与出发时相位相抵时，这个波的频率就是梁的某阶固 有频率。他们研究了非线性影响下梁的模态。它们还利用所得到的非线性模态分 析了轴向运动梁强迫振动的响应【1 9 1 。许多学者还研究了梁的模态和固有频率等 多方面的内容，r i e d e l 和t a n 刎在文章里研究了索的一阶和二阶频率比值与运行 速度之间的关系。w i c k e r t 和m o t e 2 ”研究了轴向运动材料在不同速度下的稳定 性。r e n s h a w 和m o t e 矧通过分析本征值，研究了系统在临界值附近解的稳定性 情况。s e y r a n i a n 和k l i e m 冽以及a l - j a w i 。p i e r r e 和u l s o y 2 4 把摄动法引入本征值， 研究了在稳定边界的分岔问题并给出了系统稳定及失稳的判断方法。p a r k e r 2 5 】则 分析了更为一般陀螺系统，用摄动方法分析静态问题，把轴向运动梁作为这种方 法的例子。r e u t e r 等【2 6 】忽略运动索的轴向惯性力，提出了求解其非线性振动的 一个简单模型。w a n g 和l i u 别用g a l e r k i n 截断方法分析了运动梁的本征值问题， 并用实验加以验证。在非线性问题的研究中，g a l e r k i n 截断法是一种比较常用的 方法，利用它可以把偏微分方程离散而得到常微分方程，只要取合适的模态函数， 这种方法简单而有效。r a v i n d r a 和z h u 2 3 】把g a l e r k i n 的一阶截断应用于加速度的 轴向运动梁非线性方程，在临界速度附近发现分岔，通过数值计算发现了周期分 岔到达混沌和间歇混沌的现象。p a r k 和l i n 2 9 】用一阶的g a l e r k i n 截断方法得到离 散的常微分方程，然后用摄动法分析了非线性项以及速度或者梁轴向应力扰动的 影响。 考虑到不同的工程实际情况，轴向运动梁往往还存在耦合问题。s t y l i a n o u 和t a b a r r o k 3 0 1 用有限元方法考虑了在梁上运动的质量块的影响，研究了梁振动 的稳定性。f u n g 3 l j 用h a m i l t o n 原理得到了一端配有质量块的梁振动的控制方程。 s u g i i n o t o 3 2 】等则考虑了空气动力载荷，得到梁振动的非线性波动方程。l u o 和 m o t e 3 3 l 研究了受任意载荷作用、具有任意初始垂度的行进索的平衡构型精确解。 另外，王跃方和l u o 3 4 1 推导了同一问题的非线性刚体位移解析解，讨论了行进 速度对解的稳定性的影响。王跃方和任西春【3 5 l 把行进索的问题导入到h a m i l t o n 理论框架下，对其进行了模态分析和结构振动分析。刘学涛和王跃方瞰】研究了 轴向行进索的振动和稳定性分析，并且讨论了行进索的张力分布对振动的影响。 在轴向运动物体的振动特性分析时，能量方法因为其简单直观也得到了较多 的应用。m o t e 和w | u f 3 7 1 研究了能量随着轴向运动系统流动的情况。r n s h a w 等【3 3 】 提出了轴向运动系统的能量泛函并分析了它的一些变化情况。k w o n 和l h 3 9 】分 析了带有张紧轮或者惰性轮的轮带系统中能量的转移问题，并用实验验证了分析 结果。为了解决梁的振动以及失稳问题。众多学者提出了很多有效的解决方案。 h a t t o r i 等【柏1 用在运动梁上施加反馈力的方法来减小横向位移，并且控制变长度 轴向运动梁的振动。f u n g 等【4 l 】在运动梁的一个边界端加装弹簧质量系统控制梁 8 第1 章引言 的横向振动。 对上述研究进展分析，可以发现对轴向运动带的横向和纵向耦合振动的研究 还存在局限，其他文献中大部分只研究了横向振动方面的问题，本文则主要考虑 轴向运动带横向和纵向耦合振动的问题。 1 3 本文的主要研究工作 本文的工作主要是对轴向运动带的振动进行分析，首先建立轴向运动带的弦 线和梁两种动力学模型，并对振动方程进行离散，之后用r u n g e , - k u t t a 法求得横 向和纵向振动响应并对横向和纵向振动进行比较和分析。同时讨论初始张力以及 轴向速度对轴向运动带的振动影响，并探讨了近似频率解的一些特性。 本文的主要研究工作有： ( 1 ) 建立在h a m i l t o n 体系内的轴向运动弦线和轴向运动梁的两种模型的 动力学方程，并基于g a l e r k i n 方法对轴向运动弦线和运动梁模型作离散得到带有 非线性项的常微分方程组。 ( 2 ) 考虑前二阶振动模态，对轴向运动弦线和梁的动力学方程进行数值求 解，通过仿真实验结果比较分析两种模型振动的特性和区别。 ( 3 ) 研究带阻尼时轴向运动梁的振动响应和轴向运动梁振动的稳定性。讨 论轴向运动梁的横向和纵向振动周期随带的轴向速度和阻尼系数的变化规律，并 与自由振动规律作比较。 ( 4 ) 当轴向运动弦线上有外激励作用时，根据受迫振动的对偶方程组得到 了轴向运动弦线受迫振动的响应，并对平衡解的稳定性进行了分析。 ( 5 ) 考虑初张力对轴向运动梁振动的影响，分析轴向运动梁在初张力作用 下的振动周期和振幅变化情况。同时还分析了轴向运动梁的频率响应，研究了频 率的比值与速度的关系以及频率在不同张力时的情况。 本论文课题来源于北京市自然科学基金项目“复杂缆索系统的非线性动力学 研究( 1 0 7 2 0 0 8 ) 。 9 第2 章轴向运动带的力学模型 第2 章轴向运动带的力学模型 2 1 引言 连续系统是具有连续分布的质量以及分布弹性的系统，它有无限多个自由 度，其动力学方程为偏微分方程。在工程实际应用中，带驱动系统中滑轮使用金 属或者塑料形式来降低带的振动，因此滑轮和支承的类型对系统的响应有决定作 用。影响系统耦合的一个因素就是质量几何参数，材料的性能和传输速度。在本 章中，首先建立了轴向运动缆索横向和纵向自由振动的耦合动力学模型，然后基 于g a l e r k i n 方法对轴向运动缆索系统模型的状态变量作离散得到带有非线性项 的常微分方程组。最后介绍求解轴向运动带动力学方程的几种方法和振动问题的 定性理论。 2 2 轴向运动带动力学方程 带驱动装置中，一般在有跨度的情况下，支承的类型决定带驱动耦合的响应。 这种耦合现象在一些文章中已见报道，主要研究弱耦合以及周期系统的广泛应 用。耦合的类型有多种，我们主要研究的是横向和纵向振动的耦合。在本节中， 首先介绍由两端约束的轴向运动弦线或运动梁的动力学方程，之后利用g a l a r k i n 方法对系统模型进行离散化得到带有非线性项的常微分方程组。 轴向运动带系统模型的示意图如图2 1 所示，设两端为固定支承，其间距 为三，轴向运动速度为1 ，张力为p 。对模型做如下假设：( 1 ) 运动带的密度p 是恒定的( 2 ) 系统的平衡位置是直线形式。( 3 ) 忽略阻尼的影响。 图2 1 轴向运动带的动力学模型 如图2 1 系统若忽略弯曲刚度时模型可以简化为轴向运动弦线，如果考虑弯 曲刚度时均可模型化为轴向运动粱。在本节中主要介绍这两种模型的动力学方 程。 1 0 第2 章轴向运动带的力学模型 2 2 1 轴向运动弦线的动力学微分方程 忽略弯曲刚度，轴向运动带可简化为轴向运动弦线模型。轴向运动弦线两端 为简支的模型。设1 ，为弦线沿石方向的轴向运动速度，弦线的初始张力为尸，长 度为l ，横截面积为彳。设运动弦线在滋坐标轴面内振动，弦线的纵向和横向 位移分别用 k f ) 和以，f ) 表示，它们分别为轴向坐标石和时间f 的函数。利用连 续介质的有限形变理论，运动弦线在x 处的位移场可表示为 五= “k f ) 一巩jk f ) ，访= w ( x , t ) ( 2 1 ) 其中符号( 江表示对( ) 求x 的偏导数。运动弦线在x 方向上的应变为 气= 罢+ 三l ( 罢) 2 + ( 暑) 2l + 面p + j 1 砖+ i 1w ，：+ 面p c 2 其中式( 2 2 ) 应变中包含了由初始张力引起的轴向应变叫以。系统的应变能为 u = 丢r 幽l ( 2 + 砖h ，w ，善2 + i 1 吆2w ，x 2 + i 1 畦) + p ( 2 棚，2 + 嵋：) 如( 2 3 ) 系统的动能可以表示为 r = 丝2 f 缸，+ 砸+ “，善汗+ ( w ，+ 佻工) 2 砖 ( 2 4 对式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 分别进行变分，得到 彬= 三2f 尉 ( 2 u , x + 3 u , 2 + 川冲，w ，_ ，：) 以+ ( 2 “扭嵋，帕，2 w , x + 以) 眺 + p ( 2 + 2 u ，) 8 u + 2 p w , ，, s w d x ( 2 5 ) 艿r = n ( v 2 + v 2 “缸+ w ，p ，+ ( v + ，叫，t ) 抛” ( 2 6 ) + ( v 2 w , x + 川。) 万w 。+ ( 眦，+ w ) 艿嵋，】出 应用h a m i l t o n 原理，将式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 代入h a m i l t o n 公式，得到 f ( s t 一祝吨= fr 以( 2 “，。+ 6 “，曩+ ，肛w ，：+ 3 甜，：“，。+ 2 嵋，+ 2 w ，嵋搿) + 2 p u 搬- 2 p a ( v z u , = + 2 v u ，对+ 口) 砌+ 3 嵋：鸩。+ 2 艄。 - 2 p a ( v 2 w , + 2 + w ，甜) 】万川蛐= o ( 2 7 ) 上式中对“和w 的变分不为零，则有 第2 章轴向运动带的力学模型 p a u ，仃+ 2 p a v u ，对+ ( p 么伊一尸) “，。 = 卜埝+ 扣栅+ 扛“，+ 一 q 名 + 2 p a v w , 。t + ( p a y z p ) = 卜嚣+ 扣2 蚶三“差+ w , x u , x u , x 。蝴括 q 9 ) 式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 为轴向运动弦线振动的耦合动力学方程，其中式( 2 8 ) 表示 轴向运动弦线纵向振动方程，式( 2 9 ) 表示轴向运动弦线横向振动方程。引入 下列无量纲量 “m ，x1 ， 即2 一l w 2 z 石2 一l f2 “c 2 i z = j p p a l 瞄1 ， 2 两e芦吾 ( 2 1 0 ) 其中为特征频率，将式( 2 1 0 ) 各量代入式( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，则轴向运动弦线 振动方程可写成下列表达式 u , u + 2 c u 功+ ( c 2 - p ) “橱 = a ( 3 “红“，群+ 主“括2 “，勰+ 三1 “，曩w ，2 + 甜w ，善w ，嚣+ 嵋；w ，搿) ( 2 1 1 ) m 球+ 2 c w , 矗+ ( c 2 一) m 曩 = 五( 3 m 慵+ 三以+ 产1 级2 + w , x u , x u , 。锄红) q 1 2 如果不考虑轴向运动弦线的横向和纵向振动的耦合，并省略高阶项，则轴 向运动弦线的动力学方程可以简化成 u , t t + 2 c u ，矗+ ( c 2 - p ) u ，。= o ( 2 1 3 ) w ，球+ 2 a 嵋对+ ( c 2 一h 囊= 0 ( 2 1 4 ) 式( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 与参考文献资料【卅的轴向运动弦线的动力学方程形式相同。 对于两端简支的边界条件为 u ( o ，f ) = “( 1 ，f ) = 0 ，w ( o ，f ) = w ( 1 ，f ) = 0 ，w ，。( 0 ，f ) = w 曩( 1 ，f ) = 0 ( 2 1 5 ) 应用g a l 矾渤截断的方法对方程离散作近似处理，分析轴向运动弦线的横向和纵 1 2 第2 章轴向运动带的力学模型 向振动，兵振动的横向和纵向位移变量可表示为 “g ，f ) = c v 乃g ) s i n ( ，嬲) ，刊k f ) = 哆( f ) s 缸u 嬲) ( 2 1 6 ) 将式( 2 1 6 ) 代入式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，利用三角函数基的正交性，取n = m = 2 ， 并令9 = c 2 一。得到常微分方程组 西一萼喊+ “一妒k z q = ( 争彳砌k 吒+ 勋4 a t a 2 + 言 砰+ 詈幽砰一辆+ 2 力r d a 2 辆q 碍) ( 2 1 7 ) 。w 2 1 堑，4 “一伊彷：口： 31 ：一五( 主石，4 ；+ 3 石口；4 ：+ 6 万口；+ 三万，口6 ，+ 刀口：砰+ 2 万口。轨+ 6 万4 ：磅) 2 j ；) w 一萼叫一缈2 饥 = 一a g 州+ 万3 q 1 6 2 砌6 l 霹+ 柏+ 争柏6 l 口2 砌饥6 2 铂) 醚+ 萼叫一枷2 6 2 = 一 ( 6 万b 2 + 万3 口l 玩+ 3 万6 2 砰+ 万口；6 2 + 6 万4 a 2 b 2 + 2 死 4 a l a 2 b | ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 2 2 2 轴向运动梁的动力学微分方程 如图2 1 所示，模型考虑弯曲刚度时，可以化成轴向运动梁的形式。设定梁 的弯曲刚度为e ，其他质量几何参数与轴向运动弦线一致。梁在z 处的位移也 可表示为( 2 1 ) 形式，在x 方向上的应变g 。为 = 罢+ 三l ( 罢) 2 + ( 譬) 2l + 面p 一巩巅+ 云1 疋+ 五1 嵋：+ 面p c 2 捌) 其中式( 2 2 1 ) 应变中包含了由初始张力引起的轴向应变纠尉。系统的应变能 为 【，= 1 2 fp 以出= 三f p 卜。一批。+ j 1 2 + 互1w ，2 + 刍) 2 幽出( 2 忽) a 。 “ 第2 章轴向运动带的力学模型 对式( 2 2 2 ) 面积积分，并令1 = iz 2 d a 和iz d a = 0 得到 d a l l m u = 三f 五么 ( “，2 + u , 3 x + l t , x 嵋：二三“，：w ，：+ 丢嵋：+ 石1 甜，4 ) ( 2 2 3 ， + p2 u , x + u , ：嵋+ 去) 卜 “ r = 导fp v 2 d l 4 出 ( 2 2 4 r = 丝2f u , t + v ( 1 帆，) 2 + ( 岷毗，) 2 ) 血 ( 2 2 6 ) 8 u = 1 2f 尉 ( 知，+ 3 “，；2 + 批：+ 甜，w ：+ “，：) 帆+ ( 2 嵋苫棚，：+ w ，：) 万叱 卯= i ( v 24 - v 2 u , x4 - ，) l 罗u , x - i - ( y + w ，暑叫，) 抛，+ ( v 2 w ，善+ 峭f ) 罗w ，暑( 2 2 8 ) f ( 卯一础砂 = fr 尉( 2 砌， 。帆。w ，, ；2 + 3 2 u , x g + 2 w , x 1 4 , 。+ 2 “hw ，) + 知，“，。w ，- 2 j 1w 一+ 3 w , 2 w , 。) + 2 朋材- 2 p a ( v 2 w , + 2 w + w 口) a w d x d t = o = e 4 3 甜h “，。+ 三甜差掰，。+ 三甜，。m ：+ “红m ，m 。+ 嵋，嵋。 2 3 。 1 4 第2 章轴向运动带的力学模型 p a w , 撑+ 2 p a v w , 对+ ( p a y 2 一p ) w ，。+ 跳脚 = 叫m 慵+ 扣 咖邺幽一一 ( 2 3 。 式( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) 为轴向运动梁振动的动力学方程，其中式( 2 3 0 ) 表示轴 向运动梁纵向振动方程，式( 2 3 1 ) 表示轴向运动梁横向振动方程。引入无量纲 量( 2 1 0 ) 以及 五2 面e 可 ( 2 一3 2 一) 厶= l ， 。础； 其中为特征频率，将式( 2 1 0 ) 和( 2 3 2 ) 各量代入式( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) ，则 轴向运动梁振动方程可写成下列表达式： “，盯+ 2 c u ，曩+ ( c 2 一a - p ) u ，厨 = ( 3 “h “，曩+ 三“h 2 “，。+ 三“，曩w ，2 + 括w ，；嵋搿+ w ，w ，。) 2 3 3 ) m k + 2 c 嵋对+ ( c 2 一) w ；搿+ 太嵋黼 = 丑( p 3 w 2 + 产1 2 + 岷u x g x 。+ u x ) q 3 4 如果不考虑轴向运动梁的横向和纵向振动的耦合，且去掉高次项，则轴向 运动梁的动力学方程可以简化成 u , t t + 2 c u ，对+ 【c 2 一 一丘，玎= 0 ( 2 3 5 ) 鹕口+ 2 a 嵋对+ ( c 2 一h 曩+ 如嵋一= 0 ( 2 3 6 ) 式( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 与参考文献资料【1 0 】的轴向运动梁的动力学方程形式相同。对 于两端简支的边界条件( 2 1 5 ) ，在这里应用g a l e r k i n 截断的方法对动力学方程 离散化，分析轴向运动梁的横向和纵向振动，其振动的横向和纵向位移变量可 表示为( 2 1 6 ) ，将三角级数解代入式( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) ，同样取n = m = 2 ，在这 里缈= c 2 一，可以得到常微分方程组 口? 一c a ；+ ( 丑一9 彷2 口 = 一五( 言万4 口；+ 3 万3 口。口：+ 3 万口口：+ 三万4 口。6 f + 言刀4 a l b ：+ 万3 6 1 6 2 + 2 a 4 a 2 6 1 6 ：+ 万4 口。6 ；) 1 5 ( 2 3 7 ) 第2 章轴向运动带的力学模型 d w z ! + 堑珊! + 4 “一咖z 口：3 - w | ：一五( 三万，口? + 3 万4 a 2 u ：+ 6 万口；+ 三万，口，6 f + 石口：砰+ 2 万口。6 1 6 2 + 6 万口：6 ；) ( 2 3 8 ) 吖一萼叫+ 仿2 五一伊k 2 6 l = 一a ( 昙万4 6 i i4 - ；f l s a l 如+ 3 万4 岛砖+ 言万口；岛+ 言万口? 抚+ 石3 a a 2 + 2 a 4 a t a 2 6 t + 万口；6 i ) 噬+ 萼叫+ 如2 如一伊k 2 6 2 = 一a ( 6 万4 霹+ 万3 口l 魂+ 3 万4 如6 f + 万a 2 6 2 + 6 n 口；6 i + 2 万4 吼口2 岛) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 2 3 动力学微分方程求解 轴向运动带是具有无限多个自由度的连续体，具有无限多个自由度，建立的 模型一般为偏微分方程。但是进行振动分析的时候需要对偏微分方程求解，并且 分析方程解与行进速度的关系以及解的稳定性。求解轴向运动带的力学方程可以 采用以下几种方法： ( 1 ) 解析方法 一般偏微分方程的求解是在l a g r a n g e 体系下用各种方法对未知函数消元， 得到一个高阶偏微分方程再对一个未知函数求解，因此肯定导致高阶微分方程， 求解过程比较困难。 复模态法是基于l a g r a n g e 体系下的一种方法，它引入位移和速度两个状态 变量，得到关于它们的一阶状态方程组。复模态法的求解过程比较复杂，而且在 使用模态叠加法时，每阶只取了一个模态函数，模态函数的完备性很难得到保证。 轴向运动带的模态分析本质上是非自伴算子的特征值问题，每阶模态都有一对共 轭的特征值和特征函数，这类成对的相互共轭的特征函数可构成h i l b e r t 空间的 完备集，利用分离变量及特征函数展开法，即可求得轴向运动带的偏微分方程的 解析解。 ( 2 ) 近似方法 工程系统中广泛存在着非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力 非线性，法向加速度、科氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线