（机械设计及理论专业论文）轴向移动粘弹性梁的非线性动力学研究.pdf

摘要 曼蔓! ! 曼! 曼! ! ! ! ! 曼! ! ! 苎! 蔓! 曼! i i 二二= ；= ；= = = = = = = = = = = = = = 一i i i i i 一一i 一| 曼。曼曼! 皇蔓! ! 鼍曼! ! ! ! ! 曼 摘要 轴向移动连续体可以由许多工程元件抽象而来，如动力传送带、磁带、带锯、 运动纺织纤维、高楼升降机缆绳、悬挂缆车的运动索道等。这些轴向移动连续体在 工程中都有着广泛的应用，并且表现出复杂的非线性动力学行为，因而轴向移动连 续体横向振动的研究有着重要的理论和实际意义。对于轴向移动连续体，通常简化 为弦线和梁的模型，本文研究了轴向移动粘弹性梁的非线性动力学特性，主要研究 内容有以下几方面。 ( 1 ) 综述了轴向移动粘弹性梁和弦线振动的研究进展和成果。目前研究轴向移动 粘弹性弦线的文献较多，而研究轴向移动粘弹性梁的文献较少。对于轴向移动粘弹 性梁和弦线的研究中，应用微分型本构关系建立非线性动力学方程的文献较多，而 应用积分型本构关系建立非线性动力学方程的文献较少。大多数的研究成果仅考虑 粘弹性材料的内阻尼，而忽略了轴向移动连续体的线性外阻尼。 ( 2 ) 利用广义h a m i l t o n 原理建立轴向移动粘弹性梁的平面非线性运动方程，建立 非线性运动方程时应用积分型粘弹性本构关系，同时考虑线性外阻尼和粘弹性材料 内阻尼等因素，得到了匀速、变张力情况下轴向移动粘弹性粱的平面非线性运动方 程，丰富了单纯考虑材料内阻尼因素的动力学分析。对轴向移动粘弹性梁的非线性 动力学方程进行无量纲化处理。 ( 3 ) 综合利用多尺度法和g a l e r k i n 方法，对轴向移动粘弹性梁面内横向振动的方 程进行摄动分析，根据可解性条件求解，得到了轴向移动粘弹性梁在三种内共振情 形下的平均方程。这三种内共振情形分别是l ：2 ，l ：3 和l ：4 内共振。通过所得到的 平均方程，我们发现在不同内共振情形下轴向移动粘弹性梁的平均方程具有不同的 形式，特别是l ：2 内共振的情形下的平均方程与l ：3 和1 ：4 内共振的情形下的平均方 程相比更加复杂，三次非线性项更多。 ( 4 ) 利用m a t l a b 程序对轴向移动粘弹性梁1 ：2 ，1 ：3 和1 ：4 内共振的平均方程进行 了数值模拟。画出轴向移动粘弹性梁的相图和波形图。当选定一组初值和参数，而 只改变一个参数时，根据数值模拟结果，轴向移动粘弹性梁可以出现周期运动、概 周期运动和混沌运动。在1 ：2 内共振情形时轴向移动粘弹性梁的倍周期和混沌运动出 现明显的多脉冲跳跃现象。在1 ：3 内共振情形时轴向移动粘弹性梁的倍周期和混沌运 动跳跃并不明显。而在1 ：4 内共振情形时轴向移动粘弹性梁目前仅发现概周期运动。 关键词：粘弹性梁：非线性动力学；分叉；混沌运动 北京工业大学工学硕+ 学位论文 a b s t r a c t as e r i e so fs y s t e m si n v o l v i n gp o w e rt r a n s m i s s i o nc h a i n s ，b a n ds a wb l a d e s ，a e r i a l c a b l e w a y sa n dp a p e rs h e e t sh a v ea x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l a x i a l l ym o v i n gm a t e r i a li sa s i m p l em e c h a n i c a lt r a n s m i s s i o nd e v i c e ，b u ti tm a yr e p r e s e n tc o m p l e xn o n l i n e a rd y n a m i c a l b e h a v i o r s t h es t u d yo ft h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no ft h ea x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l si so fg r e a t s i g n i f i c a n c e i fs l e n d e re n g i n e e r i n ge l e m e n t sh a v er a t h e rl a r g eb e n d i n gs t i f f n e s s ，t h e yw i l l b es i m p l i f i e da s m o v i n gb e a m s w h i l e s l e n d e re n g i n e e r i n ge l e m e n t s w i t hc u r v e d e q u i l i b r i u mc o n f i g u r a t i o n sw i l lb es i m p l i f i e da sm o v i n gs t r i n g s t h ed y n a m i cp r o p e r t i e so f p a r a m e t r i c a l l ye x c i t e dv i s c o e l a s t i cb e a ma r ei n v e s t i g a t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h em a i n c o n t e n t sa r ea sf o l l o w s 1 f i r s t ，w eg i v ear e v i e wo ft h er e s e a r c h e so na x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l ss y s t e ma n d t h er e s e a r c h e sb a s e do nd y n a m i c so fo t h e rv i s c o e l a s t i cs t r u c t u r e s i nr e c e n ty e a r s ，m u c h a t t e n t i o nh a sb e e np a i dt oa x i a l l ym o v i n gs t r i n g s t h el i t e r a t u r er e l a t e dt on o n l i n e a r v i b r a t i o n so fa x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i cb e a m si sv e r yl i m i t e d m o s to ft h em o v i n g e q u a t i o n so fa x i a l l ym o v i n gb e a m si nt h el i t e r a t u r ea r eb u i l tb a s e do nt h ed i f f e r e n t i a l c o n s t i t u t i v er e l a t i o n sr a t h e rt h a nt h ei n t e g r a lc o n s t i t u t i o nr e l a t i o n s m o s tr e s u l t si nt h e l i t e r a t u r ea r eg o t t e nw i t hc o n s i d e r i n gi n t e r - v i s c o s i t ya n dn e g l e c t i n gl i n e a ro u t v i s c o s i t yo f v i s c o e l a s t i cs t r u c t u r e s 2 t h e n ，w ed e r i v et h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so fm o t i o nf o ra na n i a l l ym o v i n g v i s c o e l a s t i cb e a mb a s e do nt h ei n t e g r a lc o n s t i t u t i o nr e l a t i o n su t i l i z i n gh a m i l t o n s p r i n c i p l e h e r e ，t h ea x i a lt r a n s p o r ts p e e di sc o n s t a n t ，t h ei n i t i a lt e n s i o nh a sas m a l l h a r m o n i cd i s t u r b ，a n db o t ht h eo u t v i s c o s i t ya n di n t e r - v i s c o s i t ya r ec o n s i d e r e d t h e n o n - d i m e n s i o n a le q u a t i o n so fm o t i o na r eo b t a i n e d 3 t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sa n dg a l e r k i n sa p p r o a c ha r ea p p l i e dd i r e c t l yt ot h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a lg o v e r n i n ge q u a t i o n so fm o t i o nt oo b t a i nf o u r - d i m e n s i o n a la v e r a g e de q u a t i o n si nd i f f e r e n t c a s e so fi n t e r n a lr e s o n a n c ew h i c ha r ei ：2 ，1 ：3a n d1 ：4 w ef i n dt h ea v e r a g e de q u a t i o n si nd i f f e r e n tc a s e s o fi n t e r n a lr e s o n a n c ed i f f e rf r o me a c ho t h e r t h ea v e r a g e de q u a t i o n si nt h ec a s eo f1 ：2i n t e r n a l r e s o n a n c ei sm o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h o s ei nt h ec a s eo f1 ：3a n d1 ：4i n t e r n a lr e s o n a n c e 4 f i n a l l y , t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sr e s u l t sa r eg i v e ni n c l u d i n gt h r e ed i m e n s i o n a l ，p l a n a rp h a s e p o r t r a i t sa n dw a v e f o r mm a p so ft h ea x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i cb e a mi n d i f f e r e n tc a s e so fi n t e r n a l r e s o n a n c e p e r i o d i ca n dc h a o t i cm o t i o n so ft h ea x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i c5 e a r n a r ei n v e s t i g a t e d b a s e do nt h en u m e r i c a lr e s u l t s ，i ti sf o u n dt h a tt h ep a r a m e t e r sa b o u tt h ef o r c ea n dt h ed y n a m i c i i a bs t r a c t v i s c o s i t yh a v es i g n i f i c a n ti n f l u e n c eo nt h en o n l i n e a rd y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h es y s t e m t h er e s u l t s a l s od e m o n s t r a t et h a tt h e r ee x i s tp e r i o d i c ，p e r i o d 一2 ，p e r i o d 3 ，q u a s i p e r i o d i ca n dc h a o t i cm o t i o n si nt h e a x i f l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i cb e a ms y s t e m e s p e c i a l l y , m u l t i p u l s ep h e n o m e n o no c c u l si nt h ep e r i o d i c a n dc h a o t i cm o t i o n so f t h e 。a x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i cb e a mi nt h ec a s eo f1 ：2i n t e r n a lr e s o n a n c e k e y w o r d s ：v i s c o e l a s t i cm o v i n gb e a m ，n o n l i n e a rd y n a m i c s ，b i f u r c a t i o n s ，c h a o t i cm o t i o n s i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 签名：髭丑塾日期：坦盔丝旦互旦 i 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：住! 豫导师签名： 第1 章绪论 第1 章绪论 本章概述了所研究问题的工程背景，综述了轴向移动粘弹性弦线和粱振动的研究 进展和成果。首先从非线性振动方面总结了轴向移动粘弹性弦线的一些研究成果； 然后从非线性动力学、本构关系、混沌运动和参数振动方面概述了轴向移动粘弹性 梁的研究成果；最后给出了本论文的主要研究内容。 1 1 前言 轴向移动连续体可以由许多工程元件抽象而来，如动力传送带、磁带、带锯、 运动纺织纤维、高楼升降机缆绳、悬挂缆车的运动索道等。对于一维轴向移动连续 体，其动力学模型通常可以简化为弦线和梁的模型。虽然弦线和梁同属于一维连续 体，但两者仍有若干区别。就力学模型而言，弦线不具有抗弯刚度，必须承受足够 大的轴向拉力，静平衡位形为直线；梁具有抗弯刚度，可以承受轴向拉力，静平衡 位形可能是直线或曲线。就数学模型而言，两者有相同的惯性项和陀螺项，但刚度 项不同。因此，在具有陀螺连续体共性的同时，与轴向移动弦线相比，轴向移动梁 的研究更加复杂。同时，梁的数学模型的复杂性也给横向振动的分析和控制带来技 术上的困难。目前研究轴向移动粘弹性弦线的文献较多，而研究轴向移动粘弹性梁 的文献较少，因此，本文研究了轴向移动粘弹性梁的非线性动力学特性。 1 2 课题研究背景 抽象成轴向移动连续体的工程元件，如动力传送带、磁带、带锯、高楼升降机 缆绳、悬挂缆车的运动索道等，在工程应用中有许多优点，但是其振动和噪声特别 是横向振动问题，给它们的应用带来许多不利方面。例如：动力传动带的横向振动 将影响整机运动的平稳性、可靠性，并导致整机振动及加大噪声等；磁带的振动可 能会导致信号混乱或导致声音失真，并加速磁带的磨损；带锯的振动会降低切割质 量，会加剧带锯的磨损，更严重者可能会使带锯毁坏；输送带是大型带式输送机的 重要部件，它不可能利用其它传动装置来代替，输送带的振动直接影响输送机平稳 性，影响物料的输送。这些轴向移动连续体在工程中都有着广泛的应用，并且表现出 复杂的非线性动力学行为，因而轴向移动连续体横向振动的研究有着重要的理论和 实际意义。 与轴向移动弦线相比研究轴向移动粘弹性梁非线性振动的文献较少。轴向移动 粘弹性梁在工程实际中有着广泛的应用，由于非线性因素的影响，轴向移动粘弹性 北京丁业大学工学硕士学位论文 梁的动力学行为表现的也更为复杂，对于分叉和混沌现象的研究也变的更困难。目 前，轴向移动粘弹性梁的非线性动力学问题引起了国内外学者的极大关注。虽然已 经取得一定的研究成果，但仍有大量待于研究的问题。因此，本课题的研究具有重 要的理论和实际意义。本文利用积分型粘弹性本构关系，同时考虑线性外阻尼和粘 弹性材料内阻尼等因素研究了轴向移动粘弹性梁的非线性振动。 1 3 轴向移动弦线非线性动力学研究现状 1 3 1 轴向移动粘弹性弦线非线性振动研究现状 多种工程系统如动力传送带、磁带、纸带、带锯、空中缆车索道、高楼升降机 缆绳、单索架空索道等，忽略抗弯刚度时均可模型化为轴向运动弦线，必须承受足 够大的轴向拉力，静平衡位形为直线。对于轴向移动粘弹性弦线的研究有许多优秀 文献。 c h e n 等人【1 1 2 0 0 2 年对轴向移动粘弹性弦线的分叉与混沌情况进行了研究。2 0 0 3 c h e n 等人【2 】基于4 阶g a l e r k i n 截断进一步研究了轴向移动粘弹性弦线的分叉与混沌问 题，研究表明，由于考虑了陀螺项1 阶、2 阶、3 阶和4 阶截断，系统的分又有显著的 不同。c h e n 等人【3 ，4 】在轴向移动粘弹性弦线参数激励的振动中发现了同样的情况。 z h a o 和c h e n 5 1 2 0 0 2 年用数值计算方法研究了轴向运动粘弹性带的非线性参数振动。 c h e n 等人【6 7 】2 0 0 4 年研究了轴向加速运动粘弹性带的瞬态响应和动力学特性问题。 z h a o 取l c h e n 8 1 2 0 0 5 年对轴向运动粘弹性带动力学特性进行了数值模拟研究。 z h a n g - 等人9 叫2 1 研究了粘弹性连续体的非线性动力学特性。z h a n g - 等k 1 3 一5 12 0 0 5 年研究了多自由度粘弹性传动带系统，分别对3 自由度和4 自由度粘弹性传动带系统 的非线性动力学特性进行了分析。 1 3 2 轴向移动弦线参数振动研究现状 在实际的应用中，由于系统的参数往往是随时间变化的，参数的变化将导致轴 向运动弦线非线性振动，这种振动称为非线性参数振动。导致参数振动的两个主要 因素是变速度和变张力。 p e l l i e a n 【1 6 1 2 0 0 0 年对振动方程进行1 阶g a l e r k i n 截断，研究了轴向运动传动带的参 数振动，并应用规范形分析了参数激励的响应。l i u j ：i l h u a n g e l 7 12 0 0 2 年研究了参数振 动的稳定性。p a k d e m i f l i 1 8 1 2 0 0 0 年应用l i e 群理论分析了轴向加速运动弦线的动力学问 题。2 0 0 3 年c h e n 和z u 1 9 , 2 0 研究了轴向运动粘弹性带的参数振动和动力学响应，粘弹 2 第1 章绪论 性带为满足b o l t z m a n n 叠加原理的粘弹性材料。 s u w c k e n 和h o r s s e n l 2 1 2 0 0 3 年对变速度情况下的轴向运动弦线的参数振动进行了 研究。2 0 0 4 年w u 和c h e n 2 2 】与c h e n 和z u 等人【2 3 ，2 4 1 研究了轴向速度为在固定值上附3 n 4 , 周期性涨落情形下运动弦线的参数振动，得到了稳态响应和主共振时的响应，并且 应用l y a p u n o v 稳定性条件得) u t 平凡解和非平凡解存在的条件。c h e n l 2 5 2 0 0 5 年研究 了轴向加速运动弦线的主参数共振的情况。同年c h e n l 2 6 】给出了参数振动运动方程更 一般的形式。 1 4 轴向移动粱非线性动力学研究现状 1 4 1 非线性振动控制方程的研究现状 u l s o y 2 7 1 和w i c k e r t 2 8 】等人分别在1 9 7 8 年和1 9 8 8 年评述了此前所完成的移动梁 和移动弦的研究工作。尽管对轴向移动连续体的研究历史可以上溯到18 8 5 年 a i k e n 2 9 】的实验观测和分析，但相关研究受到广泛关注并成为活跃的领域开始于上一 世纪后半叶。一系列优秀的文献综述【3 0 。5 】反映了不同时期轴向移动连续体的研究进 展。陈立群，杨晓东p 9 1 等人综述了轴向移动弦线和梁的横向振动及其控制的工作， 这方面的理论对梁的研究具有指导意义。有大量优秀文献用g a l e r k i n l 4 8 1 方法是简 化连续系统动力学数学模型。 轴向移动梁可以采用线性振动模型进行研究，通常线性系统模型可提供对真实 系统动力学的很好的逼近。假设轴向移动梁的横向振动发生在平面之内，且轴向速 度为常数，不考虑因横向振动而造成梁的轴向伸长，即轴向小变形可以忽略。可以 得到轴向移动梁面内横向振动的线性控制方程 懈+ g 圣+ k x = 0 ( 1 - 1 ) 其中m 、g 和k 为线性微分算子。 然而，线性逼近并非总是可靠的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中 引起无法接受的错误。特别对于轴向移动梁长时间历程的动力学问题，即使略去很 微弱的非线性因素，也常常会在分析和计算中出现本质性的错误。对于这些问题只 有依靠非线性理论才能得以正确解释，因此，我们有必要研究非线性动力系统的行 为，揭示非线性对系统动力学行为的影响。本文主要考虑非线性来源于大变形的情 况。对于分叉和混沌问题，人们往往考虑轴向移动梁的非线性振动特性，其控制方 程表达式如下 a 蔹+ g 譬+ & = u ( x ，戈) ( 1 2 ) 其中n 表示非线性项。 北京_ 丁业大学工学硕士学位论文 如果考虑轴向移动梁的某些参数，如轴向速度、张力等受到微小扰动，则系统 则可能发生参数共振现象，这时轴向移动梁的控制方程如下 3 历i + g 戈+ k x = 明g ，戈) s i n ( q ，f ) ( 1 3 ) 当轴向移动梁是一种有参数激励的非线性振动模型，包含y ( 1 2 ) 2 更0 3 ) 式中的 所有情况，其控制方程为 衙+ 馓+ = g ，j ) ：，) +：，童) ( 1 - 4 ) k x c p ,s i n ( nte n ( x 衙+ g 警+= 。i x ，j )，) +，童) 1 4 2 轴向移动粘弹性梁的积分型本构关系 近年来，各种高分子高强度的聚合材料、人造纤维，如玻璃、碳纤维等，由于 具有某些传统材料所没有的优点，它们已被广泛地用于各种工程领域，如桥梁、建 筑、航空、汽车等。这些高强度的人造纤维具有粘弹性特性，其动力特性相当复杂。 随着高聚物材料和复合材料的广泛采用，粘弹性理论的研究 4 9 5 6 愈来愈受到重视。 粘弹性轴向运动连续体的非线性振动的研究发现非线性各种模型都是建立在弹 性本构关系o = e e 的假设下，其中。为应力，为应变。这给计算分析带来方便，但 在实际应用中，通常材料是粘弹性材料。研究证明，弹性本构关系不能充分地反映 材料的特性。粘弹性材料的考虑，为更合理地模型化工程中的移动梁振动阻尼因素 提供了新的途径。研究证明，这种粘弹性阻尼的耗散作用在轴向运动梁的振动中起 着重要作用。 粘弹性移动梁的轴向应力6 是时间t ，空间变量x 和位移u ，w ，v 的非线性函 数，其形式与材料的特性有关。粘弹性轴向移动梁模型的本构关系主要有两种，即 微分型本构关系和积分型本构关系垆7 。 1 微分型本构关系微分型本构关系在粘弹性理论中广泛应用，这种应力应变 关系的数学表述直接与力学模型即弹性元件和粘性元件相联系，在求解某些问题时 比较方便。微分型本构关系的表达式为 。= e s + r l 喜，( 1 - 5 ) 这里e 是传动带的刚度常数，t 1 是动态粘性阻尼系数，是应变。 积分型本构关系是描述粘弹性材料的另一种理想模型。与微分型本构关系相比 较，积分型本构关系能更好地描述材料的记忆性能和物体受载后的影响过程。但是， 目前现有的文献中，与微分型本构关系相比利用积分型本构关系研究轴向移动粘弹 性梁非线性振动的文献较少。 2 积分型本构关系积分型本构关系由b o l t z m a n n 叠加原理导出。利用 b o l t z m a n n 叠加原理，粘弹性材料在大变形时的应力一应变关系可以表述如下 4 第1 章绪论 以，f ) = s g ，r ) 6 0 + r 应。一s ) g ，s ) 出， ( 1 - 6 ) 其中e ( f ) 是粘弹性本构模型的张力松弛函数，e 。是在f = 0 时e o ) 的值。指数形式的 松弛函数为 e 仃) = a e 曲r ( 1 7 ) 1 4 3 轴向移动粘弹性梁混沌运动的研究现状 粘弹性结构的大变形和非线性本构关系将导致其数学模型中出现非线性项而成 为非线性系统。非线性系统与线性系统存在若干本质性差异，其中重要区别是非线 性系统可能出现分岔而产生混沌运动。c h e n 5 8 】利用多元l - p 法研究多自由度系统的 周期和概周期振动，求得多自由度系统内部共振问题复杂的解。陈树辉和黄建亮【5 9 】 研究了具有陀螺特性的轴向运动梁的横向非线性振动，以及轴向运动梁在受横向强 迫力作用下的内共振问题。 1 9 9 4 年h w a n g 和p e r k i n s 6 0 】用数值、分析及实验等方法分析了移动梁临界及超 临界情况下的振动特性。1 9 9 9 年l e e 和m o t e 6 1 】及2 0 0 1 年z h u 6 2 】等利用在梁运动边 界上加阻尼的原理对梁振动做控制。在1 9 9 9 年，c h a k r a b o r t y 和m a l l i k 6 3 考虑了具 有轴向等加速和等减速移动梁的非线性振动。1 9 9 9 年z h a n g 和z u 删利用多尺度法研 究了梁的振动响应。 ， 1 9 9 5 年s u i r e 和c e d e r b a u m 6 5 】研究了粘弹性梁的周期和混沌动力学行为，其粘弹 性本构关系为b o l t z m a n n 叠加原理。1 9 9 6 年a r g y r i s 6 6 】采用微分型本构关系研究了 粘弹性梁的混沌运动。1 9 9 8 年树学锋等人【6 7 】在考虑材料的粘性和非线性弹性性质的 基础上，研究了悬臂梁在横向微扰动下的混沌运动，建立了相应的非线性动力方程。 2 0 0 0 年陈立群和程昌钧【58 建立了描述非线性粘弹性梁动力学行为的非线性偏微分 积分方程。2 0 0 0 年p e l l i e a n o 等人【6 9 】利用g a l e r k i n 截断法分析了带有几何非线性项 的稳定运动梁在亚临界及超临界速度时的动态特性。2 0 0 1 年陈立群等人【7 0 】建立了描 述具有几何和物理非线性均匀梁动力学行为的偏微分积分方程，两端简支梁的材料 满足l e a d e r m a n 非线性本构关系，利用相平面图、功率谱和l y a p u n o v 指数等非线 性动力学中的数值方法识别梁的动力学行为，结果表明梁的运动呈现混沌性态。2 0 0 2 年n a y f e h i7 1 】研究对于系统的非线性受迫振动，往往会有跳跃现象的产生。2 0 0 2 年 p e l l i c a n o 和v e s t r o n i 7 2 】用g a l e r k i n 截断法方法及数值方法分析了运动梁超临界状态的 强受迫振动，梁的高速运动引发了梁横向振动的混沌现象。 2 0 0 2 年m a r y n o w s k i 等人 7 3 - 7 4 】并利用数值方法研究了非线性振动临界及超临界 的振动特性及分叉，并研究了超临界系统的吸引域。2 0 0 2 年f u n g 等人 7 5 】在移动梁 的一个边界端加装弹簧质量系统控制梁的横向振动。2 0 0 2 年冯志华和胡海岩【7 6 】建立 北京工业大学丁学硕十学位论文 了包含有耦合的几何及惯性非线性项大范围直线移动梁的力学控制方程。2 0 0 4 年冯 志华和胡海岩【7 7 】针对变速度运动柔性梁，建立了相应的非线性动力学方程。2 0 0 5 年 杨晓东和傅景礼【78 】研究了g a l e r k i n 截断方法在轴向运动梁的应用。李晓东和陈立群【7 9 】 在2 0 0 5 年研究了两端固定轴向运动粘弹性梁的横向振动问题。2 0 0 5 年杨晓东和陈立 群【8 0 】研究了带有小脉动的轴向移动粘弹性梁的分又及混沌现象。利用数值方法分别 分析了几种运动脉动频率时，梁随轴向运动脉动幅值，平均速度、变张力及粘弹性系 数等几个参数变化时的运动分叉行为。利用l y a p u n o v 指数识别了系统的动力学行为， 区分准周期振动和混沌运动。 1 4 4 轴向移动粘弹性梁参数振动的研究现状 实际工程中许多系统的张紧力和轴向移动速度是随时间改变的。由于运动方程 中出现随时间变化的系数项，导致了参数激励和系统稳定性问题。这种振动称为参 数振动。由于轴向移动系统的参数振动会使其具有独特的振动特性，因此人们对这 类问题进行了大量研究，取得了许多的研究成果。梁是由粘弹性材料构成的，其本构 关系是非线性的。梁在轴向运动时，将会产生很大的横向振动，移动梁中的张力呈现 出周期性的变化。因此在梁系统中必需考虑非线性因素的影响，而且是一个时变的非 线性系统，呈现出分叉和混沌现象。由于需要考虑粘弹性材料的非线性特性，以及内 阻尼系数、外阻尼系数和变化轴向力的影响，因此粘弹性移动梁系统的动力学建模和 非线性动力学分析是很复杂的。 p a s i n 引】用g a l e r l d n 方法研究了轴向速度变化对梁的稳定性的影响。o z 等人【8 2 】 将多尺度法直接应用于偏微分方程，研究了刚度为小量时加速运动梁的稳定性。o z 和p a k d e m i r l ic s 3 , 8 4 j 利用多尺度法分别导出了两端铰支及两端固支变速运动梁的稳定 边界。这些工作中，没有考虑能量耗散因素。阻尼因素的建模有着重要意义 8 5 8 6 ，粘 弹性模型是引入阻尼因素的有效方法。杨晓东和陈立群 8 7 3 用多尺度法研究轴向速度 变化对梁的稳定性的影响。冯志华等【8 8 j 研究了内共振条件下直线运动梁的动力稳定 性。陈树辉【8 9 】研究了轴向运动非线性振动内共振问题。轴向变速移动弹性梁的动态 稳定性已有大量研究9 0 9 5 1 。1 9 9 6 年t h e o d o r e t 9 6 】等人利用l y a p u n o v 方法分析系统的 稳定性。1 9 9 6 年r e n s h a w 和m o t e 9 7 】研究了系统在临界值附近解的稳定性情况。 2 0 0 1 年s e y r a n i a n 和k l i e m 【9 8 】研究了稳定边界的分岔问题。2 0 0 1 年p e l l i c a n o 9 9 】 等用实验方法研究了带有偏心轮的传送带的稳定性问题。2 0 0 4 年c h e n m o 】用二阶 g a l e r k i n 方法分别讨论了速度小扰动时两端铰支及两端固支轴向运动梁的共振稳定 性问题，并研究了各种参数，如轴向速度、梁刚度及粘弹性阻尼等对共振失稳区域 的影响。2 0 0 5 年杨晓东和陈立群【l0 1 】研究粘弹性轴向加速运动梁横向振动的稳定性。 6 第1 章绪论 2 0 0 5 年杨晓东和陈立群1 0 2 1 研究速度变化的轴向移动弹性梁在亚谐波共振及组合共 振范围内的参数振动的稳定性，分析了粘弹性阻尼，速度和预紧张力对失稳区域的影 响。 1 5 本文的主要研究内容 1 5 1 课题来源 本课题来源于来源于国家杰出青年科学基金项目( 1 0 4 2 5 2 0 9 ) ，海外青年学者合作 研究基金项目( 1 0 3 2 8 2 0 4 ) ，国家自然科学基金项目( 1 0 3 7 2 0 0 8 ) ，北京市自然科学基金 项目( 3 0 3 2 0 0 6 ) 。 1 5 2 本文主要解决的问题 对于轴向移动梁系统的研究已经从线性动力学问题转向非线性动力学问题，从 考虑简单的模型到考虑复杂的模型，从弹性材料到粘弹性材料。对非线性动力学特性 的研究需要解决以下几个问题。 1 建立轴向移动粘弹性梁的非线性动力学模型。 2 同时考虑线性外阻尼、材料内阻尼因素以及变张力，用广义h a m i l t o n 原理建 立轴向移动粘弹性梁平面非线性运动方程，粘弹性本构关系采用积分型本构关系。 3 综合利用多尺度方法和g a l e r k i n 离散法将轴向移动粘弹性梁的偏微分方程简 化成为常微分方程。 4 利用m a t l a b 程序编写r u n g e k u t t a 算法，对轴向移动粘弹性梁在不同内共振 情形下的平均方程进行数值模拟，得到了系统在不同参数下的混沌运动的波形图和 相位图，数值模拟结果证实了轴向运动粘弹性梁存在周期及混沌运动。 1 5 3 本文的研究内容 第l 章是绪论，在本章中概述了问题的工程背景，综述了轴向移动梁横向振动 及基于g a l e r k i n 截断的粘弹性结构动力学的研究进展。首先从非线性振动方面的研 究总结了轴向运动梁横向振动的一些研究成果，然后从粘弹性结构的混沌运动方面 概述了该领域的研究成果。 在第2 章中，运用广义h a m i l t o n 原理建立轴向移动粘弹性梁的平面非线性运动 方程，粘弹性的本构关系用积分型模型描述，积分型本构模型由b o l t z m a n n 叠加原 理导出。同时考虑线性外阻尼、材料内阻尼因素以及变张力，用广义h a m i l t o n 原理 一7 一 北京工业大学工学硕士学位论文 得出了轴向移动粘弹性梁的平面非线性运动方程，这丰富了单纯考虑材料内阻尼因 素的动力学分析。 第3 章为轴向运动粘弹性梁在l ：2 内共振情形下的动力学方程分析。综合利用多 尺度方法和g a l e r k i n 离散法得到系统横向振动在l ：2 内共振情形下的平均方程。利用 数值模拟方法研究了轴向移动粘弹性梁系统的混沌运动，得到了系统在不同参数下 的混沌运动的波形图和相位图，数值模拟结果证实了轴向运动粘弹性梁存在周期及 混沌运动。 第4 章为轴向运动粘弹性梁在1 ：3 内共振情形下的动力学方程分析。综合利用多 尺度方法和g a l e r l d n 离散法得到系统横向振动在1 ：3 内共振情形下的平均方程。利用 数值模拟方法研究了轴向移动粘弹性梁系统的混沌运动，得到了系统在不同参数下 的混沌运动的波形图和相位图，数值模拟结果证实了轴向运动粘弹性梁存在周期及 混沌运动。 第5 章为轴向运动粘弹性梁在1 ：4 内共振情形下的动力学方程分析。综合利用多 尺度方法和g a l e r k i n 离散法得到系统横向振动在1 ：4 内共振情形下的平均方程。得到 了系轴向运动粘弹性梁不同内共振情形下的平均方程有很大差异，因此，轴向运动 粘弹性梁在不同内共振情形下的非线性动力学特性也有很大的差异。利用数值模拟 方法对轴向移动粘弹性粱在1 ：4 内共振情形下的平均方程进行分析，只发现概周期运 动，并没有发现周期和混沌运动。 最后在结束语中，对全文进行了总结，提出了可能存在的问题和进一步的研究 方向。 8 第2 章轴向移动粘弹性梁的非线性动力学方程 第2 章轴向移动粘弹性梁的非线性动力学方程 本章首先对轴向移动粘弹性梁建立动力学模型，然后利用广义h a m i l t o n 原理建立 轴向移动粘弹性梁面内横向振动的运动方程，最后对非线性动力学方程进行无量纲 化处理，得到了无量纲化后的轴向移动粘弹性梁的非线性控制方程。 2 1 前言 一些重要的工程元件，如动力传送带、磁带、纸带、带锯、空中缆车索道、高 楼升降机缆绳、单索架空索道、输流管道等在多种工程系统中都有着广泛的应用， 同属一维连续体。这些轴向移动连续体在工程中都有着广泛的应用，并且表现出复 杂的非线性动力学行为，因而轴向移动连续体横向振动的研究有着重要的理论和实 际意义。 目前研究轴向移动连续体的优秀文献有许多，但是，研究轴向移动粘弹性弦线 的文献较多，而研究轴向移动粘弹性梁的文献较少。由于轴向移动连续体在运动过 程中具有抗弯刚度，可以承受轴向拉力或压力，静平衡位形可能是直线或曲线，因 此其动力学模型可以简化成为具有粘弹性特性的轴向移动梁模型来分析。对于轴向 移动粘弹性梁和弦线的研究中，应用微分型本构关系建立非线性动力学方程的文献 较多，而应用积分型本构关系建立非线性动力学方程的文献较少。大多数的研究成 果仅考虑粘弹性材料的内阻尼，而忽略了轴向移动连续体的线性外阻尼。丰富了单 纯考虑材料内阻尼因素的动力学分析。 轴向移动粘弹性梁的力学模型有着广泛的工程应用背景，在本章里，我们考虑 线性外阻尼和材料内阻尼等因素，利用积分型本构关系，运用广义h 锄i l t o n 【8 7 】原理 建立轴向移动粘弹性梁的匀速、变张力情况下的平面非线性运动方程，并对非线性 动力学方程进行无量纲化，得到轴向移动粘弹性梁面内横向振动的运动控制方程， 为后续各章的非线性动力学分析打下基础。 2 2 积分型本构关系描述 对于轴向移动粘弹性梁和弦线的研究中，应用微分型本构关系建立非线性动力 学方程的文献较多，而应用积分型本构关系建立非线性动力学方程的文献较少。积 分型本构关系是描述粘弹性物质的另一种理想模型。与微分型相比较，积分型本构 关系能更好地描述材料的记忆性能和物体受载后的影响过程。因此应用更为广泛。 积分型本构关系由b o l t z m a n n 叠加原理导出，利用b o l t z m a n n 叠加原理，粘弹性物 一9 一 北京工业大学t 学硕七学位论文 质大变形的应力应变关系可以表述如下： a 0 ，f ) = s g ，f 归。+ i 应o s ) g ，5 拯， ( 2 1 ) ，0 其中e ( f ) 是粘弹性本构关系的张力松弛函数，e 。是在t = 0 时e o ) 的值。指数形式的 松弛函数e ( f ) = b ( e 1 一1 ) 。 本论文将采用积分型本构关系建立轴向移动粘弹性梁的运动方程。 2 3 运用广义h a m i l t o n 原理建立非线性动力学方程 在对于轴向移动粘弹性系统非线性动力学方程的建立，有许多优秀的文献，在 下面的这些文献中均对轴向运动的粘弹性带和梁系统的非线性动力学方程的建立有 研究。2 0 0 5 年z h a n g 和y a o0 0 4 研究了参数激励粘弹性传动带的多脉冲混沌运动。 2 0 0 7 年c h e n 和z h a n g1 1 0 5 利用h a m i l t o n 原理建立粘弹性传动带非线性振动的模型。 2 0 0 4 年c h e n 等人0 0 6 研究了有轴向加速度粘弹性梁的动力学稳定性。y a n g 和 c h e n 1 0 7 2 0 0 5 年研究了有轴向加速度粘弹性梁的混沌与分岔运动。c h e n 和 y a n g 1 0 8 2 0 0 5 年研究了有脉冲速度轴向运动粘弹性梁的响应问题。 下面运用广义h a m i l t o n 原理建立轴向移动粘弹性梁平面内非线性动力学方程。 首先建立轴向移动粘弹性梁的动力学模型，再应用积分型本构关系建立系统的平面 内的动力学方程，最后，对偏微分积分的动力学方程进行无量纲化处理，得到轴向 移动粘弹性梁常微分的运动控制方程。 2 3 1 动力学模型 在粘弹性梁的系统模型中选取研究对象为两个支撑间的长为l 的一段梁，如图 2 1 所示。粘弹性梁由于在运动过程中考虑弯曲刚度，两端简支，可以承受拉力。在 分析过程中，采用两个坐标系，一个是直角固定坐标系，一个是相对坐标系，固定 在发生变形前的粘弹性梁上。在相对坐标系中利用“( x ，f ) 和w ( x ，f ) 分别表示粘弹性梁 沿着石和y 方向的位移。考虑粘弹性梁两端简支，以速度c 轴向运动的梁，其长度为 ，密度为p ，截面积为a ，其弹性模量为e 。，面积二次距，松弛函数e ( f t ) ，外 阻尼系数，其中轴向张力p = p o + 只c o s q t 。根据轴向运动梁示意图采用积分型的 粘弹性本构关系，同时考虑外阻尼和粘弹性内阻尼项，建立系统的非线性动力学方 程。 假设变形前垂直于粘弹性梁轴线的横截面在变形后仍垂直于粘弹性梁的轴线， 所以忽略转动惯量和剪切变形。在粘弹性梁上取一微段办，如图2 2 所示，首先分析 1 0 第2 章轴向移动粘弹性