（机械设计及理论专业论文）非线性动力系统的多极限环分叉及规范形的研究.pdf

摘要 摘要 近年来，国际范围内对动力学、振动与控制的研究非常活跃，非线性动力学 和振动主动控制是当前公认的两个研究热点，而利用非线性动力学理论解决振动 主动控制问题则是该研究领域的一枝奇葩。 本文旨在发展和完善最简规范形的进一步化简及多极限环分叉的理论和方 法，研究了国际著名的非线性动力系统专家b a i d e r 和s a n d e r s 关于 b o g d a i l o v t a k e n s 规范形的公开问题，并对最简规范形的唯一性、十二次非线性 系统的最简规范形进行了研究；本文还研究了著名的h i l b e r t 第1 6 问题的第二部 分内容，研究了高次非线性动力系统多极限环的存在性以及极限环的个数及其相 对位置关系；研究了规范形及多极限环分叉理论在机械系统方面的应用，给出了 参数激励和外激励下一般类型的非线性机械系统及变刚度主动电磁轴承非线性 系统的平均方程以及多极限环分叉和复眼构型，并给出精确的参数控制。 本文研究内容主要有以下几方面： ( 1 ) 综述了近2 0 年来国内外非线性动力学规范形理论及多极限环分叉的研 究进展、研究现状、取得的成果及研究方法；说明了非线性动力学的研究中必须 解决的几个问题；探讨了理论结果在机械工程问题中的应用；指出了存在的问题 及发展趋势。 ( 2 ) 概述了规范形理论常用方法及最简规范形的唯一性的研究。着重介绍了 作者与王铎教授等人合作在b o g d a n o v r i 酞e n s 规范形的进一步化简等问题的研究 中取得的成果，在非代数数的条件下，解决了b a i d e r 和s a i l d e r s 关于b o g d a l l o v t a k e n s 唯一规范形的一个公开问题。 ( 3 ) 首次得到十二次非线性动力系统最简规范形的系数及一般形式。用李括 号与带参数的变换相结合的方法，得到了截取到1 2 次项的b o g d a n o v 1 酞e n s 最 简规范形的全部系数，并给出了多种可能情形下最简规范形的一般形式。这一结 果，包含了在所查阅文献中全部相关的研究成果。特别值得说明的是，在计算机 条件许可的情况下，这一方法可得到任意次最简规范形的一般形式及其对应于原 系统的全部系数。 北京工业丈学工学博士学位论文 ( 4 ) 研究了一类具有z ，等变对称性质的5 次扰动平面h a m i l t o n 向量场，发 现系统在2 组精确的参数控制条件下分别存在2 0 和2 3 个极限环，并给出它们之 间相对位置的不同构型。 ( 5 ) 研究了参数激励下非线性系统平均方程的多极限环分叉，该系统可以表 示船舶在横浪或纵向波作用下的横摇运动和柔性悬臂梁在轴向载荷作用下的振 动问题。发现系统在2 组精确的参数控制条件下分别存在1 4 和1 5 个极限环，并 给出它们之间相对位置的不同构型。本文还讨论了系统在单扰动下的多极限环分 叉，得到2 l 和2 3 个极限环及其分布构型。 ( 6 ) 研究了变刚度主动电磁轴承系统的非线性动力学模型，发现系统在8 组 精确的参数控制条件下分别存在1 7 个，1 9 个，1 9 个，2 0 个，2 1 个，2 1 个，2 2 个，2 3 个极限环，并给出它们之间相对位置的不同构型。本文还进一步讨论了 系统在一般扰动情形下的多极限环分叉的情况，得到2 8 个极限环及其分布构型。 目前对h i l b e n 第1 6 问题的第二部分内容，关于5 次平面非线性动力系统极限环 个数及其分布的研究成果中，最多发现存在2 5 个极限环，本文首次得到至少存 在2 8 个极限环的结论。 本文所给出的非线性动力系统最简规范形的一般形式以及规范形系数的计 算给工程界化简规范形以及非线性动力系统分叉与混沌的研究带来了极大的方 便。由于非线性系统在不同的扰动条件下，可能会存在不同的定性结构，奇点的 类型可能发生变化，奇点附近轨线的定性结构和拓扑结构也会受到影响，处理不 当可能使非线性系统的动力学特性发生突变，甚至产生灾难性的重大事故。因此 需要利用非线性动力学理论对其动力学机理进行非线性研究和理论分析，从而进 行有效控制。这研究结果对机械振动等相应的控制问题具有重要的理论指导意 义。 本文所取得的创新成果主要有以下三方面： ( 1 ) 首次得到十二次非线性动力系统最筒规范形的全部系数及一般形式。用 李括号与带参数的变换相结合的方法，首次得到截取到1 2 次项的 b o g d a n o v t a k e n s 最简规范形的全部系数，并给出了多种可能情形下最简规范形 的一般形式。这一结果，包含了所查阅文献中所有相关的研究成果。特别值得说 明的是，在计算机条件许可的情况下，这一方法可得到任意次最简规范形的一般 形式及其对应于原系统的全部系数。 i i 摘要 ( 2 ) 首次将非线性系统的多极限环分叉理论应用于两个具体的机械工程模 型。研究了在参数激励和外激励下一般类型的非线性机械系统，该系统可以表示 船舶在横浪或纵向波作用下的横摇运动和柔性悬臂梁在轴向载荷作用下的振动 问题；本文还研究了变剐度主动电磁轴承系统的非线性动力学模型。发现并给出 了系统在不同参数控制条件下极限环个数及其分布构型。本文首次给出了系统在 不同扰动条件下多极限环分叉情况的对比。 ( 3 ) 著名的h i l b e r t 第1 6 问题的第二部分是研究多项式向量场所能产生的极 限环的最大个数及其分布构型，对于平面多项式系统，h i l b e r t 第1 6 问题的研究 仍然是当今非线性动力学中最基本和最富于挑战性的问题之一。迄今为止，关于 5 次平面非线性动力系统极限环个数及其分布的研究成果中。最多发现存在2 5 个极限环。本文对五次平面非线性动力系统首次得到至少存在2 8 个极限环的结 论，并给出了其分布构型。 最后，给出了结论与展望，概述了本文所获得的主要研究成果和刨新点，并 指出进一步研究的方向。 关键词非线性动力学；最简规范形；多极限环分叉；多重李括号；受扰h a l n i l 协n 向量场 i i i 北京工业大学工学博士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，r e s e a r c ho nt 1 1 ed y n a i n i c s ，v i b m t i o n 柚dc o n 仃o li sv e r ya c t i v e w o r l d m d e n o n l i n e a rd y n a m i c sa n dv i b r a t i o na c t i v ec o n h d la r c g e n e f a j l y a c k n o 、v l e d g e da st h eh o ta r e a so ft h er e s e a r c hw o r k ，a i l dt b en o n l i n e a rd 弘姗i c s t h e o r yi sd e e m e da sag r e a ta p p r o a c hi ns o l v i n gt t l ev i b r a t i o na c t i v ec o n n d lp r o b l e m s t h em a i na i mo ft h i sd i s s e r a t i o ni st od e v e l o pa i l di m p r o v et h em e o r i e sa n d m e m o d sf o rs m d y i n g 如r t h e rs i m p l m c a t i o no fn o n a lf o r m sa n dn 【em u l t i p l el i m i t c y c l e sb i f h r c a t i o n s ，a no p e nd i 街c u hp r o b l e ma b o u tn l eb o g d a n o v - 1 1 a k e n ss i m p l e s t n o r n l a lf b 船so fm e 铀o u sn o n l i n e a rd ”a m i cs y s t e me x p e r t sb a i d e ra i l ds a n d e f si s i n v e s t i g a t e d t h eu n i q u e n e s so f 也es i m p l e s tn o r m a lf 西m sa n d 也es i m p l e s tn o m a l f o r n l so fn o n i i n c a rs y s t e m su pt o 1 2 “d e g r e ea r ea l s oi n v e s t i g a t e d u t i l i z j n gt t l e b i l r c a t i o nm e o r yo fp l 柚a rd y n 蹦i c a ls y s t e ma n dt h em e t h o do fd e t e c t i o n 血n c t i o n ， t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l e1 瑚i t c y c l e sa f l dm en u m b e r sa 1 1 dr c l a t i v ep o s i t i o no ft l l e l i m i tc y c l e so f 廿1 el l i g h - d e g r e en o n l i i l e a rd y n a m i c a ls y s t e mo fa r ec o n c e r n e d t h r o u g h t h er c s e a r c ho na p p l i c a t i o no f n o h n a lf b 肌sa n dt h eb i f c a t i o nt t l e o r yo f t h em u l t i p l e l i m i tc y c l e so nm e c h a l l i c a ls y s t e m s ，m ea v e r a g e de q u a t i o n s ，t h eb i f h r c 砒j o n so ft h e m u l t i p l e 1 i m i t c y c l e sa n d t 1 1 e c o n f i g u m t i o n so fc o m p o u n de y e so fn 0 1 1 l i n e a r m e c l a n i c 以s y s t e m s1 1 i l d e r c o m b i n e dp a r a m e t r i c a la 1 1 de x t e m a ie x c i t a t i o n sa i l d r o t o 卜a c t i v em a g n e t i c b e a r i n g sn o 王l l i n e a rs y s t e m s a r eo b t a i n e dt h ea c c u r a t e c o m r o l i i t l gp a m m e t e r sa r ea l s og i v e n t h em 旬o rw o r ko f t h i sd i s s e n a t i o nm a i n l y 盯ca sf o l l o w s ： ( 1 ) r e s e a r c hd e v e l o p m e m ，a c i l i e v e m e n t s ，m e t l l o d so f d o m e s t i ca n di n t e m a t i o l l a l n o r r n a lf o r m sa n d 龇b i a c a t i o nt b 叫yo ft h em u l t i p l el i m i tc y c l e si nt h ep a s tt w o d e c a d e sa r es u m m a r i z e d ；s e v e r a lp r o b l e m sw h i c hm u s tb es e t n e di nt h es t u d yo fm e n o n l i n e a rd y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i ca r ed e f i n e d ；t h e 印p i i c a t i o no fr e s e a r c hr e s l l l t si n t l l e o r yi nt h em e c h a n i c a le n g i n e e r i n gp m b l e m si sd i s c u s s e da i l de x i s t i n gp r o b l e m s 趾d d e v e l o p m e n tn n d sa i ep r e s e m e d ( 2 ) t h eb a s i cm e m o d sf o rc o m p u t a t i o no f n o 珊a lf o 瑚sa l l dt h es i m p l e s tn o m a l f o n n sa r es u m m a r i z e d t h ea c h i e v e m e mo nm ef l l n h e r a b b r c v i a t i o no f b o g d a l l o v _ 1 酞e n sn o 珊f b m l si si n t m d u c e d n l el h l s o l v e dp r o b l e mi nap a p e ro f b a i d e ra 1 1 ds a 玎d e r sf o r t h eu n j q u en o 蛐a lf o 珊o f b 0 9 d a i l o v t h k e n si ss o i v e du n d e ra a b s l l t a c i v e r yg e n e r a lc o n d i t i o n ( 3 ) t h ec o e 瓶c i e m sa i l dm eg e n e m lf o m so f n o 珊a lf o r n l su pt o1 2o r d e r sa r e o b t a i n e df o rm ef i r s tt i m e c o m b i i l i n gm et e c h m q u eo fl i eb r a c k e t sa n d 也e 协m s f o 姗a t i o nw i t l lt h ep a r a m 曲e r s ，w ec o m p u l en l ec o e 壤c i e n t so fn o m a lf o m l sf o r m eb o g d a n o v t 酞e n ss i n g u l a r i t i e sa n d 百v et h es i m p l e s tn o n n a lf 0 珊b ys e t t m gt h e p a r 锄e t e r ss u i t a b l yo u rr e s u l t sa g r c e 晰ms o m et 1 1 e o r e t i c a lr e s u l t su pt on l ef i n 妇 o r d e r s i nt h ec o m p u t e rc o n d m o np e r n l i s s i o ns i t i l a t i o n ，恤i sm e m o dm a yo b t a i nt l l e g e n e r a lf o r i i lo f 疔e eo r d e rn o r i i l a lf o r n la n di t sc o 玎e s p o n d sc o e 街c i e n tt o 妇嘶g i 蹦 s y s t c m ( 4 ) az 2 e q u i v a r i a n tp e 船b e dp o l y n o m i a lh 锄i i t o n i a ns y s t e mo fd e g r e e5i s c o n s i d e r e d 2 0a n d2 3l i m i tc y c k sa r eo b t a i n e du n d e rt w od i h e r e mc o n t r o lc o n d i t i o n s a n dt b ec o n f i g u r a t i o n so f c o m p o u n de y e sa r ea l s oo b t a i n e d ( 5 ) ap a r 锄e t r i c a l l y a n de x t e n l a l l ye x c i t e dm e c h a n i c a l s y s t e mw h i c hm a y r e p r e s e n tt h er o l l i n gm o t i o no fas h i pi nt l l er e g u l a rb e a ms e a sa n dm el o n g i t u d i n a l w a v e so rt 1 1 em o t i o no fan e x i b l eb e 锄w i t hs i n 9 1 em o d e 吼d e ra x i a le x c i t a t i o ni s c o n s i d e r e d 1 4a 1 1 d1 5i i m i tc y c l e su n d e rt 、0d i 腩r e n tc o n t r o lc o n d i t i o n sa r eo b t a i d a n dt l l ec o n f i g u 洲o n so fc o m p o u n de y e sa r ea l s oo b t a i n e d w ea l s oc o n s i d e ra n o i l l i n e a rs y s t e mu n d e ro n ep e n l l r b e dc o n d i 虹o n ，a i l do b t a i n2 1a n d2 3l i m i tc y c l e s u n d e r t w od i 腑r e n tc o n 仃o lc o n d i t i o n s t h ec o n f i g u m t i o n so fc o m p o u n de ”sa r ea l s o o b t a i n e d ( 6 ) 廿1 en o i l l i n e a rd ”锄i cm o d e lo fm a g n e t i cb e a r i n g ss y s t e mi sc o n s i d e f e d a n d 1 7 ，1 9 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 l ，2 2a i l d2 3i i m i tc y c l e sa r eo b t a i n e dl l l l d e re i g h td i 髓r e n tc o r l 血u l c o n d i ：t i o n sa n d 也ec o 血g 嘣晡o n so fc o m p o u n de y e sa r ea l s oo b t a i n e d t l l ee x a c t c o n n d lp a r a m e t c r sa r eg i v e n w b “s oc o n s i d e rm es y s t e mu n d e rm ec o l l l i n o m y p e r t w b e dc o n d i t i o n ，a n do b t a i n2 8l i m i tc y c l e s t h ec o n f i g i l r a t i o no fc o m p o u n de y e s i sa l s oo b t a i n e d 1 1 1 eg e n e r a lf o mo fs i m p l e s tn o m a lf b 珊sa i l dt h ec o e 艏c i e mc o m p u t a t i o nb r i n g e n o m o u sc o n v e n i e mt oe n g i n e e r i n ga sw e l la sr e s e a r c ho nm en o n 1 i n e a rd v n a m i c s y s t e mb i a t i o na n dt h ec h a o so fm en 0 1 1 1 i n e a rd y n a m i cs y s t e m s w ec a i lo b t a i n d i 虢r e n tq l l a l i t a t i v es n l l c t l l r eu 1 1 d e rd i 舔r e n tp e m b e dc o n d i t i o n so ft h cn o n l i c a r s y s t e m t h et y p eo fs i n g u i a rp o i n t sm a yv a r ya i l dt h eo r b i t sq u a l “a t i v es 仃u c t u r e 卸d t o p 0 1 0 9 ya m u n ds i n g u l a rp o i n t sm a yb ea 疗e c t e d t h ed y n a m i c a lc h a r a c t e l i s t i co f n o n l i n c a rs y s t e mc a ns u d d e n l yc h a i l g e ，e v e nt 1 1 e c a t a s 加p m cg r e a ta c c i d e mc 锄o c c l l r v 北京工业大学工学博士学位论文 b e c a u s eo fm i s c o n d u c t s s ow en e e dc a r r yo nn o l l l i n e a rr e s e a r c h 觚dm e o r ) ，a n a l y s i s f o r 也ed y n 锄i c a lm e c h a i l i s mb yu s i n gm et l l e o r yo fn o n l i n e a rd y n a m i c s ，f u n ：h e 瑚o r e t l l ee f f b c 小，ec o n t r 0 1c a nb eg i v e n t h i sr e s e a r c hr e s u hh a st h ei m p o r t a i l t t l l e o r y g u i d i n gs 培n 墒c a t l c et 0c o 玎c s p o n d i n gc o n 们l i s s u c si nm e c h a n i c a lv i b f a t i o ns u c ha s n o n l i n e a rd ) ，1 1 a m i c a ls y s t e mu n d e rc o m b i n e dp a r 锄e 砸c a la n de 蚍c m a le x c i t a t i o n sa i l d e l e c 仃o m a g n e t i cb e a r i n gs y s t c me t c t h ei i l n o v a t i v ea c h i e v e m e n t so f t h i sd i s s o r t a t i o nm a i l l l va r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ec o e m c i e n t sa 1 1 dt h eg e n e r a lf o h n so fn o 珊a lf 0 瑚su pt o1 2o r d e r sa r e o b t a i n c df o rt h c 丘r s t t i m e c o m b i n i n gt h et e c mq _ u e o fl i ek a c k e t s 锄d 龇 乜a n s f o m l a t i o n 、v i t ht h ep a r a m e t e r s ，w ec o m p u t et 王l ec o e 街c i e m so fn o l l l l a lf o 衄sf o r t h eb o g d a n o v t a k e n ss i n g u l a m i e sa n dg i v et l l es i m p l e 或n o 珊a lf b 彻b ys e t t i n gt h e p a r 锄e t e r ss l l i t a b iy o u rr e s u l 协a g r e e 丽t 1 1s o m em e o r e t i c a lr e s u l t su pt om ef i n i t e o r d e f s 1 nm ec o m p u t c rc o n d m o np e m l i s s i o ns i t u a t i o n ，t h i sm e t l l o dm a yo b t a i nt t l e g e n e r a lf o 衄o ff h eo r d e rn o m l a lf o h n 瓤l d 如c o r r c s p o n d sc o e m c i e n tt om eo r i g i n a l s y s t e m ( 2 ) t h et i l e o r yo fm u l t i p l el i m “c y c l e sb i f u r c a t i o ni sf i r s ta p p l i e dt ot w oc o n c r e t e m e c h a l l i c a le n g i n e e r i n gm o d e l s ap a r 呦e 打i c a l l ya i l de x t e m a l l ye x c j t e dm e c h 姐i c a l s y s t e mw h i c hm a yr e p r e s e n tt h er o l l i n gm o t i o no fas h i pi nt l l er e g u l a rb e 锄s e a sa i l d t l l ei o n g i t u d i n a lw w e so rt h em o t i o no fan e x i b l eb e 锄、v i 也s 协g l em o d eu n d e ra x i a l e x c i t a t i o n 姐d 也en o n l i n e a rd y n a m i cm o d e lo fm a 掣地t i cb e a m g s s y s t e ma r e c o n s i d e r e d t h em u l t i p l el 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dp o i n to u tt h e 如m l e r r e s e a r c hd i f e c t i o n k e y w o r d ：n o i l l i n e a rd y n 姗i c s ，t h es i m p l e s tn o r m a lf o r n l ，m u l t i p l el i m i tc y c l e s b i 觚a t i o n ，p e r t u r b e dp o l ”o m i a lh 枷i l t o n i a i ls y s t e m v i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名日期：型；2 ，占 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保 签名 应遵守此规定) 导师签名 第1 章绪论 本章综述了非线性动力系统的规范形理论与计算及多极限环分叉的研究历 史、现状、进展及工程应用背景，说明了在非线性动力学的研究中必须解决的几 个问题，探讨了理论结果在机械工程问题中的实际应用价值，指出了理论研究和 实践应用中存在的问题及未来研究的发展趋势。晶后，给出了本论文的主要研究 内容及所获得的创新性成果。 1 1 前言 近十年来，国际范围内对动力学、振动与控制的研究非常活跃。从经典的分 析动力学到与当代信息技术紧密结合的计算动力学、动力学控制，从以探索未知 世界为主的非线性动力学到以工程应用为主的振动测试与控制技术，都获得了许 多重要成果。在众多的研究领域中，非线性动力学和振动主动控制是近年来公认 的两个研究热点【l j 。 就非线性动力学来说，以往，人们力求用线性模型逼近真实系统，简化动力 学分析和设计。然而，这种线性逼近并非总是可行，被忽略的非线性因素在分析 和计算中常会引起无法接受的误差，尤其对于系统的长时间历程动力学问题，即 使略去很微弱的非线性因素，也常常会在分析和计算中出现本质性的错误。特别 是近年来由于复杂工程结构的大型化和柔性化，其非线性动力学特性尤显重要， 处理不当可能使其动力学特性发生突变，产生灾难性的重大事故。人们开始认识 到，只有把握了系统的非线性动力学行为，才能设计、制造出性能优质的系统。 人们还发现，利用非线性动力学规律来改造世界大有可为，因此发明了混沌振动 筛、混沌保密通信技术等。现实的需要迫切要求对非线性动力系统进行深入研究， 利用非线性动力学理论对其动力学机理进行理论分析，从而进行有效控制。值得 一提的是，近代数学和计算机技术极大地推动了非线性动力学的发展。 非线性动力学是研究非线性力学系统各种运动状态的定量和定性规律以及 运动模式和演化行为的科学。在非线性动力学的研究中，国内外研究者一直试图 寻找普适于非线性理论的通用方法。尽管迄今为止还投有得到理想的结果，但是 寻找普适于非线性理论的通用方法。尽管迄今为止还没有得到理想的结果，但是 北京工业大学工学博士学位论文 人们已经总结出了许多行之有效的方法。这些方法大致可以分为以下两类。 ( 1 ) 定性方法( 或几何方法) 。这种方法是从非线性系统的动力学方程入手， 研究系统在状态空间的动力学行为，通常不直接求解非线性动力系统。 ( 2 ) 定量方法。这种方法细分为近似解析法和数值法。近似解析法包括平均 法、k b m 法、多尺度法、谐波平衡法等等：数值法包括边值法、点映射法、胞 映射法等。 在研究各种复杂的非线性动力学问题时，通常综合运用定性方法与定量方 法，二者相互补充，缺一不可。 在非线性动力学分析中，一般首先从自然科学以及工程问题中提炼出相应的 非线性动力学模型，建立动力学方程( 偏微分方程、常微分方程或代数微分方程) ， 然后利用一些方法( 平均法、k b m 法、多尺度法等) 求解该模型，得到系统的平 均方程。接下来采用数值方法进行非线性动力学分析，如果平均方程过于复杂， 就需要对其进一步化简。 非线性动力系统常用微分方程进行描述，对微分方程进行化简往往是对非线 性动力系统进行定性研究和理论分析的前提。规范形( n o 衄a lf o m l 理论是研究 非线性动力系统简化的主要工具，规范形的计算也是研究向量场分叉现象的重要 手段之一。研究规范形的进一步化简和唯一规范形是近十余年来的前沿课题。由 p o i n c a r e 提出和发展的规范形理论( 我们称之为传统的规范形理论) 为非线性动 力系统在奇点附近的化简提供了系统的方法，它的基本思想是经过一系列光滑的 菲线性变换把非线性动力系统在奇点附近简化为尽可能简单的形式，其实质是消 去起次要作用的非线性项，同时，变换前后的非线性系统保持拓扑等价，因此， 规范形理论是非线性动力学中的重要研究方法，规范形理论的研究对于分叉和混 沌的研究具有重要的理论意义和深远影响。自p o i n c a r e 以来，规范形的理论不断 发展，已经得到了许多丰硕的研究成果，在非线性动力系统、常微分方程的定性 理论、向量场的分叉理论中起到十分重要的作用。但是由于其方法的运算量极大， 并且理论发展也不尽完善，该理论在提出后很长时间以来并未得到人们的重视。 随着计算机的发展和在研究非线性动力学行为时其他方法凸显出越来越多的局 限性，规范形方法又引起了人们研究兴趣，并开始在已有成果的基础上对其进行 更加深入的研究。最新研究发现，传统的规范形理论不一定能给出最简的规范形， 而且传统规范形中的系数一般也不是由原方程唯一确定的。这不仅使规范形的应 第l 章鳍论 用受到限制，而且由此得到的规范形也不能用于微分方程的分类。因此，研究最 简规范形不仅是理论研究的迫切要求，而且有重要的应用价值。 在机械应用方面，非线性动力学和分叉的许多问题都是研究非线性动力系统 多极限环的存在性、极限环的个数及其相对位最关系。关于极限环的研究是一个 既有趣又困难的课题。著名的h i l b e n 第1 6 问题的第二部分就是研究多项式向量 场所能产生的极限环的最大个数h ( n ) 以及它们之间的相对位置关系。1 9 9 8 年 s m a l e 在他的“下世纪的数学问题”中再一次提到h i l b e r t 第1 6 问题，并把它作为 本世纪尚待解决的数学问题之一。对于平面多项式系统，h i l b e n 第1 6 问题的研 究仍然是当今非线性微分方程中最基本和最富于挑战性的问题之一。迄今为止， 对于全体h 次多项式系统而言，其极限环个数的一致上界如何估计( 哪怕是有限 的) ，即使对盯= 2 这种最简单的非线性情形，仍是一个未知的问题。分叉、混沌 的研究成为非线性动力学理论新的研究热点，是国内外现代非线性动力学研究的 前沿课题。 1 2 规范形理论与计算的研究现状 在非线性动力系统规范形理论的发展过程中，国际著名的科学家如a m o l d 、 h o l m e s 、c h o w 、e l p 王l i c k 、c u s l l i l l a n 、s a l l d e r s 、b a i d e r 、u s h i k i 等人都在规范形 的理论与计算的研究方面做出了重要贡献【2 - 9 】。人们已经发展了多种计算规范形 的方法，主要有：矩阵表示法【3 】、共轭算子法f 5 】、李代数表示法 6 】、良o w 多重李 括号法和摄动计算方法。 h o l m e s 等人1 3 j 在1 9 8 3 年发展了矩阵表示法，该方法的特点是在方法和概念上 简单明了，易于为人们所掌握，但是在处理高阶规范形时，需要反复计算高阶矩 阵和代数方程组，计算量极大。e l p 嫩c k 等人【5 1 在1 9 8 7 年提出了共轭算子法，该方 法弥补了矩阵表示法的一些不足，计算工作量也相对减少一些，是应用范围十分 广泛的方法，但需要比较高深的数学工具。c u s l m a l l 和s a n d e r s 【6 1 提出了李代数表 示法，这种方法理论上严谨且兼有共轭算子法的优点，但是该方法需要高深的李 代数知识，不易为人们所掌握，因而不像前两种方法一样在力学中得到广泛的应 用。w 髓g 【lo j 对这三种方法作了很好的全面论述。y u 和z h a i l g 1 3 l 等人提出的符号 语言算法计算过程简单易行，已经在实际问题中得到一些应用。 北京工业大学工学博士学位论文 自2 0 世纪8 0 年代以来，b a i d e r 和s a n d e r s 等人研究非线性动力系统规范形 的专家们发现传统的规范形理论所给出的规范形并非最简形式，还可能进一步简 化，传统规范形的进一步简化以及唯一规范形的研究成为这个方向的前沿课题。 1 9 8 4 年u s h i l 【i 1 8 】创造了用多个李括号计算规范形的方法，最早得到了有限阶给定 向量场的最简规范形1 4 1 。近年来许多学者相继开始研究最简规范形的理论，其中 最有影响的研究方法有b a i d e r 和s a n d e r s 9 1 通过给出多项式的新次数定义计算规 范形的方法以及k o k u b u ，o k a 和w a n g 【1 l 】在1 9 9 6 年提出的综合运用多项式线性次 数定义和多个李括号研究规范形唯一性的方法。 1 9 9 2 年，b a i d e r 和s a n d e r s 【9 1 给出了关于非线性动力系统b o g d a n o v 儆e n s 唯一规范形的研究成果，提出了多项式次数的新定义，并按这种新的定义提出研 究规范形的新方法，部分地解决了著名的b o g d a n o v t a k e n s 最简规范形的唯一性。 如果把传统的规范形表示为： 量= y _ = j = 口，x + 6 ，x 。y 批2，= 】 设p = m i n f l l 口f + l o ) ，v = m i n ，l i6 ，o ) ，对“ 2 v 以及 2 v 并v ( m o d ( p + 2 ) ) = o 的情形，得到了关于= 1 ，v = 3 时的唯一规范形。 c h e n 等人刚在2 0 0 2 年研究了幂零平面向量场的规范形的进一步化筒，解决了关 于b o 酣a n o v - t a k c n s 规范形遗留的另一个公开问题。p e n g 和w a n g 【2 2 】给出了 阶规范形的充分条件，定义了一种新的次数函数并利用它证明了由h o p f 型奇点 产生的一阶规范形的唯一性。 此外，c h e n 和s u n 【2 副提出了求解非线性动力系统规范形的复内积平均法，与 传统的平均法相比，其理论分析过程具有更加简单的形式，易于编程实现。韩景龙 和朱德懋【2 4 1 研究了v 阶般的非线性动力系统，构造出一种逐项确定其规范形 系数的新方法，并有效地用于高阶和高维计算问题。v a nd e rb e e k 【2 5 】和h a l l 和 z h u 【2 6 】计算了非线性系统的近似解，得到了高维系统的规范形系数。j e z e q u e l 和 l 锄甜q u e 【2 h 得到了d u 衔n g 方程的规范形系数，研究了他们的周期解和拓扑性