（系统工程专业论文）基于两种交通流模型的混沌现象实验研究.pdf

中文摘要 混沌搭建了确定论和概率论之间的桥梁，使我们可以从更为接近实际的角度 去认识世界。对交通流混沌现象的研究能够促进交通流理论的新发展和一些交通 疑难问题的解决。基于交通流模型的混沌现象研究可以避开实际交通流的各种复 杂因素，通过参数的组合变化可以较容易的获得不同的交通流状态，便于从理论 上归纳出规律性的结果，为进一步研究实际交通流和仿真交通流提供理论基础。 本文对速度优先模型( 0 v m ) 和常用的一种非线性跟驰模型一皮埃莱模型这两 种交通流模型中混沌现象的运动规律进行了全面细致的研究。首先利用模型的动 力学方程生成关于车辆间车头间距的时间序列，然后利用相空间重构技术和几种 混沌判别方法对交通流的运动状态进行判别，并分析两种理论模型产生的交通流 系统的运动状态随各参变量的变化而变化的规律，最后比较两个模型的研究结 果，总结出一些共同的结论，分析差异产生的原因。 研究发现，两个模型中都存在着混沌现象，但是混沌一般不会是系统的最终 运动状态，而只是系统转向周期状态( 拟周期状态) 或撞车状态的一个过渡状态。 通过对模型不同参变量组合下交通流运动状态的研究得出了一些对总结交通流 混沌产生条件非常有用的结论。结合以上两点，如果能找到混沌转变成撞车和周 期运动的数值条件，并找出可控因素，就可以得出混沌控制方法。另外，通过两 个模型的对比分析发现o v m 模型更能反映实际交通情况，更适合用来做交通流混 沌的研究，而皮埃莱模型在某些方面存在着不足。 关键词：交通流，混沌，时间序列，速度优先模型，皮埃莱模型 a b s t r a c t t h ec h a o sl i k eab r i d g ec o n n e c t st h ed e t e r m i n i s ma n dp r o b a b i l i t y , m a k e su sc a n k n o wt h ew o r l di nam o r ep r a c t i c a lv i e w t h es t u d yo fc h a o t i cp h e n o m e n ai nt r a f f i c f l o wc a l lp r o m o t et h ed e v e l o p m e n to ft r a f f i cf l o wt h e o r ya n ds o l v es o m eh a m p r o b l e m si nt h et r a f f i cf i e l d t h es t u d yo f c h a o t i cp h e n o m e n ab a s e do nt h e 倘cf l o w m o d e l s ，c a l la v o i ds o m ek i n d so fc o m p l i c a t e df a c t o r sa n dg e tt r a f f i cf l o wt h a tw e w a n t e de a s i l yt h r o u g hc h a n g i n gt h ep a r a m e t e rc o m b i n a t i o n s t h e nw ec a l lg e ts o m e c o n c l u s i o n sf r o mt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t st og u i d et h es t u d yo fc h a o si ns i m u l a t i o n t r a 伍cf l o wa n d p r a c t i c a lt r a f 壬i cf l o w i nt h i sp a p e r , c h a o t i cp h e n o m e n ai nt w ot r a f f i cf l o wm o d e l sa l es t u d i e dr o u n d l y t h et w om o d e l sa r eo p t i m a lv e l o c i t ym o d e l ( o v m ) a n daf r e q u e n t l yu s e dn o n l i n e a r t r a f f i cf l o wm o d e ln a m e db i e r l e ym o d e l f i r s t l y , t h et r a f f i cf l o wt i m es e r i e sa r e g e n e r a t e df r o mt h ed y n a m i ce q u a t i o n s t h e nw en s ep h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u ea n ds o m ek i n d so fc h a o si d e n t i f i c a t i o nm e t h o d st oi d e n t i f yt h es t a t e so f t r a f f i cf l o w sa n dc o n c l u d et h ec h a n g i n gr u l e so ft h et r a f f i cf l o ws t a t e sw i t ht h e c h a n g i n go fp a r a m e t e r s a tl a s t , w ec o m p a r et h er e s e a r c hr e s u l t so ft h et w om o d e l s , s b mu pt h ec o m m o n r u l e s ，a n da n a l y z et h er e a s o n sw h yt h ed i f f e r e n c e sg e n e r a t e d t h r o u g ht h er e s e a r c hw ed i s c o v e r e dt h a tc h a o t i cp h e n o m c n ae x i s t si nt h eb o t h m o d e l s b u tc h a o ss t a t ei sn o tt h eu l t i m a t es t a t eo ft h es y s t e m , a n do n l yi sa t r a n s i t i o n a ls t a t eb e f o r et h es y s t e ms t a t ec h a n g e st ot h ep e r i o d i cs t a t e ( q u a s i p e r i o d i c s t a t e ) o rc o l l i s i o ns t a t e w h i l es t u d y i n gt h ei n f l u e n c eo f t h ep a r a m e t e rc h a n g e so nt h e t r a f f i cf l o ws t a t e s ，w es u m m e du ps o m ec o n c l u s i o n st h a ti su s e f u lt of r e dt h e g e n e r a t i o nc o n d i t i o n so fc h a o t i cp h e n o m e n ai nt r d 伍cf l o w t h u si fw ec a nf i n dt h e n u m e r i c a lc o n d i t i o n s ，t h a tt h es y s t e ms t a t ec h a n g e sf r o mc h a o ss t a t et op e r i o d i cs t a t e o rc o l l i s i o ns t a t e ，a n dt h ec o n t r o l l a b l ef a c t o r s ，t h e nt h em e t h o d so fc h a o sc o n t r o li n t r a f f i cf l o ww i l lb ef o u n d i na d d i t i o n w ea l s of o u n dt h a tt h eo vm o d e li sc l o s e rt 0 t h er e a ls i t u a t i o no ft r a 街cf l o w , a n di sm o r es u i t a b l et 0d ot h er e s e a r c ho fc h a o si n t v d 伍cf l o w t h e r ea r es o m es h o r t a g e si n t h eb i e r l e ym o d e l k e y w o r d s ：t r a f f i cf l o w , c h a o s ，t i m es e r i e s ，o p t i m a lv e l o c i t ym o d e l ， b i e r l e ym o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨注盘茔或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：未l b 签字日期：知衫年，月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权基连盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：枣k导师签名：1 迁i 司芡j 签字日期：2 坩f 年， 月 7 日签字日期：渺年，月，7 日 第一章交通流混沌研究概述 第一章交通流混沌研究概述 交通运输是一个复杂的大系统，随着经济发展及城市之间社会交往与经济 贸易日渐频繁，交通难已成为困扰城市发展的普遍问题。因此亟待发展有效 的交通流理论来指导这一问题的解决。另外，由于近年来电子计算机技术和 自动控制技术等迅猛发展，使得智能运输系统( i t s ) 和计算机模拟技术广泛应 用于交通运输研究领域，从而交通流理论涉及的范围和内容也随之不断发展 和变化【1 j 。因此，对交通流理论进行扩展和深入的研究将能在很大程度上促进 我国交通运输业的发展。本文将从混沌方面对交通流理论进行扩展研究。为 了大家更深入的了解交通流理论和交通流混沌，我们先了解一下传统交通流 理论的研究内容，然后讲述一下从混沌角度研究交通流的意义，最后再说明 一下交通流混沌的研究现状。 i i 交通流理论概述 交通流理论是运用物理和数学的定律来描述交通特性的- - i i 边缘学科。它 的应用能更好的解析交通现象及其本质，使道路发挥最大功效。作为交通工 程学的基础理论，多年来交通流理论广泛应用于运输工程的许多研究领域， 如交通规划、交通控制、道路与交通工程设施设计等方面。 交通流理论始于2 0 世纪3 0 年代，随着概率论以及交通流量和车速的第一批 模型应用，文献 2 ，3 分别论述了p o s s i o n 分布应用于交通的可能性并提供了 数值例题。2 0 世纪5 0 年代，随着汽车工业的迅速发展和汽车的逐渐普及，交 通量、交通事故和交通阻塞骤增，交通流中各车辆间独立性越来越小，交通 现象的随机性变弱，原有的概率论方法显然已不适用，迫使理论研究者寻找 新的模型。于是，相继出现了车辆跟驰理论、流体动力学模拟理论和车辆排 队理论。1 9 5 9 年1 2 月在美国密执安州底特律市举行了首届国际交通流理论学 术研讨会，成为较系统的现代交通流理论诞生重要标志。从此，交通流理论 的研究进入了一个迅速发展时期。下面简要介绍一下交通流理论的主要内容 4 - 6 。 第一章交通流混沌研究概述 1 1 1 交通流统计分布特t 眭 在设计新的交通设施或确定新的交通管理方案时，需要预测交通流的某些 具体特性。交通车辆的到达在某种程度上具有随机性，描述它可采用概率论 中的离散型分布( 描述可数事件的出现率) 以及连续性分布( 描述事件间时间 间隙的出现率) 。在一定时间间隔内到达的车辆数或在一定路段上分布的车辆 数是随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布，例如泊松 分布( 适用于车辆密度不大，车辆间相互影响甚微的随机车流) 、二项分布( 适 用于车辆比较拥挤，自由行驶机会不多的车流) 以及负二项分布( 适用于到达 量波动大的车流) 等。在同一条车道上的车流，前后两车的车头间距或时间间 隔的概率分布通常服从连续性分布。如负指数分布( 用于描述有充分超车机会 的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，常与计数的泊松分布相 对应) 、移位负指数分布( 用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车 流量低的车流的车头时距分布) 以及通用连续型分布( 爱尔朗分布、皮尔逊m 型 分布、对数正态分布、复合指数分布和韦布尔分布等) 。 1 1 2 车辆跟驰理论 车辆跟驰理论是运用动力学方法，将交通流处理为分散的粒子组成，从微 观角度探究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶 状态，并用数学模式表达而加以分析阐明的一种理论。此理论只研究非自由 行驶状态下车队的特性，具有制约性、延迟性和传递性等特点。所以交通信 息沿车队向后传递不是平滑连续而是像脉冲一样间断连续的。跟驰模型是一 种刺激一反应问题，可简单理解为反应= 敏感度刺激。跟驰模型由于能很 好的描述交通流的微观特性，一直是理论交通流混沌现象研究的重点。 1 1 3 流体动力学模拟理论 流体动力学模拟理论是运用动力学方法，从宏观角度采用连续介质模式来 描述交通状态。在其状态方程中包括时间和空间变量，并考虑了可压缩性。 较之车辆跟驰模型，连续介质模型可以更好地了解车流的集体行为，以动态 的方法分析交通流状况，从而为设计有效的交通控制策略、模拟以及估计道 路几何改造的效果等交通工程问题提供依据。 1 1 4 排队理论 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待队列( 即排队) 的 第一章交通流混沌研究概述 现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论。排队论起 源于2 0 世纪初，1 9 0 5 年丹麦电话工程师e r l a n g 最早在电话自动交换机设计上 应用了排队论，使得电话机既满足通话要求又不致设线过多。在交通工程中， 对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等交通设施 的设计与管理诸方面得到广泛应用。 1 1 5 交通流理论研究新发展 随着现代科学技术和方法的日趋完善，模拟技术、神经网络及模糊控制 等研究手段也逐渐被应用于现代交通流理论中来。其特点是所采用的模型和 方法不追求严格意义上的数学推导和明确的物理意义，而更重视模型或方法 对真实交通流的拟合效果。这类模型主要用于对复杂交通流现象的模拟、解 释和预测，而使用传统交通流理论要达到这些目的就显得比较困难【7 】。 1 ) 跟驰模型的新发展 随着交通科技进步，智能交通运输系统i t s 、驾驶员信息诱导系统和车辆 自动巡航系统a i c c s 的开发建立，传统的跟驰模型已不能完全符合当前的需 求，文献 8 。9 分别针对i t s 和a i c c s 适时开发了新的模型，文献 1 0 3 提出了基 于可变跟驰时间和随机因素的车辆跟驰模型。跟驰模型作为i t s 模拟论证与实 际运营的基础理论，再次成为研究热点，其研究呈现出内容的细致化、深入 化，手段和方法的多样化以及应用的专门化。 2 ) 交通流宏观模型与微观模型的统一传统理论中，车辆跟驰理论( 微 观模型) 与流体动力学模拟理论( 宏观模型) 是相互独立的，建立二者统一的模 型是交通流动力分析模型的发展方向。美国通用汽车动力实验室g m 研究组用 数学的方法由微观跟驰模型推导出宏观交通流模型，在交通流宏观与微观模 型之间架起了沟通的桥梁。文献 1 1 首次从严格理论意义上将交通流宏观模 型与微观模型统一起来，为从理论上研究宏观交通流模型奠定了基础，也为 进一步研究动态交通流模型提供了有效途径。 3 ) 实时动态交通流分配与交通系统仿真对交通流进行实时管理是目 前城市道路网交通管理中遇到的非常现实的问题。传统的实时交通流管理方 法均存在不同的局限，不能适应现时迅猛增长的城市交通流量和日益复杂的 城市道路网络系统。而目前i t s 技术的研制开发和人工智能在各行业的广泛应 用，为实时动态交通流分配理论的提出和实现提供了良好的内、外部环境。最 近，美国公路交通部门研制开发了一种实时路线决策支持系统。此系统采用 了基于实例推理系统最近，美国公路交通部门研制开发了一种实时路线决策 支持系统。此系统采用了基于实例推理系统( c b r ) 和随时搜索算法的人工智能 第一章交通流混沌研究概述 ( a 1 ) 方法。用于实际交通管理后可及时将交通信息采集系统反馈情报提供给 学习模块，以判断决策成功与否。同时，通过对交通系统的仿真研究，可以 得到交通流状态变量随时间与空间的变化分布规律及其与交通控制变量问的 关系，从而实现对现有和未来系统的行为进行再现或预先把握。到目前为止， 国内外已推出了几百种交通仿真软件，比较流行的有p a r n d i c s 、a i m s u n 2 等。 1 2 交通流混沌研究的意义 简单来说，混沌就是“确定性系统的内在随机性”。混沌和定态，周期态、 拟周期态一样，是自然界中事物的一种有序存在状态。人们对混沌的研究已 经有了1 0 0 多年的历史，但直到1 9 6 3 年美国气象学家e l o r e n z 在大气科学 杂志发表“确定性的非周期流”以后才引起理论界的重视。在混沌理论出现 之前，理论界存在着决定论和非确定论两种完全不同的观点，动力学规律和 统计规律似乎有着不可调和的矛盾，使科学方法论陷入苦恼的悖论之中。而 对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光。混沌理论描述的系统，其 动力学方程是完全确定的，然而这种系统的长期演化行为存在着随机性。在 这里，确定性的动力学规律描述的系统出现了统计性结果，使矛盾的两个方 面得到了辩证的统一。其实，完全的决定论和纯粹的概率都是抽象的极限情 况，真正的自然界介于二者之间。对混沌现象的研究，帮助我们从更为接近 实际的一种角度认识世界，使我们从确定论和概率论的根深蒂固的人为对立 中解脱出来，解释了许多原来无法解释的科学现象 1 2 - 1 3 】。 动力学和统计学的矛盾在交通流理论中也有所体现。从上面介绍的交通流 理论的发展过程中可以发现，从最初的利用统计规律，到使用确定性微观模 型和带有统计性质的宏观模型的研究，确定性和随机性似乎永远要分开来讨 论。将混沌引入交通流理论，就有可能统一各种交通流理论，使人们对交通 流规律的认识更加接近交通流实际，从而促进交通流理论的空前发展，使之 前不能解决的交通难题得到解决。由此，我们不难看出混沌理论在交通流理 论中有着广阔的应用前景。 从学术意义上来讲，运用混沌理论可以对交通流进行深层次的剖析，从崭 新的角度解释各种交通流现象的形成和转化，为完善和提高交通流理论提供 了新的手段和途径，从而建立能够验证、解释、判别和利用混沌现象的理论 方法。 从应用角度来讲，尽管交通流混沌的研究还处于萌芽阶段，但交通流所体 现出的各种非线性动力学行为，以及国内外前期的研究成果都表明混沌理论 第一章交通流混沌研究概述 在交通系统中有着良好的应用前景。很明显的一个应用前景体现在：道路交 通管理的目的是希望交通流尽可能持续的处于有序通畅状态。既然交通流总 是呈现简单有序一混沌一无序交替出现的运动形式，那么如果能够及时的判 别出交通流的混沌，就可能及时地采用交通控制措施，按照混沌控制的原理 使交通流系统从混沌向简单有序运动变化，这样就可以减少甚至在某些条件 下避免交通流无序状态的出现。因此，交通流混沌的判别和交通流混沌控制 的理论方法研究将为交通控制提供新的理论基础和实用方法，这是交通流混 沌研究更有实用价值的方面。 作为整个交通流混沌研究( 自然科学基金项目) 的一部分，交通流模型混 沌研究有其独特的价值。在下一节我们将看到已有的交通流混沌研究文献中， 绝大部分都是关于交通流模型研究的。任何现象的存在都是有原因的，研究 理论交通流混沌的好处在于它可以避开实际交通流的各种复杂因素，通过参 数的变化比较容易获得希望得到的交通流状态，便于从理论上归纳出规律性 的结果，为进一步研究实际交通流和仿真交通流提供理论基础。另外，交通 流模型毕竟是对实际交通流的抽象和简化，其限制条件比较苛刻，追求严格 意义上的理论推导，常与实际车辆行为相差甚远。这些问题在很大程度上影 响了实际应用效果。鉴于此，现代交通流理论理应更倾向于重视模型或方法 对真实交通流的拟合效果。既然交通流中存在混沌现象这一事实在一些学者 的研究中得到验证，因此对交通流模型中混沌现象的研究也可以从另一个侧 面反映出该模型的合理性，反映出该模型对实际交通流拟和的准确程度。 1 3 当前交通流混沌研究现状 关于交通流中的混沌现象，已有人进行了研究，并取得了初步的成果1 1 4 。j 。 据资料显示，1 9 8 9 年由j e d i s b r o 和m f r a m e 最早把混沌引入交通领域u “。 用混沌理论对交通问题的深入研究是近几年的事，其中d s d e n d r i n o s ， p s a d d i s o n 和d j l o w 等人作了较深入的研究。然而，与混沌理论在其它领 域的研究相比，交通领域的研究仍显不足。从收集到的关于交通流混沌研究 的文献来看，所用的研究方式大都从选择某一交通流模型开始【l 孓2 0 l ，讨论在 不同的参数情况下交通流出现的混沌现象。判断混沌所用的数据，有的是通 过方程迭代的方式产生交通流的时间序列1 6 加i ，有的是根据实测数据口卜2 3 1 ， 有的通过系统仿真获得数据”，2 4 1 。文献 1 9 则是直接利用混沌产生的条件得 出混沌控制方法( 理论性) 。文献 2 0 研究了跟驰模型中混沌运动的转化过程。 文献 2 5 3 对当前交通流的混沌研究进行了总结和展望。下面详细说明交通流 第一章交通流混沌研究概述 混沌研究的情况： 文献 1 5 对交通流的混沌特性进行定性分析，而后利用g r e e n h i e l d s 模型： 矗心圳强器黼 和g r e e n b e r g 模型： 矗，o + r ，= 嘞害嬲 ( 1 2 ) 通过系统仿真采集数据，并借助李雅普诺夫特征指数定量讨论跟驰车辆的 混沌特性，得出交通流存在混沌。 文献 1 6 对传统跟驰模型进行了修改： 五。o ) = a 垒! “：；：! 三警：瓣+ a ( 一- ( f r ) 一o r ) 一乜) 3 疗= 1 ，n ( 传统项)( 添加项) ( 1 3 ) 1 和m 是正整数，a 和b 是正实数，见是车辆n 与前车期望保持的距离，n 是最 后车辆的编号。显然，当“。( f f ) 一( f f ) 见时，第n 辆车的加速度有增大的 趋势。反之，则有减小的趋势。如果在第一辆车上施加一个正弦干扰，后随 车辆车间距随时间就会出现震荡，越靠后车辆的震荡越剧烈。文中通过g p 算 法计算每辆车吸引子的分维数。计算表明，后行车辆的混沌现象比前行车辆 要明显。该文献还分析了参数变化对车辆运动状态的影响。 文献 1 7 对两维交通流进行研究。所用模型： 吒( ，+ 1 ) = 1 一( 1 一矽 ( 岛吩_ 1 ( ，) + 以( 旷匕( ，) 一1 ) ) = 珂 q ( ，+ 1 ) = 1 一( 1 一力( p 。心_ 1 ( t ) + p y ( v y - 1 0 ) 一1 ) ) = e ( 1 4 ) 其中，以和以分别是向东和向北行驶车辆的密度，吃和如分别是相应的 两个方向行驶车辆的平均速度。c 是立体交叉路口的时间比率( a f r a c t i o no f o v e r p a s ss i t e s ) 。 该模型考虑了交通灯( 由参数c 反映) 、车辆不对称分配以及交通事故( 由 第一章交通流混沌研究概述 n 和风反映) 的影响。 由t = 揣得出j a c o b i a n 矩阵。经矩阵运算，可得j a c o b i a n 矩阵特 征式： 矛以c 卜哮+ 争一o ( 1 - 5 ) 有 = o 和是= ( 1 - c ) e + 刍 吃 如果满足k | l ，则系统出现混沌 显然，当心和哆趋近零时，满足k l 1 ，交通流出现拥挤。还可知，改变参 数c 可改变交通流的状态，进而可控制混沌。 系统混沌的存在是系统因子相互关联的结果，关键因子的变化可改变系统 的存在状态，由周期运动到混沌，或由混沌到周期运动，而交通控制就是使交 通流由混沌走向有序。 文献 1 9 研究单道行驶的车流由于时间延迟和车流密度的变化所引起的 混沌现象。所用的模型是延迟微分方程： 掣-a(1一船卜瓦z2(-ia而v(t-r)dt a x 一杞啪_ f ) 一m ，( t 2 一f ) 72 ( ( r f ) 一d ) 、“、1”7 ” 栉= 1 ，2 ，n ( 1 - 6 ) 这里，是车的坐标，k 是其速度，a 和k 是敏感参数，d 是车流间隔的最 短距离，是许可速度，t 是安全间隙时间，醚= r + d 是安全间距， 瓴= + 1 + 靠= i 一，f 是延迟时间，r - r f , r ) 是随机噪声， z ( x ) = ；譬 研究过程中所选用的参数条件：k = 2 5 m s ，t = 2 ( s ) ，d = 5 ( m ) ，a = 3 ( m s 2 ) ， k = 2 ( s 一1 ) 。n 1 1 0 0 ，巧= o 边界条件为：h + l = 而+ 厶v + 1 = h ，其中，l 为道路长 度。而且，考虑到条件： 扫。 爹丑p + v o r i 矿9 丽石 其中，p = 三为车流密度。 ( 1 - 7 ) 第一章交通流混沌研究概述 研究结果表明。高密度和低密度条件下，系统处于稳定状态；时间延迟和 中间密度条件下，系统出现混沌。且发现混沌吸引子呈多分支结构 ( m u l t i f r a c t a l ) 。文献用功率谱和关联维数来分析响应的时间序列。功率 谱的指数衰减和关联维数非整数，也表明系统存在混沌。 文献 2 1 介绍一种基于关联维数的混沌判据，并将该方法应用于1 5 分钟和 5 分钟采样周期的实测交通流时间序列中，计算结果表明交通序列中含有混 沌。判断步骤是：计算原始数据的关联维数d o r i g ，再计算替代数据的分维数 d s u r r ，计算s 刊d o ，f g d s u r r i d s u r r 。若s 1 6 9 ，则系统存在混沌。 文献 2 2 先对某路口的统计数据进行分析。指出其可能存在非周期性运 动。然后基于g m 模型： 1 ，一+ l o + a t ) = a i r 一( f ) 一v n l o ) 】( 1 8 ) ( 其中，让，是车流t 时刻的加速度，缸驾驶员反映时间，口是车的灵敏参 数，吒，味。是前后车速度) 利用运行车速和交通量通行能力曲线，说明交通流 存在混沌的可能性。它属于早期一般性研究，对于交通流的混沌研究参考性不 大。 文献 2 3 对s a n a n t o n i o 高速道路某1 1 公里长的路段，在高峰期进行实地 采样。采样内容为车速、车流量和车辆占有率( o c c u p a n c y ) 。对采样数据进 行相关分析。利用非线性时间序列分析技术( an o n l i n e a rt i m es e r i e s a n a l y s i st e c h n i q u e ) 对采样数据进行分析，并对未来交通流进行了预测， 得出交通流具有潜在的无序性的结论。计算的李雅普洛夫指数表明，交通流 存在着混沌。 第= 章研究原理与计算方法简介 第二章研究原理与计算方法简介 本文主要研究速度优先模型( o p t i m a lv e l o c i t ym o d e l ，o v m ) 模型和皮 埃莱模型( b i e r l e ym o d e l ) 的交通流混沌特性，以o v m 模型为主。研究思路是 利用模型的方程解微分方程生成不同参变量组合情况下的时间序列，之后计 算时间序列的功率谱，关联维数和l y a p u n o v 指数等特征量，最后进行对比总 结出两种模型产生的理论交通流中混沌特性。本章主要介绍一下研究理论交 通流混沌特性所用到的一些概念、理论和计算方法。 2 1 混沌的基本概念 2 1 1 混沌定义 对于混沌很难给出确切的定义，一般认为混沌就是指在确定性系统中出现 的一种貌似无规则的，类似随机的现象。对于确定性的非线性系统中出现的 具有内在随机性的解称为混沌解。这种解在短期内可以预测而在长期内不能 预测，与确定解和随机解都不同( 随机解在短期内也不可预测) 。混沌不是 简单的无序而是没有明显的周期和对称，而是具有丰富的内部层次的有序结 构，是非线性系统中除平衡态、周期解、拟周期解之外的另一种存在形式。 关于混沌的数学意义上的定义又很多种，尽管逻辑上并不一定等价，但本 质上都是一样的。下面给出一种比较直观的定义【2 6 】： 定义2 1 1 设v 是一个紧度量空间，连续映射f ：v v 如果满足下列三个 条件： 1 ) 对初值敏感依赖：存在j 0 ，对于任意的占 0 和任意x e v ，在x 的s 邻 域内存在y 和自然数n ，使得j u 。( ，x ，。( y ) ) 5 。 2 ) 拓扑传递性：对于v 上的任意一对开集x ，y ，存在k o ，使得，”( 功n l ，囝。 3 ) 厂的周期点集在v 中稠密。 对于初始值的敏感依赖性，意味着无论x ，y 离得多么近，在，的作用之下 两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x 附近都可以找到离它很 近，在，的作用下最终分道扬镳的点y 。 拓扑传递性意味着任何一点的邻域在的作用下可遍历整个度量空间v ， 这说明厂不可能细分或不能分解为两个在厂下相互影响的子系统。 第二章研究原理与计算方法简介 上述两条一般来说是随机系统的特征，但第三条却又表明系统就有很强的 确定性和规律性，绝非一片混乱，形似紊乱而实则有序。 2 1 2 混沌研究中常用的一些基本概念 本节介绍几个在混沌研究中经常用的几个概念。”。 定义2 1 2 相空间：在连续动力系统中，用一组一阶微分方程描述运动， 以状态变量( 或状态向量) 为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个 状态用相空间的一个点来表示，通过该点有唯一的一条积分曲线。 定义2 1 3 吸引子：是指相空间的一个点集s ( 或一个子空间) 。对s 邻域 的几乎任意一点，当t - - h m 时所有轨线均趋于s 。 定义2 1 3 奇怪吸引子：又称混沌吸引子，指相空间中具有分数维的吸引 子的集合。这种吸引子由永不重复自身的一系列点组成，并且无论如何也不 表现出任何周期性。混沌轨道就运行在该吸引集中。 定义2 1 4 分叉和分叉点：又称分岔或分支。指在某个参数或某组参数发 生变化时，长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值( 或这组数值) 称为分叉点，在参数点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性，因 此系统在分叉点处是结构不稳定的。 2 2 重构相空间 实际和实验室里通常得到的是有关系统的离散的观测数据，要研究其非线 性动力学特性，就需要在高维相空间中恢复其吸引子。我们知道，对于任何 一个系统来讲，系统任一分量的演化是由与之相互作用的其他分量决定的。 因此，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。这样，就可以 从某一分量的时间序列中提取和恢复出原来系统的规律。p a c k a r d 等于1 9 8 0 提 出用原始系统的某变量的延迟坐标来重构相空间的想法。t a k e n s 证明了对于 一个时间序列，如果能够适当地选择嵌入维数m 和时间延迟f ，重构相空间 】，( ) = 【x ( ) ，x ( t i + f ) ，】她+ 2 f ) ，x ( + ( 所一1 ) 0 】， i = l ，2 ， ( 2 1 ) 就可以在拓扑等价的意义下恢复吸引子的动力学特性，证明详见文献 2 7 。 虽然本文研究的是交通流模型中的混沌现象，但是当系统的维数较高，即 仿真的车辆很多时，就会使计算变得相当复杂。而对于非线性系统来讲，其 第二章研究原理与计算方法简介 吸引子的维数一般都低于其相空间的维数。因此本文在研究中也采用重构相 空间的方法来进行交通流混沌的研究。 重构相空间最关键的是适当地选取嵌入维m 和时间延迟f 。m 的选取一般 是先计算用g p 算法计算出关联维数，然后再由i n 2 2 d + l 确定嵌入维数。g p 算 法将在下一节的关联维数计算中有详细的介绍。时间延迟的选取一般采用自 相关函数方法。自相关函数法是非常成熟的求时间延迟f 的方法，它主要是提 取序列间的线性相关性。对于离散时间序列五，屯，矗序列 一) 时间跨度 为打的自相关函数为 r x x ) ：告艺7 碱p v ，z 0 ( 2 - 2 ) 固定_ ，作出自相关函数关于时间f 的函数图。根据数值试验结果，当自 相关函数下降到初始值的l 一三时，所得的时间f 就是重构相空间的时间延迟f 。 e 2 3 混沌特征量 吸引子的特征量是刻画吸引子某个方面特征的量，它分为微观和宏观两个 层次。微观层次是指构成奇怪吸引子骨架的不稳定周期数目、种类和它们的 特征值；宏观层次是指对整个吸引子或无穷长轨道平均后得到的特征量，如 l y a p u n o v 指数、维数和熵等。白2 0 世纪8 0 年代中期以来，这两个方面的工作 都形成了一套理论框架和方法，也都发展了从实验数据中提取有关信息的技 术，并且两者都在高维情形下显示了威力。这里只简单介绍一下本文中所用 到的几个宏观特征量，关联维数、l y a p u n o v 指数和k o l m o g o r o v 熵。 2 3 i 关联维数 在实际应用中，判断一个系统的动态行为是否混沌，即是否有混沌吸引子， 一般从两个基本特征上来判断：系统的相空间中的吸引子是否具有自相似结 构的分数维几何体；系统对于初始状态条件是否敏感。如果所研究的吸引子 具有这两个特征，那么我们认为该吸引子是混沌吸引子。本节将主要讨论分 数维，这里先给出了分数维的定义。 定义2 3 1 分数维分数维d 是使系统在伸缩变换下保持不变的不变量， 它度量了系统填充空间的能力，从测度论和对称理论方面刻画了系统的无序性 和复杂性。 第二章研究原理与计算方法简介 在实际中得到广泛应用的是关联维数，记为d 2 ，其定义式为： d 22 协訾 式中占是变换的标度，c ( ) 是关联积分函数，其定义为： c ( s j = 矿1 季h 莩h 口p i 乃一y 小= 嘉孝季口p 一白) 热m 一飘的训2 蒜。 一般人们常用g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 提出的通过计算关联积分从而得 到关联维的方法 1 p g p 算法“”来计算近似分数维。g p 算法是根据嵌入理论和重 构状态空间思想( 将在下面作简单介绍) ，提出了从时间序列直接计算关联 维数n 的算法。 设魄：七= l ，2 ，n ) 为时间序列，将其嵌入到m 维欧氏空间中，得到点 集( 或向量集) d ( m ) ，其元素记为： z 一( 州，f ) 2 ( z 一，x 州) r ) ( 2 5 ) 其中h = 1 ，2 ，n ，- = n 一( 研一1 ) r ，f = k a t 为时间延迟，血为采样间隔，七 为整数。 从虬个点中任意选定一个参考点五，计算其余一1 个点到x t 的距离： 吩= ( 置，叉j ) = 霎 ( x 州，一_ + 打) 2 】；( 2 6 ) 对所有五( f = 1 9 1 9 一) 重复这一过程，得到关联积分函数： “，) 2 南善嘶吲 1h 式中日( ) 为h e a v i s i d e 函数： 踯，= 胨 ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 第二章研究原理与计算方法简介 关联积分表示了在时间序列中点对距离不超过，的点对在所有点对中的比 率，它是一种空间相关性的量度。 对充分小的，关联积分逼近下式： l n q ( ，) 2 l n c d ( m ) l n r ( 2 9 ) 因此r 。中的子集，( 脚) 的关联维数可由下式得到： 荆2 墼掣 陋 当d ( 脚) 不随相空间维数聊增高而改变时就成为时间序列或动力系统吸引 子的关联维数。 d 2 ( 研) = l i md ( m ) j h - - ( 2 1 1 ) 关联维数d 2 可以提供一些有用的系统动态信息。如d 2 = 1 ，系统处于自持 周期振荡；d 2 - - 2 时系统具有两种不可约频率的准周期振荡；当d 2 不是整数或 大于2 时，系统表现出一种对初始条件敏感的混沌振荡。 2 3 2l y a p u n o v 指数 上一节中已经提到，运动对初值条件极为敏感是混沌的基本特征之一。它 指的是两个靠得很近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离， l y a p u n o v 指数就是定量描述这一现象的量，其定义式为： 名2 峨i 丢n - i i n l 掣b 亿 a 表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起指数分离中的指数。 计算l y a p l i n o v 指数的方法很多2 ”，本文采用小数据量法。用小数据量 法求最大l y a p u n o v 指数，基本思路是：首先重构相空间，然后寻找给定轨道 上每个点x j 的最近邻点置，即： a j ( o ) = r a i n l l 一乃1 1 f ，一_ ， p ( 2 - 1 3 ) 其中p 是时间序列的时间窗1 2 1 ，即( 肌一1 ) f ，那么最大l y a p u n o v 指数就可以 通过基本轨道上每个点的最近邻点的平均发散速率估计出来。其估计表达式 为： 第二章研究原理与计算方法简介 拍护上k a t 上m - k 笙j 。l n 筹 其中k 为常数，a t 为采样周期，t ( f ) 是基本轨道上第j 对最近邻点经过i 个离散 时间步长后的距离。由于最大l y a p u n o v 指数的几何意义是量化初始闭轨道的 指数发散和估计系统的总体混沌量，结合( 2 1 3 ) 式的估计式有： d ( i ) 2 q 一，q2 嘭(o)(2-15) 将上式两边取对数得到： i n t ( f ) = i n q + a ( f 出) ( j 。l ，2 7 一，m ) 显然，最大l y a p u n o v 指数大致相当于上面这组直线的斜率。 最小二乘法逼近这组直线而得到，即： 蚋= 去 式( 2 - 1 7 ) 中 表示所有关于j 的平均值。 2 3 3k o l m o g o r o v 熵 ( 2 - 1 6 、 它可以通过 ( 2 1 7 ) k o l m o g o r o v 熵也是刻画动力系统混乱或无序程度的一个重要参量。在不 同类型的动力系统中，k 的值是不同的。在随机系统中，k = 0 0 ；在规则系统 中，k = 0 ；在确定性混沌系统中k 0 。因此通过足的计算可给出系统的粗略 分类。并且k o l m o g o r o v 熵与l y a p u n o v 指数有一定的关系：对于一维系统， k 。 ；对于多维系统，k o l m o g r o v 熵等于所有正的l y a p u n o v 指数的和。因本 文未对k o l m o g r o v 熵进行详细的研究，这里就不多做介绍了。 2 4 混沌判别方法简介 进行交通流混沌的研究，很重要的一部分工作就是系统状态的识别，具体 来说就是辨别系统中是不是出现了混沌。混沌的判别方法有很多，如功率谱 方法，主分量分析法( p c a 分布) ，p o i n c a r e 截面法，l y a p u n o v 指数法局部可 变神经网络法，指数衰减法，替代数据法等。各种方法都有自己的优点和不 足，可视实际情况选择使用。本节只介绍本文中用到的几种方法，其它的方 法请参考文献弘。 第二章研究原理与计算方法简介 2 4 4l y a p u n o v 指数法 关于l y a p u n o v 指数的计算已在上节详细给出。l y a p u n o v 指数作为沿 轨道长期平均的结果，是一种整体特征，其值总是实数。在l y a p u n o v 指数 a o 方向 上轨道迅速分离，长时间行为对初始值敏感，运动呈混沌状态；五= 0 对应于 稳定边界，属于一种临界情况。若系统最大的l y a p u n o v 指数a 0 ，则该系 统一定是混沌的。所以时间序列最大的l y a p u n o v 指数是否大于零可作为系统 中是否存在混沌的一个判据。 2 4 5 功率谱方法 离散时间序列它反映了实际非线性动力系统的运动状态，而吸引子正是 这种状态的归宿，因此吸引子的信息就包含在这一时间序列之中。用功率谱 方法可直接观测到时间序列的混沌运动状态。为得到时间序列的功率谱，需 要对时间序列进行傅立叶变换，这里我们使用c o o l e y 和t u k e y 于1