（系统理论专业论文）l保序算子空间中若干问题的研究.pdf

文献 1 通过大多数算子具有的共性一保序性，在一幂集上，由一般的一保序 算子0 9 引入了一保序算子空间这种空间具有普遍的含义，当适当选取不同的三一保序 算子0 9 时，可导出不同的空间，如一拓扑空间、一闭包空间等在此基础上，本文首 先在三一保序算子空间中引入和研究两种新的序同态其次研究了拓扑生成的三一保序 算子空间的若干性质最后，在三一保序算子空间中定义了国一紧性与c 0 一仿紧性，系统 地讨论了这些概念的若干性质本文的主要研究内容及取得的成果如下： 1 借助于国一连通集4 1 ，在l 一保序算子空间中引入s 一( q ，哆) 一连续序同态、 ( q ，q ) 一半连通序同态和国一半局部连通空间的概念，讨论了这两种序同态与文献 1 中的( q ，哆) 一连续序同态之间的关系；并就s 一( c o l ，o j ：) - 连续序同态给出了国一半局部连 通空间的特征刻画 2 讨论了拓扑生成的一保序算子空间的c o 一分解定理及国一可数性首先，利用 关系n 3 3 定义的截集，给出( r ，眈( ) ) 中任一三一c a 的国一闭包与c 0 一内部的分解表达 式然后，利用这些结果证明了( p ，吼( ) ) 具有某种可数性质( c o f r 6 c h e t 的、国一序列 式的、第一国一可数的、第二国一可数的) 当且仅当( x ，) 具有同样的性质 3 借助于以一国一开覆盖，在三一保序算子空间中定义了国一紧性证明了：缈一紧 集和缈一闭集之交是0 9 一紧的，0 9 一紧性被连续的广义z a d e h 型函数所保持，国一紧性是 一好的推广，t y c h o n o f f 乘积定理成立，c o 一紧的h a u s d o r f f 空间是r e g u l a r 空间此外， 给出了0 9 一紧性的网式刻画 4 基于前面定义的国一紧性，在一保序算子空间中引入了国一一仿紧性证明 了：0 9 一仿紧集和0 9 一闭集之交是c o 一仿紧的，c o 一仿紧性是三一好的推广，0 3 一紧空间与 文一 论一 位一 学一 l 日c 士一 吾 硕一 钉 学一 摞 大一 城一聊一 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t m a n yo p e r a t o r sa r eo fc o m m o np r o p e r t y o r d e r - p r e s e r v i n g b yt h i s ，t h ec o n c e p to f a n l o r d e r - p r e s e r v i n go p e r a t o rs p a c ei si n t r o d u c e di na nl p o w e rs e tpb ym e a n s o fa nl o r d e r - p r e s e r v i n go p e r a t o rc oi n1 11 t h i sk i n do fs p a ：eh a sg e n e r a ls e n s e w h i c hc a ni n d u c ed i f f e r e n ts p a c e s ，s u c ha s 三一t o p o l o g i c a l s p a c e s 、三一c l o s u r es p a c e s ， i fw eg i v ep r o p e r l yd i f f e r e n t 三一o r d e r - p r e s e r v i n go p e r a t o r s0 3 b a s e do nt h e s e ，i nt h i s p a p e r ，f i r s t l y ，w ed e f i n ea n ds t u d yt w on e wn o t i o n so fo r d e rh o m o m o r p h i s mi n 一o r d e r - p r e s e r v i n go p e r a t o rs p a c e s s e c o n d l y ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so ft o p o l o g i c a l g e n e r a t e d 一o r d e r - p r e s e r v i n go p e r a t o rs p a c e s f i n a l l y ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so f c o c o m p a c t n e s sa n dc o p a r a c o m p a c t n e s si n 三一o r d e r - p r e s e r v i n go p e r a t o rs p a c e s ， a n dd i s c u s ss y s t e m a t i c a l l y t h ep r o p e r t i e so ft h e s ec o n c e p t s t h em a j o rc o n t e n t sa n d r e s e a r c hr e s u l t sa r el i s t e da sf o l l o w s ： 1 m a k i n gu s eo fc o - c o n n e c t e ds e t s 【4 】，t h ec o n c e p t so fj 一( q ，哆) 一c o n t i n u o u s o r d e rh o m o m o r p h i s m 、( q ，哆) 一s e m i c o n n e c t e do r d e rh o m o m o r p h i s ma n d 国一s e m i l o c a l l yc o n n e c t e ds p a c e sa r ei n t r o d u c e di n 一o r d e r - p r e s e r v i n g o p e r a t o rs p a c e s i n t e r a c t i o n sb e t w e e nt h e s ec o n c e p t s 、a n d ( c o l ，哆) 一c o n t i n u o u so r d e rh o m o m o r p h i s m d e f i n e di ni lla r ed i s c u s s e d a l s o ，c h a r a c t e r i z a t i o n so fc o - s e m i l o c a l l yc o n n e c t e ds p a c e s i nt e r m so fs 一( q ，哆) 一c o n t i n u o u so r d e rh o m o m o r h i s ma r eo b t a i n e d 2 t h ep r o p e r t i e so ft o p o l o g i c a lg e n e r a t e d l o r d e r - p r e s e r v i n go p e r a t o rs p a c e s a r ed i s c u s s e d ，s u c ha s 国一r e s o l u t i o nt h e o r e ma n d c o - - c o u n t a b i l i t y f i r s t l y ，t h e r e s o l u t i o nt h e o r e m so ft h ec o c l o s u r ea n dt h e 一i n t e r i o ro faf o ra pa r es e tu p i n ( ，q ( ) ) b ym e a n so ft h ec u ts e td e f i n e db yt h er e l a t i o n 一 1 1 3 i t h e n ，b a s e do n t h e s er e s u l t s ，i ti ss h o w n t h a t ( r ，吡( ) ) h a ss o m ep r o p e r t y ( 国一f r 6 c h e t 、c o s e q u e n t i a l 、t h ef i r s t 国一c o u n t a b l e 、t h es e c o n dc o - - c o u n t a b l e ) i fa n do n l yi f ( x ，a ) h a st h es a m ep r o p e r t y 聊城大学硕士学位论文 月| j舌 自从c l c h a n g 引入f u z z y 拓扑空间以来，f u z z y 拓扑空间的理论体系已相当完备， 尤其是连续性方面的研究成果非常丰富为了建立一种具有普遍意义的连续性理论，使 之能把各种常见的连续性理论统一起来，陈水利教授于2 0 0 2 年在文献 1 中通过大多数 算子所具有的共性一保序性，引入了一种具有普遍含义的l f u z z y 保序算子空间，简称 为三一保序算子空间，并在三一保序算子空间中引入和研究了序同态的连续性这种连续 性具有普遍的含义，当适当选取各种不同的三一保序算子c o 时，可导出各种不同的序同 态连续性在此基础上，文献 2 8 分别研究了三一保序算子空间的m o o r e s m i t h 收敛理 论、国一基及其性质、缈一连通性、0 9 一可数性、准国一l i n d e l 6 f 性、一分离性和拓扑 生成的f u z z y 保序算子空间的国一分解定理及c o 一连通性本文是这一系列研究工作的 继续，主要讨论了以下几部分内容： 1 引入了l 一保序算子空间的s - ( c o i ，, 0 2 ) - 连续序同态和( q ，哆) 一半连通序同态等 概念，讨论了这两种序同态与文献 1 中的( c o l ，哆) 一连续序同态之间的关系 2 讨论了拓扑生成的三一保序算子空间的国一分解定理及c o 一可数性 3 引入了三一保序算子空间的c o 一紧性 4 引入了一保序算子空间的0 9 一仿紧性 聊城大学硕士学位论文 第1 章预备知识 在本文中，l 表示f 格，1 与0 分别表示其最大元与最小元1 ，与0 。分别表示p 的 最大元与最小元对口三，f l ( a ) 表示a 的最大极小集，( 口) = ( a ) n m 犯) 对一r ， ( 4 ) 表示a 的最大极小集，+ ( 爿) = p ( a ) n m + ( r ) 记4 。j = 缸工j o ) 口) ， 4 。，= 和x l n 一( z ) 其余未说明的概念和记号均合于文献 1 9 定义1 1 【1 1 设x 为一个非空集合，曲：r 为满足下列条件的算子： ( 1 ) 国( 1 ) = 1 j ；( 2 ) v a ，b 且a b ，有0 4 a ) c o ( b ) ；( 3 ) v p ，有p ( p ) 则称 为l - f u z z y 保序算子，简称为一保序算子如果a = c o ( a 1 ，则称爿为中的国一集记 q = a l xi a = c o ( 9 ，称序对( r ，q ) 为l - f u z z y 保序算子空间，简称为三一保序算子空 间 定义1 2 1 1 设( r ，q ) 为l 一保序算子空间，x a m + ( r ) ，p 如果存在q q 使 芷q 且p 兰q ，则称p 为的一个一远域，记国野( 吒) 为的所有一远域构成的集族 如果a l x r k p c o e ( x ) ，有a 甚p ，则称为a 的一附着点a 的所有国附着点之并 称为a 的( 2 3 一闭包，记作4 ：如果a = 爿二，则称a 为p 中的0 9 一闭集，记6 0 c ( ) 为 ( p ，q ) 中的所有国一闭集构成的集族如果4 为国一闭集，则称a 为0 3 一开集，记 o ( p ) 为( ，q ) 中的所有0 3 一开集构成的集族如果p 为一闭集且k 芷p ，则称p 为 吃的国一闭远域，记( o r 一( 吒) 为吒的所有国一闭远域构成的集族 定理1 1 ( l x ，q ) 为l 一保序算子空间，屹m ( ) ，a p 则 ( 1 ) 若x a 珊( 爿) ，则是4 的c o 一附着点； ( 2 ) 若矗是4 的一附着点，则x c t 龙； ( 3 ) 棚( 爿) 厶 证明只证( 1 ) 若。不是爿的珊附着点，则3 p 珊叩( ) 使a p 这时有q q 使 聊城大学硕士学位论文 甚q _ tp q ，故彳q 由q q 知c o ( a ) q ，从而甚c o ( a ) 定理1 2 设( ，q ) 为l 一保序算子空间，令q 。= 么i 乞= 椰，则( ，q 。) 为三一 保序算子空间，且q 。cq 证明由缈一闭包的定义和定理1 1 ( 3 ) 可得 定理1 3 设( ，q ) 为l 一保序算子空间，吒m + ( ) ，a 则屯是彳的g o 一附着 点当且仅当筏 定义1 3 【1 1 设( 群，q 。) 与( 鹭，q ：) 为一保序算子空间，f ：群专鹾为序同态如果对 进上任一哆一闭集b ，f _ 1 ( b ) 是譬上的q 一闭集，则称厂为( q ，哆) 一连续的 定义1 4 【3 1 设( ，q ) 为三一保序算子空间，c 国o ( ) ，p m + ( 矿) ，孝cc o r 一( 8 ) ( 1 ) 如果( ，q ) 中的每一个c o 一开集都可表示为中的若干成员之并，则称为 ( ，q ) 中的一个c o 一基； ( 2 ) 如果yc6 0 0 ( u ) 中有限个成员之交的全体构成( ，q ) 的一个国一基，则称y 为 ( ，q ) 中的一个国一子基； ( 3 ) 如果v p c o t ( e ) ，s q 孝使p q ，则称告为e 的一个国一远域基 定义1 5 设三是完全分配格，p ，q l 定义l 上的二元关系_ 如下： p _ v a ( 2 2l ，( g v ajs r a ，p r ) 命题1 1 t 1 3 1 a _ b 口f l ( b ) 弓i 理1 1 【1 8 】( 1 ) 口_ b = 以b ； ( 2 ) a b a _ d ； ， ( 3 ) v a l 0 ) ，0 以 引理1 2 l 是完全分配格当且仅当v p 厶p = v g lg p ) 引理1 3设三是完全分配格，以， 包) cl ，则以- v6 f 当且仅当以_ 某包 引理1 4 设以m ( 三) ，b l ，则以w a y b e l o w 0 6 1b 当且仅当以 b 聊城大学硕士学位论文 引理1 5 1 7 】设是完全分配格，地l i ， c l ，则+ ( a q ) = n + ( d f ) 括， 引理1 6 删设厶与l 2 是完全分配格，f ：厶斗l ：，则下列两条等价： ( 1 ) ，保极小集；( 2 ) 厂保任意s u p 与保 定义1 6 口7 1 设l 。和三：是两个f 格，x 与y 是两个非空分明集，p ：石斗y 是分明映 射，q ：l 。专l ：是序同态则由p 、q 按下列方式诱导出一个从矸到e 的函数 厂：耳斗鹾，厂( 4 ) ( y ) = ，yg ( 4 ( x ) ) ，a 群，y y p 【j j = y 则称，为广义z a d c h 型函数，并记为厂= p 9 聊城大学硕士学位论文 第2 章关于三一保序算子空间 2 1 s 一( q ，哆) 一连续性 定义2 1 1 4 1 设( ，q ) 为三一保序算子空间，4 ，b ，c 如果ab = 彳八吃= 0 x ， 则称彳与b 是国一隔离的；如果不存在异于0 x 的国一隔离集彳与b 使c = a vb ，则称c 为国一连通集 引理2 1 1 设( ，q ) 为一保序算子空间，d 则d 是国一连通集当且仅当 ( ，q ) 中不存在国一闭集g ，h 使d 人g o x , dah 0 xd g vh 且d 八g ah = 0 x 引理2 1 2 设( ，q ) 为三一保序算子空间，n ( l x ，q ) 中每个分子屯是国一连通的 定义2 1 2 设( 矸，q 。) 与( 鹾，q ：) 为一保序算子空间，f ：耳j 鹾为序同态 ( i ) 如果对( 鹾，q ：) 中的每一个哆一闭集k 且k 是哆一连通集，f 1 暖) 是( 耳，q 。) 中的q 一闭集，则称厂为s 一( q ，哆) 一连续的； ( i i ) 如果对( 鹾，q ：) 中的每一个哆一闭集k 且k 是哆一连通集，f 1 ( k ) 是( 矸，q 。) 中的q 一闭集且为q 一连通集，则称厂为( q ，呸) 一半连通的 显然，( q ，哆) 一连续序同态是s - ( c o , ，哆) 一连续序同态；( q ，哆) 一半连通序同态是 s - ( c o ，哆) 一连续序同态 注2 1 1 ( 1 ) j 一( c o l ，国2 ) 一连续序同态不必是( c o l ，( 0 2 ) 一半连通序同态； ( 2 ) ( 国。，国：) 一连续序同态不必是( 国。，c o ：) 一半连通序同态； ( 3 ) s 一( q ，0 ) 2 ) 一连续序同态不必是( 国。，国：) 一连续序同态； ( 4 ) ( 国。，：) 一半连通序同态不必是( 缈。，：) 一连续序同态 例2 1 1 设x = 】，= z = x ) ，三= o ，1 ，以，b ，c ，d ，p ，厂) ，如右刚1 2 1 所示其中0 = 1 ，1 = 0 ，a 7 f ，b7 = p ，c7 = d ，d7 = c ，e 7 = 6 ，f a d 与厂 翠9 1 甲即掣铲# o “。 聊城大学硕士学位论义 不可比较，a 与c 不可比较取厂：l r 寸与g ：l x l z 皆为恒等映射现分别定义算子 脚、q 与哆如下： ：l x _ _ ，l x 国c 4 ，= ! 叫”斗p 删= ： ：l z - - ，l z 哪，= 侄 则、q 与哆皆为l 一保序算子令 a o t ，x e ) 0 t h e i s e b o r ，x c ，t 0 t h e r w i s e c o z ，x e ，) 0 t h e t w i s e q = o x , 1 x ，x e ) ，q 1 = o r , 1 y ，x c ，x e ，q 2 = 0 z1 z ，t ， 贝u ( z s ，q ) 、( r ，q ，) 与( ，q ：) 皆为l 一保序算子空间且q 、q ，与q ：分别为x 、y 与z 上的工一余拓扑 ( 1 ) f ：7 ，q 。) 斗( ，购是s 一( q ，c o ) 一连续的，但不是( 国，c o ) 一半连通的 易证，x e 是( p ，q 中的国一闭集且为( - 0 一连通集但厂- 1 ( t ) = x e 不是( l r ，q 。) 中的 q 一连通集事实上，( r ，q 1 ) 中有q 一闭集工。与x 。使x e “0 r ，ta x c 0 r 且 x e k x = 0 r ( 2 ) f ：( ，q 。) 斗( l x ，q ) 是( ，) 一连续的，但不是( q ，国) 一半连通的 ( 3 ) g ：( r ，q ，) 斗( r ，q ：) 是s 一( c o 。，吨) 一连续的，但不是( q ，峨) 一连续的 易证，在( r ，q ：) 中，o z , 1 。，x a ，t 是( 0 2 一闭集且为蛾一连通集，x d 不是：一连通集 但，。1 ( 为) = x d 不是( ，q ，) 中的q 一闭集 ( 4 ) g ：( l x ，q 。) 斗( r ，q 2 ) 是( c 0 1 ，0 9 ：) 一半连通的，但不是( c o 】，脚2 ) 一连续的 易证，o z , 1 ：，x a ，t 是( r ，q ：) 中的q 一连通集，而f 1 ( o 。) = 0 。，f 。( 1 ：) = 1 。， 厂。1 ( x 。) = x 。，厂。( z 。) = x 。也都是( r ，q ，) 中的q 一连通集 定理2 1 1 设( p ，q ) 、( 茸，q 。) 与( 鹭，q ：) 为l 一保序算子空间，f ：斗葺与 聊城大学硕士学位论文 g ：置j 鹭为序同态则 ( 1 ) 若厂是( 国，q ) 一连续的，g 是s - ( c o ，哆) 一连续的，则g 。厂是s - ( c o ，哆) 一连续的； ( 2 ) 若厂是s 一( c o ，o ) 1 ) - 连续的，g 是( q ，哆) 一半连通的，则g 。厂是s - ( c o ，c 0 2 ) 一连续 的 定义2 1 3 设( ，t a ) 为一保序算子空间，厂：一置是满序同态令 q 。= b 耳if 。1 ) 是( ，q ) 中的c o 一闭集) ，则q 。是譬上的l 一余拓扑，( 葺，q 。) 显然 是l 一保序算子空间，故称其为( ，q ) 关于厂的商三一保序算子空间，厂称为商序同态 定理2 1 2 设( ，q ) 、( 葺，q 。) 与( 鹭，q ：) 为一保序算子空间，厂：r 专譬是商序 同态，g ：置专鹭是序同态则g 是s 一( q ，c o ：) - n 续的当且仅当go f 是_ s - ( c o ，哆) 一连续 的 证明必要性显然商序同态厂是( c o ，c o , ) - 连续的，故由定理2 1 1 ( 1 ) 知结论成立 充分性设g 是( 鹭，q ：) 中q 一闭集且为哆一连通集，则( g 。厂) _ 1 ( g ) = 厂1 ( g - 1 ( g ) ) 是 ( ，q ) 中的c o 一闭集故由f 为商序同态知g - i ( g ) 是( 葺，q 。) 中的q 一闭集，从而g 是。 s - ( c o l ，c 0 2 ) - 连续的 定义2 1 4 【5 l 设( ，q ) 为三一保序算子空间，o ycx 令qy = 彳i 】，：a q ) ，其 中彳i 】，表示彳在】，上的限制，则称( ，ql 】，) 为( ，q ) 的子空间 引理2 1 3 【5 1 设( ，ql 】，) 为一保序算子空间( ，q ) 的子空间，则 ( 1 ) 若g 是( ，q ) 中的国一闭集，则gi 】厂是( ，qi 】，) 中的国一闭集； ( 2 ) 若h 是( ，qi 】厂) 中的国一闭集，则存在( ，q ) 中的一闭集g 使gy = h 定理2 1 3 设( 譬，q 。) 与( 鹾，q ：) 为三一保序算子空间，厂：矸寸鹾为序同态则 ( 1 ) 如果厂是s 一( q ，哆) 一连续的，acx ，则f 在4 上的限制fa ：( 彳，q 。la ) j ( 鹾，q ：) 也是s 一( q ，鸱) 一连续的； ( 2 ) 如果x = a 1u4 ，1 a 与1 2 都是( 耳? q ，) 中的c o l 一闭集，且厂ia 1 与f4 都是 ， 7 羲” 聊城大学硕士学位论文 j 一( q ，哆) 一连续的，这里1 j o = 1 ，2 ) 表示l 在x 中的扩张则f 也是j 一( q ，c o o - 连续 的 证明( 1 ) 设曰是( 鹾，q ：) 中的媲一闭集且为鸭一连通集，则f 。1 ( 丑) 是( 耳，q 。) 中的 q 一闭集，故由引理2 1 3 ( 1 ) 知，( ，1 4 ) 。) = f 。1 ( 曰) i a 是( 冒，q 。l 一) 中的q 一闭集从而 ，la 是s 一( q ，o o - 连续的 ( 2 ) 设g 是( 丘，q ：) 中的哆一闭集且为鸭一连通集注意到，当x = 4u 4 时， 厂- 1 ( g ) = ( ，。( g ) 1 4 ) v ( 厂。1 ( g ) 1 4 ) + 由，1 4 是s - ( c o , ，c 0 0 - 连续的及引理2 1 3 ( 2 ) 9 i 1 1 ， ( 耳，q ) 中有q 一闭集h 使f _ 1 ( g ) 1 4 = ( 厂1 4 ) 1 ( g ) = h 1 4 这时( 厂- 1 ( g ) 1 4 ) = ( 日1 4 ) + = 1 j 是( 茸，q ；) 中的q 一闭集同理( 厂1 ( g ) 1 4 ) + 是q 一闭集，故厂1 ( g ) 是q 一闭集， 从而厂是s 一( q ，c o ：) - 连续的 引理2 1 4 【9 1 设，：l l 斗厶是一一的满序同态，则厂1 ：厶斗上1 也是一一的满序同态， 且( ，- 1 ) 一= 厂 定理2 1 4 设( 群，q 。) 与( ，q 。) 为l 一保序算子空间，f ：茸哼鹾为s 一( q ，c o o 一连 续的且一一的满序同态如果( e ，q ：) 是一正空间，则( 譬，q 。) 也是珊一五空间 证明设m + ( 群) ，则厂( _ ) = y 。m + ( e ) 由( e ，q ：) 是o , - r , 空间及引理2 1 2 知，y 。是哆一闭集且为哆一连通集故由厂是s - ( c o 。，吡) 一连续的及引理2 1 4 知， f ( y d = 是q 一闭集，从而( 群，q ，) 是c o 一巧空间 推论2 1 1 设( 耳，q 。) 与( 丘，q ：) 为l 一保序算子空间，f ：耳斗鹾为( q ，c o o 一半连通 的且一一的满序同态如果( 置，q ：) 是一石空间，则( 耳，q 。) 也是甜一写空间 2 2 珊一半局部连通性 定义2 2 1l 一保序算子空间( p ，q ) 被称为一半局部连通的，如果( ，q ) 中有一 聊城大学硕士学位论文 + c o 一闭基使v b f l , b2 善 巧ik , 是( ，q ) 中的国一闭集且为0 ) - - 连通集，丁是有限 指标集) 定理2 2 1 设( 耳，q 。) 与( 鹭，q ：) 为一保序算子空间，且( e ，q ：) 是哆一半局部连通 的如果f ：耳专骂是s - ( c o , ，哆) 一连续序同态，贝, l j f 是( q ，哆) 一连续序同态 证明设g 是( 鹾，q ：) 中的一闭集，则由( 鹾，q ：) 是哆一半局部连通的知，( 置，q ：) 中有哆一闭基使g = bb 缈c ) 且b = 凶 kl 墨是( 鹾，q ：) 中的哆一闭集且为 哆一连通集，丁是有限指标集) 因厂是j 一( q ，哆) 一连续的，故厂1 ( b ) = , v r f 。1 ( k ) ik 是 ( 鹾，q ：) 中的哆一闭集且为哆一连通集，t 是有限指标集) 是( 耳，q 。) 中的q 一闭集所以 厂1 ( g ) = 八 厂- 1 ( b ) ib 妒cf l 是( 管，q 。) 中的q 一闭集这就证明了厂是( q ，哆) 一连续 的 推论2 2 1 设( 耳，q 。) 与( 芝，q ：) 为l 一保序算子空间，且( 鹾，q ：) 是鸱一半局部连通 的如果厂：耳j 鹾是( q ，哆) 一半连通的，则厂是( q ，哆) 一连续的 引理2 2 1 3 1 设( ，q ) 为一保序算子空间，co ) o ( l x ) j | v p pe 衍= 1 则r 上 有唯一的l 一拓扑吒使为皖的c o 一子基 定义2 2 2 设( ，q ) 为l 一保序算子空间，令：y = p pp 是( ，q ) 中的国一闭集 且p 是国一连通集) 则以y 为c o 一闭子基可生成r 上唯一的一余拓扑q + ，( ，q + ) 显然 是一保序算子空间，故称其为由y 生成的三一保序算子空间 注2 2 1 下面出现的记号q + 与y 均为定义2 2 2 中的含义 定理2 2 2 设( ，q ) 为己一保序算子空间，则 ( 1 ) q + c0 9 c ( ) ； ( 2 ) 如果d p 是( r ，q ) 中的国一连通集，则d 也是( ，q + ) 中的国一连通集； ( 3 ) 如果( r ，q ) 是国一r l 空间，则( ，q + ) 也是国一互空间 证明 只证( 3 ) 设v x 。m + ( ) ，则由( ，q ) 是国一t 1 空间及引理2 1 2 知，_ 是 聊城大学硕士学位论文 ( ，q ) 中的一闭集且为c o 一连通集，故由定义2 2 2 知，_ y c n ，即屯是( ，q + ) 中 的一闭集，从而( ，q + ) 是一互空间 定理2 2 3l 保序算子空间( p ，q + ) 是国一半局部连通的 证明令卢= 善si s , y ，r 是有限指标集) ，则由y 为( ，q + ) 的一闭子基知为 ( ，q + ) 的一闭基，且v b 肛b = 善坶js 是( ，q + ) 中的出一闭集且为( ，固中的 国一连通集，是有限指标集) 而由定理2 2 2 ( 2 ) 知每个墨也是( ，q + ) 中的国一连通集， 故，口5 善 墨i 墨是( ，盯) 中的国一闭集且为一连通集，丁是有限指标集) 从而 ，n + ) 是国一半局部连通的 定理2 2 4 三一保序算子空间( ，q ) 是一半局部连通的当且仅当q = 国c ( ) 证明充分性由定理2 2 3 ，( f ，q + ) 是国一半局部连通的，即( ，q + ) 中有国一闭基卢 使夙b 2 善代f 墨是( ，仃) 中的国一闭集且为一连通集，丁是有限指标集 因 q + = c ( p ) ，所以卢也是( ，q ) 中的一闭基，且( ，q ) 中每一国一连通集c , 也是 ( ，q ) 中的国一连通集 v b ，b = 吕 墨l 墨是i r ，q ) 中的国一闭集且为国一连通 集，丁是有限指标集 从而( f ，q ) 是国一半局部连通的 必要性因( p ，q ) 是一半局部连通的，故( r ，q ) 中有功一闭基卢使v b ， b 2 昌 巧l 巧是( p ，q ) 中的一闭集且为国一连通集，是有限指标集) 令是由 ( r ，q + ) 的一闭子基，生成的国一闭基，则易证= 卢，故q + = 国c ( p ) 推论2 2 2 - 没( l x ，q ) 为三一保序算子空间，则( q + ) = q + 定理2 2 5 设( ，q ) 为三一保序算子空间，则下列各条等价： ( 1 ) ( r ，q ) 是c o 一半局部连通的； ( 2 ) 每个从一保序算子空问( 三? ，q ) 到( ，q ) 的一( 吗，妫一连续序同态是( q ，c o ) 一 连续序同杰： 聊城大学硕士学位论文 ( 3 ) 每个从l 一保序算子空间( 三j ，q 。) 到( ，q ) 的( 。，c o ) 一半连通序同态是( q ，c o ) 一 连续序同态； ( 4 ) 恒等映射g ：( ，q + ) j ( p ，q ) 是( ，缈) 一连续的 证明( 1 ) ( 2 ) 由定理2 2 1 可得 ( 2 ) j ( 3 ) 显然成立 ( 3 ) ( 4 ) 只须证恒等映射g ：( ，q + ) 专( ，q ) 是( 国，c o ) 一半连通的事实上，设彳 是( r ，q ) 中的缈一闭集且为国一连通集，则由定义2 2 2 知，彳ycq + 所以g - ( 彳) = 彳是 ( ，q + ) 中的国一闭集且为国一连通集从而由( 3 ) 得，g 是( 国，c o ) 一连续的 ( 4 ) j ( 1 ) 由恒等映射g ：( ，q + ) j ( ，q ) 是( ，国) 一连续的知，c oc ( ) cq + 而 硝cc o c ( u ) ，故由定理2 2 4 得证 聊城大学硕士学位论文 第3 章关于拓扑生成的一保序算子空间 3 1 基本概念及结论 定义3 1 1 嗍设( z ，) 是国一保序算子空间，三是f 格，a ：x 斗l 是映射如果 v a l ，缸x 1 4 ( x ) 是( ，) 中的0 9 一闭集，则称a 为x 上的l 值下半f _ 0 一连续函 数 定义3 1 2 设( x ，) 是f - 0 一保序算子空间，工是f 格，a ：x 斗l 是映射如果 v a l ，4 。】是( x ，) e e 的c o 一闭集，则称彳为x 上i n l n 上半c o 一连续函数 命题3 1 1 设( 膏，) 是一保序算子空间，上是f 格，a ：x 斗l 是映射则 ( 1 ) a n 三值下半一连续函数当且仅当v 口厶4 。】是( x ，) o e 的c o 一开集： ( 2 ) a 是值下( 上) 半一连续函数当且仅当a 是三值上( 下) 半0 3 一连续函数 定义3 1 3 设皤，) 是c 0 一保序算子空间，三是f 格，以c o w , ) 表示x 上的全体三值 上半国一连续函数则吡( ) 是x 上的l 一余拓扑，( p ，吡( ”显然是l 一保序算子空间， 故称其为( x ，) 拓扑生成的三一保序算子空间 定义3 1 4 设( x ，) 为国一保序算子空间，x x ，u c x 如果存在v7 a 使 x v c u ，则称u 为x 的一个国一邻域如果u 是国一开集且x u ，则称u 为z 的一个0 3 一 开邻域，g g b ( x ) 为x 的所有0 3 一开邻域构成的集族如果对x 的每一个0 3 一开邻域u ，存在 v b ( x ) 使x v 亡u ，则称t 3 ( x ) 为x 的国开邻域基 定理3 1 1 设( z ，) 为国一保序算子空问，三是f 格，e c j 则 ( 1 ) e 是( x ，) 中的国一丌集当且仅当屁是( r ，吼( ) ) 中的一开集； ( 2 ) e 是( x ，) 中的山一开集当且仅当e 是它的每一点的0 3 开邻域： ( 3 ) x 圪当且仅当e 与x 的每一曲一开邻域相交 聊城大学硕士学位论文 引理3 1 1 设( x ，) 为0 9 一保序算子空间，a l 石定义算子j ：l x 专l 如下： v x x ，( 彳) ( x ) = 八v a ( y ) u b o ) y u 其中n ( x ) 是x 在( x ，) 中的c o 一开邻域基，则，为三一保序算子 证明由一保序算子的定义可直接验证 定理3 1 2 设( ，吼( ) ) 是由国一保序算子空间( x ，a ) 拓扑生成的l 一保序算子空 间，a 三x ，x x 贝0 ( 1 ) 以( x ) = 八v a ( y ) ； u c b ( x ) y u ( 2 ) 龙( x ) = va a ( y ) u e b ( x ) y c u 其中b ( x ) 是x 在( x ，) 中的c o 一开邻域基 证明( 1 ) 只须证屯即是( r ，吼( ) ) 中的国一闭包记e = ，首先证e 是国一闭集 由定义3 1 2 ，只须证v r 厶互，】是( x ，) 中的国一闭集设溉( e h ) ，即e ( x ) 芝r ，则存 在u o b ( x ) 使v 么( y ) 芝r 又v ) ，u o ，e ( y ) = kv a ( z ) v 彳( z ) ，贝0e ( 少) 芝r ，即 y v o v e b ( y ) z a v z e g y ( 乓，】) ，故砜c ( e h ) 从而( 臣，】) 7 是国一开集，即臣，】是国一闭集 其次证e 是包含彳的最小国一闭集设d 是任一国一闭集且a d ，下证e d 设 帆x ，则由a d 有八v a ( y ) xv d ( y ) ，故由引理、3 1 1 及d 是国一闭集知， u e b ( x ) y e u u e b ( x ) y e u e ( x ) ，( d ) ( x ) = d ( x ) ( 2 ) 由( ( 彳) ：) 7 = 以及上述( 1 ) 即得 定义3 1 5 设l 是完备格，l ocl 若l 中每个非零元均可表示成厶的一个子集 之并，则称厶为三的并生成集 引理3 1 2 1 3 1 设厶是的并生成集，以三则v ( l on f l ( a ) ) = a 引理3 1 3 设厶是的并生成集，4 则4 = v r 砒，j 引理3 1 4 在( r ，吡( ) ) 中，a r ，以三 0 ) ，d 是以的极小集则 型丝查兰巫主兰堡笙壅 一 ( 1 ) ( 或) hc q ( 4 ， ) ：； ( 2 ) ( ) cq ( 4 r ) ： 证明( 1 ) 只须证v r d ，( a d c ( ( 或) ， ) ： 设v ，d ，帆( ) ，要证存在x 的国一开邻域u 使u c ( 以) 若不然，设对工的任 一舡】一开邻域u ，砂“u 使，甚a o u ) i e b = v 疋( y “) l u 是x 的国一开邻域) ，则由d 捏z a 的极小集知口6 故由或( x ) a 知以( 曲蔓6 令b = y e x l 以( y ) 町，则z 硭口且 b ：( ( 4 ) ，) 1 是( ，) 中的珊一闭集但对x 的任一一开邻域u ，有y ”u n b ，故 工b = = b ，矛盾 ( 2 ) 设v xn ( 4 ，) ：，则j ，d 使z 萑( 4 ，】) ：，那么存在x 的国一开邻域u 使 d r 4 ，、：a 故砂u ，4 ( y ) 羔r 由d 是口的极小集知，6 = v a ( y ) l y e u 芝4 令 p = b v z u ，由( 矿，吃( ) ) 是满层的知p 是国一闭集且尸( x ) = b 兰n 易证幺( x ) g p ( x ) 事实上，由定理3 1 2 ( 1 ) ， 巧( x ) _ 。，金m v 。，a ( y ) ，p ( 工) 5 巧( 川= k ，v 。p ( y ) u b ( z ) y u j ，。“ 对y u ，爿( y ) 6 = p ( y ) ，故( x ) p ( ) ，从而( x ) 兰口，即正( 再) i 。 3 2 拓扑生成的三一保序算- - f ：g nn o 。一分解定理 定理3 2 1 设( ，q ( ) ) 是由棚保序算子空间( ，) 拓扑生成的l 一保序算子空 间，4 l x 则龙2 v r z ( 4 。) ： 证明 令曰= ，v 。r 五 ，) ：，则曰是( ，吡( ) ) 中的一丌集又b ，v 。工0 7 扎一= 爿( 引理 3 1 3 ) ，故曰屯下证a 2 b 设魄m + ( ) 且x a 以，则x e ( 以) 由引理3 1 4 ( 1 ) 知，v r ，( a ) f ) l o ， x ( 4 ，】) ：故由引理3 1 2 ，且( x ) 2 。v 。7 五4 印；( x ) ，。潞r z ( 一；( x ) = “即心兰b ，故 聊城大学硕士学位论文 群b 显然，三和m ( l ) 自身都是三的并生成集，故有 推论3 2 1 在( 矿，砬( ) ) 中，么，则筏2 越v r z 4 ) ；2 v 。，r z ( 4 ，) ： 定理3 2 2 设( ，吼( ) ) 是由国一保序算子空间( x ，) 拓扑生成的l 一保序算子空 间，彳r 则以= v r z , 僦 证明因v r 厶4 r ) c4 r 】， v r z ( 4 ，) ) ；v r x , 4 ，】) ：24 下证筏v r z ( 4 ，) ) ：。 设抚_ 以 三) ，由a 。o 的定义，_ = v ueuu 是( ，纯( ) ) 的缈一开集且 u 彳) ，则由引理1 3 ，存在( ，铣( ) ) 中的一开集u 使艺 u a ，故x u c4 矿而 由命题3 1 l ( 1 ) ，口) 是( x ，) 中的国一开集，这样x ( 4 n ) ) 二，x a 口z ( ) ：箩z ( ) ； 从而黔箩z ( 靠，) 。由耽_ 以o 三) 及引理1 2 ，或2 础v x a 魁v r z ( 4 ，屹 定理3 2 3 设( ，吼( ) ) 是由国一保序算子空间( x