（应用数学专业论文）关于非线性抛物方程（组）解的性质的研究.pdf

殴川大学博士学位论文 撼要 关于非线性抛物方程( 组) 解的性质的研究 应用数学专业 研究生李玉环指导教师穆春来教授 非线性抛物方程( 组) 涉及的大量阀题来自于物理、化学、生物和经济等 领域的数学模型，具有强烈的实际背景；另一方面，在菲线性抛物方程( 组) 的研究中，对数学也提出了许多挑战性的问题。因此，关于非线性抛物方程 ( 组) 解的整体存在与爆破等闯题的研究已成为非线性偏微分方程理论研究中 的一个重要方向。本文主要研究几类非线性抛物方程( 组) 初值或初边德问题 解的定性性质：鳃的整体存在和鸯限时刻爆破，整体解的渐近行为，爆破辫的 生命区间等。本文主要内容安排如下。 第一章考患一类退化抛物方程n 。= u p a u + 舻的柯蔼问题。透过构造一类 退化抛物方程的自模解，利用上下解方法和凸方法，得到了该问题的一个第二 临界指数。具体地，设g p + 1 + 丙2 ，矿= 二缸，则当8e ( 0 ，。) ，o 由。时， 问题的解在有限时刻瀑破；当ae ( n + ，) ，u o = ，壬。时，问题的解整体 存在。 第二章是第一章所讨论方程的继续。迸一步研究退化抛物方程饥= “p u 十舻初始函数在无穷远处具有某种衰减的柯西问题，利用凸方法、常微 分方程郓构造特殊函数方法，研究了解的生命区间估计和大时间渐近行为。 第三章我们考虑一类具有齐次d i r i c h l e t 边界条件的退化抛物方程组。= + t l p l v q l ，v = 甘“+ 珏p z v q 2 裙边僵阀题，证明了该方程缝解的整体存在及在 一有限时间发生爆破与初始值、区域q 的大小和p 2 啦一( f p 1 ) 一q 2 ) 的符号有 关。 第四章我们考廉带有非局部源项的半线性抛物方程地一“= “9i 护( s ) 幽 的初边僵闻题阅题。在运用有关局部可勰性和比较原理的基础上，透过构造一 个特殊的整体上解，证明了初值充分小时，解是整体存在的。同时，我们还考 四川大学博士学位论文 虑了一类带有梯度项和变系数半线性抛物方程饥一a u = a o ( z ) ，( 珏) + l v u f ，一c 2 “ 的初边值问题，给出了解本身及其解的梯度发生爆破的条件。 关键词： 非线性抛物方程，爆破，生命区间，整体存在，临界指数，自模 解，缓慢衰减初值，大时间渐近行为 一 四川大学博士学位论文 a b s t r a c t s t u d y i n go f p r o p e r t yo f t h es o l u t i o nf o rs o m en o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) m a j o r ：a p p f i e dm a t h e m a t i c s w r i t e r ：y u h u a nl i s u p e r v i s o r ：c h u n l a im u n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nc o m ef r o mm a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l si np h y s i c s ， c h e m i s t r y , b i o l o g ya n de c o n o m y ，w h i c hh a v es t r o n g l yp r a c t i c a lb a c k 铲o u n d ；o nt h e o t h e rh a n d ，i nt h es t u d y i n go fn o n l i n e a rp a r a b o f i ce q u a t i o n ，m a n yi m p o r t a n tp r o b l e m a r ed e v e l o p e d t h e r e f o r , i nr e c e n tt w e n t i e sy e a r s ，t h es t u d y i n go fg l o b a le x i s t e n c ea n d b l o w u pf o rt h es o l u t i o no fn o n f i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sh a sb e e nai m p o r t a n ta s p e c t i nt h ef i e l do fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sp a p e rm a i n l yc o n c e l t l st h e q u a l i t a t i v ep r o p e r t i e s f o rs o m en o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hi n i t i a lo ri m t i a l b o u n d a r yv a l u e ，i n c l u d i n gg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w u pi nf i n i t et i m eo fs o l u t i o n ，t h e l a r g et i m eb e h a v i o ro fg l o b a ls o l u t i o na n d l i f es p a no fb l o w u ps o l u t i o n s i nc h a p t e r1 ，w ed e a lw i t ht h ec a u c h yp r o b l e mf o rad e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a t i o n 毗= u p k u + 让。b yc o n s t r u c t i n gt h es e l f - s i m i l a rs o l u t i o na n du s i n gt h e m e t h o do fs u p e r - s u bs o l u t i o na n dc o n v e x ，w eg e tas e c o n dc r i t i c a le x p o n e n t p r e c i s e l y ， l e t q p + 1 + 斋，a + = 南i f a ( o ，o + ) ，钍o 垂n ，t h es o l u t i o n o f p r o b l e m b l o wu p i n f i n i t e t i m e ；i f 。( a + ，) ，u 0 = a ，垂。，t h es o l u t i o no f p r o b l e me x i s t g l o b a l l y s u b s e q u e n t l y , i nc h a p t e r2 ，w ec o n t i n u et od i s c u s st h ec a u c h yp r o b l e mo fd e g e n e r a mp a r a b o l i ce q u a t i o n u t = u p + w i t hd e c a y i n gi n i t i a lf u n c t i o ni ni n f i n i t e d i s t a n t e x p l o i t i n g c o n v e xm e t h o d ，o r d i n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dc o n s t r u c t i n g s p e c i a lf u n c t i o n ，w eo b t a i nl i f es p a ne s t i m a t i o no fb l o w u ps o l u t i o na n dt h el a r g et i m e b e h a v i o ro f g l o b a ls o l u t i o n 一i t t 四川大学博士学位论文 i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t hi n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e mo fd e g e n e r a t ep a r a b o l i cs y s t e m s 饥= 乱。+ u p l v q l ，钝= m + l z p 2 可口2w i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o n s w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w u pi nf i n i t et i m eo ft h es o l u t i o n f o rs y s t e m sd e p e n dc r u c i a l l yo ni n i t i a lv a l u e ，d o m a i nna n dt h es i g no ft h ed i f f e r e n c e p 2 啦一“一p 1 ) ( m q 2 ) i nc h a p t e r4 ，w ed e a lw i t hi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n 地一钍= u 9 片u p ( s ) d sw i t hn o n l o c a ls o u r c et e r m b a s e d o nl o c a ls o l v a b i l i t ya n dc o m p a r i s o nm e t h o d ，b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lg l o b a ls u p e r s o l u t i o n ，w e p r o v et h es o l u t i o ne x i s tg l o b a n yi fi n i t i a lv a l u ei ss u f f i c i e n t l ys m a l l a tt h es a m et i m e ， w ed e a lw i t ht h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n 让t a u = a a ( x ) f ( u ) + v 钍1 9 一c 2 uw i t hg r a d i e n tt e r ma n dn o n c o n s t a n tc o e f f i e n ta n d g i v et h ec o n d i t i o no fb l o w u po nt h es o l u t i o na n dg r a d i e n to ft h es o l u t i o n k e yw o r d s ： n o n l i n e a rp a r a b o h ce q u a t i o n ，b l o wu p ，l i f e s p a n ，g l o b me x i s - t e n c e ，c r i t i c a le x p o n e n t ，s e l fs o l u t i o n ，s l o w l yd e c a y i n gi n i t i a ld a t a ，t h el a r g et i m eb e h a v i o r i v 四川大学博士学位论文 引言 非线性抛物方程( 组) 涉及的大量问题来自于物理、化学、生态、生物等 领域的数学模型，具有强烈的实际背景；另一方面，在非线性抛物方程( 组) 的理论研究中，也给数学家们提出了许多挑战性的问题。因此，近二十多年 来，愈来愈多的数学家，物理学家，生物学家和化学家等对非线性抛物方程的 研究产生了浓厚的兴趣。 二十世纪六十年代以来，研究抛物方程( 组) 的临界指数问题已成为非线 性偏微分方程理论中一个重要的研究方向。临界指数是刻画非线性抛物方程初 值和初边值问题解的整体存在性和有限时间发生爆破的一个重要参数。精确地 给出一个问题的临界指数，不仅能够精细地剖析该问题的解的各种行为，而且 还能够更好地解释物理，化学，生物，经济等领域中某些现象和规律。因此， 研究抛物型方程( 组) 的i 临界指数以及解的定性性质，不仅是数学学科本身， 也是其他应用学科的一个重要任务。 1 9 6 6 年，f u j i t a 在文献 1 7 中研究了如下非线性抛物型方程初值问题 u = u + 妒， u ，0 ) = u 0 0 ) ， ( 0 1 ) 其中n 1 ，p 1 ，u 0 ( z ) 是一个正的有界连续函数。在该文中，作者指出 了一个临界指数p ：= 1 + 导，即得到如下结论： ( 1 ) 当1 r r z z 四川大学博士学位论文 地= a u m + u p ， u ( z ，0 ) = i , 0 ( z ) ， x r t 0 o r n ( 0 2 ) 其中p 1 ，m 1 或1 m m a x 0 ，1 一吾) ，7 1 0 ( z ) 是非负有界连续函数。在文 献【2 1 2 2 1 1 5 2 5 3 】中，作者得到如下结论： ( 1 ) 当1 1 时，令u ( x ，t ) = a v m ( b z ，) ，= m t n 伽一1 6 ： m 一”) 2 ( p - 1 ) ，则方程( o 2 ) 可以转换为 仇= v a a v 十护 ( 0 3 ) 这里d = m 。- _ a ( o ，1 ) ，p = 型m( 1 ，+ 。) ，在文献【1 0 】中作者得到如下结 论： ( 1 ) 当1s 卢 “+ 1 + 丽b ，既存在整体正解又存在有限时间爆破解。 最近，在文献【6 5 】中，w i n k l e r 去掉了方程中关于( 0 ，1 ) 的限制，准确 地说，他研究了如下柯西问题： “2 “9 ，、9 ，。：，。 o(o4)( 姒山o ，o ，h = a u u o + ( 茁u 0) ， z r r 叫 其中u 0 g ( r v ) n l o o ( r ) ，u 0 ( 。) o ，p 1 ，g 1 ，该论文中他获得如下结 果： ( 1 ) 当1s q 0 ，a 0 ， 关于这类初值问题，人们感兴趣的是解的整体存在和非整体存在与参数 m 和a 之间的关系。有关非线性抛物型方程的柯西问题已经被l e e 和n i 3 8 及g u i 和w a n g 2 8 】研究。在 3 1 】中，h u a n g 等对于方程组地= 让+ 矿，眦= a v + 让g 在p q 1 情形得到了类似的结果 最近，m u k a i ，m o c h i z u k i ，h u a n g 在【5 0 ( 1 m p ) 和g u o 在 5 1 】( ( 1 一 号) + 1 时，存在整体解和有限时刻爆破解。在 【7 6 5 6 6 】 7 7 】中，c h e n ，w a n g 和z h e n g 证明了 ( 1 ) 当p 2 9 l ( 1 一p i ) ( 1 9 2 ) 时，方程( o 7 ) 的解整体存在 ( 2 ) 当p 2 q l ( 1 一p 1 ) ( 1 一q 2 ) 且初始值足够大时，方程的解在有限时刻爆 破。 然而，在文献 5 4 】中，r o s s i 和w o l a n s k i 发现，当瑚1 时，方程解的性质与 上面结论有所不同：方程解的性质不但与方程中的非线性指数有关，而且还与 空间区域的大小有关。即他们证明：若q 在某一方向是“薄，( 即f 2 被包含在 一d 一 四川大学博士学位论文 两个足够近的平行的超平面之间) ，则整体解存在：但q 若是足够“厚”( 即 q 可包含一个足够大的球) ，则解在有限时刻爆破。 在文献【2 5 1 7 8 中，g a l a k t i o n o v 等人考虑了带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的 方程组 ：三筹艺 池s ， 砘= 勘仇+ 札口 、 其中( z ，t ) f 2 ( 0 ，) 他们获得了如下结论： ( 1 ) 若p q l m ，存在整体解和有限时刻爆破解。 ( 3 ) 若p q = l m ，特别p = m ，q = z ，a l 是第一特征值，若a 1 1 ，方程的解整体存在。 ( 4 ) 若p q = 2 m ，且q 的直径足够小，方程的解整体存在。 可见，p q = l m 是一个临界情形。对于临界情形，关于解的性质的研究尤为重 要，而且也是数学家们最有兴趣的问题。当p = m ，q = f ，a 1 = 1 时，l e v i n e 在 3 9 】中指出，方程是否存在整体解并不明确，且猜测当空间区域足够大 时，整体解不存在，但作者并未给予充分论证。在【5 8 】中，w a n g 给出了 l e v i n e 猜想的一个肯定的证明。更多有关方程组的临界指数问题还可参看文献 【2 5 2 6 3 2 5 2 6 7 然而，在文献 4 8 】中，当p q 墨l m 时，作者得到与文献【3 5 7 8 】中不同的结 论。对于如下快速扩散抛物方程组，类似的爆破和整体存在的结果也可在文献 5 2 】中获得。 啦5 a u o + 矿 执= 护+ u q ( 0 9 ) 其中0 血，卢 0 ，m i n ，m ) 1 ， f p l 0 ，m q 2 0 ，u o ( x ) 和 o ( 。) 在西上非负连续函数。给出了一系列解的 整体存在和有限时间发生爆破的充分条件。相关结果见文献 5 1 】【7 5 除了上面的问题外，近2 0 年来，人们也对带有时间积分的非局部源项的 半线性抛物方程的初值问题和初边值问题进行了研究。 u t a u = 让4j ； u p ( s ) d s ，( z ，t ) q ( o ，t ) ( o 1 1 ) 其中q 1 ，p 0 ，qcr 。方程( o 1 1 ) 出现于原子核反应动力学理论中 3 5 6 3 ，关于方程( 0 1 1 ) ，当p 1 ，g 1 时，文献3 3 已给出了如下结果： 若初值充分大，则方程的解在有限时刻发生爆破；若初值充分小，则方 程的解是整体存在关于反应项含有时间积分的非局部方程的研究可见 5 】 6 】 1 4 3 6 儿4 0 】 5 9 】 6 0 6 l 】【6 2 】 7 3 】 7 6 。而有关带有空间积分和点源等的非局 部问题的大量研究工作可参考文献 4 【8 】 9 】 11 1 4 4 1 】 另一方面，从9 0 年代开始，对于带有非线性梯度项的非线性抛物方程解 的梯度爆破问题也引起了人们广泛的兴趣。在 5 5 】中，s o u p l e t 考虑了如下非 线性抛物方程 u t a u = f ( u ，v u ) ，z q ，t 0 u ( x ，t ) = g ( z ，t ) ， z a q ( o 1 2 ) u ( x ，0 ) = 札o ( o ) ， z q 其中q 是r 中的有界光滑区域，f c 1 ( rxr ) ，9 g ( o ，t xa q ) ，t o ，u o c 1 ( 豆) ，同时满足条件u o ( x ) = 9 ( x ，o ) ，z c o i l ，并获得了有关梯度爆破的 一些结果。 6 一 四川大学博士学位论文 有关带有v u ( x ，t ) 项的一类半线性抛物方程的研究已取得了诸多成果( 见 1 2 】 3 7 】【4 2 】) 。本文的第四章即是针对上述两方面的问题进行研究。 具体而言，全文内容安排如下： 第一章，我们考虑一类退化抛物方程的柯西问题，即： = 舻a u + u ( z ，0 ) = u o ( x ) ， z r n t 0 z r n ， 这里? 2 0 c i ( r ) n l ( r ) ，p 1 ，q 1 n 2 ， 通过构造一类退化抛物方程的自模解，利用上下解方法和凸方法， 我们得到该问题的第二临界指数。设口 g + = p + 1 + 斋，o + = i = b 若 n 2 ，p 1 ，u 0 圣。且a ( 0 ，+ ) ，问题的解在有限时间爆破：若“o = a 仕) 且西o ，a ( a + ，) ，则存在a o = a o ( 西) 0 ，使当a 0 ，有f f u ( x ，t ) | | o 。c t 一叩其中卢= 1 ( a p + 2 ) 。 所得结果说明上面退化抛物方程的柯西问题解的整体存在性和有限时间发 生爆破与新的临界指数a + 有密切关系。 第二章，我们继续讨论第一章中的方程。在通常的初始条件下，我们考虑 了整体解的生命区间的估计。得到了下面结果： ( i ) 若妒g ( 兄) ，j o o = 妒( o ) 0 则存在a 120 使得对任意a a 1 ，足 成立，且0 f o 0 则e 0 f z l 存在，且当0 l o l ，令p + 1 + 2 q 口：，0 o 0 ，r a i n ，m ) 1 ， f p 1 o ，m q 2 0 ，u o ( x ) 和v o ( z ) 是非负有界连续函数。对于这个问题，我 们通过利用比较原理、上、下解的方法、凸方法和构造特殊上、下解的技巧， 得到了上面的初边值问题在一定条件下爆破和整体解的存在条件。 第四章，我们考虑一类半线性抛物方程带有非局部源项的初边值问题 一u = 9 u p ( s ) d s u ( 。，) = 0 ， 牡，0 ) = u o ( x ) ， ( x ，t ) nx ( 0 ，) ， ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) 3 7 q 其中口21 ，p 0 ，n 是r 中光滑区域，u o ( x ) 是非负连续函数且u o ( z ) l a n = o 和一类半线性抛物方程 n 一a u = a o 扛) ，( u ) + i v u l p c 2 u ，扛，) ef 2x ( 0 ，+ 。) ， u ( x ，t ) = 9 ( 。，t ) ， z a q ，( o 1 2 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，z q ， 四川大学博士学位论文 解的整体存在和爆破对于第一个问题，当p 1 ，q 1 时已有结果：若初值 u o ( x ) 充分大时，方程的解在有限时间爆破；若初值让o ( z ) 充分小时，方程的 解整体存在。在第四章，我们会进一步改变条件，得到更为详细的结果：若 u o ( x ) 取得充分小，满足u o ( x ) 南妒z ( 。) ，则方程的解任然是整体存在的。对 - t - y g = 个问题，将给出一些解本身与它的梯度在有限时间发生爆破的充分条 件。 一9 一 婴型盔堂堕主堂焦笙塞 第一章 一类退化抛物方程的第二临界指数 1 1 问题背景 本章考虑下面的初边值问题 毗= u p a u + u q ，z 丹_ t 0 - v u ( z ，o ) = u 。( 。) ，z r ： ( 1 _ 1 _ 1 ) 这里“o g ( r ) nl o o ( r 。) ，p 1 ，q 1 ，n 芝2 。 1 9 6 6 年，f u j i t a 在文献( 1 7 】中研究了如下非线性抛物型方程初值问题 u = a u + 扩， u ( z ，0 ) = u o ( x ) 其中n 1 ，p 1 ，u o ( x ) 是个有界正的连续函数。在该文中，作者指出 了一个临界指数p ：= 1 + 吾，即得到如下结论： ( 1 ) 当1 0 u ( z ，o ) = u 。( z ) ，z r ， ( 1 l2 ) 其中p 1 ，m 1 或1 m m a x 0 ，l 一斋) ，u 0 ( 。) 是非负有界连续函数。在文 献 2 1 【2 2 】【5 2 【5 3 中，作者得到如下结论： ( 1 ) 当1 m + 吾时，存在整体解和有限时刻爆破解。 特别当p = m + 丙2 时，在文献【4 7 】 4 9 】中，m o c h i z u k i ，m u k a i 和s u z u k i 证 明了( 1 1 2 ) 的解在有限时间发生爆破关于非线性抛物方程临界指数问题研究 的更多信息，可参看文献 1 0 2 3 2 4 3 8 3 9 5 3 尤其，当m l 时，令钍( z ，t ) = a v m ( 6 茁，哦a = m m ( p 一，b = m ( p 一“) 2 ( p “) ，则方程( 1 1 2 ) 可以转换为 地= 泸a v + 扩 ( 1 1 3 ) 这里o l = 警( 0 ，1 ) ，卢= 盐茅( 1 ，+ o o ) ，在文献0 0 中作者得到如下结 论： ( 】) 当i p o t + 1 + 丽圭爵，既存在整体正解又存在有限时间爆破解。 最近，在文献【6 5 】中，w i n n e r 去掉了方程( 1 1 3 ) 中关于a ( 0 ，1 ) 的限 制，准确地说，他研究了上面的柯西问题( 1 1 1 ) ，并且获得如下结果： ( 1 ) 当1 q 0 ，a 0 u o ( z 1 些m i ：e i o( 1 14 ) 四川大学博士学位论文 关于这类初值问题，人们感兴趣的是解的整体存在和非整体存在与参数 肘和。之间的关系。有关非线性抛物型方程的柯西问题已经被l e e 和n i 3 8 】 及g u i 和w a n g 2 8 1 研究。在 3 1 中，h u a n g 等对于方程组啦= a u + v p ，姚= a v + u q 在p q 1 情形得到了类似的结果 最近，m u k a i ，m o c h i z u k i ，h u a n g 在 5 0 ( 1 m p ) 和g u o 在 5 1 】( ( 1 一 斋) + g + 5 p + 1 + 素，。+ 2f 暑 ( 1 1 6 ) 99 第一章的主要结果如下 定理1 1 1 令n 2 ，p 1 ，g 和a + 满足( 1 1 6 ) 设u o 西。，如果。( 0 ，a + ) ， 则柯西问题( 1 1 1 ) 的解u ( 。，t ) 在有限时间爆破。 定理1 1 2 n 2 ，p 1 ，q 和a + 满足( 1 1 6 ) 设u o = a ( 。) 其中a 0 ，e 西。，如果。( a + ，n ) ，则存在a o = a 0 ( 庐) 0 使得当a 0 ( 1 1 7 ) 这里卢= 1 ( a p + 2 ) 比较定理1 1 1 和定理1 2 2 ，我们看到当g 口，：l + p + 吾时，数。： 2 ( 口一p 一1 ) 是柯西问题( 1 1 1 ) 解的有限时间爆破与整体存在的一个截断，它 也就是我们所得到的柯西问题( 1 1 1 ) 的第二临界指数。 1 2 预备知识 在这部分，我们主要寻找下面柯西问题的径向对称自模解u m ，。( z ，f ) ，它在 本章的第4 节和后面第二章中，在构造特殊的上解是将起关键作用。 让t = u p a u ， o r t 0 乱( z ，o ) ：m i zj 一。，z r n 。 ( 1 2 1 ) 事实上，这个解可定义为如下形式 ( 孔归，妒知( 岩) ，卢= 赤 其中知是满足下面边界问题的正函数 搦( r ) + 学翰( r ) + 南( p r ( r ) + 。卢加( r ) ) = 0 ，r 0 ( o ) = 0 ，l i mr a f m ( r 1 _ m w ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 根据常微分方程的标准方法，我们将证明问题( 1 2 3 ) 的解f m ( r ) 的存在 性，并且进一步我们还将给出解f m ( r ) 的更多性质 首先，对给定的常数q 0 ，考虑如下的初始值问题： ；紫h w t ( m = f ) 1 抄砌移) + 叩m 一】- ” 0 024)h(o 0 ) = 叩， ，( o ) = 里! 哒堂堡主堂垡鲨壅 运用在 2 7 和 6 5 】中的方法，我们能够证明柯西问题( 1 2 4 ) 的解 一) 是正 的、递减的，且当r _ + 。时， ( r ) _ o ，而且对某个常数m ：m 阳) o ， 有 ，l 融r 。 ( r ) = m r + o 。 其次，我们将证明在m ( o ，+ o 。) 和q ( o ，+ 。) z f r ) ，r 0 为了获得 相应于( 1 1 1 ) 的一个爆破条件，我们必须修改在 5 0 】和 2 9 】中所采用的试验 函数e 5 ，而要用新的试验函数以便能应用于外部区域e rcr n 上。因此， 我们首先介绍下面两个引理。 引理1 3 1 ( 见【4 9 ) 令足( z ) = 触( 吲) e s ( 一r p ，这里 p 置( ，) ：学， 3 【1 0 9 r 一1 0 9 r ，n = 2 1 4 j 燮堂壁主堂垡鲨奎 则& ( z ) c 2 ( 五k ) 满足下面的性质 最0 ) 一2 ( n + 2 ) e 足( 。) ， z e n ， 曼( z ) = 0 ， z o e r 足( 。) o x e n ，丘。& ( z ) 如 。3 r 回找们将分成两步来证明定理1 1 1 定理1 1 1 的证明：步骤1 ：对一个固定的外部区域e n ： 。： r ，r n 我? 九( 。) = a ( e ) 最( z ) ，这里& ( 。) 如上定义，a ( e ) = 1 丘。足 ) d x 设 ( z ，t ) 是柯西问题( 1 1 1 ) 的解，t 是解u ( x ，t ) 的最大存在时间。1 冬 圳2 两1 r e ? a i - p ( z ，t ) 九( 批。，t 咿) ( 1 删 则正( t ) c o ( o ，t ) ) n g l ( ( o ，t ) ) ，由引理1 3 1 和引理1 3 2 ，我们有 以( z ) = 一上。万u t 以( 引d x = - f e 。( 钍+ u r ，) 九( 。) 出 s2 ( + 2 ) 8 h也(。)如一u帅纰)dxjen e r ( 1 舢) j 、7 因为p 1 ，g p l 和k 也扛) d x = 1 ，由j e n s e n s 不等式和h 。l d e r ，s 不等式， 可得到 ， ? a i - p 妒。d x ( “九d x ) ， j e n j e 8 j e nu ”9 虫出芝( 以。u 九) ” ( ”3 ) e 口 、 从( 1 3 3 ) 得到 f e ru q - p 审e 如r u 。d x ) q - v - 1 e r u ( ：d z ( 尼。让1 9 以) 一帅一1 ) ( p 一1 ku 也如 = ( p 一1 ) j d t ) 一一1 m 一1 丘。扎咖。d z 所以由( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) ，我们得到 ( 1 3 4 ) 啪旧( + 2 ) e 厶蛾如地- 1 ) 删- ( q - p - w ( p - 1 ) z 。咄出一删 如果下式成立 4 ( 0 两1 硒去严删一叫v 川咿) ( 1 3 6 ) 则由( 1 3 5 ) 和( 1 3 6 ) ，我们有 ( ) s 一2 ( n + 2 ) e 札九d x j e n 因此如果( 1 3 6 ) 成立，则由( 1 3 3 ) 和( 1 3 7 ) 式，我们有 因此，若4 ( 0 ) 满足 ( 1 3 7 ) ( t ) 一2 ( + 2 ) 一1 ) 一两1 以_ ，= t 1 ( t ) ( 1 3 8 ) 坤) 两1 硒杀) 黯= 岛， ( 1 3 9 ) 则对任意t o ，刀，有4 ( 0 递减且不超过c o 1 6 j 里坐i 兰堂竖主堂垡坠皇 在( 1 3 8 ) 式两边关于t 积分，得到 乓( t ) ( 庐( o ) 一g 。t ) 孚 ( 1 3 1 0 ) 其中c i = 2 ( n + 2 ) 印一1 ) 一p