（应用数学专业论文）具无穷延滞的脉冲泛函微分系统的稳定性.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下迸行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得一( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：柄云双衷 导师签字： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解出丕垣董盘堂有关保留、使用学位论文豹舰定，有权保 留，f 向囡家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权山；虹蒸太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 学位论文作者签名：拗稍汉裒 导师签字： 签字门期：2 0 07 年，月脚签字日期：2 0 07 等，月沮 f 山尔师范大学硕+ 学位论文 具无穷延滞的脉冲泛函微分系统的稳定性 杨淑英 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究具无穷延滞的脉冲泛函微分系统 黧嚣备。， 【z ( “) = 厶( 。( ) ) ， 奄= 1 ，2 ， 的一致渐近稳定性和严格一致稳定性，其中，烈盈p e 舻) ，矗e ( 舻，舻) ，南 ，0 l 2 “且当一+ o o 时，k _ + 0 0 z ( ) 表示上( ) 在坎b 的右导 数m ( s ) ，) e 表示a ( s ) ；z ( + s ) s ( 一o 。，o 】 具无穷延滞的脉冲泛雨微分系统足一种很重要的脉冲泛函微分系统，它描述 了现实世界中的一类现象，比如说捕食过程，因此有重要的研究价值另一方而，由 于脉冲泛函微分系统应用的更加广泛，引起了许多学者的兴趣，但是主要局限于有 界滞量的脉冲泛函微分系统的稳定性理论【6 卜【对于具无穷延滞的脉冲泛函微分 系统，由于该系统的复杂性，近几年，刚刚建立基本理论吼关于它的稳定性理论还 比较少见，因此有很多工作要做众所周知，9 0 肌n d u 函数方法结合_ r o ：“ “m f n 技 巧在研究脉冲泛函微分系统时很有效并且由于脉冲的影响有了较深入的研究另 外，在文献f 1 4 1 中提出了一种新方法一一含部分变元的l p o p “n o u 函数方法，即把变 量z 的分量分成几维，相应的采用几个，g n p o f 函数，然后分别设置条件，建立稳 定性定理这样对l “川 函数的限制较少，构造起来比较容易基于以上的思 想，全文分为两章 在第一章中，研究了系统( ，) 的一致渐近稳定性，其中第二节利用l o p “彻r 溺 数方法结合r n 2 m 知 锄技巧来研究这方面的结果还比较少见新定理给出的砌：一 “”“_ i l m 条件克服了无穷延滞对解的一致i 吸引证明的困难并且定理中我们减弱了 对n 叫n 函数导数条件的要求，妒刖n 伽函数沿解的轨线不再局限于单调递减， 而是允许在脉冲点有适当的增加，应用起来更加方便，本节最后用个例子说明 它的实用性第三节与以往不同的是把含部分变元的l 掣印“n 仇，函数的方法运用 到具无穷延滞的脉冲泛函微分系统中去，得到了若干定理，我们的定理推广了以 前的结论，并可以运用到向量方程中，应用起来更加广泛本节最后给出一个例子 说明定理的实用性 第二章研究了系统( ，) 的严格一致稳定性存某些时候需要了解关于系统( ，) 零 山尔师范大学硕七学位论文 解的衰减率的一些信息，所以还要考虑系统( ，) 零解的严格一致稳定性第二节 通过构造两个l o 础n 伽函数，分别设置条件，然后结合尺n ：t l m i f n 技巧得到了系 统( ，) 的严格一致稳定性的若干定理 关键词：无穷延滞；脉冲泛函微分系统；严格一致稳定；尺d ：“m 肠n 技巧； l o 础礼伽函数 分类号：0 1 7 5 2 l 2 山东师范人学硕十学位论文 t h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i 肋r e n t i a l s y s t e m sw i t hi n f l n i t ed e l a y s s h u y i n gy j 孤g i 璐t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a i l d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n 8 i l ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，w em a i n l ys t u d yt h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ya n dt h es t r i c ts t a b i l i t y o fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f 色r e n t i a ls y s t e m sw i t hi n n n i t ed e l a v s ：曷三爱：二2 m 专竺。，。， c ， lr ( “) = ( r ( 坛) ) ， 后= 1 ，2 ， 一 w h e r e ，e ( r j p e r “) ， g ( 尼1 ，r “) ，后，0 f l 2 。 f 。 w i t h _ + o 。a s 七一+ o 。，z ( ) d e n o t et h er i g h t - h a n dd e r i v a t i v eo f 工a tt ，a n d z t ( s ) j p cd e n o t ez ( s ) = z ( f + s ) ，s ( 一。o j i m p u l s i v ef h n c t i o n a ld i f f b r e n t i a lf h n c t i o nw i t hi 1 1 6 n i t ed e l a y sd e s c r i b eak i l l do f s y s t e mp r e s e n ti nt h er e a lw d r l d ，s u c ha sap r e d a t o r p r e ys y s t e m ，s oi t ss t u d yi s o fg r e a tv a l u e o nt h eo t h e rh a n d ，a p p l i c a c i o n so “m p u l s i v ef u n c t i o l l a ld i 雎r e n t i a l s y s t e m sa r em o r ew i d ea n dai a r g en u m b e ro fm a t h e m a t i c i a n sa r ei n t e r e s t e di ni t b u t t h e s e i q 1 1 9 la r el i n l i t e dt oi i i i p u l s i v ef u n c t i o i l a ld i f f e r e l l t i a ls y s t e i i l sw i t l lf i l i i t ed e l a y s t h eb a s i ct h e o r y l 耐o fi m p u m v ef u n c t i o n a ld i 氐曲e n t i a ls y s t e m sw i t hi n 右n i t ed e l a y 8 i se s t a b l i s h e dj u s tn o wa n dt h ep r o p e r t i e so ft h ei t ss o l u t i o n sa r es e l d o ms t u d i e d t h e r e f o r e ，w eh a es t i i lm u c ht od o i t i sw e l lk n o w nt h a tl y a p u n a vf u n c t i o n sa n d t h er a z u m i k h i nt e c h n i q u eh a sb e e nv e r ye 缸c t i v ei nt h es t u d yo fi m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i b r e n t i a le q u a c i o n s b e c 瓢u s eo ft h ei m p u l s e ，t h e r ei sf u r t h e rs t u d ) ， i na d d i t i o n ， d o c u m e n t a t i o n 【1 4 1d e v e l o pan e wt e c h n i q u ei ns t u d y i n gs t a b i l i t yo ff d e ，i nw h i c ht h e c o n l p o n e n t sz l ，z 2 ，z no fza r ed i v i d e di n t os o m eg r o u p s c o r r e s p o n d i n g l y ，s o m e 3 山尔师范大学硕士学位论文 l y a p u n o vf u n c t i o 璐a r ea d o p t e d ，t h e nt h e o r e i i l so fs t a m h t ) ，a r ee s t a b l i s h e d w h e r e e v e r ) rl y a p u n o vm n c t i o ns a t i s f i e sw e a k e rc 叽d i t i o i l s 鼬1 di s e a s i e rt ob ec o i l s t m c t b a s e do nt h ei d e a sa b o v e ，t h 谤p a p e ri sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r i nc h a p t e ro n e ，w e8 t u d yt h eu n i f o r m i ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e m ( ，) i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w eu s et h em e t h o do fi j y a p u n o vf u n c t i o na n dr a z u m i k h i n t e c h n i q u e ，1 1 0t h eb e s to ft h ea u t h o r s h l o w l e d g e ，r e $ u l t sf o rs y s t e m ( ，) a r er 8 r e i n t h en c wt h e o r e m ，b yf i n d i n gar a z 彻砌( h i nc o n d i t i o nw eo 、c r c o m et h et h cd i m c u l t y w i t hw h i c hi n 丘n i t ed e l a y sb r i n gt h ep r o p e r t i e so f1 1 i l i f o 珊i ya t t r a c t i v e i na d d i t i o n ， t h el y a p u n o vf u n c t i o nh 嬲p r o p e ri n c r e a s ei ni m p u l s i v ep o i n ti i l s t e a do fd i m i n i s h i n g a l o n gt h es o l u t i o nc u r v eo ft h es y s t e m ( ，) i t sa p p l i c a t i o ni s 丑e x i b l e i nt h ee n do f t h i ss e c t i o n ，a ne x a m p ki sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ea d v a n t a g eo ft h eo b t a i n e dr e s u l t i n t h ct h i r ds c c t i o l i ，d i h 乙r c l 工tf r o n lc a r l i c rr c s u l t w cg c i l c r a l i z c st h cn l c t h o do fs c v c r 越 l ”p u n o vf u n c t i o n st oi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls 、- s t e m sw i t hi n 丘n i t ed e l a y s a n d 麟t a b l i s hs o m et h e o r e m s t h 隔et h p o r e m sg e n e r a l i z es 0 1 n eo fe a r l i e r 矗nd i n 擎a n d a r ea p p l i e dt ov e c t o re q u a t i o n s ，s ot h ea p p l i c a t i o ni sm o r ew i d e a tl a s t ，a ne x a m p l e i sg i v e nt oi l l u s t r a t et 1 1 ea d 、r a n t a g eo ft l l eo b t a i n e dr e s u l t i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h es t r i c ts t a b i l i t yo fs s t e m ( ，) ， a ts o m et i m e ，w e n e e d1 e a r ns o m ei n f o r m a t i o na b o u tt h er a t eo fd e ca ) o ft h es o l u t i o n s ，s ot h es t r i c t s t a b i l i t yo ft h es y s t e m ( ，) m u s tb ec o n s i d e r e d i nt h es e c o n ds e c t i o n 、佗c o 工l s t r u c tt w o l ) a p u n o vf u n c t i o n sa n d6 n ds u i t a b l ec o n d i t i o l l s ，t h e no b t a i nt h es t 曲i l i 哆o fs y s t e m ( ，) b yc o m b i n i n gr a z u m i k h i nt e c h n i q u e k e yw b r d s ：j n 矗n i ”d c l a 、s ： i m p l l l s i v on l n n i o n a ld i f f b m n t i a ls y s t c m s ： s tr f t l y u n i f o r ms t a b i l i t y ；i h z u m i k h i nt e d l i l i ( i u e ； l y a p l m o vf u n c t i o n c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章具无穷延滞的脉冲泛函微分系统的一致渐近稳定性 1 1引言及预备知识 具无穷延滞的脉冲泛甬微分系统是一种很重要的脉冲泛函微分系统，它描 述了现实世界中的一类现象，比如说捕食过程，因此有重要的研究价值另一方 面，由于脉冲泛函微分系统应用的更加广泛，引起了许多学者的兴趣。但是主 要局限于有界滞量的脉冲泛函微分系统的稳定性理论l q 一【1 9 k 对于具无穷延滞的 脉冲泛函微分系统，由于该系统的复杂性，近几年，刚刚建立基本理论1 5 】关 于它的稳定性理论还比较少见，因此有很多工作要做，1 2 利用l 口础 删函数结 合z “”以七 i 礼技巧的方法研究了具无穷延滞的脉冲泛函微分系统的一致渐近稳 定性给出的胁m z 七 砒条件克服了无穷时滞给一致吸引的证明带来的困难，并 且定理中所取的y 函数沿解的轨线不再局限于单调递减，而是允许在脉冲点有适 当的增加最后用一个例子说明它的实用性1 3 利用含部分变元的c 驷肌n m ，函数 的方法得到了系统( ，) 的一致渐近稳定性以前的稳定性定理中把变量z 的所有分 量都放存了一个y 函数中，存对口+ 矿和矿函数存脉冲点值加上限制条件遗憾的足 构造这样的函数很困难，可以看剑文献【2 1 2 2 】中所举的例子都足关于纯量方程的 受文献 1 4 】的启发，把变量卫的分量分成几组，相应的采用几个l 印“n 伽函数，然后 分别设置条件，通过此方法构造合适的函数比较容易，应用起来也比较方便这罩 所取的l n p “n d u 两数沿解的轨线在连续部分递增，而在脉冲点有适当的减小此定 理推广了以前的结论最后举了一个例子说明了应用的广泛性 研究具无穷延滞的脉冲泛函微分系统 裟嚣2 气， iz ( “) = ( _ r ( ) ) ， = 1 ，2 ， 其中，e ( r + j p c j r “) ，气e ( r “，只“) 七，0 l 2 - o ) ； l = n j 白l 。对s 单调不减) ； q l = 如段j 当5 o 时，4 ( s ) 5 ) ； n 2 = n 尬i 当s o 时，n ( s ) o ，存在d = 6 ( 如：s ) 0 使得当妒p g 玩时，有 j z ( ，幻，妒) j ，f f 0 ，o 。) 成立，其中z ( ，如，纠是系统( ，) 过( o ，等) 的解 ( s 2 ) 一致稳定：( s 1 ) 中的d 与f o 无关 ( s 3 ) 吸引：存在如( o ) 0 ，对任意的o j r + 和e 0 ，存在丁= 丁( ，) 0 使得 当妒p c j 时，i z ( ) i 0 ，其中q ( s ) 单调不增且当s 0 时，有口( 5 ) o ，使得下面的条件 成立： ( i ) 埘l ( k f ) y ( ，。) s 埘2 ( f z | ) ，( ，z ) 兄5 二( 力； 6 山东师范大学硕士学位论文 ( i i ) 当9 ( y o ，z ( ) ) ) y 0 ，z ( s ) ) ，一口( y o ，。( ) ) s 时，有 d + y ( ，z ( ) ) 一p ( ) c ( y 0 ，z ( ) ) ) ， 其中z ( ) 为系统( ，) 的过( 幻，妒) 的解； ( i i i ) 存在常数p l o ( p 1 0 ，时，9 ( u ) ( 让) ； ( v ) p = i n f “一“一1 ) o ，a l = i n f j 0 + “p ( s ) d s a 2 ， 则系统( ，) 的零解是一致渐近稳定的 证明：由条件( i ) 可知训l ( s ) 耽( s ) ，s ( 0 ，p j ，从而存在连续且严格单调递增函 数西t ，西2 ，使得满足吨l ( s ) 训1 ( s ) 叫2 ( s ) t d 2 ( 5 ) ，5 【o ，p 】，那么条件( i ) 可成为 奶“z i ) y ，。) 如( i z i ) ，o ，。) rx5 ( 矿) a ) 下面证明一致稳定性： 对任意的 o 忙p 1 ) 和o r + ，o 【一1 ，。) ，仇为某一正整数，取6 = 6 ( e ) o 满足g ( 西2 ( 6 ) ) 西i p ) 和6 s ，则令o = i n f o li z ( ) l e ) 可知i z ( o ) i o 由o 的定义得 l 。( ) f ，p 。，o ) ， ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 23 ) ( 1 2 4 ) 由( 1 2 3 ) 式 ( 1 2 5 ) 7 山东师范大学硕士学位论文 z ( o ) i e 若o 是脉冲点，由( 1 2 5 ) 式以及条件( i i i ) 可得l z ( t o ) j p 若尹不是脉冲点，由亡0 的定义可得i z ( t o ) j = esp 从而y ( ) 在( 一o 。，o 】有定义，且 西- ( i 七( t ) i ) y ( ) st 也“z ( ) 1 ) ，( 一o 。，o l 令 f = i n f p ，1iy o ) 面- ( e ) 由( 1 2 2 ) 式得y ( o ) 西1 ( s ) ， 再由( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 式得y ( o ) 而l ( ) ，则f ( 幻，t o 】 又由哟定义得 y ( ) 而1 g ) ，( o ，d ， y ( d2 曲l ( e ) ( 1 ，2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 从而9 ( y ) 夕( 西l ( ) ) ，而由( 1 2 2 ) 得矿( f 0 ) 奶( 6 ) ，再由9 的单调性可得9 ( y ( f 0 ) ) y ( s ) ，s # ，压刁 此时由条件( i i ) 知d + y ( ) 一p ( ) c ( y ( ) ) ，从而y ( 西y ( 卜) = y ( d = 西l ( ) 与y ( 0 西1 ( ) 又由于9 ( y ( o ) ) y ( s ) ，s st ，t 【- 。) 从而由条件( i i ) 知d + y ( ) 冬o 则y ( 刁y ( 锰) ，从而9 ( y ( 习) g ( y ( ) ) 西，( 5 ) 与 9 ( y ( 习) = 西l ( e ) 矛盾 因此( 1 2 1 0 ) 成立 再由条件( i v ) 可得矿( t 。) s 口( y ( 蠕) ) y ( 刁= 西l 忙) ( 1 2 1 1 ) 若对所有的( ，f ) 时，都有9 ( y ( ) ) 西1 ( ) ，令= f 。，从而y ( 西= y ( c m ) 函1 ( e ) 此时， 9 ( y ( t ) ) 面1 ( s ) y ( s ) ，s t 则由条件( i i ) 可得d + y ( ) 一p ( ) c ( y ( t ) ) ，两端从“一l 到“积分可得 y 高。小，出2e _ 出，幽钆 另一方面 蔗_ 高s ：高 曲l ( ) ，则令f = s u p 【“一l ，“) lg ( y ( ) ) 茎 曲，( e ) ) 由碇义得 g ( 矿( d ) = 西- g ) ， 9 ( v ( ) ) 西l ( ) y ( s ) ，s ，阻“) 由条件( i i ) 得d + y ( t ) so ，从而可得矿( 西y ( 坛) 而1 ( ) ，又由于9 q l 可得9 ( y ( d ) “y ( 纭) ) 西l ( ) 与g ( y ( 乃) = 西i ( ) 矛盾因此( 1 。2 1 2 ) 式成立 下面如同七；m 的证明可得矛盾因此( 1 2 4 ) 成立，联合( 1 2 3 ) 一致稳定性得证 下面证明致吸引： 由系统( ，) 的解是一致稳定的，存在晶 o 满足9 ( 奶( 岛) ) o 使得 d m i n 曲2 ( p 1 ) 一t 白1 ( ) ，d ，叫1 ( e ) 2 ) ( 1 2 - 1 5 ) 令正整数= ( e ) 满足 西l ( e ) + ( r 一1 ) d 西2 ( p 1 ) 曲1 仁) + d ， ( 1 2 1 6 ) r = s u p ( “一“一l ， 七v 不失一般性，假设r o o ，这是因为若r = o 。，我们可以人为的在系统( ，) 中加上一 些脉冲若脉冲时刻满足舡“一t 女一l u + 1 ) p ，j 2 ，我们称k i + p ，“一l + 缸+ 。一1 + 一1 ) p 为新的脉冲点这样rs 红，在这些新的脉冲点我们仅定义泛 函，为0 使得脉冲对解实际上并没有影响，即加上新脉冲点的系统的解仍是原系统的 解，取 r ( p ，e ) = r + ( r + 2 7 | ) ( 一1 ) ， ( 1 2 1 7 ) 其中r = g ( 西l ( e ) ) 下面证明 l z ( t ) l 5 ， t 2 幻+ t 定义y ( ) = 矿( ，z ( ) ) ，r 由( 1 2 1 3 ) 可得y ( ) 如( p 1 ) ，r l o 山东师范大学硕士学位论文 定义七( ) ( = l ，2 ，) 如下：七( 1 ) = m ，对 = 1 ，2 ，3 ，满足 ( 牝2 k ( h ) + r 一l ( 即经船_ 1 ) + r 后经过的第2 个脉冲点即是 ( 。) ) 七( ) 7 | + ( 2 7 - + r ) ( 一1 ) + o = t o + 丁 下用数学归纳法证 y ( ) 奶( p 1 ) 一 d ，2 t ( m 当i = l 时，即证 y ( ) s 西2 ( p 1 ) 一d ， t2 女( - ) = f m 首先证明 9 ( y ( 坛) ) 国2 ( p 1 ) ( 1 2 2 1 ) 事实上，由于i p p g b 南，则f 。( 如) i l i 南，y ( o ) 西2 ) ，从而9 ( v ( t o ) ) 9 ( 西2 ( 南) ) 西l ( p 1 ) ，正如前面的证明可证9 ( y ( ) ) 西l ( p 1 ) 因此g ( y ( 惦) ) 而1 ( ，) 1 ) 西2 ( p 1 ) 为证f 1 2 2 0 ) 先证 y ( ) 面2 ( p 1 ) 一d ，t f m ，m + 1 ) ( 1 2 2 2 ) 首先证明 y ( c m ) 如( p 1 ) 一d ( 1 2 2 3 ) 若o 9 ( y ( 坛) ) 西1 ( = ) 2 ，那么由条件( i v ) 以及( 1 2 1 5 ) 可得 v ( m ) 雪( y ( 二) ) 9 ( y ( 二) ) 西i 正) 2 如( p 1 ) 一西l ( 5 ) 2 西2 ( 尸1 ) 一d 若西l ( ) 2 奶( p 1 ) 一d + d = t 如( p ) 再由( 1 2 2 4 ) 可得 9 ( y ( ) ) = g ( 西2 ( p 1 ) 一回， 从而 9 ( y ( r ) ) 西2 ( p 1 ) ( 1 2 2 6 ) 若对所有的l ，州，9 ( y ( ) ) 奶触) ，那么令f = k ，y ( 力 西2 1 ) 一正 否则令 f = s “p f t 。，+ 】| 9 ( y 0 ) ) t 如( p 1 ) ) 由( 1 2 2 6 ) 可得f 【，n ，t + ) 再由f 的定义可得9 ( y ( d ) = 西2 ( p 1 ) ， 由( 1 2 1 4 ) 可得 v ( d 互( y ( d ) 9 ( y ( 习) 一d = t 如( p 1 ) 一d 西2 ( p 1 ) 一d 因此不管哪种情况都可得 矿( d y ( s ) ，s t ， 再由条件( i i ) 可知d + v ( ) o 坝0 y ( d y ( 。) ，再由( 1 2 2 4 ) ( 1 2 2 7 ) 可得矛盾 应用上面的证明可得v ( ) 奶( p 1 ) 一d ，【“， + 1 】，m + l | 因此( 1 2 2 0 ) 式 成立 下面假设( 1 ，2 1 9 ) 成立，证明 y ( ) 0 2 ( p 1 ) 一0 + 1 ) d ，t ( 件- ) ，1 f 一l f 证 y ( ) 奶( p 1 ) 一a + 1 ) d ，【七( 件i ，t 女【件- + 1 ) ，1 t 一1 首先证明 y ( ( ”- ) ) t 阮( p 1 ) 一0 + 1 ) d 用奶( p 1 ) 一谢代替西l ( ) ，用七( 州) 代替即可，同( 1 2 1 2 ) 可证明 夕( y ( i ) ) s 奶( m ) 一d 七2 七( 件1 ) 一1 ， 1 2 8 9 0 2 2 3 2 2 2 l 1 1 ， 山东师范大学硕士学位论文 若o 9 ( y ( 五。) ) ) t 白1 ( ) 2 由( 1 2 1 4 ) ( 1 | 2 1 5 ) 式可得 9 ( y ( 孟。) ) ) 奶( p 1 ) 一t d 一曲1 忙) 2 t 如( p 1 ) 一0 十1 ) d 从而有条件( i v ) 可得 ( ( 件t ) ) s ( v ( 二。+ 。) ) ) 9 ( y ( i 件- ) ) ) t 如( p 1 ) 一0 + 1 ) d 若西1 ( e ) 2 奶( p 1 ) 一0 + 1 ) ( f + j 奶1 ) 一z ( f ， 因此由( 1 2 3 1 ) 式可得 9 ( y ( 矿) ) 西2 ( p 1 ) 一i d ( 1 2 3 3 ) 若对所有的阪 t ) ，卅，“y ( 啪 锄和1 ) 一碱则令 = 嘶+ t ) ， 否则令 手= s u p 【 ( 件- ，+ 】ig ( 矿( ) ) s 西2 扣1 ) 一d ) ， 再由( 1 2 3 3 ) 式可得f 一) ，圹) 因此9 ( y ( d ) = t 。2 ( p 1 ) 一i d2 曲l ( ) 2 再由( 1 2 1 4 ) 可 得 y ( 习9 ( y ( d ) s9 ( ( 矿( d ) ) 一i = 如( p 1 ) 一i d 一0 一g ( 西l ( ) ) 一r ， 此时 妒( 矿8 ) ) 西2 ( m ) 一f d 矿0 ) ，t 一口( y o ) ) s ， 再由条件( i i ) 可知d + y ( ) o 则y ( 刁y ( r ) ，由( 1 2 3 1 ) ( 1 2 3 4 ) 可得矛盾， 应用上面的证明可得y ( ) 锄( p 1 ) 一a + 1 ) d ，【“，t + 1 】，蠡m + 1 ，从 而( 1 2 2 9 ) 式成立， 由归纳假设( 1 2 1 9 ) 成立，特殊的取i = ，则 y ( ) s 西2 ( ，1 ) 一d 0 时，g ( 5 ) o 使得下面的条件成立： ( i ) 叫l ( i z l ) y ( ，z ) 埘2 ( j z i ) ，( ，z ) r & ( p ) ； ( i i ) 当9 ( y ( ，z ( ) ) ) y ( s ，z ( s ) ) ，sst 时，有 d + y ( ，z ( ) ) 一p ( t ) c ( y ( ，z ( ) ) ) ； ( i i i ) 对任意的后+ ，存在常数p l o ( p 1 o ，时，9 ( ) ( 1 t ) ； ( v ) 令p = i n f 娃 “一“一1 ) o ，a 1 = i n f j 0 “p ( s ) 如 o c 扣矗， 1 2 ， 则系统( ，) 的零解是一致稳定的 例1 2 1 考虑微分方程 in z ( ) 燮一r ) + 巴e 。z ( + “) 如，。独 ( 1 2 3 4 ) i z ( k ) = c k z ( i ) ，七 1 4 山东师范大学硕士学位论文 其中r 0 ，口 o ，q o 且对任意的k ，l l + q f a l ( a l 1 是常数) ，假设 存在常数a a l 和g o 使得o + 警+ g 警，则方程( 1 2 3 4 ) 的零解是一致稳定的 事实上，令y ( f ，z ) = 矿，g ( s ) = a 2 s ，c ( s ) = s ，( s ) = a 缸 y ( “，茁+ “z ) = 0 + c k z ) 2 = ( 1 + “) 2 。2 a ；。2 = 雪( 矿( “，茁) ) 当9 ( y ( s ，z ( s ) ) ) y ( ，。( t ) ) ( s ) ，即a i z ( s ) lsi z ( ) i ( s ) 时，有 d + y ( ，z ( ) ) = 2 a z 2 ( ) + 2 6 2 0 ) z o f ) + 2 。( ) 矿z 0 + “) d u s2 n z 2 ( f ) + 2 6 a 一1 2 2 ( ) + 2 a 一1 2 2 ( ) e “砒 2 ( ) 【。+ 半】 一2 g z 2 ( ) = 一2 g y ( t ，z ( t ) ) 又好 咖，县：盹场氓 厂高= 厂亨利氓 厂女+ 1 2 g 幽22 g 弘 2 f 馆a j “ 满足定理1 2 2 的所有条件。从而可得方程( 1 2 3 4 ) 的零解是一致稳定的 再假设方程( 1 2 3 4 ) 还满足以下两个条件： ( i ) 存在常数 o ( 乙研 则方程( 1 2 3 4 ) 的零解是一致渐近稳定的 事实上，不失一般性，此时设i z ( ) | 1 ， 当g ( v ( s ，z ( s ) ) ) y 0 ，z ( ) ) ，一q ( y 0 ，z ( ) ) ) 5 即a l z ( s ) isp ( ) 1 0s ) 时，有 d + y ( ，z ( ) 2 0 2 2 ( ) + 2 6 i z ( ) l l 霉( 一f ) i + 2 忙( ) | 矿i z ( + u ) j 出 s2 口。2 “) + 2 6 a 一1 2 2 ( ) + 2 f 。( # ) j e 。i z ( ”) | 咖 1 5 山东师范大学硕士学位论文 又由于 2 口z 2 ( ) + 2 b a 一1 2 2 ( ) + 2 i z ( ) i e ”一。i z ( 口) i d j t 一口( y ( t ，0 ( t ) ) ) ，一g ( t z ( t ) ) ) + 2 l z ( t ) l e ”一i z ( ) i d j 一 ，0 2 口z 2 ( ) + 2 6 a 一1 2 2 ( ) + 2 a 一1 2 2 ( ) e “i z ( u ) f d j 一口( y ( t ，( t ) ) ) ，一日( y