（机械设计及理论专业论文）计算机绘制工程实体体视图的理论与实践研究.pdf

趔! 巡型幽! 墼羔竺2 2 8 摘要 己体视图是具有深度感的三维图形，针对传统体视图 的绘制工作量大，而且不适宜绘制复杂形体的体视图的 ， 问题，本文研究了计算机辅助绘制体视图的原理和方 法。首先，从研究体视投影的基本原理出发，建立了体 视投影的投影基本方程及体视投影变换矩阵，然后，将 体视投影理论和三维实体造型理论结合起来，给出了适 合绘制体视图的实体表示方法和数据结构。( ! 在综合考虑 物理、生理等因素的基础上，用c 语言开发出计算机绘 制体视图的程序。最后，研究了实体输出时的消隐问题， 并经过对r o b e r t 算法改进后，实现了齿轮输出时的消 隐。另外，本文还进行了简单的人机界面设计。1 关键词：体视投影几何造型数学模型 数据结构消隐算法真实感图形 查堕墨l 叁堂业窒竺堂些笙皇型垫 a b s t r a c t a so n e0 ft h r e ed i m e n s i o n sd r a w i n g s ，s t e r e o g r a m is m o r es e n s d o h st h a nt h eo t h e r si nf e e l i n gd e p t ho fw h a ti t p r e s e n t s i n a c c o r d a n c ew i t ht h es h o r t c o m i n g o f s t r e n u o s i t y a n du n s u i t a b l ef o rc o m p l i c a t e db o d y ，t h e p a p e rp r e s e n t e d t h et h e o r i e sa n dm e t h o d t od r a w s t e r e o g r a m u s e df o r g e n e r a t i o n o fr e a l i s t i c i m a g e i n c o m p u t e r f i r s t l y ，b a s e d o n s t e r e o p r o j e c t i o np r i n c i p l e s ， a n a l y t i ce q u a t i o n o fs t e r e o p r o j e c t i o ni s p r o p o s e d i nt h e p a p e r s e c o n d l y ，a c c o r d i n g t o c o m p u t e rg e o m e t r i c m o d e l i n gt h e o r y ，c o m b i n i n g t h e a n a l y s i s o fs e v e r a l e x p r e s s i v e m e t h o do fs o l i d m o d e l ，m a t h e m a t i c a l m o d e l a n dd a t af r a m eo fs o l i di ss e tu pt ou s e df o re x p r e s s i o no f r e a l i s t i c i m a g e t h i n k i n g a b o u t p h y s i c a l a n d p h y s i o l o g i c a lf a c t o ra n ds oo n ，s t e r e o p r o j e c t i o np i c t u r eo f s o m ef a m i l i a rb o d i e s a r ed r a w ni n c o m p u t e rb y c l a n g u a g e f i n a l l y ，w h e ns t e r o g r a mo fb o d yi se x p o r t e di n c o m p u t e r ，e l i m i n a t i o n o fh i d d e n l i n ei s t a k i n g i n t o a c c o u n t i na d d i t i o n ，t h e p a p e rg i v e sd e s i g n o fs i m p l e o b j e c t i o n o r i e n t e di n t e r f a c e k e y w o r d ： s t e r e o p r o j e c t i o n d a t af r a m e g e o m e t r i cm o d e l i n g m a t h e m a t i c a lm o d e l e l i m i n a t i o no fh i d d e n l i n er e a l i s t i ci m a g e 氐坎胖1 人学鲥究q 【# 业沧史川纸 第一章绪论 工程图学是研究工程问题与几何图形之问内在联系和相互转 换规律的科学，它的理论基础包括投影理论、几何理论及现代发 展起来的计算机图形学理论。这些理论所描述的轴测图、透视图、 体视图，是按各自的投影规律将物体投射在单一投影面上，反映 物体三维形态的图形。从运用上看，它们都是形象直观的视图， 都可以用来帮助工程技术人员进行构思想象、方案比较等。然而 轴测图、透视图虽然具有一定的立体感，但它们毕竟还只是一个 平面图形，只能区分上下、左右，深度感较差。体视投影图则吸 取了人类视觉学、生理心理学、透视投影学、色彩学、物理学等 方面的专业知识，它的视觉效果犹如看到了高度逼真、生动的实 体模型。在计算机技术飞速发展的时代，用计算机进行艺术造型、 模拟现实是计算机图形学的研究内容之一。因此，进行体视图的 研究也就成为当前的一个重要课题。 1 1 体视投影的发展及应用 1 1 1体视投影的发展与现状 体视绘图是古老的技术，在十七世纪初g i o v a n n ib a t t i s t a d e l l a 提出了从不同角度绘制精密的“图对”方法。1 8 3 8 年惠特 斯j 虚( w h e r ts t o r e ) 发明了体视镜，解决了观察图对的光路问题。 i 太照脞i ：人产训宄q 【丰业论文川纸 1 8 5 3 年w r o | | m a n 等发明了补色画泣，使体视图的观察简便易 j 。1 9 世纪何较多的小视野体视图问世，体视投影的原理被发现。 2 0 世纪5 0 年代以来，体视投影的研究偏重r 几何学原理，对双 眼的视差范围和网膜的体视区域进行划分。信息时代的来临，给 这个古老的问题赋予新的内容。6 0 年代，美国的贝尔实验室的 b j u l e s z 利用计算机产生了随机点的立体图对。7 0 年代受到傅立 叶光学信息加工的影响，体视的研究也逐渐远离几何光学上的视 差这个焦点，进入到物理光学空间频率的领域。尤其是从人工智 能的角度赋予了立体视觉崭新的研究方法视觉计算理论。8 0 年代美国麻省理工学院人工智能实验室的m a r t 提出了一种视觉 计算理论，首先成功地应用在双眼匹配上，使两张有视差的平面 图完全由计算机根据视觉理论产生了有深度的立体图形。它为今 后机器人的立体视觉理论指引了方向，一些新的学科如计算机视 觉、机器人等对双眼立体视觉有了新的要求，使这一课题更为蓬 勃发展。我国的体视投影研究起步较晚：2 0 世纪5 0 年代初，我 国学者曾提倡使用体视投影图，其后，在画法几何中使用极少量 的互补色体视图。6 0 年代以后，陆续出版过画法几何、高等数学 和立体几何的体视图集，在学术刊物上也偶尔见到体视投影研究 的论文，例如：杨中立老师于1 9 9 7 年3 月在中国民航学院学报 上发表论文体视投影图初析、体视投影图画法基础，从体 视投影原理出发，描述了在平面上绘制立体图像的投影体系和体 视投影作图的具体方法，并提出利用计算机绘图，但未见到绘出 的图样。山东工业大学张培忠于1 9 9 8 年9 月在山东建材学院学 报上发表论文利用a u t o c a d 软件绘制体视图方法，叙述了利 用a u t o c a d 绘图软件绘制各类线框体视图的方法。作图方法较 2 r 卜作罔快，而h 准确，但是其作图过程类似予手f 作图，因而 也比较繁。! 洪明等发表论文窄问曲面真实感的全方位体视， 埘空问曲而的体视作了研究，指 i 通过体视可以加强所展示物体 表两的真实感，具有一定的理论研究和实用价值，但来对形体进 行体视研究。阳泉煤炭专科学校安德元老师对体视图的投影作了 一定的研究，提出了体视投影图中的镜象与倒影的画法，扩大了 定视野体视图表达的空间范围，增强了它的应用性。但都是用手 工作图法作的，工作效率极低，无法大面积推广应用。 1 1 2双眼体视的应用概述 在有了照片观察大自然景物之后不久，w h e a t s t o n e 于1 8 5 3 年 建议将这个技术应用到显微镜，将被观察的标本在二次曝光时处 在两个不同的倾斜角度上，得到两张显微照片，使双眼观察时融为 立体像。2 0 世纪6 0 年代有了拍摄技术后，测量就是主要问题， 于是各种绘图仪应用而生，它们可以在同时观察两张照片时，将三 维像的等高线勾划出来，然后计算其深度。f o l d y n e 在古生物学 上的应用是成功的，m a n n e n 在描绘神经元方面作的很出色，勾 划出一个三维的神经元，看起来非常形象，其后在医学方面具有 了一定的实用价值，使医学界的观察仪在改进之后取得了立体效 果。在电影、电视以及其他文化艺术方面也得到了应用，例如立 体电影和立体电视是利用体视原理形成的，前几年还出现了艺术 照片。 1 2 立题的意义 太j 泉剧1 人学州究0 牛业沦史j f 】纸 综卜所述，体视图的视觉效果使人犹如看到了高度逼真生动 的实体模型，它在医学、分子结构、绘l 嘶艺术等方面得到了定 的应, e l j ，f h 是传统的体视图利用视线迹点法作图，过程非常繁琐 作图线密集交加，工作量相当大，无法绘制复杂的形体：而且传 统的体视图单纯从几何变换的角度进行双心投影作图，现有资料 中未见对其理论做过较系统和深入的研究。因此，即使在工程图 学和计算机技术相当发达的今天，体视图也未能显示出其三维图 学的优势，研究的学者也比较少。 随着计算机技术的飞速发展，利用计算机生成体视图成为可 能，一旦实现这一目标，计算机将快速准确地完成复杂形体的体 视图绘制，人们将从繁琐的体视图绘图劳动过程中解脱出来，也 必将大大推广体视图的应用范围。 体视图作为表达三维世界的理想手段之一，在当今电子计算 机飞速发展的时代，很具研究价值，今后必将会取得广泛的应用 前景与良好的社会和经济效益。因此本科题选择体视投影图作为 研究对象，进行计算机辅助体视图绘制研究。以便使体视图能够 被更多的人所了解，所接受及应用。 1 3 研究内容与技术手段 体视图具有其它各种视图所缺乏的能感知深度的优点，近年 来，它在医学、地质、绘画艺术等方面得到应用，但很少用在机 械工程方面得到开发，如果把它用在机械结构的图示，以及制造 过程的仿真模拟等方面，必然会取得良好的社会经济效益，用在 4 敦学软t 1 ：的制作中，也会达到翕半功倍的效粜。小交t 要从体视 投影的原理入于，找出其理论模型，并丌发出汁算机辅助绘制1 。 样实体体视图的c 语言程序，为进一步的应片j 打好基础。_ i 要进 j 的作如下： 1 体视投影的投影理论研究 体视投影主要研究在平面 = 图示、图解空l 训形体，并利用图 埘视差和各种生理、心理、光学条件交会出三维空问像的规律和 方法，其中包括从三维形体到两维图对，从两维图对到三维空间 像的投影交会全过程。通过研究这些成像规律，推导出体视投影 的投影基本方程，从而得出体视投影变换的投影矩阵，并用c 语 言编程实现。 2 计算机几何造型技术研究 这部分内容主要包括形体的定义、性质、表示以及集合运算 等，对形体进行平移、旋转、变比等几何变换的控制，对比分析 表示形体的各种方法，通过对以上内容的研究，得到表示各类形 体的适当方法，用c 语言编程实现。 3 建立应用实体的数学模型和数据结构 由于齿轮是机械工程中常用的零件，以齿轮为例，分析齿面 的形成、结构特征参数，建立其数学模型以及表示形体的方法， 具有一定的代表性。从齿轮的结构参数出发，建立体表、面表、 点表的链表指针数据结构。考虑到在教学软件中的应用，本文还 分析了一些常见的平面立体和曲面立体的数学模型及数据结构， 用c 语言编程实现。 4 体视图的计算机输出 在前述各项内容研究的基础上，进行模块化设计。用t u r b oc 5 语高编制出使川方便、灵活、覆盖域较宽的计算机绘制体视图程 序，将体视图的绘制从繁琐的手工作矧中解脱出来。 6 第二章体视投影的理论研究 2 1 体视投影的形成和术语 2 1 1 体视投影的形成与特点 人眼的瞳距平均为6 4 m m 。两眼同时注视近距离的同物体 时，左右眼视网膜上的映像出现生理视差，如图2 1 ，从相 图2 - 1 距6 4 m m 的两视点过空问物体向画面引视线，必出现左右两组， 且与画面相交出一对透视图，这对透视图也出现和生理视差一致 7 的视差。当采用“补色法”或“肉眼脱察法”使这对透视阁杓： 画丽前方或后力交会时，就会出现和窄唰形体相似的j 维节体 像。这种其有视差的一对透视图就是体视图。可见，体视劁的基 本作幽，就是从水平相距6 4 r a m 的两视点向物体引视线并求其i 画 面迹点。 体视图是固定视点的三维图像，其信息量比透视图多一倍， 可以提供与画面垂直的深度视觉，用于表达三维空问、曼维形体、 多维空间和多维形体，与透视图和轴测图相比，更具有直观性。 由于体视图保持了严格的视差，所以和双眼对实物的视觉一样， 可以进行任意方向的度量，这是一般工程图所无法相比的。与全 息摄影的三维成像术比较，体视投影是一种主动的表现手段，它 可以表达抽象的空问思维和设计构图，不必依据实物就可以进行 形体的表达和艺术形象的创作，加之易于掌握、易于普及，不需 要复杂昂贵的设备。但是体视图的作图要求有极高的精度，而且， 手工作图方法比轴侧图、透视图繁琐的多。特别是与视觉生理的 密切关系，带来了生理学和心理学的问题。因而，绘制体视投影 图绝不是两个透视图的简单配对，体视投影理论也不是一个单纯 的图学理论，与一般图学不同之处是制图技术和看图技术密切相 关。 2 1 2 体视投影分类 可从不同角度将体视投影进行分类 l 、 按画面分类 可分为水平画面、正立画面、倾斜画面、复合画面、圆柱画 面体视投影等。 2 、按视野分类 r 太胤璀1 人，+ 埘， 毕牡论上用纸 - 叮分为小视野( 固定视点，视野5 0 。i 二i ) 、人视野和令景 ( 运动视点、动态视野5 0 。3 6 0 。) 体视投影。 3 、按投影方式分类 可分为透视体视投影和轴测体视投影。 4 、按观察方式分类 互补色体视图。左、右体视投影分别用互补色( 常用红、 绿互补色) 绘制，戴上相应的互补色眼镜观察。 偏振体视图。用光的偏振原理，将左、右体视投影通过 起偏装置后投射到特制的屏幕上，戴上相应的眼镜观察。如立体 电影。 光学透镜体视。通过一对目镜分别观察左、右投影，就 会呈现融合像，这样的体视图，其左右投影不能重合，视野受到 透镜的限制。 裸眼体视。不戴眼镜，用眼睛直接观察，这样的左右体 视投影也必须分离，需经一定训练才能掌握这种观察方法。 2 1 3 体视投影的术语 体视投影涉及学科较多，各学科对相同概念又派生不同的名 词术语和代表符号。即使在体视投影的研究范围内，人们所用也 不尽相同，本文采用较通用的术语，如图2 2 所示。 画面体视投影的投影面，以字母p 表示，水平画面用字 母h 表示，正立画面用字母v 表示。 视点相当人眼的位置，是双心投影的投影中心，以大写 字母s 表示，左视点和右视点分别加下标注明，左视点为s l ，右 视点为s ，。 9 太原理1 = 大学研究生毕业论文用纸 兰警誊ii 1 07 j j 图2 2 站点视点在水平画面上的投影，用小写字母表示s ，左 右站点分别加下标注明，左站点为s l 右站点为s ，。 基面一般取为水平面h 。 基线画面和基面h 的交线，用g 唱表示。 心点视点在画面上的垂足，左心点用o l 表示，右心点用 0 ，表示。 物点欲作投影的空间点，一般用大写字母来表示，例如 a 。 图点过视点和物点的直线与画面的交点，图点用相应的 小写字母表示，例如左图点用a l 表示，右图点用a f 表示。 图对由左右两组图点或者图线分别组成的一对投影图称 为图对。 视距物点到双眼基线之1 1 = j j 的距离，用大写字母d 表示。 1 0 卜火点视平线与确面的交点，例如左火点 ji l 表示，右 灭点j | ji ，表不。 视高一一视点至站点的高度，用字母h 表示。 瞳距两眼瞳孔的中心距，删p o 表示，一般取p o = 6 4 r a m 。 视平面物点和左右视点构成的平面。 2 2 体视投影的基本画法 2 2 1 在h 面上的体视投影 已知点a 的坐标为x 。、y 。、z 。，作a 点的h 面体视投影趴 a - 图对。作图方法如图2 3 所示： 根据a 点的坐标x 。、y 。、z 。，绘制其两面投影a 和a ”； 选择视点位置，以确定站点s i 和s ，绘出视点的侧面投影 s ； 连接s a 一交y 轴于a y 处，自a y 作a y a o s i s ，a 点的体 视投影总在此线上，因为此线确定了视线迹点的y 坐标。 连接s i a 和s 一为左右视线的h 面投影，分别在a y a o 线 上交出a l 和a r 即为a 点的体视投影图对。 注意：此图的a - 和a t 平行于双眼基线和站点连线，称这种关 系为“平移”关系，图对的对应图点均具有“平移”关系，但同 一图形中各点的平移量不一定相同，当眼基线不平行于画面时， 图对的对应点不具有平移关系。 用同样的方法可作出v 面上的体视投影，这罩不再赘述。 太坂理丁人学研究生毕业论文用纸 图2 3 2 2 2 点在一般位置画面上的体视投影 1 作图方法 已知点的坐标为x d 、y d 、z d ，a a b c 为一般位置平面，d 点在a a b c 上的体视投影的作图方法如图2 - 4 所示。 画出坐标系和点d 的两面投影d 、d ”； 选择视点位置确定站点s i 、s r 和s ”； 连接s ”d ”为视平面s i d s r 的侧平面迹线，此迹线有积 聚性： 求出视平面与画面a a b c 交线的侧面投影l ”2 ”； 用线上取点法求出交线的水平投影1 2 ； 连接s i d 、s 一为左右视线的水平投影，它们分别与交线 交f - d i d 。即为d 点在a a b c 画面上的体视投影。 1 2 太缘理t 人学研究生毕业论文用纸 2 作图要点 点在一般位置平面上的体视投影，其图对连线不平行于双眼 基线，而是与站点连线倾斜，画面迹线无积聚性，此时主要利用 视平面侧面迹线的积聚性，求出视平面与画面的交线，在交线上 确定图对的位置。 y s 、， 、。r ! 二一 图2 - 4 2 2 3 平面立体的体视投影 图2 5 所示为四棱柱在画面v 上的体视投影的作图过程。利用 迹线法作出四棱柱上各顶点的体视投影，按照拓扑连接关系连接 所有同名图点，即可得到四棱柱的体视投影。所有平面立体的体 视投影都可照此法作图。 太原理f 人学研究生毕业论文用纸 图2 5 2 3 视差及其计算 2 3 1 会聚角和视差角及视差的定义 1 、会聚角 双眼同时注视一近目标时，眼球同时向内转，在一定限度内目 标越近眼球向内转的程度也越大，这种现象叫集合。具体地说，集 合就是把双眼中央凹的中心对准观察点，在双眼中央凹的中心， 给出相对应的影像。这是一种特殊的相对点，这种观察点就称为 注视点，产生集合的最近限度点称为集合近点，集合刚好消失的 太原挫f 人学研究生毕业论史用纸 目标所在点称为集合远点。在三维审问的观察巾，被观察的各点 分布在兰维空间的不同位置，具有各自的空州坐标，在所有的点 中，视觉器官根据主要观察对象进行调节和集合，当目标点和集 合的注视点重合后，集合完成，再通过调节使视网膜像清晰。双 眼视轴分别过视点和注视点，两视轴的夹角就称为会聚角。用a 表示。 2 、视差角 注视点以外的观察点称为目标点，同一目标点在视网膜上的 影像称为同名像点。构成同名像点并过视点的视线称为同名视 线。一对同名视线之间的夹角称为视差角。用1 3 表示。 3 、视差 视差角与会聚角之差称为视差，用1 i 表示。注视点的视差等 于零，视差是带有深度信息的，它通过视皮层特殊细胞的检测， 可以从中感知深度，视差是深度感的主要条件，也是体视投影作 图的主要条件。 2 3 2 会聚角和视差角的计算 会聚角和视差角均为左右视线的夹角，但是会聚角和左右视 点组成等腰三角形的主视觉平面。视差角和左右视点组成的视平 面只有在观察点属于两眼视轴上时，才构成等腰三角形，否则一 般均为不等腰三角形所确定的视觉平面。这就决定了会聚角和视 差角具有不同的计算方法。 l 、会聚角的计算： 当会聚角很小时，可以用近似计算法。 按弧度计算： a = p o d ( r a d )( 2 1 ) is 太原脞1 1 人学研究生毕业论义用纸 按角度计算： o = 1 8 0 p o d ( 度) 式中：d 为视距； p o 为两眼瞳孔的中心距； 按中央眼位置计算视距： d = 【( x s - - x i ) 2 + ( y s - - y i ) 2 + ( z s z i ) 2 严 式中：x s ，y s ，z s 为中央眼坐标。 会聚角的精确计算公式为： ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) q = 2 a r c t a n 0 5p d ( x s - - x i ) 2 + ( y s 一) 2 + ( z s z i ) 2 】l 2 ) ( 2 - 4 ) 2 、视差角的计算： 视差角可用左右视线方向矢量的夹角表示，设左眼视线方向 系数为l l m l ，n l i 右眼视线方向系数为l r , m 。，n r ，则有 ( 1 1 2 + m 1 2 + n 1 2 ) ( i t 2 + m r 2 + n r 2 ) 】1 ，2 如视点为s l ( x t ，y l ，z 1 ) ，s f ( x 。y ，z 0 物点为a ( x i ，y i 厶i z ) ，方向系数用坐标差计算，即 蒌 篡， ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 6 = bsoc 太原删1 人学”究生毕业论史用纸 实际上，眼基线常处于与轴平行位置，h 双眼处于水平位置，所 以： y l = y r = y s m 1 2 m r z i = z ，= h n l = n r 如果中央眼放在坐标轴上的高位置，则有： y i = y f = y s = o m 1 2 m r = y i x f x l = p 0 ，2 l = z l = h n l = n r = z i h 则( 2 5 ) 式可简化为： c o s t 3 = x i 2 - p 0 2 4 + y 。2 + ( z l - h ) 2 ( x 。+ p o 2 ) 2 + y f + ( z i h ) 2 】 ( x p o 2 ) 2 + y 。2 “z i h ) 2 】 m ( 2 8 ) 2 3 3 视差的计算公式 视差是深度感的重要暗示，是体视投影作图的重要依据，忽 视了视差计算，将使体试图出现各种缺陷，甚至失败。 n = b ( 2 9 ) 在小视野中视差可用公式： n = 1 8 0 p o a d d i d 2f 2 1 0 ) a d = d 2 一d t 式中：d 2 为观察的目标点的视距； 太昧蛙1 人学i l j | 究牛毕业论史用纸 d ，为注视点的视距： 根据生理学研究健全的双眼，感觉视差的范围大约为： 1 0 ”( n ( 7 0 ( 2 1 1 ) 当每一个单体的视差计算全部满足要求后，才能进行画体视 图，如果个别单体的最小视差太小或最大视差超过最大值，可以 采用下述方法，调整形体、画面、及视点之间的空间位置。 l 、向前或向后平移，以改变视距。 2 、放大或缩小图形比例，以改变空间坐标值。 3 、旋转形体，使形体、画面和视点处于合理位置。 2 4 体视图幅尺寸计算 体视投影的图幅受两个条件制约，其一是被投影形体的大小， 其二能产生立体视觉的视野范围。 2 4 1 体视投影的投影空间分析 左右眼共同看到的空间范围称为体视投影空间，体视投影空 间可近似视为一个椭圆锥，垂直方向为短轴，水平方向为长轴。 体视投影不同于平行投影和透视投影，视域所给定的仅仅是位于 画面上的点的投影范围，并不能确定空间物点的投影空间。在视 点与画面之间，距画面越远，投影空间就越小，当距离大于视锥 的高度时，就成了体视投影的盲区如图2 - 6 。因此必须控制体视 图的尺寸，使空间点不超出投影空间的限定范围。从物理学和生 理学的角度来说，由于各种颜色的体视视野不同，其中绿色的体 视视野最小，所以在画红绿互补色体视图时，应采用绿色体视视 l r 太原理1 人学研究生毕业论上用纸 野。 2 4 2 体视图幅尺寸计算 根据体视视野资料，若将体视视锥视为一椭圆锥，在h 等于 图2 6 区 2 5 0 m m 时，长半轴a = 1 4 4 m m 短半轴b = 1 2 5 m m 。 根据画面视野的椭圆半轴a 和b 可作出一椭圆，在椭圆内再作 最大矩形即为体视图图幅，如图2 7 所示。 其椭圆方程为： ( x x o ) 2 a 2 + ( y y o ) 2 b 2 = 1( 2 1 2 ) 过椭圆中心作直线，当斜率为b a 时与椭圆的交点k 必为最大矩 形的角顶。 9 太缘理 。人学研究生毕业论文用纸 + 该直线方程为： y y o = b ( x - x o ) a 求交点k 解之得 图2 7 x 2 x o + a 4 2 - 1 ly = y o + b 、，丁 因此体视图图幅尺寸为 长l = z ra = 2 0 4 m m 宽m = 4 2 - b = 1 7 7 m m ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 太燎删t 人学研究生毕业论立朋纸 第三章形体的几何造型分析 确定了体视投影的数学模型之后，要想在计算机中生成体视 图，还需要建立物体的实体模型，那么就必须对实际存在的物体 进行几何造型方面的分析，从而得出物体的模型。 3 1 形体的定义 几何造型是通过计算机及其图形系统，利用点、线、面等几 何元素，产生实际的或者是想象中的实体模型，它直接影响到软 件系统的应用方便与否、工作效率的高低，以及计算运行的速度 问题。 3 1 1 形体的定义 形体在计算机中通常采用五层拓扑结构来定义，见拓扑结构 图。 l 、体 体是由封闭表面围成的有效空间，一个形体是三维空间 中非空有界的封闭子集，其边界是有限个面的并集，外壳是形体 的最大边界。 2 、面 面是形体表面的一部分，且具有方向性，它可以由一个外环 或若干个内环界定其有效范围，面可以无内环，但必须有外环， 面可以看成是有限条线段的并集。 走蟓删1 人学乜玎究7 扛毕业论史用纸 3 、外 环是有序有向边组成的面的封闭边界，环中各条边不能自交， 相邻两条边兵享一个顶点。环有内外之分，内环方向为顺时针走 向，外环方向为逆时针走向。 4 、边 边是两个相邻面的交界，也是组成面的元素，一条边有两个 端点定界，分别称为该边的起点和终点。 5 、点 点是边的端点，点不允许出现在边的内部，也不能孤立存在 于物体的内外或面的内外，它是构成边的元素。 6 、体素 体素是有限个尺寸参数定义的一个简单封闭空间，如圆锥、 长方体、球等。 图3 1 所示为实体的拓扑结构图。 图3 1 拓扑结构图 太垛删1 人学州究生毕业论土用纸 3 1 2 基本体素 1 、球体 球体是由一个球面围成，球心在p o ( x o ，y o z o ) ，半径为r 的球 面方程为： ( x x o ) 2 十( y y o ) 2 + ( z z o ) 2 ：= r 2 写成矢量形式为： ( p p o ) ( p p o ) 2 ， 球体的集合表示为： ( x ，y ，z ) i ( x x o ) 2 + ( y - y o ) 2 + ( z z o ) 2 r 2x , y , z e r 球面的集合表示为： ( x ，y ，z ) l ( x x o ) 2 + ( y y o ) 2 + ( z z o ) 2 = r 2x ，y ，z r 球面的法向量为沿半径方向指向外侧。 2 、圆柱 一个底面中心为p o ( x o ，y o ，z o ) ，半径为r ，高为h 的圆柱面方程 为： i - ( x x o ) 2 + ( y - y o ) 2 寻 弋 l z o z z 0 + h 圆柱体的集合表示为： ( x ，y ，z ) i ( x x o ) 2 + ( y - y o ) 2 + ( z z o ) 2 r 2 ，z o z z o + l l ，x ，y , z er 圆柱面的集合表示为： ( x ，y ，z ) i ( x x o ) 2 + ( y - y o ) 2 + ( z z 0 ) 2 = r 2 ，z 0 z z 0 + h ，x ，y ，z r ) 3 、长方体 长方体的表示前以叙述，它可以看成有六个面组成，各个面 都有其方向矢量和方程，而且是有向的面，面的方向指向外侧。 其它体素不在一一列举。 2 3 太原删【大学卅 究中毕业论殳用纸 3 2 形体的常用几何造型方法 形体的常用造型方法主要有离散法造型、代数法造型。 3 2 1 离散法造型 所谓离散法造型是在用平面多面体近似表示曲面体的基础上 的一种造型技术。例如对圆柱面可用许多个四边形进行离散化处 理，对圆锥面可用许多个三角形进行离散化处理，球面可以用四 边形进行离散化处理。对这些曲面体进行离散化处理时，通常用 给定它们的特征参数( 如半径、中心等) 的方法定义。而不是直 接定义它们的近似平面多面体。因此离散法造型首先要解决体素 的离散化问题，即有体素的特征参数求出其近似平面多面体上各 个面的方程，边界线及顶点坐标。离散造型法的特点如下： 1 曲面离散化后，点、边、面的数量急剧增加，故离散法造 型系统的数据量大。 2 体素与复合体的离散化表示完全一致，故集合运算结果 可保留，便于为其他复合体调用，因为在计算机内部都是以平面 为基础的边界表示。 3 扩充体素类型比较方便。 4 计算相对简单，计算工作量相对少。 3 2 2 代数法造型 代数法造型不象离散法造型那样用系列平面多边形和直线 段来表示形体，而是直接用代数方程式表示曲面和平面，用代数 法造型表示的形体，一般都有标准的方程式。代数法造型系统体 素种类简单，所需存储量省，运算速度快，但形体覆盖域比较小， 2 4 太原型i ：人学州究生毕业论史用纸 故适合在微型计算机系统上运行。 代数法造型特点： l 、在有限形体覆盖域内，代数法造型比离散法造型速度快 精度高占用内存少，适宜在微型计算机上运行。 2 、形体的覆盖域较小，在些情况下，还需要加入一些辅 助表示形式或近似表示形式，以扩大造型系统的覆盖域。 3 3 形体在计算机内的表示方法 形体的几何表示方法主要有三种：即线框模型表示法、表面 模型表示法和实体模型表示法，线框模型表示法又是表面模型表 示法和实体模型表示法的基础。 3 3 1 线框模型表示法 线框模型是由一维几何元素中的点直线和二维几何元素中的 曲线构成的模型，线框模型具有结构简单，易于理解等特点。它 是计算机图形学和c a d 领域中最早用来表示形体的模型，至今 仍在广泛使用，线框模型是用顶点和邻边来表示形体，例如：一 个长方体有八个顶点v i ，v 2 ，v 3 v 8 和十二条边e b e 2 ，e 3 ，e 1 2 组成，可用一个顶点表和一个边表来描述这种线框结构。 对于多面体来说，用线框模型是很自然的，因为图形显示的 内容主要是边，但对非平面体如圆柱体、球体用线框模型表示就 存在一定的缺陷，其一是，在表示曲面体时，曲面的轮廓线随视 线的变化而变化，因此，显示或输出物体的投影视图之前，需要 对实际物体的轮廓线进行计算。其二是，线框模型只给出顶点和 太蟓胖f 人学研究生牛业论文用纸 棱边的信，臼。，不能明确表示点与形体之间的关系，无法确定点存 形体的内部还是外部，或者是表面上，因而会给进一步的图形处 理，如消隐，明暗色彩处理带来一定的麻烦。 3 3 2 表面模型 表面模型是由二维几何元素中的多边形，三维几何元素中平 面或曲面构成的模型，即它是用有向多边形围成的部分来定义形 体的表面，再由面的集合来定义形体，它比线框模型多了面的信 息。因而，可以进行进一步的造型处理，例如：可用来消除图形 的隐藏线和隐藏面，也可用来处理面与面之间产生的阴影问题。 在表面模型中，没有明确定义面的哪一侧是物体的内部，因 而，不能完全保证构成一个封闭的多面体。并且在构成封闭多面 体的时候，不能求解出它的重量和重心。因此在物理性质计算， 有限元分析等应用中，表面模型在形体的表示上，仍然缺乏完整 性。 3 3 3 实体模型 实体模型是以三维元素中的多面体为基础构成的模型，它实 际上是在表面模型的基础上附加了面的方向信息。为了表示面的 哪一侧是物体的内部，规定了构成面的顶点是有序的，即在物 体外部观察构成面的顶点，是按右旋顺序( 逆时针方向) 定义表 面的，面的方向的设定除按顶点顺序设定外，还可用棱边的顺序 排列的方法来确定。与表面模型相同的是，实体模型一般是由许 多多边形的集合来表示的，也可用自由曲面来表示。不同之处是 实体模型定义了表面外环的方向。因为实体模型包含着与三维立 体相关的信息，所以可以求解出物体的重量、重心等。实体模型 适用于物理性质计算，有限元分析等。但是实体模型的数据结构 2 6 太原理r 人学究生毕业论文用纸 复杂，占用的内存人。 具体选用哪种模型，应根据实际情况确定。 【xy zl 】- x y z r 奎主。 ( 3 2 ) 太操删1 人学研究生毕业论业用纸 物体上的所有点均按式( 3 2 ) 进行平移计算后，即可得到三维物体 移动的结果。 3 4 2 三维比例变换 设三维空间中的物体在x 轴，y 轴，z 轴方向扩大或缩小的比例 因子分量为s x , s y ，s z 则： 那么比例的变换矩阵为： ( 3 - 3 ) 【x y z l 】2 【x y z l 】t - s x0 。0 0 3 - 4 ) 式( 3 4 ) 进行的比例交换是相对于坐标原点发生的。当它作用 于一个物体时，如果三个比例因子不相等，比例变换后的物体就 会发生变形，如果要使物体保留原形状放大或缩小就采用均匀的 比例因子，即，如果对任意点进行比例变换，就不能直接用上述 变换矩阵，但可以采用组合变换进行，即首先将定点平移至原点， 再用式( 3 4 ) 对原点进行比例变换，最后将定点平移回原位置。 3 4 3 三维旋转变换 2 8 ，f f ：1 。jr - x 、j 物f 水j 且ij 雠i 生j 9 1 【i 、j j l 盟? f 朔j t i t , j j 旋4 钠j l ，) ：硼j i 二旋转彩少胜。 l 、绕x 轴娩转f | 7 曼为r ： 此时的旋转的基 埘膨的髓转变换 本方程为： r y 2 y c o s r z s i n r tz 融- y s l n r 协o s r 【3 - 5 ) 矧，阵为 【x y z1 】_ xy z1 】 2 、绕y 轴旋转角度为r ： 此时的旋转的基本方程为 0o、 s i n r0 i( 3 6 ) j ，x z = z c o s r - x s i n r， 对应的旋转变换矩阵为： ( 3 - 8 ) or哪 。 盯 廿 o m 0 ， 0 o o 、，l， 0 o 0 盯 ， 一 o o 0 o o 一 。 妇 。，。l zvx xy z 1 】2 【xyz j j r：。：j：)i ( 3 - 9 ) 对于以上一二种旋转变换，要注意角的正力向为从所绕旋转轴 上任一点沿轴的负向向坐标原点看过去，表现为逆州针t ，j _ 向旋转 的角度为正转角。 第四章应用实体的数学模型 z 虑， j “、 她 鬈i 以f 、j 【z ! l 、f i 卜 f l _ 【l f j f h f jf 0 、 诞 以i ，j 笠等域， 这p 先以机器r ，最常川的撕轮f 1 为、i 川文体，川州给出r 纠； 见的平面市体和曲而、 。体的数学模，叭以便町以川到教：学软r t 亿以助教学或者用到其它方向。， 4 1 齿轮的数学模型及其数据结构 在机器或设备中，齿轮是最常用的零件之。，它在机器中是 用来传递动力和运动的零件。 4 1 1 齿轮的基本参数及几何尺寸 l 、基本参数 齿轮的齿数：z 齿轮的模数：m 是决定齿轮基本尺寸的一个重要参数。 分度圆压力角：a 一般取2 0 。 2 、几何尺寸 齿根高：h f = ( h 。+ c + ) m 齿顶高：h a = h a * m 齿全高：h = h 。+ h f = ( 2 h 。+ + c + ) m 齿顶圆直径：d 。= d + 2 h 。= ( z + 2 h 。+ ) m 齿根圆直径：d f = d 一2 h f = ( z 一2 h 3 + - 2 c + ) m 1 i 划：h 。7 , 1 齿弧岛系数， c + 为坝隙系数 分度圆卣径：d = m z j i 弛ua 符：d b = d c o s ( j 分度圆齿厚s 及分度圆齿榴宽e ：s = e = nm 2 4 1 2 齿面的表示 最常见的齿轮的齿廓曲线为渐丌线，这q i 以渐丌线吲村齿轮 为例说明。 为了表示齿面，根据第三章的叙述j 知，f 1 先要找到个比 较合适的表示方法。由于齿面是渐丌线曲而，采用离散法表示 然后进行参数化设计是比较合适的。因为这种方法便于进行体素 扩充以及建立其数据结构，也便于采用比较通用的方法进行图形 处理。在这种方法中，把齿面看成是由若干个四边形平面构成， 下面进行分析渐开线的几何特性，以便建立其数据结构。如图 4 一l ，p 为圆的渐开线上的一点，由几何关系可知： 。i 图4 1 太原理工大学研究生毕业论文用纸 f 淼 4 1 3 齿轮的数据结构 研究分析后认为，轮形状具有如下结构特点，它的每个齿都 由一个圆柱面和两个渐开线曲面构成，因此齿轮形状就是由2 z 个渐开线曲面和2 z 个圆柱面以及两个平面确定。为了访问数据方 便起见，把这些面先按齿分类，然后再把每个齿看成是由五个表 面构成。根据第三章的论述，综合考虑满足造型操作和消隐运算 的要求，对齿轮的数据结构选用表面模型，采用离散法造型用四 边形平面来近似表示曲面。 4 1 4 建立齿轮数抓结构的流程幽 构的流程图如冈4 - 2 参数初始化 t 计算一个齿面的数掳 t 计算一个齿的数据 i t 计算z 个齿的数据 i i ( 图形变换 i t 得到齿轮的数据结构 图4 2 建立齿轮数据结构流程图 4 2 平面立体的数学模型及数据结构 ：决定该选择什么样的数拥结构。 4 2 1 平面立体的数学模型 平面立体基本上都可以看成是 若二卜个j i 多边形闻成，这 些平面多边形用平面解析式表示为a x + b y + c z + d = o ，其中( a ，b c ) 是平面的法向量。本文研究平面立体的几何形状的目的是绘制体 视图，如果采用实体模型，虽然能提供许多几何方面或其它方面 信息，但会占用相当大的计算机内存，而体视图不必进行光照处 理，因此决定采用表面模型表示法表示。 4 2 2 平面立体的数据结构 三维模型的基本几何元素有顶点、棱边、平面，平面立体， 由确定它的形状的多边形平面的集合来表示。根据进一步的处理 要求，还需增加表面的性质表示多边形平面的平面方程式巾 的系数a ，b ，c ，d 。 l 、多边形的表示 多边形的表示法主要有以f j i 利- ： ( 1 ) 、基于顶点表的表示法 1e n 这j _ 【 1 ，江巾，构成多边形的吣1 、i 的h t j ；按1 脏! 戍揣 娩j | | i j j - ：- t 1 1 列、彩也；s 的肜太小j , j ： s - i ( x j y i z i ) o - 一，( x 。y 。z ，、) 表t | | 邻的两个顶点连接成边，并l 最后的顶，t ? i j 最仞n j j 连接成边。 ( 2 ) 、利 ”旨阳顶点表的指针表，j i 多边彤。 首先建、2 多边形的顶点为： v 2 ( x i y i ，z i ) ，( x 。，y 。，z n ) 或w ( v l ，v 2 ，v 。) 然后再用指向多边形的顶点的下标来定义多边形，如图4 - 3 中的两个多边形s l 和s 2 可表示为： s 1 2 ( 1 ，2 3 ) s 2 = ( 2 ，4 3 ) ( 3 ) 、显示边表表示法 除顶点表之外还需要定义边表，而且用指向边表的指针( 即 边的下标量) 定义多边形，边表中的各条边i f 构成该边的两个顶 点和该边所属多边形的下标量表示，仍以图4 - 3 为例说明，其数 据结构如卜： 顶点表： 1 v =