（机械设计及理论专业论文）齿轮传动动态弹流润滑的数值计算模型研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 齿轮传动动态弹流润滑的 数值计算模型研究 摘要 渐开线齿轮在啮合传动过程中，其轮齿刚度、接触载 荷、齿面速度和曲率半径等沿啮合线在始终变化着：同时， 由于齿轮制造、安装误差等原因不可避免地会产生动载荷。 所以说，齿轮啮合属于典型的动态过程。而现行的齿轮接触 疲劳强度设计仅仅适用于静态干接触h e r t z 理论。因此，进 行齿轮动态润滑研究对完善齿轮强度设计理论具有一定的 理论意义。 本文的研究是建立在齿轮传动系统动力学及弹性流体 动力润滑理论基础之上。首先采用系统分析法分析了轮齿接 触动载荷沿齿轮传动啮合线的分布：接着提出了与动载荷相 适应的弹性流体动力润滑理论；最后形成了齿轮传动动态弹 流润滑的数值计算模型。该计算模型的建立，无疑为后续研 究奠定了坚实的基础。分析、总结本文的主要工作，可以归 太原理工大学硕士研究生学位论文 纳如下几点： 1 采用系统分析法建立了齿轮传动系统的扭转振动、 横向振动及其耦合振动的等效动力学模型和相应的动力学 方程；计算了轮齿静刚度、动态啮合刚度；分析了轮齿的齿 形误差、基节误差对啮合刚度的影响；给出了轮齿刚度及齿 轮动载沿传动啮合线的分布。尤其是运用m a t l a b 中的 s i m u l i n k 求解齿轮传动系统动力学方程是本文的特色之一。 2 采用当量齿形法详细地分析了轮齿的总变形，其中 包括当量齿形中矩形和梯形两部分的弯曲、剪切变形以及由 轮齿基体弹性倾斜所引起的轮齿变形和轮齿接触变形等，并 给出了相应的变形曲线图。 3 将齿轮动载计算结果与润滑理论进行耦合从而形 成了齿轮动态弹流润滑计算公式。这些公式中不仅考虑了润 滑剂的热效应和非牛顿效应，还考虑了载荷、速度、曲率半 径等随时间和空间的双重变化。应用这些公式，可以算出轮 齿在啮合线上任意位置啮合时的齿面压力分布、油膜厚度、 温度分布及摩擦系数等。 4 。提出了齿轮传动动态弹流润滑数值计算方法。由于 多重网格法数值稳定性好、收敛速度快，近年引起了各国弹 太原理工大学硕士研究生学位论文 流工作者的青睐【l 】，鉴此，本文提出了采用多重网格法进行 计算的求解思路和数值方法。但由于时间所限，未能获得数 值计算结果，这也正是本文的缺憾之处。 关键词：齿轮传动，轮齿刚度，振动，弹流润滑，非牛顿流 体，热效应 g e a r dn o n - s t e a d yt h e r 队l e l a s t o h y d r o - d y n a m i cl u b r i c 麓n o nb a s e d o nn o n - n e w t o n l nf l u i d a b s t r a c t d u r i n gt h et r a n s m i s s i o no ft h ei n v o l u t eg e a ri nm e s h ，t h e g e a re n g a g e m e n ts t i f f n e s s ，t h el o a d ，t h es l i d i n gv e l o c i t ya n d t h e c u r v a t u r ea r e v a r y i n g w i t ht h em e s h i n gl i n eo ft h eg e a rt e e t h a t t h es a m et i m e ，b e c a u s et h e r ea r es o m em a n u f a c t u r i n ga n d i n s t a l le r r o ra n dt h e l i k e ，s o t h e d y n a m i c l o a d i n e v i t a b l y p r o d u c e d s o w ec a n s a y t h et r a n s m i s s i o no fa g e a r i sa r e p r e s e n t a t i v ed y n a m i cp r o c e s s ，b u tt h e c o n t a c ts t r e n g t hd e s i g n w h i c ha r eu s e dn o wa r eo n l ya p p l i c a b l et ot h es t e a d yc o n d i t i o n o ft h ec o n t a c th e r t z t h e o r y t h e r e f o r e ，p r e c e d i n g t h er e s e a r c ho f t h ee l a s t o h y d r o d y n a m i cl u b r i c a t i o no fw h e e lg e a rf o rap e r f e c t s t r e n g t hd e s i g n i n g t h e o r i e sh a st h ec e r t a i nt h e o r i e sm e a n i n g t h i ss t u d yi sb a s e do na c o m p r e h e n s i v em e t h o dw h i c h 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 a p p l i e sd y n a m i c sa n dt r i b o l o g y t ot h e a n a l y s e s o ft h e g e a r t r a n s m i s s i o ns y s t e m t h er o t a t i o na n dt r a v e r s ev i b r a t i o no fs i x p a r t si nt h eg e a rt r a n s m i s s i o ns y s t e ma r es t u d i e di nt h i sp a p e r a n dt h e nt h ea u t h o r b r i n g f o r w a r dt h e e l s t o h y d r o - d y n a m i c l u b r i c a t i o nt h e o r ym a t c hw i t ht h ed y n a m i cl o a do ft h eg e a r , a n d a tt h e i a s t ，d e v e l o p i n g a c a l c u l a t i n g m o d e lf o rt h e e l a s t o h y d r o - d y n a m i cl u b r i c a t i o no f t h et r a n s m i s s i o no ft h eg e a r i nm e s h t h ee s t a b l i s h m e n to ft h em o d e li sd o u b t l e s sas t a b i l i t y b a s ef o rt h ec o n t i n u i n gr e s e a r c h a n a l y s i s ，s u m m a r i z i n gt h e t e x t u a lm a i nw o r k ，c a r li n d u c ea sf o l l o w s t h e e q u i v a l e n t k i n e t i c sm o d e la n dt h e d y n a m i c e q u a t i o n so f t h er o t a t i o na n dt r a v e r s ev i b r a t i o no fs i xp a r t si n t h e g e a r t r a n s m i s s i o n s y s t e m a r ee s t a b l i s h e di nt h i s p a p e r c a l c u l a t e st h es t o i ca n dd y n a m i cg e a re n g a g e m e n ts t i f f n e s s ， a n a l y s i st h ei n f l u e n c eo f t h et o o t hp r o f i l ea n dp i t c he r r o r so f g e a r t ot h e g e a re n g a g e m e n t s t i f f n e s s ；a n dg i v e o u tt h e d i s t r i b u t i o no ft h eg e a re n g a g e m e n ts t i f f n e s sa n dt h ed y n a m i c l o a d so ft h eg e a ra l o n gt h em e s h i n gl i n eo f t h eg e a rt e e t h ； 2 e s p e c i a l l yu s i n gt h e s i m u l i n kt o o li nt h em a t l a b 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 d e d u c e st h e s y s t e m i ck i n e t i ce q u a t i o n sa r ef e a t u r e so f t h et h e s i s i nt h e p a p e r ，a d o p t i o ne q u i v a l e n tg e a r t e e t hf o r mm e t h o d a n a l y z e d t h er o u n df l e c f i o no ft h eg e a rt e e t h ，i ni tc o n c l u d et h e b e n d i n ga n dc u t t i n gd i s t o r t i o no fr e c t a n g l ea n dt r a p e z o i dt w o p a r t s ，t h eg e a rt e e t h a n dc o n t a c td i s t o r t i o nc o m ef r o m et h e s l a n t so ft h eg e a rt e e t hb o d ga n ds oo n ，m o r e o v e rg i v eo u tt h e c o r r e s p o n dd i s t o r t i o ng r a p h 3 c o u p l i n g t h ec a l c u l a i o nr e s u l t so ft h eg e a rd y n a m i c l o a d sa n dt h ee l a s t o h y d r o - d y n a m i cl u b f i c m i o nc a nf o r mt h e g e a r w h e e l u n s t e a d ye l a s t o h y d r o d y n a m i c l u b r i c a t i o n c a l c u l a t i n gf o r m u l a i nt h i sf o r m u l an o to n l yc o n s i d e rt h eh e a t e f f e c to ft h el u b r i c a n tb u ta l s ot h en o n - n e w t o n i a ne f f e c t ，a n d a l s ot h ec h a n g i n go ft h el o a d s ，v e l o c i t ya n dc u r v a t u r ew i t ht h e t i m ea n dt h es p a c e a p p l y i n gt h i sf o r m u l ac a nc a l c u l a t et h e s t r e s sd i s t r i b u t i o no fg e a rt e e t hi nm e s h i n g ，t h et h i c k n e s so f t h e f i l m ，d i s t r i b u t i o no f t h et e m p e r a t u r ea n dt h ec o e f f i c i e n to ft h e f r i c t i o n ，e t c 4 t h ea u t h o rp u tf o r w a r dac a l c u l a t i n gm e t h o df o r u n s t e a d ye | a s t o h y d r o d y n a m i cl u b r i c a t i o ni ng e a rt r a n s m i s s i o n s y s t e m b e c a u s et h em u l t i g r i dm e t h o dh a v eag o o dn u m e r i c a l v a l u es t a b i l i t ya n dh a v eaq u i c kc o n v e r g e n c e ，s ot h e s ey e a r s m a n y r e s e a r c h e r si n t e r e s t so ni t ，a n ds oi nt h i sp a p e rt h ea u t h o r p u t f o r w a r dt h ei d e ah o wt o u s i n g t h em e t h o df o rt h e c a l c u l a t i n g a n dt h en u m e r i c a lv a l u em e t h o d ，b e c a u s et h e r e s t r i c to ft i m e ，ic a n n o tg e tt h en u m e r i c a lv a l u er e s u l t s ，t h i si s j u s tap i t yo f t h i sp a p e r c a r r i e so u t t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so f t o o t hp r o f i l ea n dp i t c he r r o r so fg e a r t h i sp a p e rd e m o n s t r a t e s t h a t g e a re n g a g e m e n ts t i f f n e s sh a sap r i m a r yi n f l u e n c e ；t o o t h e r r o r sm e n t i o n e da b o v eh a v eas e c o n d a r yi n f l u e n c e o nt h e v i b r a t i o no ft h eg e a rt r a n s m i s s i o ns y s t e m 。 k e yw o r d s ：i n v o l u t e g e a rt r a n s m i s s i o n ，g e a r e n g a g e m e n t s t i f f n e s s ，v i b r a t i o n ，e l a s t o h y d r o - d y n a m i c l u b r i c a t i o n ，n o n n e w t o n i a nf l u i d ，h e a te f f e c t 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 c k r 口 f x ) 彭0 ) c ( f ) e r 6 l ，r 6 2 m y k f ， f ( f ) e k 主要符号 转动惯量矩阵 扭转阻尼矩阵 扭转刚度矩阵 作用扭矩矩阵 角位移矩阵 齿轮制造误差引起的激励力 为轮齿啮合刚度 为轮齿的阻尼系数 轮齿制造误差 齿轮基圆半径 横向质量矩阵 横向阻尼矩阵 横向刚度矩阵 横向作用力矩阵 横向位移矩阵 横向振动激励力 轮齿所受的法向载荷 轴的阻尼系数 前后两轴的扭转刚度 太原理工大学硕士研究生学位论文 轴的横向振动阻尼 弹性剪切模量 轴的长度 轴的直径 转化到啮合平面上的两齿轮的综合质量 轮齿的阻尼比系数 轮齿单位齿宽上的载荷。 载荷作用角。 齿顶厚 齿高 啮合点x 处高度 矩形高 齿根厚 有效根圆( r ，= r 。一2 m ) 基圆半径 齿顶圆压力角 齿顶圆半径 齿数 齿根圆压力角 分度圆压力角( 口。= 2 0 0 ) 轮齿挠度 y g 五 d m 善肜 q 只 以 肄 曲 吩 心 心z 町 q 太原理工大学硕士研究生学位论文 占 q 酊，q 船 g ： g g q h , 2 q a l2 e 只、鹏 e f l ，、e f 2 ， e f i j 、e f 2 i 点、5 2 z e 髟 7 7 p 野 p 地，“， 轮齿变形 矩形及梯形部分的弯曲变形挠度 剪切变形的总挠度 基体弹性倾斜所引起的挠度 两齿轮的总接触变形挠度 轮体周向变形的挠度 主、从动齿轮的基节偏差 ，点啮合位置的齿形误差 j 点啮合位置的齿形误差 主、从动齿轮啮合受力时产生的挠曲误差 齿轮综合误差 输入扭矩 动载荷系数 等效粘度 润滑油密度 润滑油粘度 油膜压力 剪应力 r e e e y r i n g 流体的特征剪切应力 轮齿啮合点切向速度 太原理工大学硕士研究生学位论文 “ o ) x 口，x b e e l 、e 2 v l 、v 2 s p ( s ，t ) 叩。 丁 瓦 p o 岛 c 。 f ， r l ，r 6 2 a 0 ，r 2 卷吸速度，玎= m + “2 待定常数( 含刚体中心膜厚和待定常数c ) 计算区域始、末点 综合弹性模量，吉= 甄鲁+ 鲁 一对齿轮材料的弹性模量 一对齿轮材料的泊松比 x 方向的附加坐标 载荷分布函数 润滑剂在常态下的粘度 温度 入口油温 润滑剂在常态下的密度 润滑剂的密温系数 润滑油的定压比热容 两轮齿的摩擦力 摩擦系数 小、大齿轮的节圆半径 压力角 大、小齿轮瞬时曲率半径 太原理工大学硕士研究生学位论文 ， s l ，s 2 f 只 b 口” x ，z p h 丁 u t p 综合曲率半径，：旦 + r 2 轮齿啮入、啮出点位置 轮齿啮合重合度 圆周力 小齿轮轮齿宽度 法向压力角 沿运动方向和膜厚方向无量纲坐标 x = 吾，z = 等 无量纲压力参数，p = 生 p , v 无量纲油膜厚度参数，圩= 等 无量纲温度参数，f = 专 无量纲粘度参数，万：旦 叩。 无量纲密度参数，万：卫 p o 无量纲速度参数，u = 篆 无量纲载荷参数，旷= 蠢 无量纲是将参数，正= 篑 嚣大赫兹接触应力 太原理工大学硕士研究生学位论文 b a 、b k p i p 2 q c 2 k l ，k 2 赫兹接触半宽 密压系数 润滑剂热传导系数 齿轮材料密度 齿轮材料比热容 齿轮材料热传导系数 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 序言 齿轮传动是机械传动中最主要的一类传动，形式多，应用广泛。 它以其效率高、功率大、寿命长、结构紧凑、工作可靠和传动稳定等 优点倍受青睐 2 1 。随着科学技术和机械制造水平的提高，必将获得更 为广泛的应用。然而，由于渐开线齿轮是通过轮齿之间的滚、滑接触 来传递功率，其基本运动特性致使啮合轮齿问的几何一致性较低。 近二、三十年来齿轮弹流润滑的研究工作主要集中于两个方面 一是齿轮传动的振动特性，二是轮齿啮合过程中的弹流润滑机理。这 两方面的工作都取得了可喜的进展，但一般情况下，在研究振动时要 忽略润滑油膜的作用；在研究润滑时要忽略振动的影响。然而，齿轮 的实际工况是处于多种破坏因素综合作用之下，因此，将齿轮的振动 和润滑机理结合起来作进一步的研究才能对齿轮的失效机理有更全面 的认识，从而为改进和完善齿轮强度和润滑理论提供更接近实际的理 论依据。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 齿轮润滑研究的历史及现状 齿轮润滑研究是伴随着弹流润滑理论的发展而不断发展的，经历 了从古典润滑理论到弹流动力润滑理论的发展过程，并在此基础上形 成了一门跨学科的理论研究体系。早在1 9 1 6 年m a r t i n 训把齿轮齿条的 啮合视为圆柱在平面上的滚动来求解雷诺方程，这就是齿轮润滑研究 的开端。当时，求得的齿面油膜厚度仅在分子量级，这是因为忽略了 由于轮齿接触区的高压使润滑油的粘度巨大增加和此高压产生的弹性 变形使油膜厚度显著增厚的双重影响。1 9 4 9 年，前苏联学者g r u b i n 4 开创了弹流润滑理论研究的新纪元，他首次将r e y n o l d s 方程和h e r t z 理论有机地结合起来，得到了线接触等温全膜弹流润滑的一个近似解 接着m c e w e e n l 5 1 求得了齿面间既有滚动又有滑动情况下的油膜厚度 但在研究中忽略了表面的弹性变形、粘温效应和粘压效应、接触区的 热效应以及齿面趋近的挤压效应等。a d k i n s l 6 1 等人在考虑真实齿轮的 齿廓形状、齿面弹性变形和实际运动条件的前提下，运用包含时间变 量的雷诺方程，探究了润滑油膜厚度沿齿轮传动啮合线的变化，但在 研究中未能计入粘温效应和粘压效应。1 9 6 6 年，d o w s o n 7 1 等人基于在 整个啮合循环中接触载荷是一常数的假设研究了油膜厚度沿啮合线的 变化，但没有考虑载荷分配及其变化规律。g u 嘲通过研究强调，所谓 太原理工大学硕士研究生学位论文 的准稳态假设只能在接触时间比润滑剂流过接触区的时间大许多的条 件下成立，并基于此结论计算了油膜厚度和赫兹压力沿齿轮传动啮合 线的变化。v i c h a r d 9 】最先涉猎非稳态弹流润滑问题的研究，他在论文 中采用o r u b i n 简化解探讨了载荷、卷吸速度和综合曲率半径沿啮合线 的变化：接着，w a n g 等人1 川在g - r u b i n 假设下，研究了动载效应的直 齿轮热弹流润滑问题，分析了动载荷、油膜厚度和齿面温度的相互影 响：p e t r o u s e v i t c h 1 1 】和w a d a 1 2 1 提出的准稳态完全数值解法标志着齿轮 润滑进入了一个新阶段。1 9 8 4 年，严升明将挤压项处理成与空间参 数无关的常数，给出了几组准稳态数值解，该法具有一定的合理性， 但在研究中基本上还没有抛开“接触表面挤压速度相同”的假设；同 年，o h 1 4 彻底摈弃了上述假设，采用n e w t o n r a p h s o n 法求解了外载 荷按正弦规律变化的非稳态弹流问题，并给出了两组数值解。之后， 任宁应用直接迭代法，获得了正弦载荷作用下线接触弹流润滑问题 的完全数值解：艾晓岚【16 】利用超松弛迭代法对凸轮机构的非稳态弹流 润滑问题进行了计算，发现了挤压过程中的压力“双峰”现象；杨沛 然f 1 7 1 对点接触非稳态弹流润滑问题进行了完全数值解，并给出了当油 膜出现明显不同于稳态解特点时挤压速率和卷吸速率之比的变化范 围；华东耘捕1 采用n e w t o n r a p h s o n 法在随机载荷作m t i j t 究了油膜 厚度沿齿轮传动啮合线的变化，发现单双齿啮合转换点处的油膜变化 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 是平稳的；v e n n e r 【1 9 等人用多重网格法计算了在恒载下有缺陷表面的 非稳态弹流润滑问题：张和豪1 2 0 】等综合考虑了齿轮在啮合过程整个时 间历程中变曲率和变速度的瞬态效应并作了数值解，但没有考虑润滑 流体的可压缩性。在文献 2 0 】的基础上卢立新1 2 ”等在r e y n o l d s 方程中 计及流体的可压缩性，并引入齿轮传动的实际工况参数，求得了一组 瞬态弹流润滑的完全数值解。之后。他们吲又在【2 1 的基础上综合考 虑了齿轮传动重合度对轮齿载荷的影响。章易程【2 3 】等人考虑了齿轮传 动中的动载荷特性，采用梅雪松和谢友柏2 4 1 提出的快速求解法，分析 了齿轮传动的非稳态等温弹流润滑问题。之后，卢立新和张和豪【2 5 1 在 综合考虑了实际齿轮传动中系统振动引起的动载荷、卷吸速度和曲率 半径随时问和坐标的变化等非稳态效应以及流体的可压缩性后，沿整 个啮合线进行了直齿轮传动弹流润滑完全数值分析，指出研究齿轮润 滑时应考虑动载荷的影响，但文中没有考虑热效应和非牛顿效应。 r o l a n dl a r s o n 2 6 3 在雷诺方程中引入有效粘度和齿轮传动的非稳态项， 对直齿轮传动的弹流润滑作了分析，但在研究中没有考虑热效应。在 2 0 0 0 年，s n i d l e 等人【2 7 】提出齿轮弹流润滑的研究应综合考虑热效应、 瞬时非稳态效应、润滑剂的非牛顿特性和表面粗糙度以及端泄等因素。 从而得出齿轮润滑应该是三维非稳态热弹流润滑问题f 2 目的重要结论。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 2 齿轮动力学研究的历史及现状 齿轮动力学研究经历了从冲击理论到振动理论的过程，振动理论 又经历了从线性振动理论到非线性振动理论的发展过程，而非线性振 动理论的发展和应用推动了齿轮振动理论研究的发展。早在五十年代 一些学者，如m v t a g a w a 、l o s t i g u y 和i c o n s t a n t i n s e a 等开始将齿 轮视为弹性体，把一对啮合齿轮简化为质量块一弹性体振动系统，考 察齿轮系统啮合时剐度的变化和制造误差这两个因素对其振动特性的 影响。随后，国内外许多学者就重叠系数、误差激励、刚度激励等对 齿轮啮合振动特性的影响作了许多分析，取得了一些富有价值的研究 成果。 动载振动理论揭示了齿轮动载与系统质量、基节误差、齿形误差 以及轮齿刚度的关系，动载振动理论还把轮齿修形和跑合量纳入计算。 进行振动分析时，首先应当分析激振源( 激振力或激振位移等) ，并对 其定量表示；其次应当是建立动力学模型，即列出振动系统的运动微 分方程，然后找出运动微分方程的解，通过数学手段求得系统对激振 的响应，得到幅频特性曲线，从而求得系统的动载2 们。 要精确的模拟齿轮的动态啮合过程，目前的主要困难在于齿轮动 态啮合模型的建立、轮齿啮合刚度的计算和齿轮制造误差激励如何计 2 l 太原理工大学硕士研究生学位论文 及。 1 3 本课题的主要内容、目的和意义 由于近代科技及工业的迅速发展，对齿轮传动提出了越来越高的 要求，而将齿轮从其传动系统中隔离出来进行单独研究已经不能满足 要求，所以应将其置入放在的传动系统中进行研究。近来齿轮弹流润 滑的研究工作主要集中于齿轮传动的振动特性和轮齿啮合过程中的弹 流润滑机理这两方面。通常，在研究振动时要忽略润滑油膜的作用 在研究润滑时要忽略振动的影响。然而，齿轮的实际工况是处于多种 破坏因素综合作用之下。因此，将齿轮的振动和润滑机理结合起来作 进一步的研究才能对齿轮的失效机理有更全面的认识，从而为完善齿 轮强度设计提供更接近实际的理论依据。 纵览前人对非稳态弹流润滑的研究，大都未考虑润滑剂的非牛顿 性以及齿轮传动中的热效应对润滑性能的综合影响。综合考虑上述两 种效应以及诸多因素引起的动载效应，通过理论分析，建立齿轮传动 动态热弹流润滑数值计算模型，正是本文研究宗旨之所在。 本文的主要内容可分为三个部分：第一部分是齿轮传动系统动力 学模型的建立；第二部分是动力学方程的求解：第三部分是非稳态热 弹性流体动力润滑方程的建立；第四部分是弹流润滑方程的求解方法 太原理工大学硕士研究生学位论文 第五部分就各影响因素对齿轮啮合造成的综合影响进行分析。 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章直齿轮传动系统动力学模型的建立 本章建立了扭转振动和横向振动的等效力学模型及其耦合振动 的动力学方程。 2 1 直齿轮传动系统动力学模型建立的依据 在实际工作中，齿轮传动是非常复杂的。即使在负载和动力矩恒 定的情况下，齿轮在传动系统中除了受名义力外还受到齿轮传动系统 的内在因素的影响。这些内在因素包括：刚度激励、误差激励和啮合 冲击激励。其中刚度激励主要与齿轮传动的模数、重合度、齿廓修形 参数等有关。这便是对齿轮传动系统进行动力学分析所采用的振动理 论。 为了便于研究，本文采用如下假设 1 ) 系统中的动力和外部负载恒定不变，系统的振动只能由系统的内 部因素引起； 2 ) 系统的动态过程是在齿轮啮合平面上发生的，平台以外的扭曲和 不同轴度忽略不计。由安装或制造误差造成的扭曲和不同轴度忽 略不计： 3 ) 不计轴承引起的摩擦 2 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 4 ) 联轴器左右两半不产生相对位移，为刚性连接； 5 ) 啮合线处于水平位置，横向振动在水平面发生。 2 2 直齿轮传动系统动力学模型的建立 2 2 1 扭转振动等效力学模型与动力学方程 实际的齿轮传动系统属于连续系统，为了便于研究，本文将其简 化为离散的集。p 质量系统。在转子齿轮传动系统巾3 0 】，转动顷量较大 的是电机转子、联轴器及齿轮，因此可以将它们之问的连接轴简化为 只有扭转刚度而无转动惯量的各轴段，而将轴的转动惯量迭加到与其 起运动的转子、联轴器及齿轮的转动惯量上。对于阶梯轴，简化时 总的扣转刚度为各轴段扭转刚度的串联。将两啮合齿轮简化为刚度 阻尼模型。得到的离散化的扭转振动等效力学模型如图2 1 示。 根据达朗伯原理建立了扭转振动方程，写成矩阵形式为 j b + c o + k o ：t 其中，j = d i a g j 5j 3 ，j 2 ，。j 。r c 昌 c 3一c 3 一c 3c 3 + c oc ， o0 0o o0 o c ， c ，+ r ；1 c ( t ) 一r 。r ：c o ) 0 0 0 o r b 。r 。：c ( t ) c ：+ r f f 2 ( t ) 一c 2 o oo 00 o0 一c o c 2 + c 4 一c 4 一c 4c 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 k = 如一玛 一如k 3 + k l 0一置 00 0o ( 】0 0 一k 1 k 。+ r 三k ( t ) 一r 。：r 。k ( t ) 0 0 o 0 一r 。：r 。k 0 ) k ：+ 砭k ( f ) 一k o 0o 0o oo k o k 2 + k4 一k 4 一k 。k 。 ，= 阮0c 0 ) r 。一t t 球。：0l ，r 0 = p ；0 ，0 。0 ：0 ；0 。j 其中，j ，c ，k ，t ，0 分别为转动惯量矩阵，扭转阻尼矩阵，扭转 刚度矩阵以及作用扭矩矩阵和角位移矩阵；t 0 ) 为齿轮制造误差引起 的激励力；k ( f ) 为轮齿啮合刚度：c ( f ) 为轮齿的阻尼系数； e 为轮 齿制造误差；r 。r 。：为齿轮基圆半径 图2 - 1 齿轮扭转振动的等效动力学模型 f i g 2 1 t h e e q u i v a l e n tk i n e t i c sm o d e l o ft h eg e a rd y n a m i cr o t a t i o nv i b r a t i o n 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 2 2 横向振动等效力学模型与动力学方程 齿轮所受的横向振动是由齿面的法向载荷及轮齿误差冲击力所 形成的激励力引起的。将轴承简化为简支支撑，两点间的阶梯轴根据 集中质量所在位置的静挠度不变准则求出了具有当量直径的等截面 轴，再依据等效质量法将该具有分布质量的系统简化为具有多个等效 质量的集中质量系统，该系统由6 个无弹性的质量和把它们联系在一 起的无质量、多支点连续梁组成。所得到的简化横向振动力学模型如 图2 2 所示。 根据连续梁的振动理论，可建立横向振动方程，写成矩阵形式为： + 腭+ y = f 其中，m = d i a g m 5 埘3 m 1m 2m l 肌6 】7 v = 2 7 v 2 5 v 2 3 一c o ) + v ： c o ) + v 2 2 v 2 4 v 2 6 l 6 6 6 v v v v v v i i；j v v v v v v 。m。 v v砸v v：删西， ” 孙 “ 弛 拍 v v v v v v 太原理工大学硕士研究生学位论文 k = k 1 5 k 1 3 k o ) + k 一k o ) + k ，： k 14 k 1 6 k 2 5 k 2 3 一足( r ) + | j ： k ( f ) + k 2 2 k 2 4 k 2 6 f = 【o 0 f o ) 一f ( t ) oo 】r y = ky 3y ，y 2y 。y 6 r 其中，m ，v ，k ，f ，y 分别为横向振动质量矩阵，横向振动阻尼矩阵， 横向振动刚度矩阵以及横向作用力矩阵和横向振动位移矩阵：f ( t ) 为 横向振动的激励力；k ( f ) 为轮齿啮合刚度；c ( f ) 为轮齿的阻尼系数；e 为轮齿制造误差。 其中，f o ) = e o ) + e ，e ( f ) 为齿轮制造误差引起的激励力，只 为轮齿所受的法向载荷。横向振动刚度矩阵的确定方法是：由三弯矩 方程求解弯曲变形得到连续梁的柔度矩阵。考虑到两段连续梁之间是 由轮齿啮合刚度和阻尼相联系，则梁的弯曲变形受有一约束，由三弯 矩方程求得的柔度矩阵因受有轮齿啮合刚度引起的赘余力影响而得到 修正。这样得到的柔度矩阵经求逆后就可得到横向振动刚度矩阵。 协胁鼬胁13耋跏胁加鼬触胁脚 5 3 ， 2 4 6i； 后七七t七 钉 孔 跎 h 拍 七七七七女 奎堕里三奎堂堡主婴壅竺兰垡堡塞 图2 - 2 齿轮横向振动的等效动力学模型 f i g 2 - 2 t h e e q u i v a l e n tk i n e t i c sm o d e lo f t i l eg e a rd y n a m i ct r a b e r s ev i b r a t i o n 2 2 3 扭转振动与横向振动的耦合动力学方程 由于赢齿轮传动的特殊性，轮齿啮合刚度作为一个内激励源，不 仅引起扭转振动，还会引起轴的弯曲变形造成的横向振动。扭转振动 转化到啮合平面上是沿啮合平面的线振动，该线振动恰好与横向振动 在一个平面上，从而齿轮的扭转振动影响到横向振动，而横向振动又 反过来影响扭转振动。这就造成了齿轮振动中的耦合效应。 考虑扭转振动和横向振动耦合效应得出耦合动力学方程，写成矩 阵形式为： 瞄jo l i n ) + 巨+ 匮硼；网 太原理工大学硕士研究生学位论文 其中，e = k 一= o0 o o o o 0o o0 o0 0 u 00 o0 0 o o o 00 k ( t ) r 。 一k 0 皿。 o 0 2 2 4 振动方程物理量的求解 一k ( f 碗： k ( t ) r 。： 0 0 轴的阻尼是由材料的性质决定的。根据文献【3 1 】有如下公式： 印z 。刮5 牛z 制矿 式中，亭，为轴的阻尼系数，据文献1 3 2 】取值介于0 0 0 5 - 0 0 7 5 之间； k ，k f 为前后两轴的扭转刚度；c ，c ，为前后两轴的扭转阻尼。根 据文献【= 1 3 】轴的横向振动阻尼v 值介于0 0 1 - 4 ) 0 4 之间。 2 )求轴的横向振动阻尼 轴的横向振动阻尼v 采用模态阻尼，对于工程结构，这种简化 不致带来太大的误差。主振型的相对阻尼系数取值范围为0 0 1 - 0 0 4 。 o 0 0 o o o j o o o 0 0 o 0 0 o o o 0 o o o o o 。o卿警：。 - ( 。o魄始o o 。 c 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 ) 求轴的刚度 由材料力掣3 4 1 可知，扭转角度口为： 口：里 叫 则轴的扭转刚度k 为： k t y g 。查芝 口l3 2 l 式中，g 为弹性剪切模量，对于钢材，g = 8 0 x 1 0 9 ( m 2 ) ：l 为 轴的长度；j 为轴的转动惯量，j = j z d ) r 4 ；。为轴的直径。 轴的横向振动刚度k 可根据三弯矩方程求集中质量处变形的倒数 得到。 4 )求轮齿的啮合阻尼 轮齿的啮合阻尼c o ) 为3 1 1 ： c ( r ) ；2 亭拈丽 式中，m 。为转化到啮合平面上的两齿轮的综合质量，其计算公 式为： m 。= m ，m ：( m 。+ m ：) 为阻尼比系数，该系数由轮齿的阻尼特性及油膜的阻尼特性决 定，有关文献【3 5 】【3 6 】推荐亭= 0 7 。 太原理工大学硕士研究生学位论文 轮齿动态啮合阻尼 图2 - 3 轮齿的动态啮合阻尼 2 3 轮齿刚度的计算 轮齿的刚度是影响动载的重要因素，本小节介绍了轮齿刚度、齿轮 传动的动态啮合刚度及啮合周期内平均啮合刚度的计算，并对齿轮误 差的影响进行了分析和计算。 2 3 1 轮齿刚度的概念 轮齿刚度是使一对或几对同时啮合的齿轮在单位齿宽上产生单位 挠度所施加的载荷a 可表示为k = i 1 = i w ；万f 式中，q = 参( 胛z ) 表示轮齿的挠度：一f 。( - v 州m ) 表示 轮齿单位齿宽上的载荷。 跎j7一m 一55一蛎 一 h ，8珀0 l 5 o 太原理工大学硕士研究生学位论文 轮齿变形包括弯曲、剪切、接触变形等，轮齿总变形是这些变形 的总和，即： 旦w ：坠w = 互w ：”g 一一1 4 轮齿的法向刚度和切向刚度分别为： 弘惫墨= 苦2 砾f nc o 面s d 9 x = k n c o $ 2 q 式中， ，是载荷的作用角。 2 3 2 用当置齿形法计算齿形参数 本文采用当量齿形法求解轮齿各部分的变形。为此，特将轮齿简 化为一个梯形加矩形的组合模型，如图2 - 4 所示。 1 ) 求齿顶厚e ：配= 2 咒s i n 尝一v 一，”v a 。) i n v c t 。= t g 口口一口。 2 ) 求齿高唿：=丽。- t - 7 - j 一陌 ，嘲铺”舢如一一同 r ，瓜了瓦足：= 拉孤i 4 ) 求载荷作用角q ：q = 吼一 丢一( f ”v 一加v ) 舯妒倒黝角 5 ) 求矩形高 ，和齿根厚曲： 根据基圆和有效根圆的关系，会出现两种情况： 当基圆小于有效根圆，即r 3 3 ， 我们把有效根圆和齿廓的交点作为梯形与矩形的交点，可得 驴z 即；忆咖 砒 ”网一隔 当基圆大于有效根圆，即r 6 r ，时，对于标准齿轮这时z 3 3 ， 我们把基圆和齿廓的交点作为梯形与矩形的交点，可得 驴z 即；n 怯+ 砜 峥冈一丽 以上各式中口。为齿顶圆上的压力角；r 为齿顶圆半径；z 为齿 数；a ，为齿根圆上的压力角：为分度圆上的压力角( = 2 0 。) ；r 。 为基圆半径；r ，为有效齿根圆半径r ，= r 。一2 m ；州为齿轮模数。 6 ) 求辅助尺寸抚：吃= 紫 太原理工大学硕士研究生学位论文 肚、 l | h e l ! l飞 r 一 呻一 h ， k s t 图2 - 4轮齿当量齿形 f i g 2 - 4e q u i v a l e n tg e a rt e e t hf o r mo ft h eg e t 2 3 3 求轮齿挠度 轮齿的总变形是当量齿形中矩形和梯形部分的弯曲、剪切变形、 由轮齿基体弹性倾斜所引起的轮齿变形以及轮齿接触变形等的综合。 设矩形、梯形部分的弯曲变形挠度分别为g 。，q 。，剪切变形的 总挠度为q 。，基体弹性倾斜所引起的挠度为q 。，下标1 、2 区分主、 从动齿轮，并设两齿轮的总接触变形挠度为吼。：，轮体周向变形的挠 度为q 。，则两齿轮变形的总挠度q 为： q = 目肼1 + q 所2 + q 血l + g 所2 + q o l + q g 2 + q ，1 + g j 2 + q h l z + q a l 2 下面分别为各项的计算公式 太原理工大学硕士研究生学位论文 驴等睁吨咖争临， 护警，3 精( 。一学卜学十岍删 ”学卜。吐汕而h i - h r 卜删w m 洲 q 。：丝翟江1 0 3 z , n m m n 2 盖再一。 q 【：2 a 1 0 3 1 0 n m m n 式中，。垡+ 丝 e 1e 2 一o s s s 。帷) 孵+ 象厮 式中，d l l , d ，：分别为两齿圈内径。 l l l l t l n 主动齿轮在i 点矩形部分的弯曲变形主动齿轮在j 点矩形部分的弯曲变形 柔度 ? ：一二二 ( a ) 在i 点的q 1 0 柔度 5二二l一一：0 k 1 。1 1 “一 1 52 94 35 77 l8 59 9 ( b ) 在j 点的q m l 疗 ，- 、【rj 三eeejfl-叮 0 0 0 一zeii一州_【h曲i) 太原理工大学硕士研究生学位论文 芒3 0 嘎 2 0 呈1 0 =0 一 墨一1 0 2 j 2 0 15 1 0 5 0 4 0 2 0 0 主动齿轮在i 点梯形部分的弯曲变开 柔度 ( c ) 在i 点的q b , 1 乏3 0 e 2 0 i 1 0 i0 h 三一1 0 主动齿轮在j 点梯形部分的弯曲变形 柔度 d ) 在j 点的g n 主动齿轮在i 点剪切变形的