（电力电子与电力传动专业论文）基于dsp的倒立摆控制系统的研究.pdf

a b s t r a c t 舢a ni n h e r e n t l yu n s t a b l es y s t e mb yn a t u r e t l i ei n v e r t e dp e n d u l u mh a sb e e nu s e d a st i i ec o n t r o l l e dd e v i c ei nap r o t o t y p er e a l t i m ec o n t r o ls y s t e m 0 n ec a l ln o to n l y s o l y et h ec o n t r o lt h e o r yp r o b l e m ，b u ta l s op u tt h em e c h a n i c s ，m a t h e m a t i c sa n d e l e c t r i c st o g e t h e rt h r o u g hs t u d y i n gt h ei n v e r t e dp e n d u l u m i nt h em o d e mm e c h a n i c a l c o n t r o ls y s t e l ，t h e r ei st h es a m ep r o b l e mi nt h eh e l i c o p t e r s ，t h ee m i t t i n go ft h er o c k e t a n dt h ee m i t t i n go ft h es a t e l l i t e ，i no u rl i v c s ，t h e r ei sa l s ot h es a m eq u e s t i o ni nt h e g y m ，s k a t i n ga n dd r i v i n gb yb i c y c l e s ot h er e s e a r c ho ft h ei n v e r t e dp e n d u l u mi sv e r y i m p o r t a n tb o t ht ot h ep r o j e c ta n dt oo u rl i v e s t 1 l em a i na i mo ft h i st h e s i si st od e s i g na n dc o n s t r u c ta l li n v e r t e dp e n d u l u m s y s t e mb a s e do nd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r ( d s p 、a n dt oc o n t r o li t l i n e a ra n df e e d b a c k c o n t r o lt h e o r yi sr e q u i r e dt ok e e pt h es y s t e ms t a b l e a tf i r s t ，t h eb a c k g r o u n dp e n d u l u ma r ei n t r o d u c e d m a n yc o n t r o lm e t h o d so ft h e i n v e r t e dp e n d u l u ma r eb r i e f l yi l l u s t r a t e d a n dt h e n ，t h i sp a d e re s t a b l i s h e st h e m a t h e m a t i ca n a l y t i cm o d e l so fs i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u ma n dt w o s t a g ei n v e r t e d d e n d u l u ma c c o r d i n gt ot h es e c o n dl a wo fn e w t o na n dt h ef o u n d a t i o no ft h e d y n a m i c s ， a n ds i m u l a t e st h e a c t i v i t y f e a t u r eo ft h e mb yu s i n gm a l la b s u b s e q u e n t l y , r e s e a r c ht h ed i f f e r e n tk i n dc o n t r o la l g o r i t h m so fi n v e r t e dp e n d u l u m s y s t e ma n dc o m p a r et h ec o n t r o le f f e c t so f e a c hc o n t r o la l g o r i t h m s a f t e rt h a t ，ae o m p u t e rc o n t r o ls y s t e r nb a s e dd s pa n di t sp e r i p h e r a lc i r c u i ta r e d e s i g n e di nt h i st h e s i si no r d e rt oe o n t r 0 1i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，a n dt h ec o n t r o l a l g o r i t h m sa r ei m 【p l e m e n t e di nca n da s ml a n g u a g e t h eh a r d w a r ea n ds o f t w a r eo f t h es y s t e r nh a v e b e e nd e s i g n e d f i n a l l y , t h er e s u l t so b t a i n e da n dt h el e s s o n sl e a r n e da r es u m m a r i z e d ，a n df u t u r e w o r ki sd i s c u s s e d t h er e s e a r c ho ft h i st h e s i sb a s e do nd e f i n i t et h e o r y , i n c l u d i n gt h ee d u c a t i o na n d a n a l y s i so f m a t h e m a t i c a lm o d e l ，d i s c u s s i o no fm e t h o d o l o g ya n dt h ed e s i g no fr e a l c o n t r o ls y s t e m w h a t l sm o r e ，t h er e s e a r c h0 b i e c ti sr a t h e rt y p i c a l t h ew 0 r kp r e s e n t e d h e r e ，n o to n l yc a nb eu s e da sap e d a g o g i c a le x p e r i m e n tf o r m o d e mc o n t r o lt h e o r y , b u t a l s oc a nb e n e f i tp r a c t i c a lp r o b l e m sw i t hs i m i l a rm o d e ls u c ha st h es t u d yo fb i p e d a l r o b o t s k e yw o r d s ：i n v e r t e dp e n d u l u m ，d s p ，m a t l a bs i m u l a t e ，m a t h e m a t i cm o d e l 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 倒立摆控制系统的简介 倒立摆是典型的高阶非线性不稳定系统。小车可以自由地在限定的轨道上左 右移动，小车上的倒立摆一端被绞链在小车顶部，另一端可以在小车轨道所在的 垂直平面上自由转动，控制目的是通过电机推动小车运动，使倒立摆平衡并保持 小车不和轨道两端相撞。在此基础上，在摆杆的另一端再绞连摆杆，可以组成二 级、三级倒立摆系统。该系统是一个多用途的综合性实验装置，它和火箭的飞行 及机器人关节运动有许多相似之处，其原理可用于控制火箭稳定发射，且对揭示 定性定量转换规律和策略具普遍意义。 1 1 1 倒立摆的出现 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的 典型方案。说到倒立摆的起源i “，倒立摆的研究最初开始于2 0 世纪5 0 年代，麻 省理工学院( 1 v n - r ) 的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实 验设备。而后世界各国都将一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的典型 方案。后来人们又参照双足机器人控制问题研究二级倒立摆控制设备，从而提高 了检验控制理论或方法的能力，也扩宽了控制理论或方法的检验范围。三级倒立 摆是由一、二级倒立摆演绎而来，背景相对复杂。 1 1 2 简单倒立摆系统 倒立摆是一个非线性非常严重的高阶不稳定系统，也是一个典型的多变量系 统。作为一种经典的试验装置，它抽象于工程应用之中，并涵盖了实际应用的诸 多因素，且适用于多种控制系统。所以，有关倒立摆的稳定控制问题，得到了世 界各国控制理论研究者的高度重视【2 l 。 典型的一级倒立摆简化装置结构如图1 - 1 所示。倒立摆系统是由机械部分和 电气部分组成【3 1 。机械部分主要由控制对象、导轨、传动皮带、皮带轮以及机柜、 台面板等组成。控制对象由小车及摆杆组成，均由铝制材料加工而成，其目的是 为了减轻运动部分的质量。 武汉理工大学硕士学位论文 小车装有8 只滚动轴承，它通过轴承和导轨上下两个轨面相接触，这样小车 既能很好地稳定在轨道上，又能减轻小车在轨道上的摩擦力。导轨由铸造加工而 成，截面呈h 形，小车在轨道上可以自由滑动，其在导轨上的有效运行长度为1 米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。摆杆可以在平 行于导轨的垂直平面上自由转动，其长0 5 米j 以铰链方式与小车相连接，并有 检测机构以检测摆杆的转动角度。 电位 力矩 电机 图1 - 1 直线一级倒立摆简图 电气部分主要由电机、直流功率放大器、传感器以及保护电路等几部分组成。 驱动小车的电机采用1 6 0 0 0 9 锄，供电电压为直流2 4 伏的永磁式直流力矩电机。 这种电机的特点是额定电压和额定转速低，输出力矩大，不需要励磁电源等。利 用这些特点，采用一般的直流放大器作为电机的电源，并省掉齿轮减速装置。主 动皮带轮直接装在电机轴上，避免了由于齿轮传动而可能引入的齿轮间隙的非线 性。测量小车位移和摆杆角位移分别由两部分组成。第一部分是电位器，第二部 分是定标器。测小车位移的绕线多圈电位器与一个皮带轮连轴。由于电位器轴和 皮带转轴不可能完全同心，电位器装在弹性支架上。测摆杆角位移的电位器是由 一般碳膜电位器改装而成。定标器实际上是一个增益可调整的放大器，它起的作 用一是调整传感器参数，二是提高了传感器的带负载能力。 二级，三级或者更多级的倒立摆与一级倒立摆类似，只要将图1 - 1 的摆杆的 顶端铰链再连接摆杆2 、摆杆3 、摆杆4 ，并加上检测电位器即可构成二级、三 级、四级倒立摆。 当然除了上面介绍的直线倒立摆系统之外，还有旋转倒立摆系统。典型的旋 转式倒立摆如图1 - 2 所示，它由直流力矩电机、电位器、旋转臂、摆杆组成。旋 转臂由转轴处的直流力矩驱动，可绕转轴在垂直于电机转轴的铅直平面内转动。 旋转臂和转轴之间由电位器的活动转轴相连，摆杆可绕转轴在垂直于转轴的铅直 2 武汉理工大学硕士学位论文 平面内转动。同直线式倒立摆类似，旋转式倒立摆也有一级、二级倒立摆。控制 目的是系统受到干扰后，摆杆在垂直位置倒立 图1 2 旋转一级倒立摆简图 1 1 3 倒立摆研究的意义 倒立摆系统的研究具有很深远的意义【4 l ，其在控制系统研究中受到普遍重 视。“倒立摆系统”己被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论 在教学和科研中不可多得的典型物理模型。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在 控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如稳定问题、非线性问题、 鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以用倒立摆为例加以研究。通过对倒 立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论 所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学( 含计算机) 有机的结合起来，在倒立摆 系统中进行综合应用 倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制 理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问 题，控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的 问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的 试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论 通往实践的桥梁。在教学过程中，不但使学生具有扎实的理论基础，还应掌握如 何把理论知识应用到一个复杂的实际系统中，进一步达到提高教学质量的目的。 一级( 尤其二维的) 倒立摆系统是空间起飞助推器的姿态控制模型。姿态控 3 武汉理工大学硕士学位论文 制的目的，是保持空间助推器位于垂直位置。在航空航天器设计中，在稳定性和 机动性不能兼顾的情况下，牺牲飞行器的自然稳定性，然后通过控制手段使一个 自然不稳定的被控对象具有良好的稳定性，以确保飞行器的机动性。这已经成为 当今航空航天器设计的基本思想。 二级( 尤其倾斜轨道的) 倒立摆系统是机器人。腿”关节的运动控制模型， 对二级倒立摆系统的控制与对双足步行机器人的步行控制有很大的相似性，二级 倒立摆系统的控制研究对机器人步行稳定控制有重要现实意义。 由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大相似性，因此倒 立摆的研究对于火箭飞行以及机器人的控制等现代高科技术的研究具有重要的 实践意义。目前对倒立摆系统的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领 域研究的热门课题之一。 在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆的典型性 在于，倒立摆系统作为一个控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字 多种不同的方式控制。作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、 非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。最 终的控制目标是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制方式 使之成为一个稳定的系统。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控 制，如p i d 、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种 理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方 法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其 正确性和实用性。倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。倒 立摆系统同时是控制理论教学和科研中的一个典型实验装置。倒立摆系统经常用 来检验控制理论的合理性、可行性和有效性。 1 2 倒立摆系统研究的发展 1 2 1倒立摆理论研究的发展过程 早在6 0 年代国外就开始了单级倒立摆的研究。1 9 6 6 年s c h a e f e r 和c a n n o n 应用b a n g b a n g 控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在6 0 年代后期，作为 一个典型的不稳定、严重非线性的证例，提出了倒立摆的概念，并用其检验控制 方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重 视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。 直到7 0 年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广泛 4 武汉理工大学硕士学位论文 的研究睁1 1 1 。首先需获得系统平衡点附件的线性化模型，然后再根据对系统控制 所提出的性能指标进行分析与综合，最后设计得到期望的控制器。k f u r u t a 等及 h m z f a r w i g 等【1 2 1 应用最优状态调节器理论实现了具有双电机的三级倒立摆的 控制。虽然在许多方面都取得了较满意的效果，但其控制方法过多的依赖于线性 化后的数学模型。 在年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立 摆也受到广泛重视，模糊控制器利用模糊理论将专家知识或操作人员经验形成的 语言规则直接转化为自动控制策略( 通常是模糊规则查询表) ，其设计不依靠对象 精确的数学模型，而是利用语言知识模型进行设计和修改控制算法。用模糊控制 理论控制一级倒立摆【1 3 d 7 】取得了非常满意的效果。 常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性。对于像倒立摆这样的多变量 强藕合系统，首先难以建立一个比较完善的多维( 大于4 维) 模糊控制规则，即使 能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则、其控制效果也难以保证。针对以 上问题，采用分层多规则集结构的设计方法是一种思路。张乃刻1 8 】采用了模糊 双闭环控制方案，成功稳定住倒立摆。从分层多规则集结构的思想来看，即将对 系统性能影响最大的变量选为一级变量，作为内环模糊控制器的输入变量，次之 的选作二级变量，作为外环模糊控制器的输入变量。 神经网络控制倒立摆的研究，自9 0 年代初开始得以快速的发展。神经网络 和模糊系统均属无模型的估计器和非线性动力学系统，神经网络适合与处理非结 构化信息，而模糊系统对处理结构化的知识更有效。 神经网络控制方法的主要问题是：缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经 网络，鲁捧性差，实际应用少。 模糊神经网络为上述困难的解决带来了新的希望。与传统的神经网络不同， 模糊神经网络中的结构与权值都有一定的物理意义，它的结构和初始权值可根据 先验知识人为地加以选择。这样，网络的学习速度大大加快，泛化能力增加，并 在一定程度上避免了梯度优化算法带来的局部极小值问题。 张乃尧1 1 9 1 提出一种基于模糊神经网络的参考自适应控制方法。该方法用模 糊神经网络作为控制器，依赖参考模型产生理想的控制系统闭环响应，从而随时 得到控制系统的输出误差。用梯度法实时修正模糊控制器的输入和输出隶属度参 数，得到一种在线模糊自适应的新方法。 随着电子技术的发展，北京师范大学的李洪兴【1 l 教授等人于2 0 0 2 年8 月1 1 日，成功地实现了四级倒立摆的实物控制。随后，罗成、胡德文等例给出了五 级倒立摆的数学模型，并设计出一个简单的基于二元分片插值函数的模糊控制 器。 5 武汉理工大学硕士学位论文 神经网络控制倒立摆的研究，从上世纪9 0 年代开始有了快速的发展。早在 1 9 6 3 年，w i d r o w 和s m i t h 就开始将神经网络用于倒立摆小车的控制【2 1 1 。神经网 络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出巨的 潜力。就本论文查阅到的参考文献而言，目前神经网络应用于倒立摆的控制研究 主要在集中在以下方面：利用神经网络的用强化学习方法来实现对倒立摆的稳定 控制【1 4 , 2 2 - 1 ；利用神经网络与其他控制方法相结合的方法来控制倒立摆1 1 6 , 2 4 - 2 7 1 。 另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制。文献 2 7 1 利用云模型实现智 能控制倒立摆，利用云模型的方法，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、 经验和逻辑判断，将人用语言值定性表达的控制经验，通过语言原子和云模型转 换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和不确定性问题。文献 2 s - l 利用拟人智能控制方法实现对倒立摆的稳定控制。 1 2 2 倒立摆系统的控制规律 ( 1 ) p m 控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆系统的动力学模型， 设计出p i d 控制器实现控制； ， ( 2 ) 状态反馈控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆系统的动力 学模型，然后利用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，利用状态反馈的各 种设计方法实现对倒立摆的控制； ( 3 ) 模糊控制，主要是确定模糊规则，克服系统的非线性和不确定性实现对 倒立摆的稳定控制； ( 4 ) 自适应控制，通过设计白适应控制器对倒立摆进行控制； ( 5 ) 神经网络控制，利用神经网络能够充分逼近复杂的非线性关系，学习与 适应严重不确定系统的动态特性，与其他控制方法结合实现对倒立摆的稳定控 制； ( 6 ) 几种控制算法相结合的控制方式，充分利用各控制算法的优越性，来实 现一种组合式的控制方法，如遗传算法与神经网络结合的方法，神经网络与模糊 理论结合的方法，模糊控制与p i d 结合的方法等等。 1 3 论文的主要工作介绍 本课题主要研究d s p 及其外围系统的开发和对倒立摆控制算法的研究及其 验证。主要工作包括以下几个方面： 1 推导了一、二级倒立摆系统的动力学模型，并对其进行了线性化，初步分 析了倒立摆系统的开环运动特性。 6 武汉理工大学硕士学位论文 2 在建立系统模型的基础上，讨论的倒立摆系统的各种控制器方案，并用 m a t l a b 进行了计算机仿真。 3 设计了基于d s p 的计算机控制系统。详细介绍了d s p 硬件电路设计和外 围电路设计，用c 和汇编语言编写了系统的控制程序。 4 介绍了倒立摆计算机控制系统的软件部分，给出了实时控制程序流程图， 软件系统采用模块化编程，对各个模块作了简要介绍。 7 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章倒立摆系统建模、仿真与分析 2 1倒立摆系统建模方法 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型h o ! 。系统建模一 般可以分为两种：实验建模和理论建模。实验建模就是通过在研究对象上加入一 系列研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测可观测的输 出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关系。这里而包括输入信号的设计选 取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。理论建模就是在了解研究 对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输 入一输出状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身就是自不稳定系统，其非线性动力系统建立的 数学模型是后继分析的基础，本文中的建模是采用理论建模的方式。以n e w t o n 力学为根基的各个动力学分支都涉及如何就研究对象进行建模这一问题，而不同 的研究对象决定了该动力学分支的特色。针对于倒立摆系统，我们在经过小心的 假设忽略掉一些次要的因素后，可以在惯性坐标系内应用理论力学和分析力学理 论建立其非线性动力学方程。在建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动定 律来求解。用牛顿运动定律来求质点组的动力学问题时，常常要解算大量的微分 方程组。在许多问题中，求解微分方程会遇到困难，为了简化系统的建模过程， 下面将运用分析力学中的第二类：l a g r a n g e 方程法，建立倒立摆系统模型的非 线性动力学程。 l a g r a n g e 方程法注重的不是力和加速度，而是有更广泛意义的能量，扩大 了坐标的概念。l a g r a n g e 方程具有以下特点 3 0 l ： 1 l a g r a n g e 方程是广义坐标表达的任意完整系统的运动方程，方程的数目等于 系统的自由度数，因而可以获得数目更少的运动方程。 2 在建立运动方程时只需分析己知的主动力而不必分析未知的约束力，因而， 对于倒立摆这样的复杂系统更能体现其优越性。 3 l a g r a n g e 方程具有很好的对称性，即对于同一位形空间中的每个坐标而言各 方程都具有相同的形式。l a g r a n g e 方程是以能量观点建立起来的运动方程。 在建立系统的运动方程时，只需分析系统的动能和广义力。因此用l a g r a n g e 方程来建模可大大简化建模的过程。 l a g r a n g e 方程为： 8 武汉理工大学硕士学位论文 爿针矿o _ r 岛似驴蛉， 似- ， 其中，t 为系统的动能函数，变量口、圣j 为拉格朗日变量， 标和广义速度幺为作用于系统上的广义力，且 q i 一_ o v + 殇( j ：1 ，2 ，k ) ， 叼j 其中，v 为系统的势胄匕函数，一詈是有势力，蟛剧# 有势力 将式( 2 2 ) 代入式( 2 1 ) 可得： 分别成为广义坐 ( 2 2 ) 磊d ( o t - j _ ) 面o t + 面o v 。蟛( i = 1 2 k ) ， ( 2 3 ) 式( 2 3 ) 即为建立倒立摆数学模型时所用到的l a g r a n g e 方程。 2 2倒立摆系统数学模型建立 对于倒立摆系统，由于其本身是自然不稳定的系统，完全准确地描述它在数 学上几乎是不可能的，实验建模存在一定的困难。为了解决实际系统中的控制问 题，必须经过小心的假设，忽略系统中的一些次要因素，作出必要的简化，从而 得到系统的数学模型。为了简化倒立摆系统的数学模型，现作如下假设： 1 小车与导轨间的摩擦力与小车速度成正比；电机的摩擦转矩与电机的 转速成正比；上、下摆连接处摩擦力与上、下摆相对角速度成正比；下摆与小车 连接处的摩擦力与下摆相对角速度成正比。 2 除皮带外其他对象均视为刚体。 3 皮带的伸长忽略不计，且传递作用力的延迟忽略不计。 4 电路系统的传递延迟及功率放大器的非线性忽略不计。 5 电机电感忽略不计。 6 检测电位器设为线性的，即检测信号分别与r ，只，晚一岛成正比， 且假设标定完全正确。 9 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 1一级倒立摆的数学模型 在推导一级倒立摆的系统的数学模型【钟l 之前，定义一些常用的符号如下： m o ：小车系统的等效质量，单位：k g 昂：小车与导轨间的摩擦力，电机机械摩擦转矩，皮带轮摩擦转矩归算到 小车运动上的等效摩擦系数，由下式定义；等效摩擦力f o - 昂，单位：n s m 。 g 0 ：直流放大器和电机的放大系数，即堵转力矩折合到小车上的力与直流 放大器的输入电压之比，单位：n v 。 ：摆重心与小车一摆连接轴之间的距离，单位：m 。 e ：摆与小车之间的摩擦力矩的等效摩擦系数，其定义如下：等效摩擦力 矩正- e 反单位：n s m 。 ：摆对其重心的转动惯量，单位：培o m 2 。 m i ：摆质量，单位：k g 。 厶：摆连接小车的轴心到摆另外一端之间的距离，单位：m 。 0 ，：摆的角位移，当摆处于铅直位置时其值为零，单位：t a d 。 r ：小车位移，单位：m 。 p ：电机提供的控制力，单位：n 。 h ：控制器向被控对象输出的控制电压，单位；v 。 g ；重力加速度常数，单位：m s 2 如图( 2 1 ) 所示，由于倒立摆系统存在着各部分摩擦力，属于一个耗散系统， 因此式( 2 3 ) 中应该加上损耗能部分，于是： 旦df 詈1 _ 要+ 警+ 詈。纠g = 1 ，2 ，k ) ，( 2 4 ) t 昀l1a q ia q i 两i 、一 、4 图2 - 1 一级倒立摆结构示意图 其中，劬为广义坐标，即r ，日；蟛为非势力的广义力，当q j = r 时，研= c o n ， c o 为直流放大器和电机的放大系数，1 1 1 为控制器向被控对象输出的控制电压，即 控制量，当鼋j = 吼时，蟛 - - 0 ；r 、矿和d 是系统的动能、势能和损耗能，分别为： 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 z 一善霉，y - 善k ，d - 善b 其中露为倒立摆的级数，这里开= 1 。互为小车 和各致倒立摆的勘能，k ，朔、车和各级倒立摆的势能，皿为小车和各级倒立摆 的耗散能，分别为： 小车动能： 瓦- i 2 m o ，2 ；( 2 5 ) 小车势能：k - 0 ；( 2 6 ) 小车损耗能：d 0 - v 2 彤2 ； ( 2 7 ) 一级黝撼五毛璃甲1 ，怕，+ f l s 血刚h 丢( ) - 吾 哦2 + 互1 m 。 ( 叫讲( f l 咖柏) 2 】 一级摆的势能：k - m l 幽c o s q 。 ，一级摆的损耗能：d 1 - 三e 反2 ； 因此，整个倒立摆系统的动能： ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) r 一瓦+ 墨丢m 。，2 + 言以反2 + 丢m - 【( ，+ s 确) 2 + “s m 螭) 2 】；( 2 i ，) 整个倒立摆系统的势能： y 一+ k - m l g ( 1 c o s o , ；( 2 1 2 ) 整个倒立摆系统的损耗能： d - d o + d l - 寺彤2 + 寺五印 ( 2 t 3 ) 将式( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 代入( 2 4 ) 式并整理得到一级倒立摆的数学模型： 嗡m e + 伽m , q 嚣嚣阍+ 瞄埘等龋1 ；- 1 1 一【m 。嚣b 】o 邮， 2 2 2 二级倒立摆的数学模型 与推导一级倒立摆的数学模型类似，在推导二级倒立摆系统数学模型【4 1 l 前， 对于常用的符号定义如下： “：小车系统的等效质量，单位：k g 矗：小车与导轨间的摩擦力，电机机械摩擦转矩，皮带轮摩擦转矩归算 到小车运动上的等效摩擦系数，由下式定义：等效摩擦力厶一j v ，单位：n s m 。 g 0 ：直流放大器和电机的放大系数，即堵转力矩折合到小车上的力与直 流放大器的输入电压之比，单位：n i v 。 ：一级摆重心与小车一摆连接轴之间的距离，单位：i n 。 1 2 ：二级摆重心与一、二级摆之间连接轴的距离，单位：m 。 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 e ： 与小车之间的摩擦力矩的等效摩擦系数， 矩五- e 商。单位：n s m 。 最： 与小车之间的摩擦力矩的等效摩擦系数， 矩瓦- e 幺。单位：n s m 其定义如下：等效摩擦力 其定义如下：等效摩擦力 ：一级摆对其重心的转动惯量，单位：堙o m 2 。 j ：二级摆对其重心的转动惯量，单位：堙m 2 。 肘j ：一级摆质量，单位：丘g 。 m ，：二级摆质量，单位：k g 。 厶：一级摆连接小车的轴心到摆另外一端之间的距离，单位：i n 。 l 2 ： 二级摆连接一级摆的轴心到二级摆另外一端之间的距离，单位：t n 。 0 。：一级摆的角位移，当摆处于铅直位置时其值为零，单位：m d 占，：二级摆的角位移，当摆处于铅直位置时其值为零，单位：m d ，：小车位移，单位：m 。 p ：电机提供的控制力，单位：n 。 “：控制器向被控对象输出的控制电压，单位：v 。 g ：重力加速度常数，单位：m s 2 二级倒立摆的结构示意图如图2 - 2 所示。与推导一级倒立摆系统数学模型类 似，推导过程如下： 图2 - 2 二级倒立摆示意图 小车动能： 瓦- 】2 2 i f 。，2 ； ( 2 1 5 ) 小车势能：k - 0 ； ( 2 1 6 ) 小车损耗能：d o - 1 2 b ，2 ； ( 2 1 7 ) 一级摆僦啼扣甲1 ，怕r + f l 血b ) 】2 + 【丢( ) 】2 - 三埔哇卧【( 叫吣讲( 枷柏) 2 】 ( 2 1 8 ) 一级摆的势能：k - m t g l l c o s 0 1 ；( 2 1 9 ) 武汉理工大学硕士学位论文 一级摆的损耗能：d l - 三e 反2 ； ( 2 2 0 ) 二级摆的动能。 瓦毋甲1 ：怕咀邮f 2 蚓】2 + 【丢( 辆q 岫州 一三j 藏2 + 三m z 【( f + 厶c o s 相+ f 2 瞄吼幺) 2 + 化咖螭+ f 2 咖色幺) 2 】( 2 2 t ) 二级摆的势能： k - m ：g ( c o s 岛+ l c o s 吒) ； ( 2 2 2 ) 二级摆的损耗能：d 2 - 丢最( 也一日) 2 ； ( 2 2 3 ) 因此，整个倒立摆系统的动能： 2 瓦哪互- m o i z + 1 j 1 0 f + 互1 m t p c o s 螭) 2 + ( f l s i n 柏) 2 】 + 三，：幺2 + 丢m ： ( ，+ 厶s 岛反+ f 2 c o s 岛幺) 2 + ( 厶s i n q 反+ 如s i n 渡) 2 】；( 2 2 4 ) 整个倒立摆系统的势能： v - v o + k + k - m , g _ l c o s 0 , + m 2 9 ( z , c o s e l + i , c o s a , ) ；( 2 2 5 ) 整个倒立摆系统的损耗能： d - d o + d 1 + d 2 寻彤2 + 寻确2 + 寻e ( 幺一日) 2 ； ( 2 2 0 将式( 2 2 4 ) _ ( 2 2 6 ) 代入( 2 4 ) 式并整理得到二级倒立摆的数学模型： 其中， m 似，岛) ， 岛 岛 m ( b ，吼) - ( b ，如，日，幺) + ( q ，吃，哇，幺) m o + 托+ 肘2 ( m + m ) 螂q m 是c o s o , 矗一( m ，i 【+ m ) s i n b 反 0 e + 最 0 肘 乞s m ( o , 一q ) 砖一最 ， 岛 巴 - g ( - ，q ，岛) ( m , i , + m , ，) c o s o t j 。+ m r + m 矗 m f 2 s ( 吃一日) ( 2 2 7 ) m 2 f 2 s 吼 m 她c o s ( 吃一b ) j t + m e m 也s i n 岛晚 埘：酏咖( 呸一岛) 幺一e 最 武汉理工大学硕士学位论文 冉啦【c 肘蠹b 】 2 2 3 数学模型的线性化处理 由一级倒立摆的数学模型，即式( 2 1 4 ) 和二级倒立摆的数学模型，即式( 2 2 7 ) 可以看出，倒立摆的数学模型是一个典型的非线性系统。为了应用线性系统控制 理论进行分析和研究，需要对其模型进在倒立摆的平衡点附近进行线性化处理。 考虑到倒立摆问题的实质，选取平衡点位置为： r - 岛- 岛一0 f - 反- 杰- 0 此时近似有 s i n 日0 x ，s o - 1 并忽略方程中含有的高阶项可得一级倒立摆系统线性化矩阵方程： 鸩讣1 阶g l ； ( 2 锄 其中， 帆i 【臀 繇】忡瞄三】：q 。附 明显的，矩阵 是正定的，所以 f 1 4 一定存在，且正定。因此，式( 2 2 8 ) 可以 变换为： 肾吼阶m 1 - 1 q 似柳 令工- 【，b 砖】2 ，设状态空间方程和输入方程为： “发 ( 2 3 0 ) iy 一凹 、 则对式( z3 0 ) 做整理后可得到一级倒立摆的状态空间方程和输出方程： 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 产 - r b q y - b 0 1 o 二竖：竺堑! 墨 a o0 0 其中a - m , i , f o a 0 0 0 1 o1 0 j o ， ， b b 01 o 二垡二竺筮! 墨 o0 o 玉丝；笠 a o m 肘 昂 a m 。g t , ( m 。+ 蝇) a m 。g f l ( m 。+ m 1 ) a 0 m 1 墨 1 一m i ( m o + m 。) 互 a 0 m 1 f 1 e 1 一m i ( m 。+ m 。) e a ， r q 岛 + ；c b ：鞠啦川+ m 雕“ 一m a ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 对于二级倒立摆系统，在平衡点，- q - e , - 0 ，- 砖- 幺, - 0 附近线性化并 忽略高次项有：m ( o , o ) 其中， m ( o ，0 ) 一 芦 岛 以 + ( 0 o ，o ，o ) f b 吃 - g ( u ，b ，如) ( 2 3 3 ) m q + m t + m 2t m 3 l + m , - a 、m 毒2 ( 肘 + m r l a ) + m z + m 麓 m 2 l 2 1 2 m 是m z l l l 2j 2 + m 是 牵。 丝 。砰一a o 一一 。等 武汉理工大学硕士学位论文 n ( o , o , o , o ) - g ( u ，岛，晚) - 昂0 0 0 互+ e 一易 0 一ee a o u ( 肘 + ， ) 鹏 m 2 9 1 2 0 2 为了得到二级倒立摆系统的状态空间方程形式，重写式( 2 3 3 ) 为 m ( o , o ) ， q 如 - 一n ( o , o , o ，0 ) 其中f ( b ，0 2 ) - - 产 岛 岛 + f ( q ，岛) + 0 ( m l f l + m a ) g o , 膨：g f 2 岛 g 0 0 0 在b 和岛很小的情况下，上面的式子可以写成如下形式： f ( r ，岛，岛) - 其中，f 一 ， q 岛 000 0 ( m + m 2 1 a ) g 0 00 m 2 9 f 2 oo0 0 ( 肘 + m ) g 0 00 m 2 如 ， 岛 吼 一， 式( 2 3 4 ) 两端同时乘以m 。1 ( o o ) ，可以得到： - - m 。1 ( o ，o ) ( o ，o ，o ，o ) 令j - ，岛岛】r ，得到： 主j 荔f j i + g 缸 其中： ， q 见 + m 4 ( o ，o ) ， 1 6 r 口 p r q 晚 g 0 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 埘。1 时。3 乃 ( 2 3 8 ) 武汉理工大学硕士学位论文 话一m 4 t 0 ，。，t 0 ，0 ，0 ，。，；一膏m 4c 0 0 ，f ；g 吖4 c。，。，【言】 由于实际上所能测量到的二级倒立摆的角度信号是岛一岛，为了运算方便， j 。【岛兰日】。咭三习【墨】。写j c 2 3 9 ， 于是有j 一玎1 j ，将其代入式( 2 3 8 ) 中，有： 1 童1 一融i 、殳一p t j + g u 整理得到： 夏_ 一瓣1 j 一毛蔚1 j + 瓦砌 做了上述变换后，可以定义状态变量x e r 6 工= i tb 吃一b ，岛岛一岛- j l r r 于是列出线性化以后的六阶状态方程如下： 重。【2 笔】z + 翟卜 其中，4 。，如都是3 x 3 矩阵，岛为3 1 矩阵，定义如下： 以。毛孵1 一彬4 ( o ，o ) 田1 ； 如- 一z 廊11 一z ； f - 1 ( o ，o ) ( 0 ，o ，o o ) 巧1 ； ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) “一。懈 式( 2 4 1 ) 即是对二级倒立摆系统进行状态空间分析的数学模型基础。 武汉理工大学硕士学位论文 2 3 倒立摆系统的仿真与分析 在研究控制方案之前，首先应该对被控对象的特性及本质有充分的了解。因 此，在建立了系统的数学模型之后，利用一些仿真手段对被控对象的特性加以分 析，是很有必要的。 对于倒立摆这一自然不稳定系统，在研究使其能够稳定的控制方案之前，一 个令人感兴趣的问题就是：倒立摆系统在自然条件下的运动特性是怎样的? 对于 这个问题的深入了解，有助于我们更加深入了解倒立摆系统的本质，进而设计出 比较适合的控制方案。 本小节利用倒立摆的线性状态空间的数学模型，结合m a f l a b 仿真工具，分 析了倒立摆系统的运动特性 倒立摆系统的各参数实际数值如下 3 1 结构参数数值说明 m a 1 3 8 2 2k g小车系统的等效果质量 0 2 2 k g 一级摆的质量 m 20 1 8 7 k g 二级摆的质量 0 0 0 4 9 6 2 6 k g 时一级摆对其重心的转动惯量 ，2 0 0 0 4 8 2 3 5 k g 口二级摆对其重心的转动惯量 o 3 0 4 m一级摆重心与小车摆连接轴之间的距离 乞 0 2 2 6 i n二级摆重心与一、二级摆之间连接轴的距离 厶 0 4 9 m上、下摆转轴之间的距离 厶 0 4 9 m上摆轴心到上摆另外一端之间的距离 磊 2 2 9 1 4 7 n s m小车系统摩擦系数 e 0 0 0 7 0 5 6n s m一级摆与小车之间的摩擦力矩的等效摩擦系数 最 0 0 0 2 6 4 6 n s m二级摆与一级摆间的摩擦力矩的等效摩擦系数 g 0 1 1 8 8n v直流放大器和电机的放大系数 2 3 1一级摆的仿真结果与分析 将一级倒立摆的实际结构参数代入式( 2 3 1 ) ，可以得到一级倒立摆的状态 空间方程如下： 1 8 武汉理工大学硕士学位论文 4 - o1 0 - 1 6 7 1 1 2 00 04 4 1 8 5 9 o - 1 2 6 6 3 0 2 9 3 1 3 1 0 0 0 1 3 6 1 - 0 1 3 4 9 ，b 1 0 o 7 2 9 2 o - 1 9 2 8 0 以上述模型为基础，利用m a t l a b 仿真工具【3 1 1 ，当对系统输入为阶跃输入 时，系统的输出响应如图2 3 所示从图中可以直观地观测到一级倒立摆的运动 过程，并且摆的响应要比小车的响应快速。这一点可以启发我们在设计控制器使 单摆稳定在铅直位置时，必须先稳定摆体，然后稳定小车，这样能达到快速稳定 目的。 图2 - 3 一级倒立摆的运动特性 2 3 2 二级摆的仿真结果与分析 将二级倒立摆的实际结构参数代入式( 2 4 1 ) ，可以得到二级倒立摆的状态空 间方程如下： a ooo100 0oo0lo 0ooool 02 5 7 4 30 1 6 4 41 6 6 6 9 4- 0 0 1 2 40 0 0 5 7 02 9 9 8 0 4- 1 5 2 1 1 2 m 3 2 1 50 2 0 4 9 - 0 1 7 3 8 0 3 6 7 3 1 26 5 5 1 2 2 4 9 4