（计算数学专业论文）两类与stokes问题相关的微分方程的有限元分析.pdf

摘要 本文首先在半离散格式下采用b e r n a d i r a u g e l 混合元方法研究了s t o k e s 型积分微 分方程在各向异性网格下通过高精度分析技巧得到了误差的超逼近结果，并通过适当的 插值后处理技术得到了整体超收敛速度函数u 的近似解在h 1 范数下，与通常的有限元 误差估计相比，其收敛精度从o ( h ) 提高到了o ( h 2 ) ；其次采用c r o u z e i x - r a v i a r t 型各向异 性非协调三角形元，同样在半离散格式下对该方程进行有限元逼近，在证明过程中我们用 插值代替传统的广义r i t z - v o l t e r r a 投影，通过新的技巧得到了与传统协调有限元方法在 正则网格下相同的最优误差估计；最后构造了一个新的无闭锁四边形矩形元，并通过加罚 方法讨论了s t o k e s 问题的一个l o c k i n g - f r e e 有限元格式，得到了相应的最优误差估计 关键词：s t o k e s 方程；各向异性；协调元及非协调元；超逼近及超收敛；最优误差估 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t l ys t u d yt h eb e r a n d i - r a u g e lm i x e df i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o n f o rt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fs t o k e st y p ew i t ht h es e m i d i s c r e t es c h e m e u n d e rt h e a n i s o t r o p i cm e s h e s ，t h es u p e r c l o s er e s u l ti so b t a i n e db a s e do nh i g h e ra c c u r a c ya n a l y t i c a l t e c h n i q u e a tt h es a m et i m e ，t h eg l o b l es u p e r c o n v e r g e n c er e s u l ti sa l s op r o v i d e dt h r o u g ha p r o p e ri n t e r p o l a t i o np o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e c o m p a r e dw i t ht h eg e n e r a le r r o re s t i m a t e s o ft h ef i n i t ee l e m e n t t h ec o n v e r g e n c er a t eo fv e l o c i t y 就i nh 1 一n o r n lv a nb ei n c r e a s e df r o m o ( h ) t oo ( h 2 ) js e c o n d l y , t h ec r o u z e i x - r a v i a r tt y p ea n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l - e m e n ti s 印p h e dt ot h es a m ee q u a t i o nw i t ht h es e m i d i s c r e t es c h e m e i nt h ep r o c e s s ，w e u s ei n t e r p o l a t i o ni n s t e a do ft h et r a d i t i o n a lg e n e r a l i z e dr i t z - v o l t e r r ap r o j e c t i o n b yn o v e l a p p r o a c h e s ，t h es a m eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sa r ed e r i v e da sf o rc o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t u n d e rr e g u l a rm e s h e si np r e v i o u sl a t e rr a t u r e l a s t l y , w ec o n s t r u c tan e wl o c k i n g - f r e e r e c t a n g u l a rn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ，w h i c hc a nb eu s e dt os o l v et h es t o k e sp r o b l e m t h r o u g hp e n a l t ym e t h o d a n db ys o m en o v e la p p r o a c h e s ，t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sa r e o b t a i n e d k e y w o r d s ： s t o k e sp r o b l e m ；a n i s o t r o p i e ；c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n ta n dn o n c o n - f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ；s u p e r c l o s ea n ds u p e r c o n v e r g e n c e ；o p t i m a le r r o re s t i m a t e s 前言 有限元方法是数值求解微分方程问题的一种方法早在1 9 4 3 年，c o u r a n t 已经提出 在三角形网格上用逐片线性函数去逼近d i r i c h l e t 问题，这是有限元方法最初的思想而 真正的有限元方法首先是在2 0 世纪5 0 年代初由工程师们提出，并用于求解简单的结构 问题在6 0 年代中期，我国计算数学家冯康先生与西方学者独立并行的奠定了有限元方 法的数学基础，并给出了收敛性和误差估计2 0 世纪7 0 年代初，b a b u s k a 和b r e z z i 又 创立了混合元方法的一般理论；2 0 世纪8 0 年代初，f a l k 和o s b o r n 又提出了一种改进 的方法。近年来，随着计算机的蓬勃发展，有限元方法已成为- - f l 理论完善，应用广泛的 数值方法 我们构造的有限元空间垓逼近真解空闻y 的程度决定了有限元解锨逼近真解让的 好坏当v hcv 时，我们称之为协调元，否则，称之为非协调元非协调元一度被认为 是非标准的，因为求出来的解不属于原来的空间y ，但在实际计算中，却发现非协调元 具有很好的收敛性，并且具有较少的自由度，因此有相当好的应用价值，在近些年取得了 很大发展 传统意义下的有限元方法对网格的剖分有严格的要求，要求剖分满足正则性条件或拟 一致假设【5 j ，即纽p ksc 或畚c ，这里h k 为剖分单元k 的直径，p k 为k 的最大内 切圆直径，h = m a x h 耳，c 是一个与无关的常数但最近一些研究表明上述要求对一 些有限元格式并不是必要的同时，有些问题定义在窄边区域，例如对于复合材料，转子 间隙等问题，如采用正则网格剖分，计算量将非常大，使我们无法承受然而在这种情况 下，上述比值2 竺可以非常大，甚至趋于无穷，这使得传统的有限元分析方法已不再适 用于是采用各向异性剖分，即不要求网格满足上述正则性条件或拟一致假设就显得十分 必要关于这方面的研究，法国的t a p e l 等做了大量的先驱性工作在【6 】中，他将这 方面的工作做了系统的总结，提出了个各向异性判别定理最近陈绍春教授和石东洋教 授在文【7 】中对t a p e l 的方法进行了改进，给出了一种更易于操作的方法 关于s t o k e s 方程的研究已经有很多好的结果，比如【1 3 ，1 6 ，2 0 ，2 4 】本文在各向异性条 件下研究了s t o k e s 型积分一微分方程的b e r n a d i - r a u g e l 混合元近似解，在半离散格式下 通过高精度分析技巧得到了误差的超逼近结果，并通过适当的插值后处理技术得到了整 1 体超收敛；其次采用c r o u z e i x - r a v i a r t 型各向异性非协调三角形元，同样在半离散格式下 对该方程进行有限元逼近，在不需要传统r i t z v o l t e r r a 投影下，通过新的技巧得到了与 传统有限元方法相同的误差估计；最后构造了一个新的无闭锁四边形矩形元，并通过加罚 方法讨论了s t o k e s 问题的一个l o c k i n g - f r e e 有限元格式，得到了相应的最优误差估计 本文的写作安排如下， 第一章；介绍预备知识，列举本文中用到的一些记号和定理 第二章；各向异性网格下s t o k e s 型积分一微分方程b e m a d i r a u g e l 混合元近似的超收敛 分析 第三章ts t o k e s 型积分一微分方程的各向异性非协调有限元分析 第四章t 关于s t o k e s 问题的一个l o c k i n g - f r e e 有限元格式 2 1 s o b l e v 空间及一些记号 第一章预备知识 设qcr 2 为一有界凸多边形区域，z = ( z l ，x 2 ) 为舻中的点口= ( o l ，o r 2 ) 为2 重指标，其中啦0 ，i = 1 ，2 ，记其长度为 混合偏微分算子记为 s o b l e v 空间定义为 q i = n 14 - a 2 矾= 去 ；。i ”p ( q ) = ，汐( q ) ：d o ，矿( q ) ，i o l l m ) w ”p ( q ) 上的范数和半范定义为 i i v ；w p ( q ) l l f 岳上酬谢， w 唧( q ) l = ( 1 暑上i 。刮如) ； 空间h ”( q ) = w i n , 2 ( q ) 上的范数和半范记为”和j i 。 2 有限元方法的基本理论 用有限元方法来数值求解微分方程，主要是从数学物理问题的变分原理出发，将微分 方程转化为与其等价的变分形式设y 为h i l b e r t 空间，定义在y 上的抽象变分问题为： 求“v ，使得 8 ( 札，t ，) = ( f ，钉) ，v v v( 1 1 ) 其中口( ，) 为定义在vxv 上的连续双线性泛函，为定义在y 上的线性泛函 l a x m i l g r a m 定理设y 是一个实h i l b e r t 空间，y 是其对偶空间，。( ， ) 是 v v 上的双线性形式，假定a ( u ，口) 满足连续性和强制性，即存在正常数m ，口使 i a ( u ，口) i m l l u l f v i f v l l v ，v u ，移k 3 a ( v ，口) l o i 移，v v v 则对任意的f v ，变分问题( 1 1 ) 有唯一解 l a x m i l g r a m 定理对变分问题( 1 1 ) 解的存在唯一性给出了明确的回答，然而一般 情况下，其精确解的求解却非常困难有限元方法就是用一个有限维空间来逼近无限 维空间v ，( 1 1 ) 化为如下的离散变分问题；求u h y h ，使得 a ( u h ，v h ) = ( f ，) ，v v h 当hcv 时，我们称之为协调元；否则，称为非协调元 下面的c e 5 引理和s t r a n g 引理分别给出了协调元和非协调元的误差估计 ( 1 2 ) c e h 引理设v 为h i l b e r t 空间，cv 是v 的有限维子空间，口( ，) ，均满足 l a x - m i l g r a m 定理的条件，“和u h 分别为( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，则 i l u - u h l l 舱p - i n f l “一 ( 1 3 ) 其中卢为( ，) 在y 上的连续常数，q 为o ( ，) 在y 上的强制常数 s t r a n g 引理设h 为h i l b e r t 空间，v 和k 为h 的子空间，o ( 一，) 是h 上的连 续双线性泛函，并且在上强制，f 日，“和u h 分别为( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，则 i l u - u h f l h 0 ，使 a ( v ，钉) 2q i i 口i i 备，v 口z 5 其中z = t ，h b ( v ，q ) = o ，vq m ( 2 ) 吣，) 在h m 上满足b b 条件，即存在常数p o ，使 。s u h pb ( 口v , 日q ) 卢| i q i i 肘，vg m 设点k ，m 为日和m 的有限元逼近空间，若王hc 日且 靠cm ，则称为协调元空 间，否则成为非协调元空间 对协调元，混合变分问题的离散形式为 求( 仳 ，p h ) 五 x 螈，满足 。u h , v h ) + “剐卵) ，日 ， ( 1 8 ) ib ( u h ，g ) = g ( q n ) ，vq h 慨， 基本定理2 若双线性型o ( ，) ，6 ( ，) 满足 ( 1 ) n ( ，) 在h h h h 满足强制性，即存在常数o 0 ，使 a ( v h ，v h ) a l f t ， i i 备，v 研。日 ， ( 2 ) 6 ( ，) 在f k 地上满足b b 条件，即存在常数p 0 ，使 。s u 。玩p1 b ( v 诟a , q a ) - p l r 弧i l m ，v 瓠螈 则离散格式( 1 8 ) 有唯一解( ? - h ，p h ) 上h 螈 若有限元空间为非协调的，即日 c 日，m hcm 至少有一个不成立假设可以找到 更大的空间x 和y ，使得x ) e x ) 上如，y m y3 靠同时成立，以及双线性型 n ( ，) 扩展到x x ，6 ( ，) 可以延拓到x y 更一般地，线性泛函f 和g 也可以进行 相应的延拓延拓后在有限元空间上记作( ，) ，h ( ，) 等则此时的离散格式为 f “撕m ) + 吣州娟) 幽， ( 1 9 ) 1 嘶胁) = g 如) ，v 瓠螈， 。 基本定理3 若双线性型( ，) ，( ，) 满足 ( 1 ) 口h ( ，) 在三h 玩满足强制性，即存在常数o l 0 ，使 a h ( v h ，v h ) n l l 钉 | i 殳，v o h h h ， ( 2 ) k ( ，) 在月k m h 上满足b b 条件，即存在常数口 0 ，使 惝s u p 帮 p l l q h l l y ，v 鲰慨 则离散格式( 1 9 ) 有唯一解( u ，p h ) 玩m h 7 第二章各向异性网格下s t o k e s 型积分微分方程b e r n a d i - i h u g e l 混合元近似的超收敛分析 1 引言 有限元超收敛的研究始于1 9 7 2 年，有关它的历史以及参考文献，可见 i - 3 j 对于求 解s t o k e s 问题的速度一压力混合元近似格式，当网格剖分比较好且精确解满足一定的正 则性条件时，有些混合元具有超收敛性陋4 】，但这些研究都是基于对剖分的正则性条件 或拟一致假设近年来出现了一些各向异性有限元方法的超收敛研究【1 1 一1 3 1 本文在各向 异性网格下研究s t o k e s 型积分微分方程b e r n a d i r a u g e l 混合元的近似解，在半离散格 式下通过高精度分析技巧得到了误差的超逼近结果，并通过适当的插值后处理技术得到 了整体超收敛 考虑s t o k e s 型积分微分方程初边值问题【8 】： 毗一a u 一露a u ( x ，r ) d r + v p = ， ，t ) d i 口= 0 u ( x ，t ) = 0 u ( x ，0 ) = u 0 ( z ) ( z ，t ) q ( 0 ，卅， ( 以t ) q ( 0 ，刀， ( z ，t ) a q ( 0 ，明， z q 其中= ( u l ，u 2 ) 为流体速度，p 是压力，f = ( ，l ，2 ) 是体积力密度 令x = ( 硪( q ) ) 2 ，m = l 3 ( q ) = q ，q l 2 ( q ) ，如q d x d y = o ) ，v = 仳x ，d i v u = 则相应于( 2 1 ) 的变分问题为：求( 牡，p ) x m ，满足 ( u t ，口) + a ( u ，口) + 露a ( u ，v ) d t - 一p ，d i v v ) = ( ，t ，) ，v v x ， ( 口，d i v u ) = 0 ，v g m ， ( 2 - 2 ) 让( 茹，0 ) = u 0 ( 。) ， 其中。似，v ) = 矗v u v v d x d y ，( ， 口) = 如f v d z d y 这里的空间x 和m 满足b b 条件 9 】，即存在p 0 使得 罂皆鼬1 0 8 2 s t o k e s 型积分一微分方程的半离散格式及其解的存在唯一性 为简单起见，设q 是兄2 中的一个有界凸多边形区域其边界a q 平行于z 轴或y 轴，尻是q 的一个矩形剖分族，不要求满足上述的正则性假设和拟一致假设v k 玩， 设其中心点为( x k ，y k ) ，两边长分别为2 k 和2 ，顶点为z 1 = ( z k k ，y k h u ) ， 忍= ( x k + k ，y k 一) ，磊= ( x k + h 。，y k + h u ) 和z 4 = ( x k k ，y k + h u ) ，四条边为 l l = z t z i ，1 2 = z 2 z i ，1 3 = z 3 z i ，l t = z 4 z j b e r n a d i r a u g e l 混合元空间x h m h 可定义为【6 】： x a = 口x ；v k q x 2 q 2 1 ，v k 氕) ， 慨= “l 2 ( q ) ；q i 耳q ，v k 磊 ， ( 2 3 ) 嘲= g m h ；如q d x d y = o ) 定义空间v h = t ，x h ；( q a ，d i v v ) = o ) ，v q m h 显然，x m zc ( 砩( q ) ) 2 瑶( q ) ，那么相应( 2 2 ) 的半离散问题为：求( u h ，p h ) x h x m a ， 满足 l ( 警，口h ) + 口( 钍h ， h ) + 露o ( u ，v h ) d t 一( p ，d i u ) = ( ，) ，x h ， ( q h ，d i v u ) = 0 ，v q h m h ， ( 2 4 ) lu h ( o ) = u 2 = h h u o 其中i i u o 分别为t l o 的有限元插值，也可以取为u o 的某个逼近 显然，n ( ，) 在x hx 满足强制性，即 n ( t j ，t ，) n i i ，v ”x h ， ( 2 5 ) 【1 0 已经证明了( x h ，m h ) 满足b b 条件，即存在 0 使得 w s h 叩e x a 罐1 w 铲h 冽l o ，v 吼慨i 下面研究问题( 2 4 ) 的解的存在唯一性 定理1 当初始解让2 k 时，问题( 2 4 ) 的解( u h ，p h ) x h m h 存在唯一 9 证明与问题( 2 4 ) 相应的伴随问题是：求u h ( t ) h ，u h ( o ) = 1 1 1 t 0 v h ，满足 ( 警，讥) + ( 仙 ，) + t 。( “h ，v h ) d r = ( ，) ，v h ， ( 2 6 ) 设u h ( t ) 是问题( 2 6 ) 的唯一解，定义x n 上的线性有界泛函z = l ( u h ) ： = 百o a t t h ，) + 。( u h ，) + z 。( n ，) 打一( ，) ， 则问题( 2 4 ) 转化为：求p a 靠满足 ( ，耽，d i v v n ) = ，v v h x h ( 2 7 ) 利用b b 条件和l a x - m i l g r a m 引理，类似i s 中的论证可知问题( 2 7 ) 的解存在唯一，定 理证毕 设k = 【一1 ，1 】【一1 ，1 】是专一叩平面上的参考单元，其四个顶点分别为幺： ( - 1 ，- 1 ) ，磊= ( 1 ，- 1 ) ， 磊= ( 1 ，1 ) 和幺= ( - 1 ，1 ) ，四条边为五：蕊，如： 乏瓦f 3 = 荔夏和毛：乏石则存在可逆仿射变换取：霞。k 弘帆6 ( z s ) 【妙5 船+ 7 7 下面我们研究插值函数的性质，为了方便，我们只研究u 的第一个分量，记作钉 在霞上，令 魂= 。( 蚴，t = ，忍s ，a ，如= 南五番粕，魄= 高石。幽 设其插值函数可表示为t 1 1 0 = o r l + o 口f + a n t + a 4 , 勃+ 锄，7 2 + o b f 叩2( 2 9 ) 其中 在一般单元k 上， 。l = 一 ( 0 1 + 锄+ 锄+ 0 4 ) + ；( 魄+ 讥) o r 2 = ；( o t 一锄一奶+ 钒) + i ( 如一魄) 锄5 _ m + 如一锄一讥) ( 2 1 0 ) 毗= ( 舌l 一也+ 魄一m ) a 5 = 一i ( 魂+ 也+ 锄+ 锄) 一i ( 0 5 + 讥) 哪= 一2 ( 矾一锄一仍+ 锄) 一i ( 锯一魂) v u ( 茁，y ) ( 硪( ) ) 2 定义插值算子i i 为： h g u = ( i i k “( ，i i k u ( 2 ) ， 其中i i k u ( ) = ( n 也( ) ) o 吆1 ，i = 1 ，2 定义插值算子 ：v u ( h 2 ( q ) n 嘲( q ) ) 2 ，i i h u i k = i i k u 则= ( 乱( ，“( 2 ) ( h 2 ( q ) ) 2 ，p l 2 ( q ) ，其插值函数i i k u = ( n 乱( ，i i k u ( 2 ) ) ，i k p 取以约慨) i = 1 , 2 , 3 , 4 ( 2 1 1 ) l 正。( “一k t l ) n d s = o ， i = l ，2 ，3 ，4 。1 1 以及 五一i k p ) = 0 。 ( 2 1 2 ) 由插值函数的定义知若t ( h 2 ( q ) n 硪( q ) ) 2 ，p 瑶( q ) ，则( i i k u ，k p ) j “ 靠 在不影响理解的情况下，对任意的矢量函数口( 砩( q ) ) 2 ，仍记i i k v 为秽在有限元 空间风上诱导的插值函数 为了方便，我们引理的证明只考虑标量函数u ，对矢量函数“结论同样成立 引理1 ：插值算子血具有各向异性插值特征，即对任意西h 2 ( 丘) 及多重指数 a = ( a 1 ，0 2 ) ，当i q i = 1 时，有 l i d 。( _ o 一o ) i l o 膏c i b 。0 1 1 霞 ( 2 1 3 ) 证明：当o t = ( 1 ，0 ) 时，我们有 d 。( 矗o ) = q 2 + 凸4 町+ o 椎叩2 ， 注意到 1 ，玑矿) 是d a 户的一组基所以 劬= ；( 0 1 - - 仍一如+ 钆) 十i ( 魄一魄) = 一( 石赛鹰+ 石褰+ ；( 五。( 朋却一五。( 一川却) = 一；c 石赛嘶+ 五赛武，+ ；厶赛武咖 ；日( d 。0 ) ， 啦= 扣一赴+ 如刊= 一i ( 赛一五赛 = 五翥武却= 砌嘲， 蛳= 一；( 。，一赴一锄+ 锄) 一i ( 锯一钆) = i c 石赛武+ 五翔一8 3 坛r 必茹，d 叩 = 咫( d 。o ) 令曲= 赛，由迹定理，有 1 日) l = ；l 石西武+ 五面武+ 3 厶西d 4 d 叩l c l l 。i i t ，霞 同理l 局) i c l l , 。l l 。，j ，i 乃 ) isc l l , z , 1 1 1 。丘故乃p ) ，d = 1 ，2 ，3 ) 是h 1 ( 霞) 上的有界线 性1 2 1 i 萋i o = ( i ，0 ) 时可类似地验证由【7 】中的基本定理可知，该单元具有各向异性插 值特征 基于引理1 及i s 】中证明技巧，在各向异性网格下，我们有下面的收敛性结果 定理2 ：设( p ) v m 和( u h ，p h ) kx 慨分别是( 2 2 ) 和( 2 4 ) 的解，则在各 向异性网格下有：当u ，撕，仳n ( h 2 ( q ) ) 2 ，p t h 1 ( q ) 时， i l 乱一u h i i o + 蛞l u u i d r c i - 1 2 + ( 尼( 1 “t i ；+ l 训；+ i p l 2 。j j i l 】， ( 2 1 4 ) l u u l c h i m 2 + ( | p 陪+ 名( i i 地i i ；+ i t 正i ；+ i a l i ) d 丁) 】 ( 2 1 5 ) 3 一些基本估计式子 为了进行超逼近及超收敛分析，我们先介绍下面非常有用的引理 引理2 ：坳风，k 尻成立下列不等式 1 l j f l y , ”i i 。，_ i r c h ；1 i i v ”l l 。，耳，1 1 2 k v l i 。，耳c i 1 i l v x l l 。，k ，( 2 1 6 、 i i i i o ，k c h ；2 i i v p l l o ，k ，0 鲫i i o k c h ；2 i i v 。l l o ， v k 尻，利用【2 】中的思想引进误差函数 砷) = ；( ( z 一州2 一圮) ，珊) = 扣一刚2 一 ；) 记w = ( w l ”，w 2 1 ) = “一i i k u ，r = p i i g p 引理3 ：如果牡( h 3 ( q ) ) 2 ，则 ( v w ，v 口) = o ( h 2 ) l u h v l l ，v t l 证明；令 = ( 口( ，口( 1 ) ) x h ，则 锣( z ，) = 谚】( z ，k ) + 国一暑，蜀) 蝴( 茁，瓤) + ； 一) 2 v 1 l ( 、z ，暑，) ， ( 2 1 7 ) 由插值的定义可知 伽【1 l 涵) = 0 ， w 1 1 1 咖= ，1 4 w2 1 幻= 0 ，上 圳如咖= o 类似与【2 】中的证明，我们有 厶训白一船) 制( z ，船) = ；厶趔1 严( 掣) 。”2 2 ( 为掣k )( 2 1 8 ) = ：厶喝f 2 ( 可) 蚓( 茁，驰) ， 、。 上谤，；( 鲈一鳅) 2 蜴= 由( 2 1 7 ) 至( 2 1 9 ) 及引理2 得 同理可得 所以 ( 2 1 9 ) f ，w 。 l l v 。 1 l = o ( 孙矧删1 ( 2 2 0 ) j 且 上叫 1 l 掣= d ( 磋) 训棚 ( v w f l l ，v v 1 1 ) = o ( h 2 ) l ue 1 影【l | | 1 同理 ( v w l 2 1 ，v v l 2 1 ) = o ( h 2 ) i 仳垆1 1 引理得证 引理4 ：如果p h 2 ( q ) 则 ( r ，d i v v ) = o ( h 2 ) i p l 2 m 1 ，v v 1 3 q h + 彬埘伽 何f ，k 厂詹 证明：同引理2 ，对趔】关于变量y 做t a y l o r 展开，由插值的定义知 上r 毋( 训k ) = o 厶r ( y - - y k ) = 上r ( f ) = 一厶f ( 可) 脚， 上r ；( 可一2 = 石1 厶( f 2 ( ) ”+ 砖) r = ：f k f 2 ( ”) 锄， 注意钉【1 j 在q 上连续且移f l ll a n = 0 我们有 莓上f ( 剪) 珊蟛5 莓( 五一五) f ( 可) 鳓谚1 匆一莓厶f ( 可) m 。曙1 = 一莓厶确) p j i ， 莓厶p ( 可) 妇一瓤) 珊蛾5 莓上f ( 可) ，( 鲫) , _ l v v * i i 鲫i = 莓厶i ( 严( 可) ) 7 珊蛾 = 一i 莓厶f 2 ( ) 砌蜴， 由f 2 2 1 ) 至f 2 2 5 1 式及引理2 得 同理 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( r ，刈) = 一莓上f 白) p d 4 一白一yx v 1 ，+ 石1 莓丘f 2 ( ”) 蛾 = 一莓厶f ( 可) ，谚l1 。e k 厶俨( 掣) p 础蜴+ ：莓厶f 2 ( ”) p 鲫蜴 = d ( 磋) 圳z 妒i - ( r ，蟛) = o ( h ：) l p l 2 1 v t 2 1 i l 引理得证 引理5 ：如果u ( h 3 ( q ) ) 2 ，则 ( d i v w ，g ) = 0 ， v q m h 证明：因为q l k 为常数，由插值定义可得 上出”( 一i i k u ) = f o k ( 钍一i i k u ) n d s = 0 4 4 超逼近和超收敛性分析 札，u t ，u u ( h 3 ( q ) ) 2 ，p ，p t 日2 ( q ) 时， i i i h u - u h l l c h 2 昭雠+ 吣+ i u l 3 2 + i p t l ；) d t + 邮+ i p l ； ( 2 2 6 ) 证明；令一= 扣一i i h u ) + ( i i h u u h ) = 可+ p ，其中0 v h 由( 2 1 ) 和( 2 4 ) 可得 巩u ) + 。( 9 ，2 辘) + o 口2 2 协d r( 2 2 7 ) 一一( 仇，v h ) 一。向，鲰) 一上。，v h ) d r + ( p k p ，d i v v h ) ， 在( 2 2 7 ) 中取= 巩，注意到f o a ( o ( 厂) ，巩p ) ) d r - - 五d ，t n ( 口( r ) ，口( z ) ) 打一l o l l j oaj o o ，嘎+ i l 磊d ；+ 夏d 五ta ( 口( r ) ，8 ( t ) ) d r 。1 1 膏 这里及以后出现的c 均表示一个与h 及豢无关的常数，不同地方可以取不同的值 b 。( f l o ) = 2 ( 赴一如) 显然， 1 ) 是b 。p 的一组基，且由于 2 ( 仍一玩) = 2 【去石油一石印州酬 辫麓郴砌圳 慨s ， = 高厶赛谕 比，日1 ( 霞) ，定义算子f 如下 f ( ( ：) = 南厶d 必却， 1 9 同理，对q = ( 0 ，1 ) ，也有类似结果由【7 】中各向异性基本定理知，该单元具有各向异性 插值特征，引理得证 设qcr 2 为凸多边形区域，尻为如下图2 所示的各向异性剖分形式【1 5 】( 即假设 三角形的两直角边中，长边平行于z 轴，短边平行于y 轴，k k ) ： 图2 剖分网格 在一般单元k 上定义形函数空问 p k = p = 多f ；1 ，p 户) 相应的有限元空间为。 = p = ( 以； 妊斥，二妒1 = o ，f c o k ，v k 巩，i = 1 ，2 m h = q l 2 ( q ) ；q l k e r ，v k 矗) 这里【口( 】表示钉( i ) 跨过单元边界的跳跃度，当fc a q 时， 【口( 】= t ，( 订这里不要求其 剖分满足上述正则性条件和拟一致假设 定义插值算子 ：( 硪( q ) ) 2 一，( i i h v l k ) b f = o p 定义空间= 材x h ；d i v v = o ) ，在“上，对任意的= ( 毋，世) 定义 i i = ( = ( ( 毋瞪k + it 妒瞪k ) ) ， ( 3 4 ) v v v h v v h d x d y ) k c j hk 易知| 1 h 对矢量函数x h 是范数 引理s ：i 1 6 1v v ( 砩( q ) ) 2 成立下面的估计 l t ，一l l h v l h c i v i l ，1 1 - i h v l h c i v i l ( 3 5 ) 3 半离散格式及其解的存在唯一性 考虑s t o k e s 型积分一微分方程初边值问题【8 t t a u 一詹a u ( x ，r ) d r + v p = f ( x ，t ) ，p ，t ) qx ( 0 ，明， d i v u = o , ( z ，) q ( o , t l ， ( 3 6 ) u ( x ，t ) = 0 ， ( z ，t ) a qx ( o ，卅， u ( x ，0 ) = u 0 ( z ) ， z q ， 其中仳= ( u ，“。) 为流体速度，p 是压力，= ，2 ) 是体积力密度 令x = ( h 8 1 ( q ) ) 2 ，m = l g ( f 1 ) = 口，q l 2 ( q ) ，如q d x d y = o ) ，v = u x ，d i v u = o ) 则相应于( 3 6 ) 的变分同题为：求( “，力xxm ，满足 ( 讹，口) + a ( u ，t ，) + 厝a ( u ，盯) 打一白，d i v v ) = ( ，口) ， ( q ，d i v u ) = o ， l “( z ，0 ) = 扩( z ) ， 其中a ( u ，t ，) = 如v u v v d x d y ，( ，口) = 如f v d x d y 这里的空间x 和m 满足b b 条件【9 】，即存在p 0 使得 裟寄鼬k 那么相应( 3 7 ) 的半离散问题为：求( u h ，p h ) x hxm h ，满足 讹x v q m ， ( 3 7 ) ( 警，) + a h ( u h ，v h ) + f ；a h ( u h ，v h ) d r 一，d i v v h ) h = ( ，v h ) ， v v h x h ， ( 咖，d i v u ) = 0 ，。v q h m h ， ( 3 8 ) u h ( o ) = 2 = i i h u o ， 其中，。nu h , 蜥) 2 莓厶v n v v h d x d y ，嘞 下面研究问题( 3 8 ) 的解的存在唯性 引理4 ：存在卢 0 使得 s u p ( q h t , d = i v f w h ) n p i | 吼0 。， v q h m h w h e x hl 叫h i h 2 1 证明：对插值算子 ，有 ( q h ，d i v ( v n h v ) ) h = 0 ，v q h m h 事实上，由格林公式和插值条件得 ( 吼，d i ”( 钉一n 一口) ) n 2 k i l q h d i ”( v - i i a v ) d x d g 2 莓厶弧( ”一i i h 口) 础 2 瓠莓厶( 钉一i i h v ) 诎= 。 由上式及连续的b b 条件成立，及引理3 得 w 唧h e x a 哗w 警hh il 2 wsuepx訾llhwhl 一 = w s 印e x 锭l l h 警wh 、 1 ( q a ，d i v w ) h - l 2 u 似s u p 型而- _ n q h l l o 引理得证 定理1 ：当初始解“2 y h 时，问题( 3 8 ) 的解( u h ，p h ) x h 如存在唯一 证明； 与问题( 3 8 ) 相应的伴随问题是；求u h ( t ) v h ，u h ( o ) = i i u 0 ，满足 ( 警，姐) + 乜n ( 钟a ，) + z 。( 牡一，v h ) d r = ( ， ) ，v 蝴， ( 3 9 ) 设u h ( t ) 是问题( 3 9 ) 的唯一解，定义x h 上的线性有界泛函z = l ( u h ) ： = ( 警，) 讯( “胁) + r 。瓶v h ) d t w ，吣 则问题( 3 8 ) 转化为；求p a 蚴，满足 ( 1 氇，d i v v h ) = ，v v h ( 3 1 0 ) 利用引理4 和l a x - m i l g r a m 引理，类似【8 】中的论证可知问题( 3 1 0 ) 的解存在唯一，定理 证毕 4 辅助空间 我们在一般单元k 上引入辅助有限元( k ，f k ，k ) 如下【1 5 】： & = 印a n 1 i 此靠= v i 南z 0 , i - - - - 1 , 2 ， 其中l 为单元k 的二条长边相应的辅助空间为氟： 赢= 协l 2 ( q ) ；讥i k 兹v k 玩，f 】= o ，i = 1 ，2 ) ，“ 这个辅助有限元在后面各向异性误差分析中起着至关重要的作用 设氲：x h 一赢是一个插值算子，定义如下： o h h n 珊= 魂， 其中 上魂= 上d s ， t = ，。 易看出静和静是常数，而且由g r e e n 公式和( 3 1