（运筹学与控制论专业论文）抛物型方程组能控性问题的研究综述.pdf

摘要 这是一篇关于抛物型方程组能控性问题的研究综述本文主要分为三部分，第 一部分主要概括介绍抛物方程的能控性，以及介绍一些文中需要的定义、定理第 二部分以反应扩散方程组为例，介绍其能控性问题的发展与现状第三部分介绍其 它类型的抛物型方程组有关能控性问题的发展现状，如p h a s e ，f p 掰模型，b o u s s i n e s q 系统和n a v i e r s t o k e s 方程 关键词：抛物型方程组；反应扩散方程；局部精确能控性；轨线能控性；近似 能控性；p h a s ef i e l d 模型；n a v i e r s t o k e s 方程 a b s t r a c t t h i si sar e m a r ko nt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fp a r a b o l i cs y s t e m s t h e r ea r em a i n l yt h r e ep a r t s f i r s t , i ti sm a i nt oi n t r o d u c et h ec o n t r o l l a b i l i t yo fp a r a b o l i ce q u a t i o n ，s o m ed e f i n i t i o n sa n ds o m e t h e o r e m s s e c o n d , 1w i l li n t r o d u c et h ec o n 仃o l l a b i l i t yo fn o n l i n e a rr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m s f i n a l l y , w et a l ka b o u to t h e rm o d e l s f o re x a m p l e ，p h a s ef i e l ds y s t e m ，b o u s s i n e s qs y s t e ma n d n a v i e r - s t o k e ss y s t e m k e yw o r d s ：p a r a b o l i cs y s t e m s ；r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m s ；1 x x ：a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ； c o n t r o l l a b i l i t yt ot h et r a j e c t o r y ；a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y ；p h a s ef i e l ds y s t e m ；n a v i e r - s t o k e s s y s t e m 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：眵怕茵日期：j 川疆 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇 编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：圈歪垂 日 期：塑盟：堕拈 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：童金 日期：幽：堕丝 电话： 邮编： _ _ _ _ _ _ _ 一 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 能控性问题是r e k a l m a n 于上个世纪6 0 年代针对有限维线性系统提出的，其 后由y u v e g o r o v 推广到分布参数系统，但是两个系统的能控性理论有着本质的区 别，有限维系统的能控性可以由k a l m a n 条件来刻画但是对于发展方程的能控性 却没有这样的理论关于线性系统的能控性问题，大致可以分为以下两类，一类是 精确能控性问题，另一类是逼近能控性问题 随着研究的深入，人们发现线性抛物型方程的逼近能控性问题可以转化为唯一 连续性，而精确能控性问题可以转化为能观性估计俄国0 y u i m a n u v i l o v 在1 9 9 5 年 的文章中得到了一般的线性抛物型偏微分方程的c a r l e m a n 不等式，由它可以直接推 导出逼近能控性所需要的唯一连续性，也可以推导出精确能控性所需要的能观性估 计至此，关于内部控制的线性抛物型偏微分方程的能控性问题得到突破性进展 对于非线性抛物型偏微分方程的能控性，主要采用线性方程的能控性结论结合 相应的不动点方法还有一种利用b a n a c h 空间的隐函数定理的方法，主要解决非线 性抛物型偏微分方程的精确能控性 在工程应用中大量存在的是偏微分方程组，因而偏微分方程组的控制问题引起 人们的注意主要研究的目标是在多个抛物型方程耦合的方程组中尽量减少控制个 数这在实际中是比较有意义的主要研究方法同方程情形，克服的主要困难在于 c a r l e m a n 估计s a n i t a 和v b a r b u 首次在 2 】中处理半线性抛物型方程组的轨线能 控性问题，主要针对反应扩散方程组内部施加两个控制的问题其c a r l e m a n 估计 可以由方程的c a r l e m a n 不等式得到，没有本质的困难然而当施加一个内部控制 时，c a r l e m a n 估计就会遇到困难f 。4 m m a rk h o d j a 等人在【1 1 】中的工作是第一次 对2x2 非线性系统施加一个( 局部) 控制为了得到能观性估计，构造了一个带权 的函数在此基础上，许多人开始对非线性系统深入研究比如反应扩散方程组， p h a s ef i e l d 模型，n a v i e r s t o k e s 方程等等，目前关于能控性问题存在大量结果特 别是n a v i e r s t o k e s 方程，近几年引起了人们的广泛关注另外，针对内部控制问 题已经取得一定的进展，但是边界控制，特别是施加单个边界控制的问题目前研究 的很少另一方面，不可控问题有待于深入的研究 东北师范大学硕士学位论文 2 抛物方程的能控性 偏微分方程组的研究和偏微分方程有密切的关系因此我们首先给出偏微分方 程能控性问题的已有结论及研究方法，以便与方程组相关问题进行比较 目前，关于抛物方程能控性问题的研究取得许多成果以热方程为例 m 一y + f ( y ( x ，f ) ) = ( 五d ， 其精确轨线能控性，近似能控性以及局部能控性都已经建立，可以参照相关文献 ( 【3 - 9 】) 首先，给出本文常用的符号 设口是科中的非空有界开子集，且具有光滑的边界讹；0 ) cq 为非空开子 集；t 0 记q t = q ( 0 ，r ) ，r = 0 2 ( o ，乃，舶是上的特征函数 以e f r e n , 由 z d e z c a r a 和e z u a z u a 的研究成果【1 】为例考虑半线性抛物型方程 fy t 一句+ ，0 ，) = x 。o vo ，f ) q r ， y = o ，d 西， i 畎五o ) = y o ( 曲 工口 假设，满足 i f ( s ) l c ( 1 + i s l p ) 。a e s i t , 其中p 1 + 4 n ，则系统( 1 1 ) 存在解) 也力 ( 1 2 ) 任取蝠r ( q ) ， ，er x ( o ，丁) ) ，设) ，是相应的系统( 1 1 ) 的任意有界解 定义1 1 称系统( 1 1 ) 在时刻r 是精确轨线能控的，如果对于任意y o f ) ， 存在1 ，p ( o ，乃) ，使得相对应( 1 1 ) 的解是在【o ，刀上整体有定义的且满足 y ( x ，乃= 广( 五r ) ，工q 很明显，当( 1 1 ) 是线性时，此定义等价于对于任意y o 驴( q ) ，存在v r x ( o ，n ) ， 使得相对应( 1 1 ) 的解y 满足 ) i ( 五n = 0 ，工q 定义1 2 称系统( 1 1 ) 在时刻r 是近似能控的，如果对于任意y o 驴( q ) ， y l 2 ) ，6 0 ，存在l ，l ”( o ，3 ) ，使得相对应( 1 1 ) 的解是在f o ，刀上整体有 2 东北师范大学硕士学位论文 定义的且满足 页，r ) 一y l 口( 埘s 下面两个定理表明系统( 1 1 ) 不能控的充分条件 定理1 3 存在局部l i p s c h i t z 连续的函数正满足，( 0 ) = 0 ，且 i ，( 酬一i s l i o g p ( 1 + i s l ) ，i s l - + ( 1 3 ) 其中p 2 ，使得系统( 1 1 ) 在任何大于零的时刻丁都不能达到精确轨线能控 定理1 4 存在局部l i p s c h i t z 连续的函数，满足( 1 3 ) q 2 ) ，使得系统( 1 1 ) 在任 何大于零的时刻丁都不能达到近似能控 以上两个定理的证明分别引入函数 一j i 以曲= il o g p ( 1 + o - ) d c r , v s k p 2 ， 以s ) = ii o g p ( 1 + 力缸y s r , p 2 通过这两个函数，作者分别得到在q 面中的局部估计，使得控制不能补偿爆破现 象的发生，进而说明系统( 1 1 ) 不能控 定理1 5 设r 0 假设( 1 1 ) 至少有一个全局定义的有界解y ，对应初值为 l 2 ( d ) ，控制为矿l 。( 0 9 x ( o ，r ) ) 设，：r - r 是局部l i p s c h i t z 连续的函数，满足 ( 1 2 ) 并且 而i o 9 3 2 ( 1 + 札一 iji i ji ) 。 则( 1 1 ) 在时刻7 是精确轨线能控的 证明方法很常规，利用能观性估计，结合不动点定理 首先考虑对偶系统 f t p t - a t ：+ a u p 0 呦q ， 驴= 0 f ) r r ， 【妒( 五r ) = 伽( 力 1 7 口， 其中a l * o ( q t ) ，咖p ( q ) ，有如下能观不等式 i p ( ，o ) i l 乞( q ) e 印 c ( 1 + 歹1 + 丁+ ( t 1 1 2 + t ) i i 口。+ 口i l 誓3 ) ( j = j 了l 妒id t d x ) 2 ( 1 4 ) 其中c = c ( q 。曲 0 3 东北师范大学硕士学位论文 此不等式可由全局的c a r l e m a n 不等式得到可以看出( 1 4 ) 明确了和时间r 的 关系然后考虑线性系统 阮0 q r 。 伉0 z r ， 工口 得出该系统的零能控性及成本估计最后利用k a k u t a n i 不动点定理得出结论事实 上。对于方程组也采用相类似的研究方法，主要克服的困难在于c a r l e m a n 不等式 定理1 6 设丁 0 同定理1 5 的假设，则( 1 1 ) 在时刻r 是近似能控的 简单描述一下证明过程首先给定y o ，y l ，8 0 ，把【o ，丁】分成两部分【o ，t - 川和 【丁6 ，孔选取v l 使得y 满足 y ( x ，t o o = y ( 工，t dx q 然后选取v 2 使得解从，( ，t o 3 达到以，丁) 这里w 是辅助系统的解： 1 w 一a w + ，( w ) = 0 阮0 口( r 一反n ， ：意力警俄” 以上v l , v 2 的存在性由定理1 5 可得进一步，如果6 充分小，则有 m ，( ，乃一y li i l 2 ( n ) o , f 是局部l i p s c h i t z 连续的，满足( 1 2 ) 并且 i ，( s ) i c o + i s l l o g ( 1 + i s l ) ) ，y s l 乙 则( 1 1 ) 在时刻r 是近似能控的 本节的最后给出证抛物型方程和方程组能控性问题常用的k a k u t a n i 不动点定 理，可参见 1 3 1 定理1 8 设k 为b a n s c h 空间x 中非空紧凸集，：k 叶垆是上半连续映射，并 且对任意的x k ，似力是x 中的凸子集，且m ( 力ck 那么，至少存在一个x o k ， 使得x o o ( x o ) 4 托缈 姒缈0 一 = 五”y 灭 东北师范大学硕士学位论文 3 反应扩散方程组的能控性 以下我们来介绍抛物型方程组能控性问题，这节主要讨论反应扩散方程组的能 控性问题s a n i t a 和v b a r b u 在【2 】中最早处理半线性抛物型方程组的轨线能控性， 主要针对反应扩散方程组内部施加两个控制的问题，即 y t k l z x y + o t a ( x ) ) ，( 五f ) z ( 五力= 厂( 力+ 舶u l ( x ，力( 力q r ， 舀一k 2 a z + 肋( 力地力z ( 五) 2g ( 力+ 舶砒，)伉f ) q n ( 2 1 ) 劬( 五d = a 位( 五力= 0力矗， y ( x ，0 ) = 如( 力，z ( j ，0 ) = z o ( 力 工f 2 , 其中u l 和u 2 是控制函数，t ，k l ，k ( o ，+ ) ，o t ，1 3 是常数此系统描述的是一个物种 竞争的反应扩散模型，y 和z 分别表示两种物质a 和b 的密度，k 1 和七2 是扩散常 数，口( 曲表示反应系数，函数， g 分别代表物质a 和b 的输入密度系统在丁处是 局部精确能控到稳态解魄，乙) 的，表示对于适当的初始时刻的密度，在丁时刻物种 竞争达到平衡状态 设饥，乙) w 2 ，) w 2 ，7 ( q ) ( 1 0 ，a e 工q a l ”( q ) ，口( 力a o 0 ，贝0 存在常数岛 0 ，对于任意y o ，z o 满足 y o - y el i b r a ) + z o - z ei i 未c m - 0 ，对于任意 ( ，w o ) ，满足 怕一+ w o w 0 。1 1 0 ，使得 a 2i a o 0v ( 五0 自( 0 ，7 o ) 7 ( 2 7 ) r上r-号 = = 忉 们 以 机 西 m r尼r加r上f = = 、，、， w 以 以 “ 吠 东北师范大学硕士学位论文 为了得到( 2 6 ) 能控性的相关结论，需要以下形式的c a r l e m a n 不等式 f , f o r o p 2 + p 、产缸l x s c 。州抛x 。 其中o , 1 c c ，) 是线性对偶系统的解即 一仇= z x c p + a l ( x , 咖+ a 2 似t ) u 阮d q r ， 一u t = a u + a 3 ( x , 力妒+ a 4 ( x , t ) u 似力q r ， 烈五f ) = h ( 五t ) = 0 o ，t ) 局- ， 认五t ) = 蜘( 曲，“丁) = u o ( x ) 工口 这一估计不是单个抛物型偏微分方程c a r l e m a n 不等式的简单推广因此作者构 造了一个函数a 。 人( f ) = j ( p t 埘r 4 3 矿一o e r p u + t lp 叩，7 2 3 u 2 ) d x j 0 其中肺，卢l ，p ，q 是正实数，7 是适当的截断函数对人求导后，利用上述线性对偶系 统的能量估计得到 ff e - 2 a 0 2 d t d x j “j 0 pd scf f e _ ，口矿d t d x j _ d o 这种方法称为乘子技术进一步，由k a k u t a n i 不动点定理得出在一定条件下，系统 ( 2 3 ) 是局部轨线能控的该方法同作者的早期成果 1 1 】 选取q n 如下s 当n 3 时，孚 0 ，如果弗o ，w 0 w 2 2 q q ( f i ) i 1 砩( 锄，满足( 咖，w o ) i b p ，则存在 g l q ( q r ) ，使得( 2 5 ) 的解( 。) ( 吆1 ( q r ) ) 2 满足 ( r ) = 0 ，w g ( t ) = 0 8 东北师范大学硕士学位论文 4 其它类型的抛物型方程组有关能控性问题 本节介绍几种模型的能控性问题，其研究方法同反应扩散方程组，故陈述上有 些简略 首先介绍p h a s ef f e l a 模型，v b a r b u 在0 0 中研究了此模型的局部精确能控性， 主要针对施加两个控制的模型同时，也给出了施加边界控制时的相应结论事实 上，在处理的过程中，把边界能控性转化成为内部能控性f a m m a rk h o a y a 等人在 【1l 】中的工作是第一次对2 2 非线性系统施加一个( 局部) 控制为了得到能观性 估计，构造了一个带权的函数，得出系统的轨线能控性和局部轨线能控性随后， m a n u e l g o n z , 矗l e z b u r g o s 等人在【1 2 】中研究了此类问题，利用构造控制函数的方法 得出了有关p h a s e i e l a 模型新的能控性结果 作者考虑系统如下 u t a u - i - f ( u 。v u ，妒，v 妒) = 一+ 戈o ， 咖一庐+ j i l ( 妒) = u ( x ，d = ( 工，f ) = 0 “五0 ) = u o ( x ) ，烈五o ) = 加( 动 力q r ， 鲂 ( 3 1 ) ( x ，o 2 , r ， 工q 在这里空间维数n 是大于1 的任意整数这个模型描绘了一个相位转移的物理现 象函数妒称为p h a s ef i e l d 函数，用来区分在凝固过程中物质的两个相位，函数 代表焓，h = p + 妒，0 代表物质的温度，并且 以+ 咖一z x o + f ( 只v 回= 舶y ( 五r ) q r 假设f ：r x r n x r x r n ，r 是个局部l i p s c h i t z 连续函数，八o ，0 ，0 ，o ) = o ，h c 1 限) 厂 满足 f t s ，p ，叮。心 = g l ( 5 。p ，o - , t r ) s + g l ( s ，p ，叽丌) p + 9 2 ( s ，p ，0 9 万驴+ g 2 ( s ，p ，以丌) 万， v ( s ，p ，o o r ) r r 。 其中白，g f 是锟函数i = l ，2 ，并且v ( s ，p ，以丌) r xr nxrxr 乱【、s p ，盯，心= ：8 s f u s 。冲。a c t , a , - r ) d a , g 如，胁叽丌) = j ：1 如，( 地却，虹砌) 以 东北师范大学硕士学位论文 a 矿，( a s ，a t , ，t o - , 切) 机 8 。f u s ，却，一1 0 - , 埘d 2 定理3 1 设，是局部l i p s c h i t z 连续函数，f ( o ，0 ，0 ，0 ) = o , h c 1 皿) ，满足 ，f i t ) ，i l ( o ) = 0 ，假设 ( d 豫 0 ，3 m r 0 ，y s ，矿 - r ，刚，p ，丌础，有 g l ( s ，p ，0 , i r ) i + ig l ( s ，p ，o - , 丌) l + i9 2 ( s ，p ，几万) l + lg 2 ( s ，p ，0 , i f ) l m r fl i i i l ，纠一* d 唠器；嚣= o , l i m ；乩p i m 丽i g 一2 i ( ( s l , p 小o i 。+ 0 而1 = o ll i m ，圳一攒器= o ，l i r a i 乩圳m = o 上述极限关于p ，r r n 一致成立 另外。 殷而- o ( 3 2 ) 川_ + mi 矿il o g 2 ( 1 + i 矿i ) 、 那么，任意r o ，( u 0 ，如) ( w 2 - 2 r , r m ) n 磁( 固) 2 ，1 - ( n 2 + l ，) ，存在y l 2 ( q t ) ，使得 对应系统( 3 1 ) 的解( 妒) l m ( q r ) 2 ，满足 口( 暑丁) = 0 ，妒( 工，丁) = 0 ，v 工q 作者创新之处在于证明线性p h a s ef i e m 系统的零能控性 l ，一a u + b v u + a u + f v 妒+ 印= 一妒+ z u ， 妒| 一妒+ 印= 口 u ( x ，d = 烈工，d = 0 n 伍0 ) = u o ( x ) ，似五0 ) = 如( 神 首先得出施加两个控制的系统的零能控性，即 fu t a u + b v u + a u + ，v 妒+ 印= 一妒+ 名硒9 l 咖一妒+ c 妒= “+ 讫 h ( 五d = 以五f ) = 0 h 佤0 ) = u o ( x ) 。妒o ，0 ) = 如( 力 阮f ) q r ， 伉力q r ， 0 研， j 口 d q t ， “d q r ， f ) 2 r ， 工g 其中c 0 0c cu 该系统的零能控性同以往的证明可得接下来消除铊，并目通过两个 线性系统的解构造出y 由下面的定理可以看出系统( 3 1 ) 是轨线精确能控的 1 0 r r = = 砂 力 叽 叽 d 办 ， i s 仅 如 2 ，m 划 倪 其中 v ( s o ，p o ，o r o ，n o ) ，( s ，p ，以丌) r r n x r ， ，( 阳+ j ，伽+ p ，o r o + o , l t o + ，r ) = 八s o ，p o ，0 0 ，丌o ) + g 】( 印，p o ，o r 0 ，a o ；j ，p 。叽丌) s + g ( s o ，p o ，o 0 ，万o ；s ，p ，以7 r ) p + 9 2 ( s o ，1 7 0 ，o 0 ，丌o ；s ，p ，以万) 旷+ g 2 ( s o ，p o ，0 0 ，7 t o ；j ，p ，以丌) 丌， g l ( 尚，p o ，印，知；s ，p ，叽丌) = j ：1a ，( s o + a s , p o + 却，印+ 肌丌0 + 砌) 机 g l ( s o ，p o ，o 0 ，绚；j ，p ，以丌) = j f ( s o + a s ，p o + 卸，o 0 + a o - , 珊+ 五万) 机 j u ，l 9 2 ( s o ，p o ，o 0 ，丌o ；j ，p ，以刀= jo 矿f ( s o + a s ，p o + a p ，o r o + a o , n o + 砌) 讥 j o ，l g 2 ( s o ，7 0 ，o 0 ，7 t o ；s ，p ，仉丌) = f 以，( s o + i s ，p o + a p ，o 0 + a o , ，r o + 砌) 烈 ，o 定理3 2 假设( 3 2 ) 成立，取h c 1 ( r ) ，满足假) ，是局部l f p s c l l 娩连续 函数， f 胁肿m 峰篇篇轳= o l i m i 乩帅m 唑攒帮= o 【l i r n i “川一+ m 垃霉麓冀罟铲= o ，l i i i l 川，p i + 。臣丛袅鲁首铲= 0 ， 上述极限关于( s o ，p o ，p ，o - 0 ，7 t o ，丌) k k x 一致成立，其中kcr 是 紧集 另外，任意r o ，k 0 ，存在m r ， 0 , v s o ，o 0 【一矿，k 】，j ，矿【一尺，捌，满足 g i ( s o ，p o ，o 0 ，7 t o ；最p ，正丌) i 螈p ，i = 1 ，2 ， g _ f ( s o ，p o ，o 0 ，a o ；s ，p ，以丌) i m r , k * ，i = 1 ，2 任取t o ，设( 矿，矿) 是对应矿l 2 ( q t ) ，( “；，) ( w 2 2 ，t 7 ( q ) n 础( q ) ) 2 ，下( n 2 + 1 ，o o ) 的系统( 3 1 ) 的解，则对于任意( u o ，如) ( 舻一2 ，r 7 ( 囝n 砩( q ) ) 2 ，存在y l 2 ( q 丁) ，对应的 状态( n ，驴) r ( 甜) 2 ，满足 u ( x ，t ) = “( 工，r ) ，似五乃= 妒0 ，t ) h q 定理3 3f , h 满足定理3 2 的条件，则对于任意t o ，( u d ，加) ( l 2 ( q ) ) 2 ，s 0 ， ，加) ( w 2 2 愚7 ( q ) n 砩( q ) ) 2 ，r ( n 2 + 1 ，) ，对于 ，l 2 ( q r ) 对应的状态( h ，妒) l 。( 甜) 2 ，满足 “( ，7 ) 一蚴i l l ( n ) - - 0 ，存在( 3 3 ) 的解( v ，p ，h ) v 1 , 2 ( q 丁) p ( o ，丁；叫( q ) ) ( 口( 如) ) “，使 其满足( 3 5 ) ( 3 6 ) 证明用隐函数定理的方法，这也是证明能控性问题时经常采用的一种方法主 要是把问题转化为在某一空间的非线性方程，然后得到全局的c a r l e m a n 不等式，正 则性以及线性系统解的存在性，最后通过验证隐函数定理的条件，推出结论 另外，e f r e n 白 u t e z c a r a 等人在降低轨线9 正则性的情况下，也得到同样的结 果 最后我们研究b o u s s i n e s q 系统的能控性目前，已经由a v f u r s i k o v 和0 y u i m a n u v i l o v 在【1 6 】中已经建立了b o u s s i n e s q 系统的边界的局部精确轨线能控性，即考虑系 统 ) ，f 一) ，+ ( ) ，v ) ) ，+ v p = 0 e n似t ) q r ， i6 l 一9 + ) ，v 0 = 0 阮力q r ， v y = 0 0 ，d q n( 3 7 ) i ) ，似f ) = v l ，o ( x ，f ) = 屹 伍f ) 西， iy ( 0 ) = y o ( 力，o ( x ，o ) = o o ( x ) 工口 我们可以看到控制函数是加在整个边界a q 上的另外，当q 是一个环面时，施加 在内部的局部精确轨线能控性，他们也有讨论 这里对于内部控制，参见【1 5 】，其中的模型为 ) 0 一缈+ ( ) ，v 沙+ v p20e n + 戈o y l b 一9 + y v o = x t o v 2 v y = 0 y ( x ，f ) = 0 ，战五f ) = 0 y ( x ，0 ) = y o ( x ) ，伙五0 ) = o o ( x ) o ，f ) q r ， ( 而f ) q r ， 伉力q r ， ( 3 8 ) 阮d z r ， x q 其中n = 2 时，e n = ( o ，1 ) ；n = 3 时，e n = ( o ，0 ，1 ) 表示重力场，p 代表压力，y = ) ，( 五d 表示液体微粒的速度，0 = 伏f ) 代表温度，执，南) 是在t = 0 时刻的初始状态，y l 和v 2 是控制函数 1 3 东北师范大学硕士学位论文 设 ，功满足下面的系统 只一夕+ v 涉+ v 庐= 舀 岛一舀+ 夕v 舀= 0 v 夕= 0 灭五f ) m - - o ，文不f ) = 0 灭五0 ) = y o ( x ) ，良五o ) = 南( 曲 伉f ) ( 2 r ， 伉力q r ， 伉f ) ( 2 r ， ( x 力z r ， 工口 当n = 2 时，令e o = 驴( q ) 2 ；当n = 3 时，令岛= ) 3n 俨 定义3 5 称系统( 3 8 ) 在时刻r 局部精确能控到轨线 ，两，如果存在6 0 ，对 某空间中的任意元素，0 0 ) e ox 驴( q ) ，满足，岛) 一执，) i i e o x l 2 ( q ) 6 ，存在控制 ( i ，l v 2 ) 驴x ( o ，r ) ) 川，使得对应( 3 8 ) 的解满足 ) ，( r ) = 页d ，o ( t ) = 文丁) ， v x q 作者得到系统( 3 8 ) 是局部精确能控到侈，彩的 问题转化为下面非线性系统的零能控性 z t 一z + ( z v ) z + - v ) z + ( z v 涉+ v 口= p e n + x o - v l n 一印+ z v p + 夕v p + v ( o z ) = x o 口1 ”2 v z = 0 z ( x ，f ) = 0 ，从五f ) = 0 z ( x ，0 ) = z o ( x ) ，p ( x ，0 ) = t o ( x ) 引入线性系统 7 t 一z + v ) z + ( z v 涉+ v 口= + p + x o v l p l 一p + 夕v p + v ( o z ) 2 ：f 2 + x o v 2 v z = 0 z ( 暑t ) = 0 ，以工，t ) = 0 z “0 ) = z o ( x ) ，以工，o ) = p o ( x ) o ，o a r ， f ) o r ， 似f ) o r ， ，o z r ， 工口 似f ) o r ， o ，d ( 2 r ， o ，f ) o r ，( 3 9 ) o 。d z r 。 工口 问题的关键还是在于得到( 3 9 ) 对偶系统解的c a r l e m a n 全局不等式 一咖一妒一d 蝴+ v 丌= g l + 矛可砂 一以一砂一夕v 缈= 9 2 + 妒e n v 妒= 0 妒( 五f ) = 0 ，似毛力= 0 烈暑0 ) = 咖( 曲，认五o ) = 怕( 曲 1 4 o ，o ( 2 r ， o ，f ) ( 2 r ， 阮f ) ( 2 r ， ，f ) z r ， 工口 东北师范大学硕士学位论文 首先，对亿( 1 i 疗) ，砂应用热方程的c a r l e m a n 不等式，这里把( d c y 一锄+ g l + 为眺，夕v 砂+ 9 2 十妒e n 做为右端项，得到 枇 c ( = 7 衍( j 9 1 1 2 + 1 9 21 2 + 2 ) d t d x + 厂 t 鳅2 2 小1 2 ) d t d x ) j n j 0j t j 0 其次，把全局压力一项局部化，可得到 ( 仍们c ( j ! ：r 虞( 1 g l1 2 + i9 21 2 ) d t d x + j = f 7 鹰( i 妒1 2 + l 砂1 2 + i 丌1 2 ) d t d x ) 最后，用s ，l ( 妒，们，全局的ig l1 2 + i9 21 2 以及局部的i 妒1 2 + i 砂1 2 控制压力一 项，便可推得c a r l e m a n 不等式 【2 9 】中针对系统( 3 7 ) 采用新的研究方法，得到其线性化系统的零能控性，即考 虑线性系统 舀- l a z y + v ( 口o z + z p b ) + v q = _ p g + 疋o ，l p t 一p + v ( c p ) + v ( z d ) = x w v 2 v z = 0 z ( x ，f ) = 0 ，以五o = 0 z ( x ，0 ) = z o ( x ) ，p ( x ，0 ) = p o ( x ) 首先，讨论一个新的系统的能控性t 舀一z + v ( 口o z + z 0 功+ v q = - p g + z y l p f 一p + v ( 荆- i - v = 肌y 2 v z = f y 3 z ( x ，f ) = 0 ，以五力= 0 z ( x ，0 ) = z o ( x ) ，p ( x ，o ) = p o ( x ) 伉f ) q r ， 阮力q r ， 力q r ， 力面， j 口 0 ，f ) q r ， ( 力q r ， 似o q r 。 0 ，f ) 西， z q 其中f 是适当的截断函数，v l , v 2 ，均是控制然后去掉控制昀 该思想与 1 2 1 中的想法很类似，看来此方法还有待于进一步推广 1 5 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【l 】f e m d n d e z - c a r ae z u a z u ae n u l la n da p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yf o rw e a k l yb l o w i n gu ps e m i l i n e a r h e a te q u a l i o n s 叨a n a l y s en o n - l i n 邑a i r e ，2 0 0 0 ，1 7 ：5 8 3 - 6 1 6 【2 】a n i t as ，b a r b uv l o c a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo far e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m 叨d i f f e r e n t i a la n di n t e - g r a le q u a t i o n s ，2 0 0 1 ，1 4 ：5 7 7 - 5 8 7 【3 】b a r l mve x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es u p e r l i n e a rc o n v e c t i o nh e a te q u a t i o n s j a p p lm a t ho p t i m ， 2 0 0 0 4 2 ：7 3 8 9 4 1f a b r ec ，p u e ljbz u a z u ae a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n 们p r o c e e d - i n g sr o y a ls o ce d i n b u r g h , 1 9 9 5 1 2 5 ：3 1 6 1 【5 】f e r n 螽n d e z - c a r ae z u a z u ae 1 n h ec o s to fa p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yf o rh e a te q u a t i o n s ：t h el i n e a r c a s e j a d vd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 0 。5 ：4 6 5 - 5 1 4 【6 】f e r n a n d e z - c a r ae n u l lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s j e s a 玎订：c o c v , 1 9 9 7 ，2 ： 8 7 1 0 7 【7 】f u s i k o v 八vi m a n u v i l o voy u c o n t r o l l a b i l i t yo fe v o l u t i o ne q u a t i o n s m k o r e a ：s c o u ln a t i o n a l u n i v e r s i t y , 19 9 6 【8 】z u a z u ae a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n ：b o u d a r yc o n t r o l j i n ”c o m p u t a t i o n a l s c i e n c e s f o r t h e 2 1 s t c e n t u r y ：b r i s t e a u m 0 ，e t a l e d s ，j o h n w i l e y s o n s ，1 9 9 7 ，7 3 8 7 4 7 【9 】l e b e a ug ，r o b b i a n al c o n t r s l ee x a o ：d el b q u a t i o nd el ac h a l e u r j c o m mp de 1 9 9 5 ，3 0 ：3 3 5 3 5 7 【1 0 】b a r b uvl o c a lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h ep h a s ef i e l ds y s t e m 忉n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 2 ，5 0 ：3 6 3 - 3 7 2 【11 】k h o d j afa m m a r , b e n a b d a l l a h 八d u p a i xc ，e ta 1 c o n t r o l l a b i l i t yt ot h et r a j e c t o r i e so fp h a s e - f i e l d m o d e l sb yo n ec o n t r o lf o r c e j s a i mjc o n t r o lo p t , 2 0 0 3 ，4 2 ：1 6 6 1 1 6 8 0 【1 2 】g o n z 矗l e z b u r g o sm ，p 6 r e z - g a r d ar c o n t r o l l a b i l i t yr e s u l t sf o r8 0 m en o n l i n e a rc o u p l e dp a r a b o l i cb y o n ec o n t r o lf o r c e j a s y m p m ta n a l 2 0 0 6 ，4 6 ：1 2 3 - 1 6 2 【13 】b a r b uva n a l y s i sa n dc o n t r o lo fn o n l i n e a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s m b o s t o n ：a c a d e m