（机械设计及理论专业论文）起重机钢制轮轨系统非线性特征及模块化有限元系统设计.pdf

藏汉理工大学硕士学往论文 摘要 随着有限元理论的不断发展和成熟，随着计算机处理能力的不断提高， 毒黻元懿分褥方法已经广泛应怒予撬撼设诗茨各个领域，但是揍必规披缝稳 有限元分析中的一个重要缀成部分一一接触阎题的分析，却一真没有得到广 泛的运用，主要的原因就是接触阏题属于商度非线性问题，分析的过程中涉 及副的建横、参数设置、摩擦的处理都惑比较复杂的问题，使褥接触问鼷的 计算效率远满足不了实际工程设计的需要，就目前的现状而言，接触问题分 析的有限既理论已经眈较成熟，稻应的软释产晶瞧裙当丰富，餐楚受限涮于 接触问题本身的复杂性，对使用人员的经验和素质的要求依然很高，具有很 强懿技巧戆，嚣戳霉必要；雩接簸瓣题诗雾中存在鹣普逮豹阕题积分氍技术邃 行研究和探讨。 钢涮攀轮窝辕道是起蓬规熬鬟妥组成零分，茨合理设诗对怒藿援豹稳定 性和运行效率都有重大的影响。作为一种典型的接触问题，车轮轨道系统分 橱同对也鼷于规举动力的研究范畴，本文从机车动力学入手，对起重机车轮 轨道的接触状态避行了动力学分析，在此基础上利用有限元接触问题的分析 方法对起重机车轮轨道系统的接触应力进行了不同状态下的计算仿真。突破 了长期以来依赖缀验公式对钢制超重袄- 车轮鞔道系统速舒设计的弱限穗，提 供了更加灵活有效的设计手段。 佟兔释强大梳械臻稳分褥、 骞真、设谤手毅，长鬻疆寒有羧元方法耪 相关软件的应用效率依赖于使用人员的理论水平和经验，同时目前有限元计 算软律熬捷耀基本建主针对单撬豹曩户，还不能实现计算资源的网络共攀。 在实际的祷限元软件使用过程中，对具体行业而吉，分析的问题都集中在具 钵黥一部分同题，在对菜一具体问题约分辑中，游要用户进行调整的参数往 往楚比较闻定的，所以对其体问题的分析模块进行参数化资源莛享对实际应 用中提高衡限元软件的使用效率是非常有效的。针对这样的情况，本文的结 合计算梳系统开发理论察有限元软件提供的二次歼发环境，提甾了一种多层 分布式有限元模块化分析系统的构建策略，能够较好的实现有限元具体问题 分褥模块豹共享，蘑蠢释您了对笈蔫者素矮翡要慕。 f 关键邋l “鸯羧元” “接触瓣题”一菲线没”“分毒式” 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t hd e v e l o p m e n t o f c o m p u t e rt e c h n o l o g y t h em e t h o do f c a d c a m c a ei su s e dt o t h e a n a l y s i s a n dc a l c u l a t i o no fe n g i n e e r i n g c o m p r e h e n s i v e l y b e i n gm o s ti m p o r t a n tt e c h n o l o g yo fc a ef e mr f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ) i su s e di nm a n yd o m a i n sa v a i l a b l y c o n t a c tp r o b l e mi su b i q u i t o u si n f a c t u a le n g i n e e r i n g c o n t a c tp r o b l e mi sak i n do fa l t i t u d i n a ln o n l i n e a rp r o b l e m f e mi st h em o s te f f e c t u a lm e t h o dt os o l v ec o n t a c tp r o b l e m ，b u ti ti ss t i l l i m m a t u r ei na c t u a la p p l i c a t i o n c o n t a c tp r o b l e mi sv e r yc o m p l e xa n dt h e r ea r e m a n yf a c t o r sd e t e r m i n i n gt h ec o r r e c t n e s so fac o n t a c tp r o b l e ma n a l y z e ，s ot h e r e a r en e c e s s a r yt os t u d yt h eu n i v e r s a lt e c h n i q u eo fp r o b l e ma n a l y z e i nt h i sp a p e r w es u m m a r i z et h eu n i v e r a lt e c h n i q u eu s e di ne l a s t i c i t yc o n t a c tp r o b l e ma n a l y z e w h e e l r a i ls y s t e mi sv e r yi m p o r t a n ts e g m e n to fc r a n ed e s i g n i nt r a d i t i o n c r a n ed e s i g nw eo n l yu s e dh e r t zf o r m u l at oc a c u l a t et h ef a t i g u eo fw h e e l w h e n w ed os ow ec a n n o tg e tt h ed e t a i ld i s t r i b u t i o no fs y s t e m ss t r e s sa n dw ea r e d i f f i c u l tt oi m p r o v et h es t r u c t u r ea so u rw i s h e s w h e e l r a i ls y s t e ma n a l y z ei sa t y p i c a le l a s t i c i t yc o n t a c tp r o b l e m ，s ow ec a nu s ef e mt oa n a l y s et h i ss y s t e m e f f e c t u a l l y i nt h i sp a p e rw eu s e df e mc o n t a c tm e t h o da n a l y s e dt h es y s t e mf r o m e n g i n ek i n e t i c ss t a n d p o i n t t h r o u g ht h ea n a l y s i n gw cg o tt h ed e t a i ld i s t r i b u t i o no f s y s t e m ss t r e s sa n da n a l y z e di n f l u e n c eo fw h e e lf i g u r e t h er e s u l t sp r o v i d et h e d a t ah e l pu st oa d v a n c et h es y s t e md e s i g n u s i n gf e mn e e dt h eu s e rb ep r o v i d e dw i t hg o o dt h e o r e t i ck n o w l e d g ea n d a c q u a i n th i m s e l fw i t ht h es t r u c t u r e i ti sad i f f i c u l tt h i n g i nf a c tt h e r ea r ef e w p e o p l ea r ef a m i l i a rw i t hf e ma n di ng e n e r i cd e p a r t m e n tu s u a l l yo n l yu s e sf e m t oa n a l y s es e v e r a la p t o t i cp r o b l e m s s ow h e nw ea n a l y s ea p r o b l e mo n l yn e e dt o c h a n g et h es i z eo fm o d e la n dm a g n i t u d eo ff o r c e w ec a nu s ee x i s t i n gf e m s o f t w a r ea n dp r o g r a ml a n g u a g et ob u i l dn e ws y s t e m n e ws y s t e mw i l la c h i e v e c o n c e n t r a t e dm a n a g e m e n to ff e mr e s o u r c ea n dm o d e lb u i l d i n gb yp a r a m e t e r r e d u c et h eq u a l i f i c a t i o n so fu s e r ss t u f fa n da d v a n c et h ee f f i c i e n c yo fd e s i g n f k e y w o r d 】 “f e m ” c o n t a c tp r o b l e m ”“n o n l i n e a r ”“d i s t r i b u t i n g ” 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 现代工业的进步，完全得力于计算机科技的突飞猛进，因此由2 0 世纪进 入2 1 世纪，引导人类科技再次的进步将是与计算机结合的科技。而计算机软 件的应用与发展得力于计算机科技的进步，将计算机、计算机软件用于产品 的开发、设计、分析与制造，己成为近代工业提升竞争力的主要方法。计算 机辅助设计( c o m p u t e r - a i d e do e s i g n ：c a d ) 即使用计算机软件直接从事图形 的绘制与结构的设计。计算机辅助工程( c o m p u t e r a i d e de n g j n e e r i n g ：c a e ) 是用工程上分析的过程及计算机方法来辅助工程师作设计后的分析或进行同 步工程。而计算机辅助制造( c o m p u t e r a i d e dm a n u f a c t u r i n g ：c a m ) 则是直接 用计算机来辅助操纵各式各样的精密工具以制造不同的零部件。国内最早引 进的计算机辅助软件是c a d ，然后是c a m ，而最迟才是c a e 。 c a e 的技术种类很多，这其中包括有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ： f e m ) ，边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ：b e m ) ，有限差分法( f i n i t e o i f f e r e n c em e t h o d ：f d m ) 等。每一种方法各有其应用的领域，而其中有限元 法应用的领域越来越广，现已应用于结构力学、结构动力学、热力学、流体 力学、电路学、电磁学等，而越来越多的发展，更结合不同的领域，涌现了 大量的研究成果，但是在很多专业领域的分析应用有待于进行更深层次的研 究和开发。 1 1 课题研究的目的和意义 接触问题是我们在工程分析中经常会遇到的问题，例如齿轮啮合，压力 容器的法兰联结，机器轴承接触等等。甚至在金属冲压与辗压成型过程中都 存在接触问题。就古典弹性力学来说，早在上世纪末就研究过最简单的接触 问题一一赫兹问题。但由于实际的工程问题中由于摩擦的存在，因而接触问 题具有高度非线性性质，使具体接触问题的分析变得复杂。有限元法求解接 触理论的发展与成熟和具备强大接触分析能力的有限元软件的出现，使接触 问题具备了实际求解的可能性，因而近年出现了较多对实际工程中接触问题 武汉理工大学硕士学位论文 的研究成果。成功的实现对实际接触问题的分析必须具备两个条件：首先要 对接触问题的力学模型有比较深刻和透彻的了解，这一条件是和具体的问题 紧密联系的；其次是要对有限元的接触理论有相当的认识，并能根据这些理 论对分析过程进行调整和设置，这一条件是独立于具体问题之外的技术。机 械设计过程中我们经常面临的接触问题大多属于弹性接触问题，这一类问题 相对于弹塑性接触问题而言，接触条件比较清晰，接触的发生与接触易于掌 握，摩擦的状态也相对易于描述，所以在分析方法上具有一定的共性。本文 通过对强大的有限元计算软件a n s y s 的应用，总结了弹性接触问题分析的 普遍技术，确保了分析的有效性，同时为弹性接触问题的分析提供了借鉴。 这正是本课题研究的目的之一。 在对弹性接触问题研究的基础之上对钢制起重机车轮和轨道系统的分 析。钢制起重机车轮在实际工作中具有承载能力大、定位准确、稳定性强和 易于维护等优点，因而轮轨系统是起重机的重要组成部分。在起重机工作过 程中，车轮踏面和轨道面处于接触状态，随着起重机的运动和载荷的变化， 车轮和轨道系统会产生非线性的响应，这是属于典型的弹性接触问题。而从 动力学的观点出发，这又是属于机车动力学的范畴。在传统的起重机设计过 程中利用赫兹公式仅对整个车轮的疲劳强度进行校核【”1 ，对车轮具体个部分 的应力大小和不同工况的应力状况无法进行分析和比较，也不能客观的反映 车轮和轨道结构变化所带来的影响，当然就更谈不上对现有的车轮结构进行 优化和改良，严重的制约了车轮设计的灵活性，然而利用有限元的分析方法 可以直观的反映了不同工况下钢制起重机车轮的应力分布状况，实现对不同 结构的车轮进行分析和仿真，为车轮和轨道的设计提供了可靠的依据。这是 本课题的目的之二。 尽管目前出现了很多功能很强大的有限元计算软件，例如a n s y s 、 d y t r a n 、n a s t r a n 、m a r c 等等，但是无论这些软件的计算软件的功能如何强 大，都不可能对具体的有限元问题提供全方位的服务，具体问题的分析始终 有赖于使用人员的有限元理论水平和专业背景，使得有限元方法的使用只能 局限于少数人，尤其对类似接触问题这样难度较高的问题更是如此。但是在 实际工程应用中，需要我们分析的模型往往只是在模型的大小和受力的大小 上有变化，而模型的形状和受力的类型固定。针对这样的情况我们可以对现 有的有限元软件进行二次开发，使得一般的用户只需要输入模型的形状和受 力大小等变量就能对问题进行分析。大大普及了有限元软件的使用，提高了 知识的利用效率。本课题的第三个目的就是提出一个高效的有限元模块化分 武汉理工大学硕士学位论文 析系统的开发方案。 1 2 国内外研究动态 接触问题的理论研究包括两个方面：弹性接触问题和弹塑性接触问题。 弹性接触问题的有限元理论研究主要集中在上世纪7 0 年代，经过十多年的研 究人员的努力到上世纪八十年代，弹性接触问题在有限元理论方面已经比较 成熟。但是由于接触问题的分析本身的复杂性和计算机发展水平的限制，能 够进行接触问题分析的有限元软件的出现也只是近十年的事情。由于接触问 题在工程实际中的重要性，针对具体工程实际问题的研究近几年开始出现， 其中主要还是弹性接触问题，国内外都发表了一些有关实际工程接触问题的 研究成果，其中包括螺拴接头、齿轮啮合分析等等，取得了相当可观的成就， 具体的研究成果见表1 - 1 。 表1 - 1 部分具体工程实际接触问题研究成果 研究人 题目 时间 内容简介 贝 系统地分析了充气工况下轮 胎的变形、应变、应力分布， 斜交轮胎静态接触的三 王华庆2 0 0 2 并讨论了考虑胎圈轮辋接 维非线性有限元分析 触与否对轮胎变形、应变、 应力分布的影响 考虑接触问题时某型导 周韶园2 0 0 2 某型号导弹的弹身弹翼组合 弹静动特性分析结构的静、动特性分析 系统地分析了齿轮加载接触 状态，充分考虑了齿轮以及 螺旋锥齿轮加载啮合分 桑建国 2 0 0 1 支承系统在载荷作用下发生 析 的各种弹性变形、接触区变 形 高速列车动力车轮轮压 胡小伟1 9 9 8 对车轮压装在车轴中的压装 装配过盈计算分析过程进行分析 但所有这些分析都只是针对某一具体的问题提出了解决方案，但是对弹 性接触问题分析中的普遍技术还没有系统的总结和研究，众多的软件商虽然 武汉理工大学硕士学位论文 提供了强大接触计算能力，但是由于有限元软件针对的是众多领域的问题， 单一领域的资料和实际工程算例的匮乏，使得用户在帮助文献中只能得到相 关参数的定义，而对实际应用技术的规范和总结还出现得很少，给更多的研 究人员投入到接触问题的分析带来了难度。 机车车辆轨道系统动力学r 亦称机车车辆与轨道相互作用或轮轨相互作 用1 的研究，历来是铁路基础科学技术的核心之一。它关系到机车车辆速度、 轴载荷、粘着系数等的提高，机车车辆安全和平稳运行的确保，以及铁路固 定设备和活动设备维修量的减少和使用期的延长等。目前的铁路运输朝着高 速、重载、稳定的方向发展，轮轨系统的构造和接触研究对这些的发展起着 至关重要的作用，国内外针对铁路轮轨系统的研究都有大量的研究成果，主 要是针对轮轨的不稳定接触【”1 ，高蠕动的切向接触分析1 9 1 ，机车动力学和微 观机械学方面的结合f 4 8 1 等。未来的研究方向包括塑性变形的影响和材料相 变，热机结合的接触面分析，发展3 d 模型对时间历程的解，常规数值模拟 方式的改进等方面。国内外的具体研究成果如表1 - 2 。 表1 2 国内外关于轮轨系统的研究成果1 2 1 1 3 1 1 7 】【8 】 题目研究人员时间内容简介 切向滑动摩擦 j a k o b 通过实验对蠕滑和蠕滑力之间的 b i r k e d a l1 9 9 6 系数研究 关系进行了研究 ( 丹麦) 轮轨粗糙表面分析了在考虑粗糙接触面的情况 的法向和切向 k 1 a l l sk n o t h e ( 德国) 1 9 9 6下，轮轨系统法向和切向蠕滑和蠕 接触问题分析滑力之问的关系 1 ) 介绍了轮胎模型：f e m 和质量点。 2 ) 轮轨模型：边界元法，包括c a t e r 和k a l k a e r 的理论和软件c o n t a c t 轮轨接触及磨 k i a u sk n o t h e 2 0 0 2 的五大缺点，非稳态滚动接触理论， 耗( 德国) 蠕滑力的试验，变摩擦系数，微粗 糙度和温度的影响；有限元法； 滚动接触疲劳破坏。 轨道刚度对列 运用车轮一轨道耦合动力学原理 车行走性能的 蔡成标2 0 0 0 影响 对系统刚度进行仿真分析 武汉理工大学硕士学位论文 以上这些研究都是针对铁路列车轮轨系统进行的，与列车轮轨系统相比， 起重机轮轨系统构造简单，正常状况下无轴向载荷和位移；研究的目标不同， 起重机系统主要的目的是考察系统的稳定性和耐久性，而列车系统的分析是 为了实现高速重载。但是这两个问题在力学的分析上具有相似的受力性质， 力学模型具有相同原理，所以钢制起重机车轮的分析可以借鉴列车轮轨系统 研究的经验，事实上钢制起重机车轮的分析长期都只是停留于利用经验公式 来进行选型设计，而对于起重机的设计和计算，长期以来都只是停留于静态 的分析，对于很多运动问题和动力学问题的分析还处在起步的阶段，作为起 重机设计中的一个重要部件，同时也作为技术上一个非常典型的问题接 触问题的解决，将为起重机的整体分析打下一个良好的基础。 有限元方法广泛应用于机械、电机、土木、电子、航空、医疗等众多领 域，实际工程问题复杂多变，仅仅依靠软件商为用户提供的有限元分析能力， 在一定程度上势必不能满足广大用户的需求，所以在目前的有限元研究工作 中，二次开发占有着非常重要的地位，每年都会出现大量的研究成果，表1 - 3 是近年来的一些研究成果： 表1 - 3 有限元系统的二次开发实例【1 5 l 【1 6 1 【1 7 】【1 8 题目研究人员时间内容简介 利用a n s y s 提供的接口功 a n s y s 软件接口开发应 艾志久等 2 0 0 0 能实现对具体问题计算的 用实例 封装 利用v b 程序设计语言结合 桁架有限元专用软件的开 曹双权 2 0 0 2 a n s y s 实现桁架分析专业 发与应用 软件的开发 利用a n s y s 中提供的 压力容器的自动化分析软 梅林涛等 1 9 9 9a p d l 语言开发的压力容器 件c p v - - a n s y s 行业的专业软件 借助a p d l 语言编制了线 a n s y s a p d l 在刚框架 陈宏等 2 0 0 1 性断裂力学和弹性断裂力 节点断裂性能中的研究 学参数计算的程序 这些二次开发的研究多集中在几个方面：参数化模型的建立，复杂问题 的智能化分析、专用软件的开发等。而目前比较大型的有限元软件都提供了 功能全面的二次开发环境，为用户的二次开发提供了广阔的前景。 武汉理工大学硕士学位论文 1 3 本课题的主要工作 本课题的主妻是围绕上面所介绍的三个方面目的来开展工作，从三个方 面来加深和简化有限元方法在实际工程中的应用。当前正处于机械设计由传 统模式到c a e 技术进行转变的时期，作为c a e 技术中的重要技术，有限元 方法将会渗透到机械设计和仿真计算的各个方面。本课题的主要工作如下： 查阅相关文献获取本课题在国内外的研究动态及发展趋势； 从有限元的基本理论研究入手，通过对大量弹性接触问题的分析和 总结，对影响弹性接触问题的主要因素进行分析，提出合理的处理 方案，实现对弹性接触问题收敛性的控制； 通过机车动力学的研究，对起重机车轮进行动力学分析，在此基础 上进行有限元单元实验的基础上，利用有限元的接触分析手段对刚 质起重机车轮的三维实体模型进行分析，得到不同状态下的车轮轨 道系统的应力分布，并对之进行总结和研究； 利用当前有限元软件提供的二次开发环境，结合计算机的软件工程 知识，实现对多层分布式模块化有限元软件系统的开发和构建。 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 引言 第2 章有限元接触原理 由于接触问题在工程实际中的重要性，所以，很早就引起人们的重视， 并且开始了对它的研究工作。早在1 8 8 2 年，赫兹在他的弹性接触问题一 书中，就较为系统地描述了弹性接触问题，并提出了经典的赫兹弹性接触理 论。后来由b o u s s i n e s g 和另外一些学者进一步地发展了这一理论。由于赫兹 理论及后来其他学者进一步发展的弹性接触理论，都是通过一些简单数学公 式来解决弹性接触问题，因而这些理论公式只能应用于一些形状简单，半无 限大体，以及接触状态不复杂的接触问题。而对于一些接触状态较复杂的问 题很难用解析公式表示，因此不能用解析法求解。 近几十年来，随着计算机的发展，使利用新的数值计算方法来解决结构 形状复杂和接触状态复杂的接触问题成为可能。借助于电子计算机，在处理 接触问题上出现了多种方法。它们可以分为三大类，即有限元法，边界元法 和数学规划法。 边界元法是继有限元法之后，发展起来的一种新的计算方法。现在，它 也被用来求解弹性接触问题。边界元法是继有限元法之后的一种别具特色的 新的数值方法，它是将描述弹性力学问题的偏微分方程边值问题化为边界积 分方程并吸收有限元法的离散化技术而发展起来的。将弹性力学问题归结为 求解一组边界积分方程，若在边界上已知3 个位移分量和三个面力分量中的 三个分量，则由边界积分方程可以确定其余三个未知分量，而任意内点的位 移和应力可由6 个边界分量通过边界积分来确定，这就是边界积分方程方法。 边界积分方程有奇异性，解析求解极为困难。有限元法所取得的成就吸引人 们对边界积分方程在边界上划分单元进行离散，然后由全部边界节点的3 个 己知边界量求出全部边界节点的另外3 个边界量，这就是边界元法的由来。 边界元法中包含有有限元法的思想，它把有限元法的技求解域划分单元离散 的概念移植到边界积分方程方法中，但边界元法不是有限元法的改进或发展， 边界元法与有限元法存在着质的差异。 武汉理工大学硕士学位论文 数学规划法是一种优化方法，这种方法也被用于求解接触非线性问题， 它是由接触准则或变分不等式建立数学模型，然后通过二次规划或惩罚方法 求其解答。 上面的两种方法，用于求解接触非线性问题，如大变形、弹塑性接触等 问题，从目前的研究状况来看，还不很成熟。 有限元方法是解决复杂工程问题最有效的方法，显然，在求解接触问题 上，它也是一种有效的方法。这种方法的基本思路是： 对于两个弹性接触体，把它们进行有限元离散，有限元方程可写成： 【k 1 肛。 = 记 ( 2 1 ) 式中：i k 睫对应于某种接触状态，反映接触条件的刚度矩阵，显然它 随着接触状态的变化而改变。通常，初始的接触状态是根据经验和具体的情 况假定的。影。 是节点位移向量，把 是相应的载荷向量。由( 2 - 1 ) 式求解 可得 p l _ 阵。j - 1 识( 2 2 ) 在求出节点位移p 。 后，再求接触点的接触内力 r 。 ，然后将p ， 和 r 。 代入对应接触状态的接触条件中，如果不满足接触条件，则修改其接触状态， 再进入下一次迭代。按照修改后的接触状态得到新的刚度方程： 【砭j p 。 一识( 2 3 ) 再由上式求解的秒， ，求出接触内力 r ， ，再代入接触条件，判断和修 改接触状态。这样迭代下去，当影 和盘。 满足接触条件时，这时的解答就 是所要求的真实接触状态的解答。这一求解思想只有借助于计算机强大的计 算能力才能得到解决。因而以后求弹性问题的研究就从解析方法的研究走向 数值方法的研究。 在w i l s o n 和p a r s o n s 的研究中，没有考虑接触面上的摩擦力，这时的接 触过程是可逆的。因此，只需要进行一次加载，就能得到最终稳定的解。1 9 7 3 年，在t s u t a 和y a m a j i 的文章中f 1 3 】i “1 ，根据增量加载理论，详细地讨论了接 触过程的可逆性与不可逆性，并且指出，由于接触面上滑动摩擦力的出现， 甚至会有互相滑动现象发生，从而产生了切向摩擦力的不可逆性，也就是， 接触力的当前状态不但与外载的当前状态有关，还与整个体系的加载历史( 即 加载路径) 有关，所以接触过程是不可逆的。因此对接触面上有滑动摩擦出 现的接触稳定，需要用增量加载的办法来解决。 由于上述方法，在每次接触状态的修正迭代中，都需要重新形成和求解 武汉理工大学硕士学位论文 全部刚度方程，而在整个总刚度方程中，又只有与接触区域有关部分才需要 作变动，因而重新形成整个刚度阵就显得不必要和浪费时间，为此，许多学 者又提出了改进的方法。 1 9 7 5 年，f r a n c a v i l l a 和z i e n k i e w i c z 提出了一种求解接触问题的简便方法。 这种方法，对于两个接触物体a 和b ，如图( 2 1 ) 所示，物体b 上有固定的边 界，外力f 作用在物体a 上。物体a 的接触力是p l ，物体b 上的接触力是 p ：，对于二维问题，它们可以分别表示成 图2 - 1 两物体二维接触 珏阶聃【e e j 。 物体a 和b 在接触点上的柔度方程可分别表示为 西) 。2 荟m 【瞄】p m ，, 帆2 薹孵】i ，+ 荟eh a 肌- - ( 2 4 ) 其中，j = 1 ，2 ，3 m ，表示接触点的数目，( 石，) 。和巧，k 是物体a 和b 的接触点i 的位移，【c i 】和【c ；】分别是物体a 和b 在结点i 由结点j 作用力 引起的柔度子矩阵，。是第k 个载荷点的外力相量，e 是外载荷点数。 假定接触区域上的接触点对是连续的，接触面上的相容方程可以表示为 ( 6 t ) 。= ( 6 ；) 占+ ( 6 一) 。( 2 5 ) 武汉理工大学硕士学位论文 其中，( _ t ) 。是第i 个接触点对的初始间隙向量。 由于在接触点上，作用在两个物体上的接触力必须是大小相等方向相反 即 将式4 和6 代入5 对于滑动状态， p j 一- p i 可得连续状态点的相容方程 薹( 【c i 】+ 【c ；】) _ ，砉【c 萎】_ t + 万f ) 0 我们假设满足库伦摩擦定律，则有下式，即 只= 职” ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 这里，是滑动摩擦系数，对于自由状态的点，在式( 7 ) 中，则有 p j = 0( 2 - 9 ) 由于在式( 2 - 7 ) 中，【c 乎】和【c 宇】以及【c 。a 】都是不变的，因此，每次迭代求 解只需根据接触点的接触状态，用式( 2 8 ) 或式( 2 9 ) 替代式( 2 7 ) i j 可。由于接 触点的数目远小于整个接触体的结点数，因此，大大地节省了计算时间，提 高了求解接触问题的效率。 1 9 7 9 年o k a m o t o 和n a k a z a w a 从另外一个角度提出了种减少计算时间 的方法。其基本点是，把接触点对的位移和接触力，根据接触条件，表示成 单元的形式，这种单元被称为“接触单元”。接触单元可以普通单元一样，直 接组装到总体刚度方程中去，然后对总体方程进行静力凝聚，保留其接触面 上各点的自由度，这样就得到在接触点聚缩的刚度方程。这个聚缩后的刚度 方程的阶数，要比原来未聚缩的刚度方程阶数低得多。每次迭代只需要对已 经聚缩了的刚度方程进行修正和求解，这样可以减少计算时间。 除以上求解接触问题的有限元方法之外，1 9 7 5 年s c h a f e r 从虚功原理推 导出了一种求解接触问题的“连续单元”，它的实质是在接触面上，嵌入了一 种辅助单元称为“连接单元”。这种辅助单元包含有接触面上接触状态的特性， 它可以象普通单元一样形成并组装到总刚度矩阵中，对于不同的接触状态， 通过改变形成单元的某些参数来实现。 上述这些方法的特点都是在处理两个接触体时，将接触力转化到结点上 武汉理工大学硕士学位论文 去。 1 9 7 7 年，j t s t a d t e r 和r 0 w e i s s 系统地提出了间隙元方法，并在理论 上提出了依据。所谓间隙元是一种虚设的带有一定物理性质的特殊的接触单 元，而接触状态是由这些间隙元的应力和应变来决定，同时，通过塑性力学 中的“应力不变”准则来模拟接触过程。 1 9 8 3 年w i e s l a wo s t a c h o w i c z 提出了处理变形体有限元和刚体接触的间 隙元，这种间隙元是由一个具有空间刚度的弹簧来假设的，通过变化弹簧的 刚度来模拟接触过程。 2 2 弹性接触问题分析 2 2 1 基本假定 物体的材料特性是线性的，位移和应变都很小 作用在接触面上的摩擦力满足库伦定律； 接触表面是连续的和平滑的。 2 2 2 接触状态的判别条件 接触问题中，最重要的区域是接触部分。在两个或多个物体相连的地方， 有一些联系这些物体表面位移和力的条件，叫接触条件。通过接触条件，可 以判断出两个或多个物体之间是以什么接触状态相联系的。目前，将接触状 态分成三类，即连续边界，滑动边界和自由边界。下面给出以接触面上相对 位移和表面力来判断接触状态的般条件。 图2 - 2 接触条件局部坐标系 接触条件需要在接触面的局部坐标下表示，因此，必须首先建立接触面 武汉理工大学硕士学位论文 的局部坐标系。如图( 2 - 2 ) 所示，a 、b 两接触体，物体b 上的局部坐标系为 0 ，工，y ，z ，其中z 是接触面的外法线，x ，y 代表接触切平面。 若以u j 和r f 分别表示第j 个接触物o = a 、b ) 和第i 向接触在局部坐标下 的位移向量和接触力向量。因此，接触的三种状态的判断条件是 ( 1 ) 连续边界条件 r m 一一r b i ( f = 工，y ，z ) u 止= u , a i + 6 0 ；和u = u 8 i( i = z ，y ) 其中，60 - 是接触面在z 方向的初始间隙。同时要满足切向平面不滑动， 即 - g “s o 和芡毛+ 页s 肛厣正i 其中，“为两接触面之问的滑动摩擦系数。 ( 2 ) 自由边界条件 r a i = r 口= 0 ( f 一工，y ，z ) 并且满足u 正 u 正+ 6 0 ； ( 3 ) 滑动边界条件u ；= u 正+ d 0 i r a i = 一r b i ( i 一工，y ，z ) 其中，i 正= 肛医a z l c 。s p 和五。；一肛障。：l s i n o 这里， 。0 j 堡壁，。i 1 1 8 ：塞堑 i 未+ - - 尺蕊2页毛+ 月- - 。2 ； 也可以写成 届i 面，p 刚 对于给定的接触边界信况下，当外载荷一定时，总可以根据e 面提到的 武汉理工大学硕士学位论文 三种状态的判断条件，将不同阶段的接触边界分为不同的接触状态。但是， 必须注意到上面的三种判断条件中，要用到接触上相对应接触体的位移和反 力，而这些通常都是未知的。因此，在接触问题求解第一步，必须是先假定 出它的接触状态，然后由假设的接触状态给出数值分析的方程，从而解出接 触面上的物体的位移和反力，然后再根据解出的结果来判断和修正原来的接 触状态，这样不断循环，直到最后的接触状态稳定为止。可以看出，这是一 个需要迭代才能求解的局部几何非线性问题。 2 2 3 切向接触力的可逆和不可逆性 在接触问题的接触面上，接触状态有可逆和不可逆之分。 所谓可逆过程是指当沿不同的加载途径，其最终的结果是相同的。所谓 不可逆过程是指对于不同的加载途径，得到的最后结果是不一样的。引起不 可逆过程的原因主要是在接触面上出现了滑动摩擦。 u p 一u p ! 。 o 、t 。 - j ? j 图2 - 3 ( a ) 接触问题示意( b ) 载荷加载 如图f 2 3 a ) 所示是一个由a 、b 、c 三个物体组成的接触问题，在它们上 面分别作用了两个独立的分布外力p 和q ，现分三步加载。 第一步：作用载荷p ，并且保持为常值p 0 。 第二步：加载荷q ，从零增至q o 。 第三步：消去载荷q o 。 在a 和b 物体的接触面上的任意一点s ，其切向力q 的不可逆现象如图 f 2 3 b ) 所示。 在这里，第一步假设q 为零，第二步让q 值增大，直到发生滑动的判别 武汉理工大学硕士学位论文 值一肛；，即t 1 点的位置，q 保持这个滑动状态的值，直到外力q 值达到q 。 为止。第三步，随着外力q 的减小，q 也减小直到零，然后改变其符号，向 相反的方向增加，直到反方向滑动发生时的判别值胪，即t ，点的位置，最终 回到终点( 即t ，点) 。 由于接触面上滑动摩擦的存在，显然，最终状态t ，点与初始状态t 。点是 不同的，这也就是说在这种情况下，切向接触力是不可逆的。 对于接触问题求解的加载过程，可从上述的可逆和不可逆的概念来区分。 即凡是在接触面出现切向摩擦力，考虑滑动过程的加载称为复杂加载过程， 反之，就称为简单加载过程， 对于不考虑摩擦的可逆过程，可以一步加载完成，而对于考虑切向摩擦 并有滑动过程的加载，必须通过增加加载的形式才能求解。 2 2 4 有限元基本方程 对于由物体a 和b 组成的接触问题，为了分析方便，通常将它们分离成 两个独立的物体，如图( 2 4 ) 所示。我们能容易地写1 t t 它们各自的有限元基本 方程。即有 陇潍# 爱并 p 聊 区。弘】= 乜) + 乜) 毕。w 其中，【e 】和【k 。】分别是物体a 和b 的刚度矩阵，缸。 和k 分别是物体a 和b 结点位移向量，岳。伽忸。) 是物体a 和b 的接触向量，证) 和乜) 是作 用在物体a 和b 上的外力向量。 在式( 1 0 ) 中，岳。) 和也) ，岳。捧每。) 都是未知量，显然，方程( 1 0 ) 不能 直接求解。如果我们能够预先确定出 r 。 和忸。 ，方程( 1 0 ) 就变成了典型的 有限元位移法的方程，问题就很容易解决了。我们可以采用的方法是通过接 触点对之间的位移相容关系，求得接触力。 p 9 b 武汉理工大学硕士学位论文 图2 - 4 ( a ) 两物体接触( b ) 接触点示意 2 2 5 接触点的柔度方程 在图( 2 4 ( a ) ) 的问题中，物体a 和b 接触面上的接触点分别是i “和i 8 ， i = 1 2 ，m ，如图( 2 4 ( b ) ) 所示。 只要式( 2 1 0 ) d ?k 。 和k 。 是非奇异的，总可以从中求得接触点的柔度 方程为 1 6 f 4 ，) - 耋眈4 ，重尹x 耋函，融4 ) ( 2 - 1 1 a ) p ) i 薹盼 一耋豳砂) ( 2 - 1 1 b ) 其中，符号i ，j ，k 表示结点号，i = l ，2 ，m ，表示结点对的数目。 并且，定义 七f 町j ；【n “箩“r 七； j = 【“妒“妒“乡r 它们分别表示物体a 和b 上接触点i 的位移向量。又定义 夺；。) j = 【r 譬r 爹r 譬，f 皋尹j t 【r 矽月妒r 妒】7 它们分别表示物体a 和b 上接触点j 的接触力向量。同样，定义 枉4 ，j 一【踏，蹬，踏，r 权j = 【璎，砖，璎，r 分别表示物体a 和b 上的结点k 所作用的外力向量。 k 驴和【c 圹一分别表示物体a 和b 上，由j 点的单位力在i 点引起的x y ，z 三个方向的3 3 阶柔度子矩阵。 武汉理工大学硕士学位论文 薹豳p 扣耄融”砌表示物体a 和儿自外删起接触 点i 的位移向量。 2 2 6 刚体位移的处理 前面式( 2 1 0 ) 得到的前提是，在式( 2 1 0 ) 中矩阵【k 。j 和k 。j 都是非奇异的， 也就是说在物体a 和b 上都有足够的约束，使其不会发生刚体位移。但是在 有一些接触问题中，其中一个物体会发生刚体位移。如图( 2 5 ) 所示的结构中， 物体a 只受到b 物体支承的约束，即除去接触面的约束外，在物体a 上没 奄其它的约束，因此，物体a 的有限元基本方程可写成 k j = 诧】+ 钯】 ( 2 - 1 2 ) 其中，【k ：】表示奇异的，不能直接从中求出那些接触点的柔度方程。 图2 - 5 两接触体 为了消除矩阵k ：的奇异性，对接触体a 需要作如下处理。在物体a 上 引入假定约束来消除刚度矩阵【k 3 的奇异性，引入假定约束的个数，要与刚 度矩阵【k ：】的奇异性相适应。 在引入一定形式的假定约束后，式( 2 - 1 2 ) 可写成、 。k 0 。j 【。u 。e 。 ： + ； + 吉 c 2 - ，s ， 其中岳。) 是假定约束的固定位移向量，陋】是单位矩阵。 武汉理工大学硕士学位论文 方程 由式( 2 1 3 ) 可得 【k 。】每。) = 缸。) + 钯) 一【k 。】岳。( 2 1 4 ) 其中【k 。】刚度阵是非奇异的。通过式( 1 4 ) 可求得物体a 上接触点的柔度 一蓦【掣】扣x 耋嘲啪啦 ( 2 1 5 ) 其中i = 1 ，2 ，m ，【f i 】是刚体位移矩阵。 2 2 7 坐标变换 为了建立接触面上的接触点的相容方程，上面柔度方程必须用接触面上 的局部坐标系来表示。接触面上任意一个接触点i 有以下关系，即 孵 l 【盯耖j ( o r - a , b ) ( 2 - 1 6 ) i 】。【盯秽 其中， “：4 和 只f 4 分别表示接触点i 在总体坐标系下的接触力和位移 向量， _ ) 和伍) 分别表示接触点i 在接触面的局部坐标系下的接触力和 位移矢量。 将式( 2 1 6 ) 代x ( 2 1 5 ) 中，整理后得 五 = 薹【否扩】丰? - 薹【石】 耳4 ， - 【i t 】七。 ( 2 - 1 7 a ) 同理，将式( 2 1 6 ) 代入式( 2 1 1 b ) ，得 i p 一善 l - - 。# ( b ) j 似- - ( ，h + 耋【否】 最” ( 2 - 1 7 b ) 2 2 8 接触点的相容方程 在接触区域上，按照接触点对的不同接触状态，总可以将接触面划分为 连续、滑动和自由三种边界，下面我们分别对这些边界建立对应的相容方程。 ( 1 ) 对于连续边界 17 武汉理工大学硕士学位论文 根据前面所述的接触条件，在连续边界上的接触点的位移相容关系为 f ) ；t h f - 0 ) + 碱 。( 2 1 8 ) 其中， 6 。) 。是第i 个接触点对在局部坐标条件下的初始间隙向量。 将式( 2 1 7 ) 代入式( 2 1 8 ) q ，并且接触力满足坼尹卜。一 - 尹 伍， 的关 系，经整理后得 m 一一一一 【c f ， + i f ；伽。) 一一 曩 一蛾) o( 2 1 9 ) 其中 【石f 】【石铲】+ 【刁护】 i i 卜t 薹【_ 】 最，一薹【石】 犀4 ) ( 2 - 2 0 ) 这里i = 1 ，2 ，m 。 ( 2 ) 对于滑动边界 在接触面局部坐标系的三方向，仍满足式( 2 1 9 ) ，而在接触面的切平面； 和了方向上接触力的合力，已经达到摩擦极限值，按照库伦摩擦定律有以下 关系。即 ( 3 ) 对于自由边界 有如下关系，即 但， = 0 ( 2 2 2 ) 在接触点的相容方程建立时，一般是先按连续边界，即式( 2 1 9 ) 形成全 部接触点的相容方程，然后在每次迭代求解时，只需根据每个接触状态来作 修改，若是连续状态则不作修改，若是滑动状态就用式( 2 2 1 ) 来替代这个接 触点的z 和y 两个方向对应的方程，若是自由状态，就用式( 2 2 2 ) 替换所对应 的方程。这样就得到了某种状态下的相容方程。 从上面得到的接触点相容方程，由于有刚体位移存在，其未