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摘要 摘要 本文讨论了两差分系统的相对稳定性和部分稳定性,脉冲差分系统的最终相对稳定 性和绝对差分系统的l i p s c h i t z 稳定性和两度量有界性与稳定性等全文共分四章 第一章简述了差分系统的历史背景,现状以及本文的主要工作 第二章应用锥值l y a p u n o v 函数法和比较定理讨论了两差分系统的相对稳定性和部 分稳定性,给出若干判定准则 第三章研究了脉冲差分系统的最终相对稳定性,得到了关于最终相对稳定性的判定 准则 第四章研究了绝对差分系统的l i p s c h i t z 稳定性和两度量有界性与稳定性,得出了若 干判定准则 关键词脉冲差分系统;绝对差分系统;稳定性;两度量有界性;比较定理 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ,t h er e l a t i v es t a b i l i t ya n dp a r t i a ls t a b i i t yo ft w od i f f e r e n c es y s t e m s , t h ee v e n t u a lr e l a t i v es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n c es y s t e ma n dt h el i p s c h i t zs t a b i l i t y , b o u n d e d n c s sa n ds t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e so fi m p l i c i td i f f e r e n c es y s t e m sw e r e s t u d i e d t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ,t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts i t u a t i o no ft h ed i f f e r e n c es y s t e m s a r ei n t r o d u c e da sw e l la st h em a i nw o r ko ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ,t h er e l a t i v es t a b i l i t ya n dp a r t i a ls t a b i l i t yo ft w od i f f e r e n c es y s t e m s a r ed i s c u s s e db yu s i n gt h em e t h o do fl y a p u n o vf u n c t i o n sa n dc o m p a r i s o nt h e o r e mo f c o m p a r i s o nd i f f e r e n c es y s t e m sa n ds e v e r a lc r i t e r i aa r eg i v e n i nc h a p t e r3 ,t h ee v e n t u a lr e l a t i v es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n c es y s t e mi sd i s c u s s e d a n dac r i t e r i o ni sg i v e n i nc h a p t e r4 ,t h el i p s c h i t zs t a b i l i t y , b o u n d e d n e s sa n dt h es t a b i l i t yi nt e r m so ft w o m e a s u r e so fi m p l i c i td i f f e r e n c es y s t e m sa r ed i s c u s s e da n ds e v e r a lc r i t e r i aa r eg i v e n k e y w o r d s i m p u l s i v ed i f f e r e n c es y s t e m s ;i m p l i c i td i f f e r e n c es y s t e m s ;s t a b i l i t y ;b o u n d e d n e s si nt e r m so ft w om e a s u r e s ;c o m p a r i s o nt h e o r e m i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名:蕉壶兰至日期:j 翌盟年月j l 日 学位论文使用授权声明 本人完拿了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口,在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密圈。 ( 请在以上相应方格内打“4 ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 磁莞躲乡危百6 番莹童嬲抑 的学位论文,是我个人在导师( 魏坳指导并与导师合作下取得的研究成果,研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下:本论文的成果归河北大学所有,未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权,本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明,本人愿意承担相应法律责任。 声明人: 毒社辱 作者签名: 导师签名: 日期:圣丝翌年互月j l 日 ( 矿以 。孓 日期:釜翌乞年二上月且日 日期:巡年厶月且日 第1 章绪论 1 1 历史背景与发展现状 第1 章绪论 随着科学技术的迅速发展,差分系统理论不仅在工程技术、自动控制以及航天卫星 等尖端领域中有重要作用,而且在计算机科学人口动态学和金融等领域中也成为不可 缺少的数学工具自然界很多数学模型都是用差分系统来描述的,即使是连续的数学模 型,要使其在实际生活中加以实现,一般也要先离散化由于差分系统所表述的离散系统 常常与其相应的连续系统具有某些不同的特性,如在离散系统中可能会产生混沌现象, 许多研究者对其产生了兴趣而其中差分系统的稳定性是差分方程理论中的一个重要分 支,在差分系统理论中占有重要的地位近年来,已经成为一个十分热门的话题,其研 究方法和研究内容也日益丰富,如v l a k s h m i k a n t h a m 和s g d c o 1 1 研究了v o l t e r r a 类型的线性和非线性差分系统的稳定性,r p a g a x w a l 7 】研究了一般差分系统的稳定 性 1 差分系统稳定性问题的研究概况 众所周知,稳定性理论是差分系统理论中一个基本而又重要的研究课题,许多学者 对其进行了深入而广泛的研究,并取得了大量的研究成果( 【1 2 6 】) ,特别是上世纪末俄国 数学家l y a p u n o v 在运动稳定性领域做出了创世纪性的成就以来,这一领域取得了长足 的进展j a h e i n c n 2 应用差分不等式及比较原理对差分系统零解的稳定性进行了研 究,从而把n 维差分方程零解的稳定性化为纯量差分系统零解的稳定性 w b m a 3 1 利用比较原理和向量l y a p u n o v 函数法给出了两个离散系统的稳定性判据随着研究的 深入和研究现象的变化,锥值l y a p u n o v 函数也出现了利用锥上系统的稳定性来研究 原来系统的稳定性 2 差分系统稳定性问题的研究进展 对差分系统稳定性的研究工作,可以从微分系统的稳定性问题中得到启发 ( 1 ) m m a e l - s h e i k h 8 研究了两个微分系统 t y 三a ( o t :;:y z ( t o 舅三y 黝o c ) l 7 夕) ,) = r 一7 的相对0 0 - 稳定性,利用锥值l y a p u n o v 函数方法得到了系统( 1 1 ) 的零解( 一致) 相对 河北大学理学硕士学位论文 o 一稳定性,( 一致) 相对等度渐近九一稳定性,并利用比较原理由比较系统 “= g ( t ,t 1 ) ,u ( t o ) = u o 0 ,t o 之0( 1 2 ) 的零解( 等度渐近) 稳定,得出系统( 1 1 ) 的零解具有相应的一系列相对o - 稳定性给 出不同的条件,又由系统( 1 。2 ) 的零解的o - 稳定性得出系统( 1 1 ) 到一系列相应的相 对稳定性 ( 2 ) 上文还研究了两个微分系统 多三f:茏:z(to),=:zoh(t y ( t o y o ( t 3 ) iy 7 y ) ,) = 、7 的部分咖一稳定性,利用锥值l y a p u n o v 函数方法得到了系统( 1 3 ) 的零解相对于z 的 一系列部分o 一稳定性,由比较系统( 1 2 ) 零解的一系列稳定性,得到系统( 1 3 ) 零解的 一系列相应部分如一稳定性由系统( 1 2 ) 的一系列西o - 稳定性,得到系统( 1 3 ) 零解 的一系列相应的相对于z 的部分稳定性 ( 3 ) a a s o l i m a n 9 用l y a p u n o v 直接方法、锥值l y a p u n o v 函数法和比较原理研 究了差分系统 z ( n + 1 ) = ( n ,z ( n ) ) ,x ( n o ) = x 0 ,礼 0( 1 4 ) ( 其中,c f 以胛,胛】关于x ( n ) 连续f i n ,0 ) = 0 ,i v + = n :n z ,n o ) ) 的 最终矽。一稳定性,并由比较系统 u ( n + 1 ) = c ( n u ( n ) ) u ( n o ) = u 0 ( 1 5 ) ( 其中g i v + k ,r 】) 的最终西o - 稳定得出系统( 1 4 ) 的最终稳定性 ( 4 ) p k a n h 在 1 2 1 4 ,2 2 2 5 】中研究了绝对差分系统 a 。x n + 1 + b x n = g n ( n 0 ) ( 1 6 ) ( 其中a n 、b n r ”m ,g n 驴已知r a n k a 三r ( 1 r m 一1 ) 对所有的n 0 成 立) 的可解性,还研究了非线性绝对差分系统 厶( z 。+ 1 ,z 。) = 0 ( n 0 )( 1 7 ) ( 其中 :,p _ 尺”是已知的向量函数) 的可解性及绝对差分系统 a 。t 。+ 1 + b 。f 。= 厶( z 。) ( t t 0 )( 1 8 ) z ( k + 1 ) = ( 七,z ( 七) ) ,z ( 七。) = z o( 1 9 ) l ( 七4 - 1 ) = f 2 ( x - ,( 詹) ) y ( k o ) = 跏 、7 ;:1;三三:惫:三揍;:惫;j:z(ko),=:z01 y ( k o y o c 1 1 。, l 可( 七+ ) = ( 七,z ( 七) ,y ( 七) ) ,) = 、7 f z ( n + 1 ) = ,( n z ( n ) ) n 仃k a r ( n k ) = ,七( ,r ( 。“, 1 1 、l v n = n 七 【翟z 1 尚刚旭 圳 f ! ( 凡+ ) = 9 ( n ,y ( n ) ) n n 、7 a y ( n k ) = 以( y ( n k ) ) ,n = n 七 iy ( n o ) = 可o 河北大学理学硕士学位论文 的l i p s c h i t z 稳定性,两度量有界性和稳定性 其中矩阵a 。,鼠r 仇m ,厶:胪_ 已知矩阵4 n 是奇异的 1 3 准备工作 在论文中,为了方便以后的叙述和证明,我们首先给出如下定义: 定义1 1 称函数f ,( r ) 属于瓦类函数,如果b c 0 纠,r + 】,l j ( o ) = 0 ,且f ,( r ) 关于 r 是严格单调增的 定义1 2 称舻上的正则子集k 是锥,若: ( i ) a kck ,v 常数a 0 ; ( i i ) k + kck ; ( i i i ) k = k ; ( i v ) a ,o 毋; ( v ) n ( 一k ) = o ) , 其中耳和o 分别是的闭集和内部,o k 表示k 的边界 定义1 3 称集k + 为k 的伴随锥,若k + = 西r ”:( 妒,z ) 0 ,z k ) 满足定 义1 2 中的( i ) 一( v ) 4 第2 章两差分系统的相对稳定性和部分稳定性 第2 章两差分系统的相对稳定性和部分稳定性 l a k s h m i k a n t h a m 和l c c l a 2 0 1 应用和发展了锥值l y a p u n o v 函数方法和微分不等式 理论a k p a n 和a k i n y c l e 1 6 1 通过讨论比较微分系统的o 一稳定性给出了常微分系统 的o 一稳定性性质e l - s h c i k n 1 7 】等推广了微分不等式理论,讨论并发展了两微分系统 的钆一稳定性w a n g 和g e n g 1 8 给出了差分系统的砂。一稳定性的一些结论本文通 过研究比较差分系统的两种新的稳定性:咖o - 相对稳定性和d o 一部分稳定性,利用比 较系统和锥值l y a p u n o v 函数获得了差分系统的相对稳定性和部分稳定性的结论 2 1 两差分系统的相对稳定性 2 1 1 预备知识 考虑两差分系统 j 工( 七+ 1 宁 ( 七,z ( m ,) ,z ( k o ) = 3 :0 ,( 2 1 ) i ( 七+ 1 ) = 厂2 ( 矗,y ( 奄) ) ,可( k o ) = y o 、 7 其中 厶c 【+ xr ”,r “】,厂l ( 七,0 ) = h ( k :0 ) = 0 ,+ = 七0 k z ) ,z 是整数 集z ( 玉) = t ( ,k o ,t o ) ,( 七) = y ( “y u ) 分别是方程( 2 1 ) 通过( k u ,r 0 ) 和( ,y o ) 的 解 锥人,c 舻,一= f 舻:她j | np o ,l y a p u n o v 函数y ( 玉z y ) c 以x 昂xs ,】v ( k ,z y ) 通过方程( 2 1 ) 的差分定义为 a i 7 ( 七,z y ) i ( 2 1 ) = y ( 工。+ 1 ,z ( 工+ 1 ) ,y ( 七+ 1 ) ) 一v ( “z ( 工) ,( 工) ) = v ( k + 1 f l ( k ,z ( 七) ) : ( 后,可( 七) ) ) 一v ( k ,z ( 七) ,y ( 七) ) 考虑锥上的比较系统 “( 七+ 1 ) = g ( k ,u ( 七) ) ,u ( ) = u 0 ( 2 2 ) 其中g e f + xk p 。】,“( 七) = u ( k “,? - t o ) 是方程( 2 2 ) 通过( k o ,i t 0 ) 的解 s ( p ) = k ,i | u i | p ,p o ) ,v ( k ,u ) c + s ( p ) t c t t ( 七,“) 通过( 2 2 ) 的差分定 义为 t ( 后,u ) l ( 2 2 ) = v ( k + 1 ,u ( k + 1 ) ) 一v ( k ,札( 七) ) = v ( k + 1 ,9 ( 七,u ( 七) ) ) 一v ( k ,“( 知) ) 5 - 河北大学理学硕士学位论文 其中g ( k ,0 ) = 0 ,g ( k ,u ) 相对于 ,关于u 是拟单调增的,且始终设 v ( k ? z ( 七) ,3 ( 七) ) 全y ( 七) ,v ( k ,也( 七) ) 全t ,( 七) 定义2 1 称两差分系统( 2 1 ) 的零解是相对稳定的,如果对e 0 ,k o + ,存在 j = j ( ,f ) ,对每个e 关于连续,对所有系统( 2 1 ) 的解z ( 七) ,( 七) ,有下列不等式成 立: l i z o y o l i 6 辛i l z ( 后) 一y ( k ) l i 0 ,存在j = 万( ,e ) ,对每个e 关于k o 连续,使得对咖o 名,有下列不等式成立 ( 九,z o y o ) 0 使得 ( o o ,u 0 ) 6 l 兮( 西o ,u ( 七) ) e , k 其他的咖o - 稳定性可类似定义 下面给出比较定理,是为了获得更普遍的差分系统的稳定性结论,受【2 0 的启发, 有下面的引理: 引理2 1 若存在l y a p u n o v 函数v ( k ) c 【i v + x 舻舻, 1 ,3 0 k 。,使得它沿 系统( 2 1 ) 满足: ( o v ( k + 1 ) ) ( o ,g ( k ,y ( 七) ) ) , ( 2 3 ) 其中g c 0 xk ,r “ ,9 ( 居:“) 在 ,关于 是拟单调增的,则当( o ,y ( 七o ) ) ( ,? l 0 ) 时,有( ,y ( 知) ) ( o ,( 七) ) 成立 证明:当k = k o 时( o ,y ( ) ) ( 加,“o ) 结论显然成立设( o o ,y ( 后) ) ( ,u ( 七) ) , 因为g ( k ,t i ) 在k 上关于u 是拟单调增的,又有( 2 3 ) 知 ( 咖o ,v ( k + 1 ) ) ( 咖o ,9 ( k ,1 7 ( 七) ) ) s ( 西o ,9 ( k ,u ( 后) ) ) = ( 西o ,“( 七+ 1 ) ) , 所以当( o ,y ( ) ) s ( o o u o ) 时,有( o ,y ( 七) ) ( o ,乱( 七) ) 成立 一 第2 章两差分系统的相对稳定性和部分稳定性 2 1 2 主要结果 定理2 1 设存在l y a p u n o v 函数v ( k ,z ,y ) c 几s k 】满足引理2 1 ,和 y ( 七,x ,z ) = 0 且有 ( a 1 ) n ( 西o z ( 七) 一s ( 1 :) ) 】( c ) o y ( 七) ) b ( v o ,x ( k ) 一萝( 七) ) 】, a ! b 瓦; 则系统( 2 2 ) 零解的一致( 渐近) 0 0 - 稳定性蕴涵两差分系统( 2 1 ) 零解的相对一致( 渐 近) 9 0 一稳定性 证明:( a ) 取v ( ,0 0 对k k o 使得 ( 0 0 ,u o ) 6 1 令( o ,t l ( 七) ) n ( e ) ,( 2 4 ) 选择6 【( 西o ,j 0 一肋) = ( 如川o ) ,有( 。v ( ) ) 0 使得b ( 6 ) = 6 1 我们有( 砂o ,z o y 0 ) 6 和( 0 0 ,u 0 ) = b ( o o ,x o y o ) 】 b ( 6 ) = 6 l 同时成立;因此由( 2 4 ) 及( a 1 ) ,可得到 a ( 0 0 z ( k ) 一y ( 七) ) 】( d ) o ,y ( 詹) ) ( 0 0 “( 七) ) 口( e ) ,即对k k o ,有( o x o y o ) 0 ,丁( e ) 0 使得对七k o + 丁( t ) 有下面不等式成立:( ,u o ) 仃1 辛( 如ju ( 七) ) 0 ,满足不等式( 6 0 ,x 0 一y 0 ) 和( ,u 0 ) = 6 ( 九2 :0 一y o ) 】 o r l 则 对七k o + 丁( ) 有下面不等式成立; ( d ) o ? x o y o ) 盯兮( 多o ,z ( 砖) 一y ( 工) ) e , ( 2 5 ) 假设不真,则存在收敛数列( ) k i k o + t ,和系统( 2 ,1 ) 的解x ( k ,如) ,使得( ,x 0 一 y 0 ) 0 使得当知k o 时对系统( 2 2 ) 的最大解r ( 居。) ,有下列不等式成立: ( 九r ( 七) ) 仃( 西o :u o ) c x p - q ( k 一) 定义2 5 称系统( 2 1 ) 的零解是相对指数渐近稳定的,如果存在常数a , 0 ,p 0 , 当k k o 时对系统( 2 1 ) 的解x ( k ) 和可( 后) ,有下列不等式成立: i i x ( k ) 一y ( k ) l ism i i z o y o l ie x p - z ( k 一七o ) ) 定理2 3 设( 2 3 ) 及( a 2 ) 成立,再设 ( a 3 ) 对常数c 0 ,d 0 ,有下列不等式成立 ( 妒o ,u o ) si i z o 一蜘| r 和4 x ( k ) 一u ( k ) l l d ( 粕,y ) ) 则系统( 2 2 ) 的零解指数渐近加- 稳定蕴涵系统( 2 1 ) 的零解相对指数渐近稳定 证明:由系统( 2 2 ) 的零解是指数渐近九一稳定的,因此存在常数矿 0 ,q 0 ,使 得 ( o ,7 ( 七) ) 盯( ,“o ) e ) ( p ( 一q ( 七一) ,k k u ( 2 6 ) 设x ( k ,k o ,x o ) 和y ( 七,k o ,y o ) 是系统( 2 1 ) 使得( 咖o y ( k o ) ) ( 如,u o ) 的解,由引理2 1 , 有 ( o ,y ( 血) ) ( 4 0 ,r ( 七) ) ( 2 7 ) 由条件( a 3 ) 及( 2 7 ) ,得到 c o z y | l d ( 4 0 ,y ( 七) ) ( o ,r ( 七) ) ( 2 8 ) 因此,由( 2 6 ) 和( 2 8 ) ,得到 c i i z y i l d 盯( ,t 0 ) e x p 一a ( 七一七o ) ) ,k 七o ( 2 9 ) 由条件( a 3 ) 及( 2 9 ) 得到 i f r y ,j f 粕一y o l fe x p 一p ( | i 一 0 ) ) 玉工勺, 8 第2 章两差分系统的相对稳定性和部分稳定性 其中i ,= ( 罢) 告,p = 詈因此系统( 2 1 ) 的零解是相对指数渐近稳定的 2 1 3 例子 例2 1 考虑下列系统: ( 2 1 0 ) 设兢( 0 ) y i ( 0 ) + 1 1 ,i = 1 2 ,则z i ( 膏) 玑( 七) + 1 ,i = 1 ,2 选择l y a p u n o v 函数 l ,7 ( 纠= ( h k ) r ,其中k = i z l 一y l i ,比= 1 2 2 一耽1 显然有 n 【( p o ,z 一剪) 】( 多o v ( 七) ) sb ( 6 0 ,z y ) 】, 其中a ( r ) = r 6 ( r ) = r 2 ,咖o = ( 1 ,1 ) h = i ( 2 + e x p ( - x 1 ) ) z l4 - 2 2 2 一( 2 一c x p ( - - y 1 ) ) y l 一2 y 2 f 一 1 1 一y 1 i l ( 1 - 4 - c x p ( - z 1 ) ) x l + 2 x 2 一( 1 一既p ( 一y 1 ) ) y l 一2 y 2 si x l y l + ( e x p ( 一z 1 ) z l + e x p ( - y 1 ) y 1 ) l - 4 - 2 1 x 2 一夕2 1 易知2 1 一y l e x p ( - - x 1 ) x l + t 努c p ( - - y 1 ) y 1 贝0 v j 5 i z l y l i + 2 x 2 一! ,2 l ,i 互2 x l 一1 i + 5 x 2 一y 2 ; 因此可以选择 乱1 ( 七+ 1 ) = 5 u 1 + 2 u 2 ,t t 2 ( k + 1 ) = 2 u l + 5 “2 显然,g ( k ,“) 在r 辜关于u = ( “l ,1 1 2 ) 是拟单调非减的另一方面,我们可以设存在两 个常数o ,p 使得 2 q 2 + 5 a 5 q + 2 ,2 p 2 + 5 3 5 p - 4 - 2 选取q = 2 ,口= 3 则有锥pc | r 王定义如下 尸= u 兄辜:2 u 2 t l l 3 u 2 它的边界是2 u 2 = t 小3 u 2 = 。i t i 在边界2 u 2 = 乱1 ,选择= ( 一 ,1 ) ,则有( 一;,1 ) ( t m 0 和( 一 ,1 ) ( 5 t ,1 + 2 净,2 叽+ 5 蛩) 0 对所有 0 都成立应用定理2 1 得。比较 系统( 2 2 ) 零解的一致西。一稳定性概念蕴涵系统( 2 1 0 ) 零解的相对一致o - 稳定性 一9 心恐协孙眦慨卅圳托删吨肿嘞n 文时计毗帅计 卜+ 卜一 p 2 p 2 x ( g篇篇 打犯珂 = | l = = d d d d + + + + 研恐玑驰 河北大学理学硕士学位论文 例2 2 考虑下列系统: fz l ( 七+ 1 ) = ( 2 + e x p ( - x 1 ) ) x l + 2 x 2 + ( 2 + e x p ( - z 2 ) ) x 2 ; z2(k+1)_()=2xi+(2+exp(-x+2)z2+;yl k12 e x p ( - y 1 ) ) y , 2 y 2 ( 2 一e x p ( 刊腕 ( 2 1 1 ) l( + ) = ( 一 + + ( 一e 印( 一耽) ) 耽; 、7 ly 2 ( k + 1 ) = 2 y l + ( 2 一e x p ( 一耽) ) 抛 我们仍假设甄一y t 1 ,y i 0 ,i = l ,2 设l y a p u n o v 函数v = ( ,y 2 ) t ,= i z l 一y l l ,= l z 2 一y 2 i ,咒函数a ( r ) = r , 6 ( r ) = r 2 ,f i x - - y t f = ( z l y 1 ) 2 十( x 2 一沈) 2 ,o o = ( 1 ,1 ) ,显然a ( 1 l x - y u ) ( 九,v ( 七) ) b ( i x 一洲) 有 2 1 x l 一3 ,l l + 5 i x :一y 2 l ;a k 2 x i 一可1 i + 2 1 x 2 一眈1 下面类似例2 1 ,用定理2 2 知,比较系统( 2 2 ) 零解的一致( 渐近) 0 0 - 稳定性蕴涵系统 ( 2 1 1 ) 零解的相对一致( 渐近) 稳定性 例2 3 考虑下列系统: 类似例2 2 ,得到 ( 2 + e x p ( - x 1 ) ) x l + 5 x 2 ; 置( 2 + e x p ( 一删磁 (212)2 ( 一e x p ( - y 1 ) ) y l + 5 y 2 ; 、。7 4 y l + ( 2 一e x p ( - y 2 ) ) y 2 k 2 i x l 一夕1 l + 5 1 x 2 一y 2 1 , a k 4 i x l 一秽l l 十2 1 x 2 一箩2 i 有 仳l ( 七+ 1 ) = 2 u l + 5 u 2 ,u 2 ( k + 1 ) = 4 u l + 2 u 2 ( 2 1 3 ) 设u 0 = ( 1 ,1 ) ,x 0 一y o22 ,d = 1 ,则( o ,t 0 ) = 2 ,使得( 咖o ,u o ) i i x o y o l l 8 ,和 4 ( x l y 1 ) 2 + ( 2 :2 一y 2 ) 2 l z l 一! ,1 l + l x 2 一y 2 l 成立从4 a 2 + 2 a 2 a + 5 ,可取 q = 2 ,p = 3 ,则锥pcr 三定义为 p = “兄辜:2 让2 u 1 3 u 2 , 应用定理2 3 ,系统( 2 1 3 ) 零解的指数渐近o - 稳定性蕴涵系统( 2 1 2 ) 零解的相对指数 渐近稳定性 | | | | = i i d d ” + + + + a 现玑眈,li-ij、-i_l_-、 第2 章两差分系统的相对稳定性和部分稳定性 2 2 两差分系统的部分稳定性 考虑两差分系统 x ( k - + 1 ) = f ( 七t ( 詹) ,y ( 七2 ) ,z ( 七o ) = x o ( 2 1 4 ) l3 ,( 七+ 1 ) = n ( k ,z ( 七) ,y ( 七) ) y ( k o ) = y o 7 其中f c 【人r + 殿r ,俨】,h c f + xr “x r 仇】,h = 七之0 k z z 是整数集,且有r ( k ,0 ,0 ) = 0 ,h ( k 0 ,0 ) = 0 ,砖h r ”且x ( k ) = x ( k ,k o ,x o ) , y ( k ) = v ( k ,k o jy o ) 分别是系统( 2 1 4 ) 通过( 七o ,z o ) 和( 奄o ,y o ) 的解 k icr “和 ,2cr ”分别是彤和r ”上的锥,k = k lu ,2cr “u 驴是 冗”u 兄”中的锥 集合k 。是的伴随锥,定义为 k = 9 尺”u 尺怫:( 咖z + y ) 0 ,对r k 1ck ,y k 2ck ) , 其中( o ,z + y ) | | 西| | ( i i x l i + l i v l l ) 对m 咒,z = ( x l ,t 2 ,z n ) ,y = ( y l ,y 2 ,! ,。) , 让z + y = ( t 1 ,2 :2 ,z 。,0 ,0 ,0 ) + ( y l ,y 2 。,y 。) = ( x l + y 1 2 2 + y 2 ,:z 。+ 可。,y n + 1 ,y 。) 设甥= z r ”:1 1 4 i p ) ,昭= z 胪:1 1 4 lsnv ( k ,z ,可) c 阻彤 霹:k 】,对( 七,z ,) 以髟x 霹都成立,v ( k ,0 0 ) = 0 , a v ( k z ,y ) = v ( k + 1 ,x ( k + 1 ) ,v ( k + 1 ) ) 一v ( k ,z ( 七) 可( 七) ) 定义2 6 称系统( 2 1 4 ) 的零解相对于z 是部分西。一稳定的,如果对v e 0 ,n o p , 存在函数6 = 6 ( k o ,e ) 关于e 在连续,对七k o 有下列成立 ( 妒o ,z o + y o ) 0 ,k o 肌由v ( k ,0 ,0 ) = 0 及v ( k ,z ,y ) 在知。连续,使得( 1 l ( ( ) 0 , a l ( e ) c ,k o + ,刍j l = 5 1 ( k o e ) 关于e 在连续,使得 f i x o l l + i l u o l f 占1 号i i v ( ,x o ,y o ) l i a l ( e ) ,a 1 ( 2 1 5 ) 因此,3 b o 瑞,七k o 使得下式成立 璺:勰- 1 p 0 | 臀i l z o l l + il ”y 0 1 1 ) _ l 衙l 咖o l l a k ox 0y o )i 咖o ii tk ox oy o ) l 蚕1 6 砂o l l a 水) = n ( e ) , ( 2 1 6 ) 号( 粕y ( ,) ii l7 ( , i l1 ( e ) = n ( e ) , p 7 其中j = j i 0 1 1 , 矗,n ( e ) = i l o o l l a l ( e ) 由( i i ) ,知 ( o ,v ( k ,z ,y ) ) ( o ,v ( k o ,x o ,! ,o ) ) ( 2 1 7 ) 由( 2 1 6 ) ,( 2 1 7 ) 及( i ) 知,当( 西o ,z o + y o ) 5 时,有 口【( 9 0 ( 昆) ) 】( 西o ,v ( k ,z 掣) ) ( ,v ( k o ,x o ,y o ) ) 口( ( ) 因此 ( 西o ,z o + y o ) 6 号( 咖o ,z ( 惫) ) 0 ,6 = , i - i ( n ( ) ) 与无关3 o 埔,a ,b 瓦,使得( ,z o + y o ) 6 由条件( v ) 及( 2 1 7 ) ,得 ( e 【( 西o ,( 良) ) 】s ( 西o ,v ( k ,z ,y ) ) ( 妒o ,v ( k o x o ,y o ) ) 6 ( 西o ,z o + y o ) 】 s6 ( 6 ) = 6 【6 1 【n ( e ) 】= n ( e ) 第2 章两差分系统的相对稳定性和部分稳定性 即 ( 移o ,勘+ y o ) 0 ,使得 ( 妒o ,z o + y o ) 0 使得 u o j 兮缸( 詹,k o ? a 0 ) a l ( e ) ,a l 咒( 2 1 9 ) 由v ( k ,0 ,0 ) = 0 及v ( k ,z :可) 的连续性,劭l = 6 1 ( k o :e ) ,使得 i i x o l l + l y o l l 6 1 1 i v ( k o z o ,y o ) l i 矿 同时满足。选择t o = v ( k o ,x o ,y o ) 由条件( v i i i ) ,应用引理2 1 得 ( 西o ,v ( k ,z ( 七) ,y ( 七) ) ) ( 砂o ,r ( k ,k o ,u o ) ) k k o , ( 2 2 0 ) 其中r ( k ,k o u 0 ) 是系统( 2 2 ) 的最大解3 6 0 硝, ( 西o ,r 0 + y o ) l i o l ( 1 l z o + y o l l ) i | 凸o i 陋1 = 6 蕴涵 ( o ,v ( k ,z ( 七) ,( 七) ) ) l i o l l l l t 7 ( 七,z ( 后) ,y ( 七) ) l l l i f | n l ( e ) = o ( e ) , ( 2 2 1 ) 其中5 l = 6 ,lj 移o i l a l ( e ) = n ( e ) 由( 2 2 1 ) 和( i ) ,得到 n ( o z ( 七) ) 】( o ,v ( k ,z ,y ) ) n ( e ) , k ( 西o ,z o + y o ) 石( 咖o ,z ( 七) ) 0 ,0 0 ,使得 ( 西o ,t t 0 ) 6 净( o o ,r ( 膏) ) 0 ,使得b ( 6 1 ) = 6 因此不等式f i x o l l + i l y o l l 艿l 和b ( 1 l x o l i + i l y o l l ) j 同时满 足因此由条件( v i i i ) 及( 2 2 2 ) 得到 a ( 1 1 c 1 1 ) s ( 西o ,y ( 七,z ,y ) ) ( 妒o ,r ( k k o ,4 0 ) ) 口( e ) ( 2 2 4 ) 有 i i x o l i + i l y o l i 0 ,( o o ,“o ) ( 1 i z 0 0 + i f 秒o i i ) d 和 c 忙旷s ( ,v ( k ,z ,y ) )( 2 2 5 ) 则系统( 2 2 ) 零解的指数渐近多。一稳定性蕴涵系统( 2 1 4 ) 零解的部分指数渐近稳定 性 证明;由系统( 2 2 ) 的零解是指数渐近西。一稳定的,知存在实数o r 0 q 0 使得 ( 矽o 7 ( j i ) ) c , ( o o i t 0 ) e x p - a ( z 一z :o ) z 。k o ( 2 2 6 ) 1 5 河北大学理学硕士学位论文 设x ( k :k o ,x o ) ,v ( k :乜,y o ) 是系统( 2 。1 4 ) 的任意解,由引理2 1 ,得 ( 西o ,v ( k ,z ,3 ,) ) ( o ? y ( k o ,x o ,y o ) ) ( o ,r ( 七) ) ( 2 2 7 ) 由条件( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) 得到 c l l z l l 4 ( 矽o v ( k ,z :3 ,) ) ( o ,r ( 七) ) ( 2 2 8 ) 因此由不等式( 2 2 6 ) ,( 2 2 7 ) 得到 c l l z l i ds ( o ,r ( 七) ) 口( o ,u o ) e x p 一口( 七一) 】,七 ( 2 2 9 ) 由条件( 2 2 5 ) 及( 2 2 9 ) ,得到 i i z l lsm ( 1 l x o l i + i i v o l l ) e x p f p ( 七一) 】,k k o , 其中 ,= ( :) ,= 暑因此系统( 2 1 4 ) 的零解是部分指数渐近稳定的 一 第3 章脉冲差分系统的最终相对稳定性 第3 章脉;中差分系统的最终相对稳定性 a a s o l i m a n 9 用l y a p u n o v 直接方法、锥值l y a p u n o v 函数
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