（金融学专业论文）基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆SV模型对中国股市的研究.pdf

摘要 基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆s v 模型对中国股市的研究 摘要 金融时间序列存在着普遍的波动性现象，而波动性是许多有关金融市场研究的一个 核心问题。随机波动率族模型是一类很好的描述波动性的模型。以往文献常用基本随机 波动率模型描述我国股市价格序列的波动性，其结果往往并不令人满意，一方面，金融 时间序列的无条件分布与异方差模型相对于标准正态分布的假设相比，会呈现出较大的 峰度和更厚的尾部；另一方面，资产收益率与波动率存在相关性。为克服上述缺陷，本 文利用厚尾s v 模型和杠杆s v 模型对我国股市的波动性进行分析研究。 由于m c m c ( m a r k o vc h a i nm e r t oc a r l o ) 方法在解决s v 模型中的高维分布参数估计 以及求解似然函数和后验分布都更加有效，因此本文利用m c m c 方法估计模型中的参 数。首先，根据贝叶斯理论对s v 族模型中的基本s v 模型，厚尾s v 模型( s v - t 模型) ， 杠杆s v 模型进行贝叶斯分析，计算出每个模型中参数的后验分布密度函数，然后，以 上证综指和深证成指的指数序列作为样本值，构造基于g i b b s 抽样和m e t r o p o l i s h a s t i n g s 抽样的m c m c 方法过程，利用m a t l a b 软件计算出各模型中的参数值。 在得到参数的估计值后，本文对上海股市和深证股市的波动特征进行分析，同时进 行两市的比较分析，对我国股市的波动性作了更为精确的描述。而对于模型的比较，大 多数文章是采用贝叶斯因子，由于该方法计算量较大，本文将使用d i c 准则对上证综指 在s v 族模型下的模拟情况进行比较分析，以确定适合中国股市的s v 模型。 关键词：随机波动率，m c m c ，g i b b s 抽样，m h 抽样，厚尾，杠杆效应，d i c a b s t r a c t硕士论文 a b s t r a c t t h ef i n a n c et i m es e r i e sh a v et h eu n i v e r s a lp h e n o m e n o no fv o l a t i l i t y , b u tt h ev o l a t i l i t yi s ac o r er e s e a r c hq u e s t i o nw h i c ht od e s c r i b eaf i n a n c em a r k e t s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e li sa g o o dc l a s sm o d e l t od e s c r i p tv o l a t i l i t y w h e nw ed e s c r i p tt h ev o l a t i l i t yo fs t o c km a r k e ti no u r c o u n t r yb yb a s i cs t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , i t sn o ts a t i s f i e du s o n es i d e ，c o m p a r e dw i t hs t a n d a r d n o r m a ld i s t r i b u t i o no fv a r i b l e sa s s u m p t i o ni nh e t e r o s k e d a s t i cm o d e l ，t h eu n c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o no ff i n a n c et i m es e r i e sw i l ls h o wb i g g e rk u r t o s i sa n dt h i c k e rt a i l i no t h e rs i d e ，i t s c o r r e l a t e db e t w e e nr e t u r no fa s s e t sa n dv o l a t i l i t y i nt h i sp a p e r , w ew i l la n a l y z ev o l a t i l i t yo f s t o c km a r k e ti no u rc o u n t r yt h r o u g hh e a v y - t a i l e ds t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e la n dl e v e r a g e e f f e c ts t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l b e c a u s et h em c m c ( m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ) m e t h o di se f f i c i e n ti nd e a l i n g 、析t l l p r o b l e m so fh i e , hd i m e n s i o n ，l i k e l i h o o df u n c t i o na n dp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n i nt h i sp a p e r , w e w i l le s t i m a t ep a r a m e t e r si nm o d e l sb ym c m cm e t h o d f i r s t ，t h eb a y e sa n a l y s i so fb a s i cs v m o d e l ，s v - tm o d e la n dl e v e r a g ee f f e c ts vm o d e lw i l lb es t u d i e db yb a y e st h e o r y , a n dw e w i l lg e tp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no fp a r a m e t e r s t h e nm a r k o vc h a i nm o n t ec a r l oa l g o r i t h m p r o c e d u r e s 、析mg i b b ss a m p l e ra n dm e t r o p o l i s h a s t i n g ss a m p l e rw e r ed e s i g n e dt oe s t i m a t e t h em o d e l s p a r a m e t e rt h r o u g hm a t l a bs o f t w a r e ，i nw h i c ht h es a m p l ea r es h a n g h a ic o m p o s i t e i n d e xa n ds h e n z h e nc o m p o s i t ei n d e x f o l l o w i n g ，w ew i l la n a l y z ev o l a t i l i t yc h a r a c t e r so fs h a n g h a is t o c km a r k e ta n ds h e n z h e n s t o c km a r k e t ，a n da l s ow ew i l lc o m p a r et h e s et w om a r k e tt os t u d yv o l a t i l i t yo fo u r 。c o u n t r y f o rt h ec o m p a r i s i o n 诵n 1d i f f e r e n ts vm o d e l s ，m o s tr e s e a r c h e r su s e db a y e sf a c t o u b u t c a l c u l a t i n gc a p a c i t yi sr e q u i r e dh i g h l yt ot h i sm e t h o d s od i ew i l lb eu s e dt oc o m p a r e d i f f e r e n ts vm o d e l sw i t hs h a n g h a ic o m p o s i t e ， a n df i n do u tt h eb e s ts vm o d e lf o ro u r c o u n t r y k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ，m c m c ，g i b b ss a m p l e ，m e t r o p o l i s - h a s t i n g ss a m p l e ， h e a v y - t a i l e d ，l e v e r a g ee f f e c t ，d i c 声明户i 刃 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：三当玉盎 97 年1 ) 月加 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：羹陋吖年b 月哆日 硕士论文基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆s v 模型对中国股市的研究 1 绪论 1 1 问题的背景 股票价格形成机制的理论研究一直伴随着证券市场的发展，并带动证券市场其他方 面的理论研究，例如市场有效性理论，市场均衡理论，资本资产定价理论，期权定价理 论等。从系统论的角度看，股票价格的形成机制，是个复杂的非线性系统：股票市场的 高度复杂性主要体现在难以描述性、难以分析性、难以预测性等各方面。目前主要描述 股票价格的形成机制、股价的波动模型主要有随机游走模型( r a n d o mw a l k ) 、对数正态 分布模型、a r c h ( g a r c h ) 类模型和随机波动率( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y 简称s v ) 模型等。 s v 模型的提出是与金融理论中资产定价的扩散过程直接相关的，由于s v 模型与 金融理论相结合，在金融领域中有着广泛的用途，如当基础资产价格收益服从随机波动 率模型下期权定价的研究等，因此大多数的学者纷纷从不同的角度出发，提出各式各样 的s v 模型与其相应的估计方法。 在s v 模型中状态变量波动率是隐含的，无法通过观测得到；同时模型中的联合后 验分布是高维的，且一些参数或者缺失状态变量的后验分布是非标准的，复杂的分布密 度形式，使得一些经典的估计方法很难应用，不少文献采用m c m c 方法解决这类难题。 m c m c 方法是近些年发展起来的一种参数估计方法。该方法将马尔科夫过程引入 到m o n t ec a r l o 模拟中，以实现动态模拟。传统的m o n t ec a r l o 模拟方法存在的缺陷是静 态性和高维性，而金融时间序列变量都具有时变性，因此用静态方法处理时变量会产生 一定的偏差；而且传统的m o n t ec a r l o 模拟也难于从高维的概率分布函数中抽样。m c m c 方法作为一种特殊的m o n t ec a r l o 方法，较好地克服了传统的m o n t ec a r l o 模拟方法的缺 陷，在一些金融分析计算中得到广泛的应用。 关于s v 模型的研究，目前国外的研究热点主要是针对金融时间序列数据的波动性 进行分析和建模，而我国在计量经济建模理论方面的研究仍然比较薄弱，随着我国经济 的迅速发展，我们股市的政策制度将逐步趋于完善。金融时间序列数据样本容量也不断 增大，而大多数的金融数据都表现出明显的非线性特征，因此非线性时间序列的分析方 法已经成为目前数量经济分析方法的主流。为了更好地分析和预测我国股票市场金融时 间序列数据的运行趋势，正确地捕捉模型中的波动特性，发现符合我国股票市场的金融 时间序列模型，以便更好地回避风险，对股市风险进行有效的管理，有必要利用s v 模 型对我国金融时间序列进行探索性研究。 1 2 国内外研究现状 事实上，s v 模型的几种变形来源于对非常不同问题的研究，例如，c l a r k ( 1 9 7 3 ) t 1 】 1 绪论 硕士论文 认为资产收益率是信息到达这一随机过程的函数，这种所谓的时间形变( t i m ed e f o r m a t i o n ) 方法产生了资产收益率的时变( t i m e v a r y i n g ) 波动率模型。t a u c h e 和p i t t s ( 1 9 8 3 ) 2 】对此作 了改进，提出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布模型。s v 模型产生的又一 个重要背景是期权定价问题。当前金融市场中，期权和其他衍生证券迅速发展，而波动 性在衍生证券的定价中起着重要的作用。欧式期权定价的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 中，波动被设定为与时间无关的常量，而这种假定并不合理。h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) 3 】并研 究了标的资产服从连续时间s v 模型，其中波动率服从o m s t e i n u h l e n b e c k 随机过程的 期权定价问题，结果指出基于s v 模型得到的期权价格要比b l a c k s c h o l e s 公式更接近实 际。另一种方法源于t a l o “1 9 8 6 ) h 的研究，他建立了替代自回归条件异方差( a r c h ) 模型 的离散时间s v 模型。 最早提出s v 模型估计方法的研究者可以分为两类：一类是t a y l o r 和h a r e y 在1 9 8 6 年提出的通过设法模拟建立完全的似然函数来近似估计模型的参数值，从而避免了很难 得到其精确似然函数的问题。第二类是s a n d m a n n 和k o o p m a n ，s h e p h a r d ( 1 9 9 9 ) 5 j 年提出 的利用蒙特卡洛模拟的方法和状态空间模型、卡尔曼滤波方法、m c m c ( m a r k o vc h a i n m o n t ec a r l o ) 模拟方法等等进行参数估计。 m c m c 模拟方法是最近发展起来的一种简单且行之有效的b a y e s 计算方法。 m c m c 方法在统计物理学中得到广泛应用已有4 0 多年的历史，但它在b a y e s 统计、显 著性检验、极大似然估计等方面的应用则是近十几年的事情。 j a c q u i e r ，p o i s o n ，r o s s i ( 19 9 4 ) 1 6 1 第一个将贝叶斯分析引入到s v 模型中，并且在对 参数的后验分布进行抽样时，使用的是m c m c 方法，文献中通过将非线性滤子作为整 体模型的贝叶斯处理的一部分，说明了通过模拟得到波动率的平滑估计的可行性。需要 的是以观测值为条件的波动率联合分布的均值向量。然而，因为模拟这样的联合分布在 现实中是不可行的，他们把它分解成一系列单变量分布，每一个波动率都以所有其他的 波动率为条件。这些分布可以记作p ( c r ? i 仃三f ，y ) ，其中仃三表示除了砰之外的所有波动 率，人们要做的是从这些分布中依次抽样，使得仃三集合中的元素等于他们最后的估计 值，并且重复几千次。这就是g i b b s 抽样法。然而这其中仍然存在一些问题，s v 模型 的马尔科夫结构可以扩展成 p ( 砰i 盯三，y ) = p ( 仃? i 仃三。，盯三。，y ) p ( y ，i 仃? ) p ( 仃? l 盯三。) p ( 蠢。i 砰) 虽然上述表达式的右边可以明确写出，但密度却不是标准形式，并且没有正规化常数的 解析式。j a c q u i e r ，p o i s o n ，r o s s 采用的解决方法是使用一连串的m e t r o p o l i s 接受拒绝 的独立链。 k i m ，s h e p h a r d ( 1 9 9 4 ) 7 j 指出，如果持续性参数接近于1 ，并且或者盯。2 很小的话， 因为盯? 变化很慢，j a c q u i e r ，p o i s o n ，r o s s i 采用的单一移动算法( s i g l em o v e r ) 将会变慢。 事实上，当它是一个常数时，运算将根本不收敛。 2 硕士论文基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆s v 模型对中国股市的研究 s a n g j o o nk i m ，n e i ls h e p h a r d ，s i d d h a r t h ac h i b ( 1 9 9 8 ) 8 】中，将用马尔科夫链蒙特卡 罗抽样方法，为随机波动率模型的分析提供了一种统一的、切实可行的基于似然函数的 问题解决途径。在随机波动率模型中对于那些过去的不可观测的波动率，通过建立一个 重要的重新赋权过程，使用近似抵消混合模型来抽取样本。并且用实际数据对这种估计 方法与其他一些方法进行比较。同时，这篇文章还将基于模拟提出有效的滤波，似然估 计和模型误差检验。在模型的选择方面，将对非嵌套似然比和贝叶斯因子进行研究。这 些方法都将用于比较随机波动率模型和g a r c h 模型。 上面所介绍的文献，都是对基本s v 模型进行分析研究，不同处主要在于抽样方法 的选取不同。j a c q u i e r ( 1 9 9 4 ) 在h a r v e y ( 1 9 9 4 ) 9 j 中已经引入的s v - t 模型以及m a h i e u ， s c h o t m a n ( 1 9 9 8 ) b o l 表示出的联合分布的基础上，通过贝叶斯理论表示出当扰动项服从， 分布时厚尾s v 模型的参数后验分布。对含有外生因素的s v 模型，w a t a n a b e 和 t o s h i a k i ( 1 9 9 9 ) 1 1 j 在基本s v 模型中加入周末效应变量、风险溢价变量来分析东京股市收 益序列，并且实证表明，它们前面的参数都具有较高的显著性，与实际波动特性相一致。 另外，白昆、张世英( 2 0 0 1 ) 1 2 】利用含有前期观测影响的扩展s v 模型，对深圳股票市场 序列的收益波动性进行分析，很好地描述深圳股票市场的波动集群性和波动持续性现 象。k o o p m a n ，s j 和u s p e n s k y ，e h ( 2 0 0 2 ) 1 1 3 针对金融市场预期收益与波动的关系，提 出了考虑预期收益的扩展s v 模型( s v - m ) 模型，很好的分析了风险与预期收益的关系。 为了刻画波动过程中所表现的长记忆特征，b r e i d t ，c r a t o 和l i m a ( 1 9 9 4 ) 1 4 】将a r f i m a 过程纳入到基本s v 模型中，提出了一类长记忆随机波动模型。r o h i td e o ， c l i f f o r d h u r v i c h ， y il u ( 2 0 0 5 ) t 1 5 1 利用长记忆随机波动率模型，对波动序列进行预测，并且分析 了收益率序列的季节性。为了分析多个金融市场的风险持续性及其规避问题，以及组合 投资问题等涉及多个价格序列时，运用向量s v 模型进行研究。s i d d h a r t h ac h i b ，f e d e f i c o n a r d a r i 和n e i ls h e p h a r d ( 2 0 0 2 ) t 1 6 】利用m c m c 方法对高维多变量随机波动率模型进行参 数估计，分析了澳大利亚、法国、德国、香港等国家和地区的股市之间的v a r 。 在国内外，对带跳的随机波动率模型的研究也有很多。d a v i dr a g g i ( 2 0 0 4 ) r 7 】利用 m c m c 方法分析了带跳的仿射随机波动率模型，并且用道琼斯综合6 5 指数和f t s e l 0 0 进行了实证分析，指出在收益序列中加入跳跃项，使得年波动率下降，这个现象是由于 扩散项过高的估计了波动率。m i k h a i lc h e m o v ( 2 0 0 3 ) t 1 8 1 利用e m m 估计方法研究带跳的 对数随机波动率模型和仿射随机波动率模型，通过对道琼斯指数进行实证分析，表明在 金融收益序列中加入跳跃项，可以有效地描述市场中发生的突发事故对股市的影响。 k o i c h im a e k a w a ( 2 0 0 8 ) 1 1 9 对日本n i k k e i2 2 5 进行实证分析，说明跳跃扩散模型相对于标 准b s 模型可以更好的与实际数据相吻合。为了说明跳跃的存在，作者通过 b a m i e l d o r f f - n s e n 和s h e p h a r d 的双边检验，揭示出日本股市是存在跳跃的。 通过欧拉离散法，将连续模型离散化，再在离散模型基础上进行分析研究，上述这 1 绪论 硕士论文 种将m c m c 方法引入到连续s v 模型中，可以更好的分析期权理论和风险理论。这方 面主要的文献包括p r a u s e ( 1 9 9 9 ) t 2 0 ，e b e r l e i n ( 2 0 0 2 ) t 2 1 1 ，以及e b e r l e i n ，p r a u s e ( 2 0 0 2 ) 1 2 2 1 。 1 3 本文研究内容及创新点 在使用m c m c 方法对连续s v 模型进行参数估计时，由于金融时间序列的样本值 为离散点，必须将连续s v 模型离散化后，进行参数估计与分析，因此本文仅对离散的 s v 模型进行分析与研究。在离散s v 模型族中，本文将对基本s v 模型、厚尾s v 模型 ( s v - t ) 模型和杠杆s v 模型进行贝叶斯分析及结果分析。本文的创新点在于参数估计的 m c m c 抽样方法的选取，本文将结合前人在对各参数进行m c m c 方法估计时选用的建 议分布，选取有效的建议分布进行抽样，以提高样本的有效性，并利用m a t l a b 软件实现 参数估计。全文主要内容包含三个部分，具体安排如下： 首先，对波动率的相关定义及特征，s v 模型，以及m c m c 方法进行简单回顾。 其次，分别对基本s v 模型、s v t 模型、杠杆s v 模型进行贝叶斯估计，计算出各 模型式中参数的后验分布密度函数，然后根据计算出的后验分布密度函数形式，选择合 适的m c m c 抽样方法。 最后，对上证综指和深证成指两只指数进行实证分析，并对结果进行分析。同时在 文章的最后，通过d i c 准则对本文中三类s v 模型进行比较分析。 4 硕士论文基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆s v 模型对中国股市的研究 2 预备知识 2 1 与波动率有关的几个概念 波动率是衡量某一时间段内金融产品价格变动程度的数值。比如上证综指在某一时 间段内的波动率就是关于上证综指不确定收益的衡量值，可定义为这一时间段内上证综 指收益率( 以连续复合的收益率来表示) 的标准方差，也可以用上证综指变动值自然对数 的标准方差来表示。 就某种程度而言，波动率是衡量市场变动速度的数值。市场变动越快，其波动率也 越高。波动率是一个相对笼统的概念，还可细分为不同的种类，各自所代表的含义也不 尽相同，比如有未来波动率、历史波动率、隐含波动率和季节性波动率等等。其中未来 波动率描述了标的市场未来价格变动的情形，是每个参与市场交易者最想知道的，也是 最为关心的数值。一旦交易者得知了未来波动率，就等于掌握了正确的概率，将此概率 输入到资产定价模型中，交易者就能得到较为精确的资产理论价格，从而在长期的资产 交易中获利。参考历史波动率，给人们预测未来波动率提供了极大的帮助。隐含波动率 是由期权市场价格决定的波动率，是市场价格的真实映射，而有效市场价格是供求关系 平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果，因此隐含波动率反映的是市场对标的产品波 动率的看法，从而在期权交易中有着极为有益的应用。 在a r c h 文献中详细阐述了许多关于波动率的特征事实，例如b o l l e r s l e v 、e n g l e 和n e l s o n ( 1 9 9 4 ) 1 2 3 j 。关于衍生证券和隐含波动率的实证规律也有很多，例如 b a t e s ( 1 9 9 5 ) 瞄4 。通过补充和更新上述参考资料中包含的一些材料，总结出一些关于波动 率的经验特征事实。金融时间序列在波动率的一些特征事实主要包括： 肥尾 2 0 世纪6 0 年代早期以来，人们开始注意到资产收益具有尖峰分布的性质，特别是 m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) 2 5 1 及f a m a ( 1 9 6 5 ) 2 6 1 的发现。其结果是，大量的论文应用肥尾的独立同 分布，如p a r e t i a n 分布或者1 6 v y 分布，为资产收益建模。 波动率群集( c l u s t e r i n g ) 对金融时间序列的任何观测都表明了高或低波动率时段的聚集。事实上，波动率群 集和资产收益肥尾是密切相关的，后者事实上是一个静态的解释，而a r c h 模型的主要 作用是给出了动态( 条件) 波动率行为和( 无条件) 肥尾间的正式联系。由e n g l e ( 1 9 8 2 ) 1 2 7 】提 出，并且此后获得大量扩展的a r c h 模型及s v 模型，主要就是用于模拟波动率群集的。 杠杆效应 被b l a c k ( 1 9 7 6 ) 2 8 】称为杠杆效应的现象指股票价格运动和波动率呈负相关。因为下 跌的股票价格暗示公司财务杠杆提高，人们相信这意味着更多的不确定性及更高的波动 5 2 预备知识硕士论文 率。然而，b l a c k ( 1 9 7 6 ) ，c h r i s t i e ( 1 9 8 2 ) t 2 9 1 及s c h w e r t ( 1 9 8 9 ) t 3 0 1 的实证证据表明，杠杆效应 自身作用太小，不足以解释股票价格中发现的不对称性。 长记忆和持续性 一般来说，波动率是高度持续性的。特别是对于高频率数据，证据表明条件方差过 程具有接近单位根的行为。在a r c h 文献中，关于股票市场、商品、外汇和其他资产价 格序列的g a r c h 模型的各种估计是与i g a r c h 设定相一致的。同样，对随机波动率 模型的估计显示了相似的持续性模型( j a c q u i e r ，p o i s o na n dr o s s i ，1 9 9 4 ) 。这些发现导致 了一场争论，即条件方差过程持久性的建模时通过单位根还是长期记忆过程。后一种过 程还适用于a r c h 模型和s v 模型。 波动率的协同运动( c o m o v e m e n t ) 有大量的文献是讨论投机市场的跨国协同运动的。资本市场的全球化是否提高了价 格的波动率和股票收益的相关性已经成为最近许多研究的主题，包括k i n g ，s e n t a t n a ， w a d h w a n i ( 1 9 9 4 ) t 3 1 1 以及l i n ，e n g l e ，i t o ( 1 9 9 4 ) t 3 2 1 。人们通常运用因子模型来模拟国际波 动率的共通性，或者探索所谓的共同特征或共同趋势。 隐含波动率的相关性 特征事实通常为无模型的实证观测所揭示。隐含波动率显然是基于模型的，因为他 们从一个特定模型的定价公式计算得到，即b s 模型公式。由于他们是在每天数据的基 础上计算出来的，且模型假定波动率为常数，因此明显存在内在的不一致性。然而，由 于事实上许多期权价格是通过他们的隐含波动率来报价的，所以很自然地就要研究后者 的时间序列行为。基于相同标的的资产具有不同执行价和到期日的同期期权价格会产生 不同的隐含波动率，所以经常要计算一个综合量度。综合量度通常是通过加权方案得到 的，它给与接近实值的期权更多的权重，这种期权在有组织的市场中的交易量最大。 隐含波动率的期限结构 b l a c k s c h o l e s 模型所预测波动率的期限结构是平缓的。事实上，当短期波动率很低 的时候，实值期权的隐含波动率的期限结构是向上倾斜的，反之则向下倾斜。t a y l o r 和 x u ( 1 9 9 4 ) t 3 3 】发现外汇期权隐含波动率的期限结构每几个月都要改变一次斜率方向。 s t e i n ( 1 9 8 9 ) t 3 4 】也发现中短期隐含波动率的实际敏感度比预测期限结构得到的估计敏感 度要更大一些，并且得出中期隐含波动率对信息具有过度反应的结论。d i z 和 f i n u c a n e ( 1 9 9 3 ) t 3 5 】运用不同的估计技术拒绝了过度反应假设，同时报告了反应不同的证 据。 微笑 如果市场中的期权价格满足b l a c k s c h o l e s 公式，则对应于相同资产的各种期权的所 有b l a c k s c h o l e s 隐含波动率将和标的资产的波动率参数盯相一致，但事实并非如此。一 般认为波动率的微笑效应必须由随即波动率模型来解释。这有几个理由：首先，应用随 6 硕士论文基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆s v 模型对中国股市的研究 机时变波动率模型来表示随机时变b s 隐含波动率是很自然地。其次，微笑下降的幅度 是到期期限的函数。确实，实际情况显示，当到期期限增加时，波动率的视频归并并消 除了条件异方差，从而减少微笑现象。最后，偏度本身也可以被归因于波动率过程的随 机特征以及该过程与价格过程( 所谓的杠杆效应) 的整体相关性。事实上，这个效应对股 票价格数据是很明显的，但是对利率和汇率序列却是很小的，这就是微笑的偏度在以股 票为标的资产的期权时更常见的原因。 2 2 随机波动率模型 2 2 1 基本s v 模型及其统计性质 在对资产定价模型进行研究的过程中，对资产收益率的波动率更倾向于随着时间而 发生改变。一种模型就是由资产价格观测数据和过去的波动率构成的方程来描述波动率 的变化。于是，e n g l e 在1 9 8 2 年提出了自回归条件异方差模型，即a r c h 模型。相对 于a r c h 模型对波动率的刻画，另一种随机波动率模型是将波动率描述为一些隐含随机 过程。首先出现在h u l l 和w h i t e 研究期权定价中，将b s 期权定价公式中的波动率改为 随机波动率的形式。在对基础资产价格研究的实证分析中，大部分s v 模型都是写成离 散形式。在离散s v 模型中，一种典型的最基本的s v 模型形式如下： y ，= k q ，t 1 ，1 、 l o g ( v t ) = + ( 1 0 9 ( k 一1 ) - 0 + 盯，r ， 一 在上述模型形式中，以) 指资产价格去均值的收益过程， k ) 指资产收益波动率， l o g ( k ) 服从a r ( 1 ) 过程，u 为波动均值，为波动持续性参数，且有l 矽阵1 ；幢) 独立 同分布，均服从标准正态分布；概，同样独立同分布，均服从标准正态分布，且 c o r r ( 占l ，r l ，) = 0 。 为了研究方便，令吃= 1 0 9 ( k ) ，则上述模型式可以写为： y t = e x p ( h t 2 ) e ，f lm 啊= + ( 吃一l 一) + 盯。r t 、7 由( 2 ) 式构成的基本s v 模型有如下统计性质： i 一般性质 y ， 是鞅差分过程( 基于幢) 是鞅差分序列) ； 啊) 平稳则意味着 y ，) 平稳； 如果 仇 服从正态分布，则由对数正态分布的性质有 e e x p ( a h , ) ) 】- e x p ( a 2 仃：2 ) 其中，a 为常数，盯：是 啊) 的方差。 如果 r ， 服从正态分布， q ) 存在有限方差，则 y ，) 的方差为 7 2 预备知识 硕士论文 v a r ( y f ) = 仃2e x p ( a ；2 ) 其中，仃2 = e x p ( z ) 为常数。 若瓴) 具有四阶矩，则 y ，) 的峰度为3 e x p ( o h 2 ) 。 y ，) 的所有奇数阶矩为0 。 m 绝对值的c 次幂的期望和方差为 e ly , l c - e x p - 譬) 篙e x p ( 譬咖c 州，c 。 哳川c = e x p c 。u 2 c 【鬻一( 等) 2 】e x ( 譬o 执 c - 0 5 ，c 0 i i 自相关函数 j ，) 绝对值的c 次幂的a c f 为 。=兰型盖占篓亏搿=：ex：p：(丽-等-o2ph：)-1，f，c一o5，c。 其中，r c = e l iy ，1 2 c 】 研iy ，i c 】) 2 p h f f = o ，1 ，2 ，表示啊的a c f 。 啊) 的a c f 性质 当仃；较小，或见，接近1 ，则 啊) 的a c f 与c 有如下关系： 2 e x p ( - k j - o - 2 ) - 1 p ：c l p h 。，j 矗一，f 1 x ce x p ( - 等- o - ；) - 1 t i i i 模型的线性表示 随机波动模型的一个重要性质是它可以转化为一个线性表达式。 令z ，= l o g ( y ? ) ，对模型式中的第一个式子两边平方取对数，可得 z f = i o g ( j ，? ) = 忽+ l o g ( 占? ) ， 此时l o g ( 0 ) 服从对数z 2 分布，re 1 0 9 ( 8 2 ) = 一1 2 7 ，v a r 1 0 9 ( s 2 ) = 4 9 3 。 2 2 2 扩展s v 模型 基于对不同金融波动问题的研究，s v 模型得到多方面的扩展。下面介绍几类s v 模 型的扩展形式。 1 厚尾s v 模型 许多金融时间序列的无条件分布与异方差模型在假设变量服从标准正态分布的情 8 硕士论文基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆s v 模型对中国股市的研究 况相比，会呈现出高峰厚尾。为此，k i m ，s h e p h a r d 和c h i b 假设s v 模型的扰动部分服从 自由度为v 的f 分布，并记为s v t 模型。 在s v - t 模型中，区别于基本s v 模型式( 2 ) 中的扰动部分， q ) 服从自由度为y 的t 分 布，即 北) = n ( v - 2 ) 乒帮 - 名厂 当4 y 时，t 分布的峰态系数大于3 ，y 专时就变为i e 态分布，y 4 时其峰态系数 不存在。 n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 【3 卅提出了另一种峰态系数大于3 的广义误差分布( g e d ) ，它也可以用来 替代正态分布。在s v g e d 模型下，扰动部分 q ) 服从均值为o ，方差为1 的g e d 分布， 厂( q ) ：_ c e x p 丽 - l 矿( 6 , 1 2 ) c ，。 c o ) 将使魄( 从 而使仃2 ) 趋于增大，因此通过这样一种关系，t 波动不对称性在a s v 模型中得到反映。 3 长记忆s v 模型 为了刻画波动过程中所表现的长记忆特性，b r e i d t ，c r a t o 和l i m a ( 1 9 9 4 ) 1 4 】中把 a r f i m a 过程纳入到基本s v 模型中，提出了一类长记忆随机波动模型如下： m = e x p ( h , 2 ) e ，r l ，毛i i dn ( 0 ，1 ) ( 1 一工) 4 矽( 三) 啊= o ( t ) u ，7 ，一f f d n ( o ，盯。2 ) 、7 其中，矽( 三) 和o ( l ) 为滞后算子多项式，他们的特征根都在单位圆外，且一0 5 d l 吃= a + 矽( 啊一l 一) + o o r i ，+ h ? g ? 其中，驯，日j 分别表示价格和波动的跳跃大小，g ? ，吖分别反映价格和波动的跳跃是否， 且均为贝努利随机变量，以概率茁取为1 ，以概率1 一r 取为0 。 2 3m c m c 方法 m c m c 方法的基本思想是通过建立一个平稳分布为万( x ) 的m a r k o v 链来得到万( x ) 的样本，基于这些样本就可以作各种统计推断。在本文中，我们将结合金融资产价格模 型，对m c m c 方法进行介绍。 1 c l i f f o r d - h a m m e r s l e y 定理 在许多连续资产价格模型中，后验联合分布p ( o ，xiy ) ( 其中p 为模型中参数向量，x 为缺失状态变量) 常常为一个极其复杂、高维的非标准分布，所以要从这个分布直接进 行抽样就显得很困难。然而，m c m c 通过将此联合分布分解为些维数较低且易于抽 样的完全条件分布，来解决直接抽样的问题。 1 0 硕士论文基于贝叶斯分析的厚尾和杠杆s v 模型对中国股市的研究 将高维的联合分布分解为完全条件分布的理论( 通常称为c l i f f o r d h a m m e r s l e y 定理) 是由c l i f f o r d ，h a m m e r s l e y ( 1 9 7 0 ) 1 4 2 1 提出，后来由b e s a g ( 1 9 7 4 ) 4 3 1 以定理形式提出并给出 完整的证明。在资产价格模型中，由c l i f f o r d h a m m e r s l e y 定理，联合后验分布密度函数 p ( o ，xy ) 由完全条件分布密度函数p ( olx ，y ) ，p ( x1 秒，y ) 两部分唯一决定。对于从 p ( oix ，y ) ，p ( x0 ，y ) 中直接抽取样本仍然无法解决条件分布维数过高问题的情况，可 以再次使用c l i f f o r d h a m m e r s l e y 定理来解决上述问题。考虑p ( ox ，少) ，并且假设足维 参数向量秒可以看成k 部分，即0 = ( b ，吼) ，而每一部分可以为一维的也可以为多维 的，则根据c l i f f o r d - h a m m e r s l e y 定理，p ( 0 x ，y ) 由下列几个条件分布唯一决定 bi 岛，岛，吼，x ，y 岛lb ，岛，吼，x ，y 吼ib ，岛，幺。，x ，y 对于状态向量的后验密度p ( x1 秒，y ) ，可以由每一个元素的单一条件密度函数 p ( x ，1 秒，x f ，y ) ，t = 1 , 2 ，t ，其中x 一，= ( 而，x f 1 ，x t + l ，而) 唯一决定。 由c l i f f o r d h a m m e r s l e y 定理，后验联合分布p ( 0 ，hiy ) 可完全由后验概率密度 p ( l ，盯，2 ，h ，y ) ，p ( i ，仃，2 ，h ，y ) ，p ( 吒21 t ，h ，y ) ，p ( hi ，矽，盯，2 ，y ) 所决定。 2 g i b b s 抽样 最简单、应用最广泛的m c m c 方法是g i b b s 抽样，它是由g e m a l l ( 1 9 8 4 ) 畔1 最初命 名提出的，它的想法很直观，它是通过直接从完全条件密度中进行抽样。比如，对于 p ( elx ，y ) ，给定初值0 = ( 研们，磁们，磷) 下， ( 1 ) 从条件分布密度p ( qi 碰，谚们，戗，工，y ) 中抽取研d ( 2 ) 从条件分布密度p ( 0 2i 研n ，绣，碰们，x ，y ) 中抽取碰1 ( k ) 从条件分布密度p ( a 。ip 0 1 ，口；”口f0 1 ，x ，y ) 中抽取戗1 经过上述k 步，完成对秒的一次抽样。 g i b b s 抽样要求完全条件密度为标准分布密度函数如正态分布，t 分布，b e t a 分布等， 这样就限制了g i b b s 抽样的使用。m c m c 中的g i b b s 抽样可以用w i n b u g s 软件来实现。 w i n b u g s 是英国剑桥公共卫生研究所的m r cb i o s t a t i s t i c su n i t 推出的用m c m c 方法进 行贝叶斯推断的专用软件包。 3 m e t r o p o l i s h a s t i n g s 抽样 有时由于条件分布密度无法直接抽样，比如说对于非线性模型中的一些参数条件密 度为非标准分布密度的情况；或者即使分布密度已知，但是抽取的样本有效性很差，在 这些情况下，m c m c 的另一种抽样m e t r o p o l i s - h a s t i n g s 方法显得更加有效。 下面以单参数来介绍m h 抽样方法。假设参数伊的后验条件分布密度函数为