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二 基本初等函数知识要点：指数与指数幂的运算1. 若，则x叫做a的n次方根，记为，其中n1，且. n次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（）有如下恒等式：；，（a0）.2. 规定正数的分数指数幂： （）； . 指数函数及其性质1. 定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.2. 以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R，值域为；当时，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数. 3.以函数与的图象为例，得出这以下结论：（1）函数的图象与的图象关于y轴对称.（2）指数函数的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.对数与对数运算1. 定义：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当时，. 4. 负数与零没有对数；， 对数函数及其性质1. 对数的运算法则：，其中，. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式. 如果令b=N，则得到了对数的倒数公式. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如，等. 3. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.4. 函数与对数函数互为反函数. 5. 复合函数的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i）求定义域；（ii）拆分函数；（iii）分别求的单调性；（iv）按“同增异减”得出复合函数的单调性.幂函数1. 幂函数的基本形式是，其中是自变量，是常数. 要求掌握，这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当时，图象过定点；在上是增函数.（2）当时，图象过定点；在上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大. 轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大.例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）（）； （2）.解：（1）当n为奇数时，； 当n为偶数时，.（2）. 当时，；当时，.【例2】已知，求的值.解：.【例3】化简：（1）； （2）（a0，b0）； （3）.解：（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1）； （2）.解：（1）原式= = =4.（2）原式= =.点评：形如的双重根式，当是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.【例5】求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）.解：（1）要使有意义，其中自变量x需满足，即. 其定义域为.（2）要使有意义，其中自变量x需满足，即. 其定义域为.（3）要使有意义，其中自变量x需满足，即. 其定义域为.【例6】求下列函数的值域：（1）； （2）解：（1）观察易知， 则有. 原函数的值域为.（2）. 令，易知. 则. 结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到在上为增函数，所以. 原函数的值域为.【例7】（05年福建卷.理5文6）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）.ABCD解：从曲线的变化趋势，可以得到函数为减函数，从而0a0，即b0. 所以选D.点评：观察图象