（应用数学专业论文）van+der+polduffing时滞系统周期扰动hopf分支.pdf

摘要本文研究了具有三次项的v a nd e rp 0 1 d l l 伍n g 非线性时滞系统的h o p f 分支和稳定性，并分析了当系统在经历h o p f 分支时，小周期扰动对系统的影响，通过构造中心流形和积分平均法，讨论了扰动频率与h o p f 分支固有频率在共振( 次调和共振、超调和共振和超次调和共振) 时的情形，表明在某些参数区域中，系统存在调和分支( 次调和分支、超调和分支以及超次调和分支) ，并讨论了分支解的稳定性以及时滞所起的作用关键词。v a nd e rp o l - d u t 五n g 方程；h o p f 分支；平均法；中心流形a b s t r a c tt h i sp a p e rd i s c u s s e sw h i c hh a st h ec u b i ct e r mv a nd e rp 0 1 - d u f f m gn o n - l i n e a rt i m e -d e l a ys y s t e ms t a b i l i t ya n dt h eh o p fb i f u r c a t i o n ，a n dh a sa n a l y z e dw h e nt h es y s t e me x p e r i e n c e st h eh o p fb i f u r c a t i o n ，t h ei n f l u e n c eo fs m a l lp e r i o d i c a lp e r t u r b a t i o nt ot h es y s t e m ，b yc o n s t r u c t i n gc e n t e rm a n i f o l da n dt h em e t h o do fi n t e g r a la v e r a g ed i s c u s s e st h ec a s ew h e nt h ep e r t u r b a t i o nf r e q u e n c ya n dt h ec r i t i c a ln a t u r a lf r e q u e n c yo fh o p fb i f u r c a t i o nh a r m o n i cr e s o n a n c e ( s u b h a r m o n i cr e s o n a n c e ，u l t r a h a r m o n i cr e s o n a n c ea n du l t r a s u b h a r -m o n i cr e s o n a n c e ) ，i ti ss h o w nt h a ti ns o m ep a r a m e t e rr e g i o n ，t h es y s t e me x i s t sh a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o n ( s u b h a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o n ，u l t r a h a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o n，u l t r a s u b h a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o n ) ，f u r t h e r m o r e ，t h es t a b i l i t yo fb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o na n dt h er o l eo ft i m e - d e l a ya r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：v a nd e rp o l - d u f f i n ge q u a t i o n ；h o p fb i f u r c a t i o n ；m e t h o do fa v e r a g -i n g ；c e n t e rm a i n f o l di i独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说现并表示谢意学位论文作者签名，釜壶! 夏日期。壹嫂2 。尘。2 2学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名勉日期l 趔耻d l学位论文作者毕业后去向t工作单位；通讯地址，指导教师签名，旌耋兰刍日期t 型互芷：，；电话t邮编t引言周期扰动h o p f 分支的研究开始于上世纪八十年代。首先以常微分方程为研究对象，所考虑的问题是当一个非线性自治系统正经历h o p f 分支时，给它加上小外力周期扰动，研究此时系统的轨道会产生哪些新的变化显然，这个问题无论在实际应用上还是在数学理论上都是很有意义的，因而引起了不少学者的广泛关注，见文【1 , 2 ，3 ，4 ，6 ，1 6 d u f l l n g 方程和v a nd e rp o l 方程都是具有重要应用背景的非线性系统，其动力学行为已经得到了广泛的研究v a nd e rp o l - d l i 伍l l g 方程的非线性项同时含有v a nd e rp o l 系统维持自激振动的非线性阻尼项以及d u l i l n g 系统的三次非线性恢复力项文吲利用多尺度方法求出了系统的一次近似平均方程和极坐标形成的分支响应方程，研究了系统非共振情况下的平衡点性质和h o p f 分支，并讨论了零解和极限环的稳定性；文【3 ，4 】应用平均法研究了d u f f i n g 方程和v a nd e rp o l - d 1 l 历n g 方程的幅频响应特性，并通过其奇异理论分析了其静态与动态分支现象，进一步的动态分支研究对参数空间进行了划分，发现在不同的参数区域内，系统相空间具有完全不同的拓扑特性，揭示了其丰富的动力学特性；文【6 】以线性阻尼系数为分支参数研究了时滞v a nd e rp o l 方程周期扰动h o p f 分支问题，把常微分方程的周期扰动h o p f 分支的某些方法推广到时滞微分方程中，得到了一系列有意义的结果本文将把文【5 】中所考虑的问题做进一步的推广，即考虑v a nd e rp o l - d l l m n g时滞系统的周期扰动h o p f 分支本文所考虑的非线性时滞系统为童( t ) + ( 1 z 2 ( t r ) ) 主( ) + a z ( t r ) + e x a ( t r ) = e p s i n w t ( 0 1 )其中a 为增益系数，e 为常数，r 为时滞量，e ，卢为实参数，且0 5 1 系统( 0 1 )等价于：絮卿硼叫圳一e x 。”r ) + e b s i n w t ( 0 。)i 口( t ) = 一缸o r ) + ( t r ) 协( t ) 一z ( ) 】一3 ( t r ) +。7文【17 】利用l i a p u n o v 泛函研究了v a nd e rp o l 时滞系统解的存在性，稳定性、有界性；文【5 】通过构造中，t l - 流形并使用范式方法确定出系统( o 1 ) 在p = 0 时h o p f 分支的方向以及周期解的稳定性本文将考虑系统( 0 1 ) 在经历h o p f 分支时，加上周期扰动所起的作用，即卢0 的情况在1 我们讨论了系统( 0 1 ) h o p f 分支的存在性，并讨论了分支解的稳定性和分支方向；在2 中给出相关的定义并将表明在某些参数参数区域中，系统( 0 1 )1存在调和解、超调和解和超次调和解分支，并讨论了分支解的稳定性；在3 讨论了时滞所起的作用21 h o p f 分支的存在性选取a 为分支参数，并取a = 山4 - 鳓( a o 的定义见引理) 从而代替( 0 2 ) 考虑系统 鬻三- “( ”a o x 2 ( t - r ) + 以t r ) l y ( t ) 一邢) 】- 眈。( t 一，) 4 - v , 8 s i n w t ( 1 - 1 )i 口( t ) =+ p 净( t r ) + z 2 0 一) 一z ( t ) 】一e z 3 ( t r )”“当卢= 0 时，方程( 1 1 ) 化为羔- ( 4 0 4 - 2 ( h ( h 删j - e x 3 ( t - r )( 1 r 2 )l 口( ) =芦) 8 一r ) + o r ) b ( ) 一( ) j 一一r ) ”一7则方程( 1 2 ) 线性部分的特征方程为a 24 - a4 - ( a o + p ) e 一打= 0( 1 3 )引理1 1 r 见文触) 今印( r ) ( o a o ( r ) 0 ；俐若参数似，一满足0 a 0 记r 0 为在( a ，r ) 平面上由a = a o ( r ) 所确定的曲线，它是系统( 1 2 ) 的零解的线性稳定性区域的边界图1a3由上面的引理，系统( 1 2 ) 在r o 上发生h o p f 分支的必要条件被满足，且掣l = 。= ( 1 - r c r 3 ) 2 + 虹( 2 a o + r a o ) 2 。i k 。2 刈于是，当r 增加并穿过曲线r 0 时，特征方程( 1 3 ) 的特征根进入复平面的右半平面，通过上面的分析，可以得出下面推论t推论1 1 当参数a 和r 穿过曲线r o 时，系统一纠带出现h o p ：分支定理i i 倪文例若a 0 ，r o ，0 e 1 ，m 是整数考虑上除( z ，) = ( a ，0 ) 外的所有点，由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 知它们都是p 的m 周期点，因此它们所对应的解在闭合前转了m 个经圈在x y 平面上看，此时x ( t ) 和y ( t ) 的频率为u m ，解在x - y 平面上转了2 1 r m 所以这些点所对应的周期解闭合前在环面上转过了m 个经圈和一个纬圈，这样的解叫次调和解3 ) n 阶超调和共振假设m = w o ，n 1 ，n 是整数考虑上除( ，p ) = ( 五，0 ) 外的所有点，由( 2 4 ) 和( 2 5 )知它们都是p 的不动点，在x - y 平面上看，此时x ( t ) 和y ( t ) 的频率为n “，解在x - y 平面上转了2 n 丌所以这些点所对应的周期解闭合前在环面上转过了一个经圈和n 个纬圈，这样的解叫超调和解4 ) n 阶超次调和共振假设m = m u , , o ，m ，n 1 ，m 和n 是互质整数考虑上除( z ，) = ( a ，0 ) 外的所有点，由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 知它们都是p 的m 周期点，与上面相同道理，这些点所对应的周期解闭合前在环面上转过了m 个经圈和n 个纬圈，这样的解叫超次调和解2 2 简化系统到中心流形上首先对系统( 1 1 ) 进行尺度变换，令一，”一列，p 一地卢一印，q 一卿，其中q 为去谐参数，它由等式t o = 蛳( 1 一q ) 所定义则系统( 1 1 ) 化为i ( t ) = 掣( t ) 一z ( t ) ， t ( t ) = 一( a o + e p 净( t r ) + 2 护o r ) 陋( t ) 一z ( ) 】( 2 ，7 )【一e z 2 2 3 ( t r ) + e 卢s i n # t 再将( 2 7 ) 写成滞后型泛函微分方程的形式令c = c ( 卜r ，0 】，兄2 ) ，对任意妒c ，0l p 忙s u pfl p ( 口) i 若t o r ，t 0 ，且zec ( t o r , t o + 卅，r 2 ) ，那么对任意的6t 【l o ，亡0 + 卅，定义五g 为t五( 口) = z ( t + 口) ，一r s0 0于是( 2 7 ) 可写成z ( t ) = l c e p ) z t + e f ( t ，互，p ，p ) 其中z = ( 毛口) r ，l ：c r 线性算子，它表示成积分形式为工( p ) 妒( 3 ) = 【d 叼( 一，p ) 】妒( 8 ) ，帆删= ( 舶高。m ，6 盼这里6 ( p ) 是d i r a c6 一函数巾，绯幽卢卜0 一胁卧卅卢咖以)进一步地把( 2 8 ) 写成历= 4 ( e ，p ) 五+ e x o f ( t ，互，e ，p ，所这里；c = ：二阶单位阵一：主： 。( 2 8 )( 2 9 )( 2 1 0 )( 2 1 1 ) 妒= 驴+ x o ( l 妒一驴( o ) ) ( 2 1 2 )a = a ( ，p ) ：c 1 一b c 是闭线性算子，b c = c o ( ；c o ) 是一r s0 0 上所有连续函数，且可在0 = 0 处有不连续跳跃的函数空间，墒) 是 x o ) 的扩张文献【9 1 已经证明，对于t t o 时满足( 2 8 ) 的任何一个解，在t t o + r 时一定满足( 2 1 0 ) ，显然当0 = 0 时，( 2 8 ) 就是( 2 1 0 ) 【。】由上一节知，方程( 1 3 ) 存在一对纯虚根a = i a o ，一i a o ，空间b c 由a 可以分解成p 和q a ，即b c = p a o q a ，其中p a 是a 的= 维特征子空间，q 是其补空间我们把方程( 2 1 0 ) 的解五分解到p 和q 上去为了构造坐标去描述原点附近的中心流形m 。，需要用到内积和a 的伴随算子，其定义如下tf 一由( s ) ，虹lf 孵m 一70 0 ，所以若p 0 ，则r e a l 2 0 ，则r e a r 2 0 ，这样得到；定理2 1 若系统口 的参数p o ) ，并且p = d ( e ) ，卢= o ( e ) ，那么存在一个8 0 0 ，使得对任意的e ( 0 ，e o ) ，系统口 在g 空问原点附近的一个二维积分流形上存在一个稳定的仟稳定的j 调和解，其近似表达式是、 x l ( t , e ) = e a os i n ( a o ( 1 2 2 ( te o s ( 。o ( 1 二嚣：葛：端：仁z 力i，6 ) = 口0一q ) + 如) + d ( 一) 、这里知由俾2 彰给出，f o 是一个常数注在5 1 我们已经讨论出，当卢= 0 ，p 0 时，矗( n o ) 0 ，这说明当p 0 ) 时，对应的次调和解，超调和解和超次调和解均为不稳定的( 稳定的) 又由f 2 ( 咖) = 一t ，0 +p 钉1 3 糕) ，可以解出f = ( j e e r + 脬蜥”糕) r + 如由此得到j r + + 印( 1 一户矿) t + 印2 ( 1 - e r ) 肛 i 1 3 糕t + 如( z 3 0 )这样得到定理2 2 若系统p ， 的参数p o ) ，并且p = o ( 一) ，p = o ( d ) ，那么存在一个5 0 0 ，使得对任意的( 0 ，知) ，系统一 在d 空间原点附近的一个二维积分流形上，随着激励频率，分别接近于p c r o ，印p ，p o o q ，0 ，口1 且为互质的正整数j 而存在的任意阶次调和解，超调和解和超次调和解都是不稳定的终定舌搴，其近似表达式是 ：譬昌三：8 c m o s p ( j 7 r ：暑：。o p ( e ；：c z s ，i 现( t ，) = 知+ f ) +2 ) 、7这里d o 由偿2 缈式给出，t ，r + 由俾，彩给出。3 。讨论若将系统( 0 1 ) 重新标度，t + 俩，r + 哥，v a k ，e a ，e ，则系统( 0 1 ) 成为童( t ) + k 0 一z 2 0 一r ) ) 士( t ) + x ( t r ) + e x 3 0 r ) = 口s i n u t( 3 1 )如果将k 作为分支参数，可得到文 6 j 中的引理( 可参见【6 1 ) 值得注意的是，对于无时滞( o d e ) 的情形，可以证明系统( 3 1 ) ( r = 0 ，卢= 0 ) 在k = 0处存在超临界h o p f 分支；对于有时滞( r 0 ) 的情形，由于硒 0 ，的定义见文【6 】) ，因此时滞量r 使h o p f 分支点向右移动，并且分支的方向和闭轨的稳定性都发生了变化，其机理值得进一步研究对于我g 】所研究的系统( 0 1 ) ，当r = o 时，系统不存在h o p f 分支点，但重新标度后的系统( 3 1 ) 与系统( 0 1 ) 关系可以看出，系统( 0 i ) 当r = 0 时在a = + 。处存在超l 临界的h o p f 分支，并且随着r 的增加，分支点向左移动( 参看图1 ) ，同时只要r 出现，无论多么小，也可使超临界的h o p f 分支成为亚临界的h o p f 分支，所有这些也说明了研究时滞系统的重要性1 2参考文献1 】丁同仁非线性振动的若干问题【j 】南京大学学报( 数学年刊) ，1 9 8 7 ，1 - 72 】陈予恕非线性振动系统的分岔和混沌理论【m 1 高等教育出版社，1 9 9 3 。【3 】曹庆杰，张天德，李久平d u f l i n g 方程的静态与动态分岔特性研究【j 】应用数学和力学，1 9 9 9 ，2 0 ( 1 2 ) f 4 1 许磊，陆明万，曹庆杰v a nd e rp o l - d u f f m g 方程的非线性动力学分叉特性研究川应用力学学报，2 0 0 2 ，1 9 ( 4 ) 【5 】许鉴，陆启韶，王乘v a nd e rp o l - d u i t i n g 时滞系统的稳定性和h o p f 分岔【j 】力学学报，2 0 0 0 ，3 2 ( 1 ) 6 】岳锡亭，潘家齐具有限时滞v a nd e rp o l 方程的周期扰动h o p f 分支【j 】数学年刊，j 1 9 9 2 1 3 5 - 1 4 2 【7 】彭解华，唐驾时等v a nd e rp o l - d u f f i n g 系统的非共振h o p f 分叉f j 】国防科技大学学报，2 0 0 1 ，2 3 ( 2 ) 【8 】甘春标，陆启韶，黄克累耦合v a nd e rp o l - d u f l i n g 振子的强共振分叉解【j 】应用数学和力学，1 9 9 9 ，2 0 ( 1 ) 9 】c h o w s n a n dm a l l e d - p a r e t j i n t e g r a la v e r a g i n ga n db i f u c a t i o n j j d i f f e r e n t i a le q u a -t i o n s ，1 9 7 7 ( 2 6 ) ：1 1 2 - 1 5 9 【1 0 b h a s s a r d n k a z a r i o n f f a n d y - h w a n t h e o r y o f a p p l i c a t i o n s o f h o p f b i f u r c a t i o n 【卅l o n d o nm a t h ，s o cl e o tn o t r ss e r i e s ，4 1 c a m b r i d g e ，u n i vp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 8 1 f 1 1 j g u c k e n h e i m e rp h o l m e s n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s 。d y n a m i c s ，a n db i f u r a f i o n so fv e c t o rf i e l d s m 1 s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 7 【1 2 h a l e j k t h e r o yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 7【1 3 1s w i 鲳埘，i n t r o d u c t i o nt oa p p l i e dn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s r e m sa n dc h a o s 【m 1 s p r i n g e r -v e r l a g ，1 9 9 0 【1 4 h a l e j k o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 7 1 5 】n a m a c h c h i v a y a ，n s r ia n da r i a r a t n a m ，s t p e r i d i c a u yp e r t a r e dh o p f b i f u r c a t i o n j s i a mja p p xm a t h ，1 9 8 7 ，4 7 ( 1 ) ：1 5 - 3 9 1 6 】b e l a l rj ，c a m p b e l ls a s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o n so fe q u i l i b r i ai nm u l t i p l ed a l a y e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n j s i a mjm a t h ，1 9 9 4 ( 5 4 ) ：1 4 0 2 - 1 4 2 4 17 1h a l e j n o n , n e a ro s c i l l a t i o ni ne q u a t i o n sw i t hd e l a y s j n o n l i n e a ro s c i l l a t i o ni nb i o l o g y1