（应用数学专业论文）时标上非线性脉冲动态系统稳定性的若干结果.pdf

山东师范大学硕士学位论文 时标上非线性脉冲动态系统稳定性的若干结果 李锴 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文研究如下两类时标上非线性脉冲动态系统的稳定性： ( 1 ) 时标上脉冲摄动动态系统 lx n ( t ) = f ( t ，z ) ，t ( t k ，t k + l 】，t z ( 耋) = z ( ) a - i k ( x ( t k ) ) ，k = 0 ，1 ，2 ， ( ，) 【z ( t 吉) = x 0 ，i o ( z o ) = 0 与系统( ，) 相对应的时标上的动态系统 ) _ f ( 厶计印，( i f ) 【y ( t o ) = x o ， 其中f ( t ，z ) = f ( t ，z ) + n ( t ，z ) ，r ( t ，z ) 为摄动项，x a , 户表示z ( t ) ，( 功在t 处的 导数 ( 2 ) 时标上脉冲混合动态系统 iz ( t ) = f ( t ，z ，a 七( 。( t j c ) ) ) ，t ( t k ，t k + 1 】，t t ， z ( t 吉) = z ( 七) + 死( z ( 亡七) ) ，k = 0 ，1 ，2 ， ( i i i ) 【z ( t 手) = x o ，i o ( x o ) = 0 ， 其中一( 亡) 表示x ( t ) 在t 处的导数 得到了时标上脉冲摄动动态系统( ，) 关于两个测度的稳定性，时标上脉冲混合动态 系统( 1 l i ) 关于两个测度的稳定性及严格稳定性，并分别给出例子说明定理的具体 应用 时标上动态系统理论能将连续系统和离散系统很好的统一起来，由于其在经济 学，生物学，医学等诸方面的有效应用，逐渐引起了许多学者的广泛关注，具有很 好的应用前景以昆虫数量模型为例，在有些季节，昆虫的生长具有连续性，此时 可以用微分方程来规划，而在另一季节处于卵的孵化期或种群本身休眠期，此时就 山东师范大学硕士学位论文 需要用差分方程来规划，这类问题的研究就可归结为时标上动态系统的研究 同时，脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中普遍 存在，许多实际问题往往可以归结为脉冲微分系统，此方面的研究已取得了丰硕的 成果，但是对时标上脉冲动态系统的研究还较少，因此研究时标上脉冲动态系统具 有重要的理论意义和应用价值 第一章，首先给出了时标上微积分理论的相关预备知识，其次通过给出时标上 一个新的广义右上导数阐述了时标上变分l y a p u n o v 函数方法的基本思想，并利用 此方法建立了时标上的一个新的比较原理，最后利用该比较原理研究了时标上脉冲 摄动动态系统( ，) 的稳定性质，得到了系统( j ) 的( ，h ) - 稳定，( ，九) 一渐近稳 定的若干结果，并给出了一个例子来验证定理的实用性，特别需要指出的是，本章 的定理均为局部性定理 第二章，利用给出的时标上的一个新的广义右上导数，运用l y a p u n o v 函数直 接方法研究了时标上脉冲混合动态系统( i i i ) 的稳定性质，得到了系统( i i i ) 的 ( ，九) 一稳定，( ，危) 一渐近稳定，( ，九) 一严格稳定，( ，h ) 一严格渐近稳定的 若干结果最后给出了一个例子来验证定理的实用性，需要特别指出的是，本章我 们总是要求l y a p u n o v 函数在整个t r n 满足适当的条件，即本章的定理均为全局 性定理 关键词：时标；脉冲摄动动态系统；脉冲混合动态系统；变分l y a p u n o v 函数；严格稳定性 分类号：0 1 7 5 2 1 2 山东师范大学硕士学位论文 s o m er e s u l t so fs t a b i l i t yf o rn o n l i n e a ri m p u l s i v ed y n a m i c s y s t e m so nt i m es c a l e s l ik a i i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h et w on o n l i n e a ri m p u l s i v ed y - n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e sa sf o l l o w ： ( 1 ) i m p u l s i v ep e r t u r b e dd y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s iz ( 古) = f ( t ，z ) ，t t o ，t t k ，t 正 z ( 矿) = z ( 孟) + x k ( x ( 0 ) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， ( ，) 【x ( t o ) = x o ，t o20 ，t o t d y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e sc o r r e s p o n d i n gt ot h es y s t e m s ( i ) p 1 ：卜以屯珐t ，e ( iy ( t o ) = x o ， ( 1 ) f ( t ，x ) = f ( t ，x ) + r ( t ，x ) ，r ( t ，x ) i st h ep e r t u r b a t i o no fx a ( t ) = f ( t ，z ) ； ( 2 ) x z l ( t ) i st h ed e l t ad e r i v a t i v eo fz ( t ) a tt ( 2 ) i m p u l s i v eh y b r i dd y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s lz ( 力= 厂( ，z ，a k ( x k ) ) ， 如 t t k + i ，t z z ( t j ) = z ( ) + 厶( z ( ) ) ，k = 1 ，2 ， ( i i i ) 【z ( t 手) = x 0 ，1 0 ( z o ) = 0 w h e r ex a ( ) i st h ed e l t ad e r i v a t i v eo fx ( t ) a tt w eg e tt h er e s u l t so fs t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e sf o rs y s t e r m ( i ) ，t h er e s u l t so f s t a b i l i t ya n d s t r i c ts t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e sf o rs y s t e r m ( i i i ) e x a m p l e sa r ea l s o d i s c u s s e dt oi l l u s t r a t et h et h e o r e m s ，r e p e c t i v e l y d y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s ，w h i c hc a nu n i f yt h ec o n t i n u o u sa n dd i s c r e t es y s t e r n s ，h a v eg a i n e dm o r ea n dm o r ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si ne a c hf i e l do fm o d e mt e c h n o l o g y b e c a u s eo ft h ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si ne c o n o m i c s ，b i o l o g ya n dm e d i c i n e ，m a n y 3 s c h o l a r sh a v ep a i da t t e n t i o nt ot h i st h e o r yg r a d u a n y f o re x a m p l e ，i tc a l lb em o d e l e di n - s e c tp o p u l a t i o n st h a ta r ec o n t i n u o u si ns o m es e a s o nb yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，h o w e v e ri n o t h e rs e a s o nt h ec o m m u n i t yh a v eb e e ni nt h es t a t eo ft h eo v l i l l 2 s h a t c h i n go rd o r m a n c y s oi to n l yc a r lb em o d e l e di n s e c tp o p u l a t i o n sb yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa tt h i st i m e t h i s k i n do fi s s u ec a nb es u b j e c tt ot h ed y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s a tt h es a m et i m e ，t h ei m p u l s i v ep h e n o m e n aw i d e l ye x i s t si np r a c t i c a lp r o b l e m so f m a n yf i e l d si nm o d e mt e c h n o l o g y , s ot h es t u d yo fi m p u l s i v ed y n a m i cs y s t e m so nt i m e s c a l e sh a sg a i n e dv i t a lp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i e db a c k g r o u n d i nc h a p t e ro n e ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eb a s i cc o n c e p t so ft i m es c a l ec a l c u l u s s e c - o n d l y , w ee x p o u n dt h eb a s i ci d e a so fv a r i a t i o n a ll y a p u n o v f u n c t i o nm e t h o do nt i m es c a l e s w i t han e wr i g h tg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v eo nt i m es c a l e s ，a n dw ee s t a b l i s han e wc o m p a r i s o n t h e o r e mb ye m p l o y i n gt h i sv a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d a tl a s t ，b yu s i n gt h e c o m p a r i s o nt h e o r e m ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ep e r t u r b e dd y n a m i cs y s t e m s o i l t i m es c a l e s ( i ) ，a n dw eo b t a i ns o m er e s u l t s ，s u c ha s ( h o ，h ) - s t a b i l i t y , ( h o ，九) 一a s y m p t o t i c s t a b i l i t y , ( h o ，h ) - p r a c t i c a ls t a b i l i t y , ( h o ，h ) - e v e n t u a ls t a b i l i t ya n d s oo n a ne x a m p l ei s g i v e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m s i np a r t i c u l a r ，t h et h e o r e m si nt h i s c h a p t e ra r ea l lt h el o c a lt h e o r e m s i nc h a p t e rt w o ，b ye m p l o y i n gl y a p u n o vd i r e c tm e t h o d ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo f i m p u l s i v eh y b r i dd y n a m i cs y s t e m s ( i i i ) w i t han e wr i g h tg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v eo nt i m e s c a l e s ，a n dw ea l s oo b t a i ns o m er e s u l t s ，s u c ha s ( h o ，h ) - s t a b i l i t y , ( h o ，h ) - a s y m p t o t i c s t a b m t y , ( h o ，h ) - s t r i c ts t a b i l i t y , ( h o ，h ) - s t r i c ta s y m p t o t i cs t a b i l i t y a ne x a m p l e i sa l s o d i s c u s s e dt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m s i np a r t i c u l a r ，w ei m p o s ec o n d i t i o n s e v e r y w h e r eo nv ( t ，x ) i nt h i sc h a p t e r ，t h a ti s ，t h et h e o r e m si nt h i sc h a p t e r a r ea l lt h eg l o b a l t h e o r e m s k e y w o r d s ： t i m es c a l e s ； i m p u l s i v ep e r t u r b e dd y n a m i cs y s t e m s ； i m p u l s i v e h y b r i dd y n a m i cs y s t e m s ； v a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ； s t r i c ts t a b i l i t y 4 c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 靴黻作者躲船 聊粹 孤诲 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权羔鳖可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：夕参绪 导师签字： 维浮 签字日期2 。7 年归2 ，日签字日期2 0 0 7 年幼z 日 山东师范大学硕士学位论文 第一章变分l y a p u n o v 函数方法与时标上脉；中摄动动态系统 稳定性 1 1引言 德国数学家s t e f a nh i l g e r 在1 9 9 0 年发表了测度链( m e a s u r e c h a i n ) 分析一1 个连 续与离散计算统一方法【1 】 文中首次将连续和离散的系统统一起来，提出了测度链 及测度链上的微积分理论，此文发表后受到数学家的广泛关注l a k s h i m i k a n t h a m 等 人1 9 9 6 年出版著作1 2 】建立了测度链上动力方程的李雅普诺夫稳定性理论b o h n e r 和p e t e r s o n 系统分析了测度链上的动力方程的重要一类：时标上的动力方程【3 】，还 有评述文章 4 - s 时标理论作为测度链理论中特殊而重要的部分，具有相当广泛的理论探索空间 和实际应用意义一方面，时标理论在连续分析和离散分析之间架起了理论桥梁， 把微分方程和差分方程融合到统一理论框架里进行研究，有助于分析二者之间的异 同点；另一方面，有些数学模型在时标上建立更接近实际，还有些实际问题根本不 能单纯仅用微分方程或差分方程建模，如昆虫繁殖、某些植物生长过程等的数学模 型因此时标理论在实际应用领域中已崭露头角 同时，脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在物理学、生物学、医学等现代科技 领域里普遍存在，许多实际问题往往可以归结为脉冲微分系统，目前此方面的研究 已取得了丰硕的成果 6 - 1 1 】，但是对时标上脉冲动态系统的研究还较少，因此研究时 标上脉冲动态系统具有重要的理论意义和应用价值 关于时标上非线性动态方程初值问题解的存在性及唯性已有广泛讨论 1 2 - - 1 6 ， 近年来对时标上非线性脉冲动态方程初值问题解的存在性研究也已有了初步结果 【1 7 1 9 1 国内部分学者也对时标理论进行了进一步的研究，对时标上低阶或高阶动态方 程解的振动性、周期解、边值问题及鲁棒稳定性等的研究做了不少的工作1 2 0 - 2 3 1 ，但 关于稳定性的研究相对还很少 2 4 - - 2 8 ，特别是具有脉冲的动态系统稳定性的研究更 不多见【2 9 3 1 | 在实际问题建立动态方程的过程中，不可避免地要出现某些无法估计的微小干 扰力，这些干扰力在建立方程初期并未把它们计算在内，但它们却可以瞬时地起作 用，也可以持续地起作用前者要引起系统初始状态的变化，而后者将引起方程本 身的变化引起方程变化的干扰力称为摄动项，相应的动态方程为摄动动态方程 5 山东师范大学硕士学位论文 摄动项的出现必然会改进相应的非摄动系统解的一些性质，因而研究摄动系统解的 性质也是必要的而利用变分l y a p u n o v 函数方法建立的比较定理可以在非摄动方 程的解具有较弱性质下推知相应的摄动方程解的较强性质，具有很强的理论意义和 实际应用价值，所以许多学者已对此作了大量贡献 3 2 - 3 5 1 文献【2 4 】用变分l y a p u n o v 函数方法建立了一个比较原理，并利用该比较原理 研究了时标上动态系统的稳定性受此文献启发，本章利用变分l y a p u n o v 函数方法 将脉冲摄动动态系统与一般意义下的动态系统联系起来，研究了时标上脉冲摄动动 态系统的稳定性质，得到了其关于两个测度稳定性和渐近稳定性的一些判别准则， 最后给出了一个例子来验证定理的实用性特别需要指出的是本文中得到的结果均 为局部稳定性结果 1 2预备知识 考虑时标上脉冲摄动动态系统 ix a ( 亡) = ，( 亡，z ) ，t ( t k ，t k + 1 】，t 正 z ( 右砉) = z ( ) + 厶( z ( 如) ) ，k = 0 ，r ，2 ， ( ，) 【z ( t 手) = z o ，i o ( z o ) = 0 与系统( ，) 相对应的时标上的动态系统 p ) _ f ( 厶们口，( i x ) lv ( t o ) = z o ， 其中，( 厶z ) = f ( t ，z ) + r ( t ，z ) ，r ( t ，z ) 为摄动项，x a , 户表示z ( 亡) ，v ( t ) 在t 处的 导数，简记。( t 去) 圭z 吉，x ( t k ) 圭钆，并有如下假设： ( 1 ) o t o t 1 t 2 如 + 为脉冲时刻，t k t ，s u p t = c o ； ( 2 ) ，f ：t r n _ r 豇在( t k ，t k + 1 】上右稠密连续，l i m 。，( 艺，y ) = ，( t 者，z ) ， ( t ，耋，) 一( t 毒，盘) ” 厶c r n ，r n ； 关于时标上非线性动态方程初值问题解的存在性及唯性已有广泛讨论【1 2 1 6 l ， 近年来对时标上非线性脉冲动态方程初值问题解的存在性研究也已有了初步结果 【1 7 1 9 1 基于此，我们可以进一步假定，f 厶满足一定条件以保证系统( z ) ( z i ) 的解整 6 山东师范大学硕士学位论文 体存在唯一，并对所有的后，当( t k ，t k + 1 】时，系统( x ) ( i z ) 的解关于初值具有连 续依赖性，设z ( t ) = z ( 亡，t o ，z o ) ，可( t ) = y ( t ，t o ，x o ) 分别是系统( x ) ( z i ) 的任意饵 设p 是一个正实数，为简便起见，给出如下函数类： r = 庇：r + x 冗疗，在( ，t k 十l 】上连续，对任意的z r n ，七= 0 ，1 ，2 ， l i m 危 ，可) = 危( 亡去，z ) 存在且m f h ( t ，z ) = o 】； ( t ，们( ，】 k = 8 c r + ，r + 】：a ( u ) 关于缸严格递增且8 ( q ) = o ) ； c k = 口c ( r 车，耳】：对任意的t r + ，a ( t ，) ) ； s ( h ，p ) = ( 亡，z ) t r n ：h ( t ，z ) t ) ，p ( t ) = s u p s t ：s t ，则称t 是右发散的；若盯( t ) = t ，则称t 是右稠密的；若p ( t ) t ，则称t 是左发散的；若p ( t ) = t ，则称t 是左稠密的；若 p ( 舌) s ， l d + y ( s ，秒( 岛s ，z ( s ) ) ) 2 c l j l i m 。s u p 妻【y ( s + 瓦可( 亡，s + 正z + 6 ，( s ，z ) ) ) i 占。o + s 否i y 【s + d ，可【亡，s + o ，z + d 八s ，z ) j i - v ( s ，v ( t ，s ，z ( s ) ) 】，口( s ) = s 弓l 理1 2 1 【3 】若，g d ，口 b ，t t k ，贝! j ，i 矿( 亡) f ( - , - ) a 7 - = 肛( t ) ，( t ) 引理1 2 2 1 3 若，在t 点可微，则，p ( 亡) ) = f ( t ) + p ( 亡) 产( ) 引理1 2 3 f 3 】假定，g ：t 一冗在t t k 是可微的，则有 ( 1 ) ( ，9 ) ( 右) = ， ) 9 ( 亡) + f ( c r ( t ) ) g ( t ) = f ( t ) 9 2 x ( t ) + ，( ) 夕( 盯( 亡) ) ； ( 2 ) ( z 妙石) = x a y z + x a y 名+ x a y 口名； ( 3 ) ( ，2 ) = f h f + ，矿，= ( f + ，矿) ， 引理1 2 4 2 4 】假设f ( t ，可) 是非线性的，对任意的( t ，寥) t 舻，磴存在且右 稠密连续，则系统( ，) 的解y ( t ，t o ，x 0 ) 关于( t o ，x 0 ) 可微，有 j 鳐 ，t o ，x 0 ) = 一西0 ，t o ，x o ) f ( t o ，x o ) ，t t o ，t z 【蛾( ，t o ，x o ) = 西( t ，t o ，z o ) ， 这里圣( t ，t o ，x o ) 是变分方程 z = f p ( t ，y ( t ，t o ，z o ) ) z 的解，且圣( t o ，t o ，z o ) = i 下面我们主要利用上面的引理来阐述时标上脉冲摄动动态系统变分l y a p u n o v 函数方法的基本思想 在引理1 2 4 的条件下，令p ( s ) = 矽( t ，8 ，z ( s ) ) ，t o 5 t ，s ( t k ，t 七+ 1 】，占，t z 8 山东师范大学硕士学位论文 当s ，t k + 1 】时，由引理1 2 4 可得 p ( s ) = 斧 ，s ，z ( s ) ) + 分 ，s ，。( s ) ) ，( s ，。( s ) ) = 一诊( 柏z ( s ) ) 盹z ( s ) ) + 谚( 垤z ( s ) ) ，( s ，z ( s ) ) ( 1 2 1 ) = 谚( 亡，8 ，z ( s ) ) 【一f ( s ，z ( s ) ) + f ( s ，z ( s ) ) 】 = 谚( t ，s ，$ ( s ) ) r ( s ，写( s ) ) 将( 1 2 1 ) 式两边在时标t 上对s 从t o 到t 取积分，可得 尼p ( s ) a s = 璧p ( s ) 5 + 詹p ( s ) a s + + 庇，p ( s ) a s 十层p ( s ) a s = p ( t 1 ) 一p ( t o ) + p ( t 2 ) 一p ( 孟 ) + + p ( t ) 一- p ( t 去) = p ( 亡) 一p ( t o ) 一a p ( t k ) ， t 0 三“ t 从而尸( ) = p ( t o ) + 髭p ( s ) a s + 尸( 坟) t o t k t 由p ( s ) 的取法，令8 = t ，有 z ( t ) = 秒( 舌) + p ( s ) a s + a p ( t k ) ( 1 2 2 ) 。totkt 。若令p ( s ) = i l y ( t ，8 ，x ( s ) ) t 1 2 ，t o s t ，8 ，t z 也可有类似结论，此处从略 ：一般地，若令p ( s ) 一v ( s ，u ( t ，8 ，z ( s ) ) ) ，t os 8s t ，8 ，t t 其中v ：t 舻_ 冗+ ，在( ，t k + i 】j 扩上右稠密连续且其导数可积，并对每一 亿6 r n , ( 幼州l i r a ，。) v ( 圳= y ( 和) 当s ，t k + l 】时，由引理1 2 4 可得 p ( s ) = v ( s ，u ( t ，s ，z ) ) + v 诊( s ，y ( t ，s ，z ) ) ( y 争+ 箩舍f ( s ，z ( s ) ) = 睁8 ，u ( t ，s ，z ) ) + 睁( s ，u ( t ，s ，z ) ) ( 斧+ 谚( f ( s ，z ( s ) ) + r ( s ，z ( s ) ) = 1 ( s ，u ( t ，s ，z ) ) + v 笋( s ，u ( t ，s ，z ) ) 夥拿( s ，u ( t ，s ，z ) ) r ( s ，z ( s ) ) 将上式两边在时标t 上对8 从幻到t 取积分，令5 = t 有 v ( t ，秒( t ，s ，z ( s ) ) ) = y ( 硒，u ( t ，t o ，z o ) ) + ! p ( s ) s + a v ( t k ) ( 1 2 3 ) 。阳 幻 0 ，由引理1 3 1 有 l i ms u p r e ( t , s + 6 _ ；) - r e ( t 一, s ) 6 - - 。0 + 1 o 2 拦器s u p 吉【y ( s + 瓦! ，( t ，s + 正z ( s + 占) ) ) 一y ( s ，y ( t ，s ，z ( s ) ) ) 】 2 0 碧s u p 丢 矿( s + 正可( 亡，s + 6 ，z ( s + 占) ) ) 一y ( s + 正可( t ，s + 瓦z + 6 ，( s ，z ) ) + y ( s + 正秒( t ，8 + 正z + 6 ，( s ，z ) ) ) 一y ( s ，暑，( t ，8 ，z ( s ) ) ) 】 6 l 。i m 0 + s u p 去l li 暑，( t ，s + 占，z ( s + 6 ) ) 一y ( t , s + 正z + 占，( s ，z ) ) i + d + y ( s ，秒( t ，s ，z ) ) 2 骧s u p 軎l 1 l 2l 。( s + 艿) 一z 一6 f ( s , z ( s ) ) + d + y ( s ，矽 ，s ，z ) ) i = d + y ( s ，y ( t ，8 ，z ) ) g ( t ，s ，y ( s ，y ( t ，8 ，z ) ) ) ， 其中l 1 ，l 2 分别是v ( t ，z ) 和y ( t ，s ，z ) 关于z 的l i p s c h i t z 常数 综合两种情形，我们有 d + m ( 亡，s ) ) g ( t ，s ，m ( t ，s ) ) ，s t ，s t k 又m ( t ，t o ) = v ( t o ，可( t ，t o ，u o ) ) su o ， 从而当s ( t o ，t l 】时，由引理1 3 1 知 m ( t ，s ) r o ( t ，s ，t o ，咖) ，s ，t o s t l ， 其中r o ( t ，s ，t o ，u o ) 是仳( t ) = g ( t ，8 ，让) ，u o ( t o ) = u o 0 的最大解 特别地，当s = t l 时，有m ( t ，t 1 ) r o ( t ，t l ，t o ，u o ) 又因为妒l ( 乱) 关于u 单调不减，当s = 亡i - 时 m ( t ，舌 _ ) = v ( t t ，y ( t ，t j - ，z ( t ；- ) ) ) 妒1 ( y ( t 1 ，y ( t ，t z ，z ( t 1 ) ) ) ) = 妒l ( m ( z ，t 1 ) ) 圭u 同理可得 m ( t ，s ) r l ( t ，8 ，t ，u ) ，s t ，t l s t 2 ， 山东师范大学硕士学位论文 其中r l ( ，s ，t - ，牡 - ) 是萨( t ) = 9 ( s ，牡，o 1 ( 弘1 ) ) ，让1 ( 舌1 ) = u 的最大解 依次类推下去，当札 8 t k + l 时，有 m ( t ，s ) r k ( t ，s ，砖，砖) ，s t ，巩 s t k + l ， 其中r k ( t ，s ，t z ，砧) 是u a ( 亡) = g ( t ，s ，u ，吼( 钆j c ) ) ，u k ( t k ) = 让去的最大解 设 r ( 亡，s ，t o ，缸o ) = r o ( t ，5 ，t o ，伽) ， s t ，t o s t 1 ， r 1 ( 亡，s ，对，乱 ) ， s t ，t l s t 2 ， 住( 亡，5 ，舌+ ，时) ， 占t ，t k s + l ， 贝4 有y ( s ，2 ，( 右，s ，z ) ) r ( t ，s ，t o ，蝴) ，幻sss ，5 ，t t 令s = 亡，即得 v ( t ，z ( 亡，1 0 ，z o ) ) e ( t ，t o ，咖) ，t 之t o ，t t 证毕口 注1 3 1 在定理1 3 1 的条件下，若v ( t o ，矽( t ，t o ，z o ) ) = u o ，则定理1 3 1 的结论 变为 y ( t ，z ( 亡，t o ，z o ) ) e ( t ，t o ，v ( t o ，可( t ，t o ，o o ) ) ) ，t t o ，t z 此式将系统( r ) ( i i ) 的解通过比较系统( ，) 的最大解联系起来，是变分l y a p u n o v 方- 法的关键所在 推论1 3 1 若假设g ( t ，8 ， ) 兰0 ，u o = v ( t o ，u ( t ，t o ，知) ) ，且对所有的k n + ，饥( t ) = 乱均成立，则有 y ( t ，z ( t ，t o ，z o ) ) v ( t o ，u ( t ，t o ，。o ) ) ，t t o ，t t 推论1 3 2 若假设系统( ，) 中f ( t ，y ) 兰0 ，则u ( t ，t o ，x 0 ) 三x 0 ，y ( t ，s ，z ( s ) ) = x ( s ，t o ，x o ) ，此时定理1 3 1 即为一般意义下l y a p u n o v 函数的比较原理，所以此结果 更具一般性 时标上脉冲摄动动态系统关于两个测度的稳定性 本节利用前述的比较原理来研究时标上非线性脉冲摄动动态系统( ，) 关于两个 测度的稳定性，得到了若干充分条件，并在本节最后给出了一个例子来验证定理的 1 2 山东师范大学硕士学位论文 实用性特别需要指出的是，本节给出的均为局部性结果 定理1 4 1 假设函数v v o ，且满足以下条件 ( i ) h o ，h i ，h r ，h o 比h 好，h i ( t ，z ) 关于t 单调不减； ( i i ) v ( t ，z ) 在s ( h ，p ) 上是危一正定，h i - 弱渐小的； ( i i i ) u ( t ，s ，z ) 对每个( t ，s ) 关于z 满足局部l i p s c h i t z 条件，对任意的七= 0 ，1 ，2 ， d + v ( s ，u ( t ，s ，z ) ) g ( t ，s ，v ( s ，耖( t ，s ，z ) ) ) ，s t ，s t k ，( s ，z ) s ( h ，p ) ； ( i v ) v ( 8 ，爹( t ，s ，名+ & ) ) ) 墨移凳( y ( s ，爹( t ，s ，2 ) ) ) ，s = t e j c ； ( v ) 存在0 p o p 1 p ，使得 h ( t l c ，z ) p o 号危( 者，z + 死( z ) ) p l ， h ( t ，茁) p 1 = 争九( 盯 ) ，z ( 口 ) ) ) 0 ，使得 危( t ，z ) p 鲥( 危( t ，。) ) sy ( t ，z ) ， ( 1 4 1 i ) h l ( t ，z ) 五号y ( 右，z ) a ( t ，h l ( t ，z ) ) 任给0 e o ( 扩 6 ( 5 ) ) ，使得当l v 4 ) i 扩时，有 i 也( 乞t o ，铷) 0 ，使得当 h o ( t o ，x o ) 如时，有 h i ( t ，y ( ) ) r l ，t o ，t t ，( 1 4 1 3 ) 其中剪( t ) = 可 ，t o ，z o ) 为系统( i ，) 的满足( t o ，o ) 而的任一解 又由条件( i ) 知，刍如= h ( t o ，) ，及妒c k ，使得当( t o ，z o ) 如时，有h ( t ，z ) 妒( t ，h o ( t ，z ) ) 且q o ( t o ，露3 ) p 1 3 山东师范大学硕士学位论文 取5 = m i n 5 2 ，如) ，则当h o ( t ，z ) 占时，由( 1 4 1 1 ) ( 1 4 1 2 ) 式有 b ( h ( t o ，z o ) ) v ( t o ，x o ) a ( t o ，h i ( t o ，x o ) ) sa ( t o ，刀) j + 6 ( e ) ， 即h ( t o ，x o ) e 下证当h o ( t ，z ) 6 时，有 h ( t ，刀( t ) ) t t o ，t t ( 1 4 1 4 ) 若不然，则存在系统( j ) 的一个解z ( 亡) = 茁( 亡，t o ，x o ) 及t ：t k t t k + l ，使得 h ( t 宰，z ( 亡+ ) ) ，h ( t ，z ( 亡) ) ，t t o ，t 七】，t t ( 1 4 1 5 ) 又0 p o ，由条件( v ) 知： 危( 砖，z ( 去) ) p 1 下证必j f ：t k 吾矿，丢t 使得 墨 ( 云z ( 习) p ，h ( t ，z ( 亡) ) s 时，反证法来证( 1 4 1 6 ) 式成立若( 1 4 1 6 ) 式 不成立，又因为危( t 者，z ( 亡吉) ) g p l ( 若 h ( q ，z ( 砖) ) p l ，取丢= 砝即可j ，则必 不存在时标t 上点t 满足s 九( 丢，( 幻) j 口 即3 t ( 1 ) ，t ( 2 ) ( t 知，州，且t ( 2 ) = 矿( t ( 1 ) ) ，亡( ，t ( 2 ) z 满足 九( t ( ，z ( 舌( 1 ) ) ) e ， 这与条件( 口) 中第二式矛盾，故( 1 4 6 ) 式成立 综合两种情形知：( 1 4 1 6 ) 式成立 由条件( i i i ) ( i v ) 及定理1 3 1 知 v ( t ，。( t ) ) e ( t ，t o ，u o ) ，t t o ，习，t t ， ( 1 4 1 7 ) 其中e ( t ，t o , u o ) 是系统( j ) 在t = s 时经过( t o ，u o ) 的最大解 由条件( i ) h 1 ( t ，z ) 关于t 单调不减及( 1 4 1 1 ) ( 1 4 1 3 ) 式知 l u o = v ( t o ，v ( t ，t o ，x o ) ) a ( t o ，u 1 ( t o ，可( 亡) ) ) a ( t o ，h l ( t ，可