（运筹学与控制论专业论文）带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文以甘油为底物、采用微生物歧化方法生产王，3 - 丙二醇的连续发酵为背景，根据 发酵过程中的振荡现象与生物意义，在模型中分别引入了离散时滞和连续时滞，建立了 菲线性时滞微分动力系统，运用h o p f 分叉理论讨论了模型的振荡行为。本课题受到蓍 家“十五”科技攻关计划项目“发酵工程生产l ，丙二醇”( 编号为2 0 0 1 b a 7 0 8 8 0 1 - 0 4 ) 和国家高技术研究发展计划( 8 6 3 计触) “生物柴油与l ，3 _ 丙二醇的联产工艺”( 编号为 2 0 0 诌a 0 2 2 2 0 8 ) 的资助。此顼研究为实现王，丙二醇的产业仡生产提供理论指导， 因此，该项目研究具有重要的理论意义与应用价值本论文的主要工作如下； 1 以往的文献大多是研究单底物单产物的三维理想模型，而实际连续发酵过程中， 产物不止一个本文考虑产物乙酸和乙醇对微生物生长的抑制作用，讨论五维系 统的稳定性。根据生物意义，在系统中弓l 入离散时滞，建立了五维嚣线性离散时 滞动力系统，以时滞为参数，讨论了时滞对系统的正平衡点渐近稳定性的影响及 h o p f 分叉的存在性并且在稀释速率恒定条件下，数值模拟了分叉值和周赣随进 犍浓度变化的曲线，以及固定某一进料浓度，模拟了分叉的周期解与相隧。最后 讨论了模型的过渡行为 2 在上述五维模型中引入弱核连续时滞，以平均时滞的倒数为参数，讨论了平均时 滞对系统正平衡点的局部稳定性的影响运用h o p f 分叉刿据，给出了存在h o p f 分叉的操作参数区域，运用m a t l a b 数值模拟了分叉的周期解及相图最后讨论 了模型的过渡行为 关键词；微生物连续发酵；多态；时滞；h o p f 分又；稳定性；周期解。 i 大连理工大学硕士学位论文 a n a l y s i sa n ds i m u l a t i o no fm o d e li nm i c r o b i a lc o n t i n u o u s c u l t u r ew i t ht i m ed e l a y a b s t r a c t o u rm a i nw o r ki ss e ti nt h ea n a e r o b i cc o n t i n u o u sf e r m e n t a t i o no fg l y c e r o lb yk l e b s i e l l at o p r o d u c e1 3 - p d o nt h eb a s eo ft h eo s c f l l a t i o n si nt h ep r o c e s so ft h ea n a e r o b i cc o n t i n u o u s f e r m e n t a t i o na n db i o l o g i c a ls i g n i f i c a n c e ，w ei n t r o d u c et i m ed e l a yt ot h em o d e la n db u i l d an o n l i n e a rd e l a yd y n a m i cm o d e l 。w ed i s c u s st h eo s c i l l a t o r yd y n a m i cb e h a v i o ro ft h e m o d e lu s i n gh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r y t 地w o r kw a ss u p p o r t e db yt h et e n t h5y e a r s p r o j e c t so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ya d m i n i s t r a t i o no fc h i n a m i c r o b i a lp r o d u c t i o no f 1 ，3 - p r o p a n e d i o l ( n o 。2 0 0 1 b a 7 0 8 8 0 l 一0 4 ) a n dt h en a t i o n a lh i g ht e c h n o l o g yr e s e a r c h a n d d e v e l o p m e n tp r o g r a mo fc h i n a ( 8 6 3p r o g r a m ) ”b i o d i e s e la n d1 3 - p r o p a n e d i o ti n t e g r a t e d p r o d u c t i o n f n o 。2 0 0 7 a a 0 2 2 2 0 8 ) t h em a i nr e s u l t sc a np r o v i d ec e r t a i nr e f e r e n c ef o r i n d u s t r i a l i z a t i o no f1 ，3 - p r o p a n e d i o lp r o d u c t i o nb yf e r m e n t a t i o n s ot h i ss t u d yi sv e r y i n t e r e s t i n gi nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c e 。 i i i h em a i nr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o nm a yb e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 。t h e r ea r em a n yr e s e a r c h e sb a s e do nt h r e e - d i m e n s i o nd y n a m i cm o d e lg r o u n do nt h e s y s t e mo fs i n g l es u b s t r a t ea n ds i n g l ep r o d u c t h o w e v e r ，s o m eo t h e rp r o d u c t sa l s o t a k ee f f e c to nt h ef e r m e n t a t i o np r o c e s s 。c o n s i d e r i n gt h ee f f e c to ft h eo t h e rt w op r o d - u c t s ( a c e t i ca c i da n de t h a n 0 1 ) w ed i s c u s st h es t a b i l i t v0 f 如ef i v e - d i m e n s i o nn o n l i n e a r d y n a m i cs y s t e mp r o p o s e db yz e n ga n p i n ge ta 1 a c c o r d i n gt ot h eb i o l o g i c a ls i g n i f i - c a n c e ，w ei n t r o d u c ed i s c r e t ed e l a yt ot h em o d e l 。o nt h eo n eh a n d ，t h ee f f e c to ft i m e d e l a yt ot h es t a b i l i t yo ft h ee q u l i b r i u m ( s ) a n dt h ee x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o na r e d i s c u s s e di nt h e o r y o nt h eo t h e rh a n d ，f o rag i v e nd i l u t i o nr a t e ，w eo b t a i nt h ef i g u r e s o ft h ec r i t i c a lv a l u e sa n dt h eo s c i l l a t o r yp e r i o d sv a r i e dw i t hs u b s t r a t ec o n c e n t r a t i o n i nf e e dm i d i u m m o r e o v e r ，u n d e rag i v e ns u b s t r a t ec o n c e n t r a j t i o ni nf e e dm i d i u i n ，w e o b t a i nt h ef i g u r e so ft h eo s c i l l a t i o n sa n dp h a s e s 。 2 。c o n t i n u o u sd e l a yi si n t r o d u c ei n t ot h ef i v e - d i m e n s i o nm o d e l u n d e rt h i sm o d e l ，w e d i s c u s st h ee f f e c to ft i m ed e l a yt ot h es t a b i l i t yo ft h ee q u l i b r i u m ( s ) a n dt h ec o n d i t i o n s t h a td e c i d et h ee x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o n i na d d i t i o n ，w eo b t a i nt h ef i g u r e so f i i i 带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟 o s c i l l a t i o n sa n dt h ep h a s e sa n dd e s c r i b et r a n s i t i o nq u a l i t a t i v e l y k e yw o r d s ：m i c r o b i a lc o n t i n u o u sc u l t u r e ；m u l t i p l i c i t y ；t i m ed e l a y ；h o p fb i f u r c a t i o n ； s t a b i l i t y ；p e r i o ds o l u t i o n i v 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：壹逸! 圭日期：丝墨：翌至：! z 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定。，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文 作者签名； 导师签名： 盔池壹 大连理工大学矮学位论文 l 绪论 非线性问题是当今皇然科学基础理论研究的重大课题之一，也是生物化学反应中 普遍存在的问题，同时也是远远没有解决的问题在生物科学迅速发展的今天。非线 性理论中的分叉，湍流，孤立子以及非线性相互作用等等的研究，已经与生物学研究 摆结合，在一些重要生物学闻题的探索中越到了积极的作魔并获得了巨大约进展由 于细胞结构的复杂性，生物系统内部存在复杂的非线性现象，生物系统的研究势必促 进相关非线性科学的发展 1 1 非线性时滞微分方程的研究意义 科学与工程技术研究审包括数字电路，生态、生物学、神经网络，物理学与信息 技术，机械学、航空航天，经济等领域中大量的动力系统都存在时间滞后现象，其系 统的变化不仅依赖于当前状态，也依赖于系统在过去某一时刻或过去某一时间段的状 态，这类动力系统称作时滞动力系统，描述这类系统的数学模型是时游微分方程，也 可在更一般的数学框架一泛函微分方程之下加以研究阢a ，b 】和无时滞系统相比， 时滞系统的动力学行为更事富、更复杂。创单变量的一阶非线性时滞动力系统都可能 发生混沌等复杂的动力学行为，等等。 导致系统产生时滞的原因很多，系统状态的测量、物理和化学性质、信号处理与 传输、能量损耗与外界阻力等都会使系统产生时滞l 门。实际上，几乎所有的受控系 统、人机交互作用系统、社会与经济环境系统等都存在一定程度的时滞效应在某些 情况下，由于略去滞量不改变动力系统解的性态，入们常常忽略时滞的影响，得到了 足够满意的研究结果。但在大多数情况下，时滞的影响是不可忽略的【l i4 ，铷。例如， 大量的低阶( 单变量、一阶) 数字电路会发生分翁、混沌等复杂现象，如果用常微分 方程来描述，就无法得到这些结果，丽单变量的一阶非线性时滞动力系统戴可以预溅 这些现象因此，在分析动力系统行为时，通常必须充分考虑时滞对系统的影响。 时滞常常导致系统失稳，因此在控制界，有大量的研究就是采取适当的控制策略 来消除时潞的影响。冤一方面，我们可以适当的利用时滞来控捌动力系统的行为或改 善它的性能时滞反馈控制就是控制动力系统混沌的主要方法之一m 上u 】，还可以 和用时滞反馈控制改善周期解的稳定性阎等等实际生活中这样的具体闻题也有很 多，例如：在种群动力学中，我们可以根据时滞的影响更全恧的研究该种群的特性， 以尽可能地控制不同种群的繁衍和发展 1 l ，1 2 ，l 询；在传染病动力学中寻找使疾病消 失的临界值，以达到治愈该疾病酶墨懿l 土雩。 融上世纪六十年代以来，时滞系统已逐渐成为国内外的研究热点，并取得了许多 重要进展f i ，4 ，a ，门人们最关心的中心问题是t 这些时滞会导致什么样的复杂动力 1 带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟 学? 时滞如何影响系统的动力学行为? 如何利用时滞来控制或改善系统的动力学行 为? 1 2 非线性时滞微分方程的研究状况简介 与用映射和微分方程所描述的动力系统相比，时滞微分方程有其明显的特点： 一方面，初值空间是全体连续函数泛函空间，以往的微分方程理论已经不适用另方 面，由于时滞的出现，系统在平衡点附近的线性近似系统的特征方程就由一般的有限 次多项式代数方程变为超越方程，特征根也由有限个变为无限多个，解空间也成为无 限维。时滞微分方程的特点使得对时滞动力系统研究难度大大增加，以往工程界通常 采用忽略时滞的影响来简化问题，从2 0 世纪9 0 年代起，国内外工程界和学术界开始 更加关注对时滞系统的研究 与常微分的研究相同，人们研究微分方程的着重点在于研究其解的动力学性质 例如时滞微分方程的解的存在性、唯一性条件、解的有界性、振荡性、平衡解及其稳 定性、周期解及其稳定性等等对一些有特殊要求的系统，如生态系统等，还研究解 的非负性、有界性等 理论上，时滞微分方程的研究主要沿两条主线：一条是将常微分方程的研究方法 平行地移到时滞微分方程上如建立了时滞微分方程解的存在唯一性定理【上，0 1 、判断 平衡解的稳定性的特征值法【z ，j ，明和l y a p u n o v 方法p ，b 】；运用泛函方法研究了分 叉存在性定理、周期解的分叉方向和稳定性的判定等等由于时滞微分方程的解空间 是无穷维的，因此这些理论都是在函数空间上建立的在函数空间中，它们有与常微 分方程极为相似的性质另一条是利用临界点理论，不动点理论和拓扑度理论研究时 滞动力系统的周期解的存在性和唯一性及利用重合度理论研究多重周期解的存在性 目前在非线性时滞动力系统的分岔中，讨论得最多的是h o p f 分岔它与人们普 遍关心的非平衡非线性系统中发生的各种时一空有序现象，尤其周期性的时间振荡现 象是紧密相关的已有的工作中大多是针对一维系统或单自由度系统来进行的对于含 参数的非线性时滞动力系统，要给出分岔存在的条件常常非常困难要得到系统的分 岔方程，则一般需借助于计算机代数，对于多时滞动力系统更是如此关于h o p f 分叉 的一般理论和应用，国内外已有不少专著论述【l o ，“，上苎，圳 1 3 非线性时滞微分方程在微生物连续培养中的应用 微生物连续培养过程通常可以用所谓恒化器( c h e m o s t a t ) 的实验装置来描述r z o 恒化器是生态研究中应用比较广泛的一种实验装置，文献【2 1 】最早提出并开始研究这 类模型，它具有广泛的实际生态意义，可以模拟开放水域中浮游生物的生长规律恒 化器在生物发酵工程方面也起着重要的作用，如通过改变基因研制生物产品，通过甘 油岐化生产l ，孓丙二醇等由于恒化器是一种理想化的装置，相关参数可以通过实验 测得，而且数学模型的研究得到了与实验结果一致的结论，因此，微生物连续培养数 2 大连理工大学醭士学位论文 学模型的研究，吸引了许多生态学家，工程技术人员和数学工作者，是目前国内外比 较活跃的研究课题之一。人们对模型进行各种各样的改进：j 曩推广，以使其更逼真的描 述自然现象比如引进时滞，建立了时滞微分方程模型 众所周知，时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响理论生态学家们普遍 认为在粹群的相互作用中，时滞是不可避免的，并且较长的时滞会破坏系统平衡位置 的稳定性i 烈，趵】一些不稳定的现象，如平衡位置的不稳定性和周期波动都可以被解 释为在模型中射入了时滞所产生的后果时滞可分为离散时滞和分布时滞两种，第一 个将离散时滞引入恒化器模型的是文献f 2 6 】，其目的是为研究恒化器中一种酵母的持 久振荡。文献f 2 7 】的模型即包含了离散时滞也包含了分布时滞，其研究目的是恒化器 中种群灼鄂时振动在恒化器模型中弓l 入的时滞一般是用来描述种群戆妊娠期和生长 期，如文献f 2 8 ，2 9 ，3 0 ；另类含有时滞的恒化器模型为具有养分再生的模型，如文 献f 3 l j ，这类模型一般以分布时滞作为养分循环项 在微生物连续培养过程中经常会观察到振荡现象，在实际的鑫然环境中，根据生 物意义通过在已有模型中引入时滞来解释其中的振荡现象通常出现时滞的可能性有 两种：一种燕微生物储存底物泼备看用；另一种是微生物从消化到细胞分裂需要时阉 c a p e s o n ( 1 9 6 9 ) 首先将第一类型的时滞引入模型b u s h 和c o o k ( 1 9 7 5 ) 改进了c a p e s o n 的模型，且将时滞解释为是从消耗到增长的时滞t h i n g s t a d 和l a n g e l a n d ( 1 9 7 4 ) ，b u s h 和c o o k ( 1 9 7 5 ) 考察了单种群微生物的带时滞的恒化器模型，都得到了解的局部稳定 性和周期解的存在性f r e e d m a n 和删t m a n 等( 1 9 8 9 ) 在两种微生物的竞争模型中引 入时滞，得剜了正餍期解w o l k o w i c z 和x i a ( 1 9 9 7 ) 考察了更一般的多种群微生物的 竞争模型，结果显示竞争排斥原理依然成立。k u a n g 在文阁中对时滞在种群动力系 统中的应用作了系统的介绍这些模型大多是建立在l o g i s t i c 模型、l o t k a - v o l t e r r a 模 型或m o n o d 模型基础上，使得从理论上分折成为可能。上述文章主要应用l y a p u n o v 函数( 泛函) 、h o p f 分叉理论、微分方程比较原理、各种不动点定理及其推广等分析 方法研究模型 1 4 分叉理论与应用 非线性化学动力学的发展较非线性生化反应动力学要丰富的多。对化学反应器 c s t r 中分叉行为、多重定态结构、周期振荡及确定性混沌行为的研究方法及结果可 为非线性生化反应的研究提供许多有益的启示 ( 1 ) 分叉理论与生化反应动力学分析 分叉理论是非线性动力学分析的重要基础理论方法受速率方程控涮的非线性生 化反应是确定性动力系统，除了系统变量如底物，产物外，还包含若于参数，如反应 物初始浓度和反应物流动体积速率等。警这些参数变化到一定值时，系统的动力学类 型发生变化，这魏现象称为分叉。分叉的结果使生佬反应中出现多稳态、振荡帮混沌 现象间的转化分叉理论近几十年来取得了很大进展瞄胡，分叉的具体类型很多，如 3 带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟 鞍结分叉、叉型分叉、跨临界分叉、h o p f 分叉、同宿轨道分叉、异宿轨道分叉和极限 环分叉等重视分叉研究的重要原因是分叉导致混沌，所谓混沌是确定性系统产生的 一种对初值敏感和不可长期预测的运动目前研究认为耗散系统的运动可以通过倍周 期分叉、间歇过渡、二次h o p f 分叉及同宿异宿轨道分叉走向混沌 尽管分叉理论尚处于发展阶段，但是它对非线性化学动力学研究产生重要推动作 用首先，通过对生化反应模型的分叉分析【5 叫，可在理论上预言和验证实验中出现 的非线性现象其次，为反应器的设计、操作和控制提供重要的理论依据，同时可以 提高反应器中生物化学反应的强度和转化率，降低排放污染【4 4 】最后，可用来验证 反应机理【醒，的】，因为可通过理论与实验的分叉图以及相图进行对比来得知反应机 理是否提得正确，同时在拟合反应速率常数时往往可以不必积分速率方程，而代之以 利用在分叉点的浓度值等作些代数运算即可 ( 2 ) 分叉问题的计算方法 分叉问题中，为深入分析非线性动力系统的拓扑结构和稳定性的变化规律，必须 使用现代化的数学方法和计算手段目前研究分叉的主要方法有奇异性理论、p b 范 式方法，摄动法、后继函数法和胞映射法等奇异性理论最初是1 9 7 0 年前后由r t h o r n 以突变理论的形式提出的7 0 年代末以来m g o l u b i t s k y 等人的工作系统的丰富和发 展了分叉理论中的奇异性理论方法在静态分叉问题中，奇异性理论严格地解决了。有 限确定性”问题，从而静态分叉可用比较简单的d g s c h a e f f e r 范式进行识别和分类 在上述理论方法中，除摄动法可得定量结果、胞映射法可得数值结果外，其它方法都 属于定性研究一般说来，由于非线性问题的复杂性，理论分析往往难以进行，因此 直接进行计算和模拟就非常重要目前计算对于非线性问题的研究起到了重大的推进 作用分叉的数值计算包括稳定性条件的判别、分叉值的确定和分叉解的延拓，以及 把分叉问题的解转化为代数方程求解在分叉方面主要用到的有延拓算法，打靶法以 及非线性方程组的求解现在已经有了一批有效的算法和软件f 础，；j r j , 副】其中 3 7 】 可以用来分析时滞微分方程的分叉问题，它们已经被广泛的应用于非线性模型的分析 3 8 ，3 9 1 1 5 本论文研究的背景知识简介 1 5 1 微生物发酵过程简介 微生物发酵法是基因调节系统中的一类问题，有间歇发酵、连续发酵和批示流加 发酵三种发酵方式间歇发酵就是把一定量的微生物菌种和一定浓度的底物放在同一 发酵罐中搅拌均匀之后进行培养，并给予微生物生长所必需的条件，如供氧，适宜的温 度，适当的p 日环境等，经过微生物的自催化作用和培养基的代谢产生产物微生物 的间歇培养中，底物的浓度逐渐减少，直到用尽为止( 当时间t 趋于正无穷大时，底物 的浓度会趋于0 ) 间歇发酵操作简单，可以得到较高产物浓度，但生产强度较低，实 4 大连理正大学磺士学位论文 际生产中很少直接采用，一般是作为连续和批式流加培养的基础连续发酵是指在一 个盛有经过闻歇发酵的微生物和底物盼发酵罐申，一方面以一定速率注入具有一定初 始浓度的底物，另一方面以同样的速率从发酵罐中取出经过发酵反应的微生物、底物 ：；霹产物的混合物，整个过程串发酵罐牵发酵液的体积保持不变经过一段时闻以后， 发酵系统达到平衡态。连续发酵使微生物培养过程连续化适合大规模生产。在连续发 酵过程中产物的生产强度较高，但是浓度却较低针对此闻题，有学者提出了批式流 加发酵。与连续发酵糨似，批式流趣发酵始予闻歇发酵，但与连续发酵中将底物连续 加入到发酵罐中不同，批式流加是分批次地向发酵罐中添加底物，且在整个过程中不 会从发酵罐中取出任何物质，因此随着添加底物次数的增加，发酵罐内发酵液的体积 会越来越多。批式流加发酵兼顾了产物的生产强度及产物的浓度，具有一定的实际意 义 1 5 2 微生物发酵法生产l ，3 一p d 的发展 l ，3 - 两二醇是一种重要的化工原料，作为一种有枧化会物被广泛地应曩子化妆 品、食品、药品、抗冻剂、保护剂等早在1 8 8 1 年，就有关予将甘油转化为1 ，3 - 丙二醇 的描述，但当时并没有弓| 起入稍太多酶关注，直弼一个世纪后逐渐发瑗由王，孓丙二醇 和另一种化工原料合成的聚酯具有许多优良的特性而使其成为人们研究的一个热点。 目前，生产l ，孓丙二醇的方法主要是化学合成法，该方法需要在高温高压和重金属银 作为催化剂的条件下进行，产燕除王，孓丙= 醇外还有其他性质耀似的剐产菇，这些使 得生产中产品分离、纯化较困难，生产成本相应较高，而且操作条件恶劣，因此人们 试图寻求一种新方法来彳弋替化学合成法。予是曹漓歧化生产王，孓丙二醇的方法一经提 出便引起了广泛关注，它是以生物技术为特征的。绿色工业”，与化学合成法提比， 具有条件温和、操作简便，副产物少、可利用再生资源和不污染环境等优点，这些为 l ，冬器二醇的产业化生产提供了广阕斡前景，因此也受到许多跨国公霭和研究机构的 青睐，其中包括美国的d up o n t ，荷兰的s h e u ，德国的d e g u s s a 和德圜国家生物技术 中心( g b f ) 丽我国应用微生物发酵法生产1 , 3 - p d 的研究仅处于实验室阶段，没有 生产厂家。因此要实现微生物法向工业化的过渡，需要实现系统的可控性，以尽可能 高的生产强度、甘油转化率进行工业化生产，降低生产成本 德国量家生物技术中心f g b f ) 已在这方面工作孛取得了根大进展眇嗣实验中出 现了复杂的非线性现象，如多稳态和持续振荡，很难用现有理论鳃释。曾安平博士和 d e c k w e r 教授研究发现微生物转化甘油的连续发酵过程在特定条件下具有滞后和振荡 簿特性洚，1 。修悫龙教授在( g b f ) 访闻期阆与曾安平等人进行合作，参与了微生物法 生产1 ，3 丙二醇的研究工作，回国后，修志龙教授继续从事这一方面的研究。并取得 大量的研究成果冷土，5 z ，凇2 0 0 3 年，修志龙教授与清华大学联合申请了。十五”科技 攻关计划项目。发酵工程生产l ，参丙二醇”，对发酵法生产l ，3 丙二醇的反映机理进行 了一系列研究，包括连续发酵的多稳态分析、数值模拟、过程优化及培养基初始浓度 5 带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟 对产物最终浓度及生产强度的影响等i 鸲，的，b b ，b 酬1 9 9 5 年曾安平博士和d e c k w e r 教授提出了过量动力学模型p 门，修改后的模型定性地描述了实验中的多态现象，但 不能解释其中的持续振荡。后来，修志龙教授进一步修正该模型p 硎，仍然不能解释 其中的振荡现象 为进一步揭示微生物连续培养过程的非线性现象，如多态、振荡和混沌，孙丽华 等讨论了在三维简化模型中引入时滞，发现系统存在h o p f 分叉，根据分析和计算， 得到了h o p f 分支的分叉值及其随操作参数的变化规律，并利用时滞微分方程的数值 解法绘制了周期解和相图，其结果表明该模型能定性地描述实验中出现的振荡现象 ； 5 9 ，6 0 ，6 1 ，6 2 l 1 6 本文的主要工作 本文以甘油为底物、采用微生物歧化方法生产1 ，3 - 丙二醇的连续发酵为背景，根据 发酵过程中的振荡现象与生物意义，在模型中分别引入了离散时滞和连续时滞，建立了 非线性时滞微分动力系统，运用h o p f 分叉理论讨论了模型的振荡行为本课题受到国 家“十五”科技攻关计划项目。发酵工程生产1 ，孓丙二醇”( 编号为2 0 0 1 b a 7 0 8 8 0 1 0 4 ) 和国家高技术研究发展计划( 8 6 3 计划) “生物柴油与1 ，3 - 丙二醇的联产工艺”( 编号为 2 0 0 7 a a 0 2 2 2 0 8 ) 的资助此项研究为实现1 ，孓丙二醇的产业化生产提供理论指导， 因此，该项目研究具有重要的理论意义与应用价值本论文的主要工作如下： 1 以往的文献大多是研究单底物单产物的三维理想模型，而实际连续发酵过程中， 产物不止一个本文考虑产物乙酸和已醇对微生物生长的抑制作用，讨论五维系 统的稳定性根据生物意义，在系统中引入离散时滞，建立了五维非线性离散时 滞动力系统，以时滞为参数，讨论了时滞对系统的正平衡点局部稳定性的影响及 h o p f 分叉的存在性并且在稀释速率恒定条件下，数值模拟了分叉值和周期随进 料浓度变化的曲线以及固定某一操作条件，模拟了分叉的周期解与相图最后讨 论了模型的过渡行为 2 在上述五维模型中引入弱核连续时滞，以平均时滞的倒数为参数，讨论了平均时 滞对系统正平衡点的局部稳定性的影响运用h o p f 分叉判据，给出了存在h o p f 分叉的操作参数区域，运用m a t l a b 数值模拟了分叉的周期解及相图最后讨论 了模型的过渡行为 6 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 从生物化工意义上讲，建立和求解数学模型的过程也就是用数学语言来表达生化 反应过程中各个变量之间关系并描述实验现象，从而帮助从们搞清反应机理的过程， 而其目的就是指导实验进而指导实际生产为更好地理解反应机制，以便控制反应过 程，本文在已有工作的基础上，通过在五维模型中引入时滞对实验过程中的非线性行 为进行定性的描述，对产生振荡现象的机理做进一步的研究为了以下各章节讨论方 便，下面先简单介绍本文将要用到的一些数学和生物化工的基本概念及基础知识 2 1 微分方程相关概念 2 1 1 自治系统与非自治系统 给定一个微分方程组 一m i t b 1 d = ，( t ，z ) ，：g = ( o ，b ) d 冬r 舻一彤 ( 1 1 ) 我们把它看成是一个运动系统的数学描述，把t 理解为时间，z 理解为相空间彤内 动点的坐标，那么，微分方程组( 1 1 ) 就在相空间舻的域内确定了一个向量场( 速度 场) 如果，不显含t ，这时微分方程组 面d x = ，( z ) ，：dc _ r 舻一形 ( 1 2 ) 在相空间毋的域d 内所确定的向量场不随时间t 而改变，它是稳定场( 定常场) 相应的方程组称为定常系统或自治系统；而把描述时变场( 非定常场) 的微分方程组 ( 1 1 ) 称为非定常系统或非自治系统，也称为时变系统 以下我们均假设方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的右侧函数连续，且满足适当的条件以保证初 值问题解的存在唯一性本文研究的是自治系统 2 1 2 非线性系统的平衡点及其稳定性 定义2 1 若存在矿d 使f ( x ) = 0 ，则矿称为系统( 1 2 ) 的一个平衡点，也称为此系 统的一个奇点 对于自治系统，人们通常最为关注的是它的常数解的稳定性，即平衡点的稳定性 以下我们仅讨论这种情形 对自治系统任一常数解的研究，都可以化为对相应自治系统零解的研究。事实上， 设z = 矿是自治系统( 1 2 ) 的任一常数解作变换 箩= z z 7 带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟 则系统( 1 2 ) 变为 d y 坍= ，( 可+ 矿) 兰f ( y ) ( 1 3 ) 而系统( 1 2 ) 的解z = 矿，对应于( 1 3 ) 的解y = 0 因此，研究系统( 1 2 ) 任一常数解z = 矿的稳定性等价于系统( 1 3 ) 零解的稳定 性 定义2 2 设z ( 幺t o ，x o ) 是系统( 1 2 ) 适合初值条件x ( t o ) = x o 的解 ( 1 ) 对于垤 0 ，只要l i x o l i 6 ，对一切t t o 恒有 z ( ；t o ，x o ) i | 0 ，只要i i x o l l 0 都3x 0 与t 1 t o ，使i i x o l l 5 0 ， 则称z = 0 是不稳定的 定义2 3 考虑自治系统 。肿 等= ，( z ) ，厂c 1 ( d ) ，d 舻 议j f ( 0 ) = 0 ，把，在z = 0 处用带碉。p e a n o 余坝的t a y l o r 公式展开，得 譬：止+ d ( 亡) ，一= 一z 十i r i 出。 其中，a = ( 笋) 为一常数矩阵，p ( z ) 适合条件 l i r a t l = l t - o 科i x t _ o 1i 线性系统 譬：a x ( 1 4 ) d 亡 、一7 称为系统( 1 2 ) 的线性近似系统 定理2 1 ( 1 ) 若( 1 4 ) 中矩阵a 的全部特征值都具有负实部，则系统( 1 2 ) 的零解是渐 大连理工大学硕士学位论文 近稳定的； ( 2 ) 若矩阵a 的特征值至少有一个具有正实部，则系统( 1 2 ) 的零解是不稳定的 定理2 2 ( h u r w i t z 准则) 考虑实系数佗次代数方程 知a n + 铆a n 一1 + + a n = 0 的所有根具有负实部的充分必要条件是： 。= 口， 。：2 = ：芝l 。，3 = ，n = a l a 3 a 5 a ot 2 2a 4 0 a la 3 a la 3 。a 2 n - 1 a oa , 2 勉n 一2 00 0 0 ， 痧 ) = a 可 ) + b y ( t - t ) + ， ) ，秒譬一7 - ”， 亡o ( 1 5 ) l 可( t ) = 妒( t ) ，t 【一下，0 】 7 7 ( p ) = a + b , 8 = 0 ：。 则叼( 口) 为【- 7 - ，0 】上的礼礼有界变差矩阵值函数再令c p = 伊( 【_ 7 ，o 】，形) 为 一7 ，0 】到 形上的p 次可微连续映射构成的b a n a 曲空间，当p = 0 时，记为c = c ( 【- 丁，0 ，册) ， 其中范数l l l l 定义为 i i 妒i l = 一m ，s a p x 5 。i ( p ) i ，v c 9 带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟 此处i l 表示彤上某一取定的范数。 定义有界线性算子 l ：c _ 形 蜘州m 其中积分为s t i e l t j e s 积分 再定义y t ( e ) = y ( t + 口) ，v 口【一7 - ，o 】，则y t c ，vt r 利用以上记号，可以 将方程( 1 5 ) 在y = 0 处的线性化方程 7 ) = a y ( t ) + b y ( t 一7 - ) ，( 1 6 ) 改写为如下滞后型泛函微分方程 爹) = l y t ，( 1 7 ) 则( 1 5 ) 可以写作 ， 秒) = l y t + ，( 玑) ( 1 8 ) 线性滞后型泛函微分方程( 1 。7 ) 的解定义了c 上的岛半群t ( 亡) ，t 0 ，其无穷小生成 子a ：c _ c 的定义如下； a = 妒， d ( a ) = c 1 ( f - 丁，o 】，彤) ：7 ( o ) = 奶( 臼) ( p ) = 工) 。 ，0 ，一r 另外，算子a 的谱由点谱构成，即盯( a ) = a p ( a ) ，且入o p ( a ) 的充要条件是：存在 e 形 o ) ，使得( 入e l ( e a 。e ) ) ( = 0 ，这也就是说入需要满足 ( 入) ：= d e t ( a e 一三( e m e ) ) = d e t ( a e a b e 一 ) = 0 ， ( 1 9 ) 通常称( 1 9 ) 为时滞微分方程( 1 6 ) 的特征方程f 1 4 2 关于时滞微分方程( 1 6 ) 的特征值的分布，有如下引理 引理2 1 1 4 3 对vr r ，( 1 9 ) 至多有有限个根位于半( 复) 平面& 入 r 定义2 4 1 】称系统( 1 5 ) 是无条件稳定的，如果对于所有的丁0 ，系统是渐近稳定的 在具有时滞的恒化器模型中，主要讨论离散时滞和连续时滞的模型 ( 1 ) 具有离散时滞的微分方程 对于方程 警= m ( ) ，z ( t - 7 - ) ) ， ( 1 1 0 ) 1 0 大连理工大学硕士学位论文 其中设7 是与丢无关的常数，称为常量时滞方程( 1 1 0 ) 即是一个具有确定时滞的常 微分方程，或者称为差分微分方程它表示的意义是时刻x 的平均增长率不仅与t 时刻的量x ( t ) 有关，而且依赖于t 一7 - 时刻的量z 一7 - ) ( 2 ) 具有连续( 分布) 时滞的微分方程 如果亡时刻z 的平均增长率不仅与t 一丁时刻z 的量有关，而且依赖于考时刻以 前的整个历史时期中z 的发展这样，我们将得到一个具有分布时滞的动力学模型 掣：z ( ) 厂。m ( s ) ) p - s ) d s ， ( 1 1 1 ) “ ，一 其中p ( u ) 为概率分布密度，口p ( u ) d u = 1 方程( 1 1 1 ) 称为具有连续时滞的动力学模型其中p ( u ) 称为方程的核函数 2 1 4 分支问题 结构稳定性是指当动力系统受到扰动时，系统的拓扑结构保持不变的性质如果 某个动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当的扰动都会使系统的拓扑结构发生突 然的变化，这种变化称为分支( b i f u r c a t i o n ) 在许多系统中都含有参数，人们关心的是当参数连续地变动时，系统的拓扑结构 是否会发生变化，这就是含参数系统的分支问题下面我们主要介绍含参数的常微分 方程描述的动力系统的分支问题 设区域矿舻，r m 考虑含参数的自治系统 宕= s ( z ，p ) ，( 1 1 2 ) 其中z ug 舒称为状态变量，p = ( p 1 ，p 2 ，p m ) t j 舻称为分支参数 ( 也称为控制变量) 设对于固定的，上j ，有，( z ，p ) 跄1 恤) ，瓣1 ) 是向量场 定义2 5 设当参数p 连续地变动时，给定的系统( 1 1 2 ) 的拓扑结构在p o j 处发 生突然变化，则称系统( 1 1 2 ) 在p = p o 处出现分支，并称p o 为一个分支值( 临界值 c r i t i c a lv a l u e ) 在参数p 的空间中，由分支值组成的集合称为分支集 在实际应用中，有时只关心在平衡点或闭轨附近轨线的拓扑结构的变化，即只研 究在平衡点或闭轨的某个领域内的向量场的分支，这类分支问题称为局部分支如果 在分支分析中需要考虑向量场的全局性态，则称全局分支习惯上还可按研究对象把 分支问题分为静态分支和动态分支静态分支研究方程 ，( z ，p ) = 0 ，z u 月，p jc 月甲，( 1 1 3 ) 的解的数目随参数p 变动而发生突然的变化也就是研究系统( 1 1 3 ) 的多重解的 问题设( x 0 ，p o ) u j 是( 1 1 3 ) 的解，即s ( x o ，肛o ) = 0 我们研究的是局部静态分 1 1 带有时滞的微生物连续培养模型的分析与模拟 叉问题，因此只关心在点( x o ，p o ) 附近方程( 1 1 3 ) 的解( 即地的零点) 的数目随参数p 变化的情况，如鞍结分叉，跨临界分叉，叉形分叉等由于( 1 1 3 ) 的解对应( 1 1 2 ) 的 平衡点，因此静态分叉属于平衡点分叉的研究范围，它是多态产生的原因动态分叉 是指静态分叉以外的其它分叉问题，它研究系统( 1 1 2 ) 的解的拓扑结构随参数p 变动 而发生的突然变化h o p f 分叉，闭轨分叉，环面分叉，同宿或异宿分叉等，都属于动 态分叉 目前研究最多的动态分叉是h o p f 分叉h o p f 分叉是指当分叉参数变化且经过分 叉值时从平衡态产生孤立的周期运动的现象它对于研究物理、化学、生物、机电、控 制等系统当参数变化时，由于平衡状态失稳而产生自激振荡的现象有重要的作用。从 平面相图上来看，这时有极限环从平衡点“冒”出来本文主要研究的是h o p f 分叉 定理2 3 ( n 维h o p f 分叉定理【4 u 】) 考虑单参数自治系统 圣= ，( z ，p ) ，z 月，p r( 1 1 4 ) 并假设f ( x ，p ) 是x 和弘的解析函数；对于一切p 有厂( 矿，p