（应用数学专业论文）椭球等高矩阵分布.pdf

摘要 本文讨论了广义多元分析的某些专题，主要有两个部分 第一部分在前人的基础上研究了e l s 椭球等高矩阵分布，给出了它的正态 性刻划和在一定条件下它的广义二次型和c o c h r a n 定理 第二部分提出了l s 椭球等高矩阵分布的定义，给出了它的随机表示，组合 与边缘分布，条件分布，密度函数，c o c h r a n 定理，正态性刻划等 关键词：椭球等高矩阵分布；c o c h r a n 定理； a b s t r a c t t h i st h e s i sd i s c u s s e ss o m es p e c i a li s s u e so ng e n e r a l i z e dm u l t i a n a l y s i sw h i c h c o n s i s t so ft w op a r t s p a r tis t u d i e st h ee l se l l i p t i c a l l yc o n t o u r e dm a t r i xd i s t r i b u t i o no nt h eb a s i so f t h ef o r m e rr e s e a r c ha n dp u t sf o r w a r di t sn o r m a l i t yd e s c r i p t i o n a n da l s oi t s g e n e r a l i z e dq u a d r a t i cf o r ma n d c o c h r a nt h e o r e mu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s p a r ti i p u t sf o r w a r dn e wd e f i n i t i o n o fl se l l i p t i c a l l yc o n t o u r e dm a t r i x d i s t r i b u t i o n ，a n dl i s t si t ss t o c h a s t i cr e p r e s e n t a t i o n sa n dt h e i re q u i v a l e n c e ，l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n su n d e rf u l lr o wr a n k , m a r g i n a ld e n s i t y , c o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n ， d e n s i t yf u n c t i o n ，c o c h r a nt h e o r e m ，n o r m a l i t yd e s c r i p t i o n e t c k e yw o r d s ：e l l i p t i c a l l yc o n t o u r e dm a t r i xd i s t r i b u t i o n ；c o c h r a nt h e o r e m ； i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证二传而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 研究生签名：氇辽蓬 日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括以电子信息形式刊登) 论文的全部内容或中、英文摘要等部分内容。论文的公布( 包 括以电子信息形式刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：彳孟迢整，导师签名研究生签名：j j 盎垫墨，导师签名 日期：料 ， 前言 前言 在处理实际问题时，通常假定随机变( 向) 量服从正态( 多元正态) ，而 实际上尤其在处理小样本条件下，并非如此，在最近的十几年中，统计学家发 现，椭球等高分布族有许多类似于多元正念的优美性质这种分布族包含多种多 元分布，诸如多元正态分布；多元t 分布；多元柯西分布；多元拉普拉斯分布； 多元稳定律和多元均匀分布等因此进一步挖掘椭球等高矩阵分布与矩阵正态 分布之间的关系，将多元分析的方法拓展到椭球等高分布族中去，在更宽泛的 空间中加以研究。从而尽可能降低实际问题需要的条件，可以更好地指导实践 近几年来已有很多人研究了模型误差服从椭球等高分布情况下的性质，并 得出的比较好的结论本文在第一部分( 前三章) 对e l s 椭球等高矩阵分布 d y = m + b x e l s ( m ，痧) ，= b b ，x l s ( 4 ) 从条件分布、边缘分布等几个方面进行讨论，给出了它的正态性刻划和在一定 条件下它的广义二次型和c o c h r a n 定理：第二部分( 第四章) 对l s 椭球等高矩 阵分布 d 】，= 膨+ x b l s ( m ，矽) ，= b b ，x 三s ( ) 给出了它的随机表示，组合与边缘分布，条件分布，密度函数，c o c h r a n 定理， 正态性刻划等 东南大学硕士学位论文 第一章e l s 椭球等高矩阵分布的定义 定义1 1若以维随机向量x 的特征函数有e x p ( i t ) ( f z t ) 的形式，其中 u ：n x l ，：订玎，且0 ，则我们说x 遵从具有参数，和的椭球等高分布， 并记为x e e ( ，) 其中 是x 的均值，( e r 2i r k z ) x 是x 的方差，其中r 2 = ( 工一) 一o 一) ，一是 的一个广义逆( 见引理3 1 1 ) 特别，当= o 和= l 时e e ( 0 ，厶，矽) 称为球对称分布，记为最( 矽) 定义1 2 设x = ( 五，工，) 是以p 的随机矩阵，且 v e c ( x ) = ( 坷，i ) ( 矽) ，则我们称x 服从向量球对称分布，记为 x 吸。( ) 或者x 飚( ) 一，- ijj- 向量球对称分布x 的均值为零，竺丛型，是g e c ( x ) 的方差( 见定理3 1 1 ) 印 定义1 3 嘲 设x 是万p 的随机矩阵，若对任何r d ( ，z ) ，x = 4f x ，则我们 称x 服从左球对称矩阵分布，其中t ：n xp 记为x - 最。( ) 或者x 朋( 矽) x 的特征函数有o ( t t ) 的形式 左球v e c ( x ) 的均值为零，方差为v o i ，其中矿= e ( t 。) 五。) i ) 定义1 4设工是n x p 的随机矩阵，且x 船( 矽) ，则我们称x 服从右球对 称矩阵分布，记为x 碱。( ) 或者x 船( 矽) 定义1 5设x 是n x p 的随机矩阵，x 朋( ) 且x 一雕( ) ，则我们称x 服 从球对称矩阵分布，其中t ：n x p ，记为x 瞩。，( ) 或者石昭( ) x 的特征函数有q k ( 2 ( t 丁) ) 的形式其中2 ( t t ) 代表丁z 的全体特征根 定义1 6 设石：是n x p 的随机矩阵，且x 的特征函数有( f l f l ，0 t p ) 的形 式，其中t = ( f i ，f p ) ：n x p ，则我们称x 服从多元球对称矩阵分布，记为 z m s 。p ( 矽) 或者x 一擒( 矽) 上面我们定义了四种球对称矩阵分布，为了研究它们之间的关系，我们做如下 的定义。 鼻= 犯( x ) ：x 服从左球对称矩阵分布) e = l ( x ) ：x 服从多元球对称矩阵分布) e = l ( x ) ：石服从向量球对称矩阵分布) f = 仁( 工) ：肖服从球对称矩阵分布) 其中x 是，l p 的随机矩阵，且( x ) 是x 的分布函数，为了方便起见，纵贯全 文，j e 是指三( x ) 互，i = 1 ，2 ，3 ，j 定义1 7 设x 是聆p 的随机矩阵且x 互，i = l ，2 ，3 ，s ，m 和b 分别是m p 7 【l n x m 常数矩阵，若】，= m + b 置e = b b ，则称】，遵从椭球等高矩阵分布， 当x 船( 矽) ，则记为】，e l s 。p ( m ，矽) 或者】，e l s ( m ，) ， y 的特征函数是p 驴( 汀肘) ( r d ，r = “，t p ) ：m xp ， y 的密度有j i j p 厂“】，一m ) 一一( 】，一必) ) 形式： 当x 脚( ) ，则记为y e m s 。p ( m ，) 或者y e m s ( m ，) 】，的特征函数是p 驴( f 丁m ) 矽( x t , ，t ) ，丁= “，t p ) ：m p ， l 】，的密度有j ir f ( y 。1 乃，以一1 蚱) 形式，其中y = ( 咒，j ，。) ： 当x 飚( ) ，则记为y - e v s , , 。p ( s t ，z ，) 或者】，一e 塔( 肘，z ，) 】厂的特征函数是咖o r m ) b ( t r ( t f ) ) ，t = ( f i ，f 。) ：m xp ， l y 的密度有l i 2 pf ( t r ( z 一1 ( 】，一m ) ( y m ) - ) ) 形式： 当x 船( 矽) ，则记为】，e s s 。，( m ，矽) 或者】，e s s ( m ，) 】，的特征函数是e f ，( 汀膨) ( 名( r d ) ，r = ，t 。) ：m xp ， 东南大学硕上学位论文 y 的密度有j l j p 厂( 五( ( 】，一必) 一1 ( y m ) ) ) 形式 引理1 1 n 1( 见p 4 3 ) 设彳，x 和曰分别为nxm ，mx p 和p g 矩阵，则我们有 v e c ( a x b ) = ( b 圆a ) v e c ( x ) 引理1 2 啪( 见p 1 2 8 ) 设见x 为n x p 的随机矩阵，“表示r “中单位球面上均 匀分布的随机向量，则下列陈述条件是等价的： ( a ) x 瞩。( 矽) ； ( b ) x 的特征函数形如痧( t r ( t 7 t ) ) ，其中矽印； ( c ) x 有随机表示x = r ，其中r oh 叩，r 与u 3 独立， g v e c ( u 3 ) = u 嘲； d ( d ) 对任一r o ( n p ) ，v e c ( x ) = r ( 玩c ) ) 第二章一类椭球等高矩阵分布的广义二次型 第二章一类e l s 椭球等高矩阵分布的广义二次型 2 1 一类e l s 椭球等高矩阵分布的广义二次型的定义 定义2 1 1设z ：p enxp 的随机矩阵，且x 瞩。，( 妒) ，a 和b 分别，z 刀和 p xp 常数矩阵，护( 四x ) 称为一类椭球等高矩阵分布的广义二次型 定义2 1 2 若】，= ( i ，匕) 是随机向量，使】；= l ，且x ，匕一。有联合密度， o ，i = l ，m ， 以( 乃，y m 1 ) = r 荟钏m m - i 叫m - i 制当乃巩，旷1 且m - i z - y i ) 1 当以一一一且台“ 兀r ( 呸) 矧 扛1 0 则我们说y 遵从d i r i c h l e t 分布并记为： 其他 ( i ，匕) 见( q ，小口。) 或者( x ，匕一。) d m ( q ，一。；) 引理2 1 1 嗍( 见p 7 4 ) 设z 为nx l 随机向量，t 2 ( 4 表示掣中单位球面上均匀分 布的随机向量，则下列的陈述是等价的： ( a ) x 的特征函数形如矽( 2 ) ，其中矽。； d ( b ) x 有随机表示x = r u ( ，其中r 0 与“( 4 独立； d ( c ) 对每个f d 0 ) ，x = f x 推论2 1 1 【2 】( 见p 7 4 ) 设x 是，l l 的随机向量，x ：d 尺“( 一) 最( 矽) 且以x ：o ) ：0 ， 贝| j | i x l l 兰尺，丽x 和且它们之间是独立的 推论2 1 2 伽( 见p 7 4 ) 设石是，z l 的随机向量，x ：dr “( 一) 鼠( 矽) 且以工：0 ) ：0 ， 则e 一) ：0 ，d 似n 1 ) ：! l 以 推论2 1 3 陉1 ( 见p 7 5 ) 已知“( ”表示r “中单位球上均匀分布的随机向量，把“( 4 分割为m 个部分，即甜”= ( “( 。) i ，“( 。) i ) ，分别有刀l ，一，个“4 的分量，则 东南人学硕十学位论文 ，!j!：1：!。!i!：，喜萋qp a 。，d 二：c ，c a - 2 ，d 1 2 ，三k c ，! ，等，土孑c 。，。，z 。，动虫 k l ；并且“，兰“( 驯，：1 ，仇，“i ，一，“。是独立的 定义2 1 3 t 2 1 ( 见p 9 7 ) 设石：d 尺“( n ) 最( 矽) 和尺。，( ) ，把z 分成( z ( i ：，x ( m 1 ) ， 其中工1 ，石”分别为x 的疗l ，一，n m 个分量， ( 一，石”x ”) = r 2 ( d 1 2 ，d 。2 ) 记( ) ) ，石伽) x 伽) g m ( 鲁，等；矽) 或 ( p 以，1 ) ) 瓯( 。，等；等；班 由此可以看出 如果o ，虼) “q ( ，等；痧) ， 则( ，几) g + l ( ，；塑学；旭1 后 0 当且仅当彳，曰为投影阵，r k ( a 圆b ) = n k 证明：必要性： 由x v s 。p ( ) ，4 叫e 。是对称矩阵，4 。，p e 。亦是印印对称矩阵 东南大学硕士学位论文 贝i j t r ( b x a x - ) = t r ( a 彳b x ) = ( v e c ( a 石b ) - ) g e c ( x ) = ( v e c ( b 剐) ) v e c ( x ) = ( ( 彳圆e s v e c x ) v e c x ”v = e c ( x ) 刑 跏g 2 ( 警；- n ( 2 - k ) ；) 由定义1 7 知v e c ( x ) ( ) ，即x ( 矽) 由弓i 理2 1 1 得工：d 尺“( 印) 高服批) ，相当n 的随机表种肚1 ， 因此等删芋，掣， 但是! 箐昴竽与石选择无关( 参考文献【2 】p 8 2 页不变分布) 对于任何一个p 删) ，等铲和琨标准正态分布时同分布， 由引理2 2 1 知a 固b 为幂等矩阵，即( 么 b ) 2 = 么固b ，r k ( a 固b ) = n k 又根据定理2 2 1 知a ，b 是对称阵且( 4 圆曰) 2 = a 圆b a 2 = a ，b 2 = b 。 充分性： 因为4 固召为投影矩阵，存在正交阵r 印。印，使得r ( 4 。b ) r ，= ( 台：) ， 所以，x i 彳 b ，z = x r ( 台吕 f x 全少( 台：) y 由引理1 2 ( d ) 知j ，= n ( ) 所以，y ( 0 三l y 兰夕。，欺。，一g ：c 警；n ( 2 - k ) - ；， 第- 二章一类椭球等高矩阵分布的广义二次型 即纱( b x a x i ) = 护( 彳x 鲋) 服从g 2 ( 警；t n ( p - k ) ；矽) 2 3c o e h r a n 定理 定理2 3 1 设】，e v s ( o ，矽) 0 ，且p ( x = 0 ) = 0 ， ，p 彳是印印的对称阵，则护( a x x 9 g 2 ( 等，t n ( p - k ) ；) 彳z a = 彳，且 r k ( a ) = 后 证明：t r ( a x x 。) = 护( 脚 ) = v e c ( x ) ( ，pa ) v e c ( x ) ”v = e c ( x ) 川。伽一g 2 ( 警；n ( p z - k ) 埘) ( 2 3 1 ) 由定理2 2 2 知 ( 2 3 1 ) 式成立当且仅当r k ( i 圆a ) = n k ，从i 而r k ( a ) = 后 ! 一1 1 另夕 ( ，圆2 ) ( p 彳) ( ，o ) ( ， 彳) ( ，o z ) = ( ，p 2 ) ( ，p 彳) ( ，o z ) ， 一! l ! 一! ( ，o 2 ) ( ，o 2 ) ( ， 么) ( ，p ) ( ，0 彳) ( ，圆2 ) ( 圆2 ) 一1 l ! 一兰 = ( 圆2 ) ( ，o 2 ) ( ，p 彳) ( ，o 2 ) ( ，o 2 ) 得至0 ：i p a z a = i 圆a 即i o ( a z a 一么) = o 可知a l l = a ，得证 定理2 3 2 设x v s 。p ( ) ，且c l ，q 是p p 的对称阵， 则：对于任何一个f ，t r ( q x x 9 = v e c ( x ) ( i 圆c , ) v e c ( x ) ， ( t r ( c i x x 9 ，t r ( c x x g ) ( 等，譬；孚；力 当且仅当e q = 岛e ，rr k ( c , ) = b ，i ，= l ，m ， 其中毛= 器 证明：必要性： 为了易于叙述，只证明m = 2 的情形 - 9 p l l 既 州埘 中其 东南人学硕士学位论文 因为x v s 。p ( ) ，且c l ，c 卅是p p 的对称阵， 则对于任何一个i ，印( c j 脚f ) = v e c ( x ) ( i q g ) v e c ( x ) ， ( 2 3 。2 ) ( t r ( c i x x n ) ，t r ( c 2 x x ”) ) g 3 ( 等，等；等；矽) ， d 根据定义2 1 3 有( t r ( c i x x ) ，t r ( c 2 x x ) ) = r 2 ( z l ，z 2 ) 其中，r 与( z i ，z 2 ) 独立，r ( z ，z ：) d 3 ( 等，了h e 2 ；等) 因此， 驴( c l 肠f ) g 2 ( 等，掣；矽) ； 妒( q x x f ) g 2 ( 等，掣；) 并且有缈( ( c l + c 2 ) 朋f ) ) g 2 ( 掣，等；矽) 由定理2 2 2 知： ( 2 3 2 ) 式成立当且仅当c 1 2 = c l ，r k ( q ) = p l ；c 2 2 = g ，以( g ) = p 2 ； 和( q + c 2 ) 2 = q + c 2 ， 有c 1 2 + g c 2 + q g + c 2 2 = q + c 2 ， 整理得：q c 2 + c 2 q = 0 ( 2 3 3 ) 式右乘q 有c l c 2 g + c 2 q = 0 ( 2 3 4 ) 式左乘q 有c i c 2 + c i c 2c l = o 因此c l c 2 = c 2c 1 再结合( 2 3 3 ) 式得到c l g = 0 g q = 岛c ；，且政( g ) = 只，i ，- ，= 1 ，2 ， 其中岛= 暴蓦觚 定理的充分性显然 1 0 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 第三章椭球等高矩阵分布e l s 的正态性 第三章e l s 椭球等高矩阵分布的正态性 3 1e l s 椭球等高矩阵分布的期望和方差 引理3 1 1 蚴( 见p 8 7 ) 设x e c a ，) ，r 2 ：d 一) 一( x - p ) ，一是的一个 广义逆和e ( r 2 ) 0 证明：( 1 ) d 由】，砖。( m ，b ，) ，根据定义4 1 1 知】厂= m + 船，其中x - l s 。，( 矽) ， d 因为曰是可逆方阵知四- 1 = m b 1 + ，记z = y b - 1 由定义1 7 可知z e l s ( m b - l i ，矽) ， l z 的密度为i ，i j ，厂( ( z m b 一1 ) 厂1 ( z m b 一1 ) ) 根据引理4 3 1 知j ( zj y ) = 1 l 引： 所以】，的密度为i b i - nf ( b 1 ( y m ) t ( y m ) b 一) 东南大学硕上学位论文 d ( 2 ) 由】，& 叉。( m ，) ， o 即y = m + a 盈，知馏= 脚_ 1 + x ，z = b b 记l = y b 一由定义1 7 可知 三一e s s ( m bl , i ，矽) ， l 的密度为i ，l j p ( 五( 一m b 一1 ) 厂1 ( 一m b 一1 ) ) ) l 根据引理4 3 1j ( l 专y ) = 1 lb i ：= 1zl r ， 所以】，的密度为 l l i y 厂( 五( ( y m ) z 一1 ( 】r m ) - ) ) = i i j ”f ( 2 ( z 一1 ( 】，一m ) i ( 1 ，一m ) ) ) = f i j ”f ( 2 ( z 一1g ) ) 其中g = ( y m ) ( y m ) 引理4 3 2 m ( 见p 5 3 ) 若y 0 ，它的乔列斯基分解y = x x ，其中x 为n 阶上 三角矩阵。目对角元素全为诈。由于y 与x 是一一对应的，可考虑y 到x 是一 个变换，这个变换的雅可比行列式是，贝, l jj ( y 专x ) = 2 4 兀小1 l 引理4 3 3 嗍( 见p 1 4 0 ) 设x ：是n x p 的随机矩阵，_ r t u t ( p ) ，对角元素全 舡删舭省心2 焉f p 眦r 州小 矽，( 言，z ) 一 其中d ，； r re u t ( p ) 且有正对角元素) ，r p ( ) 是多元g 口聊聊口函数，并且 r ，c 三n m e l o j 驴t , 三( 万一川) ) 引理4 3 4 m ( 见p 5 4 ) 若置y 均为，z ，l 矩阵，并且i b i 0 , y = b x b ，工t = x ， 堕坐 则j ( y x ) = ib bl 2 定理4 3 2 若】，躐。( o ，厂) ，其中 o ， ( 1 ) 则形：】，】，的密度是q 一形p i ”r l i i 一7 if ( a ( z t 形) ) ，其中巳，。：车； f q ( 言以) 第【r q 章l s 椭球等高矩阵分布的正态性 ( 2 ) 分害0 】，= ( 1 ，l ，y 。) ，其中巧 n ：x q ，珂，g ，歹= l ，m ， 记暇= y 。i ，岷= y 。匕， 则磁，既的联合密度为n b ，。i 彬l ：( 唧中l 】厂( 旯( 羔杉) ) 1 j = l i 证明：( 1 ) 由y 踺。( o ，厂) 得x = y 2 峨。( o ，厂) ， 令x x = t t = l 0 ，其中t u t ( q ) ，对角元素全为正， g 贝| j i 三| - ir r l = l r l 2 = 兀0 2 ，= l 我们有e ( ( x z ) ) = 少( 五( x x ) ) ( ( x x ) ) a = 瓮2 9 ，鲴吖( 獬例盎刀 r 。( 言，z ) 做r j 三变换，其雅可比行列式是2 9 鱼乞咱巾n ， 我们有刚( 动：车i 三p 州讹) 朋( ) 皿 f q ( 言刀) 删一删州豫南争州棚朋， 记w = y y = 2 z x y 3 = z 2 l z 2 ， 做_ w 变换，根据引理4 3 4 可知其雅可比行列式是i f2 ， 形的密度是j 二j 一- 形l ( n - q - 1 ) 厂( a ( q ) ) i i 丁- q - i f q ( - 二刀) ：车胛1 州川l r 0 1 ( 砸- t ，酞。：车 f q ( 专，1 )f q ( 吉，1 ) 1 9 东南大学硕士学位论文 缈的密度是巴，i 形i j l ( 一一i f 一；”f ( a ( z 一- 形) ) ( 2 ) 由y 跽。( o ，厂) 得x = y z2 一豁删( o ，厂) 把x 分割为彳= ( 墨：，以i ) ， 1 r a 其中一= 一j h i g ，_ g ，= 1 ，m ，- = ，l ， 下面求一，歹= 1 ，m 的联合密度 令五五= 互石= 厶 0 ，五置= t 2 乏= 厶 o ，以以= 乙乙= 厶 0 ， 其中瓦u t ( q ) ，尼= 1 ，m ，对角元素全为正 由引理4 3 3 知对任何非负b o r e l 函数h ( ) ， 我们有五( 乃( x z ) ) = e ( 办( 五五+ 置五+ + 瓦以” = p ( 五( 五五+ 置五+ + 以e ) ) ( j l ( 五五+ 五五+ + 以x m ) ) d x l d x 2 d x m ：兰，厂( 旯( 五t 五+ 五五+ + 以t 以) ) ( ( 五t 五+ 五五+ + 以- 以) ) r ，( 寺，l i ) 娶q ) 船媚码甄 2 i 1 2 乏2 q i 万；i 2 q q l 。厂c 五c 正正+ 疋疋+ + 石。，c c 一+ 疋疋+ + x x ， 瑰舭一。州酗锻。 d 。l ( z ( 正正+ 死。疋+ + l l ) ) ( | i i ( 五一+ l 疋+ + l l ) ) 弄一 瑰舭m 。呼心 对上述积分再作积分变换互寸厶，乙专厶 上式 2 0 争一生2 万一竺叫 。n 川 2 舢万 nr 。( 等) i = i k 1 d ， 、- - - - - 一- - 崩个 2 一，童。r 妒七川 2 ( m i ) q 万尹 nr ，( 孚) j = l ! l = ! = ! i 2 2 ( 一2 ) q 万尹 万- 叮 第p q 章l s 椭球等高矩阵分布的正态性 f ( 2 ( l i + 疋疋+ + l l ) ) ( j i l ( l + 疋死+ + l l ) ) 童。f _ d 。d 疋d l jd | 一l 、- - - - - - 一- - _ 一 _ 个 f ( a ( l l + 死兄+ + 瓦) ) ( 而( l + 兄t 2 + + l1 乙) ) f j ? ) m i - k d l 。d 兄d l f 。d f ( 2 ( l - + z + + l r 。) ) ( i l ( 一+ 工：+ + r 。l ) ) 。 再一 华瑰舭) - k d l i d l ：d l 由，。= f 。，d f ( a ( l - + 三z + + 。) ) ( j l ( t + 三：+ + 。) ) 鬲一 1 芦一 2 r q ( 三n j ) 得 ! - = 壁二! i 。i 2 d l i d l2 d l 。 e ( j i l ( 厶+ 厶+ + l ) ) 2 黔吐冉 玉二型 2 故厶，厶的联合p d f 为 兀h ，。 ( 五( 厶+ 5 2 + + 厶) ) ( j i l ( 厶- i - 厶- i - + 乙) ) 皿d 乞d l m m“- q - t - - k ，- 兀iti r 】厂( 允( 厶+ 厶+ + 厶) ) 对上式再作厶一，k = 1 ，m变换， 根据引理4 3 4 可知其雅可比行列式是i i - 2 l 兀脚 o n b 。兀一 丁 乞 ( 1 彳 二 r 1 ： 。n川且_二 生2 幺 ( f 二 r 1 ： 。n川h_二 l k l 一2 l l 匕匕 = 呢 乞 i 一2 = e砭 = 呒 l 一2 厶 l 一2 = 墨墨 l 一2 = y 1 柚 v i i 产 记 东南大学硕上学位论文 则，既的联合密度为n 【q 川n i 一t 吸i 字i l i l ( 州枷】厂( 名( 一t 芝彬) ) j = t = i f 2 i = 卑吒。垂i 哌i 掣l l 一：”】厂( a ( 一1 善形) ) 定理4 3 3 若y 践。( o ，) ，其中z o ，则v = ( y y ) - 1 的密度是 c 。i l 一：“iyi j i ( n + 口+ l f ( 2 ( z t y 一- ) ) 证明：在定理4 3 2 中我们已经知道若y s s 。( o ，厂) ，其中 0 ，贝m j w = 】，】， 的密度是巳。i 形1 1 z ( 州叫i i 一7 1f ( z ( z 一一形) ) ， 令v = ( 】，y ) = w ，即w = v ， 做w 专y 变换，其雅可比行列式是iv i - q _ , ， 则y ：( y t y ) 一t 的密度是巳。i i 一钒矿i j 1 ( m 枷f ( a ( z 一- y t ) ) 4 4c o c h r a n 定理 定义4 4 1 啪( 见p 1 4 5 ) 若彳l s 。( 厂) ，把x 分解为x = ( 五，以) ，其中 墨：_ x q ，吩g ，i = 1 ，肌 ， 记形= 置置，f = 1 ，m ，则我们记 ( 形，既) m g m ，( 虿1 疗l ，一，三1 ；厂) , u ( w l ，) m g k 咖弘1，互1 仇；1 ；) ，刀= 傩+ 。+ + 引理4 4 1 圆( 见p 1 2 3 ) 若x t s 。，( ) ， ( 1 ) 若q 是p g 常数阵，则翘瓯。，( 缈) 其中妒( f 丁) = ( q r 砸- ) ，t ：n x q ： c 2 ，把x 分解为x = 妻 ，其中五：m x p , 贝l j 墨三& 。p c 力 引理4 4 2 呦( 见p 1 0 6 ) 若x 兰尺“( 一) 。邑+ ( 矽) 且c 是以刀对称阵，则 x q g 2 ( 三后，j 1 ( n 埘；) 当且仅当c 2 = c _ r r k ( c ) = 七 定理4 4 1 若】，l s 。( 0 ，厂) ，其中 0 ，p ( 】，= 0 ) = 0 ，且彳是，l 刀对称阵， 第叫章l s 椭球等高矩阵分布的正态性 舭w m g 2 三尼；互1 ( 以胡；) 当且仅当么2 = ag r k ( 彳) = 七 证明：充分性： i l i a 2 = a 且庸( 彳) = 七，彳为投影阵可知存在正交阵r 使得r 盯= ( 台： 设x = r y 贝s jx l s , 。，( 矽) ，t 2 x 分解为x = ( 墨t 置i ) ，其中 五：k x q ，置：一k ) x q ， 则y a y = ( ) a ( r x ) = x f a f x = 五墨， 由定义4 4 1 可知】，a y m g 2 “j 1 足；三( n 一七) ；) 设刚卜m g 2 “三后；j 1 ( 玎卅；) 由定义4 4 1 知存在x 三瓯。( 矽) ，把x 分解为x = ( 置，置 ) ，其中 五：k x q ，五：0 一k ) x q ， 使得五五= 】，a y m g 2 j 1 后，三( ，l 一后) ；) 由引理4 4 1 可知( 厶。c a ：i = 五碱。( 力 对于任意一个白刑恐瓯+ ( 矽) ，x l e 瓯+ ( ) 故p 墨五p g 2 ( 耋；字；彬 从而p 五五p = p 】，彳您g 2 ( 冬；字；力， 而r l s 。( 0 ，厂) ，由由引理4 4 1 可知娩瓯+ ( 矽) 由引理4 4 2 得a 2 = a 且r k ( a ) = k 推论4 4 1 若】，一量。，( o ，厂) ，其中x o ，只】，= 0 ) = o ，且4 ，4 是对称阵， 贝j l ( r 4y ，一，y 4 功崛+ i 。( 三 一，1 2 n 。；j 1 甩；班 当且仅当4 4 = 磊4 ，f i r k ( 4 ) = 绣，i ，= 1 ，后， 其中岛= ：)：耄，z 。= 一一一一，气 东南大学硕上学位论文 4 5l s 椭球等高矩阵分布的期望和方差 定理4 5 1 设】，= m + l s m 。p ( m ，矽) ，其中x 有二阶矩，则 e ( 】，) = m ，d ( v e c ( y ) ) = ( 曰v b ) 圆z ，其中v = e ( t 1 ) t 。) ) 证明： 由】，= m + 肋氏。p ( m ，) 即x 一三s ( 矽) 显然e ( y ) = m ， 由参考文献1 ：2 1p 1 3 8 页定理3 3 1 可知d ( v e c ( x ) ) = v o i 则：d ( 您c ( 】，) ) = 研v e c ( y ) 一e ( v e c ( y ) ) v e c ( 功一e ( 跆c ( 】，) ) 】 = d ( v e c ( x b ) ) = e ( v e c ( x b ) ) ( v e c ( 1 r a ) ) l = 圆i ) e ( v e c ( x ) ) ( y e c ( x ) ) q ( boj ) = ( b oi ) d ( v e c ( x ) ) ( b ，) = b v b 圆i 故得证 定理4 5 2 设y v s 。p ( m ，) ，r k ( z ) = m ，c ，d 分别为一m 甩，n xp 的常数 矩阵，令z = y c + d ，则z 一瞩。，( m c + d ，c c ，) ， d ( v e c ( z ) ) = c b i b c i ，其中v = e ( t i ) 气1 ) ) 证明：由引理1 1 知： r e c ( z ) = ( c 圆i ) v e c ( y ) + v e c ( d ) 由定理4 6 知：y 吸。p ( m ，) 时d ( ( 】，) ) = ( b v b ) 圆i ， 从而d ( ( z ) ) = 研v e c ( z ) 一e ( v e c ( z ) ) v e c ( z ) 一e ( ( z ) ) = ( c pi ) e ( v e c ( y ) 一e ( v e c ( y ) ) ) ( ( v e c ( y ) - e ( v e c ( y ) ) ) 7 ( c oj ) 2 ( c p ) d ( 您c ( 】厂) ) ( c 圆，) = ( c 圆) ( 曰v b o i ) ( c p ，) = c 曰v b c p i 由y v s m 。p ( m ，) 以及定义4 1 1 可知 2 4 第四章l s 椭球等高矩阵分布的正态性 y = m + x b b b = 从向y c + d = m c + d + x b c 再由定义4 1 1 可知y c + d “喔。p ( m c + d ，c b b c ，矽) 即y c + d 吸，p ( m c + d ，c z c ，矽) 故得证 定叭5 - 3 弘( 删m = 陵a 州) ，y 娟黝， m l ，i 为m x ? l 的矩阵，“为nx n 的矩阵，则 i & 。( m 。，l - ，) ，艺k 毛。( p 一。) ( m 2 ，2 2 ，矽) 。 证明：在定理4 5 2 中，当c = ( 乞) ，。= 。，有y c = x 吸m 。，们； 当c = 匕) ，d - 。，有比= 艺一即肛：而班 4 6l s 椭球等高矩阵分布的正态性刻划 引理4 6 1 m ( 见p 1 4 5 ) 设x m 。，( m ，io ) ，x 为甩p 的随机矩阵， z = c x d 士u ，其中c ：m n ，d ：q p ，u ：m xq ， 则z m 。口( c m d + u ，c c 圆d z d ) 定理4 6 1 设】，一z s 。p ( 0 ，矽) 当且仅当 矽( 仃( t ，t ) ) = f q 唧( t r ( t t ) ，2 ) 卵( ，) ，f ( ) 是【o ，佃) 上的累积分布函数， ，2 = t r ( y y ) 证明：因为】，z s 。p ( 0 ，) ，根据定义4 1 1 的充要条件是 g e e ( x ) ( 妒) 根据引理3 2 1 v e t ( x ) 一( 矽) 成立当且仅当 m i l 2 ) = r q 珊”) 扭( ，) ，令f = v e c ( t ) 即 2 5 东南大学硕士学位论文 矽( 纥c ( t ) 玩c ( t ) ) = rq 御( r e c ( t ) 玩c ( t ) ，2 ) d f ( ，) ( t r ( t 7 t ) ) = r q 唧( t r ( t 7 t ) r 2 ) 护( ，) 证毕 引理4 8 2 ( 见p 9 4 ) 设x e c ( a ，) ，则任何一个边缘分布是正态的当 且仅当x 是正态分布 引理4 6 3 ( 见p 3 0 ) 设彳为任意矩阵，则( 彳) = ( 州) 定理4 6 2 】，：dm + x b v s 。( m ，矽) ，b b ：o ，r k ( x ) ：尼，则y 为正态 分布当且仅当q ( y ) = 护i ( y 一肘) 一( 】，一m ) z 。 ，、 证明： 令= 】，一m 一喊。，( o ，) 则命题等价于 三以。p ( o ，。 ) t r ( l x l g - z 由于一有无穷多个，故t r ( l x 一三f ) 一般有很多情况，无法确定。必须通过确定一 的形式进而确定t r ( l z 一f ) ，但这里我们可以证明t r ( l x l9 与一的选择无关 因为b 曰= o ，则存在p 阶正交矩阵q 及对角阵a = d i a g ( 2 1 ，五) ，使得 = 文含弦q 删乇 令q = ( qq 2 ) ，g ：p x k ， 则 j = c q 固，c ( 含3 ) d ( q 7 圆，) = c g 人纠。d ， 6 , 2 = l q = 三( q lq 2 ) = ( z iz 2 ) 由定理4 5 3 知z i “v s 。t ( 0 ，q a g ：) ；z 2 v sx ( p - k 1 ( o ，0 ，) ； 显然有p ( v e c ( l q ：) = ( q 2 圆i ) v e c ( l ) = 0 ) = l 即p ( v e c ( l ) ( q 2o ，) 上) = p ( v e c ( l ) ( qo 功= l 下证( q lp ，) = ( ，) 因为( q 人纠) o ，= ( go 似人o ，) ( 纠o ，) 第四章l s 椭球等高矩阵分布的正态性 ! 而a o ，为对角矩阵，且人 0 ，故( ( q 圆似人2 功= ( q lp ，) 三 由引理4 6 3 知( ( q i ，) ( 人2p 助= ( ( q 人纠) 圆) ， 所以a ( q ip ，) = ( 圆，) 从而v e c ( l ) ( 0 ，) t r ( l z 一三i ) = t r ( l l z 一) = v e c ( l ) 7 v e c ( l x 一) = v e c ( l ) i ( 一圆i ) v e c ( l ) = 玩c ( ) ( o ，) 一v e c (