（生物医学工程专业论文）基于马尔科夫随机场理论的脑部磁共振图像分割算法研究.pdf

a bs t r a c t t h e r ea r et h r e eg e n e r a lg o a l si nt h i sa p p l i c a t i o n ：e x t r a c tt h eb r a i n v o l u m e ；s e g m e n tb r a i n t i s s u ei n t o g r a ym a t t e r , w h i t e m a t t e ra n d c e r e b r o s p i n a lf l u i d ；d e l i n e a t es p e c i f i cb r a i ns t r u c t u r e s t h eo b j e c t i v ei n t h i sp a p e ri st os e g m e n tb r a i nt i s s u ei n t o 伊a ym a t t e r , w h i t em a t t e ra n d c e r e b r o s p i n a lf l u i d m e t h o d si n t r o d u c e dh e r ei n c l u d ek m e a n sc l u s t e r i n ga l g o r i t h m ， f u z z ycm e a n sa n dm e t h o db a s e do ng a u s s i a nm i x t u r em o d e l t h e s e t h r e ea l g o r i t h m sp e r f o r mw e l lu n l e s st h ei m a g ei sc o n t a m i n a t e db ys e v e r e n o i s e ，b e c a u s et h e s ea l g o r i t h m sd on o tu s et h es p a t i a lr e l a t i o n s h i p o f n e i g h b o r i n gp i x e l si nt h ec l u s t e r i n gp r o c e s s ，w h i c hw i l lr e s u l tt h en o i s ei s c l a s s i f i e dt oac e r t a i nc l a s sa s an o r m a lp i x e l m r f sm o d e ls p a t i a l i n t e r a c t i o n sb e t w e e nn e i g h b o r i n go rn e a r b yp i x e l s a n di nm e d i c a l i m a g i n g ，m o s tp i x e l sb e l o n gt ot h es a m ec l a s sa st h e i rn e i g h b o r i n gp i x e l s s om r f sc a nb ei n t r o d u c e dt oi m p r o v et h er o b u s to ff u z z ycm e a n sa n d m e t h o db a s e do ng a u s s i a nm i x t u r em o d e li nt h i sp a p e r t h ea l g o r i t h m sa r ee v a l u a t e dw i t hs e g m e n t a t i o na c c u r a c ya n d d e g r e eo fe q u a l i t yq u a n t i t a t i v e l y , a n di l l u s t r a t e dt h r o u g h o u ti ns i m u l a t e d a n dr e a lm r i m a g e s c o n c l u s i o n sc a nb ed r a w n ： 1 w h e nt h en o i s en e a r l ye x i s t s ，a l lt h ef i v ea l g o r i t h m sp r e s e n t e di n t h i sp a p e rc a nb ev e r ye f f e c t i v e t h es e g m e n t a t i o na c c u r a c yi sa b o v e 9 7 2 w h e nt h en o i s ei ss e v e r es u c ha s9 ，t h es e g m e n t a t i o na c c u r a c y o fk m e a n sc l u s t e r i n ga l g o r i t h m , f u z z ycm e a n sa n dm e t h o db a s e do n g a u s s i a nm i x t u r em o d e ld e c r e a s e4 a v e r a g e l y b u ta f t e rm r f si s i n c o r p o r a t e dw i t hf u z z yc m e a n sa n dm e t h o db a s e do ng a u s s i a nm i x t u r e m o d e l ，t h es e g m e n t a t i o na c c u r a c yi n c r e a s e2 5 a n d3 r e s p e c t i v e l y , c o m p a r e d w i t ht h o s ew i t h o u tm r f s k e yw o r d s ：m a g n e t i cr e s o n a n c e ( m r ) i m a g i n g ，k - m e a n s ，f u z z y c m e a n s ，f i n i t eg a u s s i a nm i x t u r em o d e l s ( f g m ) ，m a r k o vr a n d o mf i e l d ( m r f ) 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：童毯 日期：z 堡啤年上月翊 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 期：珥年月三日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 课题背景及意义 第一章绪论 磁共振成像是随着计算机技术、电子电路技术、超导体技术的发展而迅速发 展起柬的一种生物磁学核自旋成像技术。它是利用磁场与射频脉冲使人体组织 内进动的氢核发生章动产生射频信号，经计算机处理而成像的。由于m r i 不使 用对人体有害的x 射线和易引起过敏反应的造影剂，因此对人体没有损害，而 且是一种无创检查技术。m r i 可对人体各部位多角度、多平面成像，其分辨率高， 能更客观更具体地显示人体内的解剖组织及相邻关系，对病灶能更好地进行定 位定性。对全身各系统疾病的诊断，尤其是早期肿瘤的诊断有很大的价值。 对于脑部疾病，如肿瘤或某些疾病( 如多发性硬化症j ，m r i 更是其有其它成 像方式所无法替代的优点。在对脑部磁共振图像进行处理分析时，分割是很重 要的一个步骤。脑部磁共振图像分割问题根据不同的目的主要有：脑组织的提 取：即将脑组织从脑部磁共振图像中提取出来；脑组织分类：即将脑部磁共振 图像标记为灰质、白质与脑脊液三种不同的组织区域：脑部病变组织的提取等。 bd 图1 - 1 脑组躲分类( a ) 正常的脑蛆织图：( 埘脑脊注；i c ) 脑灰质：i d ) 脑白质 本文研究目的是将脑组织进行分类，如图1 - 1 所示。 一般来讲，脑部磁共振图像分割的应用主要有以下几个方面“1 ： ( 1 】脑部解剖结构与感兴趣区脑组织的提取与定量分析，这可能是脑部磁共 振图像分割应用最广泛的领域。例如，各种脑部疾病与异常( 如外伤、多发性硬 化症与肿瘤) 的检铡与定量【1 2 l ；为了研究大脑的生长与人类衰老而进行的正常脑 组织l 包括灰质与白质熔积的精确估计”】。 【2 ) 2 脑部解剖结构的3 d 可视化，精确的3 d 分割结果可以用来进行感兴趣结 硕士学位论文 第一章绪论 构的表面重建f 4 , 5 】，进而在3 d 空间上显示解剖结构的形态与相互关系。 ( 3 ) 方便疾病的诊断、治疗、手术计划的制定，脑部解剖结构精确3 d 显示与 定位能够帮助内科医生很好的诊断疾病，指导外科医生制定手术计划嗡7 1 ，目前 已经存在可以提供交互地可视化、操控与测量功能的软件系统辅助进行手术前 的计划制定与手术后的评价。 ( 4 ) 为功能磁共振成像推断提供参考，功能磁共振成像目前主要应用于检测 与人类某些特定认知活动相关的大脑区域，高分辨率的结构图像的精确分割可 以为功能区域提供组织类型信息【8 】。 1 2 脑部磁共振图像分割方法 自从磁共振成像技术出现以后，脑部磁共振图像的分割就成为一个研究热 点，迄今已提出大量的算法【9 ，1 0 1 。起初，图像分割主要依靠手动进行，即由有经 验的操作者使用鼠标手动地标记出不同组织间的边缘。显然，手动地进行图像 分割是非常耗时费力的，特别是当分割高分辨率的3 d 磁共振图像时。而且，所 有的手动分割结果与操作者的关系很大，不同的操作者或者同一操作者在不同 的时间得到的分割结果差别往往很大，因此全自动图像分割算法的研究尤为重 要。 脑部磁共振图像分割方法大致可分为七类：( 1 ) 阈值法；( 2 ) 区域增长法；( 3 ) 分类器法；( 4 ) 聚类法；( 5 ) 马尔科夫随机场模型；( 6 ) 人工神经网络；( 7 ) 蛇模型。 以下将分别介绍这些方法。 ( 1 ) 阂值法 阈值分割法是一种基于区域的图像分割技术，其基本原理是：通过设定不同 的特征阈值，把图像象素点分为若干类。常用的特征包括：直接来自原始图像 的灰度或彩色特征；由原始灰度或彩色值变换得到的特征。阂值分割法可分为 全局阈值法和局部阈值法。 闽值法通过作为图像处理系统的一个初始操作，它的主要缺点是只是将图像 简单地分割为两类，并且不能用于对多通道图像的处理。而且阈值法在对图像 进行分割过程中没有考虑到图像的空间特征，这使得其对噪声和强度不均匀等 现象很敏感。 ( 2 ) 区域增长法 区域增长法是一种提取满足一定连接条件的区域的分割方法，所使用的条件 可以是强度，也可以是边缘f 1 1 1 。区域增长法需要操作者手工确定种子点。区域 增长法通常作为图像处理系统的一部分使用，如描述肿瘤、损伤等结构【1 2 ，”】。 2 硕士学位论文第一章绪论 它的主要不足是需要人工干预提供种子点。区域增长算法对噪声也很敏感，造 成分割区域存在空洞从而不连接。此外，部分容积效应会使分开的区域连接。 ( 3 ) 分类器法 分类器法属于模式识别的方法，是将图像的特征空间用标记进行分类【9 ，1 4 1 。 特征空间是图像的任意函数的取值范围，使用较多的特征空间为图像的强度特 征。分类器法是一种有监督的分类方法，需要在分类前先训练样本集来估计模 式中的概率分布或者其它某些知识。常用的有最近邻( 1 n n ) 、最近均值中值、参 数贝叶斯、k 近邻( k n n ) 与p a r z e n 窗等方法。因为所有的有监督分类方法需要人 工事先确定训练样本集，因此分类结果受训练样本的质量影响很大，而有代表 性的训练样本的获得是非常困难的，因而不能获得全自动的实现。 ( 4 ) 聚类法 聚类算法从本质上来讲，与分类器法类似，但不使用训练集，因此也称为无 监督分类方法。在聚类算法中有一个迭代过程，不断更新像素的类别标记和类 属性，这个过程也可以看做是聚类法使用已有数据自我训练的过程。 三种常用的聚类算法为k 均值法【1 5 】，模糊c 均值法吼1 6 1 和期望最大化法 1 7 , 1 8 。 k - 均值法的思想是取定k 类和选取k 个初始聚类中心，按最小距离原则将各模式 分配到k 类中的某一类，之后不断地计算各类聚类中心和调整各模式的差别， 最终使各模式到其判属类别中心的距离平方之和最小【1 引。模糊c 均值法将模糊 集理论引入分类方法中，通过对目标函数进行迭代优化，进而对数据样本集进 行模糊聚类。期望最大化法本身是一种参数估计方法，可以与高斯混合模型结 合，构成一种分割方法。 聚类算法虽然不需要训练集，但是需要初始分割。相比于k 均值法和模糊c 均值法，初始化对期望最大化法的结果影响更大。聚类算法没有直接引入空间 模型，因此对噪声和强度不均匀很敏感，但同时也正是由于这样才提高了运算 速度。引入马尔科夫随机场模型之后，聚类算法的抗噪声能力会有提高。这也 是本论文的主要研究方法。 ( 5 ) 马尔科夫随机场模型 马尔科夫随机场模型本身并不是一种分割方法，而是一个统计模型，可以与 其它的分割方法结合使用。马尔科夫随机场模型能够提供像素邻域间的相互关 系。在医学成像中，考虑到大部分像素与其邻域属于同一类这样，马尔科夫随 机场模型就显得更为重要。 马尔科夫随机场模型通常与其它聚类方法结合，基于贝叶斯先验模型 2 0 - 2 3 】， 通过最大化后验概率实现分割的目的。在这个过程中会用到迭代条件模式【2 4 】或 模拟退火【2 5 l 等迭代方法。 3 硕士学位论文第一章绪论 ( 6 ) 人工神经网络 人工神经网络就是模拟人思维的第二种方式。这是一个非线性动力学系统， 其特色在于信息的分布式存储和并行协同处理。虽然单个神经元的结构极其简 单，功能有限，但大量神经元构成的网络系统所能实现的行为却是极其丰富多 彩的。 在人工神经网络中，每个节点都具有计算能力。学习过程是通过不断调整节 点间的权重实现的。文献2 62 7 对神经网络有详细的介绍。 ( 7 ) 蛇模型 蛇模型，也称为基于变形模型的算法。文献【2 8 1 把s n a k e 定义为在内力与外力 作用下能量逐步最小化的样条曲线，外力的作用使曲线拉向物体的边缘，内力 对曲线起到平滑作用，保证曲线不会产生突变。这个方法的最显著的特点是可 以将物体的形状、大小、位置以及希望的限制集成到一个迭代进行的动态系统， 通过优化能量函数将s n a k e 边缘拉到理想的位置。对于脑部磁共振图像分割， s n a k e 方法主要用来提取大脑皮层( 灰质的最外层) 的外部轮廓，用来进行组织分 类很难有很好的效果。 本文所用的方法是将聚类算法与马尔科夫随机场模型相结合，来提高聚类算 法的抗噪声能力。 1 3 研究目标 本文的研究目标为： ( 1 ) 了解目前用于脑部磁共振图像分割的方法，认识其优势和不足。 ( 2 ) 研究马尔科夫随机场理论及其在图像分析领域特别是医学图像分割中的 应用。 ( 3 ) 实现k 均值法，模糊c 均值法和基于高斯混合模型的方法。 ( 4 ) 利用马尔科夫随机场理论对模糊c 均值法和基于高斯混合模型的方法进 行改进，并编程实现。 ( 5 ) 对以上所用算法进行公正客观的评价，了解所使用算法的优缺点，分析 影响分割算法的一些因素。 6 ) 分析磁共振图像产生过程中所客观存在的一些因素对图像分割算法的影 响以及改进方法。 4 硕士学位论文第一章绪论 1 4 本文组织结构 论文共分为五章，各章节安排如下： 第一章为绪论，介绍脑部磁共振图像分割的目的、研究意义与当前常用的算 法。 第二章介绍k 均值法，模糊c 均值法，高斯混合模型及在分割算法中的应用。 第三章首先介绍马尔科夫随机场理论及其在图像分割中的应用，然后利用马 尔科夫随机场理论对模糊c 均值法和基于高斯混合模型的方法进行改进，以提 高算法的健壮性。 第四章首先介绍图像分割算法的评价方法，然后利用这些评价方法对本文中 所使用的分割算法进行评价，实验所采用的样本包括仿真磁共振图像和真实的 磁共振图像。 第五章对全文做了总结并展望了将来研究的方向。 s 硕士学位论文第二章三种常用的聚类算法 第二章三种常用的聚类算法 本章将介绍三种属于聚类算法的分割方法，即k 均值法，模糊c 均值法以及 基于高斯混合模型的方法。 2 1 仿真磁共振图像 我们采用b r a i n w e b ” 2 1 提供的仿真磁菇振图像作为实验样本。图像是层厚为 l m m 噪声分别为0 ，5 ，7 ，9 ，b i a s 场分别为0 的横向t 1 图像，图像大小 为1 8 1x2 1 7 。在使用仿真磁共振图像用于分割之前，脑实质必须首先提取出来， 我们利用的工具为b e t ( b r a i ne x t r a c t i o nt 0 0 1 ) 】。b e t 是f m r i 工具包中的工具之 一，能够剔除头部图像中的非脑组织。如图2 - 1 所示为四幅仿真磁共振图像以及 利用b e t 工具提取脑实质之后的结果。 图2 - 1 仿真磁共振图像度利甩b e t 提取脑实质的结果显示( ad ) 为原图，f e h ) 为利用b 盯提 取脑实质的蛄果 硕士学位论文第二章三种常用的聚类算法 2 2k 均值法 2 2 1k 均值法原理 “k - m e a n s ”这个词首次使用是在1 9 6 7 年1 3 4 1 ，而k 均值算法的思想最早是由 s t u a r tl l o y d 在1 9 5 7 年提出的，直到1 9 8 2 年【3 s 1 才正式发表。 k 均值法的思想是取定k 类和选取k 个初始聚类中心，按最小距离原则将各 模式分配到k 类中的某一类，之后不断地计算各类聚类中心和调整各模式的差 别，最终使各模式到其判属类别中心的距离平方之和最小。 k 均值法的具体步骤为： ( 1 ) 任选k 个模式特征矢量作为初始聚类中心：z z ( m ，z 2 ( m ，z k ( 讲，令s = o ，s 为 迭代次数。 ( 2 ) 将待分类的模式特征矢量集 ) 中的模式逐个按最小距离原则划分给k 类中的某一类，即 如果 彤= m i n 群】，- 1 ，2 一，n 则x i w i ( s + 1 式中d i l ( 5 表示x i 和w j ( 5 的中心z j ( 5 的距离，上角标表示迭代次数。此时产生 新的聚类w j ( 5 + 1 ( j - 1 ，2 ，k ) 。 ( 3 ) 计算重新分类后的各类心 矿。2 方一斗啦“ 式中n j ( 5 + 1 为w j ( 5 + 1 类中所含模式的个数。 ( 4 ) 如果z j ( 5 + 1 ) = z j ( 5 ( j = 1 , 2 一，k ) ，则结束；否则，s = s + l ，转至( 2 ) 。 k 均值聚类算法在很多聚类问题中非常有效，而且算法收敛速度很快，这在 后面的实验中可以看出。 2 2 2k 均值法结果显示 利用k 均值法对图2 - 1 中的四幅图像进行分割的结果如图2 2 所示。 从图2 2 可以看出，随着噪声程度的增加，k 均值法的分割准确率也降低了 很多，说明k 均值法抗噪声能力不是很好。 2 3 模糊c 均值法 模糊( f u z z y ) 的概念来自于自然界客现存在的模糊现象，如“年轻人 、“高个 子 、“多云”、“四肢无力 、“性能良好”等，这样难以用确定的尺度( 或模型) 来 7 硕士学位论文第二章三种常刚的聚类算法 描述的现象称为模糊现象。 精确性与模糊性的对立是当今科学发展所面临的一个十分突出的矛盾。系统 的复杂程度越高，模糊性越强，精确程度就越低。因此模糊性来源于复杂性， 也是解决这个矛盾的有效方法之一。 1 9 6 5 年美国加里福尼亚大学l az a d e h 提出了模糊集的概念，将一般的集 合从特征函数的概念推广到模糊集。从此一门新兴学科一模糊数学便应运而生， 并在控制工程、生物科学、社会科学等方面得到广泛应用。 图2 - 2k 均值法对仿真磁共振图像分割的结果显示 i a - d 埘应固2 - 1 中( e - h 】的分割结果 23l 模糊子集的基本概念 集合论是现代数学的基础。集合可以表现概念，把具有某种属性的东西的全 体叫做集合。一个集合的子集，可以用这个集合上的一个特征函数来表示。如 集合u = ( x ) ，x 为e 中的任一元素，那么u 中某子集a 的特征函数用卢。( x ) 来表 硕士学位论文第二章三种常用的聚类算法 示，则 小，= 忙豢三三 两个集合a 和b 的全体元素并起来所组成的集合，叫做a 和b 的并集，记为 a u b 。彳u b 的特征函数为 ，、f 1 ，当x 廊b 心u 口2 t o ， 其它 在集合论中所表现的概念是确切概念，而在现实生活中有很多概念是不确切 的，也就是模糊的概念。对于有些问题，不能简单的用“是”或“否 来做出 肯定回答，容许有中间状态。这就提出了隶属程度的思想，用一个隶属函数来 代替集合论中的特征函数。这样，可以给模糊子集作如下的定义： 设u = 1 3 6 1 是一个集合，彳是定义在u 上并在闭区间【o ，1 】中取值的一个函数， 则玩o ) 刻画了u 中一个模糊子集j 。u 称为论域，力为u 的模糊子集，死( x ) 为五的隶属函数。 模糊子集完全由隶属函数所刻画。当玩( x ) 的值域= o ，1 ) 时，凡( 石) 退化为 一个普通子集的特征函数，五便退化为一个普通子集。普通子集是模糊子集的 特殊形态。 2 3 2 模糊c 均值法原理 模糊c 均值算法是由d u n n 3 7 】【3 7 1 于1 9 7 3 年提出来的，而后由b e z d e k 3 7 1 提出改 进。模糊c 均值算法是通过对目标函数进行迭代优化，进而对数据样本集进行 模糊聚类的一种方法，分类结果是用一个模糊隶属度矩阵u = ) r “来表示 的。 在模糊c 均值算法中，隶属度矩阵表示目标属于其中某一个类的程度或资 格，而且对于所有类的隶属程度值之和为1 。 模糊c 均值算法在迭代寻优过程中，不断更新各类的中心及隶属度矩阵各元 素的值，直到下列准则函数取得最小值： nc m ( u ，y ) = “孑d ； 公式( 2 1 ) j = ii = 1 式中，v = v l ，v 2 ，v c ) ，v i 为w i 类的中心矢量，权重m ( 1 ，) ，d u 为欧式距离， m 为隶属度矩阵的阵元，c 为分类数。 9 硕士学位论文第二章三种常用的聚类算法 权重m 为一个可以控制聚类结果模糊程度的常数，文章f 3 8 j 表明m 的合适范 围为【1 5 ，2 5 1 ，一般情况下，当m = 2 时效果比较好。 模糊c 均值算法的具体实现步骤如下： ( a ) 确定分类数和权重，设定迭代停止阈值e o ，置迭代次数t = 0 ，初始化 聚类中心v 。 ( b ) 计算隶属度矩阵 c 磁= i i ( 础础) 2 ，霉l ( c ) 计算新的聚类中心 + 1 = ( ( 威) 2 以) ( ( ) 2 ) k = lk = 1 ( d ) t = t + 1 ；若“n 一，( 七i i q p ( z = i l y _ ，q h 一1 触= m 尸( 勺= f i 乃，包b 一乃 ：，1 t i p ( z = ily j ，包) = p ( z j = ily j ，e 域 p q j = i y j ，8 t ) y j j 雎= 上 一 p ( z j = i l y _ ，q ) 估计方差的过程为： 硕士学位论文第二章三种常用的聚类算法 百a l ( o ) = 喜以乃刮们) ( - 瓦a i 1h i q i 一面o 移1 刊w 1 ( 乃刊 = 芸p c 乃= ri 乃，q ，( 一l c r ir + 圭q 刁c 乃一鸬，c 乃一所，r t r i - r ) = 。 j z p 。在使 用e m 算法时需要给定混合比例，初始均值向量和方差，本文采用k 均值法来实 现f g m 算法的初始化，分割类别数为3 。利用高斯混合模型对图像分割的具体 步骤如下： ( a ) 参数初始化：运行k - m e a n s 算法得到初始的臼o = 伽0 ，c t 0 万o ) ，迭代次数t = 0 。 ( b ) 利用e m 算法更新口”到秒1 ： e - s t e p ：根据式( 2 7 ) 计算p ( z j = iiy j ，幺) 。 m s t e p ：根据式( 2 8 ) 1 2 9 ) ( 2 一l o ) 更新参数。 迭代次数t = t + 1 。 ( c ) 判断是否满足终止条件，否的话转至步骤( b ) 。 d ) 得到参数估计值乡= 以，d 2 ，鸬，q ，吼，c r 3 ，蜀，x 2 ，乃 ，然后根据最大后验估 计确定图像的标记值，分割结束。 2 4 6 基于f g m 算法的结果显示 图2 - 4 为基于高斯混合模型的算法分割结果。同样可以看出，噪声的增加造 成误分类的像素数目增多。 2 5 本章小结 硕士学位论文第二章三种常用的聚类算法 本章介绍了三种用于脑部磁共振图像分割的方法，分别为k 均值法，模糊c 均值法和基于高斯混合模型的分类方法。以上三种方法在对图像进行分割时只 考虑单个像素点的灰度信息，并没有涉及像素点之间的关系而马尔科夫随机 场的空间特性正是描述了图像邻域像素点在空间上的彼此相关性。将马尔科夫 随机场理论与上述方法结合，来分割脑部磁共振图像。可阻提高算法对噪声的 鲁棒性及结果的平滑性。本文的第三章将详细介绍马尔科夫随机场理论。 田2 - 4 基于高斯混台模型的算法分割结果显示 ( 8 - d ) 对应囤2 - 1 中( e - h ) 的分割结果 硕士学位论文第三章马尔科夫随机场理论及其应用 第三章马尔科夫随机场理论及其应用 马尔科夫随机场理论能够很好的描述相邻的图像像素或者相关特征间的相 互依赖关系。马尔科夫随机场在实际中的应用很大程度上归功于h a m e r s l e y 和 c l i f f o r d 5 3 1 ，他们确定了马尔科夫随机场与g i b b s 分布之间的等价性。b e s a g 5 明进 一步将其发展为马尔科夫联合分布。这些研究成果使得我们可以在贝叶斯框架 下用数学方法来建模图像分析中的视觉问题。马尔科夫模型主要用于图像的低 层次的处理，如图像复原与分割，表面重建，边缘检测，纹理分析等，而在高 层次主要用于目标匹配与识别。本文中，马尔科夫随机场理论用于对第二章介 绍的分割算法进行改进，以提高算法的抗噪声能力。以下将介绍马尔科夫随机 场的基本理论。 3 1 马尔科夫随机场理论 3 1 1 图像标记 图像分割可以看做依据某种概率值对图像中的每个像素进行标记的问题。 对一副mxm 的图像，设n = mxm ，则s = ( i ，j ) i1 i ，j m ) 代表图像像素位 置的索引集合，使用一维索引是为了表达方便。设图像的标记集为l = 1 ，2 ，i ) 。 图像分割的目的便是对s 中的每一个像素点在标记集l 里找到一个合适的标记， 即为一个从s 到l 的映射：f ：s l 。 3 1 2 邻域系统和势能 索引集合s 的邻域可以定义为： n = ： iv i 研 其中n ；是j 的邻域集合。邻域关系具有以下特性： 某点的邻域不包括点本身：i 诺m 邻域关系是成对的：i m f m 对于呈矩阵排列的索引集合s ，i 的邻域定义为与i 的距离小于半径r 的点组 成的集合 m = f sj d i s t ( p i x e l _ f ，p i x e l i , ) 2 ，i 。o 其中d i s t ( a ，b ) 表示a b 之间的欧氏距离，r 取整数值。 邻域系统有不同的阶数。对于二维图像，一阶邻域系统，又称为四邻域系统， 硕士学位论文第三章马尔科大随机场理论及其应用 每个内部的点都有四个相邻点，如3 1 ( a ) 图所示，x 表示被考虑的点，0 表示它 的相邻点。二阶邻域系统，也称为八邻域系统，每个内部的点都有8 个相邻点， 如图3 1 ( b ) 所示。3 1 ( c ) 图中的数字n = 1 ，2 ，5 表示在n 阶邻域系统中最外层的相 邻点。 s 为节点的集合，n 为基于邻域关系建立的节点间的连接，则( s ，n ) 构成了通 常意义上的图。图( s ，n ) 的一个势团定义为s 中一个子集，该集合中的所有不同 的节点之间均满足相邻关系( 单点势团除外) 。图3 1 ( d ) 一( h ) 给出了一阶与二阶邻 域系统的势团类型。图3 1 ( d ) 和( e ) 所示单点、水平与竖直方向的两点势团为一阶 邻域系统的所有类型，二阶邻域系统除包括( d ) ( e ) 外，还有对角线形势团( f ) ，三 点势团( g ) 与四点势团( h ) 。可以看出，随着阶数的增长，势团的数量也随着急剧 上升，同时计算量也增加。 o 1 0x o o 口 ( 543 4 5 4 2124 31x1 3 4 2 1 24 54 3 45 田日吧一 巳昭胡甲田 圆 图3 - i 邻域关系与势团类型图 3 1 3 马尔科夫随机场 = 1 ，n ) 表示基于指标集的一簇随机变量，其中每一个随机变量x i 取集 合l 中的一个值x i ，则随机变量簇x 被称为随机场。x i = x j 表示随机变量x j 取值x i 的事件；相应地，( x z = x i ，n - x n ) 用来表示联合事件，简化为= ；，其中= ( i * i x n ) 称为随机场x 的一个构造( c o n f i s u r a t i o n ) 。随机场的联合分布概率 2 1 硕士学位论文第三章马尔科夫随机场理论及其应用 p = = p ( l = 1 ，x n = x n ) ，简化为p ( x ) 。 随机场x 是在s 上关于邻域系统n 的马尔可夫随机场( m r f ) 5 5 1 ，当且仅当满 足以下两个条件： p ( x ) o ，v x ，非负性 j p ( 蕾ix , 一 ，) ) = 尸( 而l ) ，m a r k o v 性 m r f 有效地描述了随机场的局部特性，即当前像素点的标记仅与其邻域中 的像素有相互作用，而与其它位置的像素标记情况无关。 条件概率p ( 鼍lt 叫，) 通常称为m a r k o v 随机场的局部特性，根据条件概率公 式有： p ( t ，) = 豇p ( x 话i , x s 葡- ( i ) 公式( 3 1 ) 由公式( 3 1 ) 可知，要求得m a r k o v 随机场的局部特性必须知道随机场x 的联 合分布，但是这个联合分布的直接求得是有困难的，这就是直接应用m a r k o v 随 机场面对的困难。 3 1 4g i b b s 随机场与m a r k o v g i b b s 等效性 随机场x 为g i b b s 随机场，当且仅当该随机场的构造满足如下形式的g i b b s 分布慨5 5 1 的时候： p ( 工) = e x p ( - u ( x ) ) z 公式( 3 2 ) 其中，z = e x p ( - u ( x ) t ) 是一个归一化常量，叫作配分函数p a r t i t l o n j e x f u n c t i o n ) ；t 也是一个常量，叫作温度系数；u ( x ) 是能量函数，为所有可能势团 的势能累加和： u ( x ) = 圪( x ) c e c k ( x ) 为势团c 上的势函数，其值取决于势团c 的局部构造。 如上所述，马尔科夫随机场以局部性质( m a r k o v 性) 为特征，而g i b b s 随机场 以全局性质( g i b b s 分布) 为特征。h a m m e r s l e y c l i f f o r d 定理建立了这两种性质的等 效性。定理的具体表述：随机场x 是指标集s 上基于邻域系统n 的m a r k o v 随机 硕士学位论文第三章马尔科夫随机场理论及其应用 场，当且仅当该随机场也是指标集s 上基于邻域系统n 的g i b b s 随机场时。 有上述公式得： p ( 而j 砖一 ， ) = p ( 再ih ) = z 一1e x p ( - ee ( x ) t ) 公式( 3 4 ) q e c 其中z = e x p ( 一e ( x ) t ) ，可以看出，等式的右边只与像素点i 及其邻域 有关。 “工 q 5 c 3 1 5m r f 模型 两个标记之间的上下文关系是传递上下文信息的最低等级的约束。由于其形 式简单并且计算量小，因此使用广泛。g i b b s 能量的势能函数中就考虑了标记之 间的上下文约束。当只考虑仅含单点或者两个点的势团时，能量函数定义为： 公式( 3 5 ) 其中淞等价于【咪q ，拒s ，。j 等价于 f 糠c 2 。我们将上式称为二阶能量， 因为它包括了两点势能。通过选择不同势团的势函数v a x ) ，可以得到不同的 g i b b s 分布，根据h a m m e r s l e y c l i f f o r d 定理，相应地产生不同的m a r k o v 随机场 模型。以下将介绍其中几个比较重要的模型。 3 1 5 1 自动模型 当k ( z ) = f g i ( f ) ，( z ，正) = 层，z 时， u ( 厂) = f g i ( f ) + 层，z 乃 i l e q l f ，i e c 2 其中q ( 宰) 是任意的函数，层，是反映i 与i 之间关系的常数。这叫做自动模 型，根据f | 的不同，自动模型可以进一步分类。 当f 从集合l = 0 ，1 中取值时，自动模型又称为自动逻辑模型，相应的能量函 数定义为： u ( 厂) = 石+ 层，z 乃 【f 】e c 2l f i e q 其条件概率为 硕士学位论文 第三章马尔科夫随机场理论及其应用 范棚屯耐删i 以引删2 2 知 3 1 5 2 多级逻辑模型 自动逻辑模型也可以扩展为多级逻辑模型，当标记集合为l = l ，m 【m 2 ) 时。 势能函数与势团的类型( 大小，形状，方向) 和局部配置= mli c ) 有关。 对于包含多于一点的势团，多级逻辑模型的势能函数定义为： w ，= 譬肼所有点霎霎石曩 是势团的势能。对于单点势团，厶的值该点的标记有关： 圪( 厂) = 圪( z ) = 嘶，z = i 厶 其中a ，是标记为i 的点的势能。下图显示了八邻域系统中不同的势团类型及 其相应的参数。 n i e i i 工上 p ：艮p 4 氐矿么n 因 v lv 2v 了v 6 l 图3 - 2 二阶邻域系统不同形状势团参数图 当只考虑仅含单点或者两点的势团时，多级逻辑模型中，只有单点势团的参 数q 和两点势团的参数b 为非零值。对于两点势团，其势能函数定义为： 棚- 笏“1 _ c 标霎薯暑要 对于四邻域系统，有四个不同的孱。当模型是各向同性时，这四个孱的值相 同。在本论文的后续章节中用到的马尔科夫随机场模型仅考虑二阶邻域中的双 2 4 硕士学位论文第三章马尔科夫随机场理论及其应用 点势团的多级逻辑模型，其中8 = 0 5 ，1 3 的取值过程在第四章会有具体描述。因 此能量函数就可以简写为： u ( 厂) = v 2 ( f , ，五) i e s i m 势团函数定义为： 匕( z ，f ，) = 夕( 1 一a c t , 一五” 其中艿( ) 为k r o n e c k e rd e l t a 函数，1 3 为对标记不相同的两节点势团的惩罚值， 也称为平滑系数。因此可以得到相应条件概率为： p ( z ：i l f v , ) ：螋塑监 公式( 3 6 ) e x p ( f l n ，( f ) ) 其中，行形) 为邻域n j 中标记为i 的节点数。 3 1 5 3 分层m r f 模型 d e r i n 5 包5 7 1 等提出用两级分层g i b b s 模型表示噪声图像和纹理图像。高层分布 用同性随机场如多层逻辑模型来表示b l o b 1 i k e 区域的形成过程，而低层分布用 于刻画这些区域的内部。区域内部可能是独立的噪声，也可能是纹理，这两种 类型都可以用g i b b s 分布来表示，这就为m a p m r f 模型提供了便利的方法。 选择不同的模型来表示图像区域及区域内容，可以形成不同的分层g i b b s 模 型。使用分层模型时，区域的条件概率p ( d tiz = f ) 有时无法用具体的表达式来 表示，这时可以使用伪似然概率或者特征分析、法【5 8 1 来解决。 由于考虑到高阶的邻域系统往往会给分割问题带来巨大的计算代价，且涉及 到势团参数也相对复杂，因此，一般文献只考虑仅含单点和双点的二阶邻域系 统，文本中选择多级逻辑模型。 马尔科夫随机场本身并不是一种分割方法，没有分割能力，但它可以作为一 个先验模型嵌入到某种特定的分割算法中，以达到影响分割结果目的。因此， 在本章的后续小节中将介绍利用马尔科夫随机场理论对第二章介绍的三种方法 的改进。 3 2 基于m r f 的模糊c 均值算法的改进 文纠4 3 1 利用m r f 对模糊c 均值算法的改进，是利用m r f 所描述的邻域关系 属性，引入先验空间约束信息，建立包含灰度信息与空间信息的新聚类目标函 硕士学位论文 第三章马尔科夫随机场理论及其应用 数，并提出拒纳度的概念。 对于点( i ，j ) 的邻域n ( i ，j ) ，如果点( i ，j ) 上某一标记发生的先验概率为p ( i ，j ) ，( 1 一 p ( i ，j ) ) 为邻域n ( i ，j ) 对该标记的拒绝接纳程度，简称为拒纳度。 邻域概念的引入以及先验概率由m r f 提供，所以拒纳度包含了空间位置信 息，故改进之后的模糊c 均值算法，其新的目标函数的形式如下： ，= “喜肿2 ( 1 一骢j ) ) l l y 瓴舻1 1 2 公式( 3 _ 7 ) 式( 3 - 7 ) 中，只( f ，) 为在邻域( f ，) 作用下，将像素( i ，j ) 标记为第k 类的先验 概率，由3 1 5 2 节所介绍的多级逻辑模型提供，1 - p k ( i ，j ) 即为相应的拒纳度。 文章m 1 中仅考虑含有两个点的势能函数，本文中采用含有单点和两点的势能函 数。 引入m r f 之后，隶属度矩阵和聚类中心的更新过程可以用以下公式表示： 枷卜躲一 渺( f ，) 一q i l 2 ( 1 一最( f ，圳 圪：笔等嵩筹 嘟9 ， 2 专鬲万f 丽 公瓦u 拶j 因此，改进算法的步骤如下： ( a ) 确定分类数，设定迭代停止阈值e o ，置迭代次数t = 0 。 ( b ) 运行k - m e a n s 得到初始分类结果。 ( c ) 利用( b ) 的结果，计算初始聚类中心及隶属度矩阵。 ( d ) 由式( 3 6 ) ，由( b ) 的分割结果，计算图像中各点属于各类的先验概率 只( l ) 。 ( e ) 根据式( 3 8 ) ( 3 9 ) 计算更新聚类中心和隶属度矩阵。 ( f ) 根据隶属度矩阵，根据最大隶属度原则，将软分割结果转化为硬分割结 果。 ( g ) 判断是否收敛或者是否达到最大迭代次数，否则转至( e ) ，是则输出分割结 果，算法结束。 改进之后的模糊c 均值算法对图2 - 1 中的四幅图像的分割结果如图3 3 所示。 2 6 硕士学位论文第三章马尔科夫随机场理论及其应用 从图中可以看出，改进之后的算法的抗噪声能力有了明显提高。 3 3 基于m r f 的f g m 算法的改进 基于高斯混合模型的分割算法在对图像进行分割时同样没有考虑到空间位 最信息的影响，因此以g i b b s 能量的形式引入空日j 信息，可以提高分割结果的精 确性【5 ”。f g m 改进算法中需要用到选代条件模式( r c m i t e r a t e dc o n d r i o n a lm o d e ) 算法，因此本节首先介绍i e m 。 331 迭代条件模式算法 迭代条件模式是一种局部条件概率最大化的确定性算法，是由b e s a g m 悭出 的，为了解决m r f 的联合概率难以最大化的问题。选代条件模式利用贪婪策略 使每一步迭代撮大化以完成对马尔科夫随机场联合概率最大化求解的优化过 程。 圈3 - 3 改进的模糊c 均值算法结果显示 f a d 埘应图2 - 1 中l e + h 的分割结果 2 7 d 硕士学位论文 第三章马尔科夫随机场理论及其应用 尸( 石id ，z 叫 ) 为条件概率，也称为后验概率。计算该概率时，有两个假设条 件： a ) ：观测值d l ，d m 是条件独立的，并且具有相同的已知条件密度函数 p ( zj 石) ，该密度函数只与f - 有关。用式子表达为： p ( df ) - - i - i ，尸( 4z ) b ) ：某个像素点的标记只与其邻域像素有关，也就是马尔科夫性。 根据这个条件以及