（计算数学专业论文）逆m、逆z矩阵的性质及相关结果.pdf

摘要 摘要 逆m 矩阵和逆z 矩阵是重要的非负矩阵且有着广泛的应用，特别是生物学、 物理学和数学中的很多问题都与二者理论有着密切的关系正是由于逆m 矩阵的 广泛应用，近几年来，逆m 矩阵和逆z 矩阵一般性质引起了人们相当大的研究兴 趣，但是同m 矩阵较为成熟的理论相比，逆m 矩阵、逆z 矩阵的研究还处在较为 不成熟的阶段本文主要研究在理论和应用中都有重要意义的逆 厶逆z 矩阵的 结构性质，以及相关的子矩阵，如矩阵的s h l l r 余，p e r r o n 余等 第二章主要研究一类树结构逆 逆z 矩阵，图的理论和方法被应用于矩阵 结构和性质的研究，图的理论和矩阵理论有着密切的关系，并且图理论用于矩阵 的研究有着直观、简洁的特点，二者的研究具有互补的关系，用图的理论和方法研 究矩阵一直是矩阵理论研究的一个重要方向在本章，我们给出了非负矩阵为树 结构逆村、逆z 矩阵的充分条件以及充要条件 第三章为了区别不同文献对0 矩阵不同的含义，我们用孵矩阵表示为元 素非正，且所有主子试均为非正的矩阵，用川矩阵表示工。矩阵非负不可约矩 阵p e n d n 余的概念是由m e y e r 于1 9 8 9 年提出，用于计算p e 玎o n 向量算法的构造 不可约矩阵p e r r o n 余的p e 玎o n 向量同原矩阵p e r r o n 向量有着继承性，另外非负矩 阵的p e r r o n 余也可用于p e r m n 根的估计，因此非负矩阵的p e n d n 余的研究有着重 要的理论价值我们这里是把p e 玎o n 余的概念推广到了非正不可约矩阵。显然它 也具有非负矩阵相类似的性质，逆：矩阵又是特殊的非负矩阵，我们证明了在一 定条件下，逆：矩阵和；矩阵的广义p e 玎o n 余的继承性，并给出了相关的不等 试：逆州矩阵和孵矩阵的广义p e “d n 余逆矩阵的不等式；逆职矩阵的主子阵与 其逆矩阵的不等式 第四章研究非严格广义双对角占优矩阵的s c h l l r 余的性质，对角占优矩阵是 数值计算中经常遇到的一类矩阵，它的s c h l l r 余可应用于迭代法的构造我们知 道对角占优矩阵的s c h u r 余是对角占优矩阵，对于双对角占优矩阵也有这样的性 质，这种性质也可以推广到了严格广义双对角占优矩阵的情况。我们证明了非严 格广义双对角占优矩阵的s c h w 余在一定条件下可保持对角优势的特性 关键词：逆矩阵，逆z 矩阵，逆川矩阵，s h l l r 余，p e f r o n 余 电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t h 】e r s em m a t d c e s 姐di n v e r s ez m a t r i c e sa r ci m 口o r t 觚tm a t r i xa n dt 1 1 e r ca r e m a l l ya p p l i c a t i o ni n v o m n gi l e r s em - m a 砸c e s 趾d 讪v e r s ez m 枷c e s ，e s p e c i a l l yi n b i o l o g y ，p h y s i c sa n dm a t h e m a t i c s b e c a u s eo fv d u a b l e a p p l i c a d o no fi n v e r s e m m 僦c e s ，m eg e n e r a lp r o p e n i e so fi n v e r s em m a 砸c e sa n di n v e r s e 厶m a 缸c e sc a u s e m 锄yi n t e r e s 廿n g so fs m d y i l l g f o rm m 枷c e s ，a1 a f g en 啪b e ro fp f o p e n i e sa n d c h a r a c t e r i 蹦i o n se x i s t h o w e v e r ，c l a s s e so fi n v e r s em m 砌c e sa n di n v c r s ez ma _ 仃i c e s n e e dt ob es t u d i e df 1 1 n h e r l y i nt h i sp a p e r ，w es m d yac l a s so fi r l v e r s em m 蚵c e sa i l d i n v e r s ez - ma _ 蛹c e so ft r e es 忸l c t u r e ，w m c hh 科em u c hv a l u ei na p p l i c a t i o na n d t h e o r y 8 n dm a t r i c e sa s s o c i a t e d 们也也eo r i g i l l a lm 捌c e s ，f o re x n l p l es c h u rc o m p l e m e n 招， p e r r o nc o m p l e m e m s ，e c t 1 nc h 印t e rt 、o ，、es t u d yac i a s so fi n v e r s em - m 嘶c e sa n di n v e r s ez - m 删c e s g r 印ht h e o r yi su s e dt od i s c u s sm es 讯l c t u r ea n dp r o p e n i e so fi n v e r s em m a t r i c e sa n d i r e r s ez - m 撕c e s s l l f 矗c i e n t 觚dn e c e s s a r ) c o n d i t i o n sf o ram 砌xt ob ea l li n v e r s e m - m 删xa i l di n v e r s ez - m a t r i xa r eg i v e n hc h a p t e rn 鹏e ，i no r d e rt od i s t i n c t “一m a 仃i c e s 血a td e f i n e db yd e f e r c n t r e f e r e n c e s ，w ew i l lu s et h ef o l l o w i n gn o t j o n s am a t r i xi sc a l l e d ：一m a t r i xi ft h e m a t r i xi s n o n p o s i 廿、哈a n d i t s a l l - p r i r l c i p a l m i n o r s盯e n o r l p o s i t i v e w ec a l l l ：l - m a t r i c e sf 0 r 州一m a t r i c e s m e y e ri n t m d u c e dt l l ec o n c e p to ft h ep e r r o n c o m p l e m e mo f an o 雎e g a t i v ea i l di r r e d u c i b l em a t l 讧i n1 9 8 9a i l du s e di tt oc o n s t r u c ta i l a l g o r i t l l i i l f o rc o m p u t i n gt h es 诅t i o n a r yd i s t r i b u t i o nv e c t o rf o rm a r k o vc h a i n s w e e x t e n dt h ep e r r o nc o 埘i p l e m e n t so fn o n n e g a t i v ea n di r r e d u c i b l em 删c e st ot h ep e r r o n c o m p l e m e n t so fn o n p o s i t i v ea n di r r e d u c i b l em a t r i c e s i nt l i sc h a p t e r ，w es h o wt 1 1 a t p e d nc o m p l e m e n t so f j m a n j c e sa r c j m a t r i c e s w ea l s od e m o n s h a t et h e p e r r o nc o m p l e m e n t so fi n v e r s e 州一m 删c e sa r ei n v e r s e 州一m a t r i c e sw i t l lc e n a i n r e s m c t i o n i na d d i t i o n ，w e 百v es o m er e l a t e dm e q u a l i t i e sa b o u tp r i n c i p a ls u b m a t r i c e s o f i n v e r s e ：一m a t r i c e s i nc h 印t e rf o u r ，a si sk n o w n ，也es c h u rc o m p l e m e n t so fd i a g o n a l l yd o m i n a i l t m a m c e sa r cd i a g o n a l l yd o m i n 觚ta n dt h es 枷ei st n l eo fs t r i c t l yd o u b l yd i a g o n a l l y l i a b s t r c t d o m i 彻n tm a 仃i c e s a n dt 1 1 er e s u l tm a ya l s ob ee x t c n d e dt o 也eg e n e r a j i z e ds t r i c 廿y d o u b l yd i a g o n a l l yd o m i l l a i l tm a 打i c e s w es h o wm es c h l l rc o m p l e m e mo f ag e n e r a l i z e d d o u b l yd i a g o n a l l yd o m i n a l l tm a t r i xi sad i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i x1 1 n d c rs o m e c o n d i t i o n s k e r w o r d s ：i n v e r s em - m 删x ，i m ，e r s ez m a t r i x ，i n v e r s e 州一m a t r i i c e s ， s c h u r c o m p l 锄e n t ，p e r r o nc o m p l e m e n t i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 鸳竺生 日期：删r 年) 月 f 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 1 i b d p 一 导师签名： 日期： m o 年f ) ，月日 第一章引言和记号 第一章引言和记号 随着科学技术的飞速发展，矩阵理论已成为各科技领域处理数学问题的强大 工具，同时它在系统工程、稳定性理论、计算方法等相关学科，特别是在计算机科 学中也得到了广泛的应用m 矩阵和z 矩阵分别是矩阵理论中相当重要的矩阵， 有着广泛的应用，特别是生物学、物理学和数值代数中很多问题都与二者理论有 着密切的关系相当多的文献涉及m 矩阵和z 矩阵性质以及应用的研究，如文献 1 6 ，1 7 ，2 0 ，2 3 ，2 6 ，2 7 】，m 矩阵和z 矩阵是研究的比较成熟的矩阵非负矩阵是矩 阵论中一个重要的矩阵类，它的一个重要性质是它有一个非负的特征值和与这个 特征值相对应的非负特征向量，而这个特征值就是矩阵的谱半径严格 u l t r 锄e t i 记矩阵在理论和实际应用中都具有重要的价值，文献 3 】对其进行了系统 的研究，它的逆矩阵是具有对角占优的肘矩阵，由于其特殊的结构和重要的应用， 文献【4 ，5 】分别将其进行了推广，使人们对一般的逆矩阵为m 矩阵的非负矩阵的认 识有了很大的提高，同时也引起了人们对一般的逆矩阵为m 矩阵的非负矩阵进一 步研究的兴趣，这就是本文所要论述的逆m 矩阵，也就是逆矩阵为m 矩阵的非负 矩阵，同理，逆z 矩阵是指逆矩阵为z 矩阵的非负矩阵逆m 矩阵以及逆z 矩阵 在生物学，数值代数等领域有着重要的应用，逆m 矩阵的研究无疑对吖矩阵和非 负矩阵的研究都具有重要意义，但目前这一领域的研究工作还不完备，因此逆m 矩阵和逆z 矩阵的研究具有重要的实际应用和理论价值但是，同肘矩阵研究较 为成熟的理论相比，逆肘矩阵和逆z 矩阵的研究还处于较为不成熟的阶段 为了叙述方便，引入如下定义和记号： 令c 表示所有元素为实数的n 即阶矩阵的集合，设爿= ( ) c “”，若 月 i 玎j ，l 只( 爿) = i 口f l ，f = l ，2 ，一，雄， ( 1 _ 1 ) = 1 ，刊 称彳为行对角占优矩阵若( 1 1 ) 中不等式均严格成立，则称一为严格行对角占优 矩阵 若 h i 巨弓( 彳) = hi ，= 1 ，2 ，”， ( 1 - 2 ) 电子科技大学硕士学位论文 称爿为列对角占优矩阵若( j 2 ) 中不等式均严格成立，则称爿为严格列对角占优 矩阵 设爿= ( 口。) c ，若任意f = 1 ，2 ，以有 i 口。i l 口“，= l ，2 ，刀，( 1 - 3 ) 称么为按元素行对角占优矩阵若( 1 3 ) 中不等式均严格成立，则称爿为严格按元素 行对角占优矩阵若任意，= 1 ，2 ，n 有 i 口i i 口l ，f = 1 ，2 ，胛，( 1 - 4 ) 称彳为按元素列对角占优矩阵若( 1 4 ) 中不等式均严格成立，则称爿为严格按元 素列对角占优矩阵 令r 表示所有胛一阶实矩阵的集合，设4 ；( 嘞) r 和口= ( ) 晨“”， 爿为非负( 非正) 矩阵当且仅当4 ( ) o 当且仅当口。( ) 0 4 ( ) b 当且仅当 爿一曰( ) 0 称( 一) = ，) 矗“为矩阵一= ( ) 露的比较矩阵，如果满足 ，f 口 f = 2 1 一戊泌 矩阵的可约和不可约：每行和每列都只有一个元素是】，其余的元素是零的方 阵称为排列阵( 或称置换阵) ；设方阵一= ( ) 的阶胛2 ，若对集合矽= 1 ，”) 的 任意两个非空不相交的子集s 和正s + 丁= ，都是有f 和 ，满足f s ，r ，且 口。o ，则称爿为不可约，否则称一可约 以后除特殊声名外均设矩阵的阶不小于2 称一为z 矩阵，如果满足口。s o ，f f ，= l ，”；称4 为m 矩阵，如果 爿为z 矩阵，且4 - 1 o ；对逆膨矩阵，我们还有比较常用的另一等价定义，令 爿= 甜一只满足口 p ( b ) ，b 0 这里p ( b ) 为矩阵曰的谱半径，则称爿为m 矩 阵 对于z 矩阵我们也有类似的定义，设4 = ( 4 ，) r “”，令彳= 甜一b ，口0 ，且 有n ( 曰) 岱 d 口 并且证明了d 型矩阵的逆为三对角逆m 矩阵，如果满足口。 口。 q o 如 果不考虑吼的大小顺序，称爿为弱d 型矩阵；如果矩阵彳置换相似于d 型矩阵( 弱 d 型矩阵) ，称爿为n i p p e d d 型矩阵i p p e d 弱d 型矩阵) 定理1 【3 0 1 设一= ( 口。) r 为非奇异不可约，下面两个条件等价： ( i ) 爿是逆三对角z 矩阵； ( i i ) 存在一个，l 阶正对角矩阵d ，使得d c _ 彳。b ，这里一为弱d 型矩阵元素为口。 和b 为弱d 型矩阵元素为6 j ，满足口，匆一。一口。6 j o m i c h o n 和s a nm a m n 给出了一个非负对称矩阵类，称之为严格1 1 1 饷m e t r i g 矩 阵，它是对称严格对角占优m 矩阵的逆矩阵，即是一类逆m 矩阵，在实践中有着 广泛的应用”随后n a b b e n 和g a 等人对其作了深入研究和推广【4 j 】 称爿为u l t r a m e t r i c 矩阵【3 】如果爿满足下列条件： 1 ) 一是非负对称矩阵； 2 ) 口。m i n 口* ，口h ) ，对任意f ，_ j n ) ； v l jj 吼q ，、【 = 电子科技大学硕士学位论文 3 ) m a ) 【 ：七( n f ) ，对任意f ( 聆 称爿为严格u l 衄n e t r i c 矩阵，如果( 3 ) 中的不等式严格成立对任意f ( 磅 称矩阵4 为广义u l t r 锄c t r i c 矩阵【4 ，5 】，如果满足下列条件 1 ) 一是非负矩阵， 2 ) 口n i n a x 口。，口) ，对任意f ，( ”) ， 3 ) 对任意的f ， j 满足 i ) 口f = 日斑，口= 日向， i i ) 聊m 口肚，口时) m i n 口，口“) ， i i i ) m c z x 口抟，口扫) m a x 口雕，) 4 ) 口d m i n d m ，口目) ，对任意i ，七( 门) 称矩阵4 为广义严格u l t r a m e t r i c 矩阵，如果( 2 ) 中所有不等式严格成立 如果存在一个实数r ，使得4 + 谨8 7 为严格，。义u l t r a m e 仃i c 矩阵，则称矩阵彳 为广义s h i f i e du l 眦n e 晡c 矩阵显然，矩阵是广义u l t r 黜e 缸c 矩阵也一定为广义 s h i r e du 1 廿a m e t r i c 矩阵若矩阵爿为广义s h i 舭du l 订a m e 廿i c 矩阵，但不是广义 u 】t r 锄e t r i c 矩阵，那么称矩阵一是u ；j ，形矩阵，且满足下列两个条件： 1 ) 口f 0 对任意f ，( 弹 ，f _ ， 2 ) p 是矩阵4 的非奇异为m 矩阵的主子阵最大阶数，若不存在非奇异为m 矩阵 的主子阵，则p = o 有关u ；j 一，形矩阵的相关性质参看文献【2 3 关于m 矩阵最优美的性质之一就是它的逆矩阵是非负矩阵，但是反过来就不 一定成立了，也就是说，非负矩阵的逆矩阵一般不是m 矩阵首先，m 啦h 锄在 1 9 7 2 年给出了非负矩阵的逆矩阵是非奇对称m 矩阵的充分条件，介绍了一类非负 对称矩阵被称为d 型矩阵，它的逆是非奇对称m 矩阵r a w i l l o u g h b y 在1 9 7 7 年对逆m 矩阵一般性质进行了研究，得到了逆m 矩阵的若干子类【2 ”f i e l d e r 、 j o l l i l s o n 和m a 衄l 锄于1 9 8 7 年通过逆肘矩阵集合闭包的等价描述给出了一系列 的逆m 矩阵的等价表征比较具有理论和实用价值的逆肼矩阵的等价表征无疑对 逆m 矩阵的研究还是非负矩阵的研究都具有重要意义，但目前这一领域的研究工 作还不完备 图的理论方法应用于矩阵理论的研究，直观、简洁的表达了某些矩阵类的组 合特征。图的理论在逆m 矩阵的研究中起到了重要的作用l e w j n 和n e u m a n n | l o 】 图的理论方法刻画了( o ，1 ) 逆m 矩阵的组合特征，并给出了逆m 矩阵一些组合 性质一为非奇m 矩阵，那么一。为正矩阵或者为可约矩阵，这里给出了逆m 矩阵 4 第一章引言和记号 非常重要的组合特征，也就是说，逆m 矩阵或者是正矩阵或者是可约矩阵；如果 4 是一个( 0 ，1 ) 逆m 矩阵，那么4 是本质三角的图的理论方法对非( o ，1 ) 逆肘矩阵 的刻画，对逆膨矩阵结构的认识也是具有重要意义的，但这方面的结果不多，值 得深入研究 对于一个给定的矩阵类，我们常常感兴趣该矩阵类被它们的子矩阵或与原矩 阵相关的矩阵继承的某些重要的性质和结构设彳是个非奇膨矩阵，那么它的 所有主子阵都是m 矩阵，一个非常著名的结果，它的s c h l l r 余也是m 矩阵，同样， 对于逆m 逆矩阵，也有爿的所有主子阵都是逆矩阵，它的s c h u r 余也是逆肘矩 阵p e h d n 余的概念是由m e y e r l l 2 】于1 9 8 9 年提出，并用于构造计算马可夫链扰动 向量的算法，m i c h a e l 和n e 啪a n 3 l 提出并讨论了逆m 矩阵的广义p e r r o n 余，并 得出逆m 矩阵的广义p e m n 余是逆m 矩阵 刻画逆m 矩阵类的困难导致了逆m 矩阵一般性质的研究和其子矩阵类的刻 画。m a n i n m i c h o n 和s a nm a m n 【3 】给出了一个非负对称矩阵，称之为严格 u l t 斌n e 砸c 矩阵，它是严格对称对角占优肘矩阵的逆矩阵，即是类逆m 矩阵，在 实践中有着广泛的应用随后n a b b e n 和、，魂a 等人【4 。1 对其作了深入研究和推广 到了广义u l 仃a m e t r i c 矩阵严格u l 订a m e 仃i c 矩阵以及广义u l t r a m e 砸c 矩阵的结构性 质的研究比较多，具有定的成熟性但它的相关矩阵结构如h a d m a r d 积的性质， s c h u r 余以及p e r r _ o n 余的性质都有待于深入研究，同样这也适应于其他的子矩阵 类，如逆m m a 矩阵类，u n i p a t l l i c 矩阵类，诵l l o u g h b y 逆m 矩阵类等 对于吖矩阵的h a r d 瑚a r d 积的各种性质【6 7 ，8 l ，我们知道的已经很多，例如果c 和d 是非奇肘矩阵，那么比较矩阵( co 功和co d “都是非奇时矩阵n e u m 咖 于1 9 9 8 年提出猜想，如果4 是逆肘矩阵，那么彳。爿也是逆m 矩阵，又证明了这 一猜想对u l t i _ a m e t r i c 矩阵类，逆此 列矩阵类，u i l i p 甜l i c 矩阵类，w i l l o u g l l b y 逆m 矩 阵类和口删矩阵类成立；2 0 0 4 年s h e n c a l lc h e n 证明了这一猜想对所有逆m 矩阵 成立我们知道如果4 ，四詹逆m 矩阵，一。占不一定是逆m 矩阵，但对于不高于 3 阶的逆吖矩阵是h a r d m 8 r d 积封闭的当n 3 时，上述结论对某些逆肘矩阵类 也是成立的，如谢1 1 0 u g h y 逆m 矩阵类，三角逆m 矩阵类如果4 、占是逆m 矩 阵，一方面，爿o b 及其s c h u r 余的性质【1 ”有待于进一步的研究，另一方面，可以把 h a r d m a r d 积的封闭性推广到其他子矩阵类 z 矩阵在应用和理论研究也有重要的价值，和生物学、物理学和数学中的很 多问题有着密切的关系，m 矩阵正是最特殊z 矩阵，它们二者的研究具有极强的 互补关系逆m 矩阵正是最特殊的逆z 矩阵关于逆z 矩阵的研究，随着人们对 电子科技大学硕士学位论文 逆m 矩阵研究的深入，成果也在不断涌现出来，如逆o 矩阵和逆r 矩阵，逆三 对角z 矩阵1 1 4 4 ”同逆m 矩阵的研究相比，逆z 矩阵的研究结果要少，但由于它 们之间密切关系，逆m 矩阵的有些结果以及研究方法可以应用于逆z 矩阵的研究 本文主要研究内容，第二章主要研究一类树结构m 逆z 矩阵。图的理论和方 法被应用于其结构和性质的研究，我们给出了非负矩阵为树结构逆m 逆z 矩阵的 充分条件以及充要条件第三章为了区别不同文献中的“矩阵，我们用；矩阵 表示为元素非正，且所有主子矩阵均为非正的矩阵，用州矩阵表示三。矩阵主 要讨论了逆；矩阵和职矩阵及其相关矩阵结构的性质：逆职矩阵和：矩阵的 广义p e 玎o n 余的继承性及其逆的不等式，逆：矩阵的主子阵与其逆矩阵的不等 式第四章我们知道对角占优矩阵的s c h l l r 余是对角占优矩阵，对于双对角占优矩 阵也有这样的性质，这种性质也可以推广到了严格广义双对角占优矩阵的情况 我们证明了非严格广义双对角占优矩阵的s c h i l r 余在一定条件下可保持对角优势 的特性 6 第二章树结构矩阵性质于逆抵逆z 矩阵应用 2 1 引言 第二章树结构矩阵性质于逆从逆z 矩阵应用 m 矩阵和逆m 矩阵有着广泛的应用，特别是在生物学、物理学和数学中的很 多问题都与二者理论有着密切的关系正是由于逆射矩阵的广泛应用，近年来。 人们对于逆m 矩阵一般性质的研究产生了相当犬的兴趣，但是同m 矩阵较为成熟 的理论相比，逆m 矩阵逆z 矩阵的研究还处在较为不成熟的阶段本文主要研究 在理论和应用中都有重要意义的一类逆 逆z 矩阵：树结构逆 厶逆z 矩阵及 逆树形m 矩阵 在本文中，我们所涉及到的矩阵均为实矩阵，如果胛阶矩阵爿= ( d 。) 对所有的 f ，歹满足口。蔓( ) 0 ，我们称4 为非正( 负) 矩阵，并分别记为4 s ( ) 0 令( ) = 1 ，一，n ，口( 疗) ，卢( 玎) ，口= 如) 口，= ( 玎) ，则一 口，卢 表示 矩阵彳行和列为分别在口和中的子矩阵，若口= ，则4 口，卢】简记为川d 】 如果一【口 为非奇异矩阵，那么4 【口 在一中s c h u r 余为 4 4 a = 彳 口卜一睁，口】彳_ 1 g 】趣口，口】。 下面介绍本文用到的有关图论的知识： 一个阼+ 1 个点的赋权图g 音( 以d 是指点集为净 o ，聍 ，边g 。e ( f ，y ) 赋权为o 月，这里允许“ o ；设口 o ，n ) ，g ) 表示图g 包含点集口 的子图 对于无向图g 气巧点) ，边集 ( 岛，屯) ，( 以+ 七，) 称为从点f 到点，的一条路， 这里毛= i 和七，= ，记作0 路0 是一个圈，如果毛= f = ，= 七，r 3 ，且 毛，后，是互异的点 不含任何圈的图称为无圈图一棵树r 是指连接的无圈图，也就是说任意两 点都有唯一的一条路相连 一棵根树r r 。，是对一棵树r 固定一个特殊的点称之为树根的树图在根树中， 从树根到任一点的通路的边数，称为该点的层数；称层数相同的点在同一层上； 为了区别树r 与根树r ( 。，总是假定树r 有点集 o ，”j ，而根树r o ) 有点集 o ，n ，树根记为o ，且处于树的第零层一般的，同一层上点的顺序为从左至右， 电子科技大学硕士学位论文 我们对根树的点从第零层开始从0 到咒进行逐层标记，树根标为o r 在点珀口一 个分枝r l 是从点f 开始的r 的删去唯一边e 。， o ，当且仅当一为逆m 矩阵； 2 ) f 。 o ( ，喾1 ) 且f 1 0 ，设一= ( c 。) 。，矩阵4 - 1 为肘矩阵，则由定 理b 知 f ，2 m f = 一夕毛，f ，f = 2 ，玎， 而c “ o ， 扛2 ，一； 2 ) 矩阵爿有如( 2 - 1 ) 形式的分解，易知矩阵彳为u ；j 一，由文献 2 2 】定理2 9 可 知矩阵一为逆厶一。矩阵 3 ) 充分性显然4 0 ，而又彳1 为z 矩阵，从而4 为逆矩阵； 必要性设4 = ( c 。) 。，矩阵爿- 1 为z 矩阵，则由定理b 知， f ，2 2 一，f ，j - 2 ，h ， 而。f o ，f - 2 ，玎 1 0 第二章树结构矩阵性质于逆m 、逆z 矩阵应用 由一 o 知q o ，f l + o 令 d = 旃b 双d 1 ，d 。) = d z e 双e j 4 _ 1 ) 和产d 妇烈 ，厶) = d 匆烈4 _ 1 q ) ， 显然d ，f 为正对角矩阵，因此尉d 为非奇异矩阵，且g 口掰剀= r 进而有 ( 尉d ) 1 e ；= x ，p 和e j ( 尉d ) = ，e 7 ， 由定理b 知u = ( ，肋) 。1 为关于根树r 0 1 的树结构矩阵又= d 。爿。1 ， 一1 为逆m 矩阵d 一，。1 为正对角矩阵，所以u 为逆m 矩阵 相反，由上面的证明反推，可知逆命题成立 证毕 推论6 设4 = ( d 。) 月“为非奇异，不可约对称m 矩阵和r = g ) 为一棵树， 那么存在正对角矩阵 d 气渤甄吐，d 。) ， 以及关于根树r f 。，的树结构逆m 矩阵u ，使得 一- 。= d u d ： 相反，设矩阵u 为关于根树r f o 、的树结构逆膨矩阵，那么对任意对角矩阵 嘞酞一，以) ， 满足d ，o ，对所有的f 成立，那么( d ) 。为不可约对称m 矩阵且 g ( ( d u d ) h 1 ) = r 定理7 设4 = ( 口。) r “”为非奇异，不可约m 矩阵和r = g ( 爿) 为一棵树，存 在正对角矩阵 电子科技大学硕士学位论文 d = d 坝如d 。) 和卢d i a g ( 石， ) 以及关于根树l 。、的树结构逆m 矩阵u ，使得 4 = ( c “) 尺”= d u f 令口( 胛) ，卢= ( 珂) 口，饥口 对应于以1 ( 包含1 ) 为根的若干分枝，那么 _ 1 一- 1 陋】= d ( 卢) u u 口】f ( 卢) 和一- 1 一_ 1 】= d ( 口) u u 【 f ( 口) 证明由于爿为非奇异，不可约m 矩阵，那么叫口】，圳】非奇异矩阵，再由 定理1 。从而 一- 1 一。k = d 【坍d 【坍陋 = d u h 用一d 【伊【卢，口 ( d 咿陋】) _ 1d 明7 陋，冈 = d 】u 【卢】f 【卜d 卢】u 【卢，酣】f 口 ( d 口】) u 噼 ， 睇 ) - 1d 口】u 【口，声】f 【卢】 = d 】u 【 f 【卜d 【户】【， ，口 ( u 【口】) 。u 【口，】f 】 = d 】( u 】一u ，口 ( u 【口】) - 1 u 口，卢】) f = d ( p ) u u 陋】f ( ) 同理， 4 _ 1 一_ 1 卢 = d ( 口) u u 【卢】f ( 盯) 证毕 下面讨论比较特殊的树形( 结构) 矩阵：星形( 结构) 矩阵，它对应的图为 星形正是由于其结构的特殊性，我们比较容易的对其归类我们考虑星形结构矩 阵，同样r ( 。) 为点集 o ，n 上的赋权星形根树，爿= ( 口p ) r ”为关于根树r ( 。) 的 星形结构矩阵，有如( 2 - 1 ) 形式的分解，且不妨设q f ： f 。考虑t 的不同 取值，我们有下面的结论： 定理8 设r ( 。) 为点集 o ， 上的加权星形根树，4 = ( 口f ) 置”为关于根树 r f 。，的星形结构矩阵，有如( 2 1 ) 形式的分解，且气 f ： 0 ，当且仅当一为逆m 矩阵； 一卜1 兀 2 )f l o ( ，1 ) 且x m i n 一咒，一垃生生等竺生) ，1 s ”， 兀f f i l 1 ， 第二章树结构矩阵性质子逆 不逆z 矩阵应用 当且仅当爿为逆三。一矩阵 证明1 ) 由定理2 3 知命题显然成立； 3 ) 充分性首先如叫2 丌t o f = l 令口( 竹) ，卢= ( n ) 口，以p i 表示口中点的个数，考虑d 刚 口 的符号： 若1 口，不妨设口= 1 ，f 。 ，0 棚胛一1 ，则 d e “【口】- f 1 兀飞 o ； t = l 若1 芒盯，设口= 编，) ，行一j + 1 s 所 刀，则至少有一个，满足0 0 ，使 得f 搿，不妨设= j 则f l 一f f ；从而 mm d 刚 口】= ( 1 十q 尼) f k 女= 1i ；l = 兀_ + 1 氓+ 口。口b + + 吒口一，) t ；l m ， 电子科技大学硕士学位论文 t d = ，= 。，州 证明类似定理8 的证明过程 1 4 第三章逆j 矩阵的广义p e n 余和相关结果 3 1 引言 第三章逆州矩阵的广义p e r r o n 余和相关结果 在本章中，我们所涉及到的矩阵均为实矩阵，如果n 阶矩阵爿= ( 口。) 对所有的 f ，满足。! ( ) o ，我们称为非正( 负) 矩阵，并分别记为爿s ( ) o 为了区别在第一章提到的逆、逆风矩阵，我们称矩阵一为2 ( 啊) 矩阵， 如果爿为非正矩阵，且所有主子矩阵均为负( 非正) 称爿为1 矩阵，如果五 f p ( 研，这里z 为毋的所有m 1 阶主子矩阵的谱半 径取最大者；称4 为：矩阵，如果有五s f p ( 丑) 分别称一是逆五逆 逆v 、逆州矩阵，如果矩阵爿可逆并且逆矩阵分 别为z 、肘、。、：矩阵显然，逆 逆1 、逆峨矩阵为特殊的逆z 矩阵 而逆1 、逆v ：矩阵分别为特殊的2 、：矩阵 令( ) = 1 ，n ，口( n ) ，p 玲) ，口= ( 玎) 群，= ( ”) ，声。则且 a ，卢】表示 矩阵a 行和列为分别在群和芦中的子矩阵，若口= 卢，则叫口， 简记为叫a 】如 果爿肛】为非奇异矩阵，那么爿k 】在中s c h u r 余为 d ，a 口 皇【d 一p ，a 4 一 口】“ ，掰】 设一为分块如下的矩阵： 爿2 陵乏 b - ， 如果4 。为非奇异矩阵，那么 。在4 中s c h u r 余为 一4 1 = 一2 2 一鸣1 一叫4 2 易知，如果4 和爿，都为非奇异矩阵，那么省，一。也为非奇异矩阵，且有 = r 篡麓始紫一。卅协舻r 1 倍z ， l一( ，4 j i ) _ 2 i 0( 一，4 - ) _ j 。 p e n d n 余的概念是由m e y c r 于1 9 8 9 年提出的，由于非负不可约矩阵p e r r o n 余矩阵的p e “o n 向量对于原矩阵的p n 向量具有继承性，p e r r o n 余矩阵被用于 计算m a r k o v 链分布向量算法的构造l ”1 随后m i c h a c l n e u a m a i l n 将其作了推广， 计算m a r k o v 链分布向量算法的构造l ”1 随后m i c h a c l n c u a m a n n 将其作了推广， 电子科技大学硕士学位论文 并研究了逆吖矩阵推广的p e 玎o n 余，得出结论它仍是逆m 矩阵m 1 我们的主要 思想就是把非负不可约矩阵的p c 玎o n 余的概念推广到非正不可约矩阵，并用于逆 州矩阵相关矩阵结构的研究 对于 阶非负不可约矩阵4 ，设呈( 疗) ，口= ( n ) ，由m e y e r 的定义，那么 一 用在4 中的p e 椭n 余为： p ( 彳，4 【d = 4 口】+ 一 口，卢】( p ( 爿) ，一爿 ) q 彳【卢，口( 3 - 3 ) m i c h a e ln e u a m a l l l l 将其作了推广： ( 4 爿【】) = 爿 口】+ 4 口，】( 玎一d 卢】) _ 1 彳 声，卅 ( 3 4 ) 这里f p ( 一) 我们对于非正不可约矩阵名，关于p e n d n 余的概念做以下推广： ( 爿4 卢】) = 4 【口】一4 口，卢】( 盯+ 一 卢】) 1 4 【，口】 ( 3 5 ) 这里，p ( 彳) 显然，对于非负不可约矩阵，( 3 - 3 ) 、( 3 - 4 ) 式均是非负矩阵；对于非 正不可约矩阵，( 3 - 5 ) 为非正矩阵 由文献【1 2 】，我们可以知道，对于一个非负不可约矩阵4 ，设它的谱半径为 p ( 4 ) ，4 用在彳中的p e r m n 余p 口一【 ) 仍为非负不可约矩阵，它的谱半径为 p ( 4 ) 对于非正不可约矩阵彳也有完全类似的性质，即爿 仞在一中的p e r r o n 余 p 御】) 仍为非正不可约矩阵，它的谱半径为户( 爿) 3 2 性质和引理 判定一个矩阵是否是逆z 矩阵的问题被称为逆z 矩阵问题，当然，这个问题 包括逆m 矩阵问题，逆州矩阵问题，即判定一个矩阵是否是逆m 矩阵、逆联矩 阵问题对于逆：矩阵问题，相当多文献涉及，如文献【1 4 - 1 7 ，2 1 - 2 3 ，但远没有解 决由文献【2 0 】中的定理2 7 ，我们很容易得到下面的结论： 定理1 设爿为甩阶实矩阵，4 。为z 矩阵，下面的条件是等价的：