典型数理方程推导课件.ppt

第1章典型数理方程推导和定解问题,1.1偏微分方程基本概念1.2三类典型数理方程推导1.3定解问题及其适定性1.4偏微分方程线性叠加原理,数学物理方法研究问题的步骤：,写出定解问题：包括泛定方程和定解条件，把物理问题转化为数学语言(数学语言翻译物理规律)求解：数理方程的求解方法大致有行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、数值解法等，以上解法我们将在以后一一阐述。分析解答：解出答案，需分析其意义及适定性。适定性：指解是存在的唯一的而且是稳定的。对物理规律进行解释。,1.1偏微分方程基本概念,1.微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程(DifferentialEquation)2.常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.,一.基本概念和定义,3.偏微分方程(PartialDifferentialEquation)：含有未知函数关于自变量的偏导数的等式(描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系)。一般形式为：注：F可以不显含自变量和未知函数，但必须含有未知函数的某个偏导数。,一.基本概念,4.偏微分方程组：多个未知函数，多个PDE。5.PDE的阶：出现在PDE中最高阶偏导数的阶数。6.PDE的线性与非线性：(1)如果PDE关于未知函数及其各阶偏导数是一次的，则称为线性方程，反之称非线性方程。(2)如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数都是线性的，则称它为拟线性方程。(3)如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导数不是线性的，则称它完全非线性方程。,一.基本概念,7.自由项：方程中不含未知函数及其偏导数的项。8.PDE的齐次与非齐次：(1)自由项为零的方程称为齐次偏微分方程。(2)自由项非零的方程称为非齐次偏微分方程。,一.基本概念,思考：,例:判断下列方程的阶、线性、齐次性,一阶线性齐次,三阶拟线性齐次,一阶非线性齐次,二阶非线性齐次,二.偏微分方程的解,1.古典解：某个连续函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的古典解(P2)。2.通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解(P2)。3.特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。4.形式解：未经过验证的解为形式解。,例一：(设未知函数为二元函数),例一：(未知函数为二元函数),例一：(未知函数为二元函数),解：原方程可变形为：,5.,两边对x积分：,书例1.1.1(P2),进一步，两边对y积分：,1.2三类典型数理方程推导,导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式;简化整理，得到方程。,1.2.1弦的微小横振动,例1.2.1(P7):设有一根长为L的两端固定的拉紧的均匀柔软富有弹性的弦,在受到初始扰动后，作微小横振动。试确定弦的运动方程。即求给定时间t弦的位移u(x,t)，其中x表示弦的横坐标。,假设:,(1)柔软且有弹性：任何时刻弦的张力总沿着弦的切线方向；张力大小可按Hooke定律。,(2)细：弦的重量与其张力相比很小；,弦振动模型(1)：,弦振动模型(2)：,弦振动模型(3)：,(4)横振动：弦的运动发生在同一平面内，弦上各点沿着垂直于x轴的方向移动。,(3)微小振动：位移后的弦在任一点上的斜率与1相比很小；,几点假设说明：,细：均匀细弦理解为弦的直径与弦的长度相比可以忽略，以至可以将弦视为一条曲线，它的线密度为常数。柔软：只抗伸长,不抗弯曲,与板和梁不同。微小振动：即弦的位置始终在一平面内的一条直线段附近，且弦振动的幅度及弦在任意位置处的切线的倾角都很小。拉紧有弹性：弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，弦伸长形变与张力的关系服从Hooke定律。,Hookeslaw：,胡克是17世纪英国最杰出的科学家之一。他在力学、光学、天文学等多方面都有重大成就。胡克定律(弹性定律)，是胡克最重要发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。,考察弦上一微小元素。设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置是M,位移NM记作u，显然在振动过程中，位移u是x和t的函数u(x,t)。在弦上任取一小段，其长为ds，设为弦的线密度。,牛顿运动定律：,倾角很小，即,T=T(x+x),Newtonslawsofmotion:,艾萨克牛顿是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、玄学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。,在垂直方向上(u方向),而位移后的弦的斜率很小，即,于是,由微积分知识可知，在时刻t有,略去重力，可得u(x,t)近似地满足方程,其中,一维波动方程,小结：均匀弦的横振动方程推导基本思路,1.确定物理量：位移量2.研究邻近点的相互作用：受力分析3.短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响：物理定律：4.数学语言描述:简化整理数学物理方程,注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，则,注2：类似地可导出二维波动方程(如薄膜振动)和三维波动方程(电磁波、声波等传播),其形式为,注3:均匀杆纵振动问题:以u(x,t)表示杆上各点的纵向位移，则杆的纵振动方程和弦的横振动方程相同。(P16:例1.3.1，P24：习题1(5)*即不同的物理过程,可以用相同数学方程描述。,例：声学方程,其形式为,1.2.2热传导方程推导,热传导：物体内各点的温度不同，则热量将从高温点流向低温点。,设定:(1)物体内部没有热源；(2)物体热传导系数为常数，即各向同性；(3)物体密度及比热（单位质量物质升高单位温度所需热量）是常数。,设：函数u(x,y,z,t)表示物体G内在位置(x,y,z)以及时刻t的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。,一.一维热传导方程推导,1.问题：（1）考察一根均匀细杆内热量传播的过程（2）热量沿x轴一维传播,侧面绝热（3）设表示x点在时刻t的温度,2.方程的建立：,（1）分析：考察在时间间隔t到t内,细杆上x到x+x微元段的热量流动情况（2）热平衡方程式:引起温度变化所吸收的热量Q=流入的热量Q在时间t内微元段的温度升高为:升高上述温度所需的热量:,2.方程的建立：,热传导Fourier实验定律:流入微元段的热量:流出微元段热量:留在微元段的热量:,x处的温度差,*热传导Fourier实验定律,热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:-A(dT/dx)其中为导热量，单位为W,为导热系数,A为传热面积，单位为m2,t为温度，单位为K,x为在导热面上的坐标。,2.方程的建立：,（3）利用热量平衡方程得：（4）当细杆内存在热源时,热传导方程为非齐次方程,二.二维、三维热传导方程,平面热传导方程：空间热传导方程：,三.类似物理问题：,浓度扩散方程：海底电缆电压:导电线圈磁场:,三维傅立叶实验定律：,其中为曲面元素的法向,k表示物体的热传导系数,它取正值。当物体均匀且各向同性时，k为常数。,热的传播按照傅立叶(Fourier)实验定律进行：物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温度沿曲面dS法线的方向导数及成正比，即,由高斯公式，可得：,由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守恒定律可得，,流入的热量使区域V内部的温度发生变化。在时间间隔中物体温度从变化到所需要的热量为,由于时间,和区域V都是任意选取的,并且被积函数连续,于是得,三维热传导方程,2019/12/13,41,可编辑,在上述热传导方程中,描述空间坐标的独立变量为,所以它们又称为三维热传导方程.当考察的物体是均匀细杆时,如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同,则可以得到一维热传导方程,类似,如果考虑一个薄片的热传导,并且薄片的侧面绝热,可以得到二维热传导方程,当我们考察气体的扩散,液体的渗透,半导体材料中的杂质扩散等物理过程时,若用u表示所扩散物质的浓度,则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同。所以热传导方程也叫扩散方程.,1.2.3位势方程,当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的物理量不随时间变化而变化，因此.,如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到不随时间变化而变化的温度所满足的方程：,称为三维拉普拉斯(Laplace)方程或者调和方程，它通常表示成为或者的形式。,Laplace方程和Poisson方程不仅描述稳定状态下温度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静电场的电位分布等物理现象。,数值天气预报的基本方程组,若流体是不可压缩的，即=常数，上式化为：,三维无源流体的连续性方程为：,流体力学中拉普拉斯方程实例：,若流体流动是稳定的，即、V与时间t无关,将上式代入无旋不可压缩流体的连续方程：,若在流动的区域中没有涡旋，则存在速度势(x,y,z）：,即:,哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla,拉普拉斯算子,与梯度算子有关的场论运算,平面上的拉普拉斯算子,波动方程(双曲型)大气环流、洋流、水波、声波、电磁波、杆(弦)振动等；热传导方程(抛物型)热传导、物质扩散时的浓度变化规律、土壤力学中的渗透方程等；Laplace方程(椭圆型)流体的势、稳定的浓度分布、静电场的电位等。,小结：,1.3定解问题及其适定性,特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的约束条件。,用以说明初始状态的条件称为“初始条件”；,用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件”。,描述物理现象：,一.初始条件,1.弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的位移和速度。如果以f(x)和g(x)分别表示弦的初位移和初速度，则初始条件可以表达为:,初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。又称：柯西(Cauchy)初始条件。,2.热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以f(x)表示t=0时物体内一点x的温度，则热传导问题的初始条件可以表示为:,3.泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时间无关，所以不提初始条件。,不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。关于t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件。初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非系统中个别点的初始状态。,注意：,二.边界条件,边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物理情况。1.弦振动边界条件的三种类型：,(1)固定端：,(3)弹性支撑端：,(2)自由端：,张力,弹性支撑力,在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知,即,当该点处的张力沿垂直x轴的方向的分量是t的已知函数时，有,由Hooke定律知，在x=l端张力沿位移方向的分量应等于,即有,其中非负常数k表示弹性体的倔强系数,二.边界条件,2.热传导边界条件的三种类型：,(1)定温端：,(3)热交换端：,(2)绝热端：,绝热，热流速为0,热交换，傅氏热传导定律，P14,3.三类边界条件,根据边界条件数学表达方式的不同，一般把边界条件分为三类。设u是未知函数，S为边界，则分类如下：,(1)第一类边界条件：直接给出u在边界S上的值,又称：狄利克雷(Dirichlet)边界条件,例1：长为l的弦，两端固定，则其边界条件为：,例2：长为l的弦，一端固定，另一端以sint规律自由运动，则其边界条件为：,例3：长为l的杆，一端温度为0，一端温度为(t),热传导问题：当物体与外界接触的表面温度f(M,t)已知时，其边界条件为,第二类边界条件：给出u沿S的外法线方向的方向导数,弦振动问题：弦的一端（如x=l）可以在垂直x轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。,又称：纽曼(Neumann)边界条件,热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件,第三类边界条件：给出u以及的线性组合在边界的值，即,弦振动问题：当端点x=l被弹性支撑所支承，设弹性支撑原来位置在u=0，则表示弹性支撑的应变。,又称：罗宾(Robin)边界条件,热传导问题：如果物体内部通过边界S与周围的介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的介质的温度。通常情形下，与物体在表面S上的温度u不相同。根据热学中的牛顿实验定律，物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间的温度差成正比，即，其中常数表示两种介质之间的热交换系数。,在物体内部任意取一个无限贴近S的闭曲面，由于在S的内侧热量不能积累，所以在上的热量流速应等于边界S上的热量流速。上的热量流速为，其中k为热传导系数.,所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件为,即,其中,在上面给出的边界条件中，都是定义在边界S上（通常也依赖于t）的已知函数。当时，相应的边界条件称为齐次的，否则称为非齐次的。,注1,注2三种边界条件可用一个式子表达：,注3书(P16)例1.3.1，例1.3.2，例1.3.3,三.定解问题的提法,初始条件+边界条件=定解条件,定解问题=偏微分方程+定解条件,偏微分方程+初始条件=初值问题或Cauchy问题,波动方程的Cauchy问题,偏微分方程+边界条件=边值问题,Laplace方程的边值问题,定解问题的适定性(Well-posedness)指：,1.解的存在性：即所提定解问题是否有解；,3.解的稳定性：即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。即：当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解稳定，否则称解不稳定。,2.解的