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_研硕16化工数值方法及Matlab应用试题班级 姓名 成绩 1 （15分）数值计算方法的主要研究对象有哪些？其常用基本算法主要包括哪三个方面？举例说明Matlab在解决化工数值计算问题方面有什么样实用价值？答：（1）数值计算方法的主要研究对象为非线性方程求根，插值法、曲线拟合、数值积分、常微分方程（组）、初值问题求解、线性和非线性方程组求解。（2）基本算法包括离散化方法：用差商代替导数、差分代替微分等，将连续的数学问题转化为离散问题。逼近方法：用简单函数的值近似代替求解困难或形式未知的复杂函数的值。迭代法：用一个固定公式反复计算，对较为粗糙的根的近似值进行加工直到满足精度要求的方法。（3）Matlab在解决化工数值计算问题的实用价值有：数值计算和符号计算功能；图形功能；MATLAB语言；功能性和学科性工具箱。2 （10分）数值计算中的“曲线拟合”，一般有哪些方法？请至少指出四种，并简述各自的基本特点。答：（1）拉格朗日插值：，优点在于不要求数据点事等间隔的，缺点是数据点不易过多，当数据比较多时，差值函数有偏离原函数的风险；（2）牛顿插值法：它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。（3）牛顿迭代法：牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。（4）区间二分法：优点：算法简单，容易理解，且总是收敛的。缺点：收敛速度太慢，浪费时间，二分法不能求复根跟偶数重根。（5）最小二乘法：通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。3. （15分）在298K 下，化学反应 2OF2=O2+2F2 的平衡常数为0.410 atm，如在298K 下将OF2 通入容器，当t=0 时为1 atm，问最后总压是多少？取计算精度为10-3。解：首先写出求解问题的数学方程式。假设气体是理想气体，由反应的化学计量式可知， 设氧的分压为，平衡时有 。 平衡时，有整理得 函数关系为 非线性方程求根问题，如何确定求解区间？由计算得因此，有根区间为，用求单根的二分法计算，求解得氧气分压。编写二分法的MATLAB程序：bisect.mfunction xstar,index,it=bisect(fun,a,b,ep)%fun为需要求根的函数；%a,b为初始区间的端点；%ep为精度，缺省值为1e-5%当(b-a)/2ep时，算法终止；%xstar为当迭代成功时，输出方程的根,%当迭代失败时，输出两端点的函数值；%index为指标变量，%index=1时，表明迭代成功，%index=0时，表明初始区间不是有根区间；%it为迭代次数.if nargin0 xstar=fa,fb;index=0;it=0; returnendk=0;while abs(b-a)/2=ep x=(a+b)/2;fx=feval(fun,x); if fx*fa0 b=x;fb=fx; else a=x;fa=fx; end k=k+1;endxstar=(a+b)/2;index=1;it=k;编写本题的求根函数，函数名为fun1.m.function f=fun1(x)f=4*x3-1.640*x2+1.64*x-0.410;调用二分法函数bisect.m求方程的根：xstar,index,it=bisect(fun1,0.2,0.3,0.0005)得到方程的根：xstar = 0.2746index = 1it = 7运行结果表明二分法迭代成功，即达到精度要求，共迭代计算7次。 最后总压为4. （10分）下表给出11月8日某个城市郊区在5个小时中的测量温度。请用MATLAB对表中的数据构造一个拉格朗日插值多项式，并估计在下午3：15分时的温度值。然后在同一坐标系中画出表中的数据和上述得到的多项式曲线。下午时间123456华氏温度66.56665646362.4解：Pnx=y0L0x+y1L1x+y2L2x+ynLnx=i=0nyiLix Lix=x-x0x-xi-1x-xi+1x-xnxi-x0xi-xi-1xi-xi+1xi-xn编程程序如下：命令运行结果如下：下午3：15分时的温度值近似取3：25的温度值，64.7484华氏度。5. （20分）在下列反应器中发生A向B的转化反应，由于转化率不高，需经精馏以获得规定纯度的B，而精馏塔中的残余物再返回反应器继续反应。这是典型的化工过程。现已知原料为纯A，其流量为FA0100kmol/h，A向B的转化率为A=50%，A和B的循环比分别为rA=rB=0.5。试用Matlab求恰定方程组的方法求1、2、3处A、B各自的物流量。3210反应器AB精馏塔答：令A为1号，B为2号，由反应器A和B的平衡得：F21=F10+F13A+F23F11=F10+F13(1-A) 由精馏塔A和B的平衡得：F12=F11-F13F22=F21-F23 由A和B的循环比得：F13=rAF11F23=rAF21 现已知原料为纯A，其流量为FA0100kmol/h，A向B的转化率为A=50%，A和B的循环比分别为rA=rB=0.5，带入且建立线性方程组得F21-0.5F13-F23=50F11-0.5F13=50F11-F12-F13=0F21-F22-F23=00.5F11-F13=00.5F21-F23=0为了便于计算令X1=F11，X2=F21，X3=F12，X4=F22，X5=F13和X6=F23X1 + X3=100X1 X2=25X3 X4=25X2 X4=0这是一个线性方程组转化为矩阵形式为1 0 1 0 X1 1001 -1 0 0 X2 250 0 1 -1 X3 250 1 0 -1 X4 0 Matlab编程程序如下：即F11=F21=50 kmol/h，F12= F22=25 kmol/h，F13= F23=25 kmol/h6.（30分）热力学实验测得如下关于氧气的压缩因子数据： p,atm020406080100120z10.986540.974200.962970.952860.943870.93599请用MATLAB对z-p进行拟合并作出相应的拟合曲线，再用组合辛普生法求其逸度系数。逸度系数的定义如下（注意：在实际物理概念上有：p=0时=1）。答：对z-p的数据点，作图图像，然后根据图像选择多项式拟合，阶数为2，程序运行结果如下：由绘制所得的图