线性多变量系统线性系统理论完整课件.ppt

线性多变量系统,选用教材：郑大钟线性系统理论清华大学出版社教学参考书：陈启宗著线性系统理论与设计科学出版社何关钰著线性控制系统理论辽宁人民出版社,第一章绪论,第二章线性系统的状态空间描述,第三章线性系统的运动分析,第四章线性系统的能控性和能观测性,第五章线性系统的稳定性,第六章线性反馈系统的时间域综合,线性系统的时间域理论,线性系统的复频率域理论,第一章绪论,1.1系统控制理论的研究对象,系统是系统控制理论的研究对象,系统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”,系统具有如下3个基本特征:,(1)整体性,(2)抽象性,作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究.,(3)相对性,在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性,1/3,1/5,动态系统:所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统动力学系统,系统变量可区分为三类形式,系统动态过程的数学描述,动态系统的分类,从机制的角度,从特性的角度,从作用时间类型的角度,u,x,y,2/3,2/5,线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理.,若表征系统的数学描述为L,系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述,系统模型的作用模型类型的多样性数学模型的基本性建立数学模型的途径系统建模的准则,3/3,3/5,1.2线性系统理论的基本概貌,线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科,主要内容:数学模型分析理论综合理论,发展过程:经典线性系统理论,现代线性系统理论,主要学派:,状态空间法,几何理论,把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合,代数理论,把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题,多变量频域方法,1/2,4/5,1.3本书的论述范围,1：状态空间法2：多项式矩阵法,2/2,5/5,第一部分:线性系统时间域理论,第二章线性系统的状态空间描述2.1状态和状态空间,线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法,系统动态过程的数学描述,1/4,1/50,(1).系统的外部描述,外部描述常被称作为输出输入描述,例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:,复频率域描述即传递函数描述,(2)系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,状态方程和输出方程,(3)外部描述和内部描述的比较,一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.,2/4,2/50,状态和状态空间的定义,状态变量组:,状态（向量）,一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组,所组成的一个列向量,一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组,状态空间,状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数,几点解释,（1）状态变量组对系统行为的完全表征性,只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组,和tt0各时刻的任意输入变量组,那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定,3/4,3/50,(2).状态变量组最小性的物理特征,(3).状态变量组最小性的数学特征,(4).状态变量组的不唯一性,(5).系统任意两个状态变量组之间的关系,(6)有穷维系统和无穷维系统,(7)状态空间的属性,状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn,4/4,4/50,2.2线性系统的状态空间描述,电路系统状态空间描述的列写示例,以上方程可表为形如,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。,1/7,5/50,机电系统状态空间描述的列写示例,上式可表为形如,2/7,6/50,连续时间线性系统的状态空间描述,动态系统的结构,连续时间线性系统的状态空间描述,线性时不变系统,线性时变系统,3/7,7/50,连续时间线性系统的方块图,4/7,8/50,人口分布问题状态空间描述的列写示例,假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%,设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数,写成矩阵形式,5/7,9/50,离散时间线性系统的状态空间描述,状态空间描述形式,离散时间线性时不变系统,离散时间线性时变系统,6/7,10/50,状态空间描述的特点,一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性,离散时间线性系统的方块图,7/7,11/50,2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统,对于线性系统,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统,1/2,12/50,时变系统和时不变系统,若向量f,g不显含时间变量t,即,该系统称为时不变系统,若向量f,g显含时间变量t,即,该系统称为时变系统,连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.,称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量,2/2,13/50,2.4由系统输入输出描述导出状态空间描述,由输入输出描述导出状态空间描述,对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述,其传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,1/18,14/50,结论1,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=n,即系统为真情形,设,2/18,15/50,可见,3/18,16/50,令,有,4/18,17/50,(2)mt0,以及一个无约束的容许控制u(t),tt0,t1,使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。,*对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价。,定义：对连续时间线性时变系统,和指定初始时刻t0J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。,2/3,2/45,定义：对连续时间线性时变系统,和指定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。,定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。,能观测性定义,对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果存在一个时刻t1J，t1t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)0，tt0,t1，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。,该系统是不完全能观测的,由于,可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。,3/3,3/45,42连续时间线性系统的能控性判据,结论1：,线性时变系统,在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,为非奇异矩阵,证明,充分性,为非奇异时，系统能控,说明系统是能控的,1/8,4/45,反证法,必要性,是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。,由于,是奇异的，故,的行向量在t0,t1上线性相关，必存在非零的行向量，使在t0,t1区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)=T,则,说明=0,矛盾,2/8,5/45,结论2：,连续时间线性时不变系统：,完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵,为非奇异。,结论3：n维连续时间线性时变系统,设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义,则系统在时刻t0J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使,3/8,6/45,结论4,对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵,满秩，即rankQc=n,结论5,n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：rankSI-AB=n,或,为系统特征值,结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i，使同时满足TA=iT，TB=0的左特征向量T=0。,4/8,7/45,结论7：对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。,结论8：对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。,5/8,8/45,例,图示电路，判断系统能控性条件,解,选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：,6/8,9/45,（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。,例,系统能控的充分必要条件是向量组bl11、bl12、bl13线性无关以及bl21线性无关（即不为零）。,7/8,10/45,定义：令,对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：使“rankQk=n”成立的最小正整数k。,结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数n。,结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足,设,为矩阵A的最小多项式次数，则,结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：,8/8,11/45,43连续时间线性系统的能观测性判据,结论1：,线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,为非奇异矩阵,结论2：,连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵,为非奇异。,1/5,12/45,结论3：,n维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义,则系统在时刻t0J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使,2/5,13/45,结论4,对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵,满秩，即rankQo=n,结论5,n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：,或,为系统特征值,结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足,的右特征向量,3/5,14/45,结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。,结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。,4/5,15/45,定义：令,完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为使“rankQk=n”成立的最小正整数。,结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为n。,结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则,设,为矩阵A的最小多项式次数，则,结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：,5/5,16/45,4.4离散时间线性系统的能控性和能观性判据,时变系统的能控性和能观性判据,定义,离散时间线性时变系统,如果对初始时刻hJk和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻lJk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控；,如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻lJk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。,结论1离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵,为非奇异,1/8,17/45,结论2若系统矩阵G(k)对所有kh,l-1非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能控的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵,为非奇异,若系统矩阵G(k)对一个或一些kh,l-1奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。,若系统矩阵G(k)对所有kh,l-1非奇异，则系统能控性和能达性等价。,若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。,2/8,18/45,时不变系统的能控性和能达性判据,结论3离散时间线性时不变系统,系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l0，使格兰姆矩阵,为非奇异。,若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。,3/8,19/45,结论4n维离散时间线性时不变系统,系统完全能达的充分必要条件为矩阵,满秩,若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为rankQkc=n。,若系统矩阵G奇异，rankQkc=n为系统完全能控的一个充分条件。,结论5对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制,则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。,若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。,若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。,4/8,20/45,例,设单输入线性离散系统的状态方程为,试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。,解,系统是能控的,5/8,21/45,令,若令,无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。,6/8,22/45,时变系统的能观测性判据,结论6离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻lJk,lh,使格兰姆矩阵,为非奇异,时不变系统的能观测性判据,结论7离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l0,使格兰姆矩阵,为非奇异,7/8,23/45,结论8n维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为,满秩,结论9若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态,8/8,24/45,4.5对偶性,定义：对连续时间线性时变系统,其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统,其中,状态X为n维行向量,协状态为n维行向量输入u为p维列向量,输入为q维行向量输出Y为q维列向量,输出为p维行向量,结论10:原构系统的状态转移矩阵,与对偶系统的状态转移矩阵,之间满足如下关系,1/2,25/45,结论11设为原构线性系统,d为对偶线性系统,则有,完全能控d完全能观测,完全能观测d完全能控,2/2,26/45,4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件,设连续时间线性时不变系统,对应的时间离散化系统,其中G=eATH=,A的特征值,结论12如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。,证明,用反证法,设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则,rankH、GH、G2H、Gn-1H=n,1/3,27/45,容易验证,为可交换阵，故,由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故,连续系统是能控的，矛盾。,本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。,2/3,28/45,结论13：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：,不是A的特征值。其中k为非零整数,结论14对时间离散化，使采样周期T的值,则时间离散化系统能控的充分必要条件是,eATB为行线性无关,结论15连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使,成立,对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。,3/3,29/45,4.7能控性、能观测性与传递函数的关系,结论16如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消,结论17单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。,结论18单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。,证明：单输入、单输出系统动态方程为,如果A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即：,1/4,30/45,状态方程可写为：,在初始条件为零的情况下，拉氏变换得,对输出方程拉氏变换,此式即为传递函数的部分分式,2/4,31/45,若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0，k=0，fk0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的。,3/4,32/45,例,设单输入、单输出系统的传递函数,由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。,结论19如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵,的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）,结论20如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵,的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）,4/4,33/45,48能控规范形和能观测规范形：SISO情形,结论21：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。,定义一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：,则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形,1/5,34/45,结论22：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统,则通过变换矩阵,2/5,35/45,可将系统变换成能控规范形，即,导出,3/5,36/45,定义一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式：,则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形,结论23：对完全能观测的n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换,导出,4/5,37/45,其中,5/5,38/45,49能控规范形和能观测规范形MIMO情形,旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形,1/1,39/45,1.Luenberger可控标准形,定理3-3设系统(3-15)可控，则存在等价变换将其化为(3-16)所示的可控标准形。,二、多变量系统的标准形,(3-16),其中,这里分别是的矩阵。,下面介绍变换的具体做法。,2）.列出可控性矩阵：,按上面的排列顺序，自左向右挑选出n个线性无关向量，再重新排列如下：,1）.不失一般性，假设B=b1b2,bp列满秩；,4）.求出P1，以hi表示P1阵的,然后构造变换阵：,5）.取非奇异变换,就可得到,讨论：1）P2的可逆性证明：,a）由,证完。,一般地，若基底矩阵(P1)1是按照如下方法得到：,则必有,P.82例题3-2设系统动态方程(A、B、C)为,试求其可控标准形。,解计算可控性矩阵,可知其前四个线性无关列为1,2,3,5列，故1=3,2=1,可求出h1=2100,h2=0010，从而可得,由,经计算，可得可控标准形：,2.多输出系统的可观标准形类似地可建立多输出系统的可观标准形，这里省略。,3.多变量系统的三角标准形,若系统可控制，令其可控性矩阵为,按以下方式构造n个线性无关列：,定理3-6：设系统(A,B,C)可控，则存在等价变换将一其化为如下所示的三角标准形：,在三角标准形中，基底的选取不排除如下可能性：,410连续时间线性时不变系统的结构分解,系统按能控性分解,设不能控系统的动态方程为,其能控性矩阵的秩为rn，选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异变换T-1,其中,1/6,40/45,经非奇异变换后，系统的动态方程写为,于是可得能控子系统动态方程为：,不能控子系统动态方程为,2/6,41/45,例,已知,试按能控性进行规范分解,解,系统不完全能控，取,能控子系统动态方程为,不能控子系统动态方程为,3/6,42/45,系统按能观测性分解,设不能观测系统的动态方程为,其能观测性矩阵的秩为ln，选出其中l个线性无关行，再加任意n-l个行，构成非奇异变换T,能观测子系统动态方程为,不能观测子系统动态方程为,4/6,43/45,系统按能控性和能观测性的标准分解,设系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令,再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解,最后得到,5/6,44/45,经T-1变换后，系统的动态方程为,能控、能观测子系统动态方程为：,能控、不能观测子系统动态方程为,不能控、能观测子系统动态方程为,不能控、不能观测子系统动态方程为,6/6,45/45,第5章系统运动的稳定性,51外部稳定性和内部稳定性,定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)1,的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即,结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式,证明,考虑SISO情形,充分性,1/4,1/18,必要性,采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使,可以取,有,矛盾,结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式,2/4,2/18,结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。,定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：,结论4：设n维连续时间线性时变自治系统,系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵(t,t0)对所有tt0,+为有界，并满足：,结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统,内部稳定的充分必要条件为,或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0。,3/4,3/18,内部稳定性和外部稳定性的关系,结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定BIBO稳定。,4/4,4/18,（1）平衡状态及其稳定性的定义1.平衡状态考虑系统（1）若随着时间t的变化，状态向量保持不变，即则这个状态为系统的平衡状态。这时状态向量等于常向量由于平衡状态也是系统的一个运动，它是系统运动微分方程的解，所以是方程的解。,2.简化的平衡状态,在初始时刻t0时,干扰引起的状态向量x0与平衡状态xe之差,称为初始扰动向量。由x0所决定的运动过程是,二、运动的稳定性,前一节讨论了动态系统的一种特殊的运动平衡状态的稳定性，现在来讨论系统,(7-1),任一运动的稳定性问题。我们已经知道，每一个初始状态x(t0)=x0确定唯一的解,一个系统随着初始条件不同可以有很多不同的运动。现在，设我们关心(7-1)的某一个运动:,我们欲研究这个运动的稳定性。我们称这个运动为给定运动，或未被扰运动。,2019/12/13,170,可编辑,进而，设于初始时刻t0，系统受到干扰，状态由x0变成x0+y0从这一初始状态出发的运动，即初值问题,的解，称为被扰运动。类比于平衡状态的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等），我们也可以相应地定义相对于给定运动的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等）。,定义对于任意的0，都存在(t0,)0，使得当x(t0)f(t0)(t0,)时有,x(t,t0,x0)f(t,t0,x0)tt0,成立。则称系统关于给定运动x=f(t,t0,x0)是（李雅普诺夫意义下）稳定的。,但需要指出，关于给定运动的稳定性可以变换成关于零解的稳定性问题，故上述定义事实上是不必要的。,为此，考虑变换y=xf，则扰动方程定义为：,则显然,这说明，通过上述变换可以将给定运动（或称为未被扰运动）的稳定性问题化为(7-3)的零解稳定性问题。也就是说，今后讨论运动的稳定性时，可先列出其扰动方程，然后讨论扰动方程(7-3)零解的稳定性就可以了，而没有必要再给出运动稳定性的其它定义。,（2）平衡状态的稳定性定义设是系统（1）的平衡状态。若在某种干扰作用下，系统的状态变成则初值问题决定的运动：称为被扰运动，即初始扰动引起的运动，简记为。李亚普诺夫提出了著名的几个关于未定型的定义，成为稳定性理论发展的基础。定义1.在系统的平衡状态某邻域，称为H邻域：在H邻域中，1）若对于任意给定的正数（0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)都满足不等式：,(t；x0,t0)-Xe,稳定的几何解释李亚普诺夫意义下一致稳定时不变系统的稳定属性李亚普诺夫意义下稳定的实质,1/2,5/18,渐近稳定,称自治系统,的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果)Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，）对实数(,t0)0和任给实数0使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t0)-Xe，,不稳定,称自治系统,的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数0为多么大，都不存在对应一个实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t)-Xe，,不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定,2/2,6/18,53李亚普诺夫第二方法的主要定理,结论7：对连续时间非线性时变自治系统,X=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：,）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数(x)和(x)，(0)0，(0)0，使对所有tt0,)有：(x)V(x,t)(x)0)V(x,t)对时间t的导数负定且有界。)当x，有V(x,t)则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。,结论8：对连续时间非线性时不变自治系统,X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：,）V(x)为正定)为负定)当x，有V(x)则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。,1/4,7/18,例,设系统状态方程为,坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性,解,取一正定的标量函数,为一负定的标量函数，且系统是大范围渐近稳定的。,2/4,8/18,结论9小范围渐近稳定性定理对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：,V(x,t)为正定且有界；,为负定且有界；,则系统原点平衡状态x=0在域内为一致渐近稳定。,结论10小范围渐近稳定性定理对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件：V(x)为正定；,为负定,则系统原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定,3/4,9/18,结论11小范围渐近稳定性定理对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件：V(x)为正定；,为负半定,对任意非零x0,则原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定,结论12不稳定性定理对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区域，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：（）V(x,t)为正定且有界；（）为正定且有界；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。,4/4,10/18,54构造李亚普诺夫函数的规则化方法,变量梯度法,设连续时间非线性时不变系统,Xe=0为系统孤立平衡状态，,(1)设V(x)的梯度为,(2)设梯度V(x)对应于有势场，则旋度rotV(x)=0，即,(3)由,(4)由(2),(3)定出V(x),(5),1/3,11/18,(6)判断V(x)计算结果的正定性,克拉索夫斯基方法,设连续时间非线性时不变系统,Xe=0为系统孤立平衡状态，,系统雅可比矩阵,克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S（x）=BJ（x）+BJ（x）T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：,V（x）=f（x）TBf（x）如果,则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。,结论13：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。,2/3,12/18,例,确定平衡状态x=0的稳定性,解,取B=I,为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。,平衡状态x=0是大范围渐近稳定的,3/3,13/18,55连续时间线性系统的状态运动稳定性判据,线性时不变系统的稳定性判据,结论14特征值判据对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。结论15特征值判据对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部,结论16李亚普诺夫判据对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个nn正定对称矩阵Q，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一nn正定对称解阵P。,结论17李亚普诺夫判据推广形式对n维连续时间线性时不变系统和任给实数0，令矩阵A特征值为i(A),i=1,2,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线j左半开平面上，即成立Rei(A)0，使成立：,(t,t0)(t0)0使上式成立，系统原点平衡状态xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。,结论19基于状态转移矩阵的判据对连续时间线性时变系统，表（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统唯一平衡状态xe=0在时刻t0是渐近稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数(t0)0，使同时成立：,(t,t0)(t0)0和20使成立：(t,t0)1e-2(t-t0）系统原点平衡状态xe=0为一致渐近稳定。,2/2,15/18,56连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能估计,对渐近稳定的连续时间线性时不变自治系统,衰减系数定义为,最小衰减系数,设,则,1/1,16/18,57离散时间系统状态运动的稳定性及其判据,结论20大范围渐近稳定判据对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负定；（）当x(k)，有V(x(k)。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。,结论21大范围渐近稳定判据对离散时间非线性时不变系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负半定；（）对由任意非零初始状态x(0)n确定的所有自由运动x(k)的轨线，V(x(k)不恒为零；（）当x(k)，有V(x(k)。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。,1/2,17/18,结论22特征值判据对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态即xe=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，G的全部特征值i(G)（i=1,2,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能为G的最小多项式的单根。,结论23特征值判据对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。,结论24李亚普诺夫判据对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定nn正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程GTPG-P=-Q有唯一nn正定对称解阵P。,结论25扩展李亚普诺夫判据对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态以实数0为幂指数稳定，即G的特征值满足：i(G)导出不可简约MFD，分母矩阵列既约或行既约=导出“控制器形实现/能控性形实现”或“观测器形实现/能观测器性形实现”=所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数时间域途径为：严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约=导出能控能观测部分(Ac0，Bc0，Cc0)=导出能观测能控部分(Ac0，Bc0，Cc0)=最小实现即为(Ac0，Bc0，Cc0),3/3,39/39,第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述,11.1多项式矩阵描述,多项式矩阵描述(polynomialmatrixdescriptions)简称为PMD，是对线性时不变系统引入的具有更广普遍性的一类内部描述,多项式矩阵描述的形式,现在，推广讨论一般形式的多输入多输出线性时不变系统，定义,那么，可以导出系统的多项式矩阵描述为,PMD和其他描述的关系,结论11.1PMD的传递函数矩阵对线性时不变系统，由给出的PMD的传递函数矩阵G(s)为,G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s),1/6,1/22,结论11.2状态空间描述的PMD给定线性时不变系统的状态空间描述：,其中，E(p)为多项式矩阵，p=d/dt为微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系统的非真性。那么，状态空间描述的等价的PMD为,其中，,为n1广义状态，PMD的各个系数矩阵为,P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s),结论11.3MFD的PMD给定qp线性时不变系统的右MFDN(s)D-1(s)+E(s)和左MFDDL-1(s)NL(s)+E(s)，其中N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)为严真MFD，E(s)为多项式矩阵。那么，等价于N(s)D-1(s)+E(s)的PMD为,其中，,为p1广义状态，PMD的各个系数矩阵为,P(s)=D(s),Q(s)=I,R(s)=N(s),W(s)=E(s),2/6,2/22,等价于DL-1(s)NL(s)+E(s)的PMD为,其中，,为q1广义状态，PMD的各个系数矩阵为,P(s)=DL(s),Q(s)=NL(s),R(s)=I,W(s)=E(s),不可简约PMD,不可简约PMD是线性时不变系统的最为基本和应用最广的一类PMD。,定义11.1不可简约PMD称(P(s),Q(s),R(s),W(s)为不可简约PMD,当且仅当P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)右互质,把可简约PMD化为不可简约PMD是复频率域方法中经常面临的一个问题。,3/6,3/22,情形,P(s),R(s)右互质，P(s),Q(s)非左互质,结论11.5构造不可简约PMD对“P(s),R(s)右互质，P(s),Q(s)非左互质”型可简约PMD，表mm多项式矩阵H(s)为非左互质P(s),Q(s)的任一最大左公因子，再取,则可简约PMD的一个不可简约PMD为,情形,P(s),R(s)非右互质，P(s),Q(s)左互质,结论11.6构造不可简约PMD对“P(s),R(s)非右互质，P(s),Q(s)左互质”型可简约PMD，表mm多项式矩阵F(s)为右互质P(s),R(s)的任一最大右公因子，再取,即有,则可简约PMD的一个不可简约PMD为,4/6,4/22,情形,P(s),R(s)非右互质，P(s),Q(s)非左互质,结论11.7构造不可简约PMD对“P(s),R(s)非右互质，P(s),Q(s)非左互质”型可简约PMD，表mm多项式矩阵H(s)为非左互质P(s),Q(s)的任一最大左公因子，取,mm多项式矩阵,为,的任一最大右公因子，取,则可简约PMD的一个不可简约PMD为,5/6,5/22,结论11.8不可简约PMD不唯一性设(P(s),Q(s),R(s),W(s)为线性时不变系统的一个不可简约PMD,P(s)为mm多项式矩阵，Q(s)、R(s)和W(s)为mp、qm和qp多项式矩阵。表U(s)和V(s)为任意两个mm单模阵，取,则,也为系统的一个不可简约PMD,6/6,6/22,11.2多项式矩阵描述的