（电力系统及其自动化专业论文）基于平衡实现理论的电力系统模型降阶.pdf

声明尸明 l i i ii i ii iii iii i i ii ii il 17 8 5 6 3 7 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于平衡实现理论的电力系统模型降 阶，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 叠! 亟颦塾 日期：幽旦：垒：堕 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：导师签名： 日期：2 竺f 翌：星：2 笙 ，r l 一 _ j ， 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 本文针对电力系统模型降阶问题，提出了利用平衡实现降阶理论进行研究。首 先，给出了线性系统和非线性系统的平衡实现理论及降阶实现过程。然后，研究了 电力系统单机无穷大线性模型的恒定控制和最优控制时各降阶模型输出仿真曲线； 其次，研究了电力系统单机无穷大非线性系统模型降阶及仿真曲线分析。最后，对 电力系统平衡降阶方法进行了总结分析。仿真分析和误差计算结果表明：当系统 h a n k e l 奇异值满足条件吼吼+ 。时，k 阶降阶系统保留了原系统动态过程的高频成 份，与原系统动态过程基本一致，误差很小；低于k 阶的降阶系统，虽然误差较大， 但保留了原系统的稳定性，这对于大规模电力系统分层控制的高层模型的降阶研究 具有重要意义。 关键词：电力系统，模型平衡降阶，h a n k e l 奇异值，经验格莱姆 a b s t r a ct t os o l v et h ep r o b l e mo fm o d e lr e d u c t i o ni np o w e rs y s t e m s t h i sp a p e rs t u d i e s b a l a n c e dr e a l i z a t i o nt h e o r y a tf i r s t ，t h ep a p e l s h o w st h eb a l a n c e dr e a l i z a t i o nt h e o r ya n d t h ep r o c e s so fm o d e lr e d u c t i o nt ol i n e a rs y s t e ma n dn o n l i n e a rs y s t e m t h e nt h ep a p e r r e s e a r c h e st h ep r o c e s so fb a l a n c e dm o d e lr e d u c t i o nt h e o r yi np o w e rs y s t e m si ns i n g l e m a c h i n ei n f i n i t el i n e a rm o d e l f o l l o w e db ys i m u l a t i o nc u r v e so fe a c hr e d u c e dm o d e l w h e nt h e ya r ei nt h es i t u a t i o n so fc o n s t a n tc o n t r o la n do p t i m a lc o n t r 0 1 t h en e x tp a r ti s t h ep r o c e s so fb a l a n c e dm o d e lr e d u c t i o ni ns i n g l em a c h i n ei n f i n i t en o n l i n e a rm o d e la n d s i m u l a t i o nc u r v e sb a s e d0 1 1s i m u l a t i o na n a l y s i s a tl a s t s u m m a r i z et h eb a l a n c e d r e a l i z a t i o nm o d e lr e d u c t i o nm e t h o d si np o w e rs y s t e r n t h er e s u l t so fs i m u l a t i o na n d e r r o rc a l c u l a t i o ns h o wt h a tw h e nh a n k e l s i n g u l a r v a l u e sa r es a t i s f i e dw i t ht h e c o n d i t i o n 吒q “，t h ea p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e so ft h eb a l a n c em o d e lr e d u c t i o na r e e x c e l l e n t ，a n de r r o ri ss m a l l ；f o rr e d u c i n gs y s t e mt h a tt h eo r d e ri sl e s st h a nk ，a l t h o u g h t h ee r r o ri sc o m p a r a t i v e l yl a r g e t h es t a b i l i t yi sp r e s e r v e di nt h er e d u c t i o ns y s t e m s t h e l a s tf e a t u r ei s v e r ys i g n i f i c a t i v e t o s t u d yt h eh i g hl a y e rm o d e lr e d u c t i o n i nt h e h i e r a r c h i c a lc o n t r o lf o ra1 a r g es c a l ep o w e rs y s t e m s o n gg u o w e i ( p o w e rs y s t e ma n di t sa u t o m a t i o n ) d i r e c t e db yp r o f z h a oh o n g s h a n k e yw o r d s ：p o w e r s y s t e m , m o d e lb a l a n c e dr e d u c t i o n ，h a n k e ls i n g u l a rv a l u e ， e m p i r i c a lg r a m i a n s r 1 一 一 硕士学位论文目录 录 2 1 电力系统线性模型的平衡实现5 i 2 1 1 平衡实现5 2 i 2 电力系统平衡实现的算法6 7 2 1 3 平衡系统降阶思想7 f 2 1 4 平衡截断降阶；7 2 1 5 平衡残差降阶8 2 2 电力系统线性模型平衡降阶算法8 2 3 线性模型的降阶误差分析9 2 4 非线性电力系统模型的平衡降阶1 0 2 4 1 一非线性模型平衡实现的一般过程l o 2 4 2 经验格莱姆法的非线性模型平衡实现1 2 2 4 3 非线性模型的平衡降阶1 3 2 4 4 电力系统非线性模型的平衡降阶算法1 3 2 5 小结：1 4 第三章电力系统线性模型的平衡降阶与仿真1 6 3 1 电力系统线性模型1 6 。3 2 电力系统线性模型的平衡实现1 7 3 3 电力系统模型降阶过程1 8 虬3 3 1 电力系统的模型降阶处理1 8 3 3 2 平衡系统与原系统的输出1 8 。3 3 3 材o ) 为恒定控制输入2 0 3 3 4h ( f ) 为最优控制规律2 2 3 4 降阶模型的误差分析2 4 3 5 小结j 2 5 第四章电力系统非线性模型的平衡降阶与仿真2 6 4 1 电力系统非线性模型2 6 4 2 电力系统非线性模型的平衡实现2 7 i 1 1 2 4 5 舡 一 一状 一 一 华北电力大学硕士学位论文目录 4 3 电力系统非线性模型平衡降阶2 7 4 3 1e ，为恒定输入控制2 7 4 3 2e ，为一般输入控制3 1 4 4 发电机降阶模型与传统发电机模型比较3 4 4 5 小结3 5 第五章结论及展望：3 6 5 1 主要工作3 6 5 2 不足之处及前景展望3 6 参考文献：3 7 致谢4 0 附录4 1 7 在学期间发表的学术论文和参加科研情况4 3 i i 华北电力大学硕士学位论文 1 1 课题研究背景和意义 第一章绪论 在目前许多工程应用中，系统的模型描述非常复杂。由于模型的复杂性，在线 应用进行实时控制是非常困难的。尤其在电力系统实时控制与动态仿真过程中，控 制过程需要运用计算机进行在线实时数值计算，随着系统模型规模的扩大和复杂度 的增加，模型状态变量维数也在迅速增多，这样使得计算负担加重，在线计算困难 的问题越来越突出，实时计算甚至无法实现。因此如何降低模型的复杂程度是一个 亟待解决的问题。 大量研究事实证实，简化模型、降低模型的维数可以从根本上解决上述系统控 制的难点。但是，对模型降阶又面临新的问题，降阶之后必然会导致模型的描述精 度有着不同程度的降低。因此，我们必须在保证系统稳定性和可行性的基础上进行 模型降阶，这样才会在保证模型精度的前提下，使得模型更简单，更有利于控制设 计。从而也大大降低计算难度，增加在线实时计算的实用性。 经过系统模型降阶可以使得大规模的、高阶复杂系统的模型转化为较为简单 的、低阶模型。就控制器设计而言，可以通过对所求得的低阶模型进行反馈控制器 设计，然后将设计出的控制器作用于原高阶系统模型，可以得到对原系统控制相一 致的性能。这种利用低阶的简化模型取代复杂的高阶模型的方法，可以实现在线实 时控制，并进行仿真等研究。 对于大规模电力系统分层控制，高层的全局控制器设计需要以整个系统的动态 行为即整个系统的动态模型为研究对象。要对此大规模系统完成全局的实时控制， 就必须解决模型维数高，复杂度高，计算量大等实际问题，大系统即使是采用线性 系统模型来描述，这在实际电力系统中也是很难实现的。因此，研究电力系统模型 降阶方法是非常必要的。 对于复杂的动态系统，由于采用非线性模型比采用线性模型能够更加精确地描 述它的动态行为，而且基于非线性模型进行的控制，效果相对较好。因此，很多系 统采用非线性模型来描述其动态特性。然而，非线性模型也带来了许多问题，那就 是进行在线实时控制和仿真非常困难，即需要大量的数值计算时间以及考虑数值计 算稳定性等问题。 无论是线性模型还是非线性模型化简，所要达到的目的是不但要降低原系统模 型的状态维数，而且还要求简化的系统能够保留原系统模型的稳定性和精度。因而 模型降阶思想就是用低阶模型近似代替原系统高阶模型，而在性能上，低阶模型必 华北电力大学硕士学位论文 须要与原高阶系统模型保持某些方面的一致，如动态过程、稳定性等。 本文利用平衡实现降阶理论系统地研究了电力系统线性模型和非线性模型的 降阶方法和步骤，给出了详细的降阶模型的仿真分析和误差分析，并通过单机无穷 大系统的五阶线性和非线性发电机模型进行了仿真验证，得到了很好的结果。 1 2 电力系统模型降阶方法的研究现状 大系统模型降阶作为一个理论课题，可以追溯n 6 0 年代末：时至今日，模型降 阶也依然受到国内外控制界人士的极大关注，也产出了大量模型降阶方法。在电力 领域，电力系统日益扩大，阶数逐渐增加，而实际电力系统又要求快速的实时在线 控制以及仿真，因此电力系统模型降阶成为亟待解决的课题。 目前电力系统模型降阶研究已经取得了许多成果，并已有大量的模型降阶技术 应用在电力系统中，如：应用同调等值理论研究电力系统的区域解耦和同调机群的 识别【】，并行计算的解耦算法 5 - 6 】，应用奇异值摄动法研究多时间尺度电力系统的 模型降阶【 】，利用模态分析方法研究多输入多输出电力系统的模型降阶 1 0 - 1 1 l ， k r y l o v 子空间模型降阶研究f 1 2 】，以及基于相关性的同步发电机的降阶研究【1 引。1 9 8 1 年m o o r e 提出的内平衡实现理论模型降阶方法带来了一次变革，针对稳定的可控可 观的系统，提出了一种渐近稳定的平衡降阶方法【1 4 】。该方法近年来在大规模集成电 路互联系统的模型降阶、图像处理应用中得到了快速的发展【1 5 。6 1 ，在电力系统应用 中也开始了一些研究【1 7 1 蚋。许多经典方法一旦与平衡理论结合起来，便形成了更加 简洁、有效的降阶方法。 在控制系统设计和仿真中，。往往根据实际需要进行模型降阶。模型降阶的方法 有很多种，但是比较经典的有：状态集聚法、模态近似法、矩量匹配法、p a r l e 逼近 法、时间矩法、连分式法、r o u t e r 逼近法、误差极小化法以及集结方法和协方差等 价实现法等；基于信息论的降阶方法，如最小k u l b a c k l e i b l e r 信息距离方法：最小 信息损失方法等。这些方法从信息论的相关概念和原理出发，为研究模型降阶问题 提供了全新的角度。 上述这些方法各有其优缺点。有些方法不能保证降阶模型的稳定性，有些方法 只适用于单输入单输出系统，却不适用于多输入多输出系统。例如，p a d e 逼近法是 大系统模型简化中最早出现的一种经典降阶方法【2 5 1 ，到目前为止，人们仍然公认它 是一种行之有效的传递函数降阶法。p a d e 逼近法是泰勒级数展开理论的应用，适用 于传递函数可表示成有理多项式分式( 或传递函数阵为有理分式阵) 的情况。这种降 阶方法简单、易于编制上机程序，低频( 稳态) 拟合性能好。但是p a d e 逼近法的高 频( 动态) 拟合性能较差并且不能保证降阶模型的稳定性。因而在模型降阶方法中， 很少单独使用p a d e 逼近法。为弥补p a d e 逼近法的不足，b r o w n 等引入了使降阶模 2 华北 型稳定的补充性能准则，但却增加了降阶模型的阶数；而r o s s e n 等把造成降阶模型 不稳定的极点隔离开来，并用任意稳定极点来取代，这样虽然可以防止降阶模型的 不稳定，但是同时却加大了计算量。 为了克服泰勒级数收敛慢的弱点，c a r t e 等提出了切比雪夫多项式模型降阶方 法，这样可获得稳定的降阶模型；b i s t r i t z 等在此基础上提出了广义的切比雪夫p a d e 逼近法，这两种降阶的方法均可使降阶模型在预定的区间上既稳定又具有最小相 位，但是其致命的缺点是：计算量大，而且仅仅适用于单变量系统。基于频域的瞬 态匹配模型降阶技术，目前的研究和应用也比较多。但是该方法同样有着无法克服 的缺点：无法保证降阶模型的稳定性，也就是说，原模型是稳定的，那么经过这项 技术降阶后，降阶模型稳定性不一定保留下来。因此需要通过实施一些其他处理技 术来得到稳定的降阶模型，但这必然会大大增加了降阶的难度和复杂度。其次，利 用瞬态匹配技术，只是在瞬态匹配点的误差比较小，而在其他点的误差就很大，其 精度就无法保证。因此，上述的这些模型降阶技术都存在着一些缺点。 1 9 8 1 年m o o r e 提出的线性系统模型平衡降阶方法，该方法从系统内平衡实现的 角度出发，对稳定、可控、可观的系统，提出了一种渐近稳定的平衡降阶理论。该 理论消除那些难以观察、难以控制且对系统的输入输出特性影响比较小的状态变 量。之后，许多学者在许多方面发展了这种降阶方法，对不稳定、不可控、不可观 线性定常系统和离散、随机、双线性系统分别研究了平衡降阶方法，并形成了一整 套完整的理论。同时，平衡实现理论在非线性模型降阶方面也取得了较大进展。如 s c h e r p e n 通过引进了能量方程和可行条件，使得非线性模型平衡实现成为可能，从 而把平衡实现降阶方法扩展到非线性系统【2 3 剁】。然而，此时的非线性平衡降阶过程 只能针对仿射非线性系统，并且降阶过程中存在着很大的计算困难，而且能量方程 中不一定存在闭行解，如s c h e r p e n 方法的唯一数值解是由n e w m a n 和k r i s h n a p r a s a d 用m o n t e c a r l o 方法给出的【3 3 - 3 4 1 。用此方法求得的结果也是非常的复杂且不精确。 由于面临着非线性模型平衡转换的难题，基于线性坐标转换的几种方法也得到了发 展。n e w m a n 和k r i s h n a p r a s a d 分析了系统模型，通过p c a 方法对模型进行了化简 处理，该方法是通过将系统模型线性化而求得平衡转换矩阵，进而对模型进行降阶 化简。l o f t i e r 和m a r q u a r d t 将这种方法又扩展到微分代数方程描述的系统1 3 引。l e e 用子空间法得到新的子系统，然后通过对此子系统平衡实现而得到线性坐标转换形 式，进而实现化简。l a l l 引进了非线性系统经验格莱姆矩阵的概念，也是对线性格 莱姆矩阵进行的扩展。通过所提出的方法就可以得到模型的经验格莱姆矩阵，再经 过g a l e r k i n 映射，就可以对非线性模型进行降阶处理。 另外，平衡降阶方法与奇异值分解法等结合起来而形成的联合降阶法，不仅完 善了降阶方法本身的理论，而且使得降阶方法的实际应用成为可能。 华北电力大学硕士学位论文 1 3 本文所做的工作 本文针对电力系统的动态模型进行降阶研究，主要做了以下工作： ( 1 ) 研究了目前的模型化简方法，分析了各种方法的优缺点，得出平衡实现模 型降阶方法是研究电力系统的模型化简非常适合的理论工具。 ( 2 ) 分析了平衡化简理论的两种方法：平衡截断和平衡残差算法，并给出了模 型降阶算法和步骤。 。 ( 3 ) 研究了电力系统线性系统模型的平衡实现降阶过程和算法，并通过电力系 统五阶同步发电机模型进行了平衡降阶模型的推导以及仿真分析，同时也分析了降 阶模型的绝对误差和相对误差。 ( 4 ) 利用经验格莱姆平衡降阶方法，详细地研究了电力系统的非线性模型的降 阶过程和算法，并对电力系统非线性降阶模型进行了仿真分析。 全文共分五章，主要内容如下： 第一章介绍了平衡降阶的研究背景和意义以及研究现状；第二章分别阐述了线 性系统和非线性系统的平衡实现理论和平衡实现过程；第三章给出了电力系统线性 模型的平衡降阶过程以及相应的仿真结果f 4 1 1 ，并且介绍了误差分析方法；第四章主 要是电力系统非线性模型的平衡化简过程以及相应的仿真结果；第五章总结了研究 过程中得出的一些结论以及对后续工作的展望。 4 华北电力大学硕士学位论文 第二章模型平衡实现降阶理论 对于任意可控系统来讲，平衡降阶过程大体可分为两个步骤：第一步是找到平 衡转换矩阵t ；在丁的转换下，计算出平衡转换后的可控格莱姆矩阵职和可观格莱 姆矩阵，即得到了平衡模型的奇异值矩阵；第二步是选择合适的降阶方式，对平 衡系统进行降阶处理。 但是对于不同结构的系统，平衡降阶又主要分为线性系统平衡降阶和非线性系 统平衡降阶。虽然平衡降阶的理论思路是相同的，但是对于线性系统和非线性系统 降阶的实现过程却有很大的差别。 本章节深入研究了电力系统的线性模型和非线性模型的平衡实现及降阶过程。 2 1 电力系统线性模型的平衡实现 若要对系统进行平衡降阶处理，那么系统的平衡转换是个非常重要的过程， 即平衡实现过程。 2 1 1 平衡实现 对于电力系统，可用一个可控、可观的线性时不变系统来表示，其数学模型为 5 c ( t ) = a x ( t ) + 曰甜( f ) ( 2 一1 ) y ( f ) = c x ( t )( 2 - 2 ) 其中，x ( t ) r ”为刀维状态向量，u ( t ) r 9 为g 维控制输入向量，y ( t ) r p 为p 维输 出向量。a r 为万刀阶系统矩阵，b r ”w 为n x q 阶输入矩阵，c r 删为p x n 阶 输出矩阵。该系统的线性可控格莱姆矩阵孵定义为 r r c = f e a t b b r e 一。d t ( 2 3 ) 线性可观格莱姆矩阵定义为 w o = f e a c r c e m d t ( 2 4 ) 如果系统是稳定且是可控的，则可控格莱姆矩阵孵是满秩的；如果系统是稳定 且是可观的，则可观格莱姆矩阵是满秩的。如果开环系统是不稳定的，或者是在 稳定域的边缘接近不稳定区域，那么，线性格莱姆矩阵将难以计算，因为孵一0 0 ， 专【4 2 】；进而可知，线性可控格莱姆矩阵和可观格莱姆矩阵是下面 l y a p u n o v 方程的唯一正定解【1 9 1 。 5 华北电力大学硕士学位论文 么+ 么r + 胎r = 0 一 ( 2 5 ) 么r + 彳+ c c r = o ( 2 6 ) 对可控可观线性系统，如果可控格莱姆矩阵和可观格莱姆矩阵是相等的， 且有下列的形式 = = = 吼0 0 吒 oo o o 吒 ( 2 7 ) 其中，q 0 2 吒0 ，q 为系统的h a n k e l 奇异值，称该系统是平衡的。 对上述线性系统，若能找到一个转换矩阵t ，并且丁满足下面条件 厩= t w c t r ( 2 8 ) 死= ( z 1 ) r r 1 j ( 2 9 ) 称转换矩阵r 为该系统的平衡转换矩阵。利用平衡转换矩阵丁对系统( 2 1 ) ( 2 2 ) 进行 状态变换，即 孑= 戥 ( 2 一1 0 ) 可得到原系统的平衡形式 孑( f ) = 黝r 。i + t b u ( t ) = 彳i ( f ) + 召“o ) ( 2 11 ) y o ) = c t 1 孑( f ) = c 更o ) ( 2 1 2 ) 则系统( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 称为原系统的平衡系统。 2 1 2 电力系统平衡实现的算法 根据上述的理论过程，下面研究了电力系统线性模型的平衡实现算法 a l g o r it h i n1 i n p u t ：已知的电力系统线性系统的模型矩阵( a ，b ，c ) ； o u t p u t ：平衡系统的模型矩阵( j ，b 一，c 一) ； 1 ) 求得可控格莱姆矩阵和可观格莱姆矩阵。根据l y a p u n o v 方程 彳+ 彳r + 丑口r = 0 a 7 + a + c c r = 0 2 ) 计算l c 和乞，通过对可控格莱姆矩阵和可观格莱姆矩阵w o 进i ? c h o l e s k y 6 华北电力大学硕士学位论文 分解 = 厶乓 w o = t o 巧 3 ) 计算c h o l e s k y 积的正定对角矩阵和正交矩阵u ，y u e v = 易7 之 4 ) 计算平衡变换矩阵丁 z = 厶v z _ 陀 t - 1 = z q 陀u r 易7 5 ) 形成平衡系统( 彳，否，0 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 一1 4 ) ( 2 - 1 5 ) a 一：t a t 一1 b = t b ( 2 1 6 ) e ：c t 。1 6 ) 结束。 算法( a j g o r y t h m ) 已在m a t l a b 中实现。 2 1 3 平衡系统降阶思想 如果线性系统是平衡形式，系统的h a n k e l 奇异值提供了状态重要性的测度。即 大奇异值对应的状态是受控制输入影响最大，而输出也是受该状态变化的影响最 大。因此，对应最大奇异值的状态影响系统输入输出行为最大。 在平衡系统中，那些影响系统输入输出行为较弱的状态可以被忽略。通常，将 满足t r , 吒“条件的奇异值吼以后所对应的状态变量消去【1 4 】，保证降阶后的模型能 够尽可能最好的接近原模型。因此，可将系统状态分为重要的i 和不重要的夏两部 分，原系统用以下方程描述 = 睦纵耕鼢 ( 2 - 1 7 ) y 娟五) ( 2 1 8 ) 根据对平衡系统状态消去方法的不同，有平衡截断降阶和平衡残差降阶两种方法。 2 1 4 平衡截断降阶 平衡截断模型降阶方法思想：将对应小h a n k e l 奇异值的状态直接消去。即，将 不重要状态夏消去，得到如下平衡截断降阶模型 7 华北电力大学硕士学位论文 墨= 4 i 墨+ b , u( 2 - 1 9 ) y = c l 写( 2 2 0 ) 这种方法的优点是在系统的整个频率范围内都能够与原系统有一个较好的逼 近，而缺点是一般不能保持原系统的稳态行为，即稳态值会产生一些偏移【1 9 】。 2 1 5 平衡残差降阶 如果需要保持系统的降阶模型与原系统具有更为相同的稳态行为，相比之下， 平衡残差模型降阶方法能够得到较好的结果。其思路是将较小奇异值对应状态的导 数近似为0 ，而系统其余部分保持不变。系统模型如下 陆臣臻心卜 仁2 ， 。 y = ( 己五) ( 2 2 2 ) 方程( 2 - 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 是微分代数方程，将它转换为如下微分方程 夏= 氟+ b u ( 2 2 3 ) y = 瓴+ d u( 2 - 2 4 ) 其中 j 五= 互。一互。动互。 b = 4 4 ：耐垦 c = c i c 2 4 。 西= 一己砑豆 2 2 电力系统线性模型平衡降阶算法 根据平衡降阶理论，结合能量方程与可控可观格莱姆矩阵的关系，本文研究并 实现了针对电力系统的线性系统模型平衡转换的算法。通过该算法，可以直接输入 原系统模型的三个矩阵：系统矩阵彳、输入矩阵b 和输出矩阵c ；然后由算法在线 自动计算，直接求得原系统的可控格莱姆矩阵和可观格莱姆矩阵。更重要的是，同 时直接求得系统的平衡转换矩阵丁和奇异值矩阵；然后通过所求得的奇异值矩阵 华北电力大学硕士学位论文 的对角元素的数值，来确定合理的降阶阶数；进而，采用平衡截断或者平衡残差法 直接对求得的平衡系统进行模型降阶，得到原系统的降阶模型：系统矩阵彳、输入 矩阵雪和输出矩阵0 。 电力系统的线性模型的平衡降阶算法如下： a l g o r i t h m2 i n p u t ：原系统模型矩阵( a ，b ，c ) ； 。 o u t p u t ：降阶系统模型矩阵( j ，雪，e ) ； 1 ) 通过调用算法a l g o r i t h m1 ，求得平衡系统模型的系统矩阵( j ，b 一，西； 2 ) 通过所得的h a n k e l 奇异值矩阵各阶元素判定合理的降阶阶数，通过降阶矩阵 p ：p = i o 进行降阶，求得系统的矩阵 彳= 尸疡 b = p t b c = p t c 3 ) 对降阶模型进行误差分析，取得合理的简化模型； 4 ) 结束。 2 3 线性模型的降阶误差分析 降阶系统与原系统的误差是有界的。只要降阶模型的误差小于其上界，就表明 降阶模型是合理的。下面分别给出了降阶系统与原系统的“绝对误差 和“相对误 差 的上界描述。 降阶系统与原系统的绝对误差由下列公式进行描述【”】 愀s ) 一6 ( 观2 q 全只 ( 2 2 5 ) j = k + l 式中，g ( s ) 为原系统的传递函数，吞( s ) 为降阶系统的传递函数，。为无穷范 数，k 的选取满足吼吼+ i 。绝对误差小于2 ( 0 - k + 。+ 吒+ ：+ + 吒) ，即上限为e 。 虽然平衡截断降阶方法和平衡残差降阶方法具有相同的误差界限，但两种降阶 模型具有不同高频和低频特性。直接截断方法在高频段具有较好的模型匹配，而残 差法在超低频段具有较好的匹配特性【1 9 j 。 降阶系统与原系统的相对误差由下列公式进行描述【”】 9 华北电力大学硕士学位论文 鲤iig( 2 f ，亡一、1 q 尘乓 ( 2 - 2 6 ) s ) i i i g ( s ) i i | - - j。一产t + ij 。1 。胄 、。7 式中，取为降阶系统与原系统的相对误差的上界。 下面我们讨论非线性模型的经验格莱姆法，进而研究电力系统非线性模型的平 衡实现降阶过程。 2 4 非线性电力系统模型的平衡降阶 2 4 1 非线性模型平衡实现的一般过程 给定一个n - 7 控、n - - i 观的仿射非线性时不变电力系统，其数学模型为 戈( f ) = ( x ( f ) ) + g ( x ( f ) ) “( f ) ( 2 2 7 ) y ( f ) = 矗( x ( f ) ) ( 2 2 8 ) 其中，f ，g ，j l 为非线性函数，且满足厂( o ) = o ，h ( o ) = 0 。该系统的可控格莱姆能量 方程k 定义为 l c = 毗( 叫r a 柑i n 。“。h ! 仆( 师出，( 2 - 2 9 ) 2 e z 2 ( _ 畸。o ) 。d ) l o “o h i _ l i 、， 可观格莱姆能量方程厶定义为 。= 万1 硎y ( w 出( 2 - 3 0 ) 其中x ( o ) = x o ，“( f ) 置0 ，o t o ，f = l ，s ( 2 - 4 3 ) e ”= q ，巳 ( 2 4 4 ) 其中，表示励磁或扰动方向的矩阵数量，s 表示每个方向的扰动大小不同的数量，n 表示系统的输入数量和全阶系统的状态数量。 1 2 华北电力大学硕士学位论文 述参数都已经确定，经验可控格莱姆矩阵可由( 2 4 5 ) 式求得 = 主l = l 窆m = l 壹i 。l 去t s c m r 砌( r ) 出 ( 2 - 4 5 ) r 4 ”的值是湘( ，) = ( 少( f ) 一够) ( p ( f ) 一蛰厂，其中( f ) 是非线性 系统相应输入状态u ( t ) = c m t l e y ( t ) + u 嚣( 0 ) 的状态。 经验可观格莱姆矩阵可9 3 ( 2 - 4 6 ) 式来求得 2 喜耋壶j c o 霉甲加( r ) 万a c t ( 2 - 4 6 ) 式中v 加( f ) r “4 的值是甲穸( f ) = ( 少胁t ) l i r a ，7 ( y 伽( 、t ，、，。i t m ) ，其中一0 拥( f ) 是系统相 对于初始条件石( o ) = c 册乃乞+ k ，并且y 珈( f ) 是系统受到扰动后，达到稳定的输出状 态。 2 4 3 。非线性模型的平衡降阶 与线性模型类似，非线性模型也可以采用平衡截断法或平衡残差法。在转换矩阵丁 映射下，模型的状态转换为 - x ( t ) = t x ( t ) ( 2 - 4 7 ) 非线性模型的平衡截断法降阶模型为 x = p t f ( t 。1 p r 孑( f ) ) + p 堙( r 。1 p r i ( f ) “( f ) ) y ( f ) = ( r 叫p r 孑( f ) ) ( 2 4 8 ) 非线性模型的平衡残差法降阶模型为 毫= p t f ( t 叫p r i ( f ) ) + p 珐( 丁1 p 7 i ( f ) “( f ) ) 袁( t ) = 夏嚣( 0 ) ( 2 4 9 ) y o ) - - h ( r 。1 p r i ( f ) ) 其中，五。( o ) 是所要消去的系统状态变量的初始值；p 为降阶矩阵，矩阵形式为 ，o 】。 2 4 4 电力系统非线性模型的平衡降阶算法 根据平衡降阶理论原理，结合汉密尔顿一雅克比方程与可控格莱姆矩阵和可 观格莱姆矩阵的关系，本文针对一般可控的非线性系统模型编写了一套平衡转换 华北电力大学硕士学位论文 算法( n l a l g o r i t h m ) 。可以在已知可控非线性模型的前提下，通过m a t l a b 计算， ，直接求得原系统的可控、可观格莱姆矩阵和平衡转化后的可控、可观格莱姆矩阵。 重要的是，同时直接求得系统的平衡转换矩阵r 和平衡系统的h a n k e l 奇异值矩阵。 这样为求得一般非线性系统的平衡降阶提供了方便、可靠的计算。 电力系统非线性系统模型平衡降阶的算法如下： a l g o r i t t 勿3 i n p u t ：厂( x ) ，g ( x ) ，h ( x ) ； o u t p u t ：夕( x ) ，蜃( 石) ，石( z ) ； 1 ) 求解系统的可控格莱姆矩阵函数，通过i g j 羽( n l a l g o r i t h m ) 的函数 c t r l g r ( f u c t i o n ) 2 ) 求解系统的客观格莱姆矩阵函数，通过调用( n l a l g o r i t h m ) 的函数 o b s v 一( f u c t i o nt ) 3 ) 求解平衡转换模型的可控可观格莱姆矩阵、平衡转换矩阵求解函数，通过调用 ( n l a l g o r i t h m ) 函数 b a l r e a l i z a t i o n ( c t r l g r ，o b s v g r ，n ) ( 其中咒为状态变量数) 4 ) 根据3 ) 所求的h a n k e l 奇异值矩阵的各阶元素，选择合适的降阶阶数，通过降 t 阶矩阵p ：尸= i o j 进行模型降阶 夕( z ) = 尸矽( r l x ) 季( x ) = p 强( r l z ) 石( z ) = 尸刀l ( r l z ) 5 ) 结束： 该算法可应用于仿射非线性模型和一般非线性模型的降阶，降阶过程避免了对 复杂的微分方程的求解，使得在线计算变得简单。 2 5 小结 本章系统地研究了电力系统的线性系统模型和非线性系统模型的平衡转换过 程及降阶过程，并给出了相应的在线计算算法和误差分析。 1 ) 首先，研究了电力系统线性系统模型的平衡转换过程和降阶过程，并给出了 线性系统的平衡算法和降阶算法。 1 4 华北电力大学硕士学位论文 2 ) 其次，提出了电力系统的线性模型的平衡降阶的两种方法：平衡截断降阶和 平衡残差降阶，并且对这两种不同模型降阶方式进行了误差分析。 3 ) 最后，研究了电力系统非线性模型的经验格莱姆矩阵法模型降阶方法，并且 给出了非线性模型的平衡降阶算法。在解经验格莱姆矩阵过程中，非线性系统的经 验格莱姆法，避免了对汉密尔顿一雅克比方程求解，因此大大减少了计算量。 1 5 华北电力大学硕士学位论文 第三章电力系统线性模型的平衡降阶与仿真 本章以电力系统五阶同步发电机模型为例，利用第二章线性模型的降阶算法， 分别研究了电力系统的平衡截断法和平衡残差法的平衡降阶过程，并对仿真结果进 行了详细分析和相应的误差计算。 3 1 电力系统线性模型 如图3 1 为单机无穷大电力系统。考虑发电机的励磁控制调节功能，调速器的 输入为恒定。已知发电机模型、线路以及负荷的参数【2 0 1 ，见附录l 。 图3 1 单机无穷大线性电力系统 、 系统的五阶数学模型为 厶e q 万 缈 p g 1 毛6 2 o 磊 一土 m o 0 0垒00 6 2 0l00 一旦一旦上o mmm 000l 0 一旦1 一b a e q 6 国 p g l o + lol 【厂 o o 系统的输出变量为电压偏差a v ，转子角偏差a 8 和角速度缈，表示为 - 0 2 3 30 0 0l 10 0 01 010 0i e q k 6 国 p 9 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 式中，嵋为同步电机暂态电势，万为转子角偏差，缈为角速度，p 为调速器输出 功率，q 为p 的导数，u = q 为励磁控制输入。 考虑励磁控制器为线性最优励磁控制，其目标函数为 1 6 94 0 0 o 。l = 1j y 万 ， 抄髓 彩 华北电力大学硕士学位论文 求得最优控制规律为 式中 ，= 1 2j c o ( x r 班+ u r r u ) a t = 厶h u = 哆= 一k x ( 3 1 3 ) ( 3 4 ) x = 【峨a 8 彩pq 】，r = ，= l ，q 5 51 01 1 】， 求得最优反馈增益矩阵为 k = r q b r p ( 3 - 5 ) p 为r i e c a t i 方程a r p + p a p b b r p + q = 0 的解。 3 2 电力系统线性模型的平衡实现 根据上述的线性单机无穷大系统，代入参数( 见附录1 ) 可以得到线性系统状态 方程各系数矩阵 a = 求得k 那么 _ 0 1 8 8o0 2 2 700 00loo - 1 8 1 5 - 0 5 7 0 - - 0 5 01o 00ool 0o 一1 - 2 0 - 1 2 ，b = 1 o 0 o o 0 一o k = 【丝1 4 4 8 8 ，- 2 0 6 1 6 6 4 , 1 8 7 5 0 8 2 , 0 0 6 1 3 1 ，0 0 0 2 9 5 】 u = 醯f = 一k x 根据前面介绍的平衡理论，将模型( 3 1 ) 、( 3 2 ) 转换为平衡系统。利用第2 3 节 的平衡实现的计算方法，分别求得可控格莱姆矩阵、可观格莱姆矩阵和转换 矩阵r i1 7 9 0 0 9 - 3 8 3 0 3 5 - 0 7 2 0 1 10 0 2 0 0 1 0 0 2 5 3 2 l - 3 8 3 0 3 51 6 3 4 5 0 7 - 0 0 3 0 0 0 - 0 0 5 9 4 70 0 9 4 9 5 暇= l - 0 7 2 0 11 - 0 0 0 0 0 02 4 2 4 ( 1 8 - 0 0 9 4 9 5 - 0 0 5 0 0 1 l0 0 2 0 0 1 - 0 0 5 9 4 7 - 0 0 9 4 9 50 0 0 4 9 6 - 0 0 x 1 0 0 10 0 2 5 3 20 0 9 4 9 5 - 0 0 5 0 0 1 - 0 0 0 0 0 00 0 0 4 1 7 r v o = 1 7 2 0 9 6 0 9 2 - 3 1 5 3 4 6 - 2 1 0 5 0 2 1 8 3 4 ，弭o 1 5 9 7 2 - 3 1 5 孓1 1 52 2 1 0 8 90 9 2 4 8 l0 3 l9 9 _ 50 舵3 7 2 乏1 0 5 0 2o 9 2 4 8 l1 7 7 0 0 5o 7 9 0 2 1 伽1 6 1 9 5 1 8 3 4 2 40 - 3 1 9 9 5o 7 9 吃10 4 7 8 0 3 o 0 3 9 5 1 以1 5 9 7 2o 位3 7 2o 0 6 1 9 50 9 5 10 0 0 3 2 9 华北电力大学硕士学位论文 t = 0 4 0 1 0 9 旬2 6 4 3 2n1 5 8 5 6n o l 5 4 8o 0 0 0 2 2 - 1 1 5 6 9 61 1 4 i 鹚0 0 1 9 ( ；0 0 0 3 1 5 7o 0 0 0 泓 - 0 1 4 4 9 9 0 5 8 11 9旬臾；9 2 90 111 5 60 0 c 1 9 6 7 0 0 0 5一o 0 0 6 豁 o 0 5 2 2 6旬2 9 1 6 8 4 - 0 1 3 31 9 0 0 0 0 4 7 - 0 0 3 5 9 6 以0 0 11 0 o 5 3 2 5 1 1 4 2 6 6 9 根据平衡转换矩阵r ，得到电力系统的平衡系统( j ，b 一，弓) 的各矩阵为 么= - 0 0 8 0 1 8 - 0 1 8 4 3 8 以舵7 4 2 以毗0 6o 0 0 0 1 7 0 2 1 0 嘶以3 3 8 7 4o 8 7 4 2 8一o 0 4 1 1 3旬o 吆1 9 0 1 2 8 3 8 1 0 4 1 2 5 也3 1 9 6 9 伽仍6 2o 0 0 6 3 3 o 0 1 4 8 l 以0 6 0 9 6 也0 7 6 3 6 一1 9 2 3n 3 0 6 9 2 以0 0 1 2 3o 0 0 5 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