（电力系统及其自动化专业论文）满意优化方法及其在控制系统中应用的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第 1 页 第1 章 绪论 优化是人们在科学研究、工程技术和经济管理等诸多领域中经常遇到的 问题。在航空器的结构设计上，我们希望在满足强度要求的前提下尽可能减 轻使用材料的重量; 在资源分配问题上， 要求各用户利用有限资源产生的总效 益尽可能的大;在运输方案的安排上， 则要求在满足物资需求和装载能力的 条件下，尽可能降低运输的总费用;在编制生产计划时按照工艺流程和顾客 的需求， 尽量降低人力、 设备、 原材料等成本， 从而使总利润达到最高1 1 1, 12 1, 3 1 。 可以预料，随着科学技术尤其是计算机技术的不断发展，以及数学理论 与方法向各门学科和各个领域更加广泛深入的渗透， 我们相信， 在2 1 世纪信 息时代，优化理论和技术必将在社会的诸多方面起到更加重要的作用。 1 . 1传统优化方法回顾 在实际生活中，解决优化问题的方法很多，主要有以下几类:( 1 )靠经 验的积累，凭主观做出判断;( 2 )根据试验比较优劣;( 3 )建立数学模型， 通过优化理论的指导，利用优化算法计算求解。利用建模的方法需要对优化 问 题进行简化，可能导致结果不完善，但是它基于客观数据，而且可以解决 规模很大的优化问题，因此在解决实际的优化问题时，较多采用该方法。 传统的优化方法强调最优化，试图在求解优化问题的过程中找到问题的 最优解。根据待解决的问 题的具体情况，分析己有的数据、资料以及有关概 念，建立起最优化的数学模型，并且确定该模型的三要素:( 1 )决策变量: 即 最优化问题中待确定的 变量; ( 2 )约束函数:即最优化问题中决策变量的 限制条件;( 3 )目 标函数:即最优化问题的评价标准。 最优化问题本身是应用数学的一个分支，体现在数学方法上，就是一种 求极值的方法。 例如组合最优化( c o m b i n a t o r i a l o p t im i z a t i o n ) 问 题， 就是通 过对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组或排序等，是运筹学 中的一个经典而且重要的分支。该问题可以用数学模型描述为: 西南交通大学硕士研究生学位论文 第 2 页 m i n f ( x ) s .t . g ( x ) _ 0 , x任d， ( 1 一 1 ) 其中，( x ) 为目 标函数， g ( x ) 为 约束函 数， x为决策变量， d表示有限个点组 成的集合。 组合优化问题的特点是可行解集合为有限点集。 直观的可以看出， 只要将d中的有限个点逐一的判别是否满足g ( x ) 的约束并且比 较目 标值的大 小， 该问 题的最优解就一定存在并且可以 得到。 例如0 - 1 背包问 题( k n a p s a c k p r o b l e m )以 及旅行商问题 ( t s p , t r a v e l i n g s a l e s m a n p r o b l e m ) 等。 由组合最优化定义，每一个组合优化问题都可以通过枚举方法求得最优 解。但是枚举是以时间为代价的，有的问题枚举时间还可以接受，有的问题 则不可能接受。 如上面所提到的t s p问题。 对于一个非对称距离的t s p问题， 如果城市数为 n ，那么固定一个城市为起点，则需要 ( n - 1 ) ! 个枚举，以计 算机每一秒完成2 4 个城市所有路径为单位，则完成2 5 个城市的枚举时间为 2 4 秒。当城市的数目 增加到3 0 的时候，计算时间约为1 0 . 8 年 。从计算复 杂性的角度而言，通过枚举方法得到的最优解是不可接受的。 在传统最优化方法中，还有另一类优化问题，这类优化问题由于实际情 况的复杂性，难以找到一个准确的数学模型来描述。因此，在许多情况下难 以 获得最优解，或者该问 题本身就不 存在传统意义下的最优解15 1 1 .2满意优化方法发展现状 鉴于传统优化方法遇到的困难，不少学者提出了新的理论。特别是 7 0 年代以 来， 以 禁忌搜索( t a b u s e a r c h ) 算法、 模拟退火( s i m u l a t e d a n n e a l i n g ) 算法、遗传算法 ( g e n e t i c a l g o r i t h m s ) 、人i神经网络 ( a rt i f i c i a l n e u r a l n e t w o r k )等为代表的一系列现代优化算法被提出并且己经运用到实际问题 中 。 与 此同 时， 随 着算法复 杂 性 理 论( c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i ty t h e o r y ) 的 完善，在优化问题中，我们不再一味强调要求得到最优解。 1 9 7 8 年，美国著名的人工智能专家、诺贝尔经济学奖获得者 h . a . s i m o n 在经济组织实际决策的研究中，首先提出了 “ 令人满意准则”的概念来代替 微观经济学的最大化原则，同时提出了用满意决策代替最优决策的思想。通 过h .a . s i m o n 举出的一个例子， 我们可以 对满意解及其优越性进行形象的描 西南交通大学硕士研究生学位论文第 3 页 述:在地里摘玉米。如果要找一个最大的玉米是很困难的，需要把地里所有 的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。并且，这个问题的工作量和玉米 地的面积成正比，面积越大，工作越困难。但是，如果要求找到的不是最大 的那一个玉米，而是一个比较大的，即按通常的说法，到地里去摘一个大玉 米，问 题就简单多了。 这时， 土地面积大小甚至和工作量基本无关6 1 而在同一时期， 人t - 智能 ( a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e ) 方面的研究取得了 惊 人的成就。在研究知识在人工智能领域的重要作用时，一些学者将 “ 智能” 定义为:当一个系统具有可运用的知识时，智能就是在巨大的搜索空间中迅 速地找出 一个满意解的能力7 l 。而这一理论在人工智能的发展史 上有着重要 的影响。知识工程、专家系统等都是在这一理论的影响下发展起来的。 在文 献 6 中， 任平教 授首先对满意解进行了 数学分析， 利用模糊数学的 隶属函数、子集、截集等概念，将满意解集定义为某一论域在约束条件构成 的子集的限制下所形成的截集。提出了使用模糊集合论的方法来研究满意解 集。 九十年代，西南交通大学的靳蕃教授在研究人工神经网络 ( a n n , a r t i f i c i a l n e u r a l n e t w o r k )过程中，通过比较传统的v o n n e u m a n n 计算机与 人脑的结构特点、运行机制和求解方法，发现人脑之所以在高级智能信息处 理领域比电脑 “ 聪明” ， 不仅在于前者的巨量并行分布拓扑结构，还因为它 寻求满意解的运算原则。 在此基础上， 首先提出了“ 神经计算的满意解原理” 8 1 ，在文 献 9 】 中， 靳 蕃 教 授等学 者将人 类 智能 的 信息 活动 按输入 信息 和输出 解的特征进行了分类，得到了表 1 - 1 所表示的结果: 表1 - 1智能信息处理分类 毓 魁 、 最佳解满意解 精确信息 i数 值 计 算 逻 辑 推 理 i组 合 优 化 实 时 控 制 模糊信息 i模 式 识 别 故 障 诊 断 i模 糊 控 制 模 糊 决 策 根据表1 所示的结果，得到了一类以人工神经网络和模糊逻辑为基础的 模糊神经计算智能系统 ( f n c i s , f u z z y n e u r a l c o m p u t a t i o n a l i n t e l l i g e n c e 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 s y s t e m ) ，该系统的结构原理框图，如图1 - 1 所示: 、/性二，、/ 、逻 少 / 图1 - 1模糊神经计算智能系统框图 图1 - 1 中各个部分作用分别为:1 ， 预处理单元;2 . 模糊神经网络;3 . 后处 理单元; 4 . 特征抽取单元; 5 . 样本供给单元; 6 . 满意度标准单元; 7 . v o n n e u m a n n 计算机。 上海交通大学席裕庚教授在研究复杂工业过程环境的基础上，总结出控 制是有约束多目 标多自 由 度优化的特点 ( c m m o ) 1 1 0 1 ， 提出了满意控制的概 念 和 原 理 框 架 111, 1 2 1 西南交通大学的金炜东教授研究了评价满意解性能的满意度函数，针对 优化问题的较复杂的情况提出了串行求解结构和并行求解结构。提出了一种 “ 多目标满意优化模型” 和“ 局部一全局型满意优化模型” ， 并将它们应用于 控制器参数设计以 及列 车 操 纵 优化方法 研究中 15 1 ， 从 而 将满意 优化的 研究 在 理论和实际应用上又向 前推进了一步。 寻求满意解的满意优化方法之所以可以得到迅速发展，主要是因为它具 有以下几方面特点: ( l ) 满意优化方法具有人类智能信息处理方式的基本特征之一，即在巨 大的搜索空间中迅速地找到满意解的能力。 ( 2 ) 传统优化方法采用描述问题的数学模型。因为模型本身是实际问题 的简化，或多或少忽略了一些因素。另外，数据采集的不精确以及参数估计 的不准确都可能导致得到的 “ 最优解”比采用满意优化方法得到的满意解产 生的误差更大。 ( 3 ) 对于一些计算复杂程度较大的优化问题，现在并未找到行之有效的 最优化方法，但是采用某种按满意解原则所设计的满意优化方法却能得到满 西南交通大学硕士研究生学位论文第 5 页 意的优化效果。 1 .3本文结构与主要工作 本文主要以满意优化方法研究为基础， 对满意优化方法在控制系统的优 化设计中的应用进行了分析和讨论。论文共分为五章，分别介绍如下: ( 1 ) 第一章为绪论，简要介绍了传统优化方法以及满意优化方法的历史 和现状。通过讨论满意优化的优点，分析了满意优化方法得以迅速发展的种 种原因。 ( 2 ) 第二章介绍了满意解原则，给出满意优化方法的基本定义，得到了 满意优化方法的运行框架;具体介绍了传统的满意解与满意度函数的定义， 对各种形式的满意度函数进行了分析。 ( 3 ) 第三章主要介绍多目 标满意优化方法。通过分析传统的多目标优化 方法，结合对综合满意度函数的讨论，提出了一类基于公正的多目标满意优 化模型。 ( 4 )第四章讨论了基于多目 标满意优化模型的控制系统参数的优化设计， 介绍了一类多模态p i d控制器。以多目标满意优化模型对其参数进行优化设 计为例，分析说明了这一类优化模型在控制器参数优化设计中的实现方法， 并且通过仿真实例表明了该方法的有效性。 ( 5 ) 第五章主要针对传统的模糊控制器设计方法的不足，提出了基于多 目 标满意优化模型的模糊控制系统的优化设计方法。对几种不同复杂程度的 控制对象给出了相应的仿真结果。 ( 6 ) 第六章介绍了多目 标满意优化模型在有限冲击响应数字滤波器频率 抽样设计方法中的应用。对于不同性能指标要求的滤波器的优化设计进行了 仿真试验。良好的优化效果表明了该方法在优化问题中应用的广泛性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第 6 页 第 2章 满意优化方法 满意优化方法 ( s a t i s f a c t o r y o p t i m i z a t i o n ) 是相对于最优化方法提出的。 它是在人类智能准则的基础上形成的，以满意解 ( s a t i s fi e d s o l u t i o n ) 输出为 原则的一类优化方法。目前，这一类优化方法己经在不少领域取得了一定成 果: 例如将满意优化方法运用到控制系统的优化设计1 1 3 1 、 数字滤波器的参数 优化设计 1 4 1 、模糊神经计算1 5 1 、 列车操纵优化5 1 以 及铁路运输计划指标优化 1 6 1 等方面。 本章首先给出了满意优化方法的一般定义， 提出了 满意优化方法 的运行框架。通过分析传统的满意解与满意度函数的定义，介绍了几种不同 的满意度函数。 2 . 1满意解原则与满意优化方法运行框架 通过分析人类的智能活动可以发现:输入信息的模糊性以及输出信息的 满意性是其主要的特征。研究人类的信息处理中枢大脑，我们发现，脑 神经处理了外界输入的信息以后，会产生支配身体各部分做出相应反应的决 策，这些决策大部分都是能解决问题的满意决策，而并非最优决策。这主要 是因为: ( 1 ) 为了能在同一时间处理多种信息。 例如， 我们骑自 行车的同时， 可能要与同伴交谈，同时还要观赏道路两旁的风景。( 2 )为了能集中精力处 理问题。例如，骑车时遇到了一段凹凸不平的路面，我们就希望在这一段路 上找出一条较平整的路线前进。由于我们的目的是通过这一段路，因此我们 没有必要下车来仔细测量路面，找出最平整的路面来。( 3 )为了能够对各种 情况进行实时反应。例如，骑车时由于颠簸突然摔倒，与此同时我们肯定会 做出一系列的自 我保护的反应，而在这么短的时间内还要决定怎样做这些动 作才最省力、最安全或者最敏捷，是根本不可能，也是没有必要的。 综上所述，人类高级智能活动的特点不在追求凡事得到最优解，而是实 时地能随机应变地求得可以 解决 所面临问 题的满意解 1 7 1 。 正是这一条看起来 十分平凡的满意解原则，使得人类在各种智能信息处理的活动中可以极大的 节省信息处理的时间以及信息存储的空间，从而提高效率。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第 ， 页 通过对满意解原则的分析，本文给出了一种满意优化方法的一般定义。 定义 2 . 1 :满意优化方法是在一个可以接受的计算费用内寻找满意解的 优化方法，而且该满意解与最优解的偏差不一定可知。 由定义 2 . 1 ，我们对满意优化方法有了一个大致的认识和了解。根据优 化问题的不同类型以及所采用的不同策略，就产生了不同形式的满意优化方 法。但是其基本的运行框架确是形同的。图2 - 1 给出了这一类满意优化方法 的基本运行框图。 图2 - 1满意优化方法运行框图 通过对满意优化方法运行框图进行分析，不难看出，在实际应用中所采 用的一些优化方法实际上是采用满意解原则的满意优化方法。例如，在模拟 达尔文的 遗传选择和生 物过程自 然淘汰的 遗传 算法【 “ 中， 就是在搜索过 程中 利用评估函数 ( 适应值函数)计算得到解的适应度值，将它作为评估个体或 解的优劣标准。我们不妨将这里的适应度函数看成是一种以满意解原则而设 立的满意度函数。 又例如， 利用具有反馈的全互连h o p f i e l d 型神经网络求解 西南交通大学硕士研究生学位论文第 8 页 t s p问题时 1 9 1 ，则是在满足一定参数条件下，使用计算能量函数 ( c o m p u t a t i o n a l e n e r g y f u n c t i o n ) ， 求解在一定 约束条 件下的 优化问 题。 此时， 计算能量函数也可以作为相应的满意度函数，以求得问题的满意解。 2 .2满意解与满意度函数的定义 2 . 2 . 1满意解与满意度函数的传统定义 在研究满意优化方法时，首先应该确定什么是满意解，怎样评判满意解 令人满意的程度。通过设计满意度函数给出满意解的性能评价，是一种有效 方法。在此基础上，可以根据解的满意度函数值来确定或估计满意解以及满 意解集。 在文献 6 中， 任平教授利用模糊数学的方法对“ 令人满意解集” 进行了 定义。 考虑论域 u到目标之集合 v 里的一个映像 f: u - v( 2 - 1 ) u为全体可能解或者可能策略的集合，v 是衡量解或则策略的某种标准集。 定义 v的一个f u z z y 子集g为“ 令人满意” ， 可以 将它的隶属函数表示 p c : v - 0 , 1 ( 2 - 2 ) 也 就 是说， 对; e v p g ( v ) 表 示目 标值为v 时 令 人 满 意的 程度。 定 义 2 .2 : 对满 足q# , g , # 的 任 意a 值， o s a _ 1 ， 称 m, = u u e c , , f ( u ) g x ( 2 - 3 ) 为f 在上的c 上的a 一水平 满 意解 集。 其中c x , g ， 分别 为c 与g 的a 一水 平集，即: 西南交通大学硕士研究生学位论文第 9 页 c , = u u e u , p c ( u ) ? a g ， 二 二 : 。 v , p g ( v ) _ a ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 定义 2 .3 :考虑c 上的一个f u z z y 子集m，其隶属函数规定为: p m ( u ) “ s u p u auc m 0_兄 1 ( 2 - 6 ) 则称m为f 在c 上的“ 令人满意解集” 。 这两个定义在描述满意解时非常严格，因此适用于理论推导。但是需要 比较多的计算步骤，所以并不适合在实际中应用。 在文献 1 6 中，胡思继教授将铁路运输计划的指令性指标按纵向从上到 下或从下到上进行分解时，给出如下的满意度定义。 定 义2 .4 : 设 厂 为 指标 数 值， 厂 h 与厂分别为 指标的 最 佳解 和最 差解， 则 指标的满意度为: 厂一 厂 f ,h 一 f, ( 2 - 7 ) 显 然， 当f= 厂 “ 时， 满意度为1 ; 当厂= f, , 时， 满意度为零: 在一 般情况下 0 a ， 1 。 但是在具体应用的时候，想要知道某种指标的满意度的大小，则必须先 知道最佳解和最差解的具体数值。但是往往最佳解以及最差解在优化问题中 难以确定，正是这一点使该方法不适合实际广泛运用。 在 文献 2 0 中， 刘春林等学者 在 研究 一类边的长 度为 对称三角模糊数的 应急系统模糊路径问题时。由 于模糊数的不可比性，导致优化问题中不存在 传统意义下的最短路。但是，如果通过引入以下满意度函数的概念，就可将 给定限制期条件下的模糊路径优化问题转变为:寻找一条从起点到终点的路 径，通过此路径的时间不超过限制期t 的满意优化问题。 设 对称三角模糊数为:m = a , b , c ( a b c ) , 那么b = ( a + c ) l 2 。由 于对 西南交通大学硕士研究生学位论文第 1 0 页 称三角模糊数m与普通实数t 在许多 情况下是不可比的 ( 如当a t 。 时) 。 为此选择路径p时，定义 “ m t f ( p , t ) b c t b 时 =0 0 :5 f( p , t ) 0 . 5 ( c ) b t c 时 0 . 5 : f ( p , t ) 1 ab ( d ) c t 时 f ( p , t ) =1 图2 - 2满意度函数形式 定义 2 .5 : 若m = a , b , c ( a t -, 2黑 )zt- a2(c - a ) 1一 2 c - t(c - a )z a - t b ; 了十1.少、.eseseseseseseses 一- f ( p , t )( 2 - 8 ) b- t s ( x , ) , s ( x , ) = s ( x , ) , s ( x , ) _ q ( x , ) , x (= x ) ( 2 - 1 6 ) h x e x， 定 义一 个满意度函 数s 2 ( x , ) = f 2 ( i x ( x r ) i) ， 获得解x ， 时 x 一 x( x、 s , ( x . ) =二1 一 i x i x( x ) x ( 2 - 1 7 ) 其中，1 xi 和 x ( x , ) ! 表示集合x的元素的总数目以 及子集x ( x ) 中 元素 的数目。将这种满意度函数称之为优化率函数线性型满意度函数。 由( 2 - 1 6 ) 式 和 ( 2 - 1 7 ) 式可知， 对于给定评价性能q ， 获得某个解x 的 满意 度， 就 等于 在 整个离 散解集x中， 所有 低于 解x ， 的 性能的 解所占 的比 例。 这种满意度函数定义采用了类适于古典概率的定义方法。然而，在定义 2 .9 下可以看到 0 s 2 ( x ) 1 。 而此时可以 将问 题p .￥ 的 解集看成是连续的 情况。 定 义 2 . 1 0 : 设o) ( q ) 表示定义在一 o o g a ! q :; q n 十 二的 解x的 质量概率 密 度函 数 ， 则当 获 得 质 量 为 的 q ， 的 解x 时 ， 满 意 度为 s 2 (x ， = 一 c o) (q )d q ( 2 - 1 9 ) 此时， 在解集是连续的定义下，0 。 时 刻输出 可以 供选 择的 解数为n ( t a ) ， 在单位 时间 t 后获得可供 选择的 解数为n ( t o + 4 t ) ，则该系统在t 。 时刻输出 解的动 态满意度函数为: s d ( t o ) n( t . ) n ( t + 4 t ) ( 2 - 2 0 ) 式中 定。 单位时间 t 可以根据系统的特点 ( 例如系统输出一组解的周期) 来确 显然，0 _ s d ( x ) _0 ( 2 - 2 1 ) 如图 2 - 3 所示。 2 . 降半正态满意度函数 。(。二 : k)q_a)i qa k0 ( 2 - 2 2 ) 中1 势冲 j其 千月lesl -一 、万 口通 ，八 西南交通大学硕士研究生学位论文第 巧页 如图 2 - 4 所示。 个 h ( q ) q 一 一 图2 - 3升半正态满意度函数图2 - 4降半正态满意度函数 3 . 升半哥西满意度函数 a ( q 一 a ) p( 2 - 2 3 ) l + a ( q 一 a ) q a其中 “ 0刀 0 f!、les、 -一 、， q f t八 如图 2 - 5 所示。 4 . 降半哥西满意度函数 ( 2 - 2 4 ) 1 + a ( q 一 a ) p q5a q a其中 。 0刀 0 产十1、 一一 、，了 q 方 如图 2 - 6 所示。 甲h ( q ) 1 卜- 一- 一 7一 / h ( q ) 图2 - 5升半哥西满意度函数图2 - 6降半哥西满意度函数 5 . 升半梯形满意度函数 q一a , a 2 一a , 1 , qsa , a , a 2 ( 2 - 2 5 ) 了les.iesesesjl、 一一 、，产 口通 、 h 西南交通大学硕士研究生学位论文第 1 6 页 如图 2 - 7 所示。 6 . 降半梯形满意度函数 、1 6 2 (2-守 q ua , a , a 2 口-a 11.a一你1 厂11|1破|se - 、声 q 声.、 h 如图 2 - 8 所示。 h ( q )1 h ( q ) _ - 一了 、 / 、/一 一 尸 1一 a l a 2 q 图2 - 7升半梯形满意度函数 a l a 2 图2 - 8降半梯形满意度函数 7 . 升折线形满意度函数 b ( q 一 a , ) q u a , a , q -5 a 2 a 2一a , ( 1 -兰 )( q - a , ) 、 1, ( 2 - 2 7 ) a ,一a 2 a 2 a 3 十1ieseseses月.t - 、 口孟 了 几八 如图 2 - 9 所示。 8 . 降折线形满意度函数 (a , - q )(上 b ) + 1, q u a , a , m i , x e e g , ( x ) ? 0 , i = 1 , 2 ， 一， k h , ( x ) = 0 , j = 1 , 2 , . . . , 1 ( 3 - 1 ) 了!rlesl 在实际多目标优化问题中，由于优化目 标之间、性能指标之间、约束条 件之间，或者是优化目 标、性能指标以及约束条件之间存在着各种各样的祸 合关系， 并且随着优化问题复杂程度的增加， 这种祸合关系更为复杂， 因此， 要想在这种错综复杂的矛盾关系之间找到一个兼顾各个优化目 标的绝对最优 解是几乎不可能的。 通过本文前面一部分对传统最优化方法与满意优化方法进行的比较， 可 以发现:在多目标优化问题中，同样存在求满意解的情况。在传统的多目标 优化问 题中，有着各种意义下的最优解，但是在应用中，重要的还是求有效 解和弱有效解12 2 1 。 而求有效解和弱有效解的最基本的方法是利用 “ 评价函数 法” 。 其基本思想是: 借助几何或是应用中的直观背景， 构造评价函数， 从而 将多目 标优化问题转化成为单目 标优化问题;然后利用单目 标优化问题的求 解方法进行求解，在满足有效解或者弱有效解的条件下，将这个解作为多目 西南交通大学硕士研究生学位论文第 ”页 标优化问 题的解。而在这种意义下，所求到的解可以作为多目 标优化问题的 一种满意解。 可能有三方面的因素造成了多目 标优化问题的 “ 满意性” s : ( 1 )由于各个目 标下最优解之间的矛盾难以兼顾而无法获得绝对最优解。 ( 2 )对解的性能评价的满意性 ( 性能指标的满意度评价) ， 或目标函数以 及约束条件的模糊性。 ( 3 ) 优化计算结果的满意输出。 综上所述， 在处理多目标优化问题时， 希望按照人类智能信息处理方式 的特点，即以满意解输出原理为依据，采用多目标满意优化方法进行求解。 3 .2多目标满意优化模型分析 3 . 2 . 1多目 标优化问题的描述 分析式 ( 3 - 1 ) ，可以将多目 标优化问 题p x描述为: x . q , s ，其中x 为系统的参数 ( 变量) :x = i x , , x 2 ; . ., x , - q 为系统的性能指标集: q 二 【 9 v g z ,. . ., 9 m = x , q的维数可以 视为 优化问 题的复杂因素的 状态。 维数 越高， 对应的优化问题就越复杂。 这时可以将复杂的因素的状态空间分解为 若千简单的因素的状态空间， 然后再利用对这些简单因素状态空间的求解来 合成复杂优化问 题的解。这样就可以 将系统的性能指标集 q分解为一个个 单独的 性能 指标9 + ， 利用前面章节 对于满意度函 数的 设计方法， 得到每一个 性能指标的 满意度函 数s i . s 为描述系统 各个性能指标9 ， 的 优化结 果的满意 度函 数 集:s = ss z ， . . . s . 。 对于 任何x ， 只要 确定了s , ( x ) , ( i = 1 ,2 , . . . , m ) , 便得到了: s ( x ) = s , ( x ) s z ( x ) , . . . , s . ( x ) ( 3 - 2 ) 这时的s 是一个m维的向量， 它并不能直接作为优化问题的评价标准。为了 达到既不损失信息又便于进一步处理的目的，我们通过 “ 降维”的方法对其 进行变换。所谓 “ 降维”即是将高维的状态空间s降为低维状态空间，从而 降低问题的复杂程度。这也就是我们解决这一类多目标优化问题时的基本思 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 想。 通过降维映 射f s - = f ( s ( x ) ) = f ( s , ( x ) , s , ( x ) ， 一 ， s . ( x ) ) ，实 现把m维的 点 ( 各性能指标的满意度函数值)综合为一维的点 ( 系统的整体满意度函数 值) ，这其中的关键在于“ 综合” ，因此我们称映 射f 为“ 综合函数， 。 起综合作用的综合函数常常取为如下形式: f ( s ) 一 f ( ss z . s m ) = 艺。 s ( 3 - 3 ) 其 中 co e 0 1 ( 1 = 1 ,2 , . . . ， m ) , 并 且 满 足艺co , = 1 。 式( 3 - 3 ) 通 常 称 为 线 性 加 1 ，1 权综合满意度函数，它反映出了综合各个性能指标的满意度后多目 标优化问 题的综合满意度。分析式 ( 3 - 3 )发现，在多目 标满意优化方法中，如何将各 个评价 性能指 标的 满 意 度s k , k 二 1 ,2 , 二 ， m， 通 过综 合满 意 度函数f 综合 成反 映 整体优化效果的综合满意度，从而求得问题的满意解，是多目标满意优化方 法的一个重要问 题。 很多学者在这一方面进行了 研究5 1 , 1 7 1 , 12 3 1 3 .2 . 2综合满意度函数分析 本文中， 我们根 据。 ， 的 值为 常数或者变 量将综合满意度函数分为常权值 综合满意度函数和变权值综合满意度函数进行研究。 在多目标满意优化问题中， 如果知道各个性能指标在优化问题中所起到 的作用，或者知道它们之间的相互关系，我们就可以根据各个指标的重要性 来建立综合满意度函数。此时，人们总是希望对那些相对重要的指标赋予较 大的权系数，从而增大其在综合满意度中的份额。基于这种原因，我们常常 选用常权值综合满意度函数， 通过对各个权值赋予不同的常权值，反映出设 计者对不同的性能指标的重视程度。但是，如果人们对优化问题的各个性能 指标的重要程度以及它们之间的关系认识不够充分，或者由于优化问题本身 的复杂性，根本无法准确找出性能指标之间的关系。这时如果人为地对各个 指标赋予权系数，势必会造成优化的不准确。 下面通过对二维综合满意度函数的分析揭示了其中的原因，见图 3 - 1 : 西南交通大学硕士研究生学位论文第 2 1 页 ( s 2(o, 1 ) ( 1 , 1 ) ( 0 , 0 , o)( 1 , 0 , 0 )( 0 , a )( 1 , 0 ) ( a )( b ) 图 3 - 1综合满意度曲面与等满意度线 我们可以在 0 , 1 ， 中用等满意度线来反映满意度分布情况。 f ( s i , s 2 ) 二 c ( c e 0 , 1 ) 构 成s , - s 2 平面上的 一族曲 线， 它 是用不同的常数。 所 做成的平面与综合满意度曲面j ( s 1 + s 2 ) 的交线在平面上的投影。当 fs i , s 2 ) = m , s ， 十 。 2 s 2 时， 综 合满 意 度曲 面是一 个通 过点 0 ,0 ,0 与 点 1 , 1 , 1 的 平 面， 其倾斜方向 和 角度由 权 值( c t) 7 , (0 2 ) 决定， 其等 满 意度 线是一族 平行的 直线，见图 3 - 2 0 f ( s l , s 2 ) s 2(o, 1 。(i l ) ;尸“ 2/ i ，/ k-( 0, : 二 一 了洲1,1,o ) ( 1 ， 氏o )( 0 , a )( 1 , 0 ) ( a )( b ) 图 3 - 2常权值综合满意度曲面与等满意度线 在进行综合满意度函数设计时，我们不仅要考虑对各个性能指标的重要性的 偏好，而且要考虑到其均衡程度的偏好。一般情况，各个性能指标的满意度 越均衡越好，即理想的满意解应该对映均衡的性能指标的情况下的综合满意 度。 但是常权值综合满意度函数仅仅反映了各个指标的重要性，不能起到制 西南交通大学硕士研究生学位论文第 2 2 页 约均衡的作用。在二维的情况， 一个能反映对指标均衡偏好的综合满意度函 数，其等满意度曲线应当是一条凹面朝向理想满意度点( 1 , 1 ) 的凹曲线。 3 . 2 .3基于公正的综合满意度函数 通过以上分析，本文提出一种基于 “ 公正”的综合满意度函数。该方法 仍然采用 ( 3 - 3 ) 式的线性加权综合满意度函数的形式， 但是由于在确定各个 指标的权值。， i 二 1 , 2 , . 二 ， m的时候， 采用一种基于公正的取值方法。因此它 实际上是一种变权值的线性加权综合满意度函数。 确定各权值公正过程的基本出发点是基于以下几条假设: 假设1各个性能指标对应的权值m ， 在计算综合满意度值时都负有责任。 假设2各个性能指标都负 有 解决指标间分歧的责 任。 通过对权值( e ， 的调 整，以解决指标间的分歧。 假设 3确定多目 标优化问题解的综合满意度函数可以通过对每个性能 指标的线性加权的方法得到。这种组合应该能够体现出公正性。 实际上，什么是公正、怎样做到公正是一个哲学的范畴。公正是一种主 观的概念，没有一定的标准。由于各人所处的社会地位、传统文化背景的差 异，对于公正可能会有不同的理解。在处理关系到公正的问题时就可能有不 同的方法。因此，对于公正就只能从个人的角度来考虑。我们常常会以 “ 公 正无私”来评价一个人，可见公正与无私有着紧密的联系。一个人只有做到 了无私，才可能从一个更广泛的角度处理问题，才能做到公正。下面通过无 私来定义公正度的测度。 定义3 . 1 :设多目 标满意优化问 题中每一个性能指标为9 k , k = 1 ,2 , 与 之对应的 满意度为s k ， 定义 性能 指标s k 的公正度为y , , y ， 二 f ( s , , s 2 ， 二 、m ， s , ) y , e 0 , 1 ， 其中公正度函数f可以 定义如下: 西南交通大学硕士研究生学位论文第 2 3 页 y , = f ( s , , s , ， 一s . ) 二 i - i 一 e a 1 一 e z , + a a 0 , i =1 , 2 , . . . , m ( 3 - 4 ) 几 ， =i 一 二 e ( s ) s = ( s , s z ， 一， s . ) 式中， e ( s ) 为各个性能指标的满意度函数值的平均值。 如果根据假设3 来确定一个求解多目 标满意优化问 题综合满意度函数f 通过它反映各个性能指标的综合满意度，则可以根据各个性能指标的公正度 来确定。得到以下定义。 定义 3 .2 : 多目 标满意优化的综合满意度函 数f 由 各个性能指标满意度 的线性组合而成，即 s w = f ( s ) = 艺 。 s ， ( 3 - 5 ) 其中，定义以 1 + y , m + y y i =1 , 2 , 二 ， m。 按照定义 3 .2的方法得到的综合满意度函数，体现的是:越是从公正的角度 出发得到的性能指标的满意度在综合满意度中所占的比例就越大，但是每一 个性能指标的满意度所占的份额小于 2 / m，因此保证了最终的综合满意度函 数值不受任何一个性能指标的单独影响。因此体现了一定的公平性。而与这 种综合满意度形式对应的极端情况是: ( 1 ) 如果每一个性能指标都以自己为重要， 则对于任何一个指标的满意度 s , ， 对应的/ ， 二 0 ， 于是凡= 1 / m， 公式( 3 - 5 ) 变为 一种等权值的线性型 综合 满意度函数形式。 ( 2 ) 如果每一个性能指标都不以自己为重要， 则对于任何一个指标的满意 度 s i ， 对应的/ ， = 1 ， 于是凡二 1 / m ， 公 式 ( 3 - 5 ) 又变为一 种等 权值的 线性 型综合满意度函数形式。 3 .3基于公正的多目标满意优化模型 西南交通大学硕士研究生学位论文第 2 4 页 通过以上的分析， 本文提出了一种基于“ 公正” 的多目标满意优化模型。 设优化问 题p x的系统参数 ( 变量) 有n 个，记为x x 2 ， 二 ， x，构成可 供优化选择的参数 ( 变量) 集: x“ ( x i ， x 2 ,. , x) x , e r , i = 1 , 2 ， 一 、 n ) ( 3 - 6 ) 优化问 题的解向 量可以 表示为x = 卜 i , x 2 , x 卜x , xcr o x即为优化问 题 的 解空 间。 其中 一 组 参 数二 (0一 沙 1 0 ) ， x 2 0 ， . ., x (1 ) ， 称 为 该 参数 优化问 题的 一 个解。 设评价优化问题的性能指标有m个， 构成性能指标集q和性能指标集向 量q : q = ( q , q 2 ， 一 、 g m ) i q k 。 r , k = 1 , 2 ， 二 、 m ( 3 - 7 ) ， = q l , q 2 ， 二 、 q m 。 q , q c r 0 ( 3 - 8 ) 翩 对 于 某一 个参 数 解x 0 ) ， 可以 得 到 其 性能 指 标 值 为了 j ) = q l () ) ， q 2 (1 ) , 其中q k 0 ) 是 每一个 性能 指 标q * 关 于 参数 解x (j ) 的 取 值，k 二 1 ,2 , 二 ， m 。 而q * 的 取 值一 般和多 个参 数变 量 有 关， 故表示为:q 、 二 o k ( x ) , k 二 1 ,2 ,. 二 ， m， 于 是得 到: q = q ) , q 2 ， 二 、 q . = o ) ( x ) , o 2 ( x ) ，二 、 (p . ( x ) = o ( x ) ( 3 - 9 ) 侧 ) 是一个向 量函 数， 给出了q 关于x 的函 数 关系 而 性能 指 标q 则 可以 是系统的优化目 标，也可以包括对系统性能指标的约束条件。 对于每一个性能指标q k , k = 1 ,2 , . . .， m，可以分别给出其满意度函数 9 k : r - , 0 , 1 ，记: 西南交通大学硕士研究生学位论文第 2 5 页 s k = 9 k ( q k ) , k = 1 ,2 ，一 、 m ( 3 - 1 0 ) 在 优化问 题中， s * 反映出 决策者 对 性能指标q * 的满意程度。 数值的形式反映出决策者对该项性能指标q * 的要求。 利用s k 这实际上是以函 构成满意度函数 向 量s 二 s a , s z ，二 二 。 , s e 0 ,1 0 ， 以 向 量 a 数g ( .) 表示性能 指标向 量q 的 满意度 函数， 可以 得到s = g ( q ) ，于是得到: s 二