（检测技术与自动化装置专业论文）基于小波包和emd的滚动轴承故障信号分析.pdf

摘要 基于小波包和e m d 的滚动轴承故障信号分析 摘要 滚动轴承既是旋转机械中的最常用部件之一，又是极易发生损伤的元 件，对滚动轴承的故障诊断研究具有重要的现实意义。在故障诊断过程中， 从故障振动信号中提取故障特征是故障诊断技术的关键，而现代信号处理 技术的运用在特征提取过程中发挥着核心的作用。 对于滚动轴承振动信号一类的非平稳、非线性信号，传统时频分析方 法都具有各种各样的局限性。本文首先分析了如短时傅立叶变换、w i g n e r l l e 分布、小波变换等时频分析方法的特点与局限。随后通过对瞬时 频率、内模函数、h i l b e n 谱等基本概念的介绍，对由美籍华人n e h u a n g 等人提出的经验模态分解方法( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) 的原理和 算法进行了详细说明，揭示了e m d 分解方法将信号分解成一系列单分量 成分，并通过h i l b e n 变换这一有效桥梁，反映信号频率、幅值的局部瞬 时变化规律的本质，验证了e m d 方法自适应性、多分辨率、完备性等优 势特点。 本文还针对经验模态分解在实际应用中存在的模式混叠、在低频段产 生多余i m f 分量等问题，通过外部、内部两种小波分析与e m d 方法的结 合，对e m d 筛分方法进行了改进。其中外部结合方法，利用小波去噪优 北京化工大学硕士学位论文 势，在滤除干扰噪声的基础上与e m d 方法结合，有效解决了e m d 方法 受噪声干扰的问题；内部结合方法，以内模函数定义为出发点，创新性地 提出了一种基于小波包的筛分方法( w a v e l e t p a c k e tb 嬲e ds i l f i i n g ，w p b s ) ，该 方法不但规避了采用三次样条拟合包络线所引起的一系列问题，还提高了 信号的分解效率和精度，对噪声干扰也有一定的抑制作用。通过仿真信号 和滚动轴承故障振动信号的检验，证明了小波包与e m d 结合方法的可行 性和有效性。 关键词：滚动轴承，故障诊断，经验模态分解，内模函数，小波包分解 i i 摘要 t h es i g n a la n a l y s i so fr o l l e r b e a r i n gf a u l td i a g n o s i sb a s e do n w a v e l e tp a ck e ta n de m d a b s t r a c t t h er o l l e rb e a r i n gi sn o to n l yo n eo ft h em o s to r d i n a 巧i nt h er o t a t i n g m a c h i n e r mb u ta l s oi s1 i a b l et ob ed a m a g e d i t so fg r e a tr c a l i s t i cs i g n i f i c a i l c e t os t u d yf 扎l td i a g n o s i st e c h n i c a lf o ri t i nt h ep r o c e s so ff i a u l td i a g n o s i s ，t h e k e yp o i n ti se x t r a c t i n gf a u l tf e a t u r e 丘o mt h ef a u l tv i b r a t i o ns i g n a l s a n dt h e m o d e ms i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n 0 1 0 9 yu s e di nt h ee x t r a c t i n gp r o c e s sp l a y sa c e n t r a lr o l e t l l et r a d i t i o n a l t i m e 一舶q u e n c ya n a l y s i s m e t h o dh a sav a r i 啊 o f l i m i t a t i o n sf o rt h en o n - s t a t i o n a 拶a n dn o n - l i n e a rs i g n a l sa st h er o l l e rb e a r i n g v i b r a t i o ns i g n a l s i nt h i st h e s i s ，t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dl i m i t a t i o n s0 ft h e t i m e - f k q u e n c ya n a l y s i ss u c ha st h es h o i tt i m ef o u r i e rt 啪s f o m ，w g n e r - v i l l e d i s t r i b u t i o na n dw a v e l e tt r a n s f o mm e t h o d sa r ea n a l y z e d f o l l o w e db yt h e i n t r o d u c t i o no ft h ei n s t a n t a n e o u sf k q u e n c mt h ei n t d n s i cm o d ef h n c t i o n ，t h e h i l b e r ts p e c t r u m ，a n do t h e rb a s i cc o n c 印t s ，i t sd e s c r i b e dt h ee m p i r i c a lm o d e d e c o i l l p o s i t i o nm e m o d ( e m d ) a n dt h ep n c i p l eo fa l g o r i t h mc r e a t e db yt h e c h i n e s ea m e r i c a nn eh u a n ga n do t h e r si nd e t a i l ，a i l dr e v e a l e dt h a te m d d e c o n l p o s es i g n a li n t oas e r i e so fs i n g l e - c o r n p o n e n te l e m e n t s t h eh i l b e r t t r a n s f o r ma se f r e c t i v eb r i d g e sr e n e c t e ds i g n a l 仔e q u e n c y a m p l i t l l d ec h a n g e si n t h e1 0 c a l l a w so ft h ei n s t a n t a n e o u sn a t l j r e a n di t st e s t e dt h ea d 印t a b i l i 坝 i n u l t i - r e s o l u t i o n ，m ec o m p l e t e n e s so fe m d a c c o r d i n gt o t h ep r o b l e m ss u c ha sm o d em i x i n ga n du n d e s i ra _ b l e i n t r i n s i cm o d e 如n c t i o n s ( i m f s ) a tl o w6 e q u e n c yr e g i o ne m d g e n e r a t e d ，i t s i i i 北京化工大学硕士学位论文 p r o p o s e dt w ot y p e so fo u t e ra n di n s i d ec o m b i n a t i o nm e t h o d so fw a v e l e ta n d e m dt oi m p r o v et h es i r i n go fe m d t h eo u t e rm e t h o du s i n gt h ew a v e l e t d e n o i s i n ga d v a t n a g ea n dc o m b n i a t i o n gw i t he m d b a s e do nw a v e l e td e n o i s i n g s o l v e st h ep r o b l e mo fn o i s ei n t e r f e r e n c e t h ei n s i d em e t h o ds t a r t i n gw i t h d e f i n i t i o no fi n t r i n s i cm o d e 允n c t i o n ，i n t r o d u c e sas i r i n gm e t h o db a s e do n w a v e l e tp a c k e t i ta v o i d sas e e so fp r o b l e mc a u s e db y 印p l 如n gc u b i cs p l i n e i n t e 叩o l a t i o nt os i ri m f sf r o ms i g n a l ，a n di n c r e a s e st h ea d a p t a b i l i t ya n d e m c i e n c yo fs i g n a ld e c o m p o s i t i o n a r e rt e s t i n gb ys i m u l a t e ds i g n a l sa 1 1 dt h e r o l l i n gb e 撕n gf a u l tv i b r a t i o ns i g n a l ，t h ef e a s i b l ea n de 虢c t i v eo ft h em e t h o d p r o v e d k e yw o r d s ：r 0 1 l e rb e a r i n g ，f a u l td i a g n o s i s ，e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ， i n t r i n s i cm o d em n c t i o n ，w a v e l e tp a c k e td e c o n l p o s i t i o n 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 作者签名：迷邀日期： 关于论文使用授权的说明 沙d 易s 碣 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大 学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可 以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：拯逢日期： p os s ，8 导师签名： 李垫暨蛆 日期：兰! 墨：竺12 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 十八世纪3 0 年代蒸汽机为动力的机械化带动了英国的工业化进程，自此各种机 械就与人类的生产、生活密不可分。随着现代化生产的发展和科学技术的不断进步， 现代设备的结构也越来越复杂，功能越来越完善，自动化和智能化的程度更是不断加 深。而在生产实践中，各种自然的、人为的因素也在不可避免地影响着机械的运转， 造成了各式各样的机械故障。这些故障引起的直接、间接后果，不仅使系统失去预定 功能，还由于不同设备间的密切联系，对后续生产造成了损失，严重时甚至造成国民 经济重大损失和人员伤亡。因此，在科技竞争日趋激烈、国家大力倡导节能高效的今 天，对机械故障诊断具有重要的现实意义。 机械设备中大部分为旋转性机械，在动力、电力、化工、冶金及机械制造等重要 工程领域，都占据着重要的地位，探讨和研究旋转机械的故障诊断技术显得尤为重要。 旋转机械故障诊断能够及时、准确地对各种异常情况和故障状态进行诊断、预防，提 高设备运行的安全性，延长机械的使用寿命，为设备结构改进、优化提供数据和信息。 到今天，它已经发展成为一个集合系统工程、信息论、控制论、电子技术、计算机技 术、信息处理、人工智能等现代科学技术在内的综合性交叉学科，研究内容涉及故障 机理、传感器与检测技术、信号分析与数据处理、自动控制、系统辨识、专家系统和 计算机软硬件等众多技术领域【i 】。 根据旋转机械故障诊断的目的，其研究包括两方面的内容：第一，寻找故障产生 的位置，分析故障的原因；第二，进行早期诊断，即在故障发生之前及时把故障将要 发生的征兆提取出来，以便采取相应措施，防范于未然。因此旋转机械设备的故障诊 断基本上可分为三个步骤：第一是诊断信息的获取，常用的方法是测取机械设备的故 障振动信号；第二是故障特征提取；第三是状态识别和故障诊断。其中关键是从旋转 机械故障振动信号中提取故障特征。应用于机械故障诊断的信号特征指的是从原始数 据当中提取出来的能反映是否存在故障的参数，信号分析和处理是提取机械故障振动 信号特征最常用的方法。通过对机械故障振动信号的分析和处理，可以提取出振动信 号中的故障特征，从而进行状态识别和故障诊断。目前常用于信号分析和处理的数学 方法有基于傅立叶变换( f o 谢e rt r 柚s f o 衄，简称f t ) 的频谱分析方法、高阶谱、川舭 ( a u t o r e 掣e s s i v em o v i n g a v e r a g e ，简称舢孙他) 模型分析方法、几何分形分析方法以 及窗口傅立叶变换( w i n d o w e df o 嘶e rt r a i l s f o m ，简称w f t ) 、w i 朗e r 分布 北京化t 火学硕十学位论文 ( w i 印昏v i l l ed i s t r i b u t i o n ，简称、w ，d ) 和小波分析( w 打e l e t a n a l y s i s ) 的时频分析 方法等。 1 2 信号时频分析方法综述 1 2 1 时频分析方法 旋转机械振动信号绝大多数是非平稳、非线性的，这些非平稳和非线性的振动信 号包含了丰富的故障信息。对于这些非平稳、非线性的振动信号，时频分析方法是一 种有效的分析方法，并且目前也应用最为广泛。 时频分析的思想源于本世纪四十年代。首先是1 9 4 6 年d g a b o r 提出的g a b o r 变换 为在时间和频域联合域内分析信号奠定了理论基础；随后p o t t e r r k 等在1 9 4 7 年又提 出了短时傅立叶变换( s h o r tt i i l l ef o u r i e rt r a i i s f o n l l ，s t f t ) ；到1 9 4 8 年，v i l l ej 将e p w i n g e r 在1 9 3 2 年提出的w i n g e r 分布引入信号处理领域后，学者们才纷纷提出了众多 新颖的时频分布。所谓时频分析就是设计时间和频率的联合函数，用时变模型来全面 准确地揭示信号的时变频谱特征，在时间与频率构成的二维平面中，从幅值分布上直 接表示频谱和时间的关系。它将一维时域信号爿f ) 或频域信号x ( 缈) 映射成时间一频率 平面上的二维信号p ( f ，缈) 【2 1 。典型的时频分布主要有短时傅立叶变换( s 1 1 f t ) 、g a b o r 展开、w i n g e r 分布、小波变换等。这些方法都有其特定的适用领域，必须根据不同的 应用和目的，选择合适的分析方法。 1 2 2 短时傅立叶变换 短时傅立叶变换( s h o r tt i m ef 0 u r i e rt r a n s f o m ，s t f t ) 是一种加时间窗的傅立叶 分析，也称窗口傅立叶变换。其方法是对信号施加一个对称窗函数，再做傅立叶变换， 通过窗口在时间轴上的连续滑动，可以得到一个时频分布。设g ( f ) 是一个是对称函数， 平移后滑动窗为g ( f f ) 。信号如) 的短时傅立叶变换定义为： s 万l ( f ，w ) ：r 托飙一f k 一朋出一( 1 1 ) 式( 1 1 ) 中，函数g ( f ) 具有短时延拓特性，托k ( f f ) 表示信号娟) 在时窗内的部分 2 第二章e m d 方法的基奉概念与理论 信息，x o k ( f f ) 的傅立叶变换反映的是信号球) 的局部时段的频率特性。通过改变f 可 以使窗口沿时间轴移动。该方法也可以被看作是一种广义滤波器分析，其短时傅立叶 变换是信号面) 通过一个中心频率为w ，带宽为w 的带通滤波器所产生的输出。窗函 数决定着信号的时频分辨率。在时域和频域方向，有： f 2 = 卜2 i g ( f 】2 出御g ( f 】2 出( 1 2 ) w 2 = 卜2 1 日( w 】2 出1 日“】2 咖。( 1 3 ) 根据测不准原理，出和w 必定满足缸w 州4 ，时间窗的宽度和频域窗的宽度 不能同时达到最小值，因此s t f t 所表示的时间和频率分辨率是矛盾的，时域与频域 无法同时达到良好的局部特征，并且使用的窗口长度也是固定的3 1 。由于短时傅立叶 方法采用了快速傅立叶变换来实现，在语音信号分析领域得到了广泛的使用，并逐渐 推广到雷达、声纳、地质等领域。但严格地说，短时傅立叶变换是一种平稳信号分析 方法，只适用于缓变信号的分析。 1 2 3w ig n e r - v iie 分布 w i g n e r - l l e 分布是一种最基本、应用最多的时频分布。1 9 3 2 年，w i 印e r 提出了 w i 盟e r 分布，并首先运用于量子力学的研究。1 9 4 8 年，l l e 将其运用的信号分析领 域。1 9 8 0 年，c l a a s e l l 和m e c l 【1 e n b r a l ( e r 首次介绍了w i 印* v i i l e 分布的概念、定义、 性质和数值计算等问题【4 】。 信号x o ) 的w v d 定义为： m ，( f ，咖h 一酬+ 妒口艰虮( 1 4 ) 根据信号工( f ) 的中心协方差定义： c ( r ，r ) = 工( 、r 一三) 文r + 兰j ( - 5 ) 信号的w v d 可以视为信号中心协方差的傅立叶变换。 w i 朗* l l e 分布具有很高的时频分辨力，并且具有对称性、时移性、时域或频 域压扩特性、组合性、复共扼关系、可逆性、归一性的特点。但w v d 不能保证非负 性，并且对多分量信号，会产生严重的交叉干扰和虚假频率，使其谱分析难以解释， 影响了对非平稳、非线性信号的精确分析。为了抑制交叉项的产生，许多学者提出了 如伪、，d 、平滑伪w 、仍、c h o i 、m 1 l i 锄分布，锥形核分布等解决方法，这些方法都 北京化工大学大学硕j 二学位论文 被称作c o h e i l 类时频分布，不同的分布只有核函数不同而己【5 1 。 1 2 4 小波变换 小波分析( w a v e l e ta n a l v s i s ) 是2 0 世纪8 0 年代中期兴起的时频分析方法。它继 承并发展了短时傅立叶变换的局部变化的思想，巧妙地利用一个尺度参数，使窗口的 宽度随频率的增加而减少，分辨率也随之变化，使得人们既看到信号的全貌，又看到 信号的细节，而最重要的是小波变换可以用快速算法来实现m 7 1 。 小波变换能够把任何信号映射到由一个母小波伸缩( 变换频率) 、平移( 刻画时间) 而成的一组基函数上去，实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离( 多分辨率分析) 。 这种分离相当于同时使用一个低通滤波器和若干个带通滤波器对信号滤波，而不丢失 信号的任何原始信息。小波分析的这些独特功能为动态信号的非平稳性描述、机械设 备零件故障特征频率的分离、微弱信号的提取，以实现早期故障诊断提供了高效和强 有力的工具。 尽管小波分析用途很多，但由于小波基函数长度有限，要对信号能量相对时间和 频率的分布进行精确分析就会有较大的困难。此外，小波分析的问题还在于不具有自 适应性的特点。一方面，一旦基本小波基被选定，就必须用这种小波基函数来分析所 有的待分析数据。另一方面，选定了分解尺度，所得到的结果是某一固定频率段的时 域波形，所包含的频率只与信号的分析频率有关，而与信号本身无关。旋转机械故障 诊断中，用小波分析的方法来提取特征参数需要进一步提高其准确度；同时，在某些 情况下，由于小波分解缺乏自适应性，其分解结果也不能反映出机械故障信号的本质 特征8 1 。 1 2 5e m d 方法 几十年来，学者们相继发展了许多适合于非平稳信号的处理方法，但是效果都不 理想9 1 。基于此，19 9 8 年美国宇航局n e h u a n g 等人首次提出了h i l b 锄h u a l l g 变换 ( h h t ) 的方法，这是一种新的分析非线性非平稳数据的方法，包括经验模态分解 ( e n l p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，e m d ) 和h i l b e n 变换两个过程。其中最关键的部 分是经验模态分解。利用经验模态分解，任何复杂的数据都可以被分解为确定的并且 通常具有少量个数的内模函数( h 蚵n s i cm o d ef u n c t i o n ，m f ) ，由于分解是基于信号 时域局部特征的，因此它特别适合用来分析非线性非平稳过程。 4 第一二章e m d 方法的基本概念与理论 e m d 方法假设：任何信号或数据由不同的内模函数组成，每一个内模函数不论是 线性的或是非线性的，都具有相同数量的极值点和过零点，在相邻的两个过零点之间 只有一个极值点，任何两个内模函数之间是相互独立的，这样任何一个信号就可以被 分解为有限个内模函数之和。在信号分析中，时间尺度和随时间尺度分布的能量是信 号的最重要的两个参数，e m d 方法基于信号的局部特征时间尺度，把复杂的信号函 数分解为有限的内模函数之和，每一个m f 所包含的频率成分不仅与分析频率有关， 而且更重要的是随信号本身变化而变化。因此，e m d 方法是自适应的信号处理方法， 非常适用于非线性和非平稳的过程，具有很高的信噪比。 内模函数适于进行h i l b e n 变换，通过求解每个内模函数( m f ) 的瞬时频率， 以及幅度函数，可以得到一个能量一频率一时间分布，使得信号的瞬时频率具有了物 理意义，信号的时频分布也更加完整0 1 。该方法目前已应用到地球物理学、振动工 程、生物医学等领域的研究，取得了较好的效果，具有较高的理论研究价值和广阔的 应用空间。 1 3 本文的主要工作和内容 1 3 1 本文的主要工作 滚动轴承作为旋转机械设备中最常用的部件之一，对其进行故障监测和诊断是国 内外工程技术领域一直非常关注的课题。据统计旋转机械中3 0 的故障都来自滚动轴 承。与其它机械零部件相比，滚动轴承具有寿命离散性大的特点，即在材料、加工工 艺、设备制造、工人加工等条件完全相同的情况下，其寿命相差也很大，这更加大了 滚动轴承故障情况对整个机电设备系统性能的影响。随着现代信号处理方法在故障领 域的应用，传统的基于f o 耐e r 变换的信号分析技术也有了新的突破性发展，小波分 析和h i l b e n h u a i l g 变换方法为滚动轴承故障诊断提供了新的解决方法，但各自又都表 现出自身的局限与不足。本文正是在小波分析和e m d 方法的基础上，进行了改进和 创新。本文的主要创新工作如下： 1 h i l b e n h u a i l g 变换的核心就是将信号分解成有限个蹦f 分量和一个残量的组 合。但由于e m d 算法其还在发展阶段，理论上还需完善，存在模式混淆、内模函数 分量筛选判据、端点效应等问题。本文利用小波包分解的简便性和有效性，提出基于 小波包的筛分方法，为h i l b e n 变换筛分出符合要求的单分量信号，是e m d 思想和小 波包分解优势的有效结合。 北京化工大学大学硕士学位论文 2 增强了小波包分解的自适应性。在设定的分解层数中如未发现符合条件的i m f 分量，则对底层节点继续进行小波包分解，克服了小波分解的冗余性。通过计算底层 各节点的能量比重，设定门限值，对能量比大于门限值的节点进行小波包分解，提高 了分解效率。 3 改进e m d 筛分停止判据，利用采用分量之和与原信号相关系数，作为筛分停 止的判据。当分量之和与原信号相关系数较高时，筛分过程停止。 1 3 2 本文的章节安排 第一章绪论，主要介绍了滚动轴承故障诊断的意义和方法，对目前常用的时频分 析技术进行了介绍、比较，简单介绍了论文的主要研究内容；第二章系统性地介绍了 e m d 方法的基本概念、理论、1 1 i l b e n 变换过程及在实际运用中的特点和存在问题，结 合仿真信号进行了实验验证；第三章回顾了小波分析和小波包分析的相关理论，针对 噪声干扰对e m d 分解效果的影响，提出了小波去噪与e m d 方法结合的信号分析方 法；根据e m d 方法理论，内模函数定义和小波分量自身特点，提出了基于小波包的 筛分方法，并将其与小波去噪结合e m d 方法进行了比较，证实了基于小波包的筛分 方法的信号分析优势。第四章介绍了滚动轴承的相关概念和知识，为后面针对滚动轴 承故障振动信号的分析、研究提供了必要的理论基础。第五章基于滚动轴承振动加速 度信号的大量数据，采用小波包筛分方法对滚动轴承故障进行实际诊断，通过与e m d 方法信号处理结果的对比，验证了该方法的可行性和有效性。第六章对全文内容进行 了概括和总结。 6 第- 二章e m d 方法的基本概念与理论 第二章e m d 方法的基本概念与理论 傅立叶分析理论是将信号分解成无限个正弦信号的加权和，它是分析全局能量随 频率分布的一般方法，只能分析线性系统，并且数据要严格满足周期、平稳要求。当 信号仅由几个正弦信号组成时，用傅立叶分析较为理想，但如果信号既不规则，就容 易带来虚假的正弦信号和假频现象。而如s t f t 、m l l g 昏v i l l e 分布等大多数时频分析 方法都是直接针对变化的频率提出的，且都是以傅立叶变换为最终理论依据。这些基 于傅立叶分析理论的时频分析方法的基函数比较固定，缺乏自适应性，在表现信号时 也容易出现多余的信号。 机械故障振动信号往往表现为非平稳特征，对这类信号的傅立叶分析只能分别给 出信号在时域或频域的统计平均结果，无法兼顾信号在时域、频域中的全貌和局部特 征，而恰恰是这些局部特征才是机械故障的真实表现。因此，迫切需要新的理论和信 号处理方法来提高现在的旋转机械故障诊断水平，故此接下来要介绍的一种新的时频 分析方法一e m d 方法。 2 1e m d 的基本原理 e m d 方法的本质就是对一个信号进行平稳化处理，使其不同尺度的波动或趋势 逐渐分解出来。这些分解出来的数据序列，被称为内模函数。对其进行希尔伯特变换， 就可获得信号的时频谱图，此图能够准确地反映出信号的原有特性。经验模态分解的 优点也就是在于它能够使希尔伯特变换后的瞬时频率具有物理意义。下面首先介绍一 下瞬时频率、内模函数等相关概念川。 2 1 1 瞬时频率 对非平稳信号比较直观的分析方法就是使用具有局域性的基本量和基函数。其 中，瞬时频率是比较常用的量。关于信号瞬时频率的定义方法有很多，其中被普遍采 用的定义是通过希尔伯特变换将信号变成解析信号，其相位部分的导数即为信号的瞬 时频率。 对于任意给定信号石o ) ，其希尔伯特变化y o ) 为： 7 北京化工大学大学硕士学位论文 俐= 三p 磬一晓， 其中托) 是给定的r 类函数，y o ) 是函数的h i l b e n 变换，也就是谁) 的复数共轭， 尸是奇异积分主值。因为y ( f ) 是函数的h i l b e f t 变换，也就是丸) 的复数共轭，所以： z o ) = 地) + 痧o ) = 口( f ) “) ( 2 2 ) 上式中， 口( f ) = + y 2 0 ) 严，矽旧a n 。1 搿( 2 3 ) 上式中，口( f ) 瞬时幅度；o ) 相位函数。 希尔波特变换通过将信号与1 f 相卷积，得到了信号虚部的唯一确定表示，同时 强调了信号的局部特性。极坐标的形式更显示出口o ) 和矽( f ) 都是时间的函数。但是这 种方法对于任何信号每一时刻只能求得一个瞬时频率，因此当信号中某一个时刻包含 多个频率成分时，就不能给出合理的结果”。而拥有局部时刻的单一频率成分是单 分量信号的主要特征，单分量信号在任一时刻，只有唯一的频率值与之对应。h u a i l g 等人在c o h 胁、b e n d a t 和p i e r s o l 等对瞬时频率研究的基础上定义了内模函数的概念。 2 1 2 内模函数 在总结了瞬时频率有意义的单分量信号应满足的条件，h u 锄g 等人定义了内模函 数( h 蚵n s i cm o d ef u n c t i o n ，i m f ) 的概念，它是满足单分量信号物理解释的信号， 在每一时刻只有单一频率成分，它使得瞬时频率具有了物理意义。内模函数的条件是： 1 在整个数据段内，其极值点个数和过零点个数必须相等或者相差最多不超过 一个； 2 在任意时刻，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值形成的下包络 线的平均值为零，即上下包络线相对与时间轴局部对称。 其中第一个条件类似于对传统窄带信号的要求；第二个条件是其创新的地方，它 把传统的全局性的限定变为局域性的限定，目的是为了使瞬时频率不受非对称波形的 干扰。满足以上两个条件的蹦f 便满足了h i l b e n 变换得到有意义的瞬时频率的必要 条件要求。 一个典型的内模函数如图( 2 1 ) 所示，由图可以看出，其过零点和极值点的数目 相等，包络平均值为零，幅度和频率是可调制的。 北京化工大学硕j j 学位论文 图2 1 典型的内模函数 f i g 2 1at y p i c a li n 血s i cm o d e 胁c t i o n 然而几乎所有的信号都是非线性、非平稳的信号，很难直接符合内模函数的定义 要求。以前方法( m e l v i l l e ，1 9 8 3 ) 是用带通滤波器提取原始数据的窄带分量，然后 应用h i l b e n 变换。但由于带通滤波器是线性运算，所有通过它的信号都会丧失所有的 “谐波 ，并且会产生原始波形的变形。这种方法一定程度上满足了通过h i l b 咀变换 求取瞬时频率的要求，但是，同时它也丧失掉了一些有意义的信息。根据b o a s h 础 于1 9 9 2 年给出的信号多分量信号数学模型 j ( f ) = s 。( f ) + 刀( f ) ( 2 4 ) 其中疗( f ) 表示一个难以确定的噪声信号，s 。( f ) 为单分量信号，为单分量信号的 个数。h u 锄g 等人提出了经验模态分解方法( e m d ) ，将复杂信号分解成为一系列内 模函数的组合。 2 1 3e m d 方法筛分过程 由2 1 2 介绍可知，任何复杂的信号都可由一些内模函数组成。e m d 方法将非平 稳非线性过程的数据分解成简单的振荡函数，这些振荡函数经h i l b e n 变换可以得到有 意义的瞬时频率，而将复杂信号分解成一系列内模函数的过程被称为“筛分”。筛分 的具体过程是通过以下步骤实现的： 1 确定信号石“) 所有的局部极值点。 2 用三次样条线通过局部极大点获得z ( f ) 的极大值包络蜀，同样的方法找到由局 部极小值组成的极小值包络e ，；上下包络线应该包络所有的数据点。 3 利用朋。( f ) = 仁。( f ) + e ：o 妣计算局部均值的近似值。 4 获得初始的模式函数| l l ，( f ) = 托) 一肌( f ) 。 9 l_eudm丘口至 北京化t 大学硕j ：学位论文 5 检验 。( f ) 是否为内模函数条件。如果厅。o ) 满足条件，( f ) 就是如) 的第一个i m f 分量。如果啊( f ) 不是内模函数，对j i l 。( f ) 作为原始数据，重复迭代步骤1 4 ，得到上下包 络的平均值历( f ) ，再判断乜。o ) = 岛( f ) 一所。，( f ) 是否满足i m f 条件，如不满足，重复循环 七次，得到 。o ) = 五。( h ) ( f ) 一朋。( f ) ，使得 。( f ) 满足i m f 的条件。记c l ( f ) = i l 。( f ) ，则c 。( f ) 为 娟) 的第一个满足i m f 条件的分量。 6 将c 。( f ) 从币) 中分离出来，得到，1 ( f ) = 如) 一c 。( f ) 。 将，1 ( ，) 作为原始数据重复1 5 ，得到谁) 的第二个满足i m f 条件的分量c ：o ) ，重复 循环以次，得到信号丸) 的以个满足m f 条件的分量。则就有 吃( f ) = n ( f ) 一c ：( f ) ，厶o ) = 一。( f ) 一( f ) ( 2 5 ) 直到厶( f ) 成为一个单调函数不能再从中提取满足i m f 条件的分量时，循环结束。 这时得到 工o ) = c ，o ) + 厶o ) ( 2 6 ) 其中，厶( f ) 称为残余项，代表信号的平均趋势，而c ，( f ) 则代表了信号从高到低不同频 率段的成分1 。 在此过程中，为了获得满足条件的内模函数需要经过许多次迭代计算。因为在这 种减法运算过程中，相当于变直角坐标为曲线坐标而改变了局部零点，则可能会成为 新的极值点产生。而新的极值点则正好揭示了在第一次迭代计算中没有被分离出来的 隐藏的振荡模态。只有通过反复的迭代，幅值较小的叠加波形才会被分离出来，从而 达到消除叠加波形和使波形更对称的两个目的。消除叠加波形是为了使h i l b e n 变换能 得出有意义的瞬时频率；使波形更加对称特别针对的是相邻波形的幅值差异很大的情 况。所以，迭代计算要重复多次，才能使提取的信号中符合m f 定义的分量钔。具 体信号包络线获取和筛分过程如图( 2 2 ) 所示。 1 0 北京化丁大学硕j ：学位论文 图2 - 2 内模函数筛分过程 f i g 2 - 2n es i 触1 9p r o c 懿s e so fi n 妇s i cm o d e 劬c t i o n 实际筛分过程中，过多次数的迭代往往会产生一些没有意义的调幅调频 ( a m p l i t u d em o d u l a t e df r e q u e l l c ym o d u l a t e d ，舢订f m ) 信号分量；而迭代次数过少就 得不到有意义的m f 。为此，在筛选每一个分量时，都要进行分量终止判定。h u 锄g 等先后提出过两种停止迭代的判据：仿柯西收敛准则和s 数准则1 5 一印。 ( 1 ) 仿柯西收敛准则：如式( 2 7 ) 定义，如果趿小于预先设定的数值( 如0 2 o 3 ) 时，迭代过程就停止。 r ( f ) 一么( f ) 1 2 s d k r 醢。( f ) f = o ( 2 ) s 数准则：当极值点的数目与过零点的数目相等或相差1 个时，再连续迭代 s 次就停止。h u a n g 等通过实验确定的s 数为4 8 次。 而整个e m d 分解过程还存在另一个停止判据，即分解终止准则：当分量c ，o ) 或 剩余信号厶( f ) 足够小时或厶( f ) 变成一个单调函数时，就认为筛分过程最终停止，不再 从中提取蹦f 分量。故e m d 分解过程如图( 2 3 ) e m d 算法流程图所示。 北京化工大学硕十学位论文 图2 - 3e m d 算法流程图 f i g 2 3t h ea l g o r i t h mn o wd i a g r 锄o fe m d 2 1 4 仿真信号的经验模态分析 为了演示e m d 的分解过程，考察如式( 2 8 ) 所示的仿真信号 工，o ) = s i n 【2 矾f j + s i n 【2 砚f j + s i n 【2 砚f j f 【o ，1 】( 2 8 ) 其中 = 2 勉， = 1 6 胁，厶= 3 0 舷，采样频率兀= 3 0 0 0 舷，它是由三个正弦 1 2 北京化t 大学硕一l 二学位论文 信号叠加而成，其时域波形如图( 2 4 ) 所示。采用e m d 方法对其进行分解，得到了 5 个i m f 分量和1 个残余量，如图( 2 5 ) 所示。其中第一个m f 分量对应着频率为 3 0 h z 的正弦信号，它是信号工。( f ) 中的特征时间尺度最小的分量，第二个m f 分量对 应着频率为1 6 h z 的正弦信号，第三个i m f 分量对应着频率为2 h z 的正弦信号，是信 号j 。( f ) 中的特征时间尺度最大的分量。而残余量，( f ) 足够小，并呈现了单调函数的特性。 图2 - 4 仿真信号而( f ) 的时域波形 f i g 2 - 4t h et i l n ed o n l a i l ld i a 目姗o fs t i 舢l a 刷s i g l l a l 工1 ( f ) 图2 5 仿真信号x l o ) 的e m d 分解结果 f i g 2 5t h er e s u l t i i l g 锄p i r i c a lm o d ed c c o m p o s i t o no fs t i m u l a t e ds i g n a l 卸o ) 为进一步说明e m d 方法的筛分过程，选择更为复杂的仿真信号工：( f ) ，该信号包 含了两个调频调幅和一个正弦信号，其解析式如( 2 9 ) 所示，其时域波形如图( 2 6 ) 所示。 ，0 1 ，0 0 ，0 0 ，0 j ，0 4 e 一 乙i e 一 i e 一 茳e 一妲e 一 北京化工大学硕士学位论文 石2 0 ) = 【1 + o 6 c o s ( 2 所o s 【1 0 4 刀t + o 5 2s i r i ( o 0 4 厨) 】 + o 8 【1 + o 6 c o s ( 2 耐灌o s 【9 6 矶+ o 5 2s i n ( 0 0 4 刃) 】+ o 3s i n ( 2 0 硝) + o 3s i n ( 2 0 刃) ( 2 9 ) 采样频率正= 2 0 0 舷，采样点数为4 0 0 0 。 图2 - 6 仿真信号工2 ( f ) 的时域波形 f i g 2 67 n l et i m ed 伽a i l ld i a g r a mo fs t i m u l a t e ds i g n a l 工2 ( f ) 如图( 2 7 ) 、图( 2 8 ) 所示，执行e m d 的算法第一步就是从信号中筛除第一个 i m f 分量，图中显示了筛除提取m f 分量的过程以及迭代结果、偏差、筛除的结果以 及余项。其中，图( 2 7 ) 和图( 2 8 ) 中的第一个子图分别给出了对应迭代过程中相 应信号的上下包络线p o ) 和p 晌o ) ，以及均值研( f ) ：刍j 堕 鱼巡；其中的第二个 二 子图表征了计算结果与设定停止判据的相对位置：第三个子图分别对应了给出了信号 的第一个i m f 分量的雏形如( f ) 和最终形式c l ( f ) ；第四个图则分别显示了 ，o ) = s o ) 一j l l o ) 和，o ) = s o ) 一c 。( f ) 的波形。到图( 2 8 ) 为止第一个i m f 分量得以筛除。 1 4 北京化工人学硕十学位论文 5 0 5 m f1 ：n e r a t i o n0b e f o r es i f l i n g s t o pp a r a m e t e r m f1 ：n e r a t i o n0a f i e rs 讯i n g “- 一一一“山u - “一“- 山“i i n n - t ”一”1 丌i n n - i - ” 一”i l r r e s i d u e 0锄1 咖 1 5 0 02 咖2 5 0 0硼姗舢 图2 7 仿真信号工2 ( f ) 的e 加筛分过程( 1 ) f i g 2 7 t h e e m ds i 胁g p f o c 髓s 嚣o f s t i n m l a t t 讨s i 弘a l x 2 ( f ) ( 1 ) m f1 ：h e r a t i o n1b e f b r es 讯i n g 山“u “一 一“i “。 - “u 址 可n n - ” ”