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弧面凸轮数控加工的算法研究 摘要 本文以弧面分度凸轮为研究对象，从工程实际出发，以微分几何和空间 啮合理论为工具，对弧面凸轮的啮合原理、从动件的运动规律反求方法及凸 轮的数控加工方法进行了深入的理论分析和研究。 弧面分度凸轮机构是实现高速、高精度间歇分度运动的新型传动装置， 广泛应用于各种自动机械的间歇转位机构及自动生产线的步进输送机构中。 弧面凸轮分度机构制造的关键是弧面凸轮的加工，数控技术的发展以及制造 模式的转变。 详细探讨了弧面凸轮机构从动件运动规律反求问题。为克服弧面凸轮运 动段曲面加工时进给量随机构运动速度加快而过量增大问题，进行反求运动 规律的算法研究，实现了实际进给量的均匀进给。 根据弧面凸轮机构空间啮合曲面的特点，分析现行范成法加工过程中的 空间限制和干涉问题，以及工件偏离中心安装的问题，提出了“逐点坐标平 移法刀的编程算法，用以消除工件偏离中心安装，减小空间限制和干涉。最 后，以此作为理论基础，采用v i s u a lc + + 6 o 作为开发工具，编制了弧面凸 轮轮廓面加工软件。 基于上述弧面凸轮轮廓设计方法、运动规律反求方法的研究结论，分别 进行了验证及分析，结果表明，上述方法正确可行。证明了本文所提出的理 论及方法的正确性，具有重要的理论意义和实际应用价值。 关键词：弧面分度凸轮；数控加工；运动规律反求；逐点坐标变换 r e s e a r c ho nn u m e r i c a lc o n t r o l p r o c e s s i n ga l g o i u t h mo fg l o b o i dc a m a b s t r a c t f o c u s i n go nt h eg l o b o i di n d e x i n gc a m , t h ed i s s e r t a t i o n ，s t a r t i n g 谢t ht h e p r a c t i c a lp r o c e s s i n g ，a n a l y z e sa n dr e s e a r c h e st h em e s h i n gt h e o r yo fg l o b o i d i n d e xc a m , t h er e v e r s ed e s i g no ff o l l o w e rm o t i o ns p e c i f i c a t i o n sa n dn u m e r i c a l c o n t r o lo fc a mp r o f i l ed e e p l yb yd i f f e r e n t i a lc o e f f i c i e n tg e o m e t r ya n ds p e c i a l m e s h i n gt h e o r y g l o b o i di n d e x i n gc a mi san e wg e a r i n gt oa c h i e v eh i g hs p e e da n dh i g h d e g r e eo fa c c u r a c yi n d e x i n gm o t i o n i ti s e x t e n s i v eu s e di nv a r i o u sk i n d so f a u t o m a t i cm e c h a n i s mi n t e r v a ld i s l o c a t i o nm e c h a n i s ma n ds t e p p i n gm o v i n g i n s t i t u t i o no fa u t o m a t i cp r o d u c t i o nl i n e 1 h ek e yo fm a n u f a c t u r i n gg l o b o i d i n d e x i n gc a mm e c h a n i s mi st h ep r o c e s s i n go fg l o b o i dc a m , t h ed e v e l o p m e n to f n ct e c h n i q u ea n dt h ec h a n g eo fm a n u f a c t u r i n gm o d e t h er e v e r s ed e s i g no ff o l l o w e rm o t i o ns p e c i f i c a t i o nf o rg l o b o i di n d e x i n g c a mm e c h a n i s m si ss t u d i e di nd e t a i l r e s e a r c ho na n t i - p r o g r a m m i n go f f o l l o w e rm o t i o ns p e c i f i c a t i o ni no r d e rt oo v e r c o m et h ep r o b l e mt h a tc u t t i n gf e e d e x c e s sa c c r e t i o nf o l l o w i n gi n s t i t u t i o nm o v e m e n tv e l o c i t yw h e np r o c e s s i n g c u r v e ds u r f a c e ，a n df i n a l l ya c h i e v e dw e l l d i s t r i b u t e do fa c t u a lc u t t i n gf e e d b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i co fs p a t i a lm e s h i n gc u r v e ds u r f a c eo fg l o b o i d c a mm e c h a n i s m , a n a l y z i n gs p e c i a ll i m i t a t i o na n di n t e r f e r ep r o b l e mi na c t i v e p r o c e s s i n ga n dd e p a r t u r ec e n t e r i n s t a l l a t i o no fw o r kp i e c e ，p r o g r a m m i n g a r i t h m e t i cn a m e d “c o o r d i n a t ep a r a l l e lm o v em e t h o dp o i n tb yp o i n t i sr a i s e dt o e l i m i n a t ed e p a r t u r ec e n t e ri n s t a l l a t i o no fw o r kp i e c ea n dm i n i ss p e c i a l1 i m i t a t i o n a n di n t e r f e r e a tl a s t ，b a s e do nt h i st h e o r y , ap r o c e s s i n gp r o g r a mf o rg l o b o i dc a m p r o f i l ei sp r o g r a m m e du s i n gv i s u a lc + + 6 o b a s e do nt h ea c h i e v e m e n to ft h ed e s i g no fg l o b o i dc a m p r o f i l e ，t h er e v e r s e m e t h o do fm o t i o ns p e c i f i c a t i o n s ，e a c he x p e r i m e n ta n da n a l y s i sa r ed o n e t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h i st e c h n o l o g yi sc o r r e c ta n df e a s i b l e t h e r e b y , t h et h e o r ya n d m e t h o d sp r o p o s e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ec o r r e c ta n dh a v ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a l a n da c t u a lv a l u e k e yw o r d s ：g l o b o i di n d e x i n gc a m ；n u m e r i c a lc o n t r o l p r o c e s s i n g ； a n t i p r o g r a m m i n go ff o l l o w e rm o t i o ns p e c i f i c a t i o n ；c o o r d i n a t ep a r a l l e lm o v e m e t h o dp o i n tb yp o i n t 弧面凸轮数控加工的算法研究 原创性声明及关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任 由本人承担。 论文作者签名：量暨垒 日 期：2 q q 生旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解陕西科技大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权陕西科技大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学 位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供 信息服务。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) i 论文作者签名：继导师签名：垃日期：2 q q 墨生月 j 弧面凸轮数控加的算法研究 1 绪论 1 1 选题背景及意义 弧面分度凸轮机构( g e a ri n d e x i n gc a 3 1m e c h a n is m ) 又称菲同森机构( f e r g u s o nc a m f o ri n d e x l n gm a c h in e ) ，是由一个带凸脊的空f l 】凸轮和一个在径向放射状等分的装有滚 子的转动盘组成。它足一种新型分度机构，不仅具有结构简单、工作u r 靠、分度精度商 的特点，而且具有丰富灵活的凸轮曲线可供选择，满足各种复杂运动的控制要求，被广 泛应用在轻工业、农业等多工位自动机械上，以及加工中心自动换川装置( m c ) 和机器 人r 国内外需求巨人f 1 1 。 弧面分度凸轮是该机构的核心零件，但是g i f lj 分度凸轮的轮廓面为复杂的不可展宅 叫曲面因而设计和加= 制造比较困难，凸轮的廓面质量直接影响到机构的工作性能， 所以提高凸轮的加工水平是目前弧面分度凸轮研究的一个重点。由于弧面分度凸轮设计 和制造水平的制约，弧面分度机构不能在生产中得到广泛应用，国内弧面分度凸轮机构 仅靠低廉的价格在低端产品中占有席之地，但缺乏市场竞争力。研究弧面分度凸轮的 c a d c m 技术，以适应目前对弧面分度凸轮机构单件小批量需求，缩短设计周期，降低 制造成本，具有重要的理论意义和t 程实用价值。与此同时，对弧面凸轮加工设备的需 求也越来越迫切。研究丌发具有我国自主知让 产权的弧面凸轮数控加工设备势在必行”】。 弧面凸轮的曲血| | 】工的要求特殊，不 仅要求数控设各必须有两个回转坐标轴， 而且弧面干涉的条件苛刻，曲叫作为啮合 面，尺、j 和形状都 1 很高的精度要求。在 数控投术发展到今天，数控技术加t 凸轮 按照范成原理，利用滚子和凸轮丘相啮合 传动时滚了曲面和凸轮曲面互为包络线的 原理柬进行，理论j 已不存在问题 3 j 。在 弧面凸轮机构应用的早期，有人采用五坐 标数控加工中心铣削。这种加丁方法成本 较高，而且，时大多数弧面凸轮不能一次 装央完成加工，存在一次装兴误差，费工 费时，冈此日前已赦少采用。现在国际 一浮 攀 、k 。“曩卜、 从动轴 从动舟 滚子 弧面凸轮 凸轮轴 圉11 弧面凸轮机构 f i gi r o l l e r c , e a r c a mm e c h a n i s m 上对该凸轮的女i l 工主要采用必须具有两个旋转坐标的专j i 数控铣床( 磨床) d i ll ：，或特 殊垃计的专用数榨g n ：e 中心加工。这世机床要满足加：l 弧面凸轮的特殊性，结构上都比 陕西科技大学硕士学位论文 较特殊，比较典型的大都采用了具有两个旋转坐标的专用数控机床，采用运动方式为刀 具不动、工件自转又绕刀具公转，这种方案的设计特点是机床的刚性好，精度目前高精 度的设备只有发达国家的少数公司能够生产，不同规格的产品精度也有差异，技术上是 严格保密的，而且设备都非常昂贵。 国内学者虽然也从不同角度开展了相关研究【4 】，但取得效果并不理想，基础理论与 工程实践在理论上还缺乏有机的联系。但总体而言，这些研究尚不够深入，理论上还不 系统，尤其在机理的深入研究、精度分析和设计理论研究等方面还有一些空白和突破性 工作要做。本课题提出的问题和研究内容正在引起人们的重视。因此，本项目提出的研 究内容不论是从理论和技术的角度看，还是从应用价值的角度看，本项目的研究与开展 都有一定的意义和价值，是十分必要的【5 1 。 弧面凸轮机构的优良特性在世界各国受到了越来越多的重视和应用。然而，我国弧 面凸轮机构的设计和制造水平与美国、日本、德国和台湾等国家和地区相比还有一定差 距，尤其在制造方面，国外也只是集中在少数的几家公司和科研机构中，而且由于技术 保密等因素，具有一定参考价值的相关资料很少公开发表，这样就无形中制约着我国凸 轮机构设计和制造水平的提高，造成高速、高精度凸轮机构必须依赖进口的被动局面1 5 】。 在现有的技术条件下，若要提高国内弧面凸轮机构的加工制造精度，摆脱高速、高精度 凸轮机构受制于国外的被动状况，对弧面凸轮进行加工算法的研究就成为不可或缺的一 项重要工作。 1 2 国内外研究现状及结论 1 2 1 国内研究的现状 我国对于弧面分度凸轮机构的研究始于2 0 世纪7 0 年代末期，陕西科技大学( 原西北 轻工业学院) 、大连轻工业学院、合肥工业大学、吉林工业大学、天津大学、山东诸诚恒 瑞精密机械有限公司、西安科达凸轮制造有限公司等高等院校和厂家在弧面分度凸轮机 构的理论研究、结构设计、制造与检测等方而都做了大量的研究工作。现从几何学与运 动学研究、结构设计与研究、动力学研究、制造、检测与误差分析等方而对我国的研究 工作进行阐述1 6 j 。 弧面分度凸轮的轮廓曲面为不可展的弧面曲面，其结构比较复杂，要实现凸轮的设 计与制造。首先必须对该机构的几何学与运动学进行分析。在过去的二十多年里，我国 对弧面分度凸轮机构的几何学与运动学进行了大量的研究。在研究的初期阶段，主要是 基于圆柱形滚子对弧面分度凸轮机构的几何学与运动学进行了深入的探讨，例如，分别 采用复极矢量法、弧面回转变换张量法、齐次坐标变换法等方法对凸轮的曲面方程、啮 合方程、压力角方程、滚子的接触线方程、两类界限曲线方程及诱导法曲率等计算公式 进行了详细推导【7 1 。由于圆柱滚子与凸轮轮廓曲面之间存在一定的间隙，为提高凸轮机 2 弧面凸轮数控加工的算法研究 构啮合传动的动态性能，往往通过调整中心距的方法进行预紧，使得凸轮轮廓曲面与圆 柱滚子在啮合过程中可能存在干涉现象。赵汝嘉和刘昌祺曾对弧面分度凸轮机构的预紧 与干涉以及凸轮的修形在理论上进行了探讨【引。基于圆柱滚予的弧面分度凸轮机构是典 型的线接触啮合传动在接触线上各点的相对速度是不同的，导致弧面分度凸轮的工作曲 面磨损不均匀，从而影响其工作性能和使用寿命。自从2 0 世纪8 0 年代末期至今，不少 同行一直致力于从啮合原理上对弧面分度凸轮机构进行改进，并取得了丰硕的成果【9 】。 国内天津大学天津大学杨玉虎、张策老师长期从事凸轮机构相关研究，为了克服现 有分度机构受分度数限制的现状，提出了一种分度数较大的新型分度机构，其研究内容 “间歇机构创新一行星分度凸轮机构研究一获2 0 0 1 年国家自然科学基金立项；上海交通 大学学者邹慧君、郭为忠研究了弧面凸轮廓面新的设计方法和加工误差补偿问题【l o 】，为 提高凸轮设计和制造精度提供了理论基础；山东大学学者周以齐、冯显英等研究了弧面 分度凸轮的设计和数控加工问题，其研究内容“弧面弧面凸轮机构机电耦合动力学特性 虚拟设计研究 项目，获2 0 0 1 年国家自然科学基金立项；重庆大学学者陈兵奎等提出了 二种新型弧面凸轮活齿行星传动机构，获得国家8 6 3 项目资助，北京工业大学学者李剑 锋的相关研究内容“双相凸轮激波的复式滚动活齿传动的设计制造技术研究获得2 0 0 4 年国家自然科学基金立项；简谐梯形组合运动规律【l l 】将多种运动规律( 如修正等速、修 正正弦、修正梯形等等) 统一于一个无因次数学模型，为不同凸轮机构的运动规律优化 提供了方便。建立了平面和弧面凸轮廓( 线) 面的统一数学模型。1 9 9 2 年研制出了国内 第一台弧面凸轮专用数控铣床( x k 5 0 0 1 ) 。研发了平行分度凸轮机构、圆柱分度凸轮机构 和弧面分度凸轮机构等三大类凸轮分度传动装置。研究了凸轮机构逆向工程以及分度机 构设计准则等。 1 2 2 国外及台湾研究现状 自从c n n e k l u t i n 发明弧面分度凸轮机构以来，海内外学者在从动盘的运动规律 曲线，弧面分度凸轮的c a d c a m ，以及弧面分度凸轮的应用等方面展开了大量的工作， 并取得了丰硕的成果。在几何学与运动学方面，英国的c j b a c k h o u s e 对弧面分度凸轮 的研究方法进行了大量的探索，首次采用微分几何与包络原理等方法对弧面分度凸轮的 几何学进行深入的研究；中山大学的蔡得明博士提出了在弧面分度凸轮的设计过程中， 考虑凸轮和滚子间的间隙、凸轮机构的预加载荷等因素对从动件输出运动的影响，以改 善弧面分度凸轮机构的分度与定位精度，首次对b 样条和有理b 样条曲线在弧面分度凸 轮机构中的应用进行深入的研究，并且对从动件采用非对称运动规律曲线的弧面分度凸 轮进行探讨；成功大学的颜鸿森教授基于微分几何，弧面机构的啮合理论及齐次坐标变 换，推导了与圆柱滚子、圆锥滚子及双曲线滚子啮合传动的弧面凸轮的通用曲面方程。 在加工方面，颜鸿森教授与蔡得明博士曾对弧面分度凸轮的加工进行了深入的研究：文 陕西科技大学硕士学位论文 献 1 2 】中对弧面分度凸轮的多轴数控加工进行了深入的研究，并就刀具轨迹的生成以及 误差控制方法进行了探讨；文献【1 3 】首次采用d - h 方法对弧面分度凸轮的加工以及误差 的在线检测进行了深入研究。此外，国外学者在弧面分度凸轮的应用方面也展开了大量 的工作，如蔡得明博士对滚子齿式减速器的设计，颜鸿森教授对弧面分度凸轮机构在加 工中心换刀机械手中的应用进行了大量的研究，并且分别在台湾和美国申请了专利。 为了进一步提高凸轮机构的性能，近几年，国外众多学者从不同角度开展了凸轮机 构的相关研究工作。2 0 0 3 年芬兰学者研究利用遗传算法优化凸轮轮廓形状；2 0 0 3 年英国 学者利用分段多项式研究了凸轮运动曲线的优化；2 0 0 3 年印度学者研究了5 轴加工中心铣 削弧面凸轮时，凸轮廓面几何误差的产生和来源；2 0 0 4 年美国学者为了减小高速凸轮机 构的振动，提出了一种凸轮轮廓修正的方法；2 0 0 4 年德国学者为了提高机构的动态特性， 研究了机构尺寸的合理设计问题；2 0 0 5 年日本学者提出一种利用均匀b 样条曲线实现凸轮 曲线优化设计的方法；2 0 0 5 年意大利学者建立了三维凸轮设计、建模和性能评估的仿真 平台；2 0 0 6 年印度学者研究了凸轮一从动件系统的接触摩擦模型，实现了凸轮廓面磨损 的预测，为凸轮机构的寿命预测、可靠性设计提供了理论基础；美国学者于2 0 0 3 年出版 了一本凸轮设计手册，较全面地讲述了凸轮设计相关理论【1 4 1 。 1 2 3 凸轮方程参考1 1 5 1 目前，国内外对弧面分度凸轮的研究已经相对比较成熟了，尤其是对凸轮廓面方程 和啮合方程的推导以及凸轮实体的创建都不存在任何问题。现在简单总结如下： 1 基本参数 弧面分度凸轮机构的基本参数包括运动参数和几何参数，其中许多与圆柱分度凸轮 机构基本参数的定义和计算是完全一样的，它们是：刀分度数；动静比；以分度角； 见动程角；瓯凸轮头数；m 一滚子数；c 中心距。此外，弧面分度凸轮还有一些反映 特点的结构结构几何尺寸：滚子宽度b o ；凸轮节圆半径尺。；滚子半径r r ；从动盘节圆 半径r 。：；径距比k ，是指从动盘节圆半径，与中心距c 之比，它是影响压力角、曲面 的曲率的重要参数，分度数越大，径距比越大。 2 凸轮廓面方程 弧面分度凸轮廓面方程的推导方法及理论基础与圆柱凸轮完全一致，因此直接给出 结果。这里按图1 2 建立坐标系，9 和分别为凸轮和从动盘转角，凸轮廓面参数方程为： i x ili 屯c o s 矽c o s 8 - p y 2s i n c o s 8 一c c o s 8 一z 2s i n oi r 。= m = 一恐c o s s i n 8 + 鹏s i n # s i n b + c s i n b - z 2 c o s ( 卜1 ) bj 【鹏s i l l + 咒c o s 矽j 其中，艿，为滚子沿宽度方向上的参数；，为滚子半径； 仇乩z o 与机架相连的定坐标系；“y ：z ：与机架相连的辅助定坐标系； 4 弧面凸轮数控加工的算法研究 o , x l y 。z l 与凸轮1 相连的动坐标系； 3 接触方程 左右旋凸轮通用共轭接触方程： tan眇=丽prc02c r c o s 矽 一 i 国j o , x 2 y 2 2 2 与转盘2 相连的动坐标系 式中：p 凸轮分度期廓线的旋向，左旋p = + 1 ，右旋p = - - 1 ； q 转盘角速度；哆一凸轮角速度； ( 1 - 2 ) 图1 - 2 弧面分度凸轮机构的坐标系 ( a ) 面对x 2 箭头看，滚子在距0 2 为r 处垂直于x 2 轴的截面； 面对z l 箭头看，通过凸轮中心o l 并垂直于z 1 半径r p l 的凸轮截面 f i 9 2 1t h es y s t e mo fc o o r d i n a t e so fr o l l i n gg e a ri n d e x i n gc 锄m e c h a n i s m 1 3 课题的主要研究内容 基于以上对弧面凸轮国内外研究现状的回顾与分析，本文主要探讨了弧面凸轮机构 运动规律的反求新方法及弧面凸轮的数控加工方法。本项目针对弧面凸轮数控铣削和数 控磨削设备的研究和开发，主要有以下几个方面的研究内容： ( 1 ) 作为整篇论文的基础，介绍了凸轮机构的几种常用运动规律，并重新推导了通 用简谐梯形组合运动规律的表达式，并以此作为弧面凸轮机构运动规律反求的理论基础， 编制了通用简谐运动规律软件。 ( 2 ) 为克服弧面凸轮运动段曲面加工时进给量随机构运动速度加快而过量增大问 陕西科技大学硕士学位论文 题，进行反求运动规律的算法研究，实现实际进给量的均匀化。这个过程一改以往根据 凸轮轮廓曲线规律编制刀具运动轨迹，而是根据刀具的运动轨迹反推凸轮的轮廓曲线， 采用v i s u a lc + + 6 0 作为开发工具。 ( 3 ) 根据弧面凸轮机构及凸轮弧面啮合曲面的特点，分析现行范成法加工过程中的 弧面限制和干涉问题，以及工件偏离中心安装的问题，提出“逐点坐标平移法一算法， 消除工件偏离中心安装，减小弧面限制和干涉。 本课题的特色与创新之处 1 、本课题的特色：( 1 ) 、本课题研究将弧面分度凸轮机构的机构学理论和机械设计 理论统一为一体。使其更为切合实际。( 2 ) 、本项目研究成果的应用，可以在不改变制造 水平的情况下，提高产品的精度和运动平稳性。( 3 ) 、本项目将滚子也作为重要的研究内 容，是一个全新的课题，将丰富凸轮机构的理论，具有很好的实用性。 2 、本项目的创新之处：“逐点坐标平移法和运动规律的数值反求算法； 研究工作中面临的技术难点和拟采取的解决办法 1 “逐点坐标平移法 的编程算法目的一是减少主轴前伸量，二是改变工件按机构 中心距的偏置安装方式。由于每一步都进行加工坐标的平移变换，因此，数据和机床运 动的直观性都比较差，程序调试和数据校正都比较困难。拟采取的解决方案：采用计算 机三维模拟还原来解决。 2 运动规律的反求算法是给出均匀等距的输出，反推出输入量，难点在于实际进给 量除了运动规律的影响外，与刀具的相对位置和凸轮的结构也有关系。解决方案是首先 确定等价均匀等距的输出数据序列，然后，按反推计算公式计算出输入数据，再正向编 入程序。 6 弧面凸轮数控加工的算法研究 2 凸轮机构运动规律的研究 2 1 引言 弧面分度凸轮机构分度转盘的运动就是弧面分度凸轮机构的输出运动，其规律与特 性直接影响凸轮机构的运动与动力性能。正确地选择及设计从动件运动规律曲线是凸轮 机构设计的重要内容。 几乎所有关于凸轮机构的专著，都对运动规律进行了系统的介绍【1 6 , 1 7 。早期的文献 只是介绍了一些适合低速机构的基本运动规律。6 0 年代以后，各种适合于中速与高速凸 轮机构的优良运动规律相继提出，如文献【1 8 】给出了一组包括修正正弦、修正梯形、修 正等速等的简谐梯形组合运动规律，文献 1 9 1 也有部分论述，这组运动规律得到了广泛 的采用。文献【2 0 l 对其进行了运动学优化，设计了一些运动特性较好的曲线。文献【1 】给出 了简谐梯形组合运动规律的通用表达式，并称之为通用简谐梯形运动规律。但这种运动 规律的跃度曲线在端点处常常不连续，因而不适用于高速机构。文献 2 1 - 2 3 】则尝试对其进 行改进，使跃度曲线也能够连续。 近期一些学者又提出了一些用样条函数设计出的凸轮机构运动规律【2 4 】，这些运动规 律具有较好的适应性，可以方便地控制运动特性，特别适合于进行动力学综合。但曲线 的生成较为复杂，尚未得到推广应用。 弧面分度凸轮机构的运动规律是指分度转盘的输出运动规律，其规律与特性直接影 响凸轮机构运动的精确度、冲击和振动的大小。分度凸轮机构的常用运动规律与一般凸 轮机构相比有两个特点【2 5 j ： ( 1 ) 分度凸轮机构的运动规律只有工作行程( 升程) 而无回程，即总是升一停型运 动曲线。升程为机构中从动转盘的分度阶段，停程为从动转盘的停歇阶段。 ( 2 ) 分度凸轮机构一般是在中、高速情况下运动的，所以在选择运动规律时应着重 考虑其具有良好的动力学特性。 正确地选取从动件运动规律是凸轮设计的重要内容。研究弧面分度凸轮机构的运动 时，总是以主动凸轮的转角9 为自变量，且一般凸轮的角速度缈为常数。，而从动转盘的 运动曲线却不尽相同，为研究方便，我们将从动转盘的进行归一化处理，即将各运动量 ( 时间、位移、速度、加速度等) 都转化成只表示相对比例关系的无因次量【2 6 1 。 2 2 运动规律的无量纲化 在时间r 由0n t 。( s ) 中，凸轮转过角度由0 至l j 0 h ( r a d ) ，从动件位移j 由0 至l j h ( m m ) 。 凸轮旋转角速度矽= d o d t 删，t 。为凸轮升程时间，以为分度角，h 为行程。从动件 的运动可用位移s 表示为时间，的函数，即 7 陕西科技大学硕士学位论文 j = s ( t ) ( 2 1 ) 用位移s 对时间，依次微分，得到速度v ( m m i s ) 、加速度a ( m m l s 2 ) 、跃度j ( m m s 3 ) 和跳度q ( m m l s 4 ) ，各微分式如下： d s v = 一 班 d vd 2 s d td t 2 d 口d l s ?d ld t 3 d y d 4 s 鼋2 玄2 万 ( 2 2 ) 当从动件的运动为转动时，若设转角位移为r ( r a d ) ，则同样可以采用上面的方法依 次求出角速度v ( r a d s ) 、角加速度a ( r a d s 2 ) 、角跃度j ( r a d $ 3 ) 和角跳度q ( r a d s 4 ) ， 微分式从略。 在此，用单程运动来定义无量纲时间r 和无量纲位移s ，即 ? 丢或丢l沼3 ， s ：三或三l h 气j s l ot 图2 - 1 实际位移曲线图2 - 2 无因次位移曲线 f i 9 2 一1a c t u a ld i s p l a c e m e n tc u r v e ds h a p e f i 9 2 - 2n o n - d i m e n s i o n a ld i s p l a c e m e n tc u r v e ds h a p e 无量纲时间丁和无量纲位移s 是始终在【o ，1 】之间的，无量纲位移s 是无量纲时间丁的函 数：黜( 丁) 。若分别用取a 、，和q 表示无量纲的速度、加速度、跃度和跳度，则无 量纲运动规律可以表示如下： 8 弧面凸轮数控加工的算法研究 s ：s ( 丁) ：拿 妒7 y ：a s ：亟型：丘双：鱼堕 d td t 由f 。| | 伪、 = 而d v = 矛d 2 s = 丢岛= 鲁 = 一= 一= = d t积2 由f 咖f ： = 刀d a 一刀d 3 s ，= 芳1 3 五= 办0 2 砰j _ _ k 2 = 一 - = l = 祝报。 由f “由t 吱 9 = 券= 雾 式中t _ 转盘的转动时间( s ) ； 矽一凸轮的转角( r a d ) ； 办一转盘的转角( r a d ) ； q 一凸轮的角速度( 朋d s ) ； 岛转盘的角加速度( 俐s 2 ) ； 2 3 基本运动规律 气一转盘的分度期时间( s ) r 一凸轮的分度期转角( 嘲) 办转盘的分度期转位角( 俐) 一转盘的角速度( 利，s ) 五一转盘的跃度( 蒯s 2 ) ( 2 4 ) a 等速运动规律 等速运动规律从t = o 到产1 具有同样的速度，其位移方程是直线方程 s = t 无量纲速度y = 匕= 1 ；起止点加速度a = o o ，其余各点a = o 。运动曲线如图2 - 3 所示。 从运动特性看，等速曲线是最差的曲线，起止点的速度不连续，理论上有无穷大加 速度，会产生硬冲击。因此，等速曲线不适应于中、高速机构。 9 堕些! ! 苎查：兰堡主兰垡丝苎 躅2 - 3 等速运动曲线 h 9 2 3 c o n s t a n ts p e e d m o t i o nc u r v e s b 等加速度运动规律 图2 4 等加速度运动线 f i 9 2 j l c o n s t a n ta c c d e r a t i o n m o t i o n s 等加速度运动规律是指加速与减速具有相同加速度值( 绝对值) 有运动规律中t 具柏最小的最大加速度值爿，= 4 。其运动方程如下： 0 ts05 时 j s = 2 r 2 y = 4 t l a = 4 05 t i 时 f s = 一2 t 2 + 4 t i j y = 4 r + 4 1 a 。4 等加速度运动l f | i 线如图2 4 所示 和1 处，跃度j = ，冈此不适用于中 c 简谐运动规律 的运动规律，在所 ( 2 5 ) ( 2 6 ) = 2 ，。= 4 。加速度不连续，在t = 0 、o5 高速机构。 简谐运动规律( 又称余弦加速度运动规律) 的特点是它的加速度与位移成j l - 比而反 向。如图2 - 5 所示，简谐曲线是由直径为i 的圆l 备点向乖直轴投影而构成的j e 表达 弧面凸轮数控加 的算法研究 s ；( 1 一c o s ，r t ) v ：兰5 i n x t ，( 2 7 ) ：! c o s 玎 i ：一兰s i n f i t 简谐运动曲线的速度曲线足光滑的，但起止点不连续，因而跃度j 在端点趋于无穷 大。所以，这种曲线不能用于要求单、双停留的场合，多用于无停留场合。 囤2 - 5 简龇动曲线圈2 - 6 摆线运动曲线 f l 萨一5s i m p l e h a r m o n i c m o t i o n e sf i 醇 p e n d u l u m m o t i o nc t b v e $ d 摆线运动规律 摆线运动规律( 叉称正弦加速度运动规律) 是由一个小吲沿纵轴滚动时，圆上一点的 轨迹摆线向垂直轴投影而构成的，如图2 - 6 所示，其表达式为 陕西科技大学硕士学位论文 s ：r 一1 s i i l 2 刀z 2 n v = 1 c o s 2 n t 彳= 2 n s i n 2 刀f j = 4 n 2 e o s 2 n t ( 2 8 ) 这是一种光滑的、在端点又连续而无冲击的加速度曲线，因此，早期广泛应用于中 速凸轮机构。但是，4 ( = 6 2 8 ) 较大，端点的又不连续，即端点跳度q 将趋于无穷大， 所以不适于高速场合。 2 4 简谐梯形组合运动规律 上述各种类型运动规律是凸轮机构的从动件运动规律基本形式，它们各有优缺点。 为了扬长避短，可将数种基本运动规律拼接起来，构成组合型运动规律【l 】。拼接的原则 是在各段基本运动规律衔接点上的运动参数，包括位移、速度、加速度，有时还包括跃 动度保持连续。在运动的起始和终止点上，运动参数满足边界条件。构造组合型运动规 律时，可根据凸轮机构的工作性能指标，选择一种基本运动规律作为主体，再用其他类 型的基本运动规律与之组合，从而避免在运动的始末位置发生刚性冲击或柔性冲击，降 低动力参数的幅值等。因此，组合运动规律又称为修正型运动规律【2 引。 它的优点在z 取不同的值时，即可得到不同的运动规律，例如，当t l = t 2 ，t 5 _ t 6 时，即为修正等速运动规律。当t i = t 2 ，t 3 = t 4 ，t 5 _ t 6 时，即为修正正弦运动规律。其中 t 0 = 0 ，t 7 = l 。由这种运动规律，可以得到不同的运动规律。在自动机械凸轮机构中，应 用最广泛的是由简谐与梯形曲线组合而成的所谓通用运动规律，尤其是它的三种特殊情 况：修正等速、修正梯形加速度和修正正弦加速度运动规律。 1 2 弧面凸轮数控加工的算法研究 口 g 翻 , 4 b , p 仃八 一 1 l r a - - 开。 v l 一r 口一， n 一 r nn 死矗n 孔如 图2 7 通用筒谐梯形运动规律 f i 9 2 - 7c o m m o ns i m p l eh a r m o n i cm o v e m e n tl a w 通用简谐梯形运动规律把简谐函数与梯形运动规律组合起来，兼有最大加速度a 。小 和两端连续的优点，具有良好的性能。它具有良好的通用性，选择不同的正值就能得到 绝大多数基本运动规律和常用的运动规律，其各段的加速度表达式如( 2 - 9 ) ： 1 3 陕西科技大学硕士学位论文 a = s i n ( - - - t 三) ( o 丁7 ：) 4( 五t 互) 佃( 箍争( 即绷 0 ( 互ts 互) 一a 2 s i n ( 1 t ，- 一t i , 詈) ( 瓦s r s 瓦) 一枷磋争( 社绷 将彳：取绝对值，利用三角函数的诱导关系，上式可迸一步简化。令 曰= ( 丁一互一。) e + o 1 ) 三 e = ( 巧一驯詈 则式( 2 - 9 ) 可以简写为 a = 4s i n e , 4s i n e , 4 o 一4 o = 1 ，3 ) o = 5 ，7 ) ( f = 2 ) o = 4 ) o = 6 ) 对式( 2 1 2 ) 求微分，可得跃度的表达式为 l ，= 鲁c o s 号 ( 江l ，3 ) 鲁c o s p o ：5 ，7 ) 巧 、 0 o = 2 ，4 ，6 ) 对式( 2 1 2 ) 逐次积分两次，便得到速度和位移的表达式 v = 一4 e c o s p , + g 一4 e c o s 只4 - g 4 r + c 2 g 一4 丁+ c ： o = 1 ，3 ) o = 5 ，7 ) o = 2 ) o = 4 ) o = 6 ) 1 4 ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 1 4 ) 弧面凸轮数控加工的算法研究 s = 一4 c 2s t o p , + g 丁+ 垦o = 1 ，3 ) - 4 f , 2s i n p , + c , r + b , o = 5 ，7 ) 等+ c 2 丁+ 垦( i - - 2 ) ( 2 - 1 5 ) g 丁+ 曩o = 4 ) 一a _ 2 t 2 + c 6 丁+ 吃 o ：6 ) 利用瓦= o 处，矿= o 与s = 0 ；乃= l 处y = o 与s = i ，以及瓦瓦处s 与y 的连续条件， 共计1 6 个条件，从方程式( 2 1 6 ) 至式( 2 2 0 ) 中可以解出q ，马，4 ，彳：，共1 6 个未 知系数： c l = e 4 c 2 = 一4 五+ g c 3 = 4 乏+ c 2 c 4 = 4 e + c 3( 2 1 6 ) g = 一4 e + c 4 c 6 = 4 互+ c 5 c 7 = 一4 瓦+ c 6 置= 0 岛= - 4 ( f , 2 + 去互2 ) + 互( c l c 2 ) + 且 二 1 马= 4 ( 巧2 + i 1 互2 ) + 互( g g ) + 岛 只= 互( c 3 一c 4 ) + 色( 2 1 7 ) 忍= 互( q c 5 ) + 蜀 鼠= 4 ( e 2 + i it ，, 2 ) + 互( c 5 一c 6 ) + 忍 二 8 2 = 一4 ( e 2 + 去瓦2 ) + 瓦( c 6 - c , ) + 忍 舍；l一-+。f2。0一5(t，2-一ti)2+-f，12一f3。(1)-+t(t3。)+一(t，2)(1-一t,x。1)-】t)2一)5(-r t 2 f 2f0ttt 。+ f 1 一m ( 2 1 8 ) 【f ；+ o 。一， 一 + ，一。) + ( t 。一，一。) 】) 1 、 肚黝 1 5 ( 2 1 9 ) 陕西科技大学硕士学位论文 4 = m 4( 2 2 0 ) 由以上公式可以计算出任意时刻从动盘与滚子的相对位置，即运动规律的数据。按 照凸轮分度机构运动规律的不同要求，给出不同的t i ( t i = o ，1 ，2 ，7 ) ，即可得 到不同的运动规律。上述计算过程已编成子程序，可以直接调用。首先利用表2 - 2 所列 出的各种运动规律的t i 值作为已知数据输入，即输入其相对应的t i 值。然后，利用式 ( 2 1 6 ) 到( 2 2 0 ) 算出1 6 个待定系数。最后，利用式( 2 - 1 2 ) 一式( 2 - 1 5 ) 算出在t = o - 1 范围内某时刻的s 、v 、a 、j 值。若在主程序中把t = o - 1 分成n 等分，重复调用上述子程 序，则可算出( n + 1 ) 组数据。 表2 一l 中的不同曲线，其运动特性值具有很大的差别，修正等速曲线的圪较小，修 正梯形曲线的4 较小，修正正弦曲线的( 4 矿) 较小，等等。但是，为了满足某一特定的 设计要求，这些曲线没有达到最优状态。例如，改变表列修正等速曲线的t i 值，在顾及 4 i l 、厶不超过允许值的条件下，可以做到使圪小于前述修正等速曲线的圪( - - 1 2 8 ) 。 基本曲线和常用曲线的t 。值列在表2 - 2 中，可以看出，其中包括了几乎所有的基本 曲线和已发表的常用曲线。另外，还可以通过t 。的变化形成各种满足特殊要求的非标准 曲线。通用简谐梯形运动规律的公式还非常便于编制通用的程序。 表2 - 1通用简谐梯形曲线的特殊t i 值 义 t 0t 1t 2t 3t 4 t 5 t 6t 7 曲线名称 等速度 o00ol111 等加速度 o 0o 5o 50 50 5ll 余弦 oo0o 50 5111 摆线 o1 41 4l 21 2 3 43 4 1 修正等速( m c v 3 )o1 1 61 1 61 43 41 5 1 61 5 1 6l 修正等速( m 嘶) o3 3 23 3 23 85 82 9 3 22 9 3 21 修正等速( m 唧) 01 1 2 1 1 21 32 31 1 1 21 1 1 2l 修正等速( m c v 6 6 ) 0l 2 4l 2 41 65 62 3 2 42 3 2 4l 修正等速( 删7 5 ) 01 3 21 3 2 1 81 滗3 l 3 23 l 3 2 l 修正梯形 0 1 83 81 2l 25 87 81 修正正弦 o1 81 81 21 21 f 8 81 非对称摆线 oo 2o 2 o 40 4o 7o 7l 斜修正梯形 o o 10 30 40 41 1 2 01 7 2 0