（固体力学专业论文）箱型桥梁分析的样条有限点法研究.pdf

必嬲 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得 的成果和相关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名 单位发表或使用本论文的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人 已经发表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对 本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致 谢。 论文作者签名：墨相a nj 学位论文使用授权说明 2 0l o 年6r 移e l 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 团即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：薹为a 导师签名： 嘭毒。亍 月 ，fj，il、fff 箱型桥梁分析的样条有限点法研究 摘要 箱形截面由于具有良好的结构性能，因而在现代桥梁中得到广泛的应 用，箱形结构的受力分析引起了国内外学者的普遍关注，本文在前人的基 础上进一步研究箱型桥梁结构的力学性能。 本文主要研究箱型桥梁结构的静力和动力问题。首先介绍箱型桥梁结 构的相关知识，并叙述本文分析中相关的基本理论。其次利用样条有限点 法分析箱型桥梁结构的静力问题，并利用m a t l a b 程序语言计算相关算例， 与a n s y s 软件的分析结构进行对比。在静力分析的基础上，利用样条有限 点法建立箱型桥梁结构的动力模型，得到箱型桥梁结构分析的动力方程， 接着利用n e w m a r k 法计算箱型桥梁结构的动力响应，并利用m a t l a b 程序语 言对箱型桥梁结构的动力问题进行实现，并与a n s y s 软件分析的结果进行 对比。 研究结果表明，利用样条有限点法分析箱型桥梁结构的静力和动力问 题，计算模型简单，计算结果精度高，相对于其它分析方法具有明显的优 越性，是一种行之有效的方法。 关键词：箱型桥梁结构样条有限点法静力动力 t h 匣r e s e a r c ho fb o x t y p eb r i d g eb ys p l i n 吧f 蛆t e p o d n m 哐t h o d a bs t r a c t a sb o xs e c t i o nh a sb e t t e rs t r u c t u r a lp e r f o r m a n c e ，i ti sw i d e l yu s e di nt h e a p p l i c a t i o no fm o d e mb r i d g e s t h ef o r c ea n a l y s i so fb o x - s h a p e ds t r u c t u r eh a s a r o u s e du n i v e r s a lc o n c e r ni ns c h o l a r sa th o m ea n da b r o a d ，t h i sp a p e rf u r t h e r s t u d i e st h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e so ft h eb o xb r i d g es t r u c t u r eo nt h eb a s i so ft h e p r e v i o u s t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h es t a t i ca n dd y n a m i cp r o b l e m so fb o x t y p e b r i d g es t r u c t u r e f i r s t l y , i n t r o d u c ek n o w l e d g eo ft h eb o x - t y p eb r i d g es t r u c t u r e ， a n dd e s c r i b et h eb a s i ca n a l y t i c a lt h e o r yo ft h ea r t i c l e ；s e c o n d l y , a n a l y z et h e s t a t i c p r o b l e mo fb o x - t y p eb r i d g e s t r u c t u r e b yu s i n gs p l i n e f i n i t ep o i n t m e t h o d ( s f p m ) ，a n dc a l c u l a t es o m er e l a t e de x a m p l e sb yu s i n gt h e m a t l a b c o m p u t e rl a n g u a g e ，a n dc o m p a r et h e r e s u l t sw i t ht h ea n a l y t i c a lr e s u l t so f s o f t w a r eo ft h ea n s y s t h i r d l y , b a s eo nt h es t a t i ca n a l y s i so ft h eb o x t y p e b r i d g es t r u c t u r e ，e s t a b l i s ht h ed y n a m i ca n a l y t i c a lm o d e lo f t h eb o x - t y p eb r i d g e b ys p f m ，a n dg e tt h ed y n a m i ce q u a t i o n a n dc o m p u t ed y n a m i cr e s p o n s eo f b o x - t y p eb r i d g es t r u c t u r e sb yn e w m a r km e t h o d ，c o m p u t es o m ee x a m p l e sb y m a t l a bc o m p u t e rl a n g u a g et oa c h i e v et h ed y n a m i cp r o b l e mo ft h eb o x - t y p e b r i d g e ，c o m p a r et h er e s u l t sw i t hs o l u t i o no f t h es o f b c v a r eo f a n s y s i i r e s e a r c hr e s u l t ss h o wm a ：t u s i n gt h es p l i n ef i n i t em e t h o da n a l y s z et h e s t a t i ca n dd y n a m i cp r o b l e m so ft h eb o xb r i d g es t m c t u r e ，t h ec a l c u l a t i o nm o d e li s s i m p l e ，a n dt h e c a l c u l a t i o nr e s u l t sh a v eh i e , hp r e c i s i o n c o m p a r et oo t h e r a n a l y t i c a lm e t h o d s ，i th a so b v i o u sa d v a n t a g e ，a n di ti sa l s oak i n do f e f f e c t i v e m e t h o d k e yw o r d s ：b o xb r i d g es t r u c t u r e ；s p l i n ef i n i t ep o i n tm e t h o d ；s t a t i c ；d y n a m i c h i 目录 第一章绪论一1 1 1 引言。1 1 2 箱型桥梁结构体系1 1 2 1 直箱型桥梁结构体系l 1 2 2 曲箱型桥梁结构体系2 1 3 箱型桥梁结构截面的特点3 1 3 1 箱型桥梁结构截面的优点一4 1 3 2 箱型桥梁结构截面的不足4 1 4 箱型梁结构的受力特点4 1 5 现有分析方法4 1 5 1 解析法5 1 5 2 数值法5 1 6 新的分析方法6 1 7 本文研究的内容6 第二章基本理论8 2 1 样条函数8 2 1 1b 样条函数的构造方法8 2 1 2b 样条函数的性质1 0 2 1 3b 样条函数的数值方法1 1 2 1 4 样条基函数1 1 2 1 5 样条离散化15 2 2 箱型桥梁结构的剪力滞后效应1 6 2 3 箱型桥梁结构的畸变效应1 7 2 4 本章小结1 9 第三章箱型桥梁结构分析的样条有限点法2 0 3 1 样条有限点法简介2 0 3 2 箱型桥梁结构分析的样条有限点法2 0 3 2 1 基本假设2 0 3 2 2 剪力滞位移模式2 0 3 2 3 变分原理2 1 3 2 4 样条有限点法2 5 3 3 箱型桥梁样条有限点法的程序实现2 9 3 3 1 主程序流程图2 9 3 3 2 程序说明3 0 3 3 3 算例3 3 3 4 本章小结3 9 第四章箱型桥梁结构动力分析的样条有限点法41 w 4 1 结构动力方程的建立4 1 4 1 1 样条有限点法建立结构动力模型4 l 4 1 2n e w m a r k 法计算动力响应4 2 4 2 箱型桥梁结构动力分析的程序实现4 4 4 2 1 主程序流程图4 4 4 2 2 程序说明4 4 4 3 算例4 5 4 4 本章小结4 7 第五章结论与展望4 9 5 1 结论4 9 5 2 展望4 9 参考文献5 0 致谢5 2 攻读硕士学位期间发表的论文5 3 v 箱型桥梁分析的样看与限点法研究 第一章绪论 1 1 引言 随着经济的发展、科学的进步，现代桥梁结构也随之出现了飞跃的发展，跨江跨海 工程日益增多，桥梁的建设向“更长、更高、更轻 的趋势发展，跨度越来越大，体系 越来越复杂，新型材料的应用日益增多，结构越来越新颖，施工技术越来越先进。桥梁 结构的这种大发展，对桥梁结构理论和分析方法的发展有很大促进。目前，桥梁结构理 论和分析方法的发展趋势式为：从简单结构到复杂结构、新型结构的发展、从线性向非 线性发展、从静力分析向动力动力发展、从确定性向不确定性发展、从简化分析向精细 化分析发展、发展智能结构理论、发展结构性能设计理论，在桥梁结构理论和设计理论 方面正孕育着新的突破。桥梁结构遇到的挑战首先是实现基于性能的结构设计，以提高 工程结构使用性能及抗灾性能。要实现基于性能的结构设计，必须精确掌握结构性能， 必须精确分析结构性能。为此必须要考虑结构的非线性、结构的不确定性、荷载不确定 性及结构损伤等复杂因素的精细化分析方法，这是结构性能设计理论的客观要求。目前 对于结构性能及其可靠度尚无精细化分析方法。因此发展结构性能精细化分析方法及结 构性能的控制方法是创立结构性能设计理论的关键问题。 大跨度桥是经济发展、科学进步及社会发展的产物。目前，在世界桥梁跨径前十位 的记录上，我国的石拱桥、混凝土拱桥及钢筋混凝土拱桥都占首位，预应力混凝土桥、 斜拉桥及悬索桥也名列前茅。目前，大跨度桥梁常用的结构体系有箱型截面桥结构体系、 连续刚构桥结构体系、拱桥结构体系、斜拉桥结构体系及悬索桥结构体系。 1 2 箱型桥梁结构体系 目前，桥梁结构体系种类很多，例如：梁式桥、拱式桥、斜拉桥等。 箱型结构具有自重轻、抗弯抗扭刚度大的优点，广泛地应用于桥梁中，例如梁式桥、 拱式桥、斜拉桥、悬索桥、城市高架桥及立交桥等常采用箱型结构。在桥梁结构中，常 将箱型结构称为箱型梁，常将箱型桥梁称为箱型梁桥。箱型桥梁结构是一种有发展前途 的桥梁结构，其中包括直箱型桥梁结构和曲箱型桥梁结构。 1 2 1 直箱型桥梁结构体系 ( 1 ) 单跨直箱型桥梁结构 广西大目幽炙士掌位论文箱型书 餐分析的样杀陬点法研究 在图1 1 中，( a ) 图为简支直箱型桥梁结构图，( b ) 图为( a ) 图的计算简图，c c ) i 虱为( b ) 图的横截面形式。这种横截面形式称为单室箱梁。 ，z 舅砑 ( b ) ( a ) l c j 图1 - 1 简支直箱型桥梁 c h a r t1 1s i m p l y - s u p p o r t e ds t r a i g h tb o xb r i d g e ( 2 ) 连续直箱型桥梁结构 在图1 2 中，( a ) 图为连续直箱型桥梁结构图，( b ) 图为( a ) 图的计算简图，( c ) 图为( b ) 图的横截面形式。这种桥梁称为连续箱型桥梁或多跨箱型桥梁。 ( a ) 荔写了f 易 ( b ) 图卜2 连续直箱型桥梁 c h a r t1 2c o n t i n u o u ss t r a i g h tb o xb r i d g e 1 2 2 曲箱型桥梁结构体系 图1 3 为曲箱型桥梁结构。曲箱型桥梁结构广泛应用于高速公路桥、铁路桥、城市 高架桥及立交桥。为了保证城市交通顺畅，在交通拥挤地段修建高架桥及立交桥是解决 城市交通问题的有效途径。在高架桥及立交桥中，受线性走向及场地条件的限制，往往 在平面上设计成曲线形。在高速公路建设中也改变过去路线服从桥梁的思维方式，使得 曲线桥的比重越来越大。在高速铁路中，由于总体选线的需要或地形地物的限制，也需 要修建曲线桥。例如，南昆铁路板其二号大桥由于受两端隧道及地下溶洞的制约，便采 2 广西大学硕士掌位爰譬箱型书 器分析的样条有豫点法习阳宅 用主跨为4 4 m + 7 2 m + 4 4 m 的曲线预应力混凝土箱型连续刚构桥。这种曲箱型桥梁结构具 有抗扭刚度大、整体刚度大、截面应力分配合理、稳定性好、翘曲性能好、材料利用率 高、结构合理、外形简洁美观及经济的特点。 7 图1 - 3 连续曲箱型桥梁 c h a r t1 3c o n t i n u o u sc u r v e db o xb r i d g e 在连续箱型桥梁结构中，常采用钢箱型桥梁结构、钢筋混凝土箱型桥梁结构、预应 力混凝土箱型桥梁结构及混凝土组合箱型桥梁结构箱型结构。箱型结构横截面形式有多 种，例如，在图1 4 ( a ) 为单箱二室，图1 4 ( b ) 为单箱三室，图1 4 ( c ) 为双箱单室。 1 口丁弋兀 _ ( a )( b ) ( e ) 图卜4 箱型截面 c h a r t1 4b o xs e c t i o n 1 3 箱型桥梁结构截面的特点 箱形截面由于具有良好的结构性能，因而在现代桥梁中得到广泛的应用，各种结构 形式的预应力混凝土桥梁，采用箱形截面尤其能适应构造和施工要求。由于箱形截面的 广泛应用，箱形结构的受力分析引起了国内外学者的普遍关注。 3 箱型桥梁分析的样习f 有。限点法研究 1 3 1 箱型桥梁结构截面的优点 截面抗扭刚度大，结构在施工与使用过程中都具有良好的稳定性；顶板和底板都具 有较大的混凝土面积，能有效的抵消正负弯矩，并满足配筋要求，适应具有正负弯矩的 结构，如连续梁等；适应现代化施工方法的要求，如：悬臂施工法、顶推法等，这些施 工方法要求截面必须具备较厚的底板；承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力， 达到经济效果，同时截面效率高，并适合预应力混凝土结构空间布束，更能收到经济效 果；对于宽桥，由于抗扭刚度大，跨中无需设置横隔板就能获得满意的荷载横向分布； 适合修建曲线桥，具有较大的适应性；能很好适应布置管线等公共设施。 1 3 2 箱型桥梁结构截面的不足 箱型桥梁结构截面也有一些不足之处，如该截面属薄壁结构，除受力钢筋外，还需 配置大量构造钢筋，这对于中等跨径的桥梁，有时会导致用钢量比工字形和其它截面增 多。而对于大跨径桥梁，由于箱型截面是实腹式梁，比起空腹式的桁架结构自重大。减 轻自重是大跨径桥梁的重要课题，在设计时必须采用措施减轻自重，以节省材料，使造 价经济。近年来由于三向( 即纵向、横向、竖向) 预应力的应用，可以采用薄壁、少肋 的所谓宽箱截面，收到良好的经济效果。 1 4 箱型梁结构的受力特点 箱型梁在早期的分析中一般作为杆系结构进行分析，后来作为薄壁结构进行研究， 由于箱型梁截面的特殊性，决定了箱型梁为一个非常复杂的问题。自身恒载的作用为对 称作用的，当采用不同的施工方法时也有可能出现非对称的荷载。活载的作用既有对称 的也有非对称的偏心作用，这样就产生了扭转，扭转可以认为是刚性扭转和畸变的组合， 箱型梁也存在其特殊的剪力滞后效应。一般认为作用在箱型梁上的荷载为偏心荷载，除 了按弯曲扭杆件进行分析外，还应考虑局部荷载的影响，当车辆等活荷载作用在其上时 除了其接受荷载部分产生横向弯曲外，由于其整体为超静定结构，同时也会导致其它部 分也产生横向弯曲。一般而言，认为恒载作用是产生弯曲应力的主要作用力，而当采用 预应力混凝土时这种影响将会更加明显，而活荷载产生的扭转应力是相对次要的，如果 箱壁够厚或在其纵向布置一定数量的横隔板，使箱梁的整体刚度加大，可以减小畸变的 影响。 1 5 现有分析方法 箱型梁在早期的应用一般采用中等跨径，多箱或单箱多室应用比较多，由于其荷载 4 箱型桥梁分析的样条孕n 哏点法研究 的特点，对称荷载和非对称荷载对其整体的影响使其出现不同的效应。一般采用将箱型 截面分割成若干工字型梁来进行计算，这种粗糙的近似方法没有考虑到其截面的整体抗 扭刚度。经过一段时期的发展后，随着大跨径和单室箱型梁的使用才将其作为薄壁杆件 来进行分析。近年来，由于电子计算机的广泛应用，加上有限元方法的不断发展，一般 将其作为折板或薄壁壳来分析。针对这一问题，国内外学者都进行过相应的分析，概括 起来讲，大致可以分为两种方法，解析法和数值法。 1 5 1 解析法 在分析箱型梁的过程中，一般可以把其作为一个复杂的空间分析问题。当然，为了 使其分析能够实现，一般是通过进行相应的假定或采取近似来使其得到简化。在本科教 材中，根据初等梁理论，针对其受力特性，对称和非对称荷载都采用相应的分析方法。 对于其扭转，一般可以分为两种情况，截面不变形扭转( 刚性扭转) 和截面变形( 畸变) 。 对于以上问题，形成了一套分析步骤：先进行位移假定，根据求得的位移就可以求出相 应的应力及应变；在这些的基础上根据平衡条件和协调条件，或根据变分原理建立相应 的方程，对方程进行求解，就可以求出相应的位移，进而根据需要求出应力和应变。 箱型梁主要受力特征为其受力后出现的两种现象，剪力滞后效应和扭转效应，其中 扭转又可以分为刚性扭转和畸变效应。对于其剪力滞后效应，上个世纪就有许多国内外 许多学者进行研究。也取得了很多成果，其中大致可以分为“加劲板 理论、比拟杆法 以及e l e i s s n e n 的分析方法。对于刚性扭转，前苏联学者乌曼斯基提出了其完整的乌氏 一、二理论，但是其方法还存在很多不足。后来詹涅里杰和巴洛夫柯于1 9 4 8 年提出更 为精确的理论，但是该理论很难在工程中实现。符拉索夫也提出了其广义坐标法，但是 在实际的应用中也存在不少问题，同时也存在不少缺陷。对于起边效应，先后出现了， 广义坐标法、等代梁法、k u p f e r 法。随着科技的不断发展，新的方法也在不断地更新， 总的来说，箱型梁的分析方法趋向于更科学、更实用。美国等许多发达国家的学者都提 出了简便有效的分析方法。 1 5 2 数值法 随着科技的发展，计算机的广泛应用，程序的开发及其相应的软件的形成，为箱型 梁的分析提供了更为实用的工具。目前国际上使用的方法大致为有限元法、有限条法、 有限段法等。其中有限元法的应用更为广泛，a n s y s 分析软件更是得到了国家通用，利 用其对箱型梁进行分析可以得到其截面上的全部应力。而且其计算结构也近似于其精确 解，因而在工程中应用非常广泛。 5 广西大掣瞻炙士学位论文箱型桥票分析的样条有隈点法习 宅 上述分析方法在箱型桥梁结构的分析中已得到很多的应用，但是这些方法还存在一 些难以解决的问题，还需要创立一些更加简便、实用、有效的方法。 1 6 新的分析方法 箱型桥梁结构一直是国内外学者研究的热点问题，它的研究也取得了很多新的成 果。作者的导师秦荣教授根据自己多年的研究成果创立了一些新的研究方法： ( 1 ) 样条有限点法 样条有限点法是秦荣教授于1 9 7 9 年创立的，它是一种无网格法，是利用薄壁箱型 结构理论、变分原理及样条离散化结合起来创立的。一个方向采用b 样条函数，另一个 方向采用正交函数，可以用于分析连续直箱型桥梁结构、连续曲箱型桥梁结构及箱型拱 桥结构。不仅计算简便，而且精度高。 ( 2 ) 样条子域法 样条子域法是秦荣教授于1 9 8 0 年创立的，它以b 样条函数、变分原理及剖分原理 为基础将结构划分为几个子域，然后做整体分析。该法同时具有样条有限点法和有限元 法的优点，它包括单样条子域法、双样条子域法及双向单样条子域法，适用于连续箱型 桥梁结构的研究。 ( 3 ) o r 法 q r 法是秦荣教授于1 9 8 4 年创立的，这种方法是将结构样条离散化与结构网格划分 结合起来的。此法克服了有限元法及有限条法的缺点，并且未知量数目少，便于计算， 计算精度也很高，适应性很强，可以适用于箱型桥梁结构的研究。 上述新方法即可以对箱型桥梁进行新的分析。 1 7 本文的研究内容 目前，箱型桥梁在工程中的应用越来越广泛，在前人所做的工作的基础上，本文做 了下述工作： ( 1 ) 第一章概要叙述了箱型桥梁的研究现状，存在的问题，及其分析方法。 ( 2 ) 第二章阐明样条函数理论，主要介绍b 样条函数的性质及应用方法及箱型梁 的两个主要力学性能。 ( 3 ) 第三章利用变分原理、最小势能原理以及样条函数中的三次b 样条函数进行 样条有限点法静力分析，推导箱型梁样条有限点法的原理及计算公式。采用m a t l a b 程 序语言作为其程序实现工具，并利用a n s y s 软件进行分析。计算相关算例，对上述两种 6 箱型桥渠分节拍由样条有限胄b 去研究 方法的计算结果进行分析、对比和验证。 ( 4 ) 第四章在第三章分析的基础上，利用样条有限点法和n e w m a r k 法对箱型梁结 构进行动力分析，并利用m a t l a b 程序语言对其进行实现，并利用a i i s y s 软件进行分析。 计算相关算例，对上述两种方法的计算结果进行分析、对比和验证。 ( 5 ) 第五章对本文所做的工作进行分析总结，提出结论和展望。 7 广西大学訇e b 掌位论文箱型桥莱分析的样习f ，订啜点法研究 第二章基本理论 2 1 样条函数 样条函数是现代函数逼近的一个十分活跃的分支，是计算方法的重要基础，应用很 广泛，可以利用它创造出结构分析的新方法，下面是有关样条函数的一些基本知识： 2 1 1b 样条函数构造的方法 刀次b 样条函数可以利用下列表达式确定： 拍，= 静啦! ) 学 旺) 式中以为样条结点 x 。：七一坐 ( 2 2 ) 二项式系数为 f 肼11 ：j 生o ! = 1 ( 2 3 ) lk 七! 伽+ 1 一k ) t 当n = 0 时，由式( 2 1 ) 可得： ( 功= + 丢) ：一 一丢) ： ( 2 4 ) 一磁) ：称为截断单项式，对任一正整数刀，定义为 由此可得： c x x 。，：= x i ) ” 警卜瓢 o ( 2 5 ) 当z 一以 l 如果n 0 ，则： 肛= 嚣 这是截断单项式。当n = 2 时，由式( 2 1 ) 可得： 仍( x ) = 争( 抖互3 圹23 ( x + 圭) ：+ 3 一j 1 圹2 ( x 一扣 由此可得二次b 样条函数为： 仍o ) = c 扣 c 扣 ( 要一x ) j 厶 o ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) z 卜三，一三， 一3 ( 三+ x ) 2x 一互1 ，圭】 ( 2 1 1 ) x 呸1 ，尹3 怍寻 当刀= 3 ，则由式( 2 1 ) 可得三次b 样条函数： 伤( x ) = 圭 + 2 ) ；一4 + 1 ) ：+ 6 x ：- 4 ( x - 1 ) ：+ ( x - 2 ) 3 + 1 ( 2 1 2 ) o 由此可得三次b 样条函数为： ，、 1 伤【x ) 2 = o + 2 ) 3 ( x + 2 ) 3 4 ( x + 1 ) 3 ( 2 一x ) 3 4 ( 1 一x ) 3 ( 2 一x ) 3 o x - 2 , - 1 】 x 一1 , 0 】 x 【0 , 1 】 ( 2 1 3 ) x 【1 ，2 】 h 2 如果刀= 5 ，则由式( 2 1 ) 可得五次b 样条函数： 纯( x ) = 刍 + 3 ) ：一6 + 2 ) ：+ 1 5 ( x + 1 ) ：一2 0 + 1 5 ( x - 1 ) ：一6 ( x - 2 ) ；+ ( x 一3 ) ：】 ( 2 1 4 ) 由此可得： 9 箱型桥梁分析的样条有隈点法研究 纯( x ) = 面1 ( x + 3 ) 5 x 卜3 ，- 2 】 ( x + 3 ) 5 6 ( x + 2 ) 5 x 【- 2 ，一1 】 ( x + 3 ) 5 6 ( x + 2 ) 5 + 1 5 ( x + 1 ) 5x 【一1 , 0 】 ( 3 一x ) 5 6 ( 2 一功5 + 1 5 ( 1 一x ) 5x 【0 , 1 】 ( 2 1 5 ) ( 3 一曲5 6 ( 2 一x ) 5 x 1 , 2 】 ( 3 一x ) 5 x 【2 ，3 】 0 i 】4 3 由上述可知，本节介绍的吼( x ) 是一个均匀分划的样条函数，它是一个分段九次多 项式。 2 1 2b 样条函数的性质 b 样条函数有许多性质，其主要几个性质为： ( 1 ) 纯( x ) 具有分段光滑性，它是一个分段的刀次多项式。 ( 2 ) 纯( x ) 具有对称性， o n ( - - x ) = 纯( x ) 。 ( 3 ) 仇 ) 具有紧凑性，局部非零( 图2 1 ) 。 ( 4 ) ( x ) 具有( n - 1 ) 阶导数的可微性。 ( 5 ) ( x ) 具有平移性，吼o + c ) 与( x ) 之间，彼此只差一个平移。 ( 6 ) 纯o ) 可以线性组合。 y 3 是 一2101 2 】 图2 1 三次b 样条函数图形 c h a r t2 1c u b i cb - s p l i n ef u n c t i o ng r a p h 1 0 广西大胄明页士曹巴1 立美咒 箱型桥莱分析的样条有隈点法研究 2 1 3b 样条函数的数值方法 ( 1 ) 纯( x ) 的计算方法 刀次b 样条函数的数值可以利用式( 2 1 ) 来计算。 ( 2 ) o ) 的求导及不定积分方法 纸o ) 的导数值及积分值可以利用下列表达式进行计算： 虮垆扣性 等簪 泡 当j 为正整数( _ ， 0 ) 时，则式( 2 9 ) 表示纯( x ) 的，阶导数；当j 为负整数( j 0 ) 时，则式( 2 9 ) 表示纸( x ) 的，次积分；当_ ，= o 时，则式( 2 9 ) 就是吼( x ) 的本身。 ( 3 ) b 样条函数的定积分方法 如果在区间【0 ，口】上分为等分，则 r 纯( 云一f ) 凼= 办纯( f ) 出 ( 2 1 7 ) p 纯唼出甜+ 1n 所纯 ( 2 1 8 ) 式中f ：了x i ，h 为分划步长，即 o - - x o x l 耽 = 帆w oq w 嵋r嗍= 【丸。死旃九+ 。】 其中 1 2 广西大掌硕士学位论文 一苎兰堡苎竺丝竺兰查! 堡查兰! 兰一 _ - _ _ _ - _ _ - _ - - _ _ _ _ - _ - 一一 丸。( x ) = 主仍( 旁 死( 功= 冬仍印一2 办伤( 云+ 1 ) 仍( x ) = 唬( 云一1 ) 一芝1 纵百x ) + 唬暖+ 1 ) 唬 ) 2 纯嚷一2 ) 九一：( x ) 2 仍皤一+ 2 ) 九一。( 功= 仍( 云一n + 1 ) 一互1 鸭万x 一) + 讫( 丢一一1 ) 九( 功= 2 办伤( 云一n 1 ) 一互h 鸭呖x 一忉 如+ ( x ) = 虿3 呖x 一加 这组样条基函数具有下列特点 ( 2 2 5 ) 谚( o ) = 0 ( f 一1 ) 正，( 9 ) = l l 纵o ) = 0 ( i 0 ) 九( o ) = 1 i ( 2 2 6 ) 谚( 口) = 0 ( i 忉 九( 口) = 1l 纵口) = 0o + 1 )蝣+ 。( 口) = i j 由此可知，式( 2 2 5 ) 对处理梁的位移边界条件及位移连续条件都很方便。利用混合参 数法可以构造各种各样的基函数，例如 以，( x ) = 仍( 秀+ 1 ) + 伤嗡x ，卞、万x 一1 ) 死( 工) = 慨( 云一1 ) 一慨( 云+ 1 ) 么( x ) = 2 伤皤一1 ) 一伤啧) + 2 讫皤+ 1 ) 谚( x ) 2 仍皤一o f = 2 3 “，n - 2 办一( 力= 2 仍皤一+ 1 ) 一伤( 云一忉+ 2 仍( 云一一1 ) 九( 工) = 伤( 云一+ 1 ) + 伤啧一忉+ 伤晴一一1 ) 如+ 。( 力= 办仍( 丢一+ 1 ) 一概( 云一一1 ) 这组样条基函数也有式( 2 2 6 ) 的特点。 ( 3 ) 位移参数法 如果谚( x ) 满足关系 1 3 ( 2 2 7 ) g - 西大曹明炙士胄q 立论文 箱型桥莱分析的样条有，鼠点法研究 谚c ，= 磊= ：；三； 则梁的挠度函数可采用形式 w = 喇 ) 式中谚( 工) 为样条基函数，即 胁弩仍( 竿一峭伤( 孚讲拱4 、t x - x o 牛多 + 吉伤睁讲1 ) + 吉伤( 孚牛1 ) 式( 2 3 0 ) 满足式( 2 2 8 ) 所示的条件。利用差分法可得 如果利用样条配点法，则可构造挠度函数 w = 矽】 协 式中 其中 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) w ) = h w om w 碱r l ( 2 3 3 ) 【纠= 【伤t ( x ) 】 q 】 k = 一1 ，0 ，1 ，n + ij 【q 】2 瞄r l 仍( x ) 2 仍皤一七) ( 瑚= 【伤( 丢+ 1 ) 妈( 伤镌一1 ) 仍( 丢一一1 ) 】 跚= 丢 o 141 3o3 l4 0 1 - 3 式中，【s 】_ 为 跚的逆矩阵。 如果，式( 2 3 2 ) 中的位移向量为 w ) = 【吃嵋嵋r 1 4 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 峨 m 协 2 d麓 + x + _-_-_-_-_-_-l_-j 1 ，j o 1 4 o 广西大学蝇炙士学旺屯论文 箱型桥梁分析的样条才n 曩点法研究 则 【跚= 丢 1 三1 0 - 3- 3 o l4l 0 三。4 h 三h v 式( 2 3 3 ) 中的 q 为式( 2 3 6 ) 的逆矩阵。 2 1 5 样条离散化 ( 1 ) 单样条离散化 ( 2 3 6 ) 图2 2 是一个平板壳，如果对平板壳沿x 方向进行不均匀分划( 图2 3 ) ，则 o - - x o x l x 2 。 x n = a x i = x o + i hh 硝+ l 一而 ( 2 3 7 ) 这就是单样条离散化。如果均匀分划，则 h = x i + l x f 2 口n 口 卜卜_ - 1 图2 2 平板壳 c h a r t2 2p l a t es h e l l ( 2 ) 双样条离散化 图2 3 单样条离散化 c h a r t2 3s i n g l es p l i n ed i s c r e t i z a t i o n 如果对于平板壳，沿x 及y 方向进行分划( 图2 4 ) ，则 o = x o x i x 2 x n = ax i = x o + f kh x = x i + l 一麓 o = y o y l y 2 蛐= by j = y o 呵匆功+ - 功 ( 2 3 8 ) 这是双样条离散化。如果均匀分划，则 硝+ t 一劫= 口匆功+ l 力2 6 m 1 5 箱型桥梁分析的样条有，真亲b 去习眵巴 ( 3 ) 三样条离散化 图2 5 三样条离散化 c h a r t2 5t r i b l es p l i n ed i s c r e t i z a t i o n 如果物体沿三个方向进行分划( 图2 5 ) ，则 0 ：x o x l x 2 劫、，= ax i = x o + i h x ，k 号勋+ l 一而 0 ：y o y i y 2 肌= by y = y 0 0 嘭哆功+ l 一弦 0 ：z o z i z 2 钇= cz k = z o + k h z见= z k + l 一孙 ( 2 3 9 ) 这是三样条离散化。 ( 4 ) 沿弧方向样条离散化 如果沿弧方向s 进行分划( 图2 1 0 ) ，则 & s l d 。k ( 3 2 9 ) 式中 式中 y = 匦vw 见r= 【g j yqq qq ：m ：】r= x y z z l 圪= kv 。w 见rk = 眵f v d 。嵋。】r r s 2p z z x z y z2z r d = d i a g ( e a ，e i x ，e i y ，g j v ，e 1 ，) 阻】= 纰呱，e i s ，k d ，e i a ) 隗】= oo 0 一e i 。 0o 0 一e l i , r o0 f i x o r b 0o 肇0 r 2 b g = l v 圪= 厶y ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 广西大学明页士学位论文 箱型桥梁分析的样条有限启b 去研究 3 2 4 样条有限点法 1 0 r o 参 d ；2 0 d z 2 o一! 旦 rd z 。一去刍 厶= 抛( ，万d 2 ，_ ，d ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 1 、样条离散化 图3 3 是一个单室箱梁。如果对图3 3 所示的箱梁沿z 方向进行样条离散化( 图 3 4 ) ，则它的位移函数可以采用下列形式： 式中 图3 3 单室箱梁 012 3 n 图3 4 箱梁样条离散化 c h a r t3 3s i n g l ec h a m b e rb o xb e a m c h a r t3 4b o x - b e a ms p l i n ed i s c r e t i z a t i o n 甚鼢；嚣屹茹黝 r 3 4 ， 包= 【朔 e )f = 膨】 办 屹。= f 纠 屹， j 。 “ = 【u o 甜：口l 口2 1 h , ”0 r 。 ， = 【v o 岛6 2 ，k “r w = “c l 乞h 嵋r o z = 包。吃。匾蟊钆r f ) = 氏晶e le 2 知矗r 屹) = v a l o 嵋l o 石五屹l 嵋l ，r 朔= 【丸。唬办唬九州r ( 3 3 5 ) o 。一r o d一出扩一舻 d一出o o 1 一足 广西大国炙士学位嵌咒 箱型审 器分析的样条才r 限点法研究 ”、1 ，及h ，分别为横截面内任一点p ( x ，y ) 沿x 、y 及z 方向的位移分量，1 a o 、v 0 及w o 分别为横截面形心沿x 、y 及z 方向的位移分量，以沿坐标轴正向为正，反之为负； 包为横截面绕z 轴的挠度，f 为上翼板最大相对剪切角位移差，屹。为单室箱梁截面畸 变产生的腹板的错动。其中 髟】- 伤。】 纠 魄】- 【仍( 云+ 1 ) 讫嗉) 仍唼一- 1 ) 】，l以，l q 】= d i a g ( a ， 刀， 】) ( + 3 x + 3 ) p 】_ 0 2 l 31 222 oo1 【冈= 100 13h 222 lo2 【用为( n 一3 ) ( n 一3 ) 的单位矩阵，j 1 2 弓+ - 一z ，仍( 云一力为三次b 样条函数。 2 、位移函数 由式( 3 3 4 ) 可得： v = 【】 y 式中 y = 阻vwo a r 1 n 】= c 她( 矽】，【】，【】，【矽】) y ) = 附) r 1 ，厂 w ) r 礁 7 】叫 3 、几何方程 由变分原理可知： 占= p 】 y 圪= 【最】 y )圪= 【忍】 y ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 箱型桥桊分析的样条彳n 叹点法萄 宅 式中 别= 1 0 。 r 】r 【最】= 咖( 矽】，【】，【】，【】) 卯【o r 【o r1 1 【o 】r 嗍7 矽一刊 一去【】 【o 】 胡 【0 】 【o 】 】 0 1 去嗍 们 【o 】胡【纠 【0 】 一去 卯 o 】沙】 0 1 一去沙】【o 】 朔 4 、建立箱梁样条离散化总势能泛函 由变分原理及式( 3 3 4 ) 、( 3 3 7 ) 、( 3 3 9 ) 可得： 兀= 三 u r 【k 】 u ) 一 u ) r 厂 式中 u = 【 y r 圪) r r 厂) = 【 z ， 以) r 】r 叫嚣黝j 其中 朋 呵t 一 _i k 】- 【 明7 d b d z【k ：】= n 色】1 坟】 忍】出i 【列= f t , s l r i d a 8 , 1 出 z ) = r 【r q d z 五 = j c i m 】r q d zi z ) = 【r