（电子科学与技术专业论文）工程应用中大型系统的模型降阶.pdf

z h o u1 9 9 6 】后来也被应用到电路模拟当中 r a b i e i1 9 9 9 ，s i d i2 0 0 3 ，p i l l i p s2 0 0 2 ， c o d e c a s a2 0 0 3 a ，2 0 0 3 b ，而且在控制论的研究中继续得到发展和应用 w a n g 1 9 9 9 ，并被进一步应用到流体力学领域f a z o u2 0 0 0 ；第三类方法是基于正交分 解理论的方法( p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ( p o d ) ) 。这类方法在一些论文 里也被称为k a r h u n e n l o e v ee x p a n s i o n 方法。这类方法主要应用在电磁学研究以 及医学肿瘤辅助诊断中 m a t t i n g l y1 9 9 8 a ，1 9 9 8 b ，p o t o c k i1 9 9 2 ，1 9 9 3 ，b a i l e y1 9 9 8 ， k o w a l s k i2 0 0 1 】， 在流体力学的研究中也被普遍应用【s i r o v i c h1 9 8 7 ，r o w l e y 2 0 0 1 ，g r a h a m1 9 9 9 ，b e r k o o z1 9 9 3 ，h a l l1 9 9 9 ，k i m1 9 9 8 ，w i l l c o x2 0 0 2 ，m e y e r 2 0 0 3 】。 在每一类方法中，一些方法是针对线性系统的模型降阶提出的，而另一些方 法是针对非线性系统提出的。在第一类方法中基于k r y l o v 子空间的方法起初是 针对线性系统的模型降阶问题提出的 p i l l a g e1 9 9 0 ，b o l e y1 9 9 4 ，f e l d m a n n1 9 9 5 a ( p v l ) ，1 9 9 5 b ( m p v l ) ，s i l v e r i a1 9 9 5 ，1 9 9 6 a ，1 9 9 6 b ，g r i m m e1 9 9 7 ，o d a b a s i o g l u 1 9 9 8 ( p r i m a ) ，f r e u n d1 9 9 7 ( s y m p v l ) ，1 9 9 9 a ，1 9 9 9 b ；针对非线性系统的基于 k r y l o v 子空间的方法在某种程度上是线性系统方法理论上的扩展r e w i e n s k i 2 0 0 1 ，c h e n1 9 9 9 ，p i l l i p s2 0 0 0 a ，2 0 0 0 b ，r o y c h o w d h u r y1 9 9 9 ，g u n u p u d i2 0 0 0 。这类 方法由于它们的计算复杂度比较低，从而在求解一些规模很大的系统时非常有 效。但是缺点是没有全局误差界。因此，人们不能根据误差界预先知道所得到的 降阶模型的精确的规模，即阶数。然而，这些方法仍然被广泛应用，原因就是因 为其计算量很小，通常只需花费很少的存储和模拟时间就可以得到满意的结果。 第二类基于平衡截断( t b r l 的方法是根据对系统的g r a m m i a n 矩阵进行奇 异值分解的理论( s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( s v d ) ) 得到降阶模型的。系统的 g r a m m i a n 矩阵是与系统的输入到状态映射( i n p u t t o s t a t em a p ) ：x ( t ) = e a t b 和状 态到输出映射( s t a t e t o o u t p u tm a p ) ：y ( t ) = e e 有关。与第一类方法比较， 这类方法具有全局误差界 z h o u1 9 9 6 ，w a n g1 9 9 9 ，从而可以根据这个误差界来 决定所要得到的降阶模型的阶数。但是这类方法的缺点是计算复杂度很高，( 一 般是om 0 ，n 是原来系统的规模即阶数) 。这是因为在降阶过程中需要求解两 个l y a p u n o v 方程。而这两个l y a p u n o v 方程的规模和原系统的规模是一样大，都 2 是月。尽管后来又出现了许多改进的方法，比如，近似的g r a m m i a n 方法 l i2 0 0 0 ， r a b i e i1 9 9 9 这类方法也只能局限于求解阶数在n = 1 0 0 0 左右的系统。 基于正交分解( p o d ) 的第三类方法是根据系统的状态变量在一些给定的 时间点上的值( 即所谓的“s n a p s h o t s ”) 组成的矩阵的奇异值分解来构造投影矩 阵，从而得到降阶系统的。要得到状态变量在给定的时间点上的取值，必须首先 给定一个输入信号和些时间采样点，从而使得降阶系统严格依赖于这些事先人 为给定的值，如果所给定的值不够适当就不能得到精确的降阶模型。而且必须对 原有的系统重新模拟一遍，这样就会增加计算复杂度【a n t o u l a s2 0 0 1 】。但是这类 方法的优点是能够很好的求解非线性很强的大规模系统，能够直接对偏微分方程 组( p d e ) 构成的系统进行降阶。因而这类方法在流体动力学领域被广泛应用 r o w l e y2 0 0 1 ，m e y e r2 0 0 3 】。关于这类方法的一篇很好的综述是 a n t o u l a s2 0 0 1 。 除了以上的方法外，还有一些比较新颖的方法，例如对线性系统的时域 c h e b y s h e v 降阶方法 w a n g2 0 0 2 ，它不同于线性系统的频域降阶方法，而上述 的线性系统的基于k r y l o v 子空间的方法就是频域降阶方法，它们是根据系统在 频域内传递函数来构造投影矩阵，从而得到降阶系统的。而线性系统的时域 c h e b y s h e v 降阶方法是直接在时域内构造投影矩阵，它的优点是对于时域分析精 度比较高。 在本研究中，我们提出的一些降阶方法主要属于第一类的基于k r y l o v 子空 间的降阶方法。此外，我们还提出了线性系统的时域小波f w a v e l e t ) 降阶方法， 并和已有的时域c h e b y s h e v 降阶方法 w a n g2 0 0 2 作了比较。我们在下列几章 分别详细阐述我们提出的一些方法。 在第一章中，我们先讨论了两种基于k r y l o v 子空间的不同的投影过程，然后 选择其中的一种作为以下讨论的理论基础。 在第二章中，我们讨论了线性系统的模型降阶方法。在第一节提出线性系统 的时域小波降阶方法，并详细地与已有的c h e b y s h e v 时域模型降阶方法比较 w a n g2 0 0 2 。我们利用了电路系统特有的稀疏性提出了关于求解小波系数矩阵 对应s y l v e s t e r 方程的高效算法，即不完全s h u r 分解方法。求解小波系数矩阵 是时域小波降阶的关键，能否快速求解系数矩阵所对应的s y l v e s t e r 方程关系到 整个小波降阶方法的有效性。数值模拟的结果表明小波降阶方法在模拟快速变化 3 的电路时比c h e b y s h e v 降阶方法 w a n g2 0 0 2 更为有效。第二节我们将线性系 统的模型降阶方法引入电化学领域的快速模拟中，这是目前该领域进行快速模拟 的创新方法，模拟的结果表明模型降阶方法能够有效的进行该领域线性系统的快 速模拟。 时域小波降阶方法提出的背景是在集成电路领域，特征尺寸越来越小，集成 电路已经步入纳米时代。集成电路的规模已经达到g i g a 量级，时钟信号的速 度达到g i g a h e r t z ( g h z ) 。在现代的大规模集成电路中，信号在互连网络传输过 程中，信号完整性以及信号延迟的影响主宰了整个系统的性能【g a o1 9 9 0 ， h a s e g a w a1 9 8 4 ，d a i1 9 9 2 】。尽管许多互连电路著名的模型只由线性电子元件构 成，比如：电阻，电容，电感，互感p i u a g e1 9 9 0 ，但由于规模很大，仍然很 难对其进行模拟。因此，互连网络的模拟在现代工业应用和科学研究中成为一 个很有挑战性的研究热点。 目前模型降阶的方法被证明是对大规模电路进行快速模拟的很有效的方法。 许多对线性系统的模型降阶方法都是基于系统的频域传递函数矩匹配的原理，通 过逼近传递函数的矩来得到降阶的模型。例如经典的方法a w ef p i l l a g e1 9 9 0 1 ， p v lf f e l d m a n n1 9 9 5 a ，这两种方法已经在电路模拟中被广泛应用。然而，在许 多情况下，即使降阶后的系统的传递函数很精确，降阶系统在时域的响应却不是 很精确。这是由于在现代技术中，系统工作的频率不断增长，互连电路的磁耦合 的影响越来越严重，造成信号的完整性问题，比如信号波形的o v e r s h o o t i n ga n d u n d e r s h o o t i n g 现象使得互连线的冲击响应在波形上变得越来越复杂 w a n g 2 0 0 2 。特别是，信号波形的快速变化使得基于频域近似的降阶方法不能够在时 域内得到精确的波形。因此需要有直接在时域进行降阶的方法来代替频域降阶方 法，从而能够得到精确的时域响应。与频域降阶方法对传递函数进行逼近不同， 时域降阶方法直接用状态空间的基函数来逼近系统的状态变量比如基于 c h e b y s h e v 基函数的降阶方法 w a n g2 0 0 2 】以及基于一般的正交多项式的降阶 方法 w a n g2 0 0 2 。例如，c h e b y s h e v 降阶方法 w a n g2 0 0 2 】是用c h e b y s h e v 函 数来逼近系统的时域状态变量。通过计算c h e b y s h e v 基函数关于系统状态变量的 系数矩阵，可以把系数矩阵的列正交化得到一个投影矩阵，然后把系统的状态变 量投影到这个投影矩阵所在的子空间上，从而得到系统的降阶模型。这个方法在 4 【w a n g2 0 0 2 】中被用来和传统的频域降阶方法比较，并被证明此方法比传统的频 域降阶方法更为精确和有效。 时域降阶方法的精度和效率严格依赖于所选的基函数的逼近效果。如前所 述，互连线高速变化的波形表明电路的奇异性很强。要逼近这种奇异性很强的波 形，如果能采用局部支撑的基函数来逼近将会非常有效，比如小波( w a v e l e t s ) 基 函数。基于这个想法，我们提出用小波函数进行系统的时域降阶，数值模拟的 结果表明小波降阶的方法在处理快速变化的电路模拟时e l c h e b y s h e v 降阶方法 更为有效。 小波方法( w a v e l e tc o l l o c a t i o nm e t h o d ) 晟初是被应用于线性和非线性电路 的瞬态模拟z h o u1 9 9 9 a ，1 9 9 9 b 。后来它又被进一步应用到非线性及线性电路的 稳态模拟中 l i2 0 0 2 ，z e n g2 0 0 3 由于小波函数的局部紧支性以及多分辨率的 特性，使得小波模拟能够用自适应的方法来自动选取小波函数，而且能针对不 同部分的波形选取不同阶数的小波，比如能够在波形变化很强烈的区间自动添加 高阶小波基，而在波形变化缓慢的地方就只用低阶小波基。从而能够在整个模拟 区间得到一个统一的误差界。而且，我们所采用的小波基具有h 4 的收敛速度 【z h o u1 9 9 9 a ，1 9 9 9 b 】，使得我们只需用很少的小波基就能够精确的逼近系统的波 形，其中h 代表模拟区间的采样点的步长。 大规模系统时域模型降阶的另外一个问题是，在求解基函数的系数矩阵时计 算量很大。比如，在c h e b y s h e v 模型降阶中，我们需要求解个规模为 n x ( x - t - 1 ) b yn x ( k + 1 ) 的代数方程组，从而才能够得到斛1 个c h e b y s h e v 系数，是原线性系统的规模即系统的阶数。如果系统的规模很大而且基函数 的个数足也不是很小，那么求解这样一个大型的方程组将会耗用很大的内存， 计算时间也会很长。因此，在求解大型系统时，c h e b y s h e v 模型降阶方法将会由 于难以计算系数矩阵而失去其有效性。 在小波模型降阶中，小波系数矩阵是通过求解一个s y l v e s t e r 方程得到的。 求解这个方程如果没有有效的方法，也将会同样费时，从而成为小波时域降阶的 瓶颈问题。已经有的求解s y l v e s t e r 方程的方法包括完全s c h u r 分解方法b a n e l s 1 9 7 2 ，z e n g2 0 0 3 以) ：j t h e s s e n b e r gs c h u r 分解方法 g o t u b1 9 7 9 ，但是这些方法 对于求解很大规模的方程时同样很慢。我们利用互连网络r l c 模型的系统矩阵的 5 稀疏特性，提出了一种求解s y l v e s t e r 方程的更为有效的方法，即不完全s h u r 分 解方法。并通过数值实验证明该方法大大提高了传统的完全s h u r 分解方法 【b a r r e l s1 9 7 2 ，z e n g2 0 0 3 】的效率，因此为小波快速时域降阶奠定了基础。 值得注意的是，c h e b y s h e v 基函数的系数矩阵也可以通过求解一些s y l v e s t e r 方程来获得。但是遗憾的是，一方面，作者没有用这个方法计算， 另一方面， 即使用这个方法计算，由于c h e b y s h e v 基函数是全局函数，它缺乏一个自适应的 算法来帮助自动选取基函数的阶数，从而限制了求解s y l v e s t e r 方程的高效性。 在本章的第二节我们把线性系统基于k r y l o v 子空间的模型降阶方法引入电 化学领域的大型线性系统的快速模拟中。该工作的贡献之一是据我们所了解是首 次把模型降阶的思想及方法引入电化学领域的快速模拟中。另外的一个贡献是传 统的模型降阶的方法是基于系统的初始条件为零的前提下提出的f o d a b a s i o g l u 1 9 9 8 ，s i l v e i r a1 9 9 6 a ，f r e u n d1 9 9 9 a 1 ，不能直接用于求解初始条件不为零的系统。 而在电化学领域，系统的初始条件一般对应化学反应的初始状态，因此初始条件 往往不为零。我们针对这个问题提出一种变量变换的方法，经过变换得到一个初 始条件为零的新的系统，首先对这个新的系统用传统的模型降阶方法进行降阶， 然后利用降阶的结果经简单运算还原到原来的非零初始条件的系统。数值模拟的 结果表明我们提出的方法对于处理这类非零初始系统很有效。 本节方法提出的背景是，在过去的1 5 年里，s c a n n i n ge l e c t r o c h e m i c a l m i c r o s c o p y ( s e c m ) 技术已经由原来的一个基本的反馈应用( f e e d b a c k a p p l i c a t i o n ) 发展成为分析化学反应表面电化学性质的强有力的工具( ap o w e r f u l t o o lf o ra n a l y z i n gl o c a le l e c t r o c h e m i c a lp r o p e r t i e so rf o rm o d i f y i n gs u r f a c e s b a r d 2 0 0 1 】o 在最近几年里，a d d i t i o no f s u b m i c r o s c a l es p a t i a lr e s o l u t i o n 增强了s e c m 不同领域的应用( h a si n c r e a s e dt h ec a p a c i t yo fi n t e r d i s c i p l i n a r ya p p l i c a t i o n s ) 。 例 如，s e c m 技术被用于测量l o c a lk i n e t i c s 和研究化学反应，以及研究样品的拓 扑结构或者微纤维( m i c r of a b r i c a t i o n s ) 的拓扑结构。特别地，s e c m 技术近来 还被应用到生物领域的许多研究中，比如，用很高的分辨率来分析表面特性以及 化学反应的灵敏度在生物技术，生物医药和生物传感技术中非常重要，而s e c m 技术为在亚微米级的范围内( s u b g ，! n r a n g e ) 研究表面特性提供了唯一的平台。 对于s e c m 技术的不同操作模式，必要建立不同的定量的数学模型来进行分 6 析，例如，反馈和发生集中模式( f e e d b a c ka n dg e n e r a t o “c o l l e c t o rm o d e s ) ，稳态 和瞬态的估测( s t e a d ys t a t ea n dt r a n s i e mm e a s u r e m e m s ) ，扩散控制或动力控制的 过程( d i f f u s i o n - c o n t r o l l e do rk i n e t i c - c o n t r o l l e dp r o c e s s e s ) 【m i r k i n2 0 0 1 。然而，除 了很少的特殊问题的数学模型可以有解析形式的解外，比如远离边界的电极上的 扩散控制电流( d i f f u s i o n c o n t r o l l e dc u r r e n to i lac i r c u l a re l e c t r o d e ) ，大部分问题的 数学模型只能通过数值模拟的方法来求得其近似解。这就需要对原有的数学模型 用适当的离散方法进行空间离散，这些离散方法包括有限差分法 h e i n z e1 9 9 1 ， 有限元法【n a n n ，1 9 9 9 ，或边界元法【s k l y a r2 0 0 2 1 。通过离散，通常得到的是 一个大型的常微分方程组。这样规模大的系统用传统的数值模拟方法求解计算量 很大。结果导致虽然一个精确的数学模型可以建立，但是不能被实际应用。 模型降阶的方法已经在许多应用领域被证明是替代传统的数值模拟方法的 高效算法，如前所提在电路、微机电及流体力学领域都在被越来越广泛地应用。 但据我们所了解，模型降阶的方法还未被用来求解电化学的快速模拟问题。在本 节中，我们引入基于k r y l o v 子空间投影的模型降阶方法，用来对该领域的模型 进行快速模拟。数值模拟的结果显示模型降阶方法能够很好地对电化学领域的大 型线性系统进行快速模拟。 为了得到电化学的数学模型，至少需要考虑两个物质之间的一个化学反应。 因此多数情况下，不能把两种物质的李刀始状态都设为零。从两导致数学模型的初 始条件是非零的，也即经离散后的常微分方程组的初始条件是非零的。对这样的 初始条件非零的系统，传统的模型降阶方法不再适用s i l v e i r a1 9 9 6 a ，f r e u n d 1 9 9 9 a ，o d a b a s i o g l u1 9 9 8 1 ，模拟结果表明，我们提出的变量变换的方法是解决这 类问题的有效方法。 第三章针对微机电领域( m e m s ) 中的一个热学闯题提出了两种参数系统的 模型降阶方法。由这个热学问题建立起来的模型是一个带参数的线性系统。而传 统的模型降阶方法只能处理不带参数的系统，即系统矩阵是常数矩阵，矩阵中的 元素是固定的取值。丽为了更精确的描述一些物理系统，许多应用问题建立的起 来的模型都带有一些可变的参数 d a n i e l2 0 0 4 。这些参数的值可以根据需要随时 调整。为了观察系统对应于不同参数的取值条件下的不同特性，参数每改变一次， 必须对原有的系统重新模拟一次，计算参数值改变后的系统的输出，从而验证系 7 统的不同特征。如果需要验证许多种不同参数的取值，那么就必须对原有的大规 模系统进行许多次模拟。显然会导致很大的计算量。参数模型降阶的目的就是要 用一个小规模的带参数的系统代替原来的参数系统，使得原系统的所有参数都被 保留在这个小规模系统中，并且这个小的参数系统的精度不会随参数值的变化而 变坏，即小的参数系统对任何参数的取值都能保证其精度在可接受的范围内。然 而，传统的模型降阶方法不能得到这样的参数降阶模型，因为这些方法只能对任 意一组固定的参数进行一对一的降阶，这就表明如果我们需要验证许多组的参数 取值，那么传统的模型降阶方法必须计算许多个降阶模型，每个降阶模型对应每 一组参数的取值。这样的降阶方法是很不实用的。在本章中，我们提出了两种参 数模型降阶方法，一种方法是启发式的方法，目前还没有被理论证明，但是数值 例子的模拟结果表明这种降阶方法至少对于处理带一个参数的系统是非常有效 的。另外一种方法是基于对参数系统的传递函数进行多级数展开的方法。数值模 拟的结果非常精确。另外，近几年也有一些类似的方法相继提出g u n u p u d i2 0 0 0 ， d a n i e l2 0 0 4 1 ，它们都是针对电路领域的一些参数系统提出的，这些参数系统中 参数的改变范围较本章给出的热学参数系统的参数改变范围小。我们将在本章的 最后对这些不同的方法进行比较。 本章提出的参数系统模型降阶的应用背景是，热学现象在许多微机电器件中 一直都扮演着很重要的角色，例如m i c r o h o t p l a t e 传感器，m i c r o f l u i d i c s ， e l e c t r o - t h e r m a lm i c r o m o t o r s d ev o e2 0 0 2 】等。因此电热模拟是现代工程设计中 的重要组成部分。通常需要用有限元的方法来对一个热学模型进行精确描述，由 此得到的是一个大规模的常微分方程组。如前所述，传统的直接模拟的方法将会 非常耗时，对设计和系统级模拟造成了很大的困难。最近，在电热学的模拟领域， 紧凑的模型( c o m p a c tt h e r m a lm o d e l ) 的建立已经成为焦点问题l a s a n c e2 0 0 3 ： s a b r y 2 0 0 3 。在实际应用中，对紧凑模型的一个重要的要求就是它必须是独立于 边界条件的。这意味着工程设计者可以用同一个紧凑模型改变器件的环境 ( d e v i c ee n v i r o n m e n t ) ，从而得到不同环境下的设计结果。而且，不论器件环境如 何改变，这个紧凑模型与原来的模型之间的误差都能保持在可接受的范围内。 模型降阶的方法( 参阅从工程角度论述的一篇综述性论文f r u d n y i2 0 0 2 1 ) 在大型工程系统的快速模拟领域得到了迅速的发展。通过模型降阶，我们可以得 8 到原系统的一个紧凑模型( 降阶模型) 。但是，传统的降阶方法不是边界条件 独立的方法，即不能独立于系统参数。为此在本章中我们提出参数模型降阶的方 法，从而达到了在电热学模拟中建立边界条件独立的紧凑模型的目的。 在第四章，我们把参数模型降阶的思想应用到对电化学领域的一个时变系统 的降阶。在第二章中，如果对化学反应进行更为精确和合理的描述，建立起来的 电化学模型实际上是一个时变系统，即系统的矩阵随时间的改变而改变。通过对 系统矩阵的结构进行分析，我们把与时间有关的标量函数从系统矩阵中分离出 来，从而可以把这些与时间有关的标量函数看做参数，最后原来的时变系统就等 价地化为一个带参数的系统。因此我们可以利用已有的参数模型降阶的方法对这 个参数系统进行降阶得到一个参数降阶模型。我们从这个参数降阶模型中得到了 对所谓的电化学领域熟知的循环电压电流图( c y c l i cv o l t a m m o g r a m ) 的精确模 拟。而如果用传统的对时变系统的降阶方法对这样的时变系统降阶是很难得到结 果的，一方面，传统的时变系统的模型降阶方法是针对电路领域的时变系统提出 的，这些方法与电路的特性紧密相关，而能否应用到电化学领域的时变系统的模 型降阶还是未知；另一方面，这些方法本身比较复杂。本章的工作表明，如果我 们能够利用系统的特性，那么一些用传统的方法似乎难以解决的问题可以从另外 完全不同的途径比较容易地得到解决。 我们在第五章详细阐述了关于非线性系统的模型降阶方法。我们首先综合回 顾比较了一些主要的非线性模型降阶方法，通过理论分析和数值模拟指出它们的 优缺点。然后给出我们提出的两种非线性模型降阶方法，分析证明这两种方法比 原有的方法更加精确。在现有的研究中，模型降阶的方法只局限于解决中等规模 的非线性系统( n = 1 0 0 0 左右) 。我们把非线性模型降阶的方法应用到一个很大规 模的非线性系统的模型降阶中( n = 1 0 6 左右1 ，这个非线性系统来自对一个半导体 器件的建模。数值模拟的结果显示，非线性模型降阶的方法对于求解弱非线性的 大规模系统是很有效的。 现有的非线性模型降阶的方法是最近在线性系统的模型降阶方法的基础上 发展起来的。在这些方法中以基于k x y t o v 子空间的方法在电路模拟领域最为流 行。基于k r y l o v 子空间的方法又可分为以下几类，第一类方法是多项式近似的 模型降阶方法 r e w i e n s k i2 0 0 1 ，c h e n1 9 9 9 ，p h i l l i p s2 0 0 0 a 。这些方法的基本思想 9 是把原来的系统的非线性项用一个较为简单的多项式函数来近似，通常是通过 t a y l o r 展开得到的。然后利用多项式函数的线性部分或者结合非线性部分来构 造一个投影矩阵，最后把原来系统投影到这个投影矩阵所在的子空间中，从而得 到降阶的非线性模型。例如，分段线性的降阶方法 r e w i e n s k i2 0 0 1 是把原来 的非线性系统用一些分段的线性系统来近似，然后用已有的线性系统的降阶方 法分别对这些线性系统进行降阶。但是这个方法要事先选取一个输入信号，而且 要先给定一些时间采样点，得到原系统的状态变量的一个近似轨迹。如果这个轨 迹计算得不够精确，就很难得到精确的降阶模型。二次降阶方法 c h e n1 9 9 9 】是 把原系统的非线性函数用其t a y l o r 展开式中的前三项来近似，即用一个二次多 项式近似原来的非线性函数得到一个二次的非线性系统。但是，投影矩阵的构造 只利用了非线性函数的线性部分的信息。在 p h i l l i p s2 0 0 0 a 中提出的双线性化 的方法是根据原系统非线性项关于状态变量的k r o n e c k e r 乘积形式的t a y l o r 展开 式得到一个近似的双线性系统，然后对这个双线性系统进行降阶。降阶的过程是 基于控制论中关于双线性系统的v o l t e r r a 级数理论进行的 r u g h1 9 8 1 ，从这个 理论出发得到的降阶模型能够保证降阶模型的一部分多重矩( m u l t i m o m e n t s ) 与原双线性系统相应的多重矩是匹配的。这个方法的投影矩阵是由双线性系统的 多重矩构成的，而多重矩包含了原非线性系统的一部分非线性信息。因此，这个 方法在得到双线性系统和对双线性系统进行降阶的两个过程中都利用了系统的 非线性信息。但是它的缺点是，双线性系统的规模是原非线性系统的规模的倍数， 这样就对降阶造成困难，使得该方法只能局限于中等规模的系统的降阶。 第二类方法是根据控制论中的变分分析( v a r i a t i o n a la n a l y s i s ) 的理论 r u g h1 9 8 1 】进行降阶的方法 p h i l l i p s2 0 0 0 b ，r o y c h o w d h u r y1 9 9 9 。这类方法首 先把原非线性系统根据变分分析等价地化为几个相关联的线性系统。然后对每一 个线性系统分别进行降阶，最后原非线性系统的输出由这些线眭系统的输出线性 组合后得到。这类方法简单易操作，只需利用线性系统的模型降阶方法就可以对 原非线性系统进行降阶。但是这个方法对于求解非线性较强的系统精度很差。 导致精度不够的原因是由于原非线性系统得到的关联线性系统的输入呈指数增 长，而且由于对前面线性系统的降阶导致进入第二个以后的线性系统的输入成为 近似的输入。我们在分析了该方法的问题的基础上提出了两种改进的方法，即双 l o 边投影的方法和直接投影的方法。双边投影的方法减缓了输入的指数增长速度， 提高了降阶的精度。而直接投影的方法避免了指数增长的输入和不精确的输入， 进一步提高了降阶的精度。最后我们把非线性模型降阶方法应用到一个很大规模 的非线性系统的降阶中，实验结果证明基于l ( r y l o v 子空间的非线性模型降阶方 法能够有效地对处理大规模的弱非线性系统的降阶问题。 a b s t r a c t i nt h i sw o r k ，w ed i s c u s s e ds e v e r a ld i f f e r e n tm o d e lr e d u c t i o nm e t h o d s ，w h i c ha i ma t p r o b l e m sf r o md i f f e r e n te n g i n e e r i n gb a c k g r o u n d s w ep r o p o s eat i m ed o m a i nm o d e lr e d u c t i o nm e t h o df o rl i n e a rt i m ei n v a r i a n ts y s t e m s i nc i r c u i t s s u c ha si n t e r c o n n e c t ，c l o c kt r e en e t w o r k w ec a l lt h i sm e t h o dt h ew a v e l e t m o d e lr e d u c t i o nm e t h o d b e c a u s ei ti sb a s e do nw a v e l e tf u n c t i o n st oc o n s t r u c tt h e p r o j e c t i o nm a t r i xt og e tt h er e d u c e dm o d e l i ti se x p e c t e dt h a tt h i sm e t h o dc a l la l s ob e u s e dt os o l v el i n e a rm o d e l sf r o mo t h e re n g i n e e r i n gb a c k g r o u n d sp r o v i d e dt h el i n e a r m o d e l sh a v et h es a m es t r u c t u r e w em a k eu s eo ft h es p a r s e n e s so ft h es t a t em a t r i c e s t og e taf a s ta l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h es y l v e s t e re q u a t i o n ，w h i c hi sak e ys t e pi no u r p r o p o s e dw a v e l e tm o d e lr e d u c t i o nm e t h o d s i m u l a t i o nr e s u r ss h o wt h a tw a v e l e t m o d e lr e d u c t i o nm e t h o di sm u c hm o r ee 衔c i e n tt h a nt h ec h e b y s h e vm o d e lr e d u c t i o n m e t h o d w a n g2 0 0 2 1e s p e c i a l l yw h e nd e a l i n gw i t hs o m e f a s tc h a n g i n gc i r c u i t s w ea p p l yt h ek r y l o vp r o j e c t i o nm o d e lr e d u c t i o nm e t h o d st os o l v eal a r g e s c a l el i n e a r m o d e ia r i s e sf r o ms c a n n i n ge l e c t r o c h e m i c a lm i c r o s c o p y t ot h eb e s to fo u r k n o w l e d g ei ti st h ef i r s tt i m et h a tm o d e ir e d u c t i o nt e c h n i q u ei s i n t r o d u c e di n t ot h i s 6 e l d t h ec o n v e n t i o n a lm o d e lr e d u c t i o nm e t h o dc a n n o tb ei m m e d i a t e l ya p p l i e dt ot h i s m o d e ib e c a u s et h ei n i t i a lc o n d i t i o no ft h i sk i n do fs y s t e mi su s u a l l yn o n z e r o w h e r e a s t h ec o n v e n t i o n a lm o d e lr e d u c t i o nm e t h o d sa l w a y sa s s u m et h a tt h ei n i t i a l c o n d i t i o ni sz e r o w ep r o p o s eat r a n s f o r m a t i o nt e c h n i q u es ot h a tt h eo r i g i n a ls y s t e mi s r e p l a c e db yan e ws y s t e mw i t hz e r oi n i t i a lc o n d i t i o n ，a n dt h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a l s y s t e mc a nb eo b t a i n e dt h r o u g ht h es o l u t i o no ft h i sn e ws 5 7 s t e m w i t ht h i sn e wz e r o i n i t i a lc o n d i t i n ns y s t e m t h ec o n v e n t i n n a lm o d e lr e d u c t i n nm e t h o d sc a l lb ea p p l i e d s t r a i g h tf o r w a r da n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wav e r yg o o da c c u r a c yo ft h er e d u c e d m o d e l f o ras y s t e mw i t hp a r a m e t e r s ，o n eh o p e st ok n o ws e v e r a ld i f f e r e n ts i m u l a t i o nr e s u l t s c o r r e s p o n d i n g t od i f i e r e n tv a l u e so fp a r a m e t e r s p a r a m e t e r i n d e p e n d e n tm o d e i r e d u c t i o nt r i e st oc o n s t r u c tar e d u c e dm o d e ls u c ht h a tt h es o l u t i o no ft h er e d u c e d m o d e li sa c c u r a t ef o ra 1 1d i f i e r e n tv a l u e so fp a r a m e t e r s t h er e d u c e dm o d e ic a r lt h e n b eu s e dt os u b s t i t u t et h eo r i g i n a ll a r g em o d e li ns i m u l a t i o ni no r d e rt os a v et h e s i m u l a t i o nt i m ea n dm e m o r y w ep r o p o s et w oa l g o r i t h m s ，o n ei sah e u r i s t i cm e t h o d ， 8 t h i sr c s e a r c h i ss u p p o r t e dp a r t l y b y n s f cr e s e a r c hp r o j e c t9 0 3 0 7 0 1 7 ，6 0 1 7 6 0 1 7 ，9 0 2 0 7 0 0 2o f c h i n a ，p a r t l yb y s y n o p s y sh c ，p a r t l yb yc r o s s - c e n t u r yo u t s t a n d i n gs c h o o l a r sf u n do f t h em i n i s t r yo f e d u c a t i o no f c h i n a ，p a r t l y b yn a t i o n a l8 6 3p l a np o j c o t s2 0 0 4 a a l z l 0 5 0o fc h i n a , s c i e n c e t e c h n o l o g yk e yp r o j o c to ft h em i n i s t r yo f e d u c a t i o no f c h i n a0 2 0 9 5 ，p a r t l yb yn s fg r a n t sc c r - 0 0 9 8 2 7 5a n dc c r - 0 3 0 6 2 9 8o f c h i n aa n dp a r t l yb yaf u n d o f t h ea l f i i e dk r u p py o nb o h l e na n dh a t b a c h - s t i f t u n go f g e r m a n y j 2 i tw o r k sq u i t ew e l lw h e nt h es y s t e mh a v eo n l yo n ep a r a m e t e r t h eo t h e ra l g o r i t h mi s b a s e do nm u l t i s e r i e se x p a n s i o no ft h ep a r a m e t r i ct r a n s f e rf u n c t i o n ；t h i sm e t h o dh a sa s t r o n g t h e o r e t i c a lb a c k g r o u n d t h es i m u l a t i o nr e s u l t sa r ea l s o a c c e p t a b l e i n e n g i n e e r i n ga p p h c a t i o n s t h ei d e ao fp a r a m e t r i cm o d e lr e d u c t i o ni su s e dt od e r i v eaf a s ts i m u l a t i o no ft h e c y c l i cv o i t a m m o g r a m i n s c a n n i n g e l e c t r o c h e m i c a lm i c r o s c o p y w et a k ea n a d v a n t a g eo f t h es t r u c t u r e so f t h es y s t e mm a t r i c e si nt h em o d e ls ot h a tt h es y s t e mc a n b et r e a t e da sas y s t e mw i t hp a r a m e t e r s t h es i m u l a t i o nr e s u l t so ft h er e d u c e dm o d e l c a t c ht h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a ll a r g em o d e lv e r yw e l l t h i sw o r ks h o w st h a ti f p r o p e rs t r u c t