（理论物理专业论文）双模叠加光场的纠缠性质及其纠缠转移.pdf

中文摘要 纠缠和量子态的叠加是量子力学的两个基本性质，是量子信息的重要资源。 非经典光场s u ( 1 ，1 ) 相干态具有较好的模问纠缠性质，可以作为量子通信的信息 载体。现在，人们把目光更多的集中在由多个不同的宏观态所构成的叠加态一 薛定谔猫态( s c a t 态) 。论文利用熵的约化密度矩阵讨论了由若干个s u ( 1 ，1 ) 相干 态所构成的叠加态的纠缠性质，并定义了叠加系数x i ，其中i 为自然数。经过分 析发现，当叠加系数之和等于1 ，且任意两个叠加部分的相位差为0 或7 c 时，光 场的熵值呈现单调变化。而在其他情况下，熵值可以获得极值。如果各叠加部分 的相位差逐渐远离兀值，那么叠加光场熵值的极值将慢慢消失。当双模光场与两 个独立的原子发生作用时，模间纠缠可以传递到两个原子之间。对叠加态光场与 两对分离原子相互作用时的纠缠转移的研究是非常实际的。研究发现，当双模叠 加光场的熵取极值时，两个原子之间几乎可达到最大纠缠，而以往研究的单一的 s u ( 1 ，1 ) 相干态没有这种效果。 关键词：s u ( 1 ，1 ) 相干态薛定谔猫态叠加态纠缠转移 a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n ta n ds u p e r p o s i t i o n so fq u a n t u ms t a t e sa r et w ow e l lk n o w n f u n d a m e n t a lq u a n t i t i e si nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h ek e yr e s o u r c e so fq u a n t u m i n f o r m a t i o n t h en o n c l a s s i c a ll i g h tf i e l di nt w o m o d es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t eh a st h e p r e d o m i n a n tp r o p e r t yi n t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w om o d e s ，s ot h e o r e t i c a l l y s p e a k i n gi tc a na c ta si n f o r m a t i o nc a r r i e ri nq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n as t a t ew h i c hi s as u p e r p o s i t i o no ft w oo rm o r em a c r o s c o p i c a l l yd i s t i n g u i s h a b l es t a t e si sr e f e r r e dt oa s s c h r o d i n g e r - c a ts t a t e ( s c a ts t a t e ) n o w ，m u c ha t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h es t u d yo f s c h r s d i n g e rc a ts t a t e s b ya d o p t i n gt h ee n t r o p yo fr e d u c e dd e n s i t ym a t r i x , w ef i r s t s t u d yt h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e so fs e v e r a ls u p e r p o s e ds u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e s a c c o r d i n gt o t h e a n a l y s i s ，i t i sf o u n dt h a tt h ee n t r o p yo ft h ef i e l d c h a n g e s m o n o t o n o u s l y ，w h e nt h es u mo ft h ea b s o 1 u t es u p e r p o s i t i o nc o e f f i c i e n t si so n ea n dt h e p h a s ed i f f e r e n c e sb e t w e e na n yt w oc o e f f i c i e n t sa r ez e r oo r 兀i no t h e rc a s e s t h e e n t r o p yc a nh a v ee x t r e m ev a l u e f u r t h e r m o r e ，t h ee x t r e m ev a l u eo f t h ee n t r o p yo ft h e f i e l dw i l le v a n e s c e ，w h i l et h ep h a s ed i f f e r e n c e sa r eg r a d u a l l ya w a yf r o m7 c i fe a c h m o d eo ft h ef i e l d si n t e r a c t si n d e p e n d e n t l yw i t ho n ea t o m ，t h ee n t a n g l e m e n to ft h e s u p e r p o s e df i e l d sc a nb et r a n s f e r r e dt ot w oi n i t i a l l ys e p a r a b l ea t o m s w h e nt h e e n t r o p yo ft h es u p e r p o s e df i e l dt a k ei t se x t r e m ev a l u e ，t h et w oa t o m sc a nb ea l m o s t m a x i m a l l ye n t a n g l e d ，w h i l et h ef o r m e r l yu s e ds i n g l es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t eh a sn o s u c he 仔- e c t k e yw o r d s ：s u ( i ，1 ) c o h e r e n ts t a t e ；s c h r i c s d i n g e r - c a ts t a t e ；s u p e r p o s i t i o n ；e n t a n g l e m e n t t r a n s f e r ； 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特另v d i ：i 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含刀, , - 狄- i - i - 何f i ：l 苤盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者虢獬榔 签字慨 叼年f 月2 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解：墨鲞盘鲎 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：j 管馐省审 签字日期：加9 年月0 同 导师签名： 一期：呷年多月力同 日罱 月i j罱 量子光学是近代物理的重要分支。其理论应追溯到p l a n c k e i n s t e i n 时代，但 直到1 9 6 0 年激光器问世之前，在光学研究上并没有更多的新现象，新概念出现。 然而六十年代初，激光器的发明完全改变了这个局面，迎来了量子光学蓬勃发展 的新时代。今天，量子光学的研究已经密切关系到量子力学本身许多基本问题， 所以它的进展就更加引入注目了。 在过去四十年里，量子光学研究的重大进展之一就是构造出许多非经典态， 如：光子数态，对相干态，s u ( 1 ，1 ) 相干态，奇、偶相干态，s - c a t 态，压缩态， 相位态，中间态等等。这些态都有许多非经典性质，正是由于激光器的出现使得 很多的状态已经在实验上制备了出来，但总的仍然偏向于理论探讨。在这些状态 中，s c h r t i d i n g e r 猫态的产生是来自于e r w i ns c h r i c s d i n g e r 在上个世纪三十年代发 表的一篇名为( ( p r e s e n ts i t u a t i o ni nq u a n t u mm e c h a n i c s ) ) 的论文中所提出的一个 假想试验s c h r 甜i n g e r “杀猫”试验。文章将微观世界中叠加波函数的几率诠 释应用于宏观世界，得出了非常荒谬的结论。如今，将s - c a t 态定义为：宏观可 区分的两个或多个量子态相干叠加后所产生的态。而相干态是最接近于经典电磁 场的量子态，所以，由两个或多个相干态的相干叠加必然构成s - c a t 态，也就是 说s - c a t 态的概念是将量子力学中的态叠加原理推广到了相干态领域。s c a t 光场 是一个非经典光场，表现出在经典理论范围内不可能出现的量子行为。但如果在 经典极限下将对应于单色波，同时具有经典和量子两种特性，于是不断引起人们 的重视。 论文中我们将对由若干个s u ( 1 ，1 ) 相干态叠加而成的s - c a t 态进行讨论，主要 运用熵的约化密度矩阵来研究其在不同叠加系数和不同相位关系时的模间纠缠 性质，并采用部分转置密度算符求负本征值的方法来计算与s - c a t 光场相互作用 后的两原子间的纠缠程度，研究叠加态的纠缠转移性质。 第一章绪论 第一章绪论 目前的研究表明，根据光的产生可以分为三类：一是混沌光( 热光场) ，是 由原子自发辐射过程所产生的光子构成，其光场的噪声最大；二是相干光，即激 光，是以粒子数反转为条件而产生，具有较低的总噪声：三是由非线性效应产生 的非经典光。量子光学近几十年的主要成就是构造出了很多种非经典光场，而这 些光场所具有的非经典性质也在现实生活中得到了及其广泛的应用。 1 1 辐射场的量子化 根据m a x w e l l 方程组， 旦云：c z v 否 旦否：一v 云 夙 西 v 否：0v j e ：0 我们可以得到电磁矢势j 满足的波动方程： v 2 j 一吉嘉一a = 。c o t 与矢势彳共轭的广义动量n 定义为 豇岛昙_ - 一氏云( 1 - 2 ) 若假定电磁场限定于边长为l 的立方腔体内，腔体的体积矿= f ，而且在该 立方体的腔壁上满足周期性边界条件，那么波动方程( 1 1 ) 式的解可利用傅里叶级 数张开成： 4 ( 乃) = 专萋而，气( f ) e x p ( 蟊) + 瓦4 ，) e x p ( 一厉瑚 ( 1 - 3 ) 这里，a k ( t ) ，a k + ( r ) 是傅里叶展开系数，它们表征电磁波的振幅。_ j 为波矢量， 它反映电磁波传播的方向。则， n ( 乃) = 哦专丢q 匠， 亿) e x p ( 一露乃一瓦4 ，( f ) e x p ( 痞动 ( 1 4 ) 2 第一章绪论 这样我们就把腔体矿中的电磁场分解为一组无限多个分离的平面波模式，每一个 模式由波矢量无和极化矢量苫，( = l ，2 ) 表征。= 1 ，2 。 由于光波是电磁波，所以从( 1 3 ) 矛u 0 - 4 ) 式出发，对电磁场进行量子化，也就 实现了辐射场的量子化。将描述电磁场的经典物理量4 ，( f ) 和兀l ( f ) 用算符4 ，( f ) 和r i 。( f ) 来取代，即将电磁场的矢势彳( ；，f ) 和广义动量n ( ；，f ) 用算符a ( r ，f ) 和 n ( r ，f ) 来取代，并且令它们满足对易关系： 【4 ( ；，f ) ，兀( ，f ) 】= i h( 1 5 ) 更为有用的是引入两个新的算符口 ，( f )a k j * ( f ) 来取代算符4 ，( f ) 和n b ( f ) ，它们 可定义为 4 ，( f ) = ( j 2 占o l c o , ) 、1 ( f ) ( 1 - 6 ) n “归彳“垆f ( 单) ( 1 - 7 ) 由式( 1 - 5 ) 0 6 ) 和( 1 7 ) 得知： 口a k 。，- 】- 吒 ( 1 - 8 ) 小a k ，】= 【日女，口j i ，】- 0 ( 1 - 9 ) 以上的几组对易关系是典型的波色子对易关系，这就是说，我们已经证明了 电磁场等价于一组波色子，或者说，电磁场由一组分离谐振子构成，它由一组波 色子算符a k ，口 ，描述。 并且可以证明三。，一三，作用于能量本征态将湮没某一个模式的光子；而 乱一口。，作用于能量本征态将产生某一个模式的光子。从而我们已实现了辐射 场的量子化，并采用光子的产生湮没算符来描述光场1 。于是，经典光场过渡到 了非经典的光场。 1 2 非经典光场的性质 为了更好地了解非经典光场，我们先来介绍一些非经典光场的性质。 3 第一章绪论 1 2 1 压缩性 根据上一节的分析我们可以知道，在量子力学中，电磁辐射场的每个模式对 应于一个谐振子，所以单模光场所对应的电场可用下面标量算符表示， e ( r ，t ) = 壳国2 6 0 v a e x p i ( k ，一c o t ) + | i l 】)( 1 - l o ) 这里a 和a + 分别是谐振子的湮灭和产生算符，满足大家所熟知的玻色子对易关系 【口，a + 】_ 1 。v 是边长为三的立方体光场场腔的体积，v = 1 2 。h c 代表厄密共轭。 无是波矢，它的方向为波的传播方向。电场偏振( 极化) 方向垂直于波矢j ，磁场 垂直于电场和波矢；电场、磁场和波矢三者构成右手螺旋关系。 由于物理上的需要，常将电场算符( 1 - 1 0 ) 分成正、负频率两部分， e ( r ，f ) = e ( r ，f ) + 十e ( ，f ) 一( 1 11 ) 其中，正频部分( ，f ) + = 历万甄而e x p 【f ( 石；一c o t ) ，而负频部分e ( ，f ) 一则是 它的厄密共轭。 下面定义两个算符，分别与谐振子的位移q 和动量p 相对应， 五= ( a + 口+ ) 2 ，置= ( a - a + ) 2 i ( 1 - 1 2 ) 那么，在厂= 0 处的单模电场为， e ( t ) = e o ( x lc o s c o t + 五s i n6 0 t )( 1 - 1 3 ) 其中e o = 4 h 政, 2 氏矿。这意味着在相空间中电场有两个相互垂直的振动组成，它 们的振幅分别正比于五和五。 因为 墨，x 2 】= i 2 ，故按量子力学基本原量，对于任意态有 麟l 峨l 4( 1 - 1 4 ) 如果等号成立。则称这个态为最小测不准态。而如果能找到一个态使战 1 2 ( 或蝇 1 时，则光子数的分 布比泊松分布要宽，称它为超泊松分布；而当f ( ( ，( ，f ) ) ) 2 ，立即可得 扩，= 勰 m 再借助s c h w a r z 不等式| ( ，( 厂，f ) j ( ，f + r ) ) 1 2 ( ，2 ( ，f ) ) ( ，2 ( r ，f + f ) ) ，对于稳定光 场而言，可以证明， g 2 ( f ) g 2 ( 0 )( 1 1 8 ) 对于量子力学，首先要问不等式( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) 是否成立? 为了回答这个问题， 让我们先看个例子。 假定h b t 实验中只有一个光子，当这个光子到达镜子m 后，按量子力学基 本假设，它或者被反射或者被透射，两者必居其一，不会有半个反射半个透射的 情况，所以必有g 2 ( o ) = 0 ，亦即不等式( 1 1 7 ) 被破坏，这完全是一种量子力学效 应。所以在量子力学中，对某些光场所对应的态，不等式( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) 有可能被 破坏，对于这类态，通常称为非类经典态；否则，称为类经典态。 另外，在量子力学中g 但( f ) 的定义也要改变，对稳定的单模光场可简化为， 烈加熊掣掣掣( 1 - 1 9 ) ( a + ( f ) 口( f ) ) 这里( ) = t r ( p ) 也与经典不同，是对量子态的平均。由此可见，g 但( f ) 是度 量时间t 和t + r 之间光子的关联。当光场状态满足不等式( 卜1 8 ) 时，且f g 2 ( o )( 1 2 0 ) 则称其是反聚束的，例如共振荧光。又因 g ( 2 ) ( f 问+ 赫 ( 1 2 ) 所以g 佗( 0 ) 大于、等于或小于1 是与f 的取值一一对应的。若 6 第一章绪论 g 2 ( 0 ) 1( 1 2 2 ) 则，光场的光子数分布呈亚泊松分布，而满足( 1 - 1 7 ) 的则呈超泊松或泊松分布。 总体而言，一个光场如果它具有压缩性、亚泊松分布和反聚束效应等等，则 称它为非类经典光场；否则，称类经典光场。一般来说，一个非类经典光场是不 会同时具有全部这些性质的。 1 3 双模真空压缩态 上面我们已经介绍了压缩性，可见，在压缩态中，光场的某一正交分量的量 子涨落可以小于相干态中相应分量的量子涨落，而这种减小是以光场的另一正交 分量的量子涨落大于相干态中的相应分量的量子涨落为代价的。 压缩相干态可以利用压缩算符作用在相干态上得到，通过改变压缩参量，可 使得光场的某一正交分量的量子涨落小于相干态光场的相应分量涨落。引入单模 压缩算符 s ( 占) = e x p ( 占一a 2 一s a + 2 2 ) ( 1 2 3 ) 式中占= s e 咿，s 为压缩参数，0 为压缩角。压缩算符满足， s + ( s ) = s - i ( s ) = s ( - e ) ( 1 - 2 4 ) 可见压缩算符为幺正算符。它有以下变换性质 s + ( c ) a s ( e ) = a c o s h s 一口+ e 招s i n h j( 1 2 5 ) s + ( 占) 口+ s ( 占) = a + e o s hs a + e 徊s i n hs( 1 - 2 6 ) 若d ( a ) 为相干态的位移算符，即 d ) l o ) = i 口) ，d ( a ) = e x p ( a a + - - 6 t + 口) ( 1 2 7 ) 式中1 0 ) 为真空场，i 口) 为相干态，可见位移算符作用在真空场上可得到相干态光 场。压缩算符作用在相干态上生成单模光场的压缩相干态，即 1 6 t , s ) = s ( s ) i 口) = s ( 占) d ( 口) l o ) ( 1 - 2 8 ) 压缩相干态是一种理想的压缩态。 如果压缩算符作用在真空场上，可得到单模压缩真空态： l f = 砉志( - e i 9t a n 胞hs 。) ( 2 n ! ) ji p ) ( 1 - 2 9 ) 第一章绪论 如果压缩场中有两个或多个频率存在，则为多模压缩态。 双模压缩态对应两频率为皱和，定义为 l ，s ) = 见d 6 s ( 占) i o ) ( 1 3 0 ) 其中压缩算符为s ( 占) = e x p ( s a 。a 6 - s a a + a b + ) 在双模情况下，正交算符： 五= 丽1 ( 口。+ 口。+ + 口6 + 口6 + )五= 丽1 ( 口。一口。4 - + 一对) ( 1 3 1 ) 双模压缩真空场是双模压缩算符作用在真空场上形成的 1 0 ，o ，s ) 叫小o ) 2 志委( t a n h s 小刀) ( 1 3 2 ) 通过调节压缩参量占，可以使双模压缩真空场的某一正交分量小于最小真空 涨落。 1 4s u ( 1 ，1 ) 相干态 尽管相干态最初是在谐振子系统中提出的，但是现在，相干态的应用已经延 伸到了整个物理领域。例如，i 扫s u ( 1 ，1 ) ，s 0 ( 2 ，1 ) * h s u ( 2 ) 来描述的李群，甚至一 些非线性代数。而我们知道李代数是研究动力学系统量子特性的最有效的方法。 因此，在讨论物理系统，尤其是包括相干和压缩态的非经典的量子光学系统时， 通常都会采用s u ( 1 ，1 ) 李代数进行研究，由此得到的相干态称y 寸s u ( 1 ，1 ) 相干态【5 2 l 】 o 对于双模数态光场i n ，n 2 ) ，首先分别引入光场各模的产生( 湮灭) 算符 q + ，口2 + ，a 1 ，a 2 ，然后构造算符： k o = ( 口1 + 口1 + a 2 + a 2 + 1 ) 2 ，墨= a l + a 2 + ，k = a t a 2 ( 1 - 3 3 ) 可以看出，它们满足对易关系： 【，k 】= 墨，【k ，e 】= - 2 k o ( 1 3 4 ) 这是s u ( 1 ，1 ) 李代数要求，是s u 0 ，1 ) 群的生成元。将这些算符作用于双模数态光 场l ，z l ，雄：) = h ) 圆l ，z ：) ，可以得到： k o n ，嘞) ，= ( n 。+ v 2 + 1 ) 2 1 n ，n ：) ， ( 1 3 5 ) r 第一章绪论 k + i n 。，以：) ，= 【( + 1 ) ( 也+ 1 ) 】l 2 i n 。，z ：) ，( 1 - 3 6 ) k _ l n 。，n ：) ，= ( ，l 。刀：) 1 胆i n l , 刀：) ，( 1 - 3 7 ) 墨疋i ，1 1 ，刀：) = n i 咒：i n 。，拧：) ( 1 - 3 8 ) s u ( 1 ，1 ) 群的生成元丘，艇可以构造出群元双模压缩算符： s ( 口) = e x p ( a a l 口2 - t l a l + a 2 + ) = e x p ( a k _ 一口墨) ( 1 - 3 9 ) 其中a = - ! o e x p ( - i o ) ，秒和的变化范围分别是o 秒 o o ，o 2 刀该算府 作用于数态l g ，o ) ，： 叫砒。) _ ( 1 一脚m 州2 薹 掣】l ，2 f ”n , n + q ) ( 1 - 4 。) 此处孝= 一t a n h ( o 2 ) e x p ( 一冲) ，这就是s u ( 1 ，1 ) 相干态的数学表达式1 。其中 模间光子数差g 以及压缩参量f 均可以通过实验人为控制。由其他作者的研究结 果表示：s u o ，1 ) 这种关联双模态有许多非经典性质，例如，反聚束效应，关联光 子数涨落，压缩性以及对c a u c h y - s c h w a r z 不等式的违背等等。 当g = o 时，做代换孝= t 柚h j ，则1 一i f l 2 = 1 c o s h 2 ( s ) ，容易看出此时的s u ( 1 ，1 ) 相干态就足双模压缩真空态。 1 5 薛定谔猫态 量子光学中的薛定谔猫态( s c h r 6 d i n g e r sc a ts t a t e ，简称：s - c a t 态) 实际是与 量子力学中的叠加原理相对应。1 9 3 5 年，e r w i ns c h r 3 d i n g e r 在其文章中提出了一 个理想实验：有一只小猫被关在笼子里，笼内放置有一只毒药瓶，瓶的开关由一 个放射性原子装置控制。此原子处于激发能态( 记为1 个) ) 时，瓶子是关闭的， i， 猫未受到毒药损害，是活的。当原子跃迁到基态( 记为lj ，) ) 后，伴随有光子的 l， 辐射，它将启动瓶的开关装置，毒药释放出来，猫就被毒死。s c h r 6 d i n g e r 用下列 波函数来描述( 猫+ 原子) 这个复合体系 5 f ，) = 口l 活猫) 1 个) + i 死猫) lj ，) 阱+ l 岁1 2 = 1 9 ( 1 - 4 1 ) ( 1 - 4 2 ) 第一章绪论 按波函数的统计诠释，h 2 表示原子处于激发态而猫是活的概率，l 1 2 表示原 子处于基态而猫是死的概率。换言之，猫是处于不死不活的状态，也就是“死” 与“活”两种状态的叠加。当然，在宏观世界中，这样的情况是不可能存在的， 但是在微观世界，量子条件下是可以进行叠加的。所以人们将量子力学中所涉及 的叠加态形象地称为薛定谔猫态。 由s c a t 态定义我们可以知道：构成叠加态的量子态在宏观上是可以区分的 阴 。 其一，这种区分可表现在光场位相的区别上。如，两个位相差为万的相干态： l 口) 和i 一口) 的相干叠加就是典型的位相s - c a t 态： 愀：i 1e x p 毕( 砌阱) 圳：( 1 口) + 卜) ) ( 1 - 4 3 ) 这实际上就是一种偶相干态( e c s ) ，相干态i 口) 是最接近于经典极限的量子 光场，在极限条件下，它对应了经典单色波。相干波与经典波的区别主要表现在 光场各种物理量的量子起伏上。 其二，这种区分还可表现在光场振幅的区别上。如： i 沙) = ( i 口) + 1 0 ) ) ( 1 - 4 4 ) v 这就是典型的振幅s c a t 态其中是归一化常数。相干态i 口) 与真空i o ) 都 具有光场振幅上的区别。 s - c a t 态的产生方法有多种。如，非线性过程，量子无破坏性测量过程，反作 用逃逸过程以及在光场一原子相互作用过程中都可以产生：也可以在量子开关和 利用几何位相上进行制备。然而，从理论上说可分为两大类： ( _ ) 选择适当的哈密顿量，经过幺正变换使光场直接演化成叠加态。y u r k e 和s t o l e r 等人利用非线性过程，b u z e k 等利用在不同条件下原子与场的自动消纠缠 分别产生单模、双模的s c a t 态。 利用“纠缠一测量”的办法，即，先使原子和光场在相互作用中演化成 纠缠态( e n t a n g l e ds t a t e ) ，然后对子系统进行量子测量，可以使光场坍缩到特定的 非经典态上。 实验上往往采用激光制冷，冷光子捕获和超导量子干涉仪来实现s - c a t 态的 制备【8 1 。l9 9 6 年美国c o r o l a d on i s t ( n a t i o n a li n s i t i t u t eo fs t a n d a r d sa n dt e c h n o l o g y ) 1 0 第一章绪论 的c m o n r o e 等人成功地实现了介观尺度上s c h r o d i n g e r 猫态的制备 1 3 】；另外， 科学界还得到了6 个原子的s c a t 态。 由于组成s c a t 态的不同成分间存在量子干涉，导致叠加态有各种非经典效 应，如压缩性、高阶压缩性、亚泊松光子数统计和光子数分布振荡等。通过制备 s c a t 态可以对量子力学中诸多假进行实验检验，认识经典理论的局限性和量子效 应的真实性。 第一章量子纠缠以及度量和转移 第二章量子纠缠以及度量和转移 2 1 量子纠缠的提出 因为量子力学描述的物理实在具有无法消除的随机性，所以，从它诞生之日 起，围绕量子力学的争论就从未间断过。其主要表现为以爱因斯坦为代表的经典 物理学家和以玻尔为代表的哥本哈根学派之间的冲突自从1 9 2 7 年在第五届索尔 维会义上爆发了两位科学巨人的第一次论战开始，到爱因斯坦逝世的3 0 年间，爱 因斯坦不断地给量子力学挑毛病，其间最著名的是a l b e r te i n s t e i n ，b o r i sp o d o l s k y 和n a t h a nr o s e n ，1 9 3 5 在物理评论发表的一篇简短但很重要的文章( ( c a n q u a n t u m m e c h a n i c a ld e s c r i p t i o no fp h y s i c a lr e a l i t yb ec o n s i d e r e dc o m p l e t e ? ) ) 【2 1 ( 后来被称为e p r 佯谬) 。同年稍后，e r w i ns c h r t i d i n g e r 发表了一篇现在被称为“猫 佯谬”( c a tp a r a d o x ) 的著名文章。“纠缠”( e n t a n g l e m e n t ) 这个词汇首次出现在 s c h r s d i n g e r 这篇文章中。 e p r 佯谬一文中，e i n s t e i n 等人以二粒子体系的相对坐标x = ( 五一x 2 ) 和总动 量p = ( a + p 2 ) 的共同本征态为例，来说明正统的量子力学理论是不自洽的，在 正统量子力学基本原理和概念的诠释方面提出了激烈的批评。而二粒子体系 ( 工，p ) 的共同本征态实际上就是一个纠缠态f 9 】。 具有量子纠缠现象的子系统们，我们以两颗反向等速运动的电子为例，即使 一颗行至太阳边，一颗行至冥王星，如此遥远的距离下，它们仍保有特别的关联 性。亦即，当其中一颗被操作( 例如，量子测量) 而状态发生变化，另一颗也会 即刻发生相应的状态变化。这种现象导致了“鬼魅似的远距作用”的猜疑，仿佛两 颗电子拥有超光速的秘密通信一般，似与狭义相对论中所谓的局域性相违背。这 也是e p r 佯谬质疑量子力学完备性的缘由。 在e p r 佯谬中有两个基本观点： 定域性观点。就是说在研究粒子状态及运动时，一个相互作用的物理过 程，如果他的进行只和当地的时空变数( 至多包含无限小区域) 有关，就称他为 定域的物理过程。在物理学中，大部分都是定域的描述。 “物理实在”的观点。任一可观测的物理量，作为客观实在的要素，它 必定在客观上以确定的方式存在着。反映在一个完备的物理理论上就是，如果不 扰动一个系统，这个系统任何可观测的物理量在客观上应当具有确定的数值。 1 2 第二章量子纠缠以及度量和转移 由这两个主张得出，以类空间隔分开的两个系统，具有彼此相互独立的物理 实在性这就是e p r 佯谬的核心思想：定域实在论。按照他们的观点，量子力 学对于“物理实在”的描述是不完备的。应该存在可以对物理实在给出更完备描 述的理论，耳1 b o h m 提出的所谓“隐变量理论”将不能对测量做出精确预言的 事实归结为尚未完全认清的隐变量，一旦这些隐变量被确定，就可以精确给出任 何可观测的物理量。并可以认为正统量子力学的描述是不自洽的。 e p r 佯谬提出之后的3 0 年间，这场争论一直处于哲学思辨的层次上。直到 1 9 6 4 年j o h n b e l l i o 】得到了一个在量子力学中可以偏离，但在局域和完整的每一个 模型中所必须满足的不等式，i i 口b e l l 不等式，才大大改变了这种情形。b e l l 以由 两个自旋为1 2 的粒子所组成的总自旋为零的单态体系为对象，考虑到它们不在 同一方向上自旋分量的关联，导出一个可供实验检验的不等式。由于b e l l 不等式 完全基于爱因斯坦的定域性原理，那么，若实验结果证明b e l l 不等式是正确的， 则否定了量子力学的预测：相反地，若实验结果违背了b e l l 不等式，也就否定了 爱因斯坦的定域性原理。 a a s p e c t 等人【l l ，1 2 】在1 9 8 2 年所做的关于c a 4 0 原子实验中观察到了纠缠光，并 且在此一后来所有有关的实验都证明量子力学理论是正确的，而定域隐变量理论 所给出的不等式与实验观测结果明显不符，充分证明了量子体系中纠缠的存在。 量子纠缠是微观量子系统内各子系统或各自由度之间关联的反映。 2 2 量子纠缠的定义及度量 所谓量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间存在非定域、非经典的强关 联。量子纠缠涉及实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量子力学的基本问题， 并在量子计算和量子通信的研究中起着重要的作用。多体系的量子态的最普遍形 式是纠缠态，而能表示成直积形式的非纠缠态只是一种很特殊的量子态。 2 2 1 纠缠的定义 量子纠缠的定义视系统状态为纯态或混合态的情况有所不同。 ( _ ) 纯态：可以用单一波函数描述的态。对于两体纯态系统，它的波函数可 以表示成：i ) = 巳。i ) 一圆l 虬) 口，( 其中l ) 和i ) 占为正交归一矢) 。 研n 如果态矢可以写成两子系统态矢的直积形式i5 f ，) 舳= l y ) 一圆i ) 口，那么称这 个系统是直积态或可分离态，反之，则称其为纠缠态。例如，两粒子自旋波函数 1 3 第二章量子纠缠以及度量和转移 i i | f ，+ ) = 去( i o ) 41 1 ) s + 1 1 ) 一i o ) 雪) 与i 缈一) = 去( i o ) i o ) 口+ 1 1 ) 爿1 1 ) 口) 均为纠缠态，反之， v 二v 二 i 吵) = l o ) 一i o ) 口为直积态。 混合态：由若干个纯态( 如l y ) 船非相干混合而成。这些l ) 肿之间不存 在固定的相位关联，因此他们彼此之间不能相干叠加。 这样的态不能用波函数来描述，要描述它需要用到密度算符。例如，由a ，b 两体系组成的系统，用密度算符p 可以表示为：仍口- - y , p ，i y ) 仰船缈l 。其中， i ) 肚= c l ) 。i ) 口，b = l ，o 只 l 。两体系统的混合态可以分 成如下三类： 未关联态，例如：p a 矗= p a p b 。 ( 2 - 1 ) 可分离态，例如：n 口= b p 。圆p 占。 ( 2 2 ) 混态纠缠态，即不能写成可分离态形式的态。例如：a ，b 组成的双比特 系统： p 肚= p l y + ) ( y + i + ( 1 一p ) i 伊+ ) ( 缈+ l ( 2 - 3 ) p e r e s 曾经给出过一个关于给定量子态是否可分离的判据：两体双态系统密 度矩阵以占是可分离态的充要条件为：对其任一体做部分转置运算后所得矩阵 成占五或n b l 仍是个密度矩阵，即不出现负的本征值。如果出现负的本征值，则 为纠缠态。 对于两体双态系统以口，它的密度算符为： l = 。( o p a 占i o ) 。i o ) 。( o h ( 1 1 h1 1 ) 。( 1 l + 彳( 1 1 忱h 一( 0 1 + ( o | n 占hi o ) 爿一( 1 i ( 2 - 4 ) 对a 部分作部分转置后，结果为： = 。( o p a 占i o ) 一i o ) _ 一( 0 1 + ( 1 l 以口hh ( 1 i + ( 1 1 i o ) 。i o ) 一( 1 h ( 0 1p a 口hh 一( 0 l ( 2 5 ) 该判据的物理本质是对其中一体实施单独时间反演。对于2 2 ，2 3 情况( 即 1 4 第二章量子纠缠以及度量和转移 一体态空间维数是二，另一体态空间维数是三的情况) ，此判据是允分必要的。但 对其他情况，此判据只是可分离性的必要不充分条件。 2 2 2 纠缠的度量 为了描述纠缠态携带纠缠的量的大小，我们引入纠缠度的概念。作为纠缠 的定量描述，纠缠度应满足一下准则： 可分离态的纠缠度是零。 对任一组份粒子进行的任何局域幺正变换不应改变纠缠度。也就是说， 局域幺正变换等价的态应有相同的纠缠度。 在局域操作和经典通讯下，系统的平均纠缠不应增加： “熵”是信息论的重要的概念之一，它是一个物理系统状态不确定性的量度， 也是人们可以从该系统获得信息多少的量度。目前，采用熵来表示纠缠度，常用 的纠缠度有以下三种： 量子约化熵n 屯埔1 ，臣p v o nn e u m a n n 熵 设系统的密度算符为： p a 占= l y ) 艘肿( 少i ( 2 6 ) 对其中一体么( b ) 求迹之后可以得到另外一体的约化密度矩阵：几( n ) ， 以= t b ，= t r a p a b ( 2 - 7 ) 那么，定义s ( 成) 的为： s ( n ) = 一t r ( p al 0 9 2 办)( 2 - 8 ) 量子约化熵只能用来计算系统状态为纯态时两个子系统之间的纠缠度。假如 系统的态矢量i ) 口为纯态，每个粒子状态的约化熵彼此相等，即s ( 以) = s ( 岛) ， 若系统状态为混合态，则二者不再相等。 由s c h m i d t 分解n 4 】，两体系统的任一纯态i 沙) 柚总可以表示成以下称为s c h m i d t 分解的形式： 峨口= 厄l i i ) 。 ( 厄= 1 ) ( 2 - 9 ) 这里b 有时也取负根； l i a ) 和舻) 占) 分别是以和以中某两组特殊的正交基， 1 5 第二章量了纠缠以及度量和转移 爿( i l j ) 一= 岛和。i 一= 谚， ( 2 - 1 0 ) 可以看出，就纯态i 少) b 而言，每个子体系的约化密度矩阵具有相同的本征值， 所以纠缠度可以用任一粒子的约化熵来定义， 瓦= s ( n ) = s ( 几) ( 2 一1 1 ) 量子约化熵的取值范围为：o 毛l 。当e v , = o 时，则说明i ) 。口为非纠缠 态；如果气= 1 ，则i ) 肚为最大纠缠态。 量子相对熵 对两体量子态n 占，相对熵纠缠度可定义为：态p a 口对于全体可分离态的相 对熵的最小值： e ( ) = m i n s ( p a i o - 仙) o a b e d 其中：s ( 成占0 占) 为相对熵： s ( n b0 ) = t r p s ( 1 0 9 2 以占一l 0 9 2 ) 】( 2 - 1 2 ) d 为全部两体可分离态的集合。量子相对熵纠缠度在量子信息领域中起着重要的 作用，它形象的解释为纠缠态与非纠缠态的最小“距离”，对两体纯态，量子相 对熵等于量子约化熵。对于系统状态为混合态的情况，两体之间的纠缠度不能用 约化熵表示，可以使用量子相对熵来计算。 部分转置密度算符求负本征值的方法( n e g a t i v i t y ) p e r e s 判据n 6 3 给出以后，在此基础之上，l e e 矛l ：l k i 采用了一种新的纠缠度计算 方法n 引，即密度矩阵经过部分转置后其负本征值和的负二倍： s = - 2 y 兄 r 一 ( 2 1 3 ) 其中五为密度矩阵部分转置后的负的本征值。当占= 0 时，系统状态为可分 离态；当s = l 时，为最大纠缠态。该方法对于系统状态为纯态和混合态的情况 均适用。在本文第三章中我们也用该方法来计算两个二能级原子之间的纠缠度。 2 3 量子纠缠的应用 自从量子纠缠被提出以来，它一直是物理学中一个引人瞩目的研究领域。人 们利用纠缠性可以制备新的量子态，新的光场。若对相互纠缠着的两个子系统中 1 6 第二章量子纠缠以及度量和转移 的一个进行测量，就可以使得另一个塌缩到一个特定的状态。并且纠缠态所反映 出来的量子非局域性也成了量子信息论( q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y ) 的理论基 础，使得量子远程通信成为可能。在量子信息中，纠缠态扮演着极为重要的角色。 可以说如果没有量子纠缠现象，就不会有现在所说的量子信息。由于纠缠态特殊 的物理性质，使量子信息具有经典信息所没有的许多新的特征，同时纠缠态也为 信息传输和信息处理提供了新的物理资源。 2 3 1 量子超空间传输 1 9 9 3 年，b e n n e u 等提出了一个利用纠缠态来远程传送一个量子态信息的方 案 1 5 1 。假设a l i c e 和b o b 分开一段距离，而a l i c e 要把一个自旋为1 2 的粒子的 自旋态 l ) = 口i o ) + 1 1 ) ，其中l 口1 2 + l 纠2 = 1 ( 2 1 4 ) 发送给b o b 。a l i c e 和b o b 之间有一条经典信道( 电话、电报、广播等) ，并且 a l i c e 本人对于要传递的量子态l 沙) 可能一无所知。其中一种典型的方案是直接把 粒子送到b o b 处，这样做有两大缺点：一是，运送粒子的过程可能非常困难， 并且要考虑时间演化。其次是，该粒子可能被第三方截取。 量子超空间传输可以实现这个任务而不具有以上的缺点。具体方案如下： a l i c e 有一个自旋为1 2 的粒子1 ，处于未知自旋态l y ) ，即 l 沙) 。- - 6 1 0 ) 。+ 1 1 ) 。，其中i 口1 2 + i 纠2 = l ( 2 1 5 ) a l i c e 有自旋为l 2 粒子2 ，b o b 有自旋为1 2 粒子3 ，它们构成b e l l 基，或者说 是一条量子通道 愀s2 去( i o o ) z ，+ 1 1 1 ) ：s ) ( 2 - 1 6 ) 这可以先把粒子2 、3 先制备到i 缈) ：，态，再把粒子2 送给a l i c e ，粒子3 送给b o b 。 这样系统可以写为 i ) ，：，= i 沙) 。i 伊) ：， ( 2 1 7 ) 现在考虑1 和2 粒子的四个b e l l 基，即 1 2 = 击( 1 0 01 2 + 1 1 1 ) l ：) ，1 2 - - 击2 2 ( i 。l1 2 + i l o ) l ：) ( 2 - 1 8 ) 将眵) 在上述四个b e l l 基下展开，得 第二章量子纠缠以及度量和转移 l ) 。：，= i 驴+ ) 。：i ) ，+ i 缈一) 。：z i ) ，+ i