（光学专业论文）自发参量下转换制备单光子源及其测量与应用研究.pdf

i 中 文 摘 要 单光子态是一种非常重要的非经典光场，它在量子光学基础研究、 量子保密通讯和量子计算等领域中发挥着至关重要的作用。常见的制备 单光子态的方法主要有量子点、色心、衰减脉冲和自发参量下转换。与 其他方法相比，自发参量下转换有着独特的优势。该过程利用二阶非线 性相互作用，将泵浦光子转换成一对高度关联的光子对，只要测到其中 之一，就可以确认其孪生光子的存在。这样，我们就可以在不破坏单光 子的前提下确认单光子的存在，从而弥补了原子相干介质和衰减脉冲等 方法的不足。此外，由于参量下转换过程产生的光子对在多个维度上都 具备纠缠特性，可以用来制备各种纠缠光源以满足不同的应用。因此， 自发参量下转换过程及其制备的条件单光子源无论在理论还是实验上都 得到了广泛且深入的发展。 单光子源的制备、传输与测量以及对单光子的量子操控是量子信息 科学领域中的一个前沿课题，它不仅能够丰富人们对微观世界的认识， 加深对量子物理基本原理的理解，还同时为量子通信与量子计算过程的 实现提供了坚实的物理基础。有关单光子量子效应的研究对促进量子网 络的发展尤为重要， 已经渗透到了从光源产生到量子信息的调制与解调， 再到信息分发及频率转换等量子网络的各个环节，并且还将在其他量子 领域逐渐发挥其潜在的巨大作用。 本文的主要工作是围绕单光子源的制备、传输和测量展开的，其核 心内容包含以下几个方面： 1总结了实验上产生单光子态的各种物理模型，对每种方法的利弊进行 了分析并给出了自发参量下转换过程产生单光子所具有的独特优势；在 此基础上，实验研究了利用脉冲光学谐振腔增强了单光子产生率，得到 了一个更加明亮的单光子源。 2设计并研究了可以用来测量弱脉冲信号的平衡零拍探测系统，分析了 该系统的各项性能指标，并且对弱相干光脉冲进行了时域内正交分量信 息的测量。 3阐述了有关单光子的各种量子干涉效应，用经典物理工具描述了单光 ii 子与多光子干涉的物理原理，给出了一个普适的解并具体分析了在单光 子态平衡零拍测量过程中的应用。 4基于 hom 干涉原理，利用时间反演的 hom 过程实验上实现了一个 确定性量子分束器，用一个普通的分束器将完全简并的光子对以较高的 概率进行空间上的分离；被分束脉冲的时间精度从皮秒量级提高到了飞 秒量级。 5提出了谐振腔内的量子态频率转换方案，通过引入保真度、信号传输 系数和能量转换效率的概念定义了频率转换效率并找到了量子态的完全 频率转换条件，同时分析了信号光振幅、泵浦参量以及内腔损耗等因素 对频率转换效率的影响。 在这些研究工作中，属于创新性的工作有以下几点： 1利用超短脉冲光学谐振腔，在不改变脉冲超快重复率和频率梳结构的 情况下，极大地提高了二阶非线性过程的参量增益，获得了一个明亮的 单光子源。 2根据时间反演的 hom 干涉原理，完成了确定性量子分束系统的设计 与测量，可以将飞秒脉宽量级的、完全简并的双光子从空间上彻底分离。 3提出了基于谐振腔的量子态频率上、下转换模型。与单次穿过方案中 的频率转换模型相比，该方案更容易提高量子态频率转换效率，对具体 的实验具有一定的指导意义。该模型适合于弱光场尤其是单光子态的频 率转换。 关键词关键词：单光子；脉冲光学谐振腔；时域平衡零拍探测；确定性分束器； 频率转换 iii abstract single photon state is a very essential non-classical light field, which playing a more and more important role in quantum optics foundation, quantum cryptography and quantum computer. the commonly used methods to generate the single photon state include of quantum dots, color center, decay pulse and spontaneous parametric down conversion (spdc). compare to the other methods, the spdc have unique advantages. based on the second-order nonlinear interaction, this process converts a pump photon into entangled photon pair, once one of spdc photon was detected, the existence of its twin photon could be verified. thus we can obtain a single photon without any destruction, and compensate the other methods in this respect. besides, considering the spdc photon pair has entangled properties in multiple dimensions, this resource can be used to prepare various entangled source. so both the spdc process and the single photon state have been deeply developed in theoretical and experimental aspects. the preparation, transmission, measurement and manipulation of single photon source are advanced topics in quantum information domain. it not only enriches the knowledge to microscopic world and reinforces comprehension to quantum mechanics fundamental, but also provide a solid foundation to quantum communication and quantum computation. specially, the researches involved single photon quantum effects are important to quantum network. it has access to every part of network such as the preparation of optical source, modulation, demodulation and distribution of information, and frequency conversion. a potential influence will be gradually manifest in other quantum field. in this thesis, we introduce our works mainly around the preparation, transmission and measurement of single photon source. the key parts contain following aspects: iv 1. summarize various physical models to generate the single photon state, analyze the advantages and disadvantages, and give the unique superiority of spdc; design a resonant cavity for pulse experimentally based on the spdc process and obtain a brighter single photon source. 2. design and investigate the balanced homodyne detection system for measurement of weak pulse, analyze the performance and parameters, and construct the quadrature components of weak coherent light in time domain. 3. explain the quantum interference effect related single photon state, analyze the interference fundamental principle between single photon and multiphoton by utilizing of the classical physical tool, and give the universal resolution and applications in balanced homodyne detection of single photon state. 4. based on the hom principle, realize a deterministic quantum splitter experimentally by use of the time-reserved hom process, make the degenerated twin photons separate from each other completely only with the help of a common beam splitter. the order of magnitude of pulse width that is split had been increased from ps to fs. 5. proposed an intracavity frequency conversion scheme of quantum state, define the conversion efficiency through the concept of fidelity and signal transfer coefficient, find out the complete conversion condition. meanwhile, the influence of signal amplitude, pump parameter and cavity losses to frequency conversion efficiency are also analyzed. the creative works are listed as follows: 1. by utilizing a low-lost ultra-short pulse resonant cavity, increased the parametric gain tremendously while keeping its repetition rate and comb structure, obtain a brighter single photon source. 2. according to the time-reserved hom interference principle, design and verify a deterministic quantum splitter experimentally using only a common beam splitter and separate the completely degenerated photon pair of fs pulse width with a higher efficiency. 3. propose an intracavity model of quantum frequency up and v down-conversion, it can increase the conversion efficiency easier than the travelling-wave scheme and would give the instructive help to specific experiment. this frequency conversion model is suitable for the weak field especially single photon state. key words：single photon; pulse resonant cavity; time-domain balanced homodyne detection; deterministic quantum splitter; frequency conversion 承诺书 105 承承 诺诺 书 书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的， 学位论文的知识产权属于山西大学。如果今后以其他单位名义发表与在 读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的 文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的成果。 作者签名： 作者签名： 年 月 日 学位论文使用授权声明 106 学位论文使用授权声明 学位论文使用授权声明 本人完全了解山西大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许 论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位 论文。同意山西大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全 部或部分内容。 保密的学位论文在解密后遵守此协议。 作者签名： 导师签名： 年 月 日 第一章 绪论 1 第一章第一章 绪论绪论 单光子以及纠缠光子对被广泛应用于量子光学的各个领域中，所以对单光子态 的产生、测量和纠缠的度量成为各实验研究的中心任务。对有限维希尔伯特空间中 的物理量（即分离变量）的研究，由于实验装置较为简单，因而得以快速发展。而 对于连续变量而言，可以将大量信息储存在相空间中无限维的正交分量上，并利用 平衡零拍探测技术有效测量该物理量，从而大大缩短了测量所需要的时间。几乎所 有的量子物理研究都始于分离变量，随之被拓展到连续变量领域。这两种类型的物 理过程各具特色、有着不同的应用前景。本文的工作是在自发参量下转换过程产生 单光子源和纠缠光子对的基础上，研究了明亮单光子源的制备、单光子态连续变量 的测量、完全简并光子对的分束以及弱光场的量子态频率转换。这些工作既有连续 变量方面的也有分离变量方面的，分别和各种量子信息过程如量子网络、量子计算 等密切相关。 1.1 单光子源的产生单光子源的产生 单光子是一个 n=1 的 fock 态。由于其独特的量子特性，可以有效避免通讯过程 中的信息窃取，因而在保密通信方面具有经典信息不可比拟的优越性。除此之外， 单光子态在量子计算、量子态的远程传送等方面也有着非常诱人的应用前景。鉴于 单光子在量子信息领域中的重要作用，人们一直在尝试采用不同的实验方案来制备 单光子态。例如，单原子1、受激单分子2,3、非线性吸收4、色心法5-7、量子点8-12、 原子相干介质13、自发参量下转换 14,15等方法。几种常见的产生方案如下所述。 1.1.1 量子点量子点 量子点，又可称为半导体纳米微晶体，是一种由-族或-族元素组成的性 质稳定、可溶于水的纳米晶粒。外观上，因其在三个维度上的尺寸都在 100nm 以下， 恰似一个极小的点状物，由此得名。量子点独特的性质在于它自身的量子效应，即 由于静电势的约束作用，量子点内部的导带电子、价带空穴和激子在三个空间方向 上的行为都受到束缚；当颗粒的尺寸进入纳米量级时，量子局限效应将变得非常显 著。在量子点中，连续的能带结构变成具有分子特性的分立能级结构，一旦受外场 激发时，就可以发射荧光。近年来，半导体量子点由于其独特的性质在众多制造方 法中脱颖而出，得到了科学家们的广泛重视，其研究内容已涉及物理、化学、材料 和生物等众多领域，已经成为一门新兴的交叉学科。 量子点的空间尺寸以电子的费米波长为基准，一般情况下，电子在半导体结构 自发参量下转换制备单光子源及其测量与应用研究 2 中的费米波长（约为几十纳米）要比在金属内长得多（高两个数量级） 。当材料的某 一维度上的空间尺寸小于电子费米波长时，那么导带电子和价带空穴的运动将只能 局限在由另外两个空间维度所构成的二维空间中，此时这种材料就被称为量子阱； 而当材料在两个空间维度上的尺寸均小于电子费米波长时，粒子的运动将被束缚在 另外一个维度上，这种材料我们就称之为量子线；进而，若材料在三个维度上的尺 寸都小于电子费米波长时，这种材料就被称为量子点。 利用量子点结构来发射单光子被认为是最有潜力的制备单光子源的方法之一。 通过电脉冲或光脉冲激发所产生的稳定单光子流符合单光子的物理特性，因而在应 用方面有着显著的优越性 16。2001 年，美国的一个研究小组在 gaas 衬底上生长了 一层发光波长为 877nm 的 ingaas 量子点， 在激光脉冲作用下产生的激子进入一个量 子点后，导致其再吸收第二个光子的可能性大大降低，使得反聚束光的产生成为可 能 17。不久后，欧洲的一个联合研究小组采用量子点结构的 led 实现了电注入单光 子发射 18。接着，美国的研究人员成功利用量子点制造出通讯波段的单光子光源19。 我国在该方向上的研究也突飞猛进，继 2004 年成功实现室温连续激射长波长量子点 激光器后，2006 年又突破了低密度长波长 inas 量子点的生长难题，设计生长出 algaas/gaas 分布的布拉格反馈结构微腔与 inas 量子点的耦合结构。 利用量子点产生的单光子源具有较窄的谱线宽度和较高的振子强度，并且不会 发生光褪色 20，然而由于受到光子散射引起的退相干效应的制约，自发辐射的光子 变得不再完全同一。 1.1.2 色心色心 色心是指透明晶体中由点缺陷、点缺陷对或点缺陷群捕获电子或空穴而构成的 一种缺陷。在一定条件下，很多材料中如碱土金属氟化物、碱金属卤化物和部分金 属氧化物都可以观察到色心。色心的产生方法主要有：电化学方法、电离辐射照射 法和在氧化或还原性气氛中加热晶体法等。 德国和法国的两个研究小组曾指出人造金刚石中的某些缺陷可以在室温下发射 单光子 5,6，随后就进行了一系列的实验研究。他们将一束波长为 532nm 的激光聚焦 成极小的点并打在金刚石色心上，得到了波长范围在 640750nm 之间的荧光。经过 滤波器和分束镜后的荧光通过测量其二阶关联函数，就可以确认每次仅产生一个光 子。在该实验中，由于金刚石色心的缺陷是在其内部的氮原子代替碳原子时天然形 成的，而氮原子又被紧密地束缚于晶体中，这就使得金刚石色心的性质比较稳定。 同时， 实验结果还显示： 在发射了大约 10 13量级个光子后， 荧光的特性仍然保持不变， 第一章 绪论 3 因此他们声称“这种固体器件的超凡稳定性使得其作为实用性单光子源的前景极为 诱人” 。此外，利用色心构成的这种固体器件来产生单光子还具备其他优点：具有很 高的量子效率并有可能向微型化发展等等，因此色心被人们认为是能够进入实际应 用的单光子源的理想候选者之一。 1.1.3 原子相干介质原子相干介质 近年来，操控光与原子间相互作用的技术日趋成熟，特别是为了利用原子系统 中的 eit 效应实现单光子的产生、存储和提取，进而实现多重量子记忆节点和量子 网络提供了技术上的可能。 2004 年，美国的 kimble 研究小组在磁光阱俘获的冷铯原子云中，采用条件制备 方案 21，在原子相干介质中实现了单光子的制备和存取13。一束中心波长为 850nm 的激光脉冲作为写脉冲，将磁光阱俘获的冷铯原子制备到激发态上，经过一段时间 的延迟后，另一束中心波长为 894nm 的脉冲激光作为读脉冲，再将原子从激发态制 备到基态，同时受激辐射产生光子。最后通过 cauchy-schwarz 不等式验证了该过程 产生的光子即为单光子。 2005 年，eisaman 研究小组利用原子相干介质在三能级铷原子中实现了单光子 的制备以及在量子记忆装置中的存取 22。初始时刻，原子处在基态 g，一束写脉冲 将其制备到激发态e上，然后再经过自发拉曼散射过程将原子制备到s态上。在这 个阶段，就会产生一对关联的 stokes 光脉冲，同时原子被制备到一个确定的自旋波 模式上。经过一定的时间延迟后，一束频率近共振的写脉冲作用在s能级与e能级 之间，受激产生频率与e能级到g能级跃迁频率相同的反 stokes 光脉冲。而该过 程产生的stokes以及反stokes光脉冲为单光子的判定标准通过hbt二阶关联测量 23 来实现。 从以上两个利用原子相干介质产生单光子态的代表性的实验中可以看出，该方 法无法确定单光子的产生时间，只能通过测量结果确定并验证其为单光子；然而一 旦进行测量，产生的光子也就被湮灭，导致其无法被下一步的实验进程所继续利用。 这个缺点，也是上面几种产生单光子源的方案中都难以克服的。 1.1.4 衰减脉冲光衰减脉冲光 许多量子密钥分配方案都采用衰减脉冲光的方案来制备单光子。激光器输出一 束相干光，其波函数定义为： n n e n n = = 0 2 ! 2 （1.1） 自发参量下转换制备单光子源及其测量与应用研究 4 其中，为相干态湮灭算符 a 的本征值，n为光子数n的 fock 态。从上式可知相干 态是一个光子数不确定的量子态。相干光的光子数服从泊松分布： u n e n u unp = ! ),( （1.2） 上式中u为相干光的平均光子数。 当u较小时，脉冲相干光中包含多于一个光子的几率为： 21 )1 (1 ), 0(1 ), 1 (), 0(1 ), 01( u e ue up upup unnp u u + = = （1.3） 由此可见，当相干光的平均光子数u较小时，产生多光子的几率非常低。然而在实验 研究中，由于探测器暗计数的存在，当平均光子数减小时，探测器的信噪比也随之 降低。另外，尽管多光子的产生几率很低，我们有 95%以上的把握（以1 . 0=u为例） 可以断定产生的不是多光子，但是在 90%的时间内根本就没有光子通过。这就说明， 当脉冲光衰减到很微弱时，大多数脉冲是不包含光子的，所以这就造成了单光子的 产生几率也很低。同时，利用衰减光脉冲方法得到的单光子源和前述方法一样依旧 无法知道何时会产生单光子，并且两个这样的单光子源无法实现同步输出单光子。 1.1.5 自发参量下转换过程自发参量下转换过程 自从自发参量下转换过程首次在实验上被观察到以来，其产生的信号、闲置光 子对在时间、能量、动量以及偏振间的纠缠特性被广泛应用到量子计算、量子密集 编码和量子鬼成像等领域。利用非线性晶体的 2 非线性过程，在满足相位匹配的条 件下，产生一对高度关联的纠缠光子，再通过触发采集的方法就可以实现条件单光 子源的制备。当泵浦光的能量和动量一定的条件下，自发参量下转换过程产生的信 号光和闲置光的能量和动量并不完全确定；但是，一旦信号光或闲置光中其中一个 的动量和能量被确定，它的孪生光子的相应物理量也就确定了。因此一个光子的探 测就可以预测其孪生光子的存在，这样，我们就可以在不破坏单光子的前提下获得 较理想的、可以在自由空间中传播的单光子源 24，进而进行单光子的调控和存取等 研究，从而弥补了衰减脉冲光方案产生单光子的不足。 值得注意的是，必须使用超短脉冲光作为该过程的泵浦源。在连续光泵浦的过 程中，纠缠光子对在泵浦光较长的相干时间范围内随机产生，这种时间上较大的不 确定性使其很难应用到一些具体的量子信息过程中。然而，利用超短脉冲光泵浦时， 泵浦脉冲就相当于一个精确的时钟，纠缠光子对只能在泵浦脉冲很短的存续期间内 第一章 绪论 5 （一般为飞秒量级）产生，所以可据此认为它们在时间上完美关联 25。这种完美关 联意味着一旦测量到纠缠光子对中的一个光子，那么在另一束下转换光中，在如此 短的时间之内不可能存在与其无关联的光子；若存在，则很有可能是环境中的噪声 光子。还需说明的是，自发参量下转换过程产生的条件单光子源并不是真正意义上 的单光子源，只是单光子源的一个最好近似 25，其时空和频域模式由触发光路中的 空间滤波和频谱滤波参数决定。 我们将在自发参量下转换过程的基础上，搭建一个飞秒脉冲激光谐振腔系统， 可以在不改变脉冲光重复率和频率梳结构的情况下，以较低的成本大幅提高下转换 过程的参量增益和单光子的产生效率，从而为简化量子通讯方案的实现提供了可能。 1.2 单光子态的测量单光子态的测量 单光子以及纠缠单光子对被广泛应用于量子光学的各个领域中，所以对单光子 态的测量和纠缠的度量成为各实验研究的中心任务。对有限维希尔伯特空间中物理 量（即分离变量）的测量，由于实验装置较为简单，因而得以快速发展。但鉴于目 前各种方法产生单光子的效率极低，再加上探测器较低的量子效率使得量子态的测 量需要耗费很长时间，这就成为限制分离变量继续发展的瓶颈。而对于连续变量的 测量而言，可以将大量信息储存在相空间中无限维的振幅分量上，并利用平衡零拍 探测技术有效测量该物理量，从而大大缩短了测量所需要的时间，同时平衡零拍探 测的效率可以很高，这对量子信息领域的发展具有非常重要的意义。 1.2.1 密度矩阵密度矩阵 在量子力学中，可以通过波函数来描述光场的量子态。然而，并不是任何时候 都可以写出它的波函数。例如，当一个粒子处在量子态a或者量子态b时，我们仅 有的信息为粒子处在态a或者态b的几率各为 50%，此时，这个量子态为混合态。 这不同于相干叠加态，为了描述这种类型的量子态，必须引入密度算符： 11 22 aab b=+ （1.4） 此时，密度算符比波函数更具有实际意义。对于一个波函数为的纯态，它对应的 密度算符为： = （1.5） 用密度矩阵可以很容易地区分出纯态和混合态。对于纯态，有 2 =且 2 ()( )1trtr=； 而对于混合态， 有 2 ， 并且 2 ()1tr， 因此我们可以从 2 ()tr 的大小上来推断出一个量子态是纯态还是混合态。密度算符包含了一个量子态的全 自发参量下转换制备单光子源及其测量与应用研究 6 部信息，如果可以重构量子态的密度矩阵，就可以知道量子态的所有信息。例如在 fock态表象下，可以通过重构密度矩阵元 mn mn=来完成量子态的重构。 然而，在一般情况下，我们只可以通过量子态可观测量的期望值来得到量子态 的信息。对于量子态的一个可观测量 f，它的期望值可以表示为： ()ftrf= （1.6） 为简化求迹过程，引入与量子态有关的权重函数( )w 以及与算符 f有关的函数 ( )f ： 2 ( ) ( )fwfd= （1.7） 这就是相空间方法，其中，( )w 为经典的几率分布函数，积分在复平面内进 行。式（1.7）是式（1.6）类似于经典的相空间方法在实际应用中的一种数学变换。 而对于一个量子态，类似于经典的方法，我们引入一个函数( )w ，它不再对应着经 典的几率分布函数，( )w 可以取负值，称为准几率分布函数。 1.2.2 wigner 函数函数 1932年，eugene wigner首次将以他名字命名的、类似于经典几率分布的准几率 分布函数w(q,p)引入量子力学 26，并假定分布 w(q,p)为在不同时测量q和p时的一 种联合几率分布 27。作为描述量子态的准几率分布函数，wigner 函数与经典几率分 布的区别在于：准几率分布不仅能被直接测量，而且还可以取负值，这就充分体现 了量子态的非经典特性。 类似于经典几率分布，作为同时描述相空间内q和p的联合准几率分布函数， 一个自然的结果就是，将wigner函数对q或p积分都将得到一个边缘分布 27，分别 对应于位置和动量分布： pr( )( , )qw q p dp + = （1.8） pr( )( , )pw q p dq + = （1.9） 另外，如果对相空间进行与q轴成任意角度的相移操作，那么所有的复振幅 都将在相空间移动，意味着分量q和p在两维相空间(q,p)中旋转，位置和动量的几 率分布值也将发生相应的旋转。一般情况下，沿相空间中与q轴成任意角度方向 对wigner函数积分，都将得到一个正交振幅位相分量的几率分布 28。在任意的相移 之后的位置几率分布为： 第一章 绪论 7 pr( ,)( )( ) ( cossin,sincos) qq uuq w qpqpdp + + =+ （1.10） 上式中，pr(q)和pr(p)分别是q和p的几率分布函数。pr( , )q为在不同的相对相位 下光场的正交振幅相位分量cossinqqp =+的几率分布，其中 ( )exp()ui n， 式（1.10）被称为randon变换 29，实际上也可作为wigner函数的定义式。这个公式 将准几率分布w(q,p)与量子力学的可观测量联系起来。 从中不难看出， 将wigner函数 投影到与正交振幅分量q成角的相空间平面上可以得到任意一个相位下正交振幅 位相分量的几率分布函数。它们间的对应关系如图1.1所示。 图 1.1 wigner 函数与正交分量的对应关系 那么，这样的一个准几率分布函数是否足以描述量子系统呢?为此我们引入一个 特征函数( , )w u v?，即wigner函数的fourier变换, 以及正交振幅位相分量的几率分 布函数pr(q,p)的fourier变换( , )pr ?： ( , )( , )exp()w u vw q piuqivp dqdp + + = ? （1.11） ( , )pr( , )exp()prqi q dq + ? （1.12） 根据式（1.10） ，则有： ( , )pr( , )exp() ( cossin , sincos )exp() ( cossin , sincos )exp() prqi q dq w qpqpdpi q dq w qpqpi q dpdq + + + + =+ =+ ? （1.13） 自发参量下转换制备单光子源及其测量与应用研究 8 令： cossin sincos qqp pqp = = + （1.14） 则（1.13）式变为： ( , )( cossin , sincos )exp() (,)exp(cossin) prw qpqpi q dpdq w q piqpdp dq + + + + =+ =+ ? （1.15） 设： cos sin u v = = （1.16） 比较（1.11） 、(1.12)与 (1.15)，可得： ( , )( cos , sin )( , )prwwu v =? （1.17） 根据pr( , )q的定义式（1.10）及它的fourier变换( , )pr ?，可得： ( , )( )( )exp() ( )( )exp() ( )( )exp() ( )exp() ( ) prq uuqi q dq q uui q q dq tr uui q trui q u + + + = + = + = + = ? （1.18） 又因为： ( )exp() ( )exp(cossin ) exp() ui q uiqip iquipv + = = （1.19） 所以： ) exp(),( pivqiutrvuw= （1.20） 即特征函数( , )w u v?是密度算符的傅立叶变换。 ? 2 2 2 1 ( , )( , )exp() (2 ) 1 exp()exp() (2 ) 1 exp() (2 )22 1 exp() () 222 w q pw u viuqivp dudv triuqivpiuqivp dudv vv qqiuqiuqivp dqdudv vv qqivpqq dqdv + + + + + + + + =+ =+ =+ =+ ? + （1.21） 第一章 绪论 9 设xv=,最终可以得到： 1 ( , )exp() 222 xx w q pixpqqdx + =+ （1.22） 此公式为wigner函数的经典公式 26， 也称为逆 randon变换。 由此可见，wigner 函数与量子态的密度矩阵之间相差一个fourier变换，wigner函数与密度算符是一一 对应的关系，那么与量子态也就是一一对应的关系。因此wigner函数与密度矩阵一 样，都可以完备地描述一个量子态。下面介绍几个wigner函数的常用性质： 1、wigner函数为相空间中的实函数 *( , ) ( , )wq pw q p= （1.23） 2、wigner函数为归一化的 (,)1wqpd q d p + + = （1.24） 3、wigner函数是可叠加的 1212 ,2( ,)( ,)tr ffwq p wq p dqdp + + = （1.25） 4、wigner函数是有界的 1 ( , )w q p （1.26） 5、wigner函数既可取正值，也可以取负值。 从以上这些性质可以看出，wigner函数作为量子力学理论工具，尽管和经典物 理有许多相似之处，但仍然有很多本质上的区别。 1.2.3 逆逆 randon 变换变换 由以上可知通过randon变换，将wigner函数投影到与q轴成角的平面上可 以得到正交位相振幅分量在方向上的几率分布函数。现在知道了正交振幅位相分 量的几率分布函数后，就需要通过逆randon变换从中重构量子态的wigner函数。 2 0 2 0 2 0 2 0 1 ( , )( cos , sin )exp( cossin ) (2 ) 1 ( , )exp( cossin ) (2 ) 1 pr( , )exp()exp( cossin ) (2 ) 1 pr( , ) (2 ) r w q pwiqpd d piqpd d qi q dqiqpd d q + + + + =+ =+ =+ = ? ? exp( cossin)iqpqd d dq + + （1.27） 自发参量下转换制备单光子源及其测量与应用研究 10 如果取 1 ( )exp() 2 k xi x d + = ，上式可以写为： 2 0 1 ( , )( , ) ( cossin) 2 w q ppr xk qpx dxd + =+ （1.28） 这里的)(xk叫做核函数，对它做进一步运算可得： （1.29） 我们在（1.29）式的x上加一个无穷小的正虚量i+，则有 )( 1 reim)( 0 )( ixx de x xk ixi + = = + + （1.30） 在这里如果使用符号表示上式中积分的科西主值，则有： 2 )()( xxx xk = （1.31） 于是我们可以进一步得到： + + = 0 22 )sincos( ),pr( 2 ),( xpq dxdx pqw （1.32） 在这里，只是一个符号，而不是一个确切的数值。在实验上式（1.27）的积 分限并不是从负无穷到正无穷，而是根据实际情况取一个有限区间 cc kk +,，于是 就得到一个解析的表达式： 1)sin()cos( 1 2 1 )( 2 += + xkxkxk x dexk ccc k k xi c c （1.33） 式（1.33）和（1.28）合起来即为实验上用的逆randon变换。其中， c k在实验上是 一个非常重要的参量，应根据具体的实验条件进行赋值。 c k太小的话，wigner函数 的细节变得不明显， c k太大的话，会引起wigner函数的振荡，从而得到一个错误的 wigner函数。 + + + + = = = = 0 0 0 0 0 im )( 2 1 )( 2 1 2 1 )( de x dede xi dede dexk xi xixi xixi xi 第一章 绪论 11 因此，通过实验上测得的一系列正交位相振幅的几率分布数据，通过逆randon 变换，就可重构出光场的量子态，从而得知它的全部信息。 1.2.4 单光子源的量子描述单光子源的量子描述 既然已经知道如何从正交振幅位相分布得到整个相空间的wigner函数，为了重 构单光子态的wigner函数，首先以自发参量下转换过程制备的条件单光子源为例， 介绍一下单光子态的相关量子表达式。 参量下转换过程中相互作用哈密顿量可以表示为 30： h.c.),( ),( ),( )( )( 3)()()( += + rdtretretrerktv pst （1.34） 其中，系数正比于介质的二阶非线性极化率并通常被认为是与频率无关的物理量； )( rk是积分区域，在晶体内部时等于 1，晶体外部则为 0。量子化的信号光场（s） 和闲置光场（t）振幅算符的正频部分可以表示为： tstsk trki ts dkdaetre tsts tsts , 3 , )( )( , , , ),( + = （1.35） 而泵浦光通常被认为是经典的相干场： pp trki pppp dkdeketre pp 3 )( )()( ),(),( + = （1.36） 假设信号光和闲置光初始状态为真空场，在一阶微扰理论近似下双光子态可以 写为： + =dttvib ts )( 00 （1.37） 将公式（1.34）-（1.36）代入上式可得 t k s kttssttss tsttss kkdkddkdib , 33 11),(00= （1.38） 其中， ptsppttss kdkkkekk 3)( )(),(),(+= + ，)(kk是函数)( rk的傅立叶变 换，波矢失配量为 tsp kkkk=。 闲置光子作为触发光子经过空间滤波和频谱滤波后由单光子探测器探测。 每一个 触发事件的发生对应于非局域的双光子态塌缩到了信号光场的单光子态上。该方法 产生的条件单光子态的模式由泵浦光子和闲置光路中的空间滤波及频谱滤波函数决 定： )(bbtr tts = （1.39） 其中， tt t k t kttt dkdkt tttt 3 , 11),( =，),(kt为滤波器的透射函数。 条件单光子态的密度算符可以表示为 31： s k s ksssssssss ssss kkdkddkd , 33 11),( = （1.40） 自发参量下转换制备单光子源及其测量与应用研究 12 上式中， )()(),(),(),( ),( )()( 333 2 kkkkktkeke kdkddkdkk tttspptspp ppttssss + = + （1.41） 1.3