（水利水电工程专业论文）水击理论研究.pdf

!：蒸丛毯：笙堑兰兰芷篮茁 摘要 本论文首先简单的介绍了目前水击计算的基本理论，包括数学模型和计算方 法，指出了当前水击计算所用的数学模型中的连续性方程不能恒满足恒定流条 件、s i n o 项存在的不合理性等问题，说明了当前水击计算的数学模型中的连续 性方程是错误的。对这些问题存在的原因进行了详细分析，发现在当前推导水击 压强公式的过程中没有考虑管道的倾斜度和摩擦阻力的影响，而在后面水击计算 的连续性方程的推导过程中则考虑了管道的倾斜度，这就导致了在当前连续性方 程的整个推导过程中前后矛盾的不合理现象。而且在整个推导过程中，对于全导 数和偏导数的概念没有分清楚。这些都是连续性方程不能恒满足恒定流条件的根 本原因。 接着，进行了水击现象的试验研究和数值计算，并将二者进行了比较分析， 进一步证明前面分析的结论，水击计算的连续性方程确实是错误的。 最后，论文对水击计算的数学模型中的连续性方程重新进行了严谨的推导， 得到的更加完善、更加准确的新的水击计算的基本方程组为如下形式 连续性方程i o h 刈等+ 詈罢+ 裂) - o 运动方程塑+ 塑+ 塑+ 捌：o 一+ + 一+ 二= u o so t8 s2 d 新的水击计算的基本方程组完全能够满足恒定流条件。 关键词：水击现象，水击压强，水击理论 a b s t r a c t f i r s t l y ，t h ep a p e rp r e s e n t s ，b r i e l l yt h eb a s i ct h e o r i e so fc u r r e n t w a t e rh a m m e rc a l c u l a t i o ni n c l u d i n gb o t hw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i cm o d e la n d c a l c u l ac i v em e t h o d s ；p o i n t so u tc o n t i n u i t ye q u a t i o n n o t m e e t i n s t h e c o n d i t i o d so fs t e a d y ，s i n ob e i n gin h e r e n ti l l o g i c a l l yi nc u r r e n tw a t e r h a m m e rm a t h e m a t i c sm o d e l ，c a l c u l a t i v em e t h o d so f t h e e q u a t i o nb e i n s s c a r c e l yp r e c i s e ，e t c ，w h i c h a c c o u n tf o rt h ec o n t i n u i t ye q u a t i o ni sf a l s e i nt h ec u r r e n tw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i c sm o d e l a n dd e t a i l e d l ya n a l y z i n g r e a s o n si n c l u d i n gt h e s ep r o b l e m s ，i ti sc a nb ef o u n dt h a tn o tt h i n k i n g o ft h es l o p eo fp i p e l i n ea n dt h ef r i c t i o ni nt h ep r o c e s so fp r o d u c t i o n w a t e rh a m m e rp r e s s u r ef u n c t i o n s ，b u tt h i n k i n go ft h ee f f e c to ft h es l o p e p i p e l i n e i nt h e p r o c e s s o fp r o d u c t i o nt h e c o n s e q u e n t w a t e rh a m m e r c a l c u l a t i r ec o n t i n u i t yf u n c t i o n ，w h i c hr e s u l t s i nt h e i n c o n s e q u e n t i l l o g i c a l i t yi nt h ew h o l ep r o c e s so fp r o d u c i n g a n di n t h ep r o c e s so f p r o d u c i n gt h ec o n c e p t so ft h et o t a ld e r i v a t i v ea n dt h ep a r t i a ld e r i v a t i v e a r ec o n f u s e d i ti st h ef u n d a m e n t a lr e a s o nl e a dt ot h ec o n t i n u i t yf u n c t i o n f a u l t s c o n s e q u e n t l y ，t h ep a p e rm a k e s o u t e x p e r i m e n t a li n v e s t i g a t i o n a n d n u m e r i cc a l c u l a t i o nf o rp h e n o m e n o no fw a t e rh a m m e r ，a n dd e e p l yp r o v e st h a t t h ec o n t i n u i t ye q u a t i o nf o rw a t e rh a m m e rc a l c u l a t i o ni sf a l s eb yc o m p a r i n g a n da n a l y z i n gt h e m i nt h ee n d ，t h ep a p e ru s e sp r e c i s es t e pt op r o d u c et h ec o n t i n u i t y e q u a t i o ni nt h em a t h e m a t i c sm o d e lf o rw a t e rh a m m e rc a l c u l a t i o na n dg a i n s m o r ep e r f e c ta n dm o r ep r e c i s eb a s i cs y s t e mo fe q u a t i o n sf o rw a t e rh a m m e r c a l c u j 】a t i o ni ss h o wb e l o w ： l i c o n t i n u i 够e q u a 妇百o h 删等+ 兰g 罢+ 裂2 9 ) _ o d td sd su m o t i o n e q u a t i o n 型+ 丝+ 。a _ k v + 五v l v _ _ _ l l ：o a s巩a s2 d t h en e wb a s i cs y s t e mo fe q u a t i o n sf o rw a t e rh a m m e rc a l c u l a t i o nc a n e n t i r e l ym e e t t h ec o n d i t i o n so ft h es t e a d yf l o w k e y w o r d s ：t h ep h e n o m e n o no fw a t e rh a m m e r ，w a t e r h a m m e rp r e s s u r e ，t h e t h e o r e tic so fw a t e rh a m m e r i i l 第一章绪论 1 1 论文提出的背景及意义 我们在日常的工作生活中常会碰到很多水流不稳定现象。在快速关闭闸阀或 关闭水轮机导水叶的过程中，随着关闭程度的增加，引水管道中的水流流速会快 速减小，引起水流动量快速变化，在闸阎上游部分压力将会升高，而下游部分( 如 在尾水管中) 压力则会降低。当快速开启阀门或水轮机导水叶时，管道中水流流 速则快速增大，在导水叶上游部分产生压力降低，而下游部分( 如在尾水管中) 压力则会升高。尤其在水电站或水泵站的有压引水系统中，通常使用导水叶或阀 门来调节流量，以达到适应水电站出力变化或水泵站供水量变化的生产要求。由 于这种调节往往是快速的，因此必然会引起有压引水管道中的流速发生急剧变 化。伴随着此变化，管道中会产生液体内部的压强迅速交替升降的水力现象。这 种交替升降的压强作用于管道、阀门或其它的水工配件上时会产生锤击一样的效 果，故称这种有压非恒定流为水击现象，简称为水击。交替升降的压强称为水击 压强。 通常水击现象发生时所产生的水击压强值很大，可以达到管道正常压强值的 几十倍或更高。如果预料不及、处理不当的话将会导致管道的剧烈震动、变形甚 至爆裂。所以在水电站或水泵站有压引水系统的设计中，必须进行水击计算，以 确定可能出现的最大和最小水击压强值，并研究防止和削弱水击作用的适当措 施。 在理论流体力学中，当引用了连续介质的概念后，运用连续函数和微分学的 数学工具，基于经典的理论力学原理，得到了流体运动的基本微分方程式。但是， 由于流体运动的复杂性，理论分析得到的大多数基本微分方程式是无法求其解析 解的。 对于管道有压非恒定流的研究也是一样，目前已经有了较为成熟的理论，建 立了一套较为完整的数学模型。1 8 9 7 年，俄国学者茹可夫斯基正确阐明了水击 产生的机理，并给出了水击波传播速度的计算公式0 1 。1 9 0 2 年，意大利学者阿维 列以数学方法建立了不稳定流动的基本微分方程，奠定了水击分析的理论基础。 此后，各种方法应运而生，由于受到当时计算手段的限制，而使如何精确的求解 水击问题陷入困境，只能用图解法、解析法来求解较为简单的水击问题。对于复 杂管道系统中发生的水击问题，虽然可以用数值解法，但由于计算工作量的巨大， 人工计算基本上是不可能的。 到了2 0 世纪6 0 年代，由于计算机技术的飞速发展，使得阿维列方程的数值 解得以实现。特别是目前计算机的发展与应用普及，使得数值解法求解更精确、 更快速、更方便，因此水击计算借助于计算机技术的发展得到了进步的发展。 王树人“、e bw y l i e “1 等人对水击计算的理论均做了比较详细的介绍和研 究。水击计算的控制方程组，即运动方程和连续性方程，是一组非线形双曲线型 方程组”3 ，变量虽然不多，但对于几何边界条件比较复杂的情况，求解精确的解 析解十分困难，甚至不可能实现。目前，概括起来水击计算的方法有：解析法、 图解法和数值解法。水击计算的解析法只能针对简化的基本方程组求解，只适用 于不计水头损失的简单管道：图解法过程复杂、繁琐，精确性不高，现在已经很 少使用；数值解法实际上是用计算机模拟计算代替实际的物理模型试验，具体计 算方法包括特征线法和差分法，特征线法是目前最常用的“1 ，理论比较完善，求 解问题也比较方便，且不受管道系统复杂程度的限制。用计算机模拟计算代替实 际的物理模型试验，可以将计算结果采用清晰、明了的图形显示出来，使得对问 题的分析研究更加方便、直观，更有利于达到对工程问题研究的目的。与常规的 物理模型试验相比，数值模拟适应性强、应用面广，不仅具有投资少、过程量化、 精确度高、计算速度快、结果形象直观等特点，而且可在短时间内进行物理方程 中各项影响因素的有效性和敏感性模拟计算，不受物理模型试验率的限制，具有 较多的灵活性和较好的移植性。但计算必须依赖于基本方程的可靠性。 目前，几乎所有资料和教科书中介绍的水击计算的基本数学模型都是如下形 式的运动方程和连续性方程： 运动方程：口型+ 丝+ 塑+ 划：o ( 1 1 ) 。a sa ta s2 d 连缵陛施p 等+ 等砌+ 鲁塞= 。 z ， 式中：扩为任意点的流速；h 位于流速对应点的水头；8 为管道轴线与水平 面的夹角；a 代表水击波速：g 为重力加速度：d 为管道直径；五为摩阻系数。 众所剧知，水击现象是管遭水流从一种恒定流状态过渡到另一种匿定流状态 的非恒定流，因此，描述它的数学模型既要符合水击现象的非恒定特性，也应满 足初始和终了时刻的恒定流条件。下面分析方程( 1 1 ) 式和( 1 t2 ) 式： 首先分析运动方程( 1 1 ) 式：在恒定流时，第二项詈等于o ，此日 方程“” 变为： 等+ 杀c 争茄= 0 2 9 d 一 + l i + 一=0 s a s 、2 a 因为h ：z + 旦，所以上式即为 y 一杀”号+ 争g 笳g l j d s ，zz 上式恒满足恒定流条件。 再看连续性方程( 1 2 ) 式：在恒定流时第二项等于0 ，此时方程变为： v 塑+ u s l - 1 1 秒+ 壁塑：o 一+ u 十= u a s ga s 上式不能满足恒定流条件。 由此可知，用于水击计算的基本方程的正确性或可靠性受到怀疑。 清华大学的王树人教授在他的水电站建筑物一书中曾提到过连续性方程 不满足恒定流条件这个问题，他在书中说可能是忽略了高阶小量引起的，但没有 做更多的阐述。李文勋( 美) 在水力学中的微分方程及其应用书中，将方 程的形式做了如下变化”1 ： 运动方程 连续性方程： 型+ 塑+ 型：o a s0 t2 d 丝+ n 。塑：0 研a s ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中庐：( 旦+ g h ) ，可以看出妒( x ，t ) g 就是测压管水头，连续性方程( 1 4 ) p 式仍然不能满足恒定流条件。 e bw y l i e 和索丽生等在 ( f l u i dt r a n s i e n t si ns y s t e m s ) 一书中建立的 水击计算的基本微分方程组为“3 运动方程 i p x + v v x + v , + g s i n o + 2 1 2 。1 v _ a = 。0u 连续性方程：p a 。+ p = 0 n g j t h ：z + 旦后，( 1 - 5 ) 式和( 1 6 ) 式即可变为( 1 1 ) 式和( 1 2 ) 式。 p g ( 1 5 ) ( 1 6 ) e bw y l i e 和索丽生等也提到了对于倾斜管道或考虑阻力的水平管道连续 性方程( 1 6 ) 式不满足恒定流条件这个问题，认为这是由于在非恒定流方程中通 过口2 考虑了弹性变化、而在恒定流状态没有考虑液体密度和管道横断面变化所 引起的。并且提出以下解决的办法： 通过消去1 2 。，组合非恒定流方程( 1 5 ) 式和( 1 6 ) 式，得 p ，卜外孝p 。节。+ 刖叭p 等= 。 接着的分析认为，当马赫( m a c h ) 数较小( 旦 1 ) 时，三项可以被忽略 aa 掉而不影响精度，对于大多数实际情况，这样做是足够精确的。因此，在方程( 1 6 ) 式中忽略相对其它项较小的输运项后得 p n 2l ，+ p 。= 0 ( 1 7 ) 上式被认为是适用于低马赫( m a c h ) 数非恒定流的简化的连续性方程。 取p 。= p g h 。，即用水头代替压强，由上式可得 竺竖+ h ：0( 1 8 ) g e bw y l i e 和索丽生等人认为上式可作为一个简化的用水头形式表示的非 恒定流连续性方程。 ， 分析e bw y l i e 和索丽生等人的研究结果可以看出，他们并没有从根本上 解决连续性方程不满足恒定流条件这个问题，只是通过比较忽略了次要项，得到 的简化方程( 1 7 ) 式或( 1 8 ) 式仍然不能满足恒定流条件。 侯咏梅在她的硕士毕业论文中对水击基本方程也进行了深入研究“，并且取 得了突破性进展。她所提出的水击计算的基本方程组为 运动方程g _ o h + 丝+ p 塑+ 型：o ( 1 9 )g + + p + = u ( 】) 。a sa to s2 d 黻陛方程瓦o h + 扩等+ 等警+ 裂2 = 。 u d td s 口d s口上j 侯咏梅的连续性方程( 1 1 0 ) 式与当前应用的连续性方程( 1 2 ) 式相比， 少了管道倾斜度u 8 i n 臼一项，而多了水头损失u 鲁岩一项，在恒定流时，( 1 1 。) 式变为 塑+ 生塑+ 笙：o a s g a s2 9 d 上式仍然不满足恒定流条件。 但是，当管道为等直径管道时，孚：0 ，上式变为 a h2 v 2 a s 2 9 d 此式满足恒定流条件。 可见，侯咏梅提出的连续性方程( 1 1 0 ) 式，在管道为等直径的条件下，能 够满足恒定流条件。但是，她在推导过程中，并没有限定等直径管道条件。因此， 侯咏梅提出的连续性方程( 1 1 0 ) 式也不十分严谨。 目前，更多的关于水击计算基本方程的研究尚不多见。 综上所述，一方面，水击现象是水电站、水泵站不可避免的、有一定危害的 非恒定流现象，实际工程中迫切需要能够正确地分析计算出水击压强及其变化过 程，为引水系统的设计提供可靠的依据。另一方面，目前水击问题的基本理论尚 存在问题，由此发展的各种计算方法的可靠性值得怀疑。为了解决这些问题，以 便更好的满足工程需要，在水击计算理论和计算方法方面有必要进一步研究。 本文将主要在水击基本理方面做进一步的探讨和研究，力求建立完善正确的 水击基本理论，为进行水击计算分析奠定可靠的理论基础。本论文的研究，在水 击基本理论方面，不仅具有学术价值，推动水击理论的发展，而且可以直接用于 实际水击计算，也具有显著的实际意义。 1 2 论文的具体研究内容 本论文首先分析了当前水击基本方程的错误所在，接着进行了有针对性的 试验研究和对当前水击基本方程的数值计算，并将二者的结果进行了对比，进一 步阐明水击计算的连续性方程中各项存在的合理性和正确性。最后在详细查找了 当前应用的水击基本方程和最新研究成果在推导过程中问题所在的基础上，从理 论上更加严谨地分析水击现象的本质，建立正确的水击基本理论，推导出新的更 加完善的水击计算的基本方程组。 第二章当前水击理论简介 水击现象是一种特殊的非恒定流，现有的水击基本理论主要是将维非恒定 流的基本微分方程组进行具体化处理后，得到了适用于水击问题的基本方程，即 水击分析计算的数学模型，并在此基础上发展了各种水击分析计算方法。简介如 下： 2 1 一维非恒定流的基本微分方程组 一维非恒定流的基本方程组包括连续性方程和运动方程。 对于如图2 1 所示的微小流段，应用质量守恒原理“，可得连续性方程如下： p v a 图21 连续性方程图 卜挈如 芸( 肚u ) + 击( 肚) = o ( 2 1 ) 上式既适用于可压缩流体，也适用于不可压缩流体，既适用于非恒定流，也 适用于恒定流，既适用于明渠水流，也适用于有压管流。 对于如图2 2 所示的微小流段，应用牛顿第二定律可得运动方程如下： 丝+ 三望+ 土f 塑+ z ，塑 + r o z z ：o ( 22 )os yo sg o to s jm n p t o 据p d 虿s 图2 2 运动方程图 d s f i g 2 2g r a p ho fm o v e m e n te q u a t i o n 上式同样对于非恒定流和恒定流、明渠水流和有压管流均适用。 式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 即为一维非恒定流的连续性方程和运动方程。 2 2 水击压强和水击波速的计算公式 当前水击压强的计算公式由动量定理推导“，简述如下：取如图2 3 所示流 段为研究对象，某时刻t 有一水击波由下游传至卜1 断面，经过t 时间后，该水 击波传到了2 - 2 断面，a 1 = a a t ，a 为水击波传播的速度。2 2 断面上游侧未受 水击波的影响，压强为p ，流速为p ，液体密度为p ，管道的横截面积为a 。2 - 2 断面下游水流由于受水击波的影响，压强变为p + a p ，流速变为+ a u ，液体密 度变为p + a p ，管道断面积变为a + a 。 2 i n 1 a + 图2 3 水击压强计算图 在t 时间内，流段2 内液体的动量由p a v a l 变为( p + a p ) ( a + 彬t ) ( v + a v ) a i ， 则动量增量为 ( p + 户) ( a + a a ) ( v + a v ) a i p a y a l * a c o a v ) a l 作用于流段z 的外力为：p a 一( p + a p ) ( a + a ) 。一a ( p a ) 外力冲量为：一a ( p a ) a t 由动量定理得 a ( p a ”) a i = = a ( p a ) a t 即 一( p a ) = 一a a ( p a v ) ( 2 3 ) 展开为 a p + p a a = 一a ( p a a v + p v a a + a v a p ) 由于a 、p 相对于a p 较小，可忽略不计，则有 a p a p a va p ( v o p 。) ( 2 4 ) 上式常用于直接水击压强的计算。 水击波速的计算公式是对如图2 3 所示的流段应用质量守恒原理推导得到的。 0 f 时间内从上游2 2 断面流进流段的液体质量为p a v a t ，从下游卜1 断面流 出的液体质量为( p + p ) ( a + a ) ( ”+ a v ) a t 流入与流出液体的质量差为 p a v a t 一( p + p ) ( a + a ) ( p + a v ) a t z - a ( p a v ) a t 同时，在a t 时间内，流段内的液体质量由p a a z 增加为( p + a p ) ( a + a a ) m 质量增量为 ( p + p ) ( a + a a ) a l p a a l z a ( p a ) a i 由质量守恒原理可得 - a ( p a v ) a t = a ( p a ) a i p a a v 一以( 卢a ) = ( 肚b 即 ( p a ) ( a + ”) = 一p a a v 由于 a ，所以上式可简化为 a a ( p a ) = - p a a v 由式( 2 4 ) 得”：一生，代入上式并取极限可得 由液体觯陛刎定义知：古嚣2 去。 对于薄壁圆管，a = 丢加2 ，仃= 百p d ，则有 ( 2 5 ) 上塑：2 塑一1 ：2 堕1 ：旦 a d p da pe d p 6 e 因此，式( 2 5 ) 可变为： 匡 a = ! 呈( 2 6 ) j ，+ 篆 l 二式即为当前水击波速的计算公式。 2 3 水击计算的基本方程 2 3 1 水击计算的运动方程 水击现象大都发生在圆管水流中3 ，此时取4 = _ l f c d 2 、甄2 硝d 、 吒= 吉和p 2 以及z + 号= 舅，代入一维非恒定流运动方程式“4 1 ( 2 - 2 ) 可得 9 里0 s + 署+ 矿塑a s + 型2 d = 。 ( 2 ，) 。 扰 式( 2 7 ) 即为当前水击计算的运动方程。 2 3 2 水击计算的连续性方程 在水击波的传播过程中，动水压强、断面平均流速、液体密度以及断面面积 均为坐标和时i 、t l j 的函数。展，下式( 2 1 ) 得 p ”丽o a + 脚詈+ a ”罢+ p 篆+ a 警= od sd sc i sa 又 代入上式后整理得 a ad aa a 一一”扰d ta s 望：望一。望 a td to s 即 将式( 2 5 ) 代入上式得 三塑+ 土竺+ 丝：o ad t p d to s r 土d a + 一1d p ) d p + c v ：0 、ad p p d p 7 d 0 s 上望+ o _ y _ v ：0 p a 2d t 0 s 又因为p = 偌( h z ) ，所以 百d p = 册( 等一鲁) = 册( 丽o h + 等一p 詈一警百2 册l 百一面j 2 册l 丽+ 百叫丽一百j 由于鲁= o ，o z a s = 一s i n 目，代入式( 2 9 ) 得 ”塑+ 型+ v s i n 0 + 生丝：0 p 否+ 瓦n + 百丽2 式( 2 1 0 ) 即为当前水击计算的连续性方程。 式( 27 1 和式( 2 1 0 ) 即为当前进行水击分析计算的数学模型。 2 4 简化的水击计算基本方程 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 简化的水击计算基本万程是在曲个基本刀栏【琏 买刀程利还明力程j 甲怂峪 次要因素后得到的“。在对水击计算要求不是太精确的情况下，用简化的水击方 程计算较为方便。 在方程( 2 7 ) 中，如果忽略水头损失项，并且因芸 警，略去罢后可得 a 塑+ 塑：0 ( 2 1 i ) g 面+ 瓦。 懈 在方程( 2 1 0 ) 中忽略管道倾斜度及掣后可简化为 d s 掣十生宴：o( 2 1 2 ) 巩口a s 、 方程( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 为忽略水头损失和管道倾斜度影响的简化的水击计算基 本方程组。 2 5 基本计算方法 水击计算的基本方法有：解析法、图解法和数值解法，数值解法主要有特征线 法和有限差分法。 解析法：一般是从简化的水击方程出发，简化的水击方程是一组典型的双曲 线型偏微分方程，化为波动方程后可以求其通解，即解析解，结合边界条件和初 始条件可逐步求得任意断面在任意时刻的水击压强和流速。其特点是物理意义明 确，方法简便易行。但只适用于不计阻力损失的简单管道，在此不加赘述。 图解法：图解法是根据解析法导出的关系式 为依据进行图解的。能应用于较复杂的边界条件，特别是对于复杂管道，它比解 析法简单明了，但是作图较繁，精度较低，目前已基本不用。 数值解法是直接对不加任何简化处理的基本方程( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 求其数值解。 而且借助于计算机的容量和计算速度，可以不受管道复杂程度的限制，目前几乎 已经完全取代了其它的所有方法。其中特征线法的应用尤为广泛，下面将作简单 介绍。有限差分法只是在教科书中提过，很少应用。 与口 与a ” + 厂 啡 与n ” 一 p 即盯丑 = 一 0 = 州 m h 2 6 特征线法简介 对于考虑水头损失及管道倾斜度影响的基本微分方程组，由于它的非线性， 求其精确解是十分困难的。特征线法“”是目前求解这类双曲线型方程组较为有效 的方法。特征线法的优点是物理图像清晰，力学意义明确，便于计算机编程，有 足够的精确度，能解算考虑水头损失影响的复杂管道系统的水击问题。特征线法 的原理是：将偏微分方程组转化为特殊的全微分方程，即特征方程，然后再转化 为一阶有限差分方程，求其近似解。 2 6 1 特征方程组 将基本微分方程组( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 改写为 l ：口塑+ 丝+ 塑+ 型：o(213)l 2 9 瓦+ 瓦磊+ 苔刨 t 2 心) l ：p 塑+ 型+ ”s i n 口+ 生丝：0 ( 2 1 4 ) 岛刨西+ 百仙5 m 百磊2 1 2 将上面两个方程式用一个待定系数彩进行线性组合如下 l = l l + o l 2 = 0 即 l=i塑+丝(”+等)l+型+塑(u+旦)+a，vsino+ot o so to s 0 9掣= 。c z s ， llg 川l l j 2 d 。 线性组合后的方程l 完全可以代替方程组l 1 和乜，且数目减少了一个。但是， 方程仍然包含两个变量( 水头目、流速v ) 和两个自变量( 时间t 、坐标s ) ，且 为偏微分方程，不能直接求解。如果能够设法适当选择系数国，使其变为常微分 方程，求解将可实现。 设h = h ( s ，t ) ，u = u ( s ，t ) 是方程的解，则它们的全微分为 d ha ha h d s d ta ta sd d ua ua ud s d fa ta sd t 将式( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 与式( 2 1 5 ) 比较可知 如果 d sa 2 d t g 及 塑：+ 旦 d t 同时满足，则式( 21 5 ) 可以变为常微分方程，即 苦o _ + h i n 口+ 掣= 。d td t2 d 式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 同时满足的条件是国：量 数。将其代回式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 得 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 。这说明是两个不同的实 一d s ：u a ( 2 2 1 ) d t 式( 2 1 8 ) 是式( 2 1 9 ) 成立必须满足的两个条件。 如图2 4 所示，在s f 平面上，式( 2 2 1 ) 代表两族曲线，称为特征线，式( 2 2 1 ) 称为特征线方程。沿特征线式( 2 2 0 ) 成立，称式( 2 2 0 ) 为特征方程。 s 图24 特征线图 f i g 24g r a p h o f c h a r a c t e rl i n e d s d t d s d t 另外，式( 2 2 1 ) 的物理意义是 u + a 反映了水击顺波波峰的运动规律 u a 反映了水击逆波波峰的运动规律。 因此，称粤：p + a 代表的特征线为顺波特征 d t r - 、i。j、 。 i、。 线，用c + 表示：称粤- - v - a 代表的特征线为逆波特征线，用c 一表示，如图2 4 n t 所示 将国的两个值代入式( 2 2 0 ) ，并与式( 2 2 1 ) 对应组合，可得两个微分方程组 沿c + ： 沿c 一： d _ y _ v + g d h + g - - v s i n 0 + 划：o d tnd ta2 d d s d t a= u + p d m h 亲g - v u s i n ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 上述两对常微分方程组统称为特征方程组“7 l 。这样我们就把求解偏微分方程 组转化成为求解常微分形式的特征方程组。在推导特征方程组的过程中，没有做 过任何数学近似。因此，特征方程组的解就是原来偏微分方程组所描述的水击问 题的解。 2 6 2 特征方程组的求解 图2 5 特征线图 f i g 2 5g r a p h o f c h a r a c t e rl i n e 速p ) 。 在特征方程组中，特征线方程( 2 2 3 ) 和( 2 2 5 ) 实际上分别是常微分方程( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 的约束 条件。只有沿着相应的特征线c + 或c 一，才能对常微 分方程( 2 2 2 ) 或( 2 2 4 ) 进行积分求解。也即特征线 法只能沿着特征线求解备个水击要素( 水头h 和流 如图2 5 所示，在s o 平面上，过a 点做一条顺波特征线，其方程为式 ( 2 2 3 ) ，常微分方程( 2 2 2 ) 仅沿此特征线可以积分；过点b 傲一条逆波特征线c 一， 其方程为式( 2 2 5 ) ，常微分方程( 2 2 4 ) 仅沿此特征线可以积分。如果已知a 点和b 点位置s 。、s 且，以及在t i 时刻相应断面的水头h f 、砰和流速u f 、妒，那么两 i 导 掣 9 d 条特征线的交点p 的位置s p 及对应时刻t 。可由式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 5 ) 联合解出。p 点在时刻t l + ，的水头目品和流速。p 。则可由常微分方程( 2 ，2 2 ) 和( 2 2 4 ) 的积分式联 合求出。这样，由已知的a 、b 两点在t 时刻的水头和流速，就能求出新的未知交 点p 的位置和在t 。时刻的水头和流速。重复运用这种方法，可逐点求出后继时刻 各点的水头和流速。 1 有限差分方程 将方程式( 2 2 2 ) 中的各项同乘以d t g = d s g ，然后沿图2 5 中的顺波特征线 c + 积分可得 詈p + e d h + s i n o f ；v d t + 刍胂i a s - 。 ( 2 z e ) 同理将方程( 2 2 4 ) 中的各项同乘以a d t g = 一d s g ，然后沿图2 5 中的逆波特 征线c 一积分可得 詈p 一排s ；n 毋e 船刍脚a s - 。 2 7 ， 由于上面两式中最后两项的被积函数”或”h 随时间t 或位置s 的变化规律事 先并不知道，因此上面两个式子的积分不能完全实现。实际计算中可采用近似值 代替精确积分。而且除了摩阻很大的管道外，对于大多数问题，采用一阶近似就 可以满足要求。一阶近似就是用已知点a 或b 的流速或取代上面两个式子 中被积函数中的流速。这样，式( 2 2 6 ) 和式( 2 2 7 ) 的积分结果为 坼一心+ 詈叱) 帆执i 小刍忡s = o ( 2 2 8 h v - 即吨) 饥t s 硼一刍吼l s = o ( 2 2 9 ) 式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 即为特征方程式( 2 2 2 ) 和式( 2 2 4 ) 的有限差分形式。 2 有限差分方程的应用 在有压管道的水击计算中，管道中的水流流速远小于水击波的传播速度，因此， 特征线方程中的u 可以略去，特征线方程变成了斜率为a 的直线a 将一根管子等分成f 段，每一段的长度为s ，时间步长取t = a s i a 。这样 就将平面s t 划分成了如图2 6 所示的矩形网格。特征方程的有限差分形式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 可改写成 图2 6 差分网格图 f i g 2 6g r a p h o fd i f f e r e n c eg r i d d i n g 淞： 捌一磁+ 挈一划( 瑚一面a a s l h i 刮- f i , ，。 2 3 沿。一：酬一戤1 一+ p 等a g 8 。a 9 a 秽s = 。 2 3 1 其中，变量的上标表示时刻；下标表示网格节点对应的断面位置，如图2 6 所示。 联立求解上面两个方程可得j 时刻、任意节点断面的水头和鎏速： h 净葺h 嚣+ h 蓦+ 号o g p 器_ 卜t s i i l 曰。等+ ”翁) j 一盎眙旧一”茸刚 2 _ 3 2 咖北瞰域j - 。i ) + o 茸硝) 一学旧州) j 一等旧蚓+ p 署删 2 3 3 2 6 3 边界条件 1 管道进口 管道上游一般为水库或压力前池“，其水位变化较小，可以忽略。故在水击 计算中通常认为其水位为不变的常数。这时的边界条件可写为 h j = h 。= 常数 其中h 。为己知的水库水位或前池水位。将上式代入逆波特征方程“( 2 3 1 ) 后可得 时刻管道上游进口节点的流速j 为 啦詈( h 。刮一1 ) 州卜g a t s n i n 0 - 一等妒1 ) ( 2 。a ) 2 管道出口 当管道下游端为阀门时，可按孔1 7 1 出流规律确定一个阀门断面的水头和流 量之间的关系式。 设恒定流时，阀门断面的流量为： o o = c d q 。2 , r 瓦o o 式中，q o 是恒定流状态下的流量，h 。为阀门在恒定流状态下管道末端的作用水头， q 。是阀门初始开启面积，c d 是流量系数，假设c 。为常数。 阀门全开时流量为： q 。= c d q 。2 9 峨 任意水头h 和任意开度q 时的流量为： q f ：c d q ，厨 以上两式相除得： 盟：堕：里阻 q 。u 。q 。1 h o 即 u = 导t i 届 、- - o ( 2 3 5 ) 其中，p 。为阀门全开时的管中流速；r j = q 。q 。为时刻管道末端阀门相对 开度1 。 将上式与顺波特征方程( 2 3 0 ) 联立求解，可得时刻j 管道末端节点的水头h 7 和流速扩；为 其中， _ a c g舸五 h i = c 。- k ? 4 g - c = 筹一= h 爿训 口一笳吲 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 当管道下游端为一封闭端( 或盲端) 时，边界条件为q 7 = 0 或”f = 0 。代入 顺波特征方程( 2 3 0 ) 后，可得时刻管道下游末端节点的水头h f 为 h = h , l - p 州争蛐口一翥p 爿i ) ( 2 s s ) 当下游端为开敞孔口时，其边界条件相当于等开度的阀门情况。只要在公式 ( 2 3 6 ) 、( 2 3 7 ) 中取0 = 1 ，即可计算时刻f 管道下游末端的水头日f 和流速u ；。 当下游端为水轮机时，又分冲击式水轮机和反击式水轮机，两者对水击计算 的影响不同。分述如下： 冲击式水轮机的喷咀是一个带针阀的孔口。水轮机转速变化时对孔口出流无 影响。可以按上面的f 稠l 3 情况计算。 、 反击式水轮机情况比较复杂，其过水流量为三个自变量的函数，即与水头凰 导叶开度f 和转速力有关 o = q ( h ，r ，n 1 或 q = q ( h ，l n ) 因此，在具有反击式水轮机的水击计算中，要应用水轮机综合特性曲线。一定 机型的综合特性曲线，常以0 ：= q ；( n l ，r ) 、，7 = r ( q ；，n ：) 的形式绘出，q 表示单位 流量，r t ：表示单位转速，f 为导叶开度，蹿表示效率。利用水轮机特性曲线进行水 击压强、水轮机转速变化联合计算的方法和步骤将在第5 章结合具体实例进行介 绍。 3 多管道连接处 以如图2 7 所示的四根管道的连接为例，如果不计局部水头损失，按图示水流 方向，则边界条件为 日i 1 = 咙，2 = h j = h 叫j = h 或。十鲥z g ，一g a = o 蔓： 其中，i t 、1 2 、厶、l 分别为、 图2 t 7 叉管图 号管道的分段数；变量的第一个下标表 f i g 2 7 g r a p h o f i n t e r s e c t i o n o f p i p e s “。一一一。 示连接处节点分别在各管段中的节点号； 第二个下标表示对应管道的编号：上标表示计算时刻。 上述边界条件中包含了4 个关系式、8 个未知变量。另外，管和管末端的 水头和流速的关系满足顺波特征方程，管和管起始端的水头和流速的关系满 足逆波特征方程，即 巩。- - - g t ，+ 弘一如，( 詈一n b 一酱。1 = 。 娑 h m jt _ + 缸u 吨，z ( 詈n 幺酉。z 2 a s 2 峨。：| = o 砘删+ 弦州睁姚i n 岛一酱临0 = 。 h j , 4 - h 疗+ 詈扑o j x ( 1 a 9 4 + a t s i n g - 酱训= 。 其中，n 。、a ：、a ，、a 。分别为、号管中的水击波速； b 、幺、0 3 、只分别为、号管道的倾斜角； 、五、乃、 分别为、号管道的沿程阻力系数； d l 、d 2 、d 3 、d 4 分别为、号管道的内径： s i 、a s 2 、a s 3 、a s 4 分别为、号管道的分段长度。 将以上8 个关系式联立求解，可得各管道在连接处的水头和流速 h j = h 。j 2 ，2 = h 。s ，) = h 。s 4 = h 。 吆，= 专笋 吐：= 专 = 等 小普 其中：a l 、a ：、a 、a 。分别为、号管道的横断面面积 盱以 1 1 1 ，t ( 詈- a t s i n 只一酱睇j - u f ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 芋 兰丛生 c ，z 啦j ：- i ：j z i a 2 - 0 ：- 甏懈j - i u i c d 3 = h 吲( 詈- a ts i n 吼一訾旧0 c 犷h 。i - i _ v 6 ji -at s i n 六一五：4 9 d 4 a s 4 。刮j - 1 对于串联管道，相当于两根管道相连接。只需在上述计算过程中去掉一个流 入管道和一个流出管道即可。 有了上述关于各种边界点处水头和流速的计算方法和计算公式，就可进行简 单管道或复杂管道的水击计算。对于复杂管道系统，每根管道内部各节点断面在 任一瞬间可以独立进行计算，与系统中的其它管道无关。但每根管道的端部边界 条件必须和与其相连的管道或其它边界元件相吻合，而每一边界条件在任一瞬间 也可以单独处理。求解的显式特点是这一特征线法得以广泛应甩的优势”。 2 6 4 管道的分段 从上面的讨论可以看出，无论对于简单管道或复杂管道，在整个系统的计算 过程中，a t 是作为常数对待的，即具有公共时步f 。对于简单管道，分段长度厶 也为常数，只要求f a s 毒l ( 其中，为正整数) 满足即可。但是，对于复杂 管道系统，由于各管道的长度丘和水击波速a 。大小不，就需要相当小心地选择 出和每一根管道的分段数l ，使得每一根管道均满足公共时步关系式 ：上：土：土一 1 i - 口11 2 - a 21 3 式中，、厶、，3 均为各管道的分段数，均为正整数。 显然，每一根管道的分段长度各不相等。应为水击波在各管道中的传播时 间的最大公约数。但是，在大多数情况下，这个最大公约数并不存在，上式不可 能恰好满足。管道系统越复杂( 管道个数越多) ，越不可能满足。这时，可以通过 稍稍调整一下水击波速的大小来满足上式。因为实际中的水击波速不可能计算的 十分准确，稍稍调整是允许的。调整后的上式变为 址= 赢a t =j l ( 1 妒1 )j 2 0