（电工理论与新技术专业论文）一维连续小波变换低电压低功耗对数域集成电路技术综合.pdf

= 丝堡堡! ：堡圣堡墼堡塞堡：堡塑丝塑墼丝叁些皇塑丝奎堡窒 a b s t r a c t f h ew a v e l e tt r a n s f o r mi san e ws t y l em u t h e m al iea n a l y s ist 0 0 1 t ti s an e wt h e o r ys y s t e md e v e l a p e df r o mt h es t u d ie so fy m e y e r ，s m a l l a ta n d i d a u h e c h i e si n1 9 8 0 s t h ew a y e le ta n a l y s i si sak i n do fas e l f - a d a p t e d t i m e f r e q u e n e y 1 0 c a l iz e dm e t h o d 。w h i c ht u n et h e t i m e f r e q u e n c y w i n d o w a u t o m a t ic a l l ya n dh a sas t r o n gf l e x i b i l i t y i t sa p p l i c a t i o i l sr e l a t et oa l o to ff ie 1d s 。s u c ha st h ec o m m u n i c a t i o i ls i g n a lst r e a t m e n t ，t h er a d a ri m a g e s a n a l y s is f o ra d a p t i n gt h er e a l t i m er e q u i r e m e n t so fs i g n a l t r e a t m e n ti n p r o j e c t ，t h es t u d y o f u s i n gh a r d w a r e t or e a l i z ew a v e l e tt r a n s f o r ma r e d e v e l a p e dr a p i d l y t h er e a l i z a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r mi n c l u d e st w os i d e s ：t h ed is e r e t e w a v e l e tt r a n s f o r ma n d t h ec a n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r m s of a ra s a c h i e v e m e n t si ns t u d y ，i ti ss u c c e s s f u li nr e a l i z i n gt h ec n tu s i n gd i g i t a l c i r c u it s ，a n da1 a to fa p p li e dc h i p sh a da p p e a r e d b u tt h ed e v e l o p m e n t s o fs t u d yi nu s i n ga n a l o gc i r c u i t st or e a l i z et h ec w ta r es l o w l ya n do n l y f e ws y s t e ma r c h i t e c t u r e sa n da p p l i e do h i p sh a db e e ng i y e n t h e r eh a v ea 1 0 to fa s p e c t sn e e dt ob ei m p r o v e d ，s u c ha ss y s t e mi n t e g r a t i o n ，a n a l y s i s p r e c i s i o na n dp o w e rd i s s i p a t i o n i nt h isp a p e rw es t u d yt h er e a l i z a t i o no ft h ec w tu s i n ga n a l o ge i r c u i t s ， a n db ys y n t h e s i z i n g1 0 9 d o m a i nc i r c a i td e s i g ns t r a t e g yw ep r e s e n tan e w s y s te ma r c h i t e c t u r e f i r s tb a s e do ne x i s t e dm e t h o d so ft h er e a l i z a t i o no f c w 一1 w e p r e s e n t am e t h o du s i n gl o g d o m a i nc i r c u i t s t o i m p r o v es y s t e m c a p a b i 1it y ，t h a ti st os a y ，b yu s i n gl o gd o m a i nt e c h n o l o g yt od e s i g n t h e f u n c t i o dm o d u l e s i ne x i s t e da r c h i t e e t u r e s w er e a l i z et h e p u r p o s e o f i m p r o v e m e n to fs y s t e mp e r f o r m a n c e a c c o r d i n g t ot h es i m u l a t i o nr e s u l t s ， al o to fa s p e c t so fs y s t e mp e r f o r m a n c e ，s u c h a st h et u n a b i1i t yo fc o r e f r e q u e n c y ，t h eb a n d w i d t ho fs ig n a t r e a t m e n t s ，h a v eb e e ni m p r o v e d s e c o n d a c c o r d i n gt o t h ee x p r e s s i o no fc w ti nb o t ht i m ea n df r e q u e n c yd o m a i n s ，b y a n a l v z i n g t h r e ek i n d so fe x p r e s s i o n s o fw a v e l e tf u n c t i o n sw h i c hh a v e s i m il a rc 。n s t r u c t i o n ，t h a ti sm a r rw a v e l e t ，m o r l e tw a v e l e ta n dd o gw a v e l e t ， w ep r e s e n tn e wc w ts y s t e m sw i t hs h a r eu n i t sa r r a y ，b o t ht i m ea n df r e q u e n t y d o m a i n s f o rr e a l i z i n gt h ef u n c t i o n s i n f r e q u e n c yd o m a i n ，w ep r e s e n t a d e s i g n s t r a t e g y o f a p p r o a c h i n g f u n c t i o n so np i e c e w i s ef r e q u e n c y ：f o r r e a l i z i n gt h e 6 a u s s i a nf u n c t i o ni nt i m ed o m a i n ，w ep r e s e n t am e t h o do f i i 母i 士学位论文 m u t u a lc o u v e r s i o nb e t w e e nc h a r a c t e r is t i cc u r v e s i nt ig l l ea n d f r e q u e n c y d o m a i n s a c c o r d i n gt o t h es y s t e ms i m u l a t io n t h ei m p l e m e n t i n gc u r r e n tin s y s t e mis a tt h e1 e v e l0 fm i c r o a m p e r e ，d e m o n s t r a t i n gt h a tw eh a v er e a l iz e d t h eo b j e c to fc i r c u i t so nl o ws u p p l yv o l t a g ew i t hl e s sp o w e rd i s s i p a t i o n ： a c c o r d i n gt o t h ea n a l y s i s0 fe i g h t c h a n n e la p p r o a c h i n ga r c h i t e c t u r e ，w e r e a l iz et h es i g n a la n a l y s i sw i t haw id ef r e q u e n c yb a n d w i d t h ，f r o ms e v e r a l h u n d r e d sk t l z t os e v e r a lh u n d r e d sm h z k e yw o r d s ：c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ；l o g d o m a i nc i r c u i t s ；a n a l o gs y s t e m ； s h a r ea r c h i t e c t u r e ；w i d ef r e q u e n c yb a n d w i d t ha n a l y s i s 一i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 碡李名 日期：矗乒年勿月岁莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名 导师签名 袭李竞 饧铭删 日期：莎却乒年方月如日 日期：榔0 月7 p 日 1 1 小波分析 第1 章绪论 小波分析，又称为多分辨分析，它是f o u r i e r 分析发展史上里程碑式的进展， 是泛函分析、调和理论、数值分析、逼近论和时一频分析等多学科交叉的理论结晶 m 】。它提供种自适应的时一频局部化方法，可自动调节时一频窗，可聚集到信 号时段和频段的任意细节，具备有很强的灵活性。小波变换以f o u r i e r 变换理论 为基础，但在许多性质上又要优于f o u r i e r 变换。它不仅同时具有时域和频域的 良好的局部化性质，而且随着信号不同频率成分取样的疏密可以进行自动调节， 以达到频率高、质量高的分析效果。原则上来说，传统上使用f o u r i e r 分析的地 方都可以采用小波分析来取代【3 l 。 小波分析的研究热潮开始于二十世纪八十年代。1 9 8 4 年a g r o s s m a n n 和 j m o r l e t 首先对小波变换进行了研究】，他们将h a r d y 函数分解成族平方可积 的小波函数的迭加。做为窗函数的小波函数族具备有在任意尺度上的函数“显微” 作用，在分析信号的高频部分时，对高频成分采用逐步精细的时间域和空间域上 的取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节上。 小波函数族的基本形式如下式所示： 妒。，o ) = 了i 妒l 望l ( 1 1 ) 0 a、口， 其中，a 是伸缩尺度参数，f 是位移参数，妒o ) 是一个基小波函数。在通俗意 义上来讲，连续小波就是一个在比较窄的频域和时域上发生快速衰减的波【”。 可重构的信号分析才具备实际的意义。我们只要保证分解信号用的小波函数 满足允许性条件就可使得小波变换可逆重构。小波的允许性条件如下： 假定妒2 ( 豫) ，若有下式成立，则称小波妒满足允许性条件1 5 】： q = 广i i 融0 】d m t m ( 1 2 ) 但是允许小波只是允许逆向重构，作为窗函数的小波还必须满足关于窗函数 中心和半径的度量要求，不但要保持函数的振荡性，而且其衰减速度也要比一般 的允许性4 、波快，这样才能具备有较强的时域和频域的局部化功能。 小波变换是信号处理的新方法。进行信号处理时，我们通过对信号准确分析 与诊断、编码压缩与量化、快速传递或存储、精确重构或恢复，充分的利用信号 中所携带的信息量，而小波变换在这几个方面的性能优秀i ”。在实际当中，大多数 ! = 丝垒譬尘些兰堡竺堡坐竺；! ! 丝堑塑墼堡董些皇竺堡查堡垒 信号都是非平稳的信号，小波变换是分析非平稳信号的有力工具【”。由于小波函数 在结构上的分形性，使它还适于对具有分形结构的信号分析。 随着小波分析技术与工程应用研究的结合臼益紧密，它广泛应用于信号处理、 图象处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、雷达通信、c t 成像、机器视 觉、故障诊断与监控等领域1 6 , 7 】。小波分析之所以得到如此广泛的应用，完全归功 于它的数学机理的创见性和完善性，它具有完善的理论体系。它有着具体的研究 背景，实用的理论和方法。 在实际的工程当中，目标信号大多是连续的模拟信号，它们所包含的信息虽 然有冗余，使得信号处理的工作量增大，但是与离散的数字信号相比，模拟信号 所涉及到的频率范围更宽，能够更完整的反映所测量对象的原始特征。所以采用 连续小波变换处理模拟信号是本文研究的重点。 1 2 对数域电路 目前模拟集成电路设计的主要研究方向是低电压、低功耗电路的实现。瞬时 缩展技术是近年来这一方向上出现的有代表性的技术。它很好的解决了在低电源 电压下保持动态范围和高频率工作点的问题。对数域电路的设计采用的就是瞬时 缩展技术。对数域电路可以归类为动态跨导线性电路，看作是具有节电容的、相 互交叉的跨导线性环的组合，它的工作点根据系统大信号指数特性确定。工作在 低电源电压下的对数域电路能够对系统中运行的电流进行有效利用，提高系统功 效，达到低功耗的要求。从a d a m s 提出对数域滤波概念】以来，对数域电路设计 理论一直处于发展阶段。国内外的研究人员从不同的方向提出了许多的设计方法。 有一类综合方法是从高阶的传递函数描述开始，采用状态空间方程或信号流 图，最后采用完整的跨导线性环交叉连接，构成积分接点形成电路，称为自上而 下的、系统级设计方法。其中包括有f r e y 和p e r r y 等人的研究。 d r f r e y 以跨导线性理论和瞬时缩展技术为基础，提出了用于构造对数域滤 波器的e - c e l l 单元，并与状态空间方程相结合，给出了一套系统的对数域电路设 计方法一一基于e - e e l l 单元的对数域状态空间设计方法，简称为e s s 方法【坶l 。e s s 方法允许设计者根据传递函数，自由的选择状态变量的指数映射形式。该方法的 局限性在于，用它实现的低阶滤波器的性能较佳，当阶数在二阶以上时，指数映 射的分析都变得比较复杂，需要对大量的状态变量进行操作，难度较大；对设计 的电路还必须进行大良的后期调整。 d o u g l a sp e r r y 及其合作者在一个类似e - c e l l 的单元结构上，构造了指数模 块和对数模块【1 1 】，提出了一个基于l c 梯形网络运算模拟的设计方法。该方法与 e s s 方法1 1 2 , 1 3 】的区别在于：根据对电路性能要求，先实现系统的l c 梯形电路结构， 然后用指数及对数的模块将l c 结构转变为对数域结构。p e r r y 对如何在l c 实现电 路原型中引入对数模块和指数模块做了详细的分析。这类方法适合于高阶滤波器 的设计。但是这类设计方法必须依赖所实现电路的拓扑结构才能获得正确的工作 点和适当的直流偏置，对不能提供正确偏置的电路不能用这类方法实现，使该方 法具有了局限性。构成这类设计方法的基本电路e - c e l l 单元的结构如图1 1 所示。 图1 1e - g e il 正单元的内部电路结构 另一种称为自下而上的元件级设计方法。这类方法是指e m d r a k a k i s 、 a j p a y n e 、c t o u m a z o u 提出的基于b e r n o u l l i 单元的设计方法【“4 “。b e r n o u l l i 单元是一类晶体管级的单元，由三极管和发射极接地电容构成，遵循非线性的 b e r n o u l l i 方程。该方案提供给设计者一个可以推演出嵌套在对数域电路中的跨导 线性环和电路动态特性之间联系的方法。该方案将频域传递函数分解为一系列的 时域电流乘积量，这些乘积量可以直接采用跨导线性原理实现。将电路中的 b e r n o u l l i 单元单独识别出来，使数域电路的动态特性及频率响应分析简化。 图1 2b e r n o u i i i 单元的电路结构 对数域电路的设计方法还有很多，从采用的元件来看有三极管、c m o s 管以及 b i c m o s 管等；从研究的频率范围来看既有超高频、射频的应用【1 7 】，也有对声音等 一三丝垒篓! ：些兰堡墼堡尘竺：! 垒兰壁翌鍪兰篓竺! ! 塑些奎堑垒 低频信号的分析研究m 2 ”。但是对数域电路的设计方法虽多，却没有形成系统， 已有的电路原型在性能结构上都需要做出大的改进：对这类具有内部非线性外部 线性的电路，我们在电路综合之后的分析手段也比较缺乏。我们采用已有的方法 来设计电路利用对数域电路低电压、低功耗的优点实现连续小波变换系统。 1 3 连续小波变换的硬件实现 小波分析广泛的应用于语音分析、图象识别、地震勘探等学科领域【5 7 】，研究 的信号一般要求实时处理；其中，模拟信号的分析一般采用连续小波变换方法， 需要分析的数据量大、信息冗余度高，若采用软件难以满足实时性要求。为克服 这些困难，研究人员致力于连续小波变换的硬件实现研究，期望找到解决的途径。 连续小波变换采用模拟或模数混合电路实现，它相对于用数字电路实现的离 散小波变换有以下的优点：( 1 ) 连续小波变换的模拟电路实现不需要对信号做数 模转换，使处理速度加快；( 2 ) 避免了由模数转换器和数字开关引起的波形畸变； ( 3 ) 采用模拟或数模混合电路实现的连续小波变换处理的信号频率范围更宽；( 4 ) 用模拟或数模混合电路实现的连续小波变换电路便于集成。但是目前连续小波变 换硬件实现的研究却滞后于离散小波变换硬件实现的研究，主要是由于用模拟或 者数模混合电路实现连续小波变换的结构相对复杂，设计难度比数字电路大，设 计时须考虑因素较多，设计的自动化程度也不高【2 ”。对连续小波变换的模拟或模 数混合电路实现的研究可以归纳为频域实现和时域实现两个方面。 连续小波变换的时域实现框架如图1 3 所示，是一个包括小波函数发生器、 乘法器和积分器等单元的级联结构。小波函数发生器是系统实现的难点，要求它 产生连续尺度和位移的小波族，或逼近实现有限区间上的有限单元。由于待分析 信号的时段和频段的变化，要求乘法器在比较宽的动态范围内的非线性失真要小， 而积分器的动态范围要宽，积分常数可调。时域实现的优点在于处理速度快，实 现结构相对简单，便于一体化集成，适合于要求快速计算小波系数的场合。 圈1 3 时域法实现连续小渡变换的系统结构 频域中的连续小波变换相当于用基本频率特性为频域小波函数且品质因数恒 定的带通滤波器在不同的尺度a 下对输入信号做滤波处理，频域的基本实现框架如 图1 4 所示。但是，带通滤波器的设计比较困难，既要求它的频率特性与连续小 波的频率特性一致，又要求它的带宽和中心频率可精确控制且品质因数恒定，并 且随着处理信号的频带增宽、滤波器数目的增加，控制芯片面积和功耗比较困难。 因此在已有频域实现方法中，设计人员总是设法避免带通滤波器的设i f 2 3 , 2 4 】。 频域实现的优点在于可实现的小波种类以及实现的方案较多，对系统中的一 些关键部件的研究比较成熟。频域实现的难点在于实现结构相对复杂，多是数模 混合系统；高频段的实现必须采用连续时问滤波器，要求滤波器组具有高精度和 宽动态范围，设计难度高，且芯片上必须要有自动调节电路，使电路复杂度增加。 11 rr 2 不同带 2 宽与中 输入唐号 。 ，r 心频率 加法器 n 一】 的恒q n l r带通滤r n 波器组 n 图1 4 频域法实现连续小波变换的系统结构 连续小波变换的时域和频域实现的研究仍然有许多问题有待解决：系统中单 个模块的性能还有待提高；系统的电源电压与功耗还可以降低；在高频领域中， 系统的抗噪性能还有待提高；对于高精度的实现系统，规模还过大，不利于集成。 针对这些问题，结合对数域模拟集成电路具有的优点：低电压、低功耗的电 流模式运行状态，灵活的状态可调性等，我们认为采用对数域模拟集成电路设计 连续小波变换系统将带来很多的优点，有利于系统运行电压和功耗的降低、系统 集成度的提高，改变系统的运行方式，提高系统的线性可调范围等。 1 4 本文的主要工作 本文在前人已有的实现方案的基础上，针对三类在结构上有共同点的小波函 数，提出了一种基于共享电路单元的级联滤波器阵列结构，并采用对数域电路设 计方法设计实现了该系统。对于滤波器阵列的设计方法，我们采用的就是对数域 滤波器电流模式电路的设计方法。但是由于浚种电路的设计方法还没有统一的结 论，因此我们特别就其中几种比较完整的设计方法做出了分析比较，并在后续的 电路设计中，根据不同频段的不同性质分别采用了几种不同的设计方法。当然， 对于同一通道的模块一般采用的是相同的设计方法，以便于电路之间的接口。特 别是针对连续小波函数的频域结构，其中在一个比较大的分散的频率范围内，我 们采用了中心频率分割逼近的规则，用多重频率中心的一组滤波器来逼近一个在 频率轴上一个比较宽的范围内变换的频率函数。本文的工作是国家自然基金项目 ( 5 0 2 7 7 0 l o ) 子课题。 一维连续4 、激变换的低l i t i 士、低功耗对数域甍成电路技术综合 第2 章小波分析 本章介绍了小波变换的发展历史和理论基础，对小波变换的时频窗特性和频 率带通特性做了比较详细的介绍，是采用硬件实现小波变换的理论基础。 2 1 小波发展简史 信号处理技术是科术发展的重要组成部分，被广泛的应用于通信、：o 航 空航天等领域。我们对信号进行处理是为了实现对信号；。n 的分析、有效的编码、 快速的传递和完整的重构【5 1 。我们通常将信号分为稳定的与非稳定的。研究琵- 。信 号的理想工具是f o u r i e r 变换。两对于非稳定信；的研究。：瞬变事件彳i 铯事 先知道，需要不同于f o u r i e r 分析的技术。小波分析是一种特别适于 浙非稳定 信号的技术。由于小波的分形特性，使它也适于具有分形结构的信号的寸析1 2 , 3 】。 小波分析是自1 9 8 6 年以来由于y e y e r ，s m a l l a t 及i d a u b e c h i e s 等的研 究而迅速发展起来的一门新兴学科l 卜5 i 。小波分析的发展可以追溯到1 9 0 9 年b a a r 于1 9 1 0 年提出了小波规范正交綦。在1 9 3 0 年前后出现了许多与小波有关的新方 向其中包括l e v y ，l i t t l e w o o d 与p a l e y ，f r a n k l i n 及l u s i n 的研究。1 9 3 8 年p a l e y l i t t l e w o o d 提出按照二进制频率成分分组的理论。而与现代小波分析有关的主 要工作是1 9 6 0 年c a l d e r o n 提出的再生公式以及1 9 8 0 年g r o s s m a n n 与m o r l e t 提 出的“原子分解”。1 9 8 1 年s t r o m b e r g 对h a a r 小波系作出了改进；1 9 8 4 年m o r le t 和g r o s s m a n n 提出按一个确定函数1 5 f ，的伸缩平移系如下： r一1、 i 口l i 妒 一p ，b r ，n o ( 2 1 ) 【 。 j 他们对这个函数系进行函数展开的研究。1 9 8 6 年，m e y e r 构造出了具有一定 衰减性质的光滑函数t f ，它的二进制伸缩与平移系： - g ) 一2 1 ”妒1 2 1 - 工一尼j ，k f f i z j ( 2 2 ) 上式构成了在2 像) 上的规范正交基。继m e y e r 小波提出之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地给出具有指数衰减的小波函数。这时m a l l a t 提出多分辨分析的概念， 统一了在此之前的s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e m a r i e 和b a t t l e 提出的具体小波的构造， 给出了m a l l a t 算法，并提出了多分辨分析的概念。 从多分辨分析概念出发，d a u b e c h i e s 完善了t l a a r 的研究，构造了具有有限支 集的正交小波基，形成了d a u b e c h i e s 正交小波系。d a u b e c h i e s 小波提供了比h a a r 组所得到的更有效的分析和综合，当被分析的函数具有m 阶连续导数，在d b 小波 基下分解的系数是衰减的。由d a u b e c h i e s 小波具有紧支撑，使得性质完全是局部 硕士学位论文 的。1 9 9 0 年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数，并讨论了具 有最好局部化性质的尺度函数与小波函数【1 1 。 2 2 从f o u r i 6 r 变换到小波分析 2 2 1f o u rie r 变换 f o u r i e r 分析是做谐波分解、合成和分析的有力工具，它揭示了时间函数和频 谱函数之间的内在联系，反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。 信号在时域的局部变化会影响到信号的整个频谱。f o u r i e r 分析没有时间定位或时 间局部化能力，但是有很强的频域定位或频域局部化能力。 将非周期函数，o ) 看作周期函数矗o ) 当周期r m 时的转化结果。根据和式 极限的积分定义，它允许非周期函数含有有限个间断点，间断点两侧的函数值是 有界的；或者可以说，( r ) 是有界变差的，对v t ( _ 4 2 0 ，+ m ) ，有，g o ) c + o o ，从这一 点来说对l ，o 】的衰减性提出了较高的要求“1 。f o u r i e r 积分及其逆变换式如下： f b ) = r ，缸) p 。“办 ( 2 3 ) 厂( f ) ；去p o ) 叫 ( 24 ) 上式将以时间t 做自变量的时域函数，( f ) ，f ( - m ，+ m ) ，通过指定的积分运算 转变为以频率m 做自变量的频域函数f ) ，m ( o 。，+ m ) ；它的逆变换则采用类似 的过程，将频域函数f 0 ) 变换回原时域函数，( f ) 。因此，缸) 与f 0 ) 是一一对应的 变换对，具有优美的对称形式【”。 2 2 2 窗口f o u r je r 变换 由于f o u r i e r 分析没有时一频局部化功能，为了研究信号在局部时间范围内 的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的g a b o r 变换【3 1 ，之后发展为窗口f o u r i e r 变换。它用一个具有适当宽度的窗函数从信号中提取一段作f o u r i e r 分析，从而 得到信号在时间段内的局部的频谱，再让窗函数沿时间轴不断移动，便能够对信 号逐段进行分析。 2 2 2 1 窗口f o u r i e f 变换的基本思想 为了克服f o u r ie y 变换在时一频局部化方面的不足，d g a b o r 在1 9 4 6 年提出 了窗口f o u r i e r 变换( w f t ) 方法。它的数学表达式如下： 6 ：，) ( 印，6 ) 一u o ) n ，o 一扫) e d t ( 2 5 ) 其中，实函数鲫o ) 为对窗函数。且由于上式是由g a b o r 提出的一种积分变换， ：一三堡垒鎏!：些竺堡竺堡皇兰：堡塑堡坠鍪竺堡些皇坠垫查堡垒 此类变换也称之为g a b o r 变换，变换的结果是关于和b 的函数。 这种变换的重要性在于实现了时域和频域的局部化。在时域局部化方面，它 通过引入的时窗函数甜o ) ，使时域信号，如) 在f = b 附近被局部化为，( r ) m ( f 6 ) 。在 频域局部化表现方面，观察( g ，6 ) 的表现，特别是在某个确定的棚：叼处关于 ( g ，h 6 ) 的表现。若0 ) 在= 叩附近是有局部化作用的，频域信息i ( o ) a 能在 哪= 叩附近被局部化。总之，w f t 是在t 。b 附近的时间窗中观察时域信号，矗) ，在 = 叩附近的频率窗中观察频域信号，0 ) 。显然，要使w f t 能用于时一频局部化分 析，必须对( f ) 和讲b ) 提出合适的要求。 2 2 2 2 短时时一频分析 实际应用中，我们常需要分析频域特性随时间变化的非平稳信号，即需要了 解某些局部时域信号所对应的主要频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在 哪些时间段上，提出了对短时段信号对应的局部频域特性要求。 f o u r i e r 分析对时一频局部化要求是无能为力的。一方面，f o u r i e r 变换要求 提供信号在时域中的全部信息，但是，) 只提供关于尺的整体信息，反映短时 段时域信号的局部频域特性却无法知道。另一方面，时域信号的局部改变会影响 ，) 的全局改变，白) 在某个特定的( ，处的表现不可能通过局部时域信号得到， 它需要提供时域信号的全部信息。这清楚地表明：时域中某点的局部变化会影响 频域全局：同时频域中的某点的局部变化也会影响到全部时域，因此f o u r i e r 分 析方法没有时一频局部化功能。 2 2 ，2 3 时窗、频窗和时一频窗 时窗函数起着时域局部化的作用，( ，) - o 一6 ) 就表明f t b 处的局部时域信号 2 , 3 1 。时窗函数啦) 的开窗效果是用时窗中心f 和时窗半径。来表示。时窗中心可 以仿照力学中关于重心的描述来定义，即有： “川嘶) 2 出朋w ( f ) 2 斫 ( 2 6 ) 时窗函数半径可仿照力学中求矩量的办法来定义，即有： 铲伊r + 2 嗍w ( f ) 2 疵 亿，) 频窗函数0 白着频域局部他的作用，以) 是时窗函数，如) 是频窗函数。 因此频窗函数的开窗效果度量类似于时窗效果度量。其中频率中心定义为： + = 刊 2 d 刊卜 她s ， 频窗半径。定义为： 。= f 。) 如j 2 如剧如j 2 d m 必 汜。， w ( f ) 作为时窗函数，不一定要求它是紧支撑的，关键是要满足t 和，是有限的。 同样w 幻) 作频窗函数，应使得和a 。是有限值。总之，要使嘶) 可以作为时窗函 数，谱函数w 0 ) 可以作为频窗函数，嘶) 和啦) 应都具有较强的衰减性。 若w 0 ) 和w 0 ) 能分别起着时窗和频窗的作用，则可以简称础) 为窗函数。它的 时域局部化作用被限制在时窗区问： i t + b 】一a ，i f + + b 】+ a ， ( 2 1 0 ) 它的频域局部化作用被局限在频窗区间： + 7 一。，0 + + t 7 + 。 ( 2 1 1 ) 可构建时一频坐标系，用时窗区间和频窗区间形成矩形时一频窗，如图所示。 时一频窗是窗函数的时一频局部化功能的几何直观描述。在w f t 中，在时窗中心 和频窗中心有移动的情况下，其时窗半径a 。和频窗半径。是不会改变的，即在w f t 的时一频坐标系中，任意的窗中心 叩) 所在的时频窗面积恒为4 a ，a 。不变。 图2 1f o u r i er 变换的时一频窗 2 ，2 2 4w f t 的某些局限性 就时一频局部化而言，w f t 在f o u r i e r 分析的基础上取得了本质的进步。用 w f t 分析信号可在时一频这个局部范围内观察，时一频窗面积反映了时一频局部化 的精细程度i z 】。 时一频局部化的精细程度还反映在时一频窗的形状上。低频信号在大的时间 范围内幅值变化慢，频率范围窄，分析低频信号的时一频窗特点应该是时窗宽而 频窗窄：高频信号在较短的时间范围内幅值变化快，频率范围宽，分析高频信号 的时一频窗特点应该是时窗窄且频窗宽。在给定的实际模拟信号中，常常同时含 有表示某种特定情况的低频信号段和表示另外特定情况的高频信号段，此时需要 一维连续小波变换的低i b 维，低功耗对数域集戚i u 路技术综合 一种自适应的时一频局部化方法。但是窗口f o u r i e r 变换的时频窗形状是固定的， 当分别分析高频和低频的信号时，会出现窗口形状的适应性问题。 在时一频局部分析中要求将频域分成若干个细小的频带，分析信号在各个频 带中的表现；还要求实时地、精细程度更高地、自适应地分析信号。这些问题都 是窗口f o u r i e r 变换所无法处理的。 2 2 ，3 小波分析 小波变换，又可以称为多分辨分析，是在f o u r ie r 分析的基础上发展起来的， 与f o u r i e r 分析相比有着许多本质性的进步。小波分析提供了一种自适应的时域 和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频信号，它都能自动调节时一 频窗，具有很强的灵活性，能聚焦到信号时段和频段的任意细节，被喻为时一频 分析的显微镜，它使得时一频分析的方法和应用得到了辉煌的发展【1 , 2 1 。 2 2 3 1 多分辨分析 1 9 8 6 年s m a l l a t 和y m e y e r 在多尺度逼近的基础上提出了多分辨分析的概念， 它是理解和构造小波的统一框架【5 1 。一般来讲，多分辨分析是在l 2 ( r ) 函数空间内， 将函数，描述为一系列近似函数的极限。每一个近似都是函数厂的平滑版本，而 且具有越来越精细的近似函数。这些近似都是在不同尺度上得到的，多分辨分析 也由此得名1 2 】。 由于多分辨分析是以多尺度逼近为基础，因此我们先来了解一下多尺度逼近 的含义。多尺度逼近是指函数i ( f ) e t 2 伍) 用一串不同尺度j 的函数序列分7 靠) j 来逼 近，实际就是指一串嵌套式子空间逼近序列杉j 。，它满足下列要求： ( 】) c v jc 。c 工2 c r ) ，q = ) ) ，堕= l 2 ( r ) ； ( 2 ) v = 印觚审”( f ) 虬( f ) 一妒( 2 卜女j 七z 土 ( 3 ) 纵) 黜i e s z 基棚a ；sj c 印s 匦吨“卜曰荟。 以多尺度逼近概念为基础，多分辨分析是指嵌套的子空间逼近序列e 匕，它 满足下列要求： ( 1 ) c v i c v “c c _ l 2 c r ) ，q _ 2 ) ) ，u 商_ z v j2 工2 ( r ) ； ( z ) _ 一印n n 妒，o 扣，t ( f ) 一：。妒e ，r 一七) 七z ： 硕士学位论文 ( 3 ) 双尺度方程妒( f ) ； 。( 2 f n ) ，岳。) f 2 ； ( 4 ) 书o 一七) ) 是r i e s z 基。 2 2 3 2 小波函数 小波函数一般具有以下的特点：( 1 ) 它们在时域都具有紧支集或近似紧支集， 即函数定义域有限；( 2 ) 由于小波母函数满足允许条件，则必有下式成立 妒0 ) 。一0 ，即直流分量为零，由此断定小波必具有正负交替的波动性；( 3 ) 若妒o ) 是一个合格的窗函数，它的振幅衰减会很快。 将母小波函数妒( f ) 进行伸缩和平移，设其时间轴尺度伸缩参数为口，时间平移 参数为6 ，a 啦是归一化因子，是为了使不同尺度的小波保持相等的能量。令平移 伸缩后的函数系为妒。o ) ，有 妒曲( f ) ：d 彤妒f 业1 ，a e r ，n ，o ，b e r ( 2 12 ) 、 口 ， 色们是由同一母函数t f ，0 ) 经伸缩和平移得到的一组函数系列，称为小波函数族。 2 2 3 3 时间一频率分析 我们在利用f o u r i e r 变换公式从模拟信号中提取频谱信息，就要取无限的时 间量使用过去的和将来的信号信息只为了计算单个频率的频谱。f o u r i e r 公式不 能反映出随时间变化的频率。如何在确定时间间隔内，在任何希望的频率范围上 产生频谱信息。另外，因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，对于高频信 息，时间间隔要相对地小以给出较好的精度；对于低频信息，时间间隔要相对的 宽以给出完全的信息，即要有个灵活可变的时一频窗，使在高的频时自动变窄， 而在低频时自动变宽【5 1 。关于基小波函数妒的小波变换就具有这样的伸缩能力。 妒及其f o u r i e r 变换妒都必须有足够快的衰减，才能作为窗函数。我们定义 一个可积函数w 做窗函数时的窗函数中心f 与半径a ，如下： 一2 志尉w g 】2 出 i = 南m 胍) 2 出于 ( 21 3 ) 窗函数w 的宽度由2 确定。 假定做为窗函数的一个基小波函数妒及其f o u r i e r 变换妒分别采用t + 、甜、 。、。给出中心与半径。那么模拟信号的积分小波变换把信号限制在“时间窗” 的范围内，该时间窗范围是： 一三堡垒璧：些竺堡竺堡! ! 垒：堡丝堡鍪鍪璧耋垒兰塑丝垄堡窒 【6 十a l a a ，b + a l + 十口，一 ( 2 14 ) 其巾窗的中心在b + a t ，而窗的宽度由2 a a ，给出。在信号分析中这被称为“时 间局部化”。 假设叩0 ) ，参0 + ) ，那么印还是一个具有中心在0 且半径由a 。给出的窗函 数，该频率窗的范围是： a 三a 虬，鸟a 10 亿z 踟 这个窗的中心在哆而宽度由2 ：么给出，这称之为频率局部化”。 以上两个范围的界定就构成了基小波函数的时一频窗。但是有几点必须注意。 首先，因为最终必须考虑正频率，基小波妒应该选取使妒的中心是一个正数。 实际上，这个e 数与正尺度参数a 一起以这样的方式选择：哆 是所研究的频带 h ，等+ 缸卜心频率，于肿心频率与带宽之慨 优产，。 焉每；兰l ( 2 1 6 ) 2 。2 , 5 。 。 它与中心频率位置无关的，是一个由频率窗决定的适配带通滤波器，通常这称为 “常数o ”频率分析。尺度的倒数z 在一定意义上对应于频率，即尺度越小 对应频率越高；尺度越大，对应频率越低。在时间窗上，小尺度信号为短时信号， 大尺度信号为长时间信号。小波的时、频窗的大小都随频率的变化而变化，但窗 口的面积保持不变，即时间、尺度分辨率是相互制约的，刁；可能同时提高。时间 一频率窗的矩形图如图2 2 所示。 图2 2 小波变换的时一频窗 t ；。；。；。；。；丝兰塞兰垒垒l 一 时问频率窗公式的重要性在于，对于大的中心频率知，窗变窄；对于小的 中心频率 a ，窗变宽虽然窗的面积是由4 ，。给出的常数。这正是在时间 频率分析中最希望的情况。 2 2 3 4 连续小波变换 连续小波变换的完整的定义描述如下： 设x o ) 是平方可积函数，妒( r ) 是被称为基本小波或母小波的函数，就有如下定 义： 、吼g ，f ) 。 f z t ) 妒f 上二! k f ( 2 1 7 ) 1 ，露。 l 口 称为工o ) 的小波变换。其中n ，0 是尺度因子，r 反映位移，其值可正可负，而 妒。t ) ：下1 妒f 尘三1 是基本小波的位移和尺度伸缩。f 、n 、f 均为连续变量。 日 口， 连续小波变换是一种积分变换，但是它又不同于f o u r i e r 积分变换。小波基 具有尺度a 、时间位移z 两个参数，因此将函数在小波基下展开，就意味着将一个 时间函数投影到二维的时间和尺度平面上，并且由于小波基本身所具有的特点， 将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。尺度和时移均连 续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过渡完全基，这就意味着其任意函 数的小波展开系数之间有一个相关关系。 连续小波变换的系数具有很大的冗余量。从节约数据量来说，这是它的缺点 之一，但是从另一方面来说，我们可以利用连续小波变换的冗余性实现去噪和数 据恢复的目的。若采用的连续小波满足允许条件，则逆变换存在，可根据信号的 小波变换系数精确地恢复原信号。 2 3 小波分析的应用 小波分析的应用研究是