（材料加工工程专业论文）短纤维增强塑料充填过程中纤维取向的数值模拟和实验分析.pdf

摘要 摘要 纤维增强复合材料的机械、物理性能很大程度上依赖于纤维增强的特性， 如纤维的取向状态、纤维的长径比等，而纤维取向状态对复合材料物理性能影 响的研究更为广泛。在世界范围内，注射成型在塑料制件的生产中都占据着十 分重要的地位，而对注塑件中的纤维取向研究多集中于充填阶段。在实际的生 产过程中，制件不同部位的纤维取向是差异很大的，当纤维沿某个方向固定取 向时，容易引起局部的各向异性而引起制件内部残余应力不均，造成制件收缩 不均、翘曲变形等不期望的结果。在众多的纤维悬浮流研究中，通常采用两个 e u l e r 角对纤维在空间中的取向状态进行描述，然后通过数值分析的方法获得它 们随时间变化的函数表达式，即可获得不同类型流场中的纤维取向。 在本文中，主要有两方面的工作，首先对所建立的圆盘模型中的速度场进 行化简并推导，然后在j e f f e r y 运动方程的基础上，通过随体坐标系法和计算机 编程对所建立的圆盘模型算例中的纤维取向状态进行数值求解。另一方面通过 实验的方法利用偏光显微镜获得两个实际的圆盘制件中的纤维取向情况，并将 实验结果与数值分析的结果进行对比讨论。通过数值模拟与实验相结合的方法， 得到了圆盘模型中纤维取向的总体情况，主要有以下几点结论： ( 1 ) 圆盘模型流场中的纤维沿高度方向分别受到不同的剪切作用和拉伸 作用，并且纤维取向不受仞始取向角的影响。 ( 2 ) 在模型的表面层，纤维只受到剪切作用，其取向主要是平行于流场 方向，并在较长的时间内处于该取向方向，只在极短的时间内进行翻转。 ( 3 ) 在模型的中心层，纤维只受到流场的拉伸作用，纤维的取向状态则 主要是平行于拉伸方向即垂直于流场方向。 ( 4 ) 在模型表层和中心层之间的中间层位置，纤维同时受到拉伸作用和 剪切作用，其取向情况则是前面两种情况的组合，一部分纤维主要平行于流场 方向取向，一部分主要垂直于流场方向取向。并且沿着高度方向，当剪切作用 处于主导地位时，纤维将较多地平行于流场方向取向，当拉伸作用占主导地位 时，纤维将较多地沿平行于拉伸方向取向。 摘要 关键词：纤维取向，纤维动力学，纤维悬浮流， 随体坐标，中心浇1 3 圆盘， 实验 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h em e c h a n i c a la n dp h y s i c a l p r o p e r t i e so ff i b e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t e sa r e s t r o n g l yd e p e n d a n to nt h eq u a l i t yo ft h e i rr e i n f o r c e m e n t ，s u c ha ss i t u a t i o no ff i b e r o r i e n t a t i o n ，a s p e c to ff i b e ra n ds oo n ，b u tt h er e s e a r c ho ft h ei n f l u e n c ef i b e r o r i e n t a t i o nm a d eo np r o p e r t i e so ff i b e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t e si s e s p e c i a l l yw i d e i n j e c t i o nm o l d i n gs t i l lo c c u p i e sa ni m p o r t a n tp o s i t i o no np r o d u c t i o n so fp l a s t i cp a r t s a l lo v e rt h ew o r l d ，h o w e v e ram a j o r i t yr e s e a r c ha b o u tf i b e ro r i e n t a t i o no fm o l d e d p a r t sc o n c e n t r a t eo nf i l l i n gs t a g e i na c t u a lm a n u f a c t u r i n gp r o c e s s e s ，t h e r ei sg r e a t d i f f e r e n c eo nd i f f e r e n tp o s i t i o no f p a r t s ，a n dt h a tw i l lb r i n gi m b a l a n c er e s i d u a ls t r e s s d u et oa n i s o t r o p yw h e nf i b e r so r i e n tt h e m s e l v e sa l o n gs o m ed i r e c t i o n ，i n f i n a l l y s o m eu n e x p e c t e db e h a v i o rw i l lb ep r o d u c e d ，s u c ha ss h r i n k a g e ，w a r pa n ds oo n i n m o s to fr e s e a r c ha b o u ts u s p e n d i n gf l u i do ff i b e r , t h es i t u a t i o no ff i b e ro r i e n t a t i o n u s u a l l yb ed e s c r i b e dw i t ht w oe u l e ra n g l e si ns p a c e ，t h e na f t e rt h ef u n c t i o nb e t w e e n t h ee u l e ra n g l e sa n dt h et i m e sc h a n g ec a nb eo b t a i n e d ，t h es i t u a t i o no ft h ef i b e r o r i e n t a t i o nc a nb eg o ti nk i n d so f f l o wf i e l d i nt h i sp a p e r , t h e r ea r em a i n l yt w oa s p e c t so fw o r k ，f i r s t l yt h ev e l o c i t yf i e l do f t h ec e n t e r - g a t e dd i s km o d e lw i l lb er e d u c e d ，t h e no nt h eb a s eo fj e f f e r ym o t i o n f u n c t i o n ，t h es i t u a t i o no ff i b e ro r i e n t a t i o no ft h em o d e lc a nb eo b t a i n e dt h r o u g ht h e c o r o t a t i o n a lc o o r d i n a t es y s t e ma n dc o m p u t e rp r o g r a m m e o nt h eo t h e rh a n d ，t h e f i b e ro r i e n t a t i o no ft w oa c t u a ld i s km o d e l sc a nb e g o tt h r o u g he x p e r i m e n tb y p o l a r i z e do p t i c a lm i c r o s c o p y ( p o m ) ，t h e nt h e r ew i l lb ec o m p a r i s o na n dd i s c u s s i o n b e t w e e nn u m e r i c a ls i m u l a t i o na n de x p e r i m e n tr e s u l t t h r o u g hc o m b i n a t i o no f n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t ，t h eg e n e r a ls i t u a t i o no ff i b e ro r i e n t a t i o nc a n b eg o ti nt h ec e n t e r - g a t e dd i s km o d e l ，a n dt h e nt h e r ea r es o m ec o n c l u s i o n sb e l o w ： ( 1 ) t h ef i b e r se n d u r ed i f f e r e n ts h e a ra c t i o na n ds t r e t c h e ra c t i o na l o n gt h e h e i g h to ff l o wf i e l di nt h ec e n t e r - g a t e dd i s km o d e l ，a n dt h e r ei sn oi n f l u e n c eo n v e l o c i t yg r a d sd u et oi n i t i a la n g l eo ff i b e r ( 2 ) i nt h es u r f a c el a y e ro ft h em o d e l ，u n d e rp u r es h e a ra c t i o n ，t h ef i b e r sw i l l a b s t r a c t m a i n l yo r i e n tp a r a l l e lt h ef l o wd i r e c t i o na n dk e e pm o n gt h i sd i r e c t i o nf o ral o n gt i m e ， b u to v e r t u r nw i t h i nq u i t es h o r tt i m e ( 3 ) i nt h ec e n t r a ll a y e ro ft h em o d e l ，o n l ys t r e t c h e ra c t i o na c t so nf i b e r s ，a n d t h ef i b e ro r i e n t a t i o ni sm a i n l yp a r a l l e lt h es t r e t c h e rd i r e c t i o n ( i e p e r p e n d i c u l a rt ot h e f l o wd i r e c t i o n ) ( 4 ) i nt h el a y e r sb e t w e e nt h es u r f a c el a y e ra n dt h ec e n t r a ll a y e r ，t h ef i b e r sw i l l b ei n f l u e n c e db yb o t hs h e a ra c t i o na n ds t r e t c h e ra c t i o n ，s ot h ef i b e ro r i e n t a t i o nw i l l b ec o m b i n a t i o no ft w oc o n d i t i o n si nt h ef r o n t s o m ef i b e r sa r ep a r a l l e lt h ef l o w d i r e c t i o n ，a n do t h e r sa r ep e r p e n d i c u l a rt ot h ef l o wd i r e c t i o n a l o n gt h eh e i g h to ft h e f l o wf i e l d ，m o s to ft h ef i b e r sw i l lb ep a r a l l e lt h ef l o wd i r e c t i o nw h e nt h es h e a ra c t i o n i so nt h ed o m i n a n c e ，b u to nt h eo p p o s i t ew a y , t h em a j o r i t yf i b e rw i l lp a r a l l e lt h e s t r e t c h e rd i r e c t i o n k e yw o r d s ：f i b e ro r i e n t a t i o n ，f i b e rd y n a m i c s ，f i b e rs u s p e n s i o n s ，c o - r o t a t i o n a l c o o r d i n a t es y s t e m ，c e n t e r - g a t e dd i s k ，e x p e r i m e n t i v 1 绪论 1 绪论 1 1 引言 随着社会的发展，科技的进步，人们对物质性能和外观要求的不断提高， 金属等传统的单一材料已经远远不能满足社会对原材料的需求，复合材料的出 现和发展，在很大程度上解决了这一问题。复合材料是指由两种或两种以上 不同性质的材料以物理或化学的方式组合而成的在宏观上具有新性能的 材料，通常具有两种材料的优点，能够提供单一材料无法比拟的优剧。复合 材料可以克服单一材料的不足而充分发挥各种材料的优点，大大地扩展材 料的使用范围。由于复合材料具有质轻、高模量、高强度、加工方便、弹 性优良、耐化学腐蚀和耐候性好等优点，已逐步取代木材及金属等传统材 料，广泛地应用于航空航天、汽车、电子电气、建筑、健身器材等领域， 在近十年来更是得到了飞速发展，并且由于组成复合材料的各种基质材料的 成本一般并不高，因此可以大大降低生产成本【2 】。 在美国和欧洲，复合材料已广泛地应用于汽车、航空航天等领域，f 2 2 战机、波音7 3 7 客机等机身或其它零部件位置复合材料的应用已高达1 5 以上。在邻国只本，复合材料则主要用于住宅建设领域，较之欧美国家所 用的汽车领域，同本的用量则相对较小。但从全球范围看，随着汽车工业 的发展，人们对汽车使用性能要求的f 1 益提高，复合材料在汽车工业领域 上将仍有广阔的市场，今后的发展潜力仍将十分巨大，为此，各个国家或 研究机构目前j 下在开发多种新材料技术以满足汽车轻量化要求。此外，碳 纤维复合材料在航空航天应用领域也有着广泛的应用，如机翼部件、垂直 尾翼、机头罩等。与此同时，在民用领域的基础设施诸如桥梁、道路等建 设中，复合材料也有着非常广泛的应用。总之，复合材料以其特殊和无可比 拟的优点证在取代传统材料以突飞猛进的速度在发展。 复合材料中以纤维增强塑料应用最广、用量最大。纤维增强塑料一般称 为f r p ( f i b e rr e i n f o r c e dp l a s t i c s ) ，是以塑料为基体，以各种纤维( 碳纤维、玻 璃纤维、会属纤维、特种纤维) 为分散质的高分子复合材料。纤维增强塑料因 其组成材料的种类、数量、纤维初始取向以及其他可以影响材料性能的相关参 1 1 绪论 数可以自由选择，因而具有质轻、高强度、高刚度、高模量、优良的电磁和电绝 缘性能、耐腐蚀、耐蠕变等优点p j 。随着对纤维增强塑料的研究越来越深入以 及应用越来越广泛，其发展将更为迅速。 纤维增强塑料的另一个重要特点是各向异性，因此可通过设计纤维的 排列取向来满足制件不同部位的强度要求。在注射成型工艺中，纤维增强 塑料在型腔内部会产生复杂的流动模式，在不同的时刻和位置，熔体中的 纤维会受到不同的流场作用而进行平动和旋转，最终将沿一定方向取向排 列，导致制品呈现各向异性，或在固化过程中因产生残余应力而使制品产 生翘曲变形【4 】。另一方面，作为制件微观结构的重要特征，纤维的取向分 布也对制品的诸如力学性能、光学性能、热物理性能有着巨大的影响。因 此，为了预测和控制产品的性能，需要对纤维的取向分布进行数值模拟预 测并对与纤维取向相关的力学性能进行分析，从而可以在实际产品成型前 对塑件质量进行全面的评测，这在工程领域中进行有效生产是十分有意义 的。 总的来说，对增强纤维取向分布的预测和分析，将为产品性能设计及 预测、模具设计及修改和优化工艺参数提供重要的依据，这对工程技术人 员来说也是很有意义的。 1 2 研究进展 随着近年来纤维增强塑料的广泛应用，为了有效地生产所需制品，预测流 动诱导纤维取向的变化显得越发重要。因此，近十多年来，相当多的研究人员 对此领域进行了大量的研究，目前已形成了众多的理论，在预测纤维悬浮流中 纤维取向的领域取得了很大成果l 孓m 】。 1 9 2 2 年，j e f f e r y 提出了第一个用于描述轴对称粒子取向的演化方程理论， 在他的研究中，根据流体动力学理论，通过分析研究浸没在均匀的牛顿型的 s t o k e 流体中单个椭球型粒子的运动取向情况，建立了适用于稀悬浮液的粒子运 动的动力学方程，而这个方程也可以很容易地扩展应用到研究纤维耿向的领域， 同时在进行相关的假设条件下，对j e f f e r y 方程进行解析可以发现椭球型粒子的 运动轨迹是呈周期性旋转的，其轨迹则被命名为j e f f e r y 轨迹，1 2 j 。为了建立更 准确的流变学方程，人们提出了多种悬浮液模型，而几乎所有的悬浮液模型都 2 l 绪论 是建立在j e f f e r y 研究的基础之上的。 b r e t h e r t o n 在j e f f e r y 方程的基础上，引入了等效长径比，可以用于描述悬 浮在牛顿流体中的任意一个轴对称粒子的运动i l 引。b a t c h e l o r 推导出了适用于悬 浮在任意浓度纤维悬浮液中的纤维粒子的连续性方程，并给出了纤维粒子微观 结构和它显示出来的宏观性能之间的关系式【m o7 1 。d i n h 和a r m s t r o n g 以 b a t c h e l o r 模型为基础，结合j e f f e r y 方程，推导出了均相半稀牛顿流体悬浮流中 无限长刚性纤维粒子的动力学本构方程，并且该模型的预测结果和熔体复杂的 流变学行为符合的很好，表明这个本构方程能从根本上抓住所要解决问题的本 质，从而可以通过求解该流变方程获得纤维取向的相关信剧1 引。a u s i a se ta l t l 9 】 对刚性长纤维的稀相悬浮液进行了研究，获得了该体系下的动力学方程，然后 对该方程进行扩展演化后应用到了浓相悬浮液，并提出了一个参数用来表示应 力与纤维取向之间的联系【2 0 】。 基于上述本构方程，国内外众多学者对不同性质流场体系中的纤维取向进 行了预测。目前对纤维取向的描述主要有两种方法，一种是所需计算量巨大的 概率密度函数，另一种方法是采用取向分布函数的矩即取向张量进行描述，该 方法仅需较少的分量即可描述空间中纤维粒子的取向状态，所以应用最广泛。 目前的研究多集中在注射成型过程中的充填阶段。为了考虑纤维粒子间的 相互作用，f o l g a r 和t u c k e r 在j e f f e r y 方程中引入了扩散项，并通过计算纤维 取向分布函数获得纤维取向角随时间的变化关系，这个现象学模型表明悬浮液 中的纤维运动主要受到两方面力的作用，一个是流场的作用，另一个是纤维间 的内部相互作用1 2 1 ，2 2 1 。通过引入取向张量，a d v a n i 和t u c k e r t 2 3 2 4 】对f o l g a r - t u c k e r 模型进行了扩展，此模型相比于取向分布函数十分简便，但其涉及到了高阶张 量的闭合近似问题，因此近年来也提出了几种相关的研究理论【2 5 ，2 6 1 。s h a q f e h 和 k o c h 的研究表明，在拉伸流场中，纤维内部间的相互作用更易引起和增加无限 稀溶液和浓溶液中的纤维取向，而减少半稀相溶液中的纤维取向【2 7 l 。f i s c h e r 通 过实验对实际制件中纤维取向状态进行了研究，并将实验结果与模拟结果进行 比较，获得了较一致的结果1 2 引。e g k i m 和j k p a r k 采用x 射线照像及图像扫 描法获得了制品中的纤维取向情况，并将m o l d f l o w 模拟结果与实验结果进行了 对比【2 9 】。 不同性质的流场在影响纤维取向行为的同时，也由于加入了短纤维而增加 了流场在成型过程中的复杂性，加之型腔的不规则状，从而难以准确地掌握流 3 1 绪论 场的流动状态。众多的研究人员对此问题也进行了深入的研究。s t o v e rc a 等人 研究了稀相悬浮液的纤维入口流动，研究表明，在纤维的影响下，剪切粘度是 随剪切应力变化的周期性函数【3 叭。基于d i n h a r m s t r o n g 模型，p a p a n a s t a s i o u 和 a l e x a n d r o u 对浓相纤维悬浮液进行了研究，并通过有限元的方法对j e f f e r y 方程 进行求解得到了纤维取向角的变化。a l t a n 建立的类似的模型表明，在假设纤维 很细并且纤维间的作用力很小的情况了，纤维的存在会影响半稀相纤维悬浮流 的各项性质，并且当流体呈稳态流动时，其各项性质呈抛物线式分布【3 1 , 3 2 】。 为了考虑更接近实际生产的情况，部分学者也在各种模型中添加了经验项 以模拟纤维间的相互作用。j a yh p h e l p s 等人提出了一种各项异性的旋转扩散项 模型，可以扩展应用到短纤维和长纤维增强的热塑性制件中【3 3 1 。m a r k oh y e n s j o 和a n d e r sd a h l k i l d 对平板收缩流中的旋转扩散系数进行了研究【3 4 】。m i n ad i a l i l i m o g h a d d a m 等人对纤维悬浮液提出了一种纤维间短程相互作用的模型【3 5 1 。 在国内，也有很多研究者对纤维悬浮流进行了研究。周持兴等人采用 d o r a i s w a m y 和m e t z n e r 流变模型，数值模拟了高浓度纤维悬浮体系中的纤维取 向状态，然后将模拟结果与实验结果进行了对比验证，取得了较一致的结果， 同时也验证了核壳结构的纤维取向状态 3 6 - 3 8 】。林兰芬等人采用有限元和有限差 分混合的方法，模拟了型腔中的熔体流动，并以d i n h a r m s t r o n g 本构方程为基 础建立了充模流动和纤维取向耦合的仿真模型【3 殂。 此外，林建忠等人数值模拟了柱状粒子在楔形收缩流场中的取向分御函数， 在考虑纤维所受各方面力的情况下，得到了纤维分布函数与粒子方向角的关系 曲线，研究结果表明，熔体的s t o k e s 数对纤维的运动有着明显的影响，s t o k e s 数越小纤维的转动越明显反之纤维几乎不转动 4 3 - 5 2 】。 目前的研究大多集中于注塑成型过程中的充填阶段，但在注塑成型制品的 过程中，熔体在充填之后还需经历保压阶段，由于聚合物熔体的可压缩性而产 生了聚合物的流动，于是纤维在这种流场的作用下会重新取向，使最终制品中 的纤维取向状态与充填结束所得到的纤维取向状态有很大的差别。为此，也有 相关的学者对成型过程中的其它问题进行了研究。s e o kw o nl e e 5 3 l 等人对本构 方程、连续方程、动量和能量方程采用数值解法得到了模具型腔结构的流场， 采用有限元方法解析了取向分布的张量描述方程，最终得到了保压阶段后的纤 维取向分布。m a l z a h n 和s c h u l t z 通过实验的方法对熔体充填阶段未期和保压阶 段结束后的纤维取向变化进行了观察和定性的对比，并没有做相关的的定量对 4 i 绪论 比，而且研究结果对纤维取向变化的描述也不够充分。 1 3 论文主要工作 在注射成型纤维增强聚合物制品的型腔中，主要存在着两种应力：拉伸应 力和剪切应力，纤维在这两种应力的作用下会随着流场的变化而不断进行翻转 取向，最终固化在制品当中，而在制品内部形成残余应力影响制品的各项性能。 因此，为了预测纤维增强制件的性能需要研究制件中纤维的取向情况。 本文主要以纤维增强圆盘制件为例，利用随体坐标方法通过数值模拟获得 圆盘中的纤维取向状况，并通过实验获得制件中实际的纤维取向，以验证数值 模拟结果。 本论文的主要工作有： ( 1 ) 以j e f f e r y 方程为基础，推导出利用两个e u l e r 角表示的纤维取向的状 态方程。 ( 2 ) 推导出简单平面流场中纤维取向的状态方程，并揭示纤维取向的运动 规律。 ( 3 ) 引入随体坐标，并建立圆盘制件模型。 ( 4 ) 利用随体坐标法通过编制的计算程序数值模拟圆盘制件模型中的纤维 取向情况，并利用实验的方法获得特定圆盘制件中的实际纤维取向情况，然后 将它们进行比较分析。 2 纤维取向的理论基础 2 纤维取向的动力学研究 2 1稀相悬浮流中短纤维的动力学行为 对几乎所有的稀悬浮流模型的研究中，有以下几个基本的假设： ( 1 ) 纤维的体积百分比c 很小，可以忽略纤维间及纤维和流场域边界问的作 用。 ( 2 ) 纤维的长度相比于任何的流场，其尺寸很小。 ( 3 ) 纤维的长径比，( 或有效长径比，以) 是均匀统一的。 ( 4 ) 悬浮液是不可压缩的牛顿性流体。 ( 5 ) 内部的和外部的主要作用力可以被忽略。 然而，在实际应用中，即使纤维体积分数仅为l 的纤维悬浮液也不能达到 上述条件。实际生产所用的纤维增强塑料的纤维体积分数一般均在1 0 以上， 有的甚至达到了5 0 以上，已经达到了半稀或浓悬浮液的程度，这种情况下， 必须要考虑纤维间的相互作用了1 5 5 j 。 尽管稀悬浮液理论模型缺少实际的工程应用意义，但是研究人员在基于这 些基本的理论模型上通过经验方法进行扩展后，产生的新理论模型可以被应用 到较高浓度的悬浮液中。与此同时，短纤维增强热塑性复合材料是注射成型中 应用最广泛的，由于聚合物流体的粘度较高，而通常纤维较细小且体积含量也 较低，因此可以将纤维看作是均匀悬浮在熔体之中的【5 6 1 。为了研究方便本文将 纤维悬浮流近似看作牛顿流体并作为研究对象，并将悬浮在流体中的纤维看作 是刚性的形状均匀的棒状粒子。 2 1 1 单纤维取向的描述 我们以稀悬浮液为研究对象，认为每根纤维在流场作用下所做的运动基本 相同。为了研究悬浮流中纤维的取向状态，本章将仅以其中的一根纤维为研究 对象，通过研究其在流场中不同时刻和位置的运动状态，以对整个流场中其他 纤维的取向状态进行预测。 首先，为了便于研究，通常作如下假设： ( 1 ) 纤维为刚性的棒状粒子； 6 2 纤维取向的理论基础 ( 2 ) 纤维的尺寸大小均匀而统一； ( 3 ) 随机均匀的纤维初始取向状态。 作了上述假设条件之后，悬浮在流场中的纤维运动将简化为刚性的棒状粒 子在流场中的运动。同时用一个与纤维取向方向一致的单位矢量p 来描述单纤 维的取向，而该单位矢量在空间中则可以通过两个e u l e r 角( 角秒和角) 来描 述。由此，流场中的任一纤维在某一位置的取向行为可以通过这两个角变量 ( 口，) 在球坐标中完整的描述出来1 55 1 ，如图2 1 所示。 x 1 x 3 图2 1 单纤维取向欠量 x 2 舻针罔 汜， 用分量形式则可分别表示为：鼻= s i n o c o s # ，最= s i n o s i n # ，只= c o s o ，其 中鼻，马，b 是内部相关的，因为只只= i ，因此只有两个独立分量。 2 纤维取向的理论基础 称关系：p 寸一p ，在球坐标下，口_ 万一9 以及矽_ 万+ 矽。如果需要描述上述 假设之外的纤维粒子则需要采用其它的描述方式。 本文中，将纤维的长度和直径的比值定义为纤维的长径比，用九表示。然 后定义一个关于长径比九的函数，即纤维的形状因子五，其表达式如下： ；t - - 掣( 2 2 ) + l 其中以= l d 为纤维的长径比，对于注塑级短纤维增强聚合物，纤维的7 。通 常为1 0 5 0 ，但是根据儿的取值，通常也存在着以下几种比较特殊的情况： ( 1 ) 当九哼0 0 时，认为a = l ，纤维为长纤维； ( 2 ) 当心= l 时，a = 0 ，纤维为球形状； ( 3 ) 当以一0 时，认为五= 一l ，纤维为圆盘状。 但是，以上的观点仅对刚性粒子适用。 本小节主要描述了单根纤维的形状以及如何简便地表示单根纤维在流场中 的空间位置，那么，采用上述假设能够比较简便地描述纤维的运动取向行为。 2 1 2 单纤维在流场中的动力学方程 悬浮在流体中的纤维粒子，在流场的作用下主要存在着两种运动趋势，一 种是沿某方向上纤维中心的平动，另一种则是流场引起的纤维粒子的转动p1 5 5 】。 即使以单根纤维作为研究对象，在实际情况中，悬浮在流体中的纤维也会受到 相当复杂的作用力影响。但在本文中，主要考察稀相悬浮液的情况，在这种情 况下，纤维本身的长度要远远小于纤维问的平均距离，因此，纤维问由于距离 较远，很少相互作用，可以忽略纤维问的相互作用。 此外，悬浮在纤维悬浮流中的纤维体积和重量都很小，因此在研究其中的 纤维运动时，为了研究方便，可以忽略纤维本身的重量，同时，相对于流场速 度，纤维本身的质心运动速度是相当小的，而低雷诺指数的纤维悬浮流对纤维 的影响也较小，这样，经过简化就可以认为流场作用是影响纤维运动的主要因 素。综合以上各方面原因，稀相纤维悬浮流可以近似地采用斯托克斯流( s t o k e s f l o w ) 来描述，其本构方程为： v 2 u = 上跏 ( 2 3 ) 8 2 纤维取向的理论基础 v “= 0( 2 4 ) 其中u 为流体速度，为流体的粘度系数，p 为压力。该方程可以用束描述 任意形状粒子的绕流问题。因此，在本文中，前面假设的悬浮液中的刚性纤维 粒子的动动问题也将通过此方程进行描述。( 2 3 ) 式是动量守恒方程，其中不 包含与时间相关的一般变化项，( 2 4 ) 式为演化后的质量守恒方程。 根据前面的假设，在稀相纤维悬浮液之中，纤维间的距离远大于纤维自身 的尺寸，纤维问相互作用的机会是非常小的，因此可以忽略纤维间相互作用， 那么，悬浮在流场中的纤维运动将主要与流场以及基体本身性质有关。在这种 情况下，纤维的运动可以用质心的速度表示，如图2 2 所示。并且刚性纤维粒 子内部不存在相对运动，因此旋转矢量p 与单位矢量p 是相互正交的。 图2 2 纤维的取向久餐p 和旋转欠量p 纤维粒子的运动都是由流场的作用引起的，对于悬浮在牛顿流体中的刚性 椭球形粒子，在忽略了粒子间作用以及假设边界无滑移的情况下，早在1 9 2 2 年 j e f f e r y 1 1 便推导出了旋转矢量 并给出了相应的表达式，而j e f f e r y 理论也很容 易地扩展应用到了研究纤维取向领域。这里的e 仅仅描述出了由流体运动引起 的粒子取向行为，其表达式如下： 9 2 纤维取向的理论基础 息= 一刃p + 五p p s ：p p p ) 其中万为涡旋张量，占为形变速度率张量。 万，的定义式分别是： v “7 一v “ 萨一 2 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 占= 半 ( 2 7 ) 占2 i 一 ( ) 可以表示为v u ，= 锄，o z ，其中u 。表示流体速度在石方向上的分量。 v u 氍强 眨8 ， = i “2 l “2 2“2 ，3l ( 2 ) 【- 3 ，- 弘2 弘，j 万= 圭 i ：兰：! 三二二芝三：薹 g ：i 1ii甜u2u+甜l：。，“2三芝：“2甜u，3，,：i+甜u：l,，j， g 5 互i 甜l 2 + 甜2 。l 2 “2 ，2甜3 ，2 + 甜2 ，3 i l “l ，3 + “3 。l 材2 ，3 + u 3 22 甜3 ，3j p ，= 一刃盯p + 五( s 。p 一巨，：p 女p t p ，) 1 0 ) ) ) 9 0 l z j ( 2 2，ll p t5 2 纤维取向的理论基础 c o s 9 c o s 矽塑 d t c o s p s i n 西塑 ? d t s i n a s i n + s i n a c o s p j 为涡旋张量与取向矢量的乘积，可以得到： 两q p j 由( 2 9 ) 式可以看出万。= 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) ，将和p ，代入z 1 0 ： 万c ，p j 同样的，可以得到 沁t l p | s i n 秒s i n 矽- i - 万1 3c o s9 s i n 秒c o s - i - 万2 3c o s 矽 s i nt 9 c o s 矽- t - l d 3 2s i n 秒s i n h ，l 2 州e 2 1 i l e i = 兄圈 ll 矽 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 彬石彬面 弘 塑西 秒n吼一 死艘吼炳舯儿 孙历 缈 + + n 仍m 舻娩 万 万 万 + + + p p p 孔 ” 万 万 万 1 3 3 2 p p p 黔 弛 万 万 万 + + + 2 l i p p p 屹 舶 ” 万 万 万 。l = 坦 列 引 万 万 万 l 1j 2 3 彳彳彳 。l 己b b b ” 占 s s + + + 足b b幺如以 + + + 丑鼻鼻函如如 。l 兄 = p 9 p 哪 瞄 瞄 s s 占 + + + 西谚 n n n s s s p 9 9 n n n s s s 幢 拴 ” s 占 占 + + + 咖西移 s s s o o o c c c p p p n n n s s s fe l i p l p i + 8 1 2 p i 仍+ 毛3 p 1 仍t p l 名：p , p t p ，= 刊+ 乞i p 2 p i + 岛2 仍仍+ 岛3 段仍l 仍j 【+ 岛l p 3 p i + e 3 2 p 3 p 2 + 岛3 p 3 p 31 p l j h s i n 20 c o s 2 + q 2s i n 2o c o s s i n e + e , 3 s i n o c o s o c o s 矽t s i n o c o s 扪 2 叫+ 6 2 i s i n 2o c o s q o s i n 矽+ 6 2 2s i n 2o s i n 2 矽+ 乞3s i n o c o s o s i n 矽is i n o s i n 矽i 卜岛1s i n o c o s o c o s 矽+ 6 3 2s i n o c o s o s i n 矽+ 6 3 3c o 孑0 l c o s 0j hs i n 2 臼c 。s 2 矽+ ( 蜀：+ 岛) s i n ：p c 。s 矽s i n t s i n 秒c 。s 纠。 2 舶 2 叫+ ( e 1 3 + 岛i ) s i n o c o s o c o s 矽+ 6 2 2 s i n 2o s i n ：ls i n o s i n i 卜( 岛3 + e 3 2 ) s i n o c o s o s i n 矽+ e 3 3 c o s 20 l c o s oj d o 联立( 2 1 1 ) ( 2 1 6 ) 式并进行简化可得到如下矩阵式子： c o s o c o s 掣s i n o s i n 坐 d l 。d c o s o s i n 掣+ s i n o c o s 坐 。出 1 d l s i n 口塑 出 = 一 至 + 墨 一a c 【s s i ；n ：o 竺c o s 刁 其对应的方程组可以表示为： i n 锱n 鲁一彳。+ 碣一2 c s i n s j n 秒c 。s 堂d t = - a 2 + 弛一2 c s i n 秒s i n 矽 + a b 3 2 c c o s 0 对( 2 2 0 ) 式进行变换并将相应的a ，b ，c 代入可得 a 】一加3 + 2 c c o s o ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 嘲c o s # 4 刃 3 2s i l l 舻曲c o s 妒+ e 3 2 s i l l m ，需 眩2 1 ) 1 占l ls i n o c o s o c o s 2 + ( 占1 2 + s 2 1 ) s i n o c o s o c o s s i n 矽+ ( 1 3 + s 3 1 ) c o s 2 臼c o s 矽 + 1 + s 2 2 o c o s o 2 痧+ c + ：- o - 0 e 3 3 c 踟o n s oc “o s 2 s i n o c o s o s i n e 3 2 ) c o so s i n 驴0 川 i i + s 2 痧+ ( 2 3 + 2 i 1 2 一 + 么 彬办彬一衍 一 矽 秒一i 谢 耐塑西 烈 口 伊 p n | 宝 啷 彳； 2 纤维取向的理论基础 可得 因为形变率张量s 为对称张量，有q 2 = s 2 l ，毛3 = 占3 l ，s 2 3 = s 3 2 ，将上式化简 联立( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式并进行简化，可得： 经过推导简化，我们最终得到了在三维流场中单纤维取向( 用e u l e r 角秒， 表示) 随时间变化的动力学方程。对于不同的流场，只要速度梯度已知，即 可通过纤维动力学方程获得每一时刻纤维的转动角，从而可以达到预测流场中 纤维的取向状态的目的。 2 2 流场中纤维取向的描述 国际上对纤维取向的问题已经有了很广泛和深入的研究，但通常用来描绘 大量纤维的取向态的方法有两种：一种是取向概率分布函数缈( 矽，矽) ( p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，即p d f ) ，另一种是基于纤维平均取向状态的空问矩。 2 2 1 取向概率分布函数 流场中的某根纤维的取向行为可以用e u l e r 角护和表示，其取向状态则可 以采用概率分布函数伊( 目，) 描述，其定义为：在角度q 和q + d o ，以及角识和 识+ d e 相邻的很小范围内，纤维落在这个区域的可能性，即 p ( o i 9 口i 4 - d o ，l l + d ) = ( 秒，死) s i np l d 鲥矽 ( 2 2 4 ) 由于流场中的所有粒子必然会沿某一方向取向，因此概率分布函数在空间 的完全积分值为一。同时，我们在前面假设纤维为刚性粒子，没有头尾之分， 其在位置( 口，) 和( y l 一目，y 一) 的取向是完全相同的，即( p ) = i f z ( - p ) 或 v ( o ，) = y ( 万一目，矽+ 万) 。因此，在一个研究体积域内，纤维的概率分布函数 1 3 1 厶 伊 劲 淞 渺 加 幽 n 洲 s l + 乞一 咿 一一4 一 c s 一 ” p 加 m 劲 一 s 占一 护 2 2 一一 n 控一4 s 一 亿 吐0 2 f 一 + 乳 北 万+毋 = 口一配础石 1 、i，、l 妇一伯0 一hc s 力 l斑 岛 一 劬 唧 瞅 毋一移 塑瑚魄 a s + 3 j口 嘞 嘶 一 h 少 b s 一一，-瑚一：詈钳一：等等 3 h q 髟 慨 嘶 2 v 伊 气l 彬i 枷 2 纤维取向的理论基础 有如下的积分形式： 一拉t r g y ( p ) 卯= j ：。点：o 沙( 吕，缈) s i no d o d 矽= 1 ( 2 2 5 ) 上述方程虽然完整、清楚地包含了所有纤维的取向信息而且更接近于实际 的加工情况，但因解析过于复杂，需要存储大量的数据信息，不利于计算，因 此很多的研究人员更倾向于采用下面将介绍的取向张量的方法。 2 2 2 取向张量 为了提高纤维取向状态的计算效率，a d v a n i 和t u c k e r 【2 3 1 提出了通过二阶驭 向张量q 描述纤维取向状态的方法，其中的二阶张量定义为 2 1 t a a o = ，p i p _ ，y ( p ) 咖= i p ，p ，y ( p ，) s i no d o d ( 2 2 6 ) 0 o a d v a n i 和t u c k e r 同时推导出了纤维取向张量的演化方程： 尝一( c o a + a o r ) + 砌口+ 吖一2 厂：彳) + 2 d r ( r y 一3 口) ( 2 2 7 ) 其中的d 尺为旋转扩散系数。( 2 2 7 ) 式是二阶取向张量与时间的函数，其 中包含了a 和彳，这罩的彳是四阶张量，其定义方法与二阶张量相同。在实际 的计算中，利用二阶张量的性质及对四阶或更高阶张量进行关于二阶张量的闭 合近似，可以容易地对张量演化方程进行解析。但是，取向张量只表示某- d , 的研究域内纤维的平均分布状态，但由于它的计算高效