（政治经济学专业论文）非光滑效用函数的最优化问题.pdf

非光滑效用函数的最优化问题 政治经济学专业 研究生：邓鑫指导教师：曾令秋 摘要：本文主要讨论建立在无穷维空间中的非光滑效用函数的最优化问题，以 及该效用函数在有限维形式下的几类应用。本文所分析效用函数，构建于理性 偏好下，且与传统经济分析中的效用函数相比，本文中所讨论的效用函数没有 被假设为是可微的。对可微性假设的放松，需要借助非光滑分析理论，来研究 其最优化问题。作者给出了在某个给定的集合上，非光滑效用函数的最优化条 件，并进一步讨论了在有限维空间中，非光滑效用函数的两个应用，l e o n t i e f 效用函数的次微分和基于非光滑效用函数的最优增长模型的最优解。作者还指 出，以“距离方法”效用函数的一个基本性质是满足l i p s c h i t z 条件。 关键词：效用函数非光滑分析b a n a c h 空间 o p t i m i z a t i o n o fn o n s m o o t hu t i l i t yf u n c t i o n m a j o r ：p o l i t i c a le c o n o m i c s s t u d e n t ：d e n gx i n t u t o r ：z e n gl i n g q i u a b s t r a c t ：t h i st h e s i sd i s c u s s e sr e l a t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m so f n o n s m o o t hu t i l i t y f u n c t i o n w h i c hi sc o n s t r u c t e do ni n f i n i t e d i m e n s i o n a ls p a c e c o m p a r e t ot h e 仃a d i t i o n a lf o r m so fu t i l i t yf u n c t i o n s ，d i f f e r e n t i a b i l i t yi sn o ta l la s s u m p t i o no ft h e p r o p e r t yo ft h eu t i l i t yf u n c t i o ni nt h i st h e s i s ，w h i l ea l l o ft h e ms h a r et h er a t i o n a l h y p o t h e s i s w i t ht h es i t u a t i o no fl a c k i n gd i f f e r e n t i a b i l i t y , t h ei s s u e so no p t i m i z a t i o n o fn o n s m o o t hu t i l i t yf u n c t i o nc a nb ea n a l y z e dp r o p e r l yb yn o n s m o o t ha n a l y s i s t h e o r y c o n e l u s i o n si nt h i st h e s i sa r e ，f i r s t ，s h o w i n gt h e o p t i m a lc o n d i t i o no f n o n s m o o t hu t i l i t yf u n c t i o n so nag i v e ns e t ；s e c o n dw o r k i n go u tt h es u b d i f f e r e n t i a l o fl e o n f i e fu t i l i t yf u n c t i o n ；t h i r d ，s o l v i n gt h es o l u t i o no fo p t i m a lg r o w t hm o d e l w i t hn o n s m o o t hu t i l i t y b e s i d e s ，t h ea u t h o rp o i n t so u tt h a ta l le s s e n t i a lp r o p e r t yo i t h eu t i l i t yf u n c t i o nc o n s t r u c t e db y “d i s t a n c em e t h o d ”i st h a ti ts a t i s f yl i p s c h i t z c o n d i t i o n k e yw o r d s ：u t i l i t yf u n c t i o n n o n s m o o t ha n a l y s i sb a n a c hs p a c e i i 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师鲎全丛塾蕉指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供 检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密 后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位敝作者签名旧降 签字日期：加卜年罗月二牛t 3 、， 刷磁孙伊岔藏杪厶伊、 签字日期如j 睥y - 月二炒 一、月i j 罱 ( 一) 研究背景 在微观经济学中，消费者被认为是最基础的决策单位。通常，我们认为 消费者在“市场经济”的环境中进行决策。所谓的“市场经济”，是指消费者 能够按照他们所了解的价格来购买可以获得商品和服务的一种环境，或者用更 为技术性的语言表达，就是消费者可以按照已知的交换比率进行交易。 对于经济学而言，理论中的核心内容之一，是描述消费者进行决策的过 程。为了建立关于消费者行为的模型，“商品( c o m m o d i t i e s ) ”这一概念被引 入了经济学，用来描述消费者选择的客体( o b j e c t s ) 。其后，就是对消费者施 加经济上的某些约束。在处理消费者决策的过程中，商品通常被描述为一个“消 费集”，而对于施加给消费者的约束，称为“( 瓦尔拉斯) 预算集。使用以上两 个概念来描述消费者决策的方式，被称为是“基于选择”的消费者理论。这种 思路使得我们必须规定出一套消费者的行为模式，来保证理论的合理性。通常 的做法是，先把个人的口味( t a s t e ) ，归纳为其个人的偏好关系，并把这种偏 好关系当作是其个人选择方式的显著特征。然后，经济学“强行”施加“理 性公理”固于该偏好关系，以此分析这些被施加了理性的偏好所带来的选择结 果。 经济学把理性解释为消费者的选择具有“完备性和“传递性”。进而， 一些更利于数学分析的性质，也被引入到偏好关系中来，这就包括局部非餍足 性( 1 0 c a ln o n s m i a t i o n ，或者其条件更强的描述单调性) 和凸性。同样是 出于便于分析的目的，把消费者偏好归结为一个效用函数，对于经济分析来说， 是极有帮助作用的。关于效用函数存在性的研究，在经济学中已经非常成熟， 这使得我们可以区分哪些偏好可以与一个效用函数对应。m a s c o l e l l ，w h i n s t o n ， o 这里解释“市场经济”的概念，其一是强调微观经济学中一再假设的“个人作用”，即i n d i v i d u a l i s m ， 另外就是要澄清经济学意义下的市场经济和政治意义下的市场经济，后者的一个重要的对应概念就是 “计划经济”或“指令经济”。对于市场经济解释的等价描述，见m a s c o l e l l ，a n d r e u ，w h i n s t o n ，m i c h e a l d ，a n dg r e e n ，j e r r yr ，1 9 9 5 。 雪消费者，或者说个体，是理性的，是经济学在传统的分析方法上，可以施加的一种规定。近期经济学 家们已经开始注意到这个假设的适用性，已有大量的对于非理性偏好的研究。本文还是试图从传统的方 法出发，来扩展消费者选择理论的结果，但是作者并不否认非理性可能对于非光滑现象，有至关重要的 影响。 在任何一本微观经济理论教科书中，都可以找到理性公理的概念，只是所涉及的技术性层次有所不同。 l a n dg r e e n ( 1 9 9 5 ) 中命题3 c 1 对此问题进行了归纳：如果选择空间中的理性 偏好是连续的，那么就存在一个表达该偏好的连续的效用函数。这一命题实际 上给出了效用函数的一个良好的性质，因为连续性是经典微积分中求解最优化 的必要条件。另外，一直以来经济学对于可以分析的效用函数，除了给定连续 性假设外，还假定了可微性。可微性条件就意味着消费者行为的最优解，可以 用导数的方式进行描述。 显然，用导数描述的消费者决策，虽然有良好的数学性质，但是并不是 一般化的理论。某些时候，人们所表现出的行为方式，并不能用可微的效用函 数来描述，这就需要放松效用函数的可微性假设。我们称一个函数是光滑的， 如果该函数是连续可微的函数，否则，称为非光滑函数。众所周知，非光滑最 优化问题，并非如光滑的函数那样易于处理，这也正是经济学在长时间没有放 松效用函数光滑性假设的一个重要原因。随着近三十年来，非光滑分析 ( n o n s m o o t ha n a l y s i s ) 在数学中的发展，使得我们可以部分地将数学上，在 这一领域的成果，引入到经济学中来，用于扩展消费者的决策问题。 需要提及的是，非光滑现象在理论数学和应用数学中，从很早前就进入 了研究者的视线。只是最初数学家们总是有意识地忽略“稠密零集”问题，这 使得最初的非光滑分析，对于最优化并无任何发展作用。直到凸分析中相继出 现了法锥( n o r m a lc o n e ) 、次微分( s u b d i f f e r e n t i a l ) 和集值( s e t v a l u e d n e s s ) 等概念，才使得非光滑分析可以在真正意义上扩展原有的最优化理论。凸分析 和分离定理固，对于研究凸集，凸函数和凸最优化问题，起着至关重要的作用， 而后三者正是经济学中经常引用的数学概念。正如经典分析被成功地引入经济 理论，非光滑分析作为对经典分析的扩展，从直观上说，必然会对经济理 论也产生深远的影响。只是该如何开启经济学的非光滑时代，仍然处萌芽式的 探讨中。 在效用函数的构建方面，与m a s c o l d l ，w h i n s t o n ，a n dg r e e n ( 1 9 9 5 ) 不同 的是，本文并非将选择空间设定为有限维空间酞“中的子集，而是对建立在 b a n a c h 空间的子集中的连续实值函数，即效用函数，进行处理。因此，我们 回本文第五部分对该问题进行了详细的讨论。 圆分离定理指集合与元素和子集关系的系列定理在几乎任何一本拓扑学教科书中，都可找到这一系 列的定理。 2 需要在已有的建立效用函数，和证明函数连续性的方式中，选择一种并开展后 续的研究。在本文中作者采用的方式，可追溯到w o l d ( 1 9 4 3 4 4 ) 和f i d t t o w h a h n ( 1 9 7 1 ) ，这两份文献中，采用“距离方法”证明了效用函数的存在性。但是 此方法不能被推广到无穷维空间中，因为无穷维空间中的拓扑结构，会导致一 些在有限维空间中不会出现的微妙且复杂的问题。a l c a n t u da n dm e h t a ( 2 0 0 5 ) 给出了在b a n a c h 空间子集中建立的效用函数的存在性的证明，这篇文献中建 立的效用函数，就是本文所要进行分析的效用函数。 事实上，经济学建立效用函数的目的，就是要利用数学分析中“最优化” 的思路，来对个人的行为方式进行建模。也就是说，经济学研究消费者决策的 方式，就是求解瓦尔拉斯预算集中，消费者的最优选择是什么，以及当外生变 量发生变化时，最优选择会如何变化( 比较静态分析) 。因此，如同经济学中 经常使用l a g r a n g e 方法描述的光滑函数最优解的充分条件一样，我们需要建 立非光滑函数的条件极值充分条件。这一问题的研究，对于经济学理论的般 化，和非光滑效用函数在经济模型中的应用，都有重要的意义。 对于本文将要进行的研究内容，需要一定的泛函分析，拓扑学和非光滑分 析的基础知识。对于泛函分析相关概念的解释，可以参见r u d i n ( 1 9 9 1 ) ，拓 扑学的相关概念可以参考m u n k r e s ( 2 0 0 0 ) ，非光滑分析及最优化则可参见 c l a r k e ( 1 9 9 0 ) 。 ( 二) 文献综述 研究非光滑效用函数的前提，是证明效用函数的存在性。以往的文献中， 有多种证明效用函数存在性的思路。b r i d g e sa n dm e h t a ( 1 9 9 5 ) 和m e h t a ( 1 9 9 8 ) 中总结了不同证明思路在细节上的处理方式。本文采用的方式，与a l c a n t u da n d m e h t a ( 2 0 0 5 ) 沿袭并采用的证明思路相同。这种思路被称为是“距离方法， 最初由w o l d ( 1 9 4 3 4 4 ) 使用，这种思路的应用，使得w o l d ( 1 9 4 3 4 4 ) 成为 了经济学说史中，重要的一篇参考文献。w o l d 模型中最明显的特点就是，假 。所谓“距离方法”是指度量效用的方式，在有限维空间中，元素的范数可以理解为一种“距离”。但 这种距离的概念，在无穷维空间中不能一般地成立，下文会涉及到无穷维空间的拓扑结构，这意味着对 范数概念将有不同的认识。 毒本文作者假定读者已经熟悉数学分析或高等微积分的知识，并对实变函数有概念性的了解。 3 设偏好关系是一个建立在有限维空间r ”中非负卦限x 上连续的，单调全偏序 - 。w o l d 将空间x 中任意一点x 的效用，定义为空间中的原点到该点的欧几 里得距离。保证该距离存在的理由是，偏序是连续的和单调的，继而效用函数 可以被证明是连续的。 与之密切相关的研究，是a r r o w 和h a h n 在1 9 7 1 年的论文。文中采用与 w o l d 所使用的方法相同的距离概念，证明了在r ”的子集x 中，满足局部非餍 足性的连续效用函数的存在性。a r r o w 和h a h n 采用的大体证明思路，是选取 x 中的任意一点，然后定义任意一点x 的效用u ( x ) 为而到x 的上等值集 u ( x ) = y x ：x - gy ) 的距离。下一步就是用于完善整个模型的步骤，即证明 函数的连续性。a l c a n m da n dm e h t a 认为，w b l d ，a r r o wa n dh a h n 的方法，可 以被称为是构建的( c o n s t r u c t i v e ) 或者度量的( m e t r i c ) 效用函数建立方法。 与之相对应和理论上同等重要的方法，是d e b r u ( 1 9 5 4 ，1 9 6 4 ) 中采用的思路。 d e b r u 的思路重点在于讨论效用函数存在性的问题。 如果效用函数的相关问题能够解决，那么非光滑分析可以很自然地进入 模型中，并讨论模型的最优化问题。使用非光滑分析理论对函数进行研究，必 然涉及到“次微分( s u b d i f f e r e n t i a l ) 的概念，k r u g e r ( 2 0 0 3 ) 对次微分进行 了相对细致的总结，并特别讨论了c l a r k e 和f r e c h e t 次微分的相关性质。通过 对效用函数性质的分析，作者发现c l a r k e 次微分是可以作为分析效用函数的 一般工具。而f r e c h e t 次微分对于研究效用函数是需要附加条件的，因为f r e c h e t 次微分只有在处理凸函数时才能被使用，并且其表达式也相对直接明了。考虑 到经济学中的函数经常被假定具有凸性。这两者的结合，从直观上说，是有理 论前景的尝试。本文的分析将不局限于对凸函数的讨论，因此，本文会涉及关 于不同次微分关系的说明。 作者在这里要特别指出的是，就作者了解，目前尚无广泛的关于经济模型 非光滑性的研究。而在非光滑效用函数的研究方面，b o u c h a r d ，t o u z ia n d z e 曲a l ( 2 0 0 4 ) 是作者唯一了解的相关理论性研究。b o u c h a r d ，t o u z ia n d z e g h a l ( 2 0 0 4 ) 研究了非完备市场中，定义于实数域上的有限值效用函数的效用 最大化及其对偶问题。该文中，其作者从两方面扩展了原有的研究结果。第一， 这种建立效用函数的方法，就是经济学教科书中常见的方法。 4 b o u c h a r d ，t o u z ia n dz e g h a l ( 2 0 0 4 ) 中允许效用函数是非光滑的；第二，其作者 在模型中加入了给定的负债和随机初始禀赋。对于本文来说，第一条推广是有 意义的参考，b o u c h a r d ，t o u z ia n dz e g h a l ( 2 0 0 4 ) 中讨论的效用函数，建立在实 数集合r 上，对于这一假设，可以直接推广以r “( n ) 为选择空间的效用函 数，这一推广基于有限维空间拓扑结构的性质。本文与b o u c h a r d ，t o u z ia n d z e g h a l ( 2 0 0 4 ) 的不同之处在于，本为讨论的效用函数，建立在无穷维的选择空 间上。选择空间的变化，不能简单地使用有限维空间的推广，而是必须考虑由 于拓扑结构的改变所导致的新变化。 非光滑分析在经济学的应用方面，k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 6 ) 给出了一个 单部门增长模型的例子。与传统的模型相比，k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 6 ) 中的 模型并没有假设技术是光滑的和凸的，而是仅仅假设技术是递增的和上半连续 的。同时，两位作者认为经济中有许多现实的情况，使得技术呈现出非光滑的 形式，比如固定成本，规模报酬递增和范围经济。特别地，向上的技术不连续 状态，可以被看作是一种技术上的突破。k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 6 ) 在其给定 的假设下，发现每一个最优的资本路径都是严格单调的，直到其到达稳态为止。 同时，k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 6 ) 还对相关的研究结果进行了回顾，并特别强 调了相关文献对于模型中效用函数光滑性和凹性的假设。在k a m i h i g a s h ia n d r o y ( 2 0 0 7 ) 中，作者同样假设了非光滑和非凸的技术，并分别给出了最优路 径在有界、收敛到零点和和无限增长的充分条件。文中其作者仅假设效用函数 是严格凹和严格递增的，生产函数是严格递增的，下一期资本关于当期资本的 下界是非减的。k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 6 ) 和( 2 0 0 7 ) 均未在实质上涉及效用 函数的非光滑性，因为虽然其作者没有假定效用函数是可微的，但是作者所考 虑的效用函数非光滑点，仅为某些端点。并且，k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 7 ) 中涉及到效用函数的最优条件，并没有使用次微分的方式进行描述。但是以上 两篇文章都给出了非光滑分析对技术的分析在经济学中应用的方式。需要指出 的是，k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 7 ) 中特别强调，模型的一般化必然带来某些 技术性的难题。比如，缺少了可微性，使得欧拉方程在分析中就失去了作用。 回欧拉方程( e u l e re q u a t i o n ) 描述了跨时期优化的最优解，通常情况下，欧拉方程描述的是相关的动态 时期，跨期最优选择的某种关系，这种关系强烈依赖模型最初设定的参数。应用的例子例如宏观经济学 中的r a m s e y 模型，以及微观经济学中的跨时期投资刚题。 5 技术的非连续性通常意味着值函数的非连续性，更为重要的是，最优的政策函 数( p o l i c yc o r r e s p o n d e n c e ) 通常不再是上线接连续的( u p p e rh e m i c o n t i n u o u s ) 。 出现以上这些技术性的问题，使得一般经济学中所熟悉的分析方法，不再有能 力处理该问题，但是，从某种意义上说，非光滑的假设，无论是对模型哪一部 分的修改，都会对研究动态经济学产生更深刻的影响，并为我们更广泛和深入 地理解经济学带来帮助。k a m i h i g a s h ia n dr o y ( 2 0 0 7 ) 处理新技术性问题的方 式很值得借鉴和参考，他们采用了四种基本方法来解决出现的问题，所有的方 法均涉及比较前沿的数学研究结果。 w n 劬a n ds c h u m a c h e ( 2 0 0 8 ) 则应用非光滑分析讨论了效用函数的相关问 题。该文章扩展了风险规避的概念，使得效用函数不再局限于可微的和严格凹 的。w i i r t ha n ds c h u m a c h e ( 2 0 0 8 ) 使用“超微分( s u p e r d i f f e r e n t i a l s ) 的方式， 来度量风险规避的程度，即使用个伴随r a d o n - n i k o d y md e r i v a t i v e 的相对或 绝对系数来刻画风险的度量。使用上述方式，可以对非光滑和非凸的效用函数 进行风险规避程度的比较，这扩展了a r r o w p r a t t 风险规避的经典理论。 ( 三) 研究目标及方法 基于w o l d ( 1 9 4 3 4 4 ) ，a r r o w h a h n ( 1 9 7 1 ) 和a l c a n t u da n dm e h t a ( 2 0 0 5 ) 的研究结果，本文将给出b a n a c h 空间中的效用函数，在经济学意义下，即瓦 尔拉斯约束( 超平面约束) 下的，最优化的条件。并研究非光滑效用函数在有 限维空间中的两个应用问题。 本文将以w o l d ，a r r o wa n dh a h n 和a l c a n t u da n dm e h t a 的研究思路作为 基础方法，这些方法在经济学中已经得到了广泛的采纳和研究。m e t h a ( 1 9 9 8 ) 是对以往研究效用函数存在性和构建方法的，一个带有较强技术性的总结。本 文除了保持构建效用函数的基础方法外，还遵循a l c a n t u da n dm e h t a ( 2 0 0 5 ) 中对以往研究的推广结果。首先，a r r o wa n dh a h n ( 1 9 7 1 ) 中给出的主要定理， 其条件为给定r ”上的凸子集。a l c a n t u da n dm e h t a 强调，a r r o wa n dh a h n 给出 的证明方式，对于无穷维线性空间是无效的，因为a r r o wa n dh a h n 的证明完 全建立在有限维空间h e i n e b o r e l 性质成立，即有界闭集合是紧的这一事实上。 但是这种“好 的性质，在无穷维空间中并不成立，因为按照泛函分析的结论， 6 无穷维赋范空间e 中的单位球( u n i tb a l l ) 是紧的，当且仅当e 是有限维的。 甚至在有t 3 分离性的h a u s d o r f f 拓扑线性空间中，单位球的紧性也不存在。 所以必须就a r r o wa n dh a h n 方法在无穷维线性空间中的适用性，进行讨论和 研究。事实上，该问题对于经济理论有重要的意义，因为无穷维的商品空间， 已经被广泛地使用于经济学的文献中。m e t h a ( 1 9 8 9 ) 对于这个问题进行了探 讨，其作者使用强拓扑，弱+ 拓扑和m a c k e y 拓扑的概念，一般化并扩展了a r r o w a n dh a h n 定理在b a n a c h 空间中的成立条件。无论是本文，还是a l c a n t u da n d m e h t a ( 2 0 0 5 ) 都面临一个在上述条件下需要解释的问题，那就是是否可以在 整个空间上，直接用欧几里得度量来定义每一点的效用，并且这种效用函数的 构建方法和a r r o wa n dh a h n ( 1 9 7 1 ) 中的方法是一致的。a l c a n t u d ( 2 0 0 2 ) 和 a l c a n t u da n dm a n r i q u e ( 2 0 0 1 ) 揭示了该问题的相关方面，以上研究采用了如下 方法来解释相关问题：假设不使用任何延拓的方法来定义空间中每一点的效 用，并且定义的方法是使用欧几里得范数。那么显然应该考虑r “中的一个真 子集x ，并取x 之外的一点z ，然后把z 到x 中的一点x 的上等值集u ( 工) 的 欧几里得距离，定义为x 处的效用。在a l c a n t u d ( 2 0 0 2 ) 和a l c a n t u da n d m a n r i q u e ( 2 0 0 1 ) 中，其作者证明了在不使用任何延拓过程的情况下，在全空间 x 定义每一点的效用，以及一个度量效用函数，是可行的。 但是，a l c a n t u d ( 2 0 0 2 ) 和a l c a n t u da n dm a n r i q u e ( 2 0 0 1 ) 中仅处理了有限维 空间中的相关问题，这和a r r o wa n dh a h n 定理所遇到的问题极为类似，也就 是h e i n e b o r e l 性质在这里被强烈依赖，因此，a l c a n t u da n dm e h t a ( 2 0 0 5 ) 和 本文需要将有限维空间上的问题扩展化，并且本文将对a l c a n t u da n dm e h t a ( 2 0 0 5 ) 在证明中出现的问题进行某些修正性的说明。 需要强调的是，必须以完善的效用函数理论，作为对非光滑效用函数研究 的理论前提，是因为必须保证所分析的效用函数，在选择空间和理性假设上， 与通常可用经典分析研究的效用函数，是完全一致的。当然，对于选择空间和 理性的其他相关研究，也是经济学前沿理论发展的重要组成部分。对于这些扩 展性问题的讨论，将在本文的第五部分进行讨论。 上文所引用的泛函分析和拓扑学概念，和下文中出现的概念，均可在r u d i n ( 1 9 9 1 ) 和m u n k r e s ( 2 0 0 0 ) 中找到。 7 关于本文所涉及的非光滑分析理论，需要说明的是，按照下文的方法所 建立的效用函数，并没有明确指出其凸性，如果满足某些条件，效用函数就是 严格凹的。而建立在凸分析理论上的次微分理论，其最大的缺陷就是无法对非 凸函数进行处理。克服这一缺陷的方法，就是对非凸函数的l i p s c h i t z 性质进 行讨论，这样就可以使用c l a r k e 次微分对函数进行处理。对于最优解的描述， 次微分所给出的结论是如果一个函数g ( x ) 在x 附近是l i p s c h i t z 的，那么x + 是 g ( x ) 的极值点，当且仅当 0 西( x ) 这里，堙是g ( x ) 的某个次微分，这一结果包含经典最优化理论的结果。 因为如果g ( 工) 是可微的，那么 一) = 9 6 9 ( x( z ) ) = t 忙) ， 也就是说，如果z 。是g ( 工) 的极值点，那么 0 = g ( x ) 该结论即通常所见的可微情况下的极致充分条件。也就是说，引入非光 滑分析的最优化理论，是对经典最优化理论的推广，非光滑的情况包含了光滑 的情况。 关于本文的结构，文章第一部分对本文的研究背景，以往的研究成果和 方式，以及要涉及到的方法和领域，进行了回顾和总结；第二部分意在说明无 穷维空间中效用函数的存在性，由于所要进行分析的函数，并不仅是数学意义 下的计算，而是对于经济模型的种一般化，或者称为关于假设的放松，所以， 陈述该函数在经济学意义下的逻辑性，即从选择到偏好再到效用的传递，是必 不可少的；文章第三部分意在说明非光滑分析如何一般化已有的经济学理论， 这也是本文要阐述的核心问题。第三部分给出了在效用函数没有可微性的假设 下，消费者最优化的条件；第四部分基于第三部分的结论，给出了可以利用非 光滑分析处理的效用函数，在增长模型中的应用；第五部分则讨论与本文相关 的技术性和思想性问题；第六部分是文章的结论；第七部分是文章的附录，对 于没有在正文中陈述，但有必要说明的问题，进行了讨论。 二、b a n a c h 空间中的效用函数 ( 一) 预备知识 1 偏序与选择 定义2 1 ：称是集合x 上的一个偏序( p r e o r d e r ) ，如果描述了x 上的一个 自反且传递的二元关系。 这里的偏序，就是描述满足理性假设的一个选择，偏序的自反和传递性， 就是理性选择的自反和传递性。需要指出的是，本文讨论的非光滑效用函数， 仅是非光滑经济学中的一类问题，这类问题要求偏好是连续的。连续的偏好可 以建立一个连续的效用函数，这是拓扑结构的结果。事实上，对于非连续的偏 好，已有大量的研究结果，对于该问题与本文关系的论述，见本文的第五部分。 每一个偏序集合( x ，_ ) 会产生一个x 上的等价关系，该等价关系为 x y 车争 ( x y ) n ( y x ) x ，y x z 中的元素x 的等价类，记为 x 其商集合( q u o t i e n ts e t ) ，记为 x | 引入等价类的概念，是为了用数学语言描述无差异关系。无差异关系是 指消费者认为选择集合中对其评价相同的商品，这些商品会带给消费者相同的 效用水平，或者所一个相同的排序。顺序中的每一个等级，即为一个等价类 【x 】，在二维平面上，等价类就可以理解为一条无差异曲线。 定义2 2 ：称集合x 上的偏序是完全的( t o t f l ) ，那么对于任意五y x ， x 5y 枷x 必成立其一。 西这里模型中的每一个基础性的假设，都会对应经济学的一个解释。凡是后文中有直观的经济意义的假 设条件，作者都将陈述其代表的经济意义。 9 命题2 1 ：如果描述了x 上的一个偏序，那么z _ y 成立，当且仅当x 冬y ， 且y 葛x 。 定义2 2 在微观经济学中称为选择集合上的偏好关系，或者说偏好关系实 际上就是定义在x 上的一个完全的偏序。命题2 1 则指出，偏好关系中还有严 格性存在，即任意两个元素之间存在严格偏好。这里的偏序，或者在经济学中 所称的偏好关系，可以直接引入到有限维线性空间中，比如，经济学教科书中 通常采用的选择空间r ”，就可以直接嵌入完全的偏序，从而给出一个必要的 偏好关系。但是，正如前文所强调的，无穷维空间缺少有限维空间中的某些性 质，所以我们必须使用拓扑的概念，继续对无穷维空间的研究。 对于任一完全偏序集合( x ，) ，记t j 为与相关的拓扑。该拓扑的子基为 x 的有序区间，该有序区间表示为： p x ：e - x a n d e x ：工一 e ) x x 集合x 上的拓扑t 是自然拓扑( n a t u r a lt o p o l o g y ) ，如果该拓扑比有序拓扑更 细致( f i n e r ) 。 假设 是拓扑空间( x ，t ) 上的偏序，那么关于x 中的元素x 的上等值集 【，( x ) 和下等值集( x ) 可以定义为： 【，( x ) = y x ：y 工) l ( 工) = y x ：y x ) 称_ 关系是扣上半连续的，如果对于x 中的任意一点x ，u ( x ) 都是卜闭的； 称5 是扣下半连续的，如果对于x 中的任意一点x ，( x ) 都是卜闭的。称偏序 是f 连续的，如果_ 关于拓扑t 既是上班连续，又是下半连续的。“上等值集 应用到经济学中，就是所谓的“选择的改善区域”，选择集中某一点的改善区 域，其数学表达就是该点的上等值集。偏序关于拓扑t 的连续性，就是表示选 择的连续性。 设- 是拓扑空间( x ，f ) 上的偏序， o 通常，给出一个拓扑的子基，就可用子基之间的交和并来生成整个拓扑。用子基来描述拓扑的方式， 是当代拓扑学广泛采用的方式，m u n c k r e s ( 2 0 0 0 ) 给出了该方法系统性的处理方式。 圆f 是拓扑中常用的表达方式，意思是在f 所代表的拓扑意义下会有如何的性质，本文使用的所有符号， 都尽量与数学和经济学的主流惯例保持一致。 1 0 定义2 3 ：称 是局部非餍足的，如果对于每一个x 中的元素x ，和每一个x 的 邻域y ，存在y 中的元素y 使得x 一 y 。 定义2 3 给出了推广的描述局部非餍足性的描述，局部非餍足性是在有限维空 间构建效用函数的重要概念，该定义的一个更强的描述，就是单调性。这里的 定义2 3 ，就是为在无穷维空间中，替代有限维空间中起相同作用的概念做准 备。 2 效用函数 对于以无穷维空间为基础的效用函数，相比于有限维空间，需要某些更为 细致的技术性假设，本节将讨论这些技术性假设，并基于无穷维空间定义效用 函数。 设( x ，- 5 _ ) 和( y ，) 为完全的偏序集合，称一个函数伊：y x 是保序的，如果对 于所有五y y ， x y 今9 ( x ) c p c y ) 成立。保序性假设意味着，选择空间或其中的子集，将遗传集合】，中的拓扑。 定义2 4 ：( 效用函数) 称一个保序函数u ：x _ r 为效用函数，如果x 上的完 全偏序可以被解释为x 上的偏好关系_ 。 效用函数的实质是对x 上的偏好关系的表达( r e p r e s e n t ) ，在经济学中，上 述的保序函数的存在性问题，被称为是效用函数的表达问题。关于该问题的一 个关键假设，是引入顺序的嵌入性( e m b e d d a b i l i t y ) 问题。称有序集合( y ，) 是 可有序嵌入集合( x ，- 3 ) 中的，如果在两个集合之间存在保序函数_ 伊：( y ，) 一( x ，) 进一步，我们称有序集合( y ，) 是可连续有序嵌入集合( x ，- 5 _ ) 中的，如果 矽：( y ，t s ) 一( x ，t j ) 国在拓扑学中，包含集合中某个点的开集，称为该点的一个邻域。由于拓扑中不再有距离概念，那么 占一6 语言就不再适用于定义邻域的概念。 效用函数的连续性，就是基于9 ：( y ，t 5 ) 一( x ，t 摹) 在所讨论的问题中是否成 立。 3 b a n a c h 空间中的相关问题 定义2 5 ：( 赋范空间) 称一个线性空间f 为赋范空间，如果对于每一个x f ， 都存在一个关于x 的范数，即一个非负实数l ，满足如下条件： ( 1 ) 1 1 x + y 1 - 0 如果z 0 在定义2 5 中，“赋范”可以理解为映x 到恻l 的函数。每一个赋范空间， 可以被看作是一个度量空间，在度量空间中，x 与y 之间的距离记为 d ( x ，y ) = l i x y l i d 具有以下四条性质： ( 1 ) 0 s d ( x ，y ) 0 0 对于所有的x 和y ( 2 ) d ( x ，y ) = 0 当且仅当z = y ( 3 ) d ( x ，y ) = d ( y ，x ) 对于所有的x 和y ( 4 ) d ( x ，z ) d ( x ，y ) + d ( 夕，z ) 对于所有的x ，y 和z 定义2 6 ：在度量空间中，将以x 为圆心，r 为半径的开球，定义为如下集合： w ( x ，) = y ：d ( x ，y ) ，) 需要特别指出的，如果f 是度量空间，那么单位开球将表示为： b ( o ，1 ) = 缸： o ，x n b ( x ，万) 三( 工) = 三( y ) ；、 此外，假设以下两个条件其一是成立的： ( 4 ) 每一个中的范数有界和序有界的递增序列，都有个一收敛的子序列； ( 4 ) 对任一占 0 ，每一个闭球b 和每个彳中收敛到x 的递增序列瓴) 硎，存 在使得当n2n o 时， 卜厂、b 口( 工 一，) 。 那