（电工理论与新技术专业论文）复合螺管式微型超导储能磁体的多目标优化.pdf

! 璺型堂堕皇三堑壅堕堡尘兰丝堡兰 m u l t i o b j e c t i v eo p t i m a ld e s i g no fc o m p l e x m i c r os m e ss o l e n o i d m a g n e t d ux i a o j i ( e l e c t r i c a le n g i n e e r i n gt h e o r ya n da d v a n c e dt e d m o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rx i a ol i y e a b sj r a c t m i c r os u p e r c o n d u c t i n gm a g n e t i ce n e r g ys t o r a g e ( s m e s ) s y s t e mw a ss t u d i e df o r a p p l i c a t i o n i n t op o w e rs y s t e mc o n t r o l s ，s u c ha sp o w e rl i n es t a b i l i z a t i o n a n d c o m p e n s a t i o no fp o w e rf l u c t u a t i o n t h i sp a p e rm a i n l yd e s c r i b e st h em u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o no fi m js m e s s o l e n o i dm a g n e t t h i sp a p e rd i s c u s s e dt h eb a s i ct h e o r i e so fs m e sm a g n e t ，s e q u e n t i a lq u a d r a t i c p r o g r a m m i n g ( s q p ) s t r a t e g ya n di t sm a t l a b r e a l i z a t i o n ，t h e no p t i m i z e ds o m em a g n e t c o n f i g u r a t i o n si nv a r i o u so b j e c t i v e su s i n gc o m p l e t e do p t i m a lp r o g r a m ，a n dg a i n e ds o m e c o n c l u s i o n sb yc o m p a r i n gt h eo p t i m a lr e s u l t s a n a l y z i n go ft h ef r i n g ef i e l do fs i n g l em a g n e t r e v e a l e dt h e i m p o r t a n c eo f m a g n e 6 es h i e l d ，s o m em a g n e tc o n f i g u r a t i o n sw e r ep r o p o s e dt or e d u c et h ef r i n g e f i e l d o u t s i d em a g n e t a n da sf o rt h ec o n c e n t r i ca n da x i a l l y d i s p l a c e dm a g n e tt h ec o n d k i o n s h a v i n gt h e i rm a g n e t i cp o l a r d i s t a n c ee q u a lt oz e r ow e me d u c e d c o m b i n i n gt h e c h a r a c t e r i s t i co fm a t l a b sp a p e rp r o p o s e dm a g n e t i cf l u xm e t h o dt oc o m p u t et h e i n d u c t a n c ea n d m u t u a li n d u c t a n c eo f s m e sm a g n e t 1 m jm a g n e t sw e r eo p t i m i z e dw i t ho p t i m i z a t i o np r o g r a m m e ，a n ds o m ec o n c l u s i o n s 、v e r ep r e s e n t e db yc o m p a r i n gt h eo p t i m a lr e s u l t s k e y w o r d s ：c o m p l e x s m e sm a g n e t , m u l t i o b j e c t i v eo p t i m a ld e s i g n ，n b 3 s n _ n b t i l a y e r e dc o n s t r u c t i o n ，s q p 中国科学院电工研究所硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题的背景和意义 随着国民经济和科学技术的发展，社会工业化不断提高，人们的生活质量也不 断得到提高，所以电力用户不仅对用电容量有更大的要求，而且对供电质量也提 出了更高的要求。 对于部分设备来说，短时间的电压或电流变化对设备的影响不大，甚至当供 电电压在一定范围内变化时也能正常运转，但随着电子和信息技术的发展，各种 敏感的电力电子设备或信息设备的使用越来越广泛，即使是几个周期的电压跌落 或中断都将影响这些设备的正常工作，造成巨大的经济损失【l j 。 通常情况下可以把电能质量的指标分为5 类【2 】：电压偏差、谐波分量、 电压波动和突变、频率偏差、三相电压不平衡。 根据以上问题，国外已经提出并开发了许多改善和提高电能质量的装置，这 些装置大部分都基于电力电子技术，如有源滤波器( a p f ) 、静态同步补偿器 ( s t a t c o m ) 、静止无功补偿器( s v c ) 、动态电压恢复器( d v r ) 、统一电能质量调节 器( u p q c ) 、不间断电源( u p s ) 、超导储能( s m e s ) 等。其中，超导磁储能系统( s m e s ) 出于能量存取响应速度快，现多用于电力系统稳定控制、旋转备用、负载快速调 节等。s m e s 能为电力系统提供快速响应容量，在高压长距离输电的大电网中，是 种理想的提高电力系统动态性能和解决系统稳定性的手段，能有效的改善系统 的稳定性和可靠性【3 】【7 l 。 超导磁体是超导储能系统的核心和关键部件之一。就现阶段来讲，超导储能磁 体的优化设计还不够完善。随着低温超导技术的发展和高温超导材料的实用化， 超导储能磁体将越来越多地被使用，所以对于超导储能磁体的优化设计的研究也 显得尤为重要。 1 2 超导储能原理及其发展简介 超导储能系统利用超导线材绕制成的磁体，由电网供电励磁而产生的磁场储 存能量，在需要时再将此能量送回电网或作其他用途。磁体所储存的能量大小可 用下式表示： e = 土上1 2 ( 1 1 ) 2 式中：e 为储能量；i 为通过磁体的电流；l 为磁体的电感。通常的超导储能 中国科学院也工研究所硕士学位论文 系统包括超导磁体及其低温杜瓦容器、制冷机、变流装置、外围测控和保护系统 等五大部分【8 】。 图1 1 超导储能系统结构图 因为超导体无电阻，超导线材的临界电流密度也较高，所以螺线管可运行非 常大的电流，储存较多的能量，与传统线圈相比，由于不存在导线的电阻热损耗， 当通过磁体的电流不变时，基本上不消耗任何能量：当电流发生变化时所产生的 交流损耗也较传统线圈的热损耗小，所以超导储能磁体的效率较高。 目前，小型的低温超导储能系统已经商品化，并一直有着突破性进展。随着 人们对高温超导线材的深入研究，高温超导线材的性能越来越好，价格也越来越 便宜，所以高温超导磁体的研究也在逐渐升温。 1 9 8 7 年，美国战略防御立案办公室提出了超导储能工程实验模型计划，其目 标在于在经济上现实一个全尺寸超导储能系统用作军事目的和电力应用的作用。 该系统可用作地面电子激光武器的电源，可在2 s 上升时间内给出o 4 一1 0 g w 的 峰值功率并维持1 0 0 s 作为电力应用，它具有l o _ _ 2 5 m w 功率输出，2 3 h 的储 能容量。该计划第一阶段为期两年半，主要任务是进行概念设计和部件研制，选 择建设地址并对高温超导体的应用可能性进行评估。根据设计，该系统储能为 2 0 4 m w h ( 7 3 5 g j ) ，线圈直径为1 2 9 m ，高度为7 5 1 m ，电感为3 6 7 h ，超导体总重量 为3 3 4 t ，线圈中重量为2 7 4 2 t ，液氦存量为6 4 0 0 0 l 。该计划第一阶段完成后，由于 冷战结束因而地面激光计划缩小，因此第二阶段并未开始。 1 9 9 3 年，美国又开展了一个1 8 g j 的超导储能磁体的项目，用于提高阿拉斯 加电网的供电可靠性，目前已完成设计工作。 1 9 9 8 年，芬兰t a m p e r e 理工大学研制了一台5 1 0 的h t s s m e s 模型。该s m e s 的超导磁体由1 1 个双饼b i 2 2 2 3 线圈组成，外径3 1 7 m m 、内径2 5 2 m m 、高6 6 m m 、 工作于2 0 k 、运行电流1 6 0 a ( 平均电流密度8 5 a r a m 2 ) ，磁体系统采用e m 制 冷机冷却。德国e u s 也于1 9 9 8 年研制出一台8k j 的h t s s m e s 原型样机，并计 划于2 0 0 2 年完成1 5 0 k j 2 0 k v a 高温超导储能系统样机的研制。法国电力公司计 中国科学院电工研究所硕士学位论文 划开展m j 级的h t s s m e s 的研制工作，其中h t s 线圈将产生6 t 的磁场。 超导储能技术处于当今电网高新技术的前沿，无论从理论上还是从实践中均 已得到预见，这是一项高效节能而无污染的新能源，可以说，在二十一世纪其用 途将会随着研究的不断深入而变得越来越广。 1 3 超导储能磁体的优化设计 随着超导材料研究的发展和社会生产的需求越来越大，超导储能磁体会得到 越来越广泛的应用。由于超导储能磁体的大量研究开发和使用，对其进行的优化 设计便越来越受到人们的重视，传统的经验公式也已不能胜任现在的优化设计。 所以应该根据超导材料的特性，采用较为精确的计算方法对设计问题进行理论分 析，并在此基础上以磁体性能达到最优来确定适合超导储能磁体的电磁参数和结 构参数，以节约磁体的制造和运行费用。该问题属于电磁场计算的逆问题，也即 最优化问题。需要先进行电磁场数值计算，再进行优化计算。根据前几章的分析， 超导储能磁体的性能与其几何尺寸、激励参数和材料特性等因素有关，为非线性 关系。又因为空心圆柱磁体的空间对称性和没有铁心的影响，使问题得到一定的 简化，并可以在设计初期在一定程度上预见出磁体的设计参数，所以本文采用序 列二次规划法对超导储能磁体进行优化设计。 1 3 1 优化方法的选取 超导储能磁体参数的优化属于约束非线性规划问题，解决这类问题的方法可以 有：自适应遗传算法( a g a ) 、模拟退火法( s a ) 及连续二次规划法( s q p ) 。以下是 对这几种优化方法的优缺点比较 9 1 。【1 2 】： 表1 - 1 ： 优化算法连续二次规划法模拟退火算法( s a l遗传算法( g a ) ( s q p ) 优点对于非线性优化是一个全局最优g a 比s a 具有更强的 问题，s q p 是一种有效算法：能处理非线性优全局搜索能力，可以处 的寻找局部最优的方化问题；也能处理离散理非线性问题。 法。变量。 缺点不能保证其所得算法参数的选择比较应用过程中往往需要 结果印为全局摄优，为困难，所得解的质量与编码和解码，还会遇到 找到全局最优。需要从搜索时间之间存在着进化缓慢、过早收敛等 不同的优化起点去进矛盾。问题。 行优化。 通过对各种方法的研究对比，用序列二次规划法( s q p ) 从不同的优化起点进行 优化并进行比较，即可找到全局最优点。而模拟退火法的参数选择比较困难，不 中国科学院电工研究所硕二卜学位论文 易判断得到的是否全局最优解，用遗传算法可能会遇到进化缓慢或过早收敛等问 题，所以我们选择了序列二次规划法( s q p ) 进行优化设计。 1 3 2 序列二次规划( s o p ) 方法 s q p 算法即将原问题化为一系列的二次规划问题进行求解。它通过使用拟牛顿 更新程序来对k u h n t u c k e r 方程累积二阶信息，以保证超线性的收敛【9 】。 对于非线性约束优化问题： m i n f ( x ) m ( 1 2 ) 丹 s q p 算法的基本思想是对下述l a g r a n g e 函数的二次近似求解q p 问题： z ( x ，五) = 厂0 ) + 最g ) ( 1 - 3 ) f ；0 线性化非线性约束条件后可得到q p 子问题 m i n 三d 7 h 。d + v s ( x 。) 7 d s j v g ，g ) 7 d + g ，g ) = 0f = 1 ， w ，g ) 7 d + g ) 0 i = m “，m 该问题可以通过任何q p 算法进行求解。 ( 1 4 ) 1 3 3 磁体的优化目标 在对超导储能磁体进行优化设计时，应该要考虑多方面的因素： 首先应在满足储能量级的前提下，尽量使所需的花费最少【”l 。这就使得减小磁 体的体积具有重要的意义。这是因为：一方面超导材料的价格很昂贵。另一方面 超导磁体运行时的交流损耗基本上与磁体的体积成正比。此外，考虑到杜瓦容器 的造价也很昂贵，所以要使杜瓦瓶尽量地小，它与超导磁体的总体积有关。在优 化过程中，减小磁体的线材体积与减小磁体的总体积往往不能得到统一。为解决 这一问题，本文中采用m i n ( 线材体积+ 总体积) 优化目标来对磁体进行优化。 由于通过大容量的超导储能磁体的电流往往都比较大，产生的磁场就会较高， 如果不采用相应的措施对磁场加以限制和屏蔽，杂散分布于超导磁体系统之外的 漏磁场会对周围环境带来不利的影响f l ，如1 0 高斯数量级的磁场就有可能导致一 些电子设备不能正常工作，是带心脏起搏器的病人有生命危险，1 0 0 高斯数量级的 磁场就可能会使计算机系统工作异常。因此考虑到某些场所对漏磁场的限制，减 4 2 2 = = 1， o o 一 = 、j、j g g 岛l rj 中国科学院电工研究所颂士学位论文 小超导磁体的杂散磁场也是磁体设计的关键问题之一。 故可以m i n ( 线材体积) 、m i n ( 总体积) 、r a i n ( 交流损耗) 、m i n ( 5 m 处最大磁场) 或 几项的组合分别作为优化目标对超导储能磁体进行参数优化并加以比较。 1 4 论文工作的内容安排 本文将主要以1 m j 超导磁体为例，研究中小型复合螺管式超导储能磁体的多目 标优化设计。 本论文的内容主要包括一下内容： 1 、讨论通电空心圆柱线圈产生的磁场，分析几种组合磁体的磁场分布特点， 提出几种具有磁屏蔽特点的组合磁体，并针对同轴同心组合磁体和同轴串 联三线圈磁体推导出各自使磁偶极矩及磁四极矩等于零的条件。 2 、提出磁链法计算空心圆柱线圈的自感及互感，并讨论其他计算空心圆柱线 圈自感的方法：高斯积分法和近似公式法。及计算空心圆柱线圈互感的等 效回路法和泰勒级数法，并比较它们的优缺点，选择出超导储能磁体优化 设计中采用的方法 3 、对超导储能磁体进行初步的交流损耗和应力分析。 4 、讨论超导储能磁体的优化方法、优化目标及约束条件，分析序列二次规划 ( s q p ) 方法的特点及其m a t l a b 实现，编写超导储能磁体的磁场、自感、 互感、交流损耗及应力计算程序和优化程序，形成超导储能磁体多目标优 化程序包。 5 、利用编写的优化程序对不同形式的组合磁体在不同的优化目标下进行优化 得到适合不同情况下的最优结果，并对它们进行比较，得到一些指导性结 论。 中国科学院电工研究所硕士学位论文 第二章超导储能磁体计算分析模型 在磁体的优化设计中，需要考虑到很多方面的因素，除了要在满足储能量的 前提下尽量减小漏磁场和用线量以外，还应考虑到磁体运行时产生的交流损耗及 应力。本章将对超导储能磁体的这几个方面进行分析，为优化设计打下理论基础。 2 1 超导储能磁体的磁场分析 2 1 1 单积分法计算空心圆柱线圈的空间磁场： 设单个通电空心圆柱线圈，内半径为a 。，外半径为a ，轴向半长为b ，求任 意不在轴线上的点p 处的磁感应强度【坫1 ： 图2 - 1 空心圆柱单磁体结构图 选取圆柱坐标，线圈的对称轴选为z 轴，始终把场点p 所在的平面作为x o y 平面，即过点p 作对称轴z 的垂线，其交点定为坐标原点o 。任取一点o ( p ，p ，z ) ， 设矢量q p = r ：口= 妒一妒；z 为线圈的下端平面的轴向坐标；= ：为线圈的上端平 面的轴向坐标。 以点p 的径向坐标p ( p 0 ) 作为基准值，进行如下归算： 彳= 形一= 形，a 2 ：钐，z = 衫，z t = 衫， z ：= 钐，r = 形，= 护一2 p 肿s 口“2 ( 2 - l - 1 ) 因为空心圆柱线圈的磁感应强度分量具有如下特点： ( 1 ) 、磁场无周向分量，b 。= 0 ； ( 2 ) 、磁场的径向分量b 。是关于z 的奇函数，轴向分量丑：是关于z 的偶函数； ( 3 ) 、磁场的所有分量与坐标分量妒无关。 中国科学院电工研究所硕士学位论文 则，b 。和b ：可写为： b ，= 出l 0 。，z 。) 一( 爿，z ：) 一( 一：，z ) + ( 爿：，z ：) j b ：= 口l ( 爿，z ) 一c ( 爿，z ：) 一c ( a ：，z ) + 只( 彳：，z ：) 】 ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中，珊= 尝警：函数o ，z ) 是关于z 的偶函数；函数c o ，z ) 是关于z 的奇函数。 ( 爿，z ) = f j r + c o s 曰l n ( r + a - c o s 口) 】c o s o d 0 ( 2 1 - 4 ) 砒z ) = 酗( r + a - c o s 0 ) + _ c 1 础- n m ( r - z z ，) _ s i n o 一d 笺笋肛( 2 - m ) r ：打i f 五五丙万f ( 2 - 1 - 6 ) 利用公式j r ( c o s 目弦曰= 詈喜玎c 。s 等z ) + r 即可算出。，z ) 和 c ( 爿，z ) 。也即算出了b 和b ：的值。为求得较准确的值，可取：n 1 5 。 瑕点的转移： 在使用上述的方法计算线圈的磁感应强度时，瓦( 一，z ) 和c ( 一，z ) 会存在某些 瑕点。为了高精度计算磁场，需要将瑕积分化为常积分。 下面是对于0 ，z ) 和c 0 ，z ) 的瑕点转移的讨论，根据c 0 ，z ) 和c 0 ，z ) 的 奇偶性，只分析z 0 时的情形。 1 函数c 0 ，z ) ( 1 ) z 0 时恒有r + 爿一c o s 0 0 ，巴( 4 ，z ) 无瑕点，是常积分。 ( 2 ) z = 0 时： a i 时，r + a c o s 0 0 ，巴( ，z ) 无瑕点，是常积分。 a = 1 时，r + a c o s 0 = 圻= 丽陋+ i 二磊历) ，0 = o 是c 0 ，z ) 的瑕 点，这时： f p ( 1 ，o ) = 一詈一吾( 1 + l n 4 ) + r c o $ 2 0 1 n 陋+ 五面伽= - 1 0 4 2 2 6 0 2 1 8 a 0 时 t 0 ，z ) 的右端第一项中的r + 彳- c o s 0 0 ，积分f z l n 也+ 爿- - c o s 口弦口是常 c ，z ) 的右端第二项可以写为： 咖删n m r - z z ， 班咖洲n 错d 占 = j f c 。s o i n 0 + 一2 2 a c 。s 臼如一r c 。s o l n ( r + z ) d o ( 2 - 1 - 8 ) 珊( 爿) = 一- 三2 - 刍一, a 4 l l c z _ - ， c 0 ，z ) 的右端第三项，当0 0 万时，其积分是常积分。当口取值距零或石 ( 2 ) z = 0 时，e 似，o ) = 0 至此，函数只( 爿，z ) 和f ( a ，z ) 中的所有瑕点均已转移到了可以用初等函数表 再和线圈内壁中点的磁感应强度玩相比较即可得到线圈的最大磁场点及最大磁场 8 中国科学院电工研究所硕士学位论文 2 1 _ 2 空心圆柱单磁体的磁场分析 在本章中，我们使用到的超导线材为日本古河电工生产的n b t i 线材，它的型号为 s c h 一0 3 0 9 ，它的基本参数如表2 1 所示： 表2 - 1 n b t i 的基本参数 f i l a m e n tdiameter(an) 6 0 c o p p e r t os u p e r c o n d u c t o rr a t i o1 9 5 c a b l et h i c k n e s s ( m m ) l _ 5 5 0 0 5 c a b l ew i d t h ( m m ) 3 3 6 士0 1 i ca t4 2 k a n d1 0 t v ma t5 t ( a )1 5 0 0 根据以上参数，我们定出由n b t i 线材绕制而成的磁体的额定工作电流为 1 0 0 0 a ，最大磁场为5 t 。在以后的分析中，都是对于它处于额定工作电流的情况 下来讲的。 假定一空心圆柱单磁体由n b t i 线材绕制而成，层间通道为l m m ，内半径 a 1 = 0 3 6 m ：外半径a z = 0 4 m ：半高b = 0 ，3 m ；电感值l - - 4 0 6 9 6 h ：所通电流为1 0 0 0 a 。 ( a )( b ) 图2 2 空心圆柱单磁体的磁感应强度等高线 由上图可以看出，在没有施加屏蔽措施时，空心圆柱单磁体附近的磁感应强度 仍比较高，并且因为衰减较慢，离磁体较远的区域磁场女h ( z = 8 m 处) 还在高斯级以 上。该超导磁体的占地面积或低温杜瓦容器的占地面积近似等于其横截面积，大 约为0 5 m 2 。但如果考虑到漏磁场的影响，以5 g s 等高线包围的区域计算，该磁体 的占地面积大约为1 5 0 m 2 。是杜瓦容器占地面积的3 0 0 倍，所以超导储能磁体的磁 屏蔽研究有着非常重大的意义。 中国科学院屯_ 研究所硕士学位论文 2 1 3 超导储能磁体的磁屏蔽 超导磁体的屏蔽方式包括被动屏蔽和主动屏蔽两种【l ”。 被动屏蔽是利用铁磁材料或高温超导薄膜材料为漏磁通提供回路，将磁场尽量 限制在磁体附近的区域，以减小漏磁场。由于超导磁体产生的磁场较强，会超过 一般铁磁材料的饱和磁场，屏蔽效果就会比较低，并且其重量又比较大，会影响 到超导储能磁体的应用；另外现在高温超导薄膜材料比较昂贵，所以也不宜采用 大量的高温超导薄膜材料进行被动屏蔽。 主动屏蔽方法是在磁体设计时，采用组合方式【”1 ，适当布置线圈的相对位 置及其几何尺寸使磁体外部区域的磁场衰减更快。以减小漏磁场。以下将讨论几 种有主动屏蔽效果的组合磁体，其基本原理为使组合磁体的磁矢势展开式的前两 项或三项等于零，使离磁体较远的区域磁感应强度衰减更快，以达到减小漏磁场 的效果。 2 1 4 几种有主动屏蔽效果的组合磁体 2 1 4 1 同轴同心组合磁体 同轴同心组合磁体由i 勾# 1 - 两个空心圆柱线圈l 、2 组成，线圈1 和线圈2 的电 流方向相反，线圈2 的主要是用来屏蔽线圈1 产生的磁场。其结构图如图2 3 所示。 j a 4 图2 - 3 同轴同心组合磁体结构图 图中，线圈1 的内半径、外半径、半高分别为a l 、a 2 、b l ，线圈2 的内半径、 _ ! 望墅堂型童皇三! 塑堕堕主堂焦堡；：! ! ； 夕 半径、半高分别为a 3 、a 4 、b 2 ，设通过磁体1 和磁体2 的电流密度分别为j o 和山， 那么线圈】在空气中任意点p 处产生的磁矢势l ，可由下式求得m j f j 9 j ： 互= 丝4 ；rj 越r 1 矿州。， 式中可以展开为下式： 2 i 1 一贾i v 去+ 击j 高i ：v v 去+ ( 2 ，一。) 把式( 2 1 “) 代入式( 2 1 1 0 ) 得： 弘鲁腓牿牵v 去+ 刍杯v v 扣陟 2 ) 展开式( 2 一l 1 2 ) 的第一项为 即= 笠4 r d d d 仁f 砂= o ( 2 - j - 1 3 ) 同理，线圈2 的磁矢势展开式第一项也等于零。 展开式( 2 - 1 - 1 2 ) 的第二项为 邳k 一鲁，g j ：( 审v 去户y 2 石, 1 1 0 告x 7 仁沙嘉= 等垦r 韭s ( 2 - 1 - 1 4 ) 式中 卟三户f 7 仁f 矿= ；碱6 i m q 3 b - ： 陋1 _ 1 5 ) 为线圈1 的磁偶极矩，西：为z 方向上的单位矢量。 同理，线圈2 舅磁矢势展开式第二项为 j11)to r 魂x r 。4 r e r 3 卟够了伍砂= 专砜也k 叫3 b - ： ( 2 - 1 - 1 7 ) ( 2 - 1 - 1 6 ) 如果能使历+ 廊：= o ，即可使j f u + 雹1 = 0 ，便使得在离线圈较远的地方磁感 应强度会衰减很快。此时得到以下条件： 6 】g ；口? ) 一6 2 b ；一口；) = o ( 2 1 1 7 ) 以下分析线圈1 的磁矢势展开式的第三项 ! 里型兰堕皇三婴壅堑堡主兰竺堡苎 = 鲁j 了g ： ( 扣：v v 妙y = 鲁吉赫v 去 式中，西是线圈l 的磁四极矩，与v v 上r 同为二阶张量。 d 户如x f x ir 1 2 岛p 仁p y 5 1 2 = 5 ，= 3 j o 卜。y 。d v 。= o 5 2 3 = 历2 = 3 j o z d v = 0 d 3 d 3 3 = = 巨，= 3 d 。卜x d v = 0 ( 2 1 - 1 8 ) ( 2 1 - 19 ) r 2 1 - 2 0 ) ( 2 1 - 2 1 ) ( 2 - 1 - 2 2 ) 胪_ ，2 炒= 肛”2 2 = ；矾q k 一，制( 2 - 1 - 2 3 ) 6 。= 怠：= 一拯2 = 一吉砜口弦? 一3 日洲( 2 - 1 - 2 4 ) 把式( 2 - 1 - 2 0 ) ( 2 1 - 2 4 ) 代入式( 2 1 1 8 ) 0 0 ，可以得到线圈1 的磁矢势展开式的 第三项： 耻丝4 r e l 6 f 1 巨善蛾等也夏0 2 ：j i 1 吼 = 等一口；b ? 一。m a 例筝西 同理可以得到线圈2 的磁矢势展开式的第三项为： 彳 2 ) = 一等叫磅一。日；弦：】掣奶 ( 2 1 2 5 ) r 2 1 2 6 ) 如果同时使j 一+ 刎1 = o 和j ：2 + 雹2 = o ，便可使在离线圈较远的地方磁感应 强度会衰减更快，使磁屏蔽效果更好，此时的条件为： 鱼k 一口? ) 如似 一，一a 池h 础 1 2 r 2 1 - 2 7 ) 0 = h 一 4 ， 3 d 一 卜k 霹司 31 k 尸 2i 盯一 2 2 ，fb，1l 中因科学院电工研究所硕士学位论文 2 1 4 2 同轴帛联式缎合磁体 橱0 苒| j | 2 9 f 。一：拦一 2 b ，融一稃d b ：轼一8 ；) 一。 磁四极矩为零： 赫继一订j 黼+ 3 h 2 b 。) 一6 似 2 1 4 3 轴线平行式组台磁体 ( 2 - 1 2 s ) 口? 溉】一b 0 ：一口；掳一3 0 ：一口；：j = 0 ( 2 。1 - 2 9 ) 翻嗣轴串联式组含磁体相似，轴线平行式缀合磁休由偶数个尺寸完全相同豹线 圈组成，它们的中轴线相互平行，中心处于圊一高度，通以间样大小电流，并且 相邻的两个线髑的电流流向相反嘲。本文中只讨论包含2 、4 、6 个线圈的情况。 它们的结构如图2 - 5 ( 妒( c ) 所示： 中国车辜学院电工研究掰碛七学位论文 ( a )( b ) 圈2 - 5 轴线平行式组合磁体 ( c ) + - ， 在这种结构下，磁体的磁偶极矩和磁四极矩同为零，可以达到较好的磁屏蔽的 效菜。 2 2 超导储能磁体的电感及互感计算 对于单磁体来说，计算其储能量可以在确定出它的自感l 和通过玄的电流l 后真接由公式( 1 1 ) 求得；而对于由n 个线圈组成的磁体来说，要计算其储能麓不 仅簧分剐计算备个线圈的自感，还要计算它稻各自之翔豹互惑，然后群由下式计 算整个磁体的继毙量f 2 1 ： 1 石= 毒毒露+ 寺磁带i 矗 ( 2 2 - 1 ) m i ，2 l = l ，# j - 空心阐柱线圈为超导磁体最基本酌形式，萁他特殊形式酌线圈一般都可戬分解 炙空心圆牲线嬲或以近似为这季孛最綦本鲍形式，本章将只讨论交心瑟桂线瓣黪 自感和互感。 2 2 1 空心圆拄线圈的自感计算 2 2 。1 1 磁链法计算空心圆柱线圈的电感 如图2 - 6 所示，空心圆柱单线圈，内半径为a l ，外半径为a l ，半高为b ，啜数 为n 。 1 4 中国科学院电工研究所硕士学位论文 缓缓 图2 - 6 芏心圆枉早撼俸笫构图 在线圈中通以电流i ，设电流在线圈中均匀分布，电流密度为j ；对于线圈的 矩形纵截面，其单位面积上的匝数r l 可由下式来表示： 。： 型2 b (”2 a 2 - a , ) ( 2 - 2 - 2 ) 以点p 的径向坐标p ( p 0 ) 作为基准值，进行如下归算： 爿= 钐，仁一= 钐，z = 形，z 1 = 衫码= 衫，月= 形， r = p 一+ p 2 2 p p c o s 0 + z “。 由单积分法可以计算出空间任意点p 处的磁感应强度的轴向分量b ：，z ) ： 皿= 彩 c 0 。，z ) 一f ( a ，z ：) 一只0 ：，z 1 ) + e 0 。，z ：) 】( 2 2 3 ) 其中： 国：“0 j p ( 2 - 2 4 、21 r 7 砒z ) = 轴( r + a - c o s 印+ l c o s 0 1 n ( r - z ，) _ s i n o 一研等字弘( 2 _ z 5 ) r ：扛万c 万五万可 ( 2 2 6 ) 由每点的b ：即可算出通过线圈的磁链少，公式如下： p = ”f 1f 芝c p ，z ) - 2 x p 和- 西d z ( 2 - 2 - 7 ) 然后由公式： = l i( 2 - 2 - 8 ) 可得： 中国科学院电工研究所硕上学位论文 三= 詈f 2 f 皿( b 。) 2 n p 和毋如( 2 - 2 - 9 ) 至此即可得到空心圆柱线圈的电感值。 这种方法是计算空心圆柱线圈的自感的最直观也最原始的方法，只是在整个 过程中，要先计算出积分区域的磁感应强度再进行积分。在实际编程计算时其 精度与积分步长有关，步长越小，所得电感值越精确，但速度就会越慢。 2 2 1 2 高斯积分法及近似公式法计算空心圆柱线圈的电感 对于图2 - 6 所示的空心圆柱单磁体，讨论其分析电感l 与电流密度j 、矢量磁 位a 之间的关系【”】。设电流密度j 分布在区域v 内，区域v 被一具有无限大半径 驴一m ) 的球面s 所包围。球区域k 由两部分组成：一部分是电流分布区域v ，另 一部分是球内除去v 以外的无电流区域巧。在区域“内，磁场能量 w = 去c h 8 d r , = 百1c h ( v 一) d k ( 2 2 1 0 ) 二-i 应用矢量恒等式- ( v a ) = v 0 ) + a - v h ，( 2 2 1 0 ) 式成为： 2 圭州爿n ) d v , 。+ 圭户，v x 删u = 吾扣日- 叫+ 吾p v 删k - s l- h 由于上式右端第一项中的球面s 。为无穷大，而且a * ， 所以其值为零，计及d = v x h ，式( 2 2 1 1 ) 简化为： 形= 导i a j d v , 1 = 扣删 - r ( 2 2 1 1 ) h 彤，s l o c ，2 ， ( 2 2 1 2 ) 另一方面，当s 内仅有一个空心圆柱线圈时其磁场能量与电感l 及电流i 的关系可表示成： w ：1 l i 2 ( 2 2 - 1 3 ) 2 于是： ，2 = f a j d v ( 2 2 1 4 ) i = 古p ( 2 - 2 - 1 5 ， 由于矢量磁位a 仅有分量a 。，且在任一点c o ，妒，z ) 处矢量磁位a 和电流密度j 6 一! 里型兰堕皇三塑塞堕堡! 兰垡堡苎 同方向，所以： 三= 乒弘，z p 矿= 等c 咖f ：) ，z 皿 令函数 f ( a o p ，( o a ，刚：) = k t ( 印) f ：i 订( r 陋+ 伽) e 2 x k 。( x ) d x 另有： 4 幻，z ) = r 石，脚) c 。s 艘如 所以： = 石兰警每r 专( f 2 ( 叩，醐，鲫。硒) d 令线圈的形状参豹 “：生二鱼：生二竺! 口2 + q d 2 62 6 v 2 2 一 (2-2-20)d口，+ d 、一 参数u ，v 分别是用线圈的平均直径d 作基准对径向厚度和轴向长度进行归化 得到的值。利用参数u ，v ，式( 2 2 1 9 ) 可以变换成： = 鍪2 0 t ( u ，v ) 斗石 ( 2 2 2 1 ) 这里n 是线圈的匝数，函数 m ，啦芋r 阜l + u 。丁s i n 2 x 州( 弘半t 了l + u xd ydx(2-2-22) 该表达式仅与线圈的形状有关，而与线圈的尺寸大小无关。 为了计算线圈的电感，关键是计算函数r 0 ，v ) 。我们采取以下两种计算方法： 1 ) 高斯积分法： 对式( 2 2 - 2 2 ) 计算时，使用高斯型求积公式。对里层的积分，采用高斯一拉 盖尔求积公式，为确保精度，应选取求积节点数大于1 5 。 高斯一拉盖尔积分公式【2 2 】： j - g ) 出= 芝4 e 。厂( x 。) + 月( 厂) ( 2 2 2 3 ) 式中扎为l a g u e r r e 多项式三。g ) 的第k 个零点，k = l ，2 ，3 ，n 系数4 。石兰1 f 厶+ t k 汗i ”+ j ( 2 - 2 2 4 ) m m ” 珏 珏 荆 一 一 一 一 中国科学院电工研究所硕士学位论文 余项酬= 饼产们白) ( 0 i o o ) ( 2 - 2 - 2 5 ) 利用高斯一拉盖尔积分公式可以计算此类的广义积分。 另，在求7 1 0 ，) 时，要先求得其中的f y ，上兰f ，生旦x ，公式如下： vv 厂( 弘半t 半x = 足。o ) 阜，吐。k + ) 户1 旅七) 出 其中： 0 ) - l ，。i ：r e ：c 。s 0c o s 伽 世0 ) = - ：“, c h t d t ( 2 2 。2 6 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) 至此就可求得r 0 ，v ) 了，也就可以求得线圈的电感值l 。 2 ) 近似公式法 h a k 给出了函数丁0 ，v ) 的近似式 ，0 ，v ) = 不而1 ( 2 2 2 9 ) 其中a ，b ，c 是常数，取值范围见表2 - 2 。 表2 - 2 式( 2 - 2 2 9 ) 中的参数 uvabc o o 50 o 80 0 3 80 1 2 0 4o 1 1 8 0 0 5o 8 1 60 0 3 60 1 4 6 5o 1 1 1 o 5 一1 oo o 80 0 40 1 0 6 5o 1 3 6 0 5 一1 0o 8 1 60 0 1 9o 1 2 6o 1 4 另外，也可用查图表法进行计算空心圆柱线圈的电感，只是这种方法不宜在 计算机程序中实现，不能在优化过程中应用。 2 2 1 3 各电感计算方法的结果比较 下中列出了几种空心圆柱线圈的电感计算方法的计算结果比较【2 3 】 表2 - 3 方案1方案2方案3方案4平均误差 内直径( m m l 3 0 06 0 04 5 04 5 0 外直径( r a m ) 3 9 26 9 25 l o5 4 2 轴向高( r a m ) 4 94 94 94 9 总匝数1 6 01 6 01 6 01 6 0 中国科学院电工研究所硕1 ：学位论文 测量电感 1 22 92 0 82 0 ( m h ) 高斯积分法 1 2 2 4 ( 2 0 3 12 9 4 5 ( 1 5 6 )2 0 9 7 ( 0 8 2 )2 0 4 7 6 ( 2 3 8 】6 9 8 ( r n h ) 1 近似公式法 1 5 9 4 ( 3 2 )4 2 8 5 ( 4 7 )2 9 8 5 ( 4 3 12 8 5 2 ( 4 2 6 5 4 1 1 6 3 ( m h ) 1 磁链法( m h )1 2 ，1 2 ( 0 9 6 )2 8 7 6 ( 0 8 4 )2 0 5 4 ( 1 2 5 ) 2 0 12 ( 0 5 9 10 9 1 杏图法( m h )1 2 4 0 ( 3 3 3 12 9 4 4 ( 1 5 0 12 2 1 2 ( 6 3 4 1 2 0 3 1 6 i f l 5 83 1 8 9 5 1 表中各电感值后面括号中的值表示与测量电感之间的误差。从上表中可以看 到，几种方法所得的结果中，近似公式法与其他三种方法差别最大。只是查图法 不易在编程中实现，磁链法的误差最小，只是在整个过程中要做三次积分，而高 斯积分法只须积分两次，所以在速度上高斯积分法要比磁链法快一些，尤其是在 优化过程中，要多次计算磁体的电感，所以我们在对超导储能磁体进行优化时先 用高斯积分法计算磁体的电感进行优化，经过多次迭代后，得到一个初步优化结 果，再用磁链法计算磁体的电感进行优化，迭代后得到更精确的解。 2 2 2 空心圆柱线圈的互感计算 2 2 2 1 磁链法计算同轴空心圆柱线圈的互感： - 缓 黝i 。t 饧 2 d 震图 b 2 蓬斟 ： a 3 ：山 图2 - 7 同轴同心圆柱线圈结构图 如图2 7 所示，线圈l 的内半径为a i ，外半径为a 2 ，半高为b l ，匝数为n i ， 另与它同轴的空心圆柱线圈2 ：内半径为a 3 ，外半径为a 4 ，半高为b 2 ，匝数为n 2 两线圈的中心轴向距离为d ，求两线圈的互感值m 。 9 中国科学院电工研究所硕士学位论文 在线圈l 中通以电流i i ，设电流在线圈中均匀分布，体电流密度为j t ：对于线 圈的矩形纵截面，其单位面积上的匝数n i 可由下式来表示： 啊：i 生_ 弋 ( 2 - 2 - 3 0 ) 啊2 面菇葡 u 矗。w 以空间一点p 的径向坐标p ( p 0 ) 作为基准值，进行如下归算： 爿= 钐= 形= 钐，z = 形，z 1 = 形， z 2 _ 钐一形一扩万i 丽。( 2 - 2 - 3 1 ) 由单积分法可以计算出空间任意点p 处的磁感应强度的轴向分量b z ，z ) ： b ：= k ( 4 ，z ) 一c 0 ，z ：) 一t 0 ：，z ，) + c 0 ：，z ：) 】( 2 - 2 - 3 2 ) 其中： 国：掣 ( 2 - 2 _ 3 3 ) 嘶力= 肛( r + a - c o s 0 哆删n ( 矧- s i n 0 一缸笔笋 卜( 2 - 2 - 3 4 ， r ：打砑( 五i 丽( 2 2 3 5 ) 由每点的b ：即可算出通过线圈2 的磁链：。，公式如下： 弘er 肛( 脚) 2 x p - 咖咖d z ( 2 - 2 3 6 ) 其中：h 2 = 碉n 2 ( 2 - 2 - 3 7 ) 然后由公式： 2 1 = m i 】 ( 2 - 2 - 3 8 ) 可得：两同轴空心圆柱线圈的互感： m = 争ef 色，z ) _ 2 巧d 。印。卉_ 出( 2 - 2 3 9 ) 至此即可得到两同轴空心圆柱线圈的互感值。 2222 磁锋法计篁两轴线平行的空心圆柱磁体的互感： 如图2 8 所示，空心圆柱线圈l ：内半径为a l ，外半径为a 2 ，半高为b i ，匝 数为n 。，另一与它轴线平行的空心圆柱线圈2 ：内半径为a 3 ，外半径为a 4 ，半高为 2 0 中国科学院电工研究所硕j ：学位论义 b 2 ，匝数为n 2 ，两线圈中心的径向距离为y ，轴向距离为x ，求两线圈的互感值m 。 在线圈1 中通以电流i l ，设电流在线圈中均匀分布，体电流密度为j l ；对于线 圈的矩形纵截面，其单位面积上的匝数n l 可由下式来表示： 啊：= 生_ 弋 ( 2 2 4 0 ) 啊2 酉百习 u 。 2 图2 - 8 轴线平行的空心圆柱磁体 取线圈2 的中心为原点，