（电工理论与新技术专业论文）基于小波算法的电力系统间谐波测量.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 随着电力电子装置等非线性元件在电网中的广泛使用，电网中的电压电流波形畸变 越来越严重出现了大量的闾谐波。间谐波影响电力系统设备的安全运行，所造成的危 害越来越引起人们的重视。 传统的谐波分析方法，如傅立叶变换等，在分析含有间谐波的信号时存在频谱泄漏 和栅栏效应等缺点，因此有必要寻找一种新的阎谐波检测算法。为此本文对现有谐波分 析算法及其理论基础作了回顾和探讨，指出了各种算法的优点和局限性。 小波分析算法近年来被应用到谐波检测中，并取得了丰硕的成果，但是传统小波分 析存在能量泄漏频谱混叠现象。导致精度低、鲁棒性差。基于此，本文提出了一种用于 间谐波检测的离散小波变换抗混叠新算法，通过同时抽取奇数坐标和偶数坐标位置的数 组元素，分别作插值后将两个结果对应相加，消除了混叠分量。该算法精度高，而且克 服了现有抗混叠算法计算复杂、运算量大的缺点。 针对我国电力系统实际状况，设计了基于d s p 和单片机双c p u 的间谐波检测装置。 本文负责装置人机接口部分的研制，开发了以n 公司m s p 4 3 0 单片机为核心的人机界 面系统，显示功能强，编程简单，具有广泛的应用价值。 关键词：电力系统，小波变换，小波混叠，谐波检测，间谐波。 a b s t l 认c t w i t ht h ew i d e l yu s eo fa l lk i n d so fp o w e re l e c t r o n i ci n s t r u m e n t s ，t h es i t u a t i o no f h a r m o n i c si np o w e rs y s t o mb e c o m em o r ea n dm o r es e r i o u s i n t e r h m m o n i c s f r e q u e n c i e sa r e n o ta l li n t e g e ro ft h ef u n d a m e n t a l ，a n dt h ee f f e c t so ft h e mc a u s ea l li n c r e a s i n gi n t e r e s ta m o n g e l e c t r i c a lp o w e re n g i n e e r s w h e nw eu s et h et r a d i t i o n a lh a r m o n i ca n a l y s i sm e t h o d s ，s u c ha sf o u r i e rt r a n s f o r m ，t o a n a l y z eh a r m o n i c 8a n di n t e r h a r m o n i c s ，t h ei n t e r h a r m o n i c sc o m p o n e n tw i l lr e s u l ti na p h e n o m e n o no ff r e q u e n c ys p e c t n n nl e a k a g e s ow en e e dt of i n dan e wm e t h o dt oa n a l y z e s i g n a l st h a t c o n t a i ni n t e r h a r m o n i c s t h i sp a p e rm a k e sas u m m a r yo ft h ee x i s t i n ga n a l y s i s m e t h o d so fh a r m o n i ca n di n t e r h a r m o n i e s ，a n dc o m p a r et h e i ra d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e s t h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sd e v e l o p e dt oa c h i e v eb o t hg o o dt i m ea n df r e q u e n c yp o s i t i o n i t i su s e di nh a r m o n i ca n a l y s i sr e c e n t l y b u ta l i a s i n gi nt r a d i t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mc a u s e m e a s u r e m e n te 玎o r s ow en e e dt oi n v e s t i g a t en e ww a v e l e t b a s e dm e t h o d sf o rm o r ea c c u r a t e a n dr o b u s td e t e c t i o n t h i sp a p e ra n a l y z e st h ep h y s i c a le s s e n c eo fa l i a s i n gi nd i s c r e t ew a v e l e t t r a n s f o r m ，a n dp r o p o s ean e wm e t h o dt or e d u c ea l i a s i n g t t l i sn e wm e t h o dd e m a n dl e s s c a l c u l a t i o na m o u n tt h a nt h ee x i s t i n gm e t h o d st h a ti su s e dt or e d u c ea l i a s i n g s i m u l a t i o nr e s u l t p r o v e st h a ti t , c a ne f f e c t i v e l ye l i m i n a t ea l l a s i n ga n dp r o v i d eav i g o r o u sm e a nf o rp o w e rs y s t e m 华北电力大学硕士学位论文 h a r m o n i ca n a l y s i s a i m i n ga tt h ed e m a n do fp o w e rs y s t e ma n dt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n , w ed e s i g nan e w p o w e rs y s t e mh a r m o n i ca n a l y z e r t h i sp a p e rd e v e l o p st h em a n m a c h i n ei n t e r f a c eo ft h e a n a l y z e r , w h i c hi sb a s e do nt h et e x a s i n s t r u m e n tc o m p a n y sm s p 4 3 0m i c r o p r o c e s s o r h el e i ( e l e c t r i c i a n st h e o r ya n dn e wt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f w a n gz e z h o n g k e yw o r d s ：p o w e rs y s t e m ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；w a v e l e tm i a s i n g ；h a r m o n i cd e t e c t i o n ； i n t e r h a r m o n i e s ； ，燮恐燃攀篓做蕊燃缸 华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行酌研究工作和取得的研究成 果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作韵同志对本研究所做的任何贡献均已在 学位论文作者签名：纽磊 酲 期：冽垄墨盟! 苎丑 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定。即：学校有 权保管、并向有关部门遴交学位论文豹原件与复印件：学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文# 学校可允许学位论文被查阅或借阅； 学校可以学术交流为目的，复锄精潺和交换学位论文；同意学校可以用不同 方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密麝蒜守此媲定) 作者签名；左配磊 日期：碰堡猫量a 导师签名： 日期：雄眦p 华北电力大学硕士学位论文 1 1引言 第一章绪论 随着电网容量的增大，结构、复杂性的提高，以及各种电气设备，特别是电子设备等 非线性负荷的迅速普及和应用，电能质量( p o w e r q u a l i t y ) 正日渐成为电力系统的一个重 要的研究课题，受到越来越多人的关注和研究。一方面，各种大容量、非线性、波动性负 荷在系统中应用越来越多，造成系统电能质量恶化；另一方面，各种复杂、精密的、对电 能质量敏感的用电设备愈来愈酱及，人们对电能质量要求越来越高。 电力系统中各种扰动引起的电能质量问题可大致分为稳态和暂态两大类。暂态问题主 要包括电压暂降( s a g ) 、电压皙升( s w e l l ) 、短时间中断( i n t e r r u p t i o n ) 和各种瞬变( t r a n s i e n t s ) 等现象；稳态问题以波形畸变为特征，包括直流偏置、谐波、间谐波、陷波和噪声等现象- 其中谐波问题影响面更大，范围更广，被公认为电力系统一大公害。随着电力系统的发展 特别是非线性负载的广泛应用，电力系统的电压电流波形畸变情况也越来越严重，不仅存 在频率是工频整数倍的谐波，还出现了大量的非整数次谐波( 间谐波) ，给电力系统的安 全经济运行带来极大的危害，因此需要对这些谐波和间谐波进行准确的检测。 实际上间谐波及其影响广泛存在于电力系统中，本章就间谐波的来源、影响及标准做 一简单介绍和分析。 1 2 间谐波问题的基本概念 1 2 1 电力系统中间谐波的定义 i e c 6 1 0 0 0 2 1 提供的间谐波定义如下【1 】： 在电压和电流信号的谐波分量之间存在着频率与基波频率不成整数倍关系的信号，它 表现为离散频谱或宽带频谱。 准稳态条件下谐波和闻谐波可以用其频率来定义，用数学表达式可以表示为： 谐波：，一 i 直流； ，一0 问谐波： ，一n 五( 次谐波：0 - 圃 0 2 5 7 51 1 苟1 x 胁1 罢 f 塑 聋 圈 0笛5 07 5 1 1 2 5 恸 x 出1 j 龉 图2 17 5 h z 间谐波频谱图图2 - 29 0 h z 间谐波频谱图 2 1 2 应用汉宁窗的插值f f t 算法 为了不失一般性，将某次谐波信号表示成如下的解析形式： z 。( t ) = a 1 e 吖p n( 2 - 1 ) 式中：4 为信号幅值；五为信号频率；鳙为信号初相 信号经采样并用矩形窗截断后的序列为 x ( n ) = x o ( 行i ) ( 打) ，n = o ，1 ，叮- 1( 2 - 2 ) 式中：x 。( n r a 为矗( f ) 的无限长采样序列：互为采样周期；6 0 s ( n ) 为矩形窗；n 为采样 点数a 由此可得采样频率正和采样长度0 为： ；= t s ，tp n t s 设0 1 ) 的d t f t 为x 。0 ”) ，a ，r ( n ) 的d t f t 为0 ”) ，则不难得到 ( 2 3 ) 华北电力大学硕士学位论文 x 。( p 扣) = 2 玎6 ( c o t 0 1 ) p 仲1 ，m l = 2 ：r ，i f j ! 坐 r 0 加) = w r ( o j ) e 2 吲小溯 ( 2 4 ) 根据f o u r i e r 变换的性质，可以得到信号采样序列x ( n ) 的d t f t 值x ( e 知) 为 工( e j - ) 一击e 昱。杪职“凇秽= 一啪坤i 一等叫 ( 2 - 5 ) 当进一步应用d f t 算法计算x ( n ) 的频谱时，相当于在数字频域以驯的间隔( 对应的 时域间隔为1 t 。) 对式( 2 5 ) 中的x ( e p ) 进行抽样。 设模拟频率 对应的数字频率为( k l + 6 ) 2 z n t 且k 。为正整数，0 墨6 。c 1 ，则： 七，+ 反：掣 ( 2 6 ) j5 当6 ，= o 和6 。1 0 5 时，x o ) 的d t f t 幅频特性和d f t 的幅频特性分别如图2 3 所示 c - j5 ；o r 一出晕样1 ( b ) 5 i = 05 d b 阿班碾m 图2 3同步和非同步采样后的离散频谱比较 图2 - 3 中的连续曲线为d t f t 的结果，符号“o ”为d f t 的抽样结果。由此可以得到 以下结论： ( 1 ) 当同步采样时，在各离散点上的d f t 谱值与信号的理想谱值完全一致； ( 2 ) 当非同步采样时，在各离散点上的d f t 谱值与信号的理想谱值不一致，因而会产生 泄漏f 9 1 。 萨弦或余弦信号的f f r 算法在实际采样过程中，非同步采样很难避免，从而采样序列 的频谱会产生泄漏。若原始信号为正弦( 余弦) 信号，则不论采样同步与否，可以对信号的 d f t 算法结果作相应的处理，最终得到信号的真实频谱。 设图2 3 中信号的离散频谱在离散频点k ，和k l + 1 处出现谱峰，由式( 2 5 ) 可得： 华北电力大学硕士学位论文 x ( ) b 号= k 卜邶t 坞) ) 等卜s i n 1 ) 【s i n t ) n 】 ( 2 _ 7 ) i x ( 刮州，等= 阻”1 _ 阶点) 等) 】卜n 1 ) 【s i n “，) n ) n 1 ( 2 - 8 ) 在实际应用中采样点数n 一般较大，同时考虑l d 。lc 1 ，则 s i n ( 莉，) s i n ( z 6 1 n ) = s i n ( 莉。) 【耐1 n + d ( 。3 ) 卜s i n ( z 6 1 ) ( 玎哦n ) ( 2 9 ) 同理 s i n ( 口6 1 ) s i n ( z ( 1 一d 1 ) n ) = s i n ( z 6 。) 【( 1 6 。) n + o ( 一3 ) 】一s i n ( z 6 1 ) k ( 1 6 ，) ) 】( 2 1 0 ) 进一步，设 屈i 阶柚k + 。痔怛( e 柚) b 2 z ， 则由式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 可推得： 6 ，2 且1 + , 6 1 ( 2 - 1 1 ) 由此可得，信号的实际频率估计为 = 1 + 6 1 ) t 。( 2 - 1 2 ) 由式( 2 - 9 ) 或式( 2 1 0 ) ( 建议用幅值大的式子) 可推得信号的幅值4 和初相的估计分别为 a 1 一l x ( e 加) l p 2 z + ( 而) s i n ( z 6 - ) ( 2 - 1 3 ) 吼堋g 膪( 阢加) l 鲁) 一6 1 z ( n 一1 ) n ( 2 _ 1 4 ) 电网电压信号中谐波、间谐波分量的幅值一般仅为基波分量幅值的百分之几或更小。 对其进行非同步采样时，基波分量的频谱泄漏将严重影响邻近的间谐波以及2 次、3 次等 谐波分量的频谱，从而导致谐波测量产生很大的误差。若相邻谐波、间谐波之问的幅值相 差太大，幅值大的频率分量有可能淹没幅值小的频率分量信号f 9 】。 为了减小信号中各频率分量之问的相互泄漏，可以采用加窗函数对信号进行截断或增 加采样长度。典型的窗函数为各种升余弦窗。从各种窗函数的特性比较来看，布莱克曼窗 虽然旁瓣衰减大，但其计算相对复杂。海明窗的旁瓣衰减略比汉宁窗大，但随旁瓣增加其 衰减速度很慢。对电网信号的分析，若选用汉宁窗，不但计算量较小，而且可以通过调节 采样长度达到减少谐波间泄漏的目的【9 】。 汉宁窗的窗函数表达式和d t f t 结果为 ( n ) = 0 5 - 0 5 c o s 【而2 7 9 n 】风( n ) n = o 1 ，n 一1 华北电力大学硕士学位论文 ( e 扣) = w h ( w ) e 一“州。州 其中，( ) 一o 5 ( ) + o 2 5 1 w m 一惫】+ 陋+ 惫】 ( 2 _ 1 5 ) 设第1 1 1 次谐波信号为： z 。( t ) = a 。e 7 2 ”7 m + 9 m 设谐波信号采样序列对应的离散频点为七。+ 6 。；坐挈羔，其中k 为整数；o ；6 。1 ；丘 o 是谐波频率；t 。为采样长度。 与矩形窗截断时的推导类似，设加窗后采样序列频谱为x 。( e 扣) ，可得： 眦1 l 。鲁一乏舞警答 m 拍也专一2 。6 尘( 1 - 趔6 ) ( 2 l - 6 ) 设以2 i x h , ( e 扣) t o 忡，粤- n i x ( e 扣) l 。k 鲁， 则可得 6 。2 币2 f t - = - 1 ( 2 - 1 6 ) 由式【2 - 1 5 】和式【2 - 1 6 】可得谐波频率、幅值和相位的估计式分别为： 4 。= i x ( e 扣) k ；2 x 捌。( 1 6 批i n 。) 厶一( k + 6 。) t 。 喇g l e x m ( e 问) k 等) 一6 一石( 一1 ) n 基于汉宁窗的插值f f t 算法具有较高的谐波参数估计精度。随着采样长度的增加，估 计精度还可以进一步提高，并且对频率、幅值和相位的估计都有比较简单的计算公式。 2 2 神经网络算法 近年来，随着人工智能技术的发展，人工神经网络被应用于电力系统的谐波分析。常 用的人工神经网络模型有自适应线性人工神经网络和多层前馈自适应人工神经网络 ( m l f n n ) 。运用人工神经网络进行谐波分析具有较高的精度，然而这2 种模型均不完美： 自适应线性人工神经网络模型必须在知道系统精确的基波频率的前提下才能进行精确的 华北电力大学硕士学位论文 谐波分析。如果不知道系统精确的基波频率而以5 0 h z 来进行神经网络的训练，误差则较 大。多层前馈自适应人工神经网络由于其训练过程的不确定性，一般在应用之前需要大量 的训练，甚至可能出现完全不能训练和局部极小值的情况，因而无法很好的满足实际应用 的要求。此外m l f n n 网络由于神经元数量多，致使计算量较大【1 0 】。 图2 - 4自适应线性神经元结构原理图 神经元的输入模式向景。 自适应线性( a d a l i n e ) 神经元是由w i d r o w 和 h o f f 最早提出的一种神经元模型，并被广泛应用于自 适应信号的处理领域，其结构原理如图所示： 图中，x o i ，如，x 2 i ，墨”，为a d a l i n e 神经元在 时刻k 的输入。输入信号的向量形式表示为 邑一【x o ，x i i ，x “，x “，如r ，该向量称 a d a l i n e 每组输入信号都有一组相应的权值：，h 0 ，。，矸0 ，件么。 每组权值的向量形式为- 【，。，暇，r ，该向量称为权向量。 a d a l i i l e 神经元的输出定义为：萝 ) - 碟珞( 2 - 1 7 ) a d a l i n e 神经元的工作过程是：将理想响应信号_ ) ，仲) 与a d a l i n e 神经元的输出信号萝 ) 进行比较，并将差值暑国送到学习规则中，根据学习规则调整权向量 圪，使萝( 七) 和所要求 的输出y ( k 1 相一致。 a d a l i n e 神经元的学习规则称为w i d r o w h o f f 6 规则，也称最小均方差算法( l m s ) 。 根据w i d r o w h o f f 6 规则，权向量调节公式为： 彬l 一+ r l e ( k ) x a( 2 1 8 ) 式中，7 称为学习速率，0 t 叩( 1 ，其大小直接影响权向量调节的收敛速度和调节精度。 在电力系统中，含有谐波的信号表示为 x 0 ) 一44 - ：4 c 0 8 羁s i n ( t a , o t ) + 4s i n 张c o s ( i o o t ) ( 2 1 9 ) 式中为电力系统基波角频率，一幼，0 ；f 为谐波次数；a 为直流分量。 在已知情况下，式( 1 1 ) 满足正交线性，可以应用a d a l i n e 神经元对其进行谐波分析。 设a d a l i n e 神经元的输入模式向量为 石o ) i t , s i n ( o 口o t ) ，c o s ( o j o t ) ，s i n ( 2 0 j o t ) , c o s ( 2 珊j ) ，s i n ( n c o o t ) ，c o s ( n o o t ) 】( 2 - 2 0 ) 权向量的初始值全部鬻0 ，即哪弦【0 ，0 ，0 】，权向量调节公式为式( 2 1 8 ) 。实验研究 【1 2 ，1 3 】表明：用于电力系统谐波分析的a d a l i n e 人工神经网络的学习速率印取值在 0 0 1 6 - 0 0 1 7 之间有较高的调节精度和较好的收敛速度。将采样数据对a d a l i n e 神经元进行 训练，以理想的响应信号y ( k ) 与a d a l i n e 神经元的输出信号萝他) 的差值e ) 作为精度控制条 件，训练之后得到的权向量即为4 ，4 c o s 饿羊4s i n 铭。于是得到 n 次谐波幅值为：4 - ( 4 c o s 毋) 2 + “s m 识) 2 行次谐波相位为：锻ia r e t a n ( 4s i n 识4c o s 识) 华北电力大学硕士学位论文 一般对精度要求越高，训练的点数越多，但在满足测量精度要求的条件下，过分提高 精度是没有实际意义的。 由此可知，传统的自适应线性人工神经元模型将每个神经元的激发函数设为定函数， 因此这种神经元模型只适合用来检测整数次谐波，而间谐波由于频率事先未知，所以无法 用这种模型检测。如果一个含有间谐波的信号用这种模型来检测，结果将会出现并不存在 的谐波信息，导致很大的误差。为了检测问谐波，文 1 i 在原有模型的基础上进行改进， 将神经元激发函数不设为定函数，而将激发函数的参数( 也就是谐波次数) 和权值一样参 与调整，这样便得到一种能检测间谐波的人工神经元模型，如加虚线后的图2 - 5 所示： 理 坠、。； p 划 b k i 砼 j i 图2 - 5 改进的自适应线性神经元结构原理图 网络的具体操作特性如下： ( 1 ) 神经网络输入为，f1 1 2 ，k ，其中七为神经网络训练样本个数； ( 2 ) 神经元个数为2 m ： ( 3 ) 神经元激发函数为 ( f ) 【s i n ( a , 耐) , c o s ( a ：o o ，s i m a 2 t o t ) , c o s t a 2 0 j t ) , s m 吒甜 c 鹪l 吒n 矿j j 式中a j o 一1 ，2 ，m ) 为激发函数的参数，即谐波次数； ( 4 ) 神经网络输出为 卫 圣q ) 一：( 4c o s 仍s i n ( a l c o t i ) + 4s i n 妒tc o s ( a 础) ) 耳 训练之后得到的权向量即为 w - 4 c 0 8 ，4 s i n 张，以c o s 妒a , s i nq 而口一k ，a 2 ， 口。】即为各谐波次数，初相位可由劬- a n g l e ( 4 c o s 竹+ j 4s i n 仍) 求得。 应用改进的自适应线性人工神经元计算阀谐波参数时，需要首先知道神经元的个数和 经网络谐波次数迭代的初始值。为此，文 1 1 首先对采样信号用加汉宁窗的f f t 进行预处 理，得到了谐波个数和精度不高的谐波次数t 其次根据谐波个数设定神经元的个数，根据 预处理后得到的谐波次数设定神经网络谐波次数迭代的初始值；最后对改进后的人工神经 网络进行训练，便可实现间谐波的精确检测。 在检测间谐波时，肘信号采样数据作f f t 变换时，由于栅栏效应和频谱泄露的影响， 无法得到真实参数。但会在对应信号各个频率成分的附近谱线中出现一个极大值。如信号 中含有1 4 ，2 6 和3 8 次谐波，采样2 个基波周期，采样点数为6 4 ，对该信号作加汉 华北电力大学硕士学位论文 宁窗的傅里叶变换，图2 6 即为变换结果。由图1 可以看出，谱线的幅值出现了3 个极 大值，亦即含有3 种谐波，分别为1 5 ，2 5 和3 7 5 次谐波，可见该方法没有实现对问 谐波的精确检测，但用该方法已经检测出了信号中所含谐波的个数。 一1 肌1- i 1 图2 6 信号加汉宁窗的频谱特性 将加汉宁窗的f f t 算法和改进的线性人工神经元模型结合起来，在信号加汉宁窗傅 里叶变换结果的基础上，用经过改进的线性人工神经元模型来检测间谐波。通过已有仿真 实例表明，该方法对间谐波的谐波参数具有狠高的检测精度，在实时性方面也得到了改进。 2 3 谱估计算法 如前所述，：f f t 算法在整数次谐波检测方面取得了很大的成功，因其算法简单、快速， 结果准确，得到广泛的应用。但是在间谐波检测中，因为间谐波不同于谐波分最的特点， 运用f 嘴法往往不能得到令人满意的结果。d f t 有一个隐含的意义，即计算的是周期序 列，也就是说采样时间等予各分量周期的最小公倍数。因此对于谐波只要采样一个基波周 期就可以得到较好的结果，但是对于含有间谐波的波形，因为间谐波分量的频率是基波的 分数倍，往往很难确定波形周期。这样就将引入较大的检测误差 1 4 1 。 实际上加窗算法本身就隐含着一个假设，即窗外未检测到的数据都为0 ，这显然是不合 理的。如果考虑到谐波过程具有某种统计规律，从而对被估计过程作出合理的假定，为其 建立一个尽量准确的模型来逼近真实过程，就可以得到更为有道理的结果。通常使用的参 数模型有三种：a r 模型、m a 模型和a r m a 模型。其中m a 模型的参数估计一般需要求解 非线性方程组，a r m a 模型不仅要确定a r 、m a 阶数，还需要a r 、m a 的参数估计。而a r 模型仅涉及a r 参数的估计，计算过程相对简化。因此，一般工程计算都基于a r 模型 1 4 1 ： i x o ) _ 一荟a u x ( n f ) + y o ) 式中v 0 ) 是均值为零，方差为印的白噪声序列。根据随机信号功率谱密度的定义可以 方便地得到x o ) 的功率谱密度为： 华北电力大学硕士学位论文 咖卜商 这样问题就归结为根据信号的有限个采样值估 i ：- - a r 模型的参数印、a 。 2 3 1b u r g 算法原理 b u r g 算法是利用前向和后向预测误差功率最小准则，从低阶开始，根据采样数据来估 计反射系数，然后使用l e v i n s o n d u r b i n 递推公式计算a r 模型的系数。它避免了计算相关 函数值和求解y u r e w a l k e r 方程的矩阵运算。 设n 个数据为工( o ) 善( 1 ) ，彳( 一1 ) 定义前、后向预测误差分别为： t 正加) 一却一f ) 气。) - a 善a k i 笫( n - k + d 前向和后向预测误差功率的平均值为 足一薹n - 1 【f 。) 1 2 + i 气o ) i 2 】 为使平均功率最小，令当0 ，可得到反射系数 o h 2 艺【 ，o ) 气。o 一1 ) 】 z 【( 五。o ) ) 2 + 瓴。m 一1 ) ) 2 1 计算各阶前、后向预测误差可以利用格型滤波器结构递推。 然后即可利用l e v i n s o n d u r b i n 递推公式求出： a 矗- a k - u 一 口t l 上1 ，1 i k - ( 1 一碍) 0 - 。2 ( 2 2 4 ) 从文 1 4 1 仿真结果对比中可以看出，在同样短的采样对问里，使用参数化谱估计的检测 结果明显比使用f 兀- 算法的检测结果准确。特别是在当间谐波频率接近基频且幅值相对较 小时，参数化谱估计可以检测到间谐波分量，而f f r 算法却无能为力。 基于f f l r 算法的检测方法在采样时间较短的情况下，在准确检测间谐波分量方面有很 大的局限性。参数化谱估计方法能够较好地解决这个问题，且该方法仅对处理器计算速度 - 1 5 - 啪 捌 四 p 弘 0 华北电力大学硕士学位论文 有要求，而对其它硬件部分要求不高，故此方法在间谐波检测方面有着良好的应用前景。 2 4 小波变换算法 小波分析是傅立叶分析发展的一个崭新的阶段，它在时域频域同时具有良好的局部化性 质，根据信号的不同频率成分，在时域和小波域自适应调节取样的疏密：频率高对，则密；频 率低时，则疏。在大尺度下，可以将信号的低频信息( 全局) 表现出来，在小尺度下，可以将 信号的高频信息( 局部) 特征反映出来，所以被誉为数学显徽镜。 小波变换作为一种新的数学工具，是传统傅立叶变换的发展，在信号处理领域中有着巨 大的广阔的潜在应用前景，其在图像处理、数据压缩等领域的成功应用更使得人们在其他领 域对其进行研究。当前小波分析和变换的研究如火如荼淇应用范围也越来越广。它具有良 好的时域和频域局部化特性，克服了傅立时变换在频域完全月部化丙在时域完全无局部化的 缺点。它具有分析时频问题的良好特性。谐波问题归根结底是时域和频域的对应问题，因此 理论上可以用小波变换实现检测间谐波。 小波函数是具有时频域局部化特性的函数，例如m e x i h a t 小波函数的时频特性如图2 7 所示。由图可见，小波可看成是具有时域和频域紧支撑的函数，具有良好的局部化特性。 乒 万 。嘻菇硫r 赫r 葫惴1 螽 “，盱嗵援赫捧 域矗瓣 图2 - 7g e x i h a t 小波函数的时频特性 连续小波变换的定义为： e ( 6 ) - e ，o 砌( p b ) a ) d t ( 2 2 5 ) 式中a 和b 分别为小波函数的尺度因子和位移因子，分别决定小波的时频窗在频域和时 域的位置，o ) 是被检涮的信号，妒为采用的基本小波函数，式( 2 2 5 ) 相当于信号与小波 函数的卷积处理，即t c 。( 6 ) - 妒o 4 ) f o ) 时域的卷积对应于频域的乘积关系，因此得到关系式 c 口) 一妒( 叫口) ，和) r 2 2 6 ) 式( 2 - 2 5 ) 中的位移因子b 决定时频窗的位置，尺度因子a 决定时频窗的丈小。式( 2 ，2 6 ) 中的， ) 和q 口( , o a ) 是，o ) 和妒吖4 ) 的傅立叶变换。由式( 2 - 2 5 ) 、( 2 - 2 6 ) 可见，信号的连 续小波变换相当于对信号时域做了滑动加窗处理，相当于对频域作了截断处理。从信号处 理角度而言，小波变换相当于信号通过有限长度的带通滤波器，不同尺度的小波变换相当 于不同通频带的带通滤波器。如果能够使不同频率的谐波位于不同的频带中，就能够把包 华北电力大学硕士学位论文 括整数次和非整数次的不同频率的谐波分离出来，这就是小波变换检测谐波的原理。 基于连续小波变换检测问谐波的方法选用的小波函数通常是m o r l c t 小波，因为其频域 能量比较集中，通频带较窄，频谱泄漏影响较小，具有时域对称和线性相位的特点，能够 保证变换不失真。其时域波形和频域波形如图2 - 8 ： 毒眶；。勰 n *r ，l h 图2 ：8 m o r l e t 小波时域波形和频域波形 m o r l e t 小波函数基本表达式为： 一f 2 驴( f ) 。e7 2 c o s ( m t ) ( 2 - 2 7 ) 其频域表达式为； 咖，甘掣1 掣1 】 尺度为a 时对应的m o r l e t 小波时域和频域表达式为： - v 医a k 匕a k 】 f 2 - 2 8 ) ( 2 2 9 ) 一毋掣玎掣】 协。， 式( 2 - 2 9 ) 中，k 为常数，与采样时间和采样点数有关；式( 2 - 3 0 ) 中，因w a k ，0 ， 所以e 2 e 2 ，因此式( 2 - 3 0 ) 可以简化为； 以小犀一心2 ( 2 - 3 1 ) 由式( 2 3 1 ) 看出，对于不同的a ，钆和) 对应不同的频域特性曲线；对于某个特定 的a ，当- 。础时，和) 的值最大，- 础称为该尺度a 的中心频率。 如果被测信号的表达式为： 工( f ) 1 4 c o s ( 1 t + 吼) ，( 2 - 3 2 ) 则x ( f ) 的频域表达式为： i 。譬 ：竺 s 。， 式中：k 为常数，与采样点数有关。 根据式( 2 - 2 6 ) 可得： 1 7 - 华北电力大学硕士学位论文 h ) 卜骺4 弘r o ) ，o 1 1 ， ( 2 3 4 ) c 。o ) - 纯( 1 澎1 c o s ( o j l t + 8 + ) 式中：咖是连续小波变换引起的相移。 由式( 2 - 3 1 ) 可以看出，a 影响钆 1 ) 的值。下图是不同a 时m o r l e t 小波对应的频域 特性曲线钆) 。 i ! i o 曩l l f 8 蓑“ 蓥1 1 4 0 2 捌奉 图2 - 9 不同a 对m o r l e t 小波对应的频域特性曲线 从图2 - 9 可看出，对于频域中任意一点，不同的a 对应的丸( q ) 值不同，丸( 蚺) 最大时 所对应的a 称为该频率的特征尺度；例如图中频率为q 的特征尺度为a 一2 。由式( 2 3 1 ) 、 式( 2 3 3 ) 看出，频率为皑的谐波信号在特征尺度的c w t 系数c o ( f ) 的幅值最大，而且q 与 特征尺度的中心频率最接近，因此，可以近似地把特征尺度的中心频率看做是这个谐波的 频率。如果尺度选得足够密，则谐波频率的检测可达到较高的精度。这种按照c w t 系数 e ( f ) 的幅值来选取特征尺度从而检测谐波频率的方法被称为尺度- 幅值算法。 2 5 问谐波测量发襄趋势 傅立叶变换是目前谐波测量中应用最广泛的理论，通过加长采样窗宽度，采取加窗插 值算法可以得到分数次谐波的颏率、相位和幅值，具有较高的精度。本算法的不足之处在 于分析窗的宽度一般要达十几个信号周期，参数估计的实时性不够理想。绝大多数非线性 负载产生的间谐波，其幅值和频率是随时间变化的，即具有时变特性，因此检测问谐波的 算法需要较高的时频分辨率，傅立叶算法在此方面具有较大的局限性，检测信号一般需要 几十个基波周期，而且其时频窗宽度固定，不能自适应调整，因而时频分辨率较低。 神经网络和小波分析应用于谐波测量，是目前正在研究的新方法。将加汉宁窗的f f t 算法和改进的线性入工神经元模型结合起来，在傅里叶变换结果的基础上，用经过改进的 1 8 华北电力大学硕士学位论文 线性人工神经元模型来检测非整数次谐波。可以得到较高的测量精度。但是神经网络的训 练需要大量的时间，算法的实时性较差。而且此种算法需要先利用f f t 算法进行预处理以 得到谐波个数和精度不高的谐波次数，因此时频分辨率和f f t 算法一样较低，具有很大的 局限性。 小波变换作为一种新型的时频分析工具，具有良好的时频局部化特性，可以同时提取 信号的时频特征，克服了傅立叶变换仅有频域局部化而无时域局部化特性的缺点，适应于 非整数次谐波的分离和时变谐波的检测。 由于小波交换是按频带而不是按频点的方式处理频域信息，信号频率的微小波动不会 对处理产生很大影响，且不要求对信号进行整周期采样；其次，由小波变换的时间局部性 可知，在信号的局部发生波动时，它不会像傅立叶变换那样把影响扩散到整个频谱，而只 改变当时一小段时间的频谱分布，这使其可以跟踪时变信号和暂态信号，因此非正周期采 样时小波变换没有傅立时变换算法存在的频谱泄漏问题。 离散小波变换具有快速算法，即m a l l a t 算法，它在小波交换中的地位相当于快速傅立 叶算法在经典傅立叶分析中的鲍位它大大提高了小波分解与重构的计算速度，从而使小 波变换具有明显的工程实用价值，例如文献1 1 8 1 q b 的仿真结果表明，m a l l a t 算法在d s p 中能 很好地满足实时性要求。因此基于小波变换的间谐波测量算法在实时性和测量精度方面取 得突破，有望发展成为一种实用的检测算法。 华北电力大学硕士学位论文 第三章基于抗混叠小波变换的间谐波检测算法 3 1连续小波变换检测间谐波时存在的局限性 目前几乎所有的小波函数族在信号分析中都存在混叠现象，虽然许多文献都表示基于 小波变换的谐波检测方法优于传统的谐波检测技术，但是由于没有采取混叠抑制措施，不 能满足精度和鲁棒性的要求。文献【8 】指出，不同尺度的小波函数在频带上相互混叠使得现 有利用小波系数幅值的检测方法及其改进算法无法准确检测谐波。文献【1 6 】也意识到了小 波混叠现象，采用连续小波变换系数的傅立叶变换幅值来检测谐波，该方法能够检测谐波 信号，但不足之处是精度不高，而且直接对多频信号进行连续小波变换容易产生调制混频 现象。 目前针对小波混叠现象而采取的改进措施分为两类：一类是针对小波变换的近似部分 和细节部分的混叠分量进行补偿，先将谐波信号分解成子频带分薰，再利用连续小波变换 对非零子频带信号进行分析，提取谐波分蠢特征；另一类是利用复小波变换的相位信息来 检测电力系统谐波( 简称相位法) ，与f f r 和幅值检测法相比，相位法在一定程度上能消 除f f t 算法的栅栏效应和频谱混叠。与基于小波变换系数幅值检测方法只能得到频带信息 相比，相位法可以较准确地得到各次谐波的频率和幅值，是小波变换方法在谐波检测中的 新探索，有希望发展成为一种实用的谐波检测方法【8 】。 3 1 1 尺度一幅位算法计算多频僚号时的局限性 例如被检测信号中古有两个不同频率的谐波，设表达式为： 工( f ) 1 爿2 c 0 2 t + 8 2 ) + a 3c 塔 3 t + 岛) 该信号频域表达式为： p 2 七 加2 防 _ 一 a 3 k c o - o ) 3 1 0其它 式中：k 是常数。k 值由采样点数决定。 根据( 2 - 2 6 ) 可以得到 印。m 2 k- 2 k ) | - 吼( o j m 3 k 1 0其它 因此，c w t 的系数为： e ( f ) m 钆和2 m 2 七c o s 2 t + 0 2 + 九) + 3 m 3 k c o s ( 3 t + 岛+ 砚) 式中：nm 2 是c w t 引起的相移。 罅 华北电力大学硕士学位论文 由上式可以看出，信号的c w t 系数c 。o ) 是两个谐波分量的叠加a 设口。：和口。，分别为 ：和对应的特征尺度，如果0 3 2 和相差较大，根据式( 2 - 3 1 ) 得到：当口一a 。2 时， 妒。( 3 ) 妒。( 2 ) 当口_ a 。3 时，妒。( n ，2 ) 妒。 3 ) 。则； c 脚。仫嚣蔫：2 ：嚣a , w a w 。封2 f j t ， 由上式看出，如果o j ：和相差较大，当口一a 。：时，c 。( f ) 只含有频率为：的谐波分量， e o ) 的幅值由吼( ：) 决定，因此，a a 。：时，a s ( a ) 曲线会出现个峰值；同理，a = a 。， 时，a s ( 口) 曲线也会出现一个峰值。这样，根据a s 0 ) 曲线的峰值就可以判断谐波的特 征尺度。：和a 。，从而得到相应的谐波频率。 例如z p ) - e o s 2 t + c o s 8 5 t ，即被检测信号中含有两个频率相差较大的谐波信号。采样点 数为6 4 ，采样一个基波周期，得到被检测信号的c w t 谱图如图3 - 1 所示，利用尺度一幅 值算法得到的a s 和) 曲线见图3 - 2 ； 图3 - 1 连续小波变换的谱图图3 - 2 利用尺度一幅值算法得到的a - s ( a ) 曲线 在图3 2 所示的a s ( a 1 曲线中，两个峰值出现在a = 6 和a = 2 5 处，可以求得两个尺度 对应的中心频率分别为8 6 6 7 次谐波和2 0 8 0 次谐波。与理论值基本符合。因此，当被检 测的谐波频率相差较大时，利用尺度一幅值算法可以实现谐波的频率检测。 如果两个谐波的频率相近，则式( 2 3 4 ) 不成立。当a - a 。时，c d ( f ) 中不仅古有频率为 的谐波分量，而且含有频率为鸭的谐波分量，c 。9 ) 是两个谐波的叠加。两个谐波的共同 作用使a s ( a ) 曲线豹峰值不一定会出现在口- 4 。：处；同理，a a 。时，a s ( a ) 曲线也不 一定会出现一个峰值。这样，就无法根据a s ( a ) 曲线的峰值判断谐波的特征尺度，从而 无法实现谐波的检测。 例如被检测信号中含有4 ，5 和7 5 次谐波，采样点数为6 4 ，采样1 个基波周期，得到 被检测信号的c w t 谱图如图3 3 所示，利用尺度一幅值算法得到的a s ( a ) 曲线见图3 4 ： - 2 l 华北电力大学硕士学位论文 图3 - 3 c w t 谱图 图3 4 口一s 0 ) 曲线 由图3 4 可以看出，利用尺度一幅值算法得到的口一s ( 口) 曲线无法显示谐波的特征尺度， 甚至连谐波的个数都无法判断。因此，当信号中存在频