（电工理论与新技术专业论文）分数阶系统中的混沌及其同步控制研究.pdf

a b s t r a c t t h es t u d yo nf r a c t i o n a l o r d e rc a l c u l u st h e o r yh a sah i s t o r ym o r et h a n3 0 0y e a r s ， h o w e v e r , t h es c h o l a r ss t u d y i n go nf r a c t i o n a l o r d e rc a l c u l u st h e o r ym a i n l ye x i s ti nt h e f i e l do fm a t hd u r i n gt h ep a s tl o n gp e d o d i n1 9 8 3 ，m a n d e l b o r ti n i t i a l l ys u g g e s t e dt h a t t h e r ea r ep l e n t yo ff r a c t a ld i m e n s i o np h e n o m e n ai nt h ef i e l do fn a t u r ea n dt h ef i e l do f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a n dt h e r ea r es e l f - s i m i l a r i t i e sb e t w e e ni n t e g e ra n df r a c t i o n ；t h e n , 嬲t h ed y n a m i c sf o u n d a t i o no fg e o m e t r ya n df r a c t a ld i m e n s i o n f r a c t i o n a l o r d e rc a l c u l u s g a i n e dn e wd e v e l o p m e n ta n db e c o m eah o ti s s u eo f t h ei n t e r n a t i o n a l t h ep r e s e n ta r t i c l e s d u d i e sc h a o sa n dc h a o s s y n c h r o n i z a t i o n o ff r a c t i o n a l - o r d e r s y s t e m t ot h e f r a c t i o n a l o r d e rd y n a m i c ss y s t e m s t h em a i na c h i e v e m e n t so ft h ep r e s e n ta r t i c l ea r ea s f e l l o w s ： 1 t w oc o n v e r s i o nm e t h o d sa r ei n t r o d u c e dt os t u d yt h ec h a o sp h e n o m e n ao ft w o c l a s s i c a lf r a c t i o n a l o r d e rs y s t e m s f i r s t ，t i m e d o m a i na n df r e q u e n c y - d o m a i na l g o r i t h m i si n t r o d u c e dt os t u d yf r a c t i o n a l o r d e ru n i f i e ds y s t e ma n df r a c t i o n a l o r d e rl i us y s t e m c h a o t i c d y n a m i cp e r f o r m a n c es y s t e m a t i c a l l y , i t i sr e v e a l e dt h a tt h e s et w o f r a c t i o n a l - o r d e rs t i l lh a v ec h a o t i ca t t r a c t o r sw h e nt h es y s t e mo r d e ri sl e s st h a n3 ，a n dt h e l o w e s to r d e ri s0 3 s e c o n d l y ，p r e d i c t o r c o r r e c t o rm e t h o dw a sa d o p t e dt os t u d yt h e c h a o t i cp h e n o m e n o no ff r a c t i o n a l - o r d e rl i us y s t e m ，f i r s t ，t i m es e r i e so fp r e d i c t o r c o r r e c t o ro ft h es y s t e mw a sc a l c u l a t e d ，a n dt h e nc o m p u t e rs i m u l a t i o nw a si n l m d u c e d ， p h a s ed i a g r a mf r o md i f f e r e n to r d e r sa n dd i f f e r e n tp a r a m e t e rw e r ep r e s e n t e d ，a n df i n d o u tt h ep a s sb yw h i c hf r a c t i o n a l o r d e rl i us y s t e mf r o mp e r i o d i c i t yt oc h a o s ，t h el o w e s t f r a c t i o no r d e ri s2 6 1 ，t h ee x i s t i n go fc h a o sw a sc o n f i r m e db yc o m p u t i n gt h em a x l y a p u n o vi n d e x e s 2 a st ot h es i n g l eo u t p u tf r a c t i o n a l o r d e rc h a o t i cs y s t e mw h i c hh a sas p e c i f i cs t a t e v a r i a b l ea sas y s t e mo u t p u tc o n d i t i o n s ，ac o n t r o l l e rsw a sd e s i g n e da c c o r d i n gt ot h e f r a c t i o n a l o r d e rc h a o t i cs y s t e mn o n l i n e a ro b s e r v e rt h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r y , w i t ht h i s c o n t r o li n p u t ，j u s tb yc o n t r o lt h es t a t ev a r i a b l e 毛a n di tf r a c t i o n a l o r d e rd e r i v a t i v e 0 “、2 耐w ec a na c h i e v et h es t a t ev a r i a b l es y n c h r o n i z a t i o no f c o n t r o l l e ra n do b s e r v i n g f r a c t i o n a | - o r d e r s y s t e m s t a t ev a r i a b l e b o t ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i o n n c o n f i r m e dt h ev a l i d i t yo f t h i ss y n c h r o n i z a t i o nd e s i g n 3 t h es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r 0 1 - o ff r a c t i o n a l o r d e rs y s t e mi st h ef o c u so fr e c e n t r e s e a r c h e s ，b u tc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d sa r el i m i t e d ，a n df e wo ff r a c t i o n a l o r d e r s y n c h r o n i z a t i o no fd i f f e r e n ts y s t e m sw a sr e p o r t e d t h ep r e s e n t e da r t i c l es t u d i e dt h e s y n c h r o 击z a t i o no fd i f f e r e u ts y s t e m s ，b a s e do nf r a c t i o n a l o r d e rl i n e a rs v s t e ma n d s t a b i l i t yt h e o r y , u s i n ga c t i v ec o n t r o lt e c h n o l o g y , t h es y n c h r o n i z a t i o no ff r a c t i o n a l o r d e r u n i f i e ds y s t e ma n df r a c t i o n a l o r d e rl i us y s t e mw a sa c h i e v e d k e yw o r d s ：f r a c t i o n a l - o r d e r , c h a o s ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，s t a t eo b s e r v e r s ， s y n c h r o n i z a t i o no f d i f f e r e n ts y s t e m s 1 1 1 分数阶系统中的混沌及葵同步j 窄制研究 第一章绪论 本章综述混沌学的起源和发展、主要特征量和判定方法以及分数阶动力系统 的混沌、混沌控制与同步的研究现状。 1 1 混沌学的起源与发展 混沌( c h a o s ) 是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的，类似随机的现象 l 。这里，“确定性系统”是指混沌系统由确定的动力学方程所描述。“随机” 是指混沌本身具有内随机性，表现为系统长期行为的不可预测性。混沌现象表明 了确定性与随机性两者是相通的，体现了两者既对立又统一的关系，即确定性内 在地包含随机性，随机性隐含着确定性。混沌是有序中产生的无序运动状态，无 序来自有序，无序中蕴涵着有序。混沌不等于混乱，是一种貌似无序的复杂有序 现象。混沌最本质的特征是对初值的敏感依赖性即当初值产生极其微小的变化时， 其系统的长期性态有很大的变化。混沌是非线性科学研究中最重要的组成部分之 一。混沌科学的倡导者之一的m s b l e s i n g e r 、物理学家j 。f o r d 等认为混沌是2 0 世纪 物理学上继相对论与量子力学后的第三次物理学大革命【2 一。 混沌学研究的渊源可以追溯到1 9 世纪。法国数学家、物理学家h p o i n c a m 在研 究太阳系三体运动问题时发现，三体引力相互作用能产生出惊人的复杂行为，确 定性动力学方程的某些解有不可预见性。1 9 0 3 年，庞加莱在他的科学与方法 书中提到了庞加莱猜想。他把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并提出三 体问题在一定范围内，其解是随机的，实际上这可视为是一种保守系统中的混沌。 1 9 5 4 年，前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫( k o l m o g o r o v ) ，在探索概率起源 的过程中发表了哈密顿( h a m i l t o m ) 函数中微小变化时条件周期运动的保持 一文，这一文章是k a m 定理的雏形。1 9 6 3 年，k o l m o g o r o v 的学生，年轻的、 具有超群才能的v i a r n o l d 对此给出了严格的数学证明。几乎同时，瑞士数学家 j m o s e r 对此给出了改进表述，并独立地作出了数学证明。此文思想为混沌未发生 之初，在保守系统中如何出现混沌提供了信息。这为早期明确不仅耗散系统有混 沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。 郑州大学t 学母仁论文 1 9 6 3 年，美国气象学家e n l o r e n z 发表了以确定性非周期流为代表的四篇 论文，揭示了一系列混沌运动的基本特征，如确定性非周期性、对初值的敏感依 赖性【“、长期行为的不可预测性等，还发现了混沌学研究的第一个奇怪吸引子一 一l o r e i l z 吸引子，为混沌研究提供了一个重要模型，并最先在计算机上采用数值计 算方法进行仿真研究，为以后的混沌研究开辟了道路。此外，n u t u r e 杂志发表 的论文n l el o r e p l za t t r a c t o re x i s i t s 首次从数学上严格证明了l o r e n z 吸引子在 自然界中的存在。 1 9 6 4 年，法国天文学家艾侬( h e n o n ) 从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中 得到启发，给出了h e n o n 映射l “，艾侬得到了一个最简单的吸引子，并用它建立 了“热引力崩坍”理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。 1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学者t a k e n s 联名发表了著名论文 论湍流的本质，独立地发现了动力系统存在一套特别复杂的新型吸引子，证 明与这种吸引子有关的运动即为混沌，发现了第一条通向混沌的道路，并命名这 类吸引子为奇怪吸引子。此后，判别是否存在奇怪吸引子，刻划其特征，成为耗 散系统混沌研究的基本课题。同一年起，r m a y 用数值算法计算l o g i s t i c 模型，既 看到规贝i j 的倍周期分叉现象，也看到了不规则的“奇怪现象”，同时还发现随机 运动中又会出现稳定的周期运动，从而对混沌现象的深入研究起到了巨大的促进 作用。这一时期，三位学者m m e t r o p o l i s ，m l s t e i n 和p r s t e i n ) 把符号动力学引 入混沌研究，建立了著名的m s s 定理，为根据计算结果和实验数据确认周期解以 及周期轨道分类和排序提供了方便的工具。 1 9 7 5 年，正在美国马里兰大学攻读博士学位的美籍华入学者李天岩和美国数 学家( j a y o r k e ) 联名发表了一篇震动整个学术界的论文周期3 蕴含混沌，在 动力学研究中率先引入了“混沌”( c h a o s ) - - 词，并给出了混沌的一种数学定义， 从而为这一新兴研究领域确立了一个中心概念，为各学科研究混沌现象树起一面 统一的旗帜。 1 9 7 6 年，法国天文学家m h e n o n 通过对l o r e n z 方程的简化，得到h e n o n - - 维的 映射，发现它也能产生混沌运动，并依据数值计算绘制出了奇怪吸引子，研究了 它的复杂结构特征。同一年，美国数学生态学家梅( m a y ) 在自然杂志上发表了 题为具有复杂动力学过程的简单数学模型综述文章，以单峰映射为对象，重 点讨论j l o g i s t i c 方程，系统地分析了方程的动力学特征，考察了混沌区的精细结 构。绘制了分叉轮廓图，汇集了敏感函数、周期窗口、树枝分叉、切分叉、基本 动力学单元、不动点谐波等混沌学词汇，促进了不同领域混沌学研究联成一体。 分数阶系统中的混沌及其可步拧制研究 1 9 7 8 1 9 7 9 年费根包姆( f e i g e n b a u m ) 在梅的基础上独立地发现了倍周期分 叉过程间距地几何收敛率，并发现了收敛率即每次缩小地倍数为4 6 6 9 2 是个常 数，这就是著名地f e i g e n b a u m 常数。f e i g e n b a u r n 还把相变临界态理论中的普适 性、标度性、重正化群方法引入混沌的研究。计算出一组普适常数，建立了关于 一维映射混沌现象的普适理论，发现了怎样作尺度变换，给出了一条走向混沌的 具体道路，把混沌学的研究从定性分析推向定量计算阶段，成为混沌学研究的一 个重要的里程碑。 到了2 0 世纪8 0 年代，混沌的理论体系迅速完善，标度性、普适性、l y a p u n o v 指数、分数维和吸引子等一系列刻划混沌的概念先后被确定下来。1 9 8 3 年，物理 学家m b et r y 首次提出了混沌学( c h a o l o g y ) 的名称，并己逐渐为科学界所接受。1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开。中国科学家徐京华首次提出三种神经细胞 的复合网络，并证明它存在混沌。1 9 8 8 年，丁明州和郝柏林对洛伦兹模型周期窗 口进行了系统的研究，找到了与反对称三次映射的关系。1 9 8 9 年，郝柏林、郑伟 谋在现代物理学国际杂志上发表文章，抛弃了人工造作的“反谐波”和“谐 波”概念，推广了星号组合律。这是混沌学理论上近年来的重要进步。1 9 8 9 年， 卢侃、林雅谷、卢火在人脑脑电图的分维数上找到了与脑功能锻炼历史时间的回 归方程，即林雅谷功能方程式。这为应用混沌维数找到了可行的方式。1 9 9 4 年， 谢法根和郝柏林在g p h y s i e a ) ) a 2 0 2 卷上发表论文，完全解决了具有多个临界点的 一维连续映射的周期数目的问题。1 9 9 9 年，陈关荣教授利用一个简单的线性状态 反馈控制器驱动著名的l o r e n z 系统在非混沌区域产生混沌，导致了一个新的混沌系 统的发现，这个系统称为c h e n s 系统，并发现了另外一个混沌吸引子r ”。经研究发 现，l o r e n z 系统和c h e n s 系统可分属于两个相反的类。 2 0 0 1 年，吕金虎等入发现在这两个对偶系统之间存在一个新的混沌系统，称 为m 刚系统：2 0 0 2 年，吕金虎、陈关荣等人又提出一个新的混沌系统统一系 统j ，这个系统连接- j l o r e n z 吸引子和c h e n 吸引子l ”j ，并包含h l 系统作为它的一 个特例；即m 系统在l o r e n z 系统和c h e n s 系统之间架起了桥梁，实现了从一个系 统到另一个系统的过渡。2 0 0 4 年，刘崇新等又提出了一种新的混沌系统i ，i u 系 统一。各种混沌模型的研究一方面为混沌系统理论的发展提供分析依据，另一方 面也为混沌的应用研究提供了丰富的源泉。 近年来，又将分数微分算子引入到动力学系统中，对分数阶动力系统的混沌、 混池控制和同步的研究已成为热点1 1 3 - 2 4 , 4 5 , 5 5 - 5 s i 。 总之，自1 9 7 5 年混沌作为数学名词第一次出现，3 0 多年来国内外的研究迅猛 郑州夫学1 = 学硕十论文 发展，混沌已成为物质科学和数学科学的边缘科学。它已广泛地应用到声学、光 学、化学反应中的混沌变化、地震的混沌特性、天气预报、动态经济学领域中( 1 - 4 l 。 12 混沌的主要特征和判定方法 1 2 1 混沌系统的主要特征 研究混沌运动规律，了解某一系统是否会有混沌运动产生，人们往往不通 过混沌数学定义来确定，面是通过混沌系统的一般特征去判断、研究。因此， 在这里需要描述一下混沌系统的主要特征。 ( 1 ) 对初值的敏感依赖性 一个系统是耗散系统时，系统是否是混沌系统由系统的输出状态对系统的初 始输入的敏感度来决定。若系统的状态为平衡点、周期解或准周期解时，当系统 输入不同初始值，其输出状态最终都会趋于一致，并以指数率相互接近。若系统 的输出状态为混沌时，即使是以任意靠近的初始值输入，其输出状态经过有限时 间后也将以指数率相互分离。 ( 2 ) 分数维特性 奇异吸引子是轨道在相空间中经过无数次的靠近和分离，拉伸与折叠形成的 几何图形，具有层次结构的自相似特点。由于耗散系统运动在相空间的收缩，使 奇异吸引子维数小于相空间的维数，在维数上表现为非整数维数，即分数维。平 衡点、极限环及二维环面等吸引子具有整数维数。分维数是奇异吸引子的基本特 征。分维数包括h a u s d o f f 维数、关联维数、自相似维、盒维数、l y a p u n o v 维数、 信息维以及点形维等。 ( 3 ) 李雅洛夫指数的统计特性 李雅普洛夫( l y a p u n o v ) 指数反映了相空间轨道在不同方向上收缩和扩张特性 的平均量。李雅普洛夫指数的正负是判断系统是否处于混沌状态的重要方法之一。 三维系统的李雅普洛夫指数谱如下：不动点：( 一，一，一) ；极限环：( o ，一，一) ； 二维环面：( o ，0 ，一) ；不稳定极限环：( + ，+ ，o ) ；不稳定二维环面：( + ，0 。o ) ； 奇怪吸引子：( + ，0 ，) 。三阶非自治系统的李雅普洛夫指数谱如下：不动点：( 一， 一，一，一) ；周期：( 0 ，一，一，一) ；拟周期：( 0 ，0 ，一，一) ：混沌：( + ，0 ，一，一) ； 超混沌：( 十，+ ，0 ，一) 。 ( 4 ) 非线性 4 分数阶系统中的混淹及其同步柠制研究 物质世界中大多系统表现是非线性的。 满足一定关系时，一般就会出现混沌现象。 一，所以非线性是混沌的一个基本特征。 ( 5 ) 柯尔莫哥罗夫( k o l m o g o r o v ) 熵 对于具有耗散结构的系统，当非线性 这就说明非线性是导致混沌的条件之 熵是在热力学过程中，为了描述不可逆过程的单向性，引入的一种状态函数。 对于不可逆过程，熵的变化是大于零的，也就是说，不可逆过程只能沿熵增加的 方向进行，最终达到平衡。由于系统的无序程度与熵值存在对应关系，所以由熵 增加原理导致的孤立系统达到的平衡是均匀无序状态。普利高津( p r i g o g i n e ) 等人 后来对它作了进一步的推广。香侬( s h a n o n ) 随后将其引入信息系统中来表述信息系 统混乱程度。后来，柯尔莫哥罗夫进一步把信息熵的概念精确化，将其用来度量 系统运动的混乱或无序的程度，被称为k o l m o g o r o r 熵，简称k 熵。使用k 熵 值可判断系统运动的性质：( 1 ) 若k ：o ，表示系统作无规则运动；( 2 ) 若k = o o ， 表示系统作随机运动；( 3 ) 若k 为有限正值，表示系统作混沌运动。所以，柯尔 莫哥罗夫熵可以作为混沌的一个基本特征。 1 2 2 混沌系统的判断方法 由于混沌系统往往貌似随机系统，而在实际测量过程中，由于计算方法和测 试工具等的限制，使得系统的测试信号中不可避免伴有随机的噪声信号，噪声的 出现给系统的测量分析带来极大的困难甚至导致错误的结论。所以在直观上很难 对混沌系统和随机系统进行有效的区分。判断一个动力学系统是否为混沌已经引 起了许多学者的关注，这里给出主要的四种判别方法，为后几章讨论分数阶模型 的动力学行为提供理论支持。 ( 1 ) 运动轨迹与相图法 根据m a r l a b 的o d e 系统进行仿真实验或用r u n g e k u t t a 法对系统进行仿真实 验可以得到系统的运动轨迹和相平面图，观察相点的运动轨迹或变化情况，就可 凭经验对系统的运动特性进行初步判断。该方法只能得到大致的定性估计，精确 的情形还需要下面的定量方法进行验证。 ( 2 ) 频谱分析 频谱分析对于时间序列来说，又称为功率谱分析方法。它是一种定性的判别 方法，它所提供的结果并不是具有“不变性”的特征量。频谱分析的依据是纯随 机性的运动包含所有可能的频率成分( 白噪声谱) ，而一切非随机的运动都具有一 郑州犬学r 掌硕f 论文 定的频率结构。由于频谱与功率谱之间有相应的关系，即频率f 与相应的功率e ( f ) 之间存在指数关系。这样的关系在一些物理现象的某些频率中是适用的。如功率 谱指数，当= 0 时对应白噪声；其余值对应于所谓的“有色噪声”。更细可分 为：= 2 对应褐色噪声；0 5 l ，则迭代使得两点分开；若l d f l a x l 0 ，珂l s 口 o ，甩一1 口 。 ( 2 4 ) 其中r 是g a m m a 函数，则o r 阶c a p u t o 微分算子睇定义为 f y ( t ) = j ”“y ”( ，) ，口 0 ( 2 5 ) ，其中所= p 】，即m 为第一个不小于口的整数，y 伽为) ，的m 阶导数。 2 3 分数阶微分方程的求解方法 2 3 1 时频域转换算法 目前，实施分数阶微积分运算的求解方法主要采用整数阶拟合分数阶的方式 郑州大学- r 学硕f - 沧文 利用求整数阶的方法来计算，工程上最常用的是时频域转换法l 叫而后再在频域中 用分段线性近似法来实施计算。通过求解频域的，得到频域的展开形式，再将 频域形式转化为时域的整数阶状态方程，然后再利用m a t l a b 进行数值计算就可以 锝到分数阶方程的解。在一些文献【1 4 l 中也可查到1 ，的逼近结果，如表2 1 、表 2 2 所示；其中口= o 卜0 9 ，步长为0 1 ，逼近误差为2 d b 或3 加。本文以后将采 用该逼近公式进行数值仿真分析。 表2 1 逼近误差为2 d b 时的1 s “的近似传递函数 t a b l e 2 1l i n e a r t r a n s f e r f u n c t i o no fl s 4w i t h m a x i m u md i s c r e p a n c y2 d b 1 4 分数阶系统中的混沌及其同步拧制研究 表2 2 逼近误差为3 d b 时的i s 4 的近似传递函数 t a b l e 2 , 2l i n e a rt r a n s f e rf u n c t i o no fi s 4w i t hm a x i m u md i s c r e p a n c y2d b 2 3 2 预估一校正解法 预估一校正f 5 1 5 4 】解法是经典的求解一阶微分方程组的 a d a m s b a s h f o r t h - m o u l t o n 法韵推广。 考虑微分方程 d 尸ty ( t ) = f ( t ，y o ) ) ，0 t t( 2 6 ) 初值为y ( o ) = “，k = o ，l ，m - 1 ，其等价的v o l t e m 积分方程为 朋= 篆塔翕+ 高肛f ) 州m 删胁 ) 令居= 专，= 砌，月= 。1 ，。z + ，首先对( 2 7 ) 式进行a d 锄s b a s h f o r t h 预估 瑶吒+ 1 ) = 篆垤+ f ( 荀否ni 州厂哆，够) ) c 2 剐 = 等( ( 州+ 1 ) 4 咱棚。) 珧+ 1 ) = 薹和+ 亓他。眺+ 1 ) ) + 丽h a 他北) ) ( 2 9 ) n a1 - ( n 一口) 0 + 1 ) 4 ，歹= 0 q 一+ 1 = ( 珂一_ ，+ 2 ) 4 + ( 行一_ ，) 4 一2 ( 疗一_ ，+ 1 ) 4 州，1 ，s 疗 1 1，j = n + l 设口 0 且对于某个t 满足三f y ( f ) c 2 o ，明，则有误差估计 o , , m a x y 咿 o ( 矿h 2 ) 。，葛 2 4 本章小结 本章阐述了分数阶微积分理论的发展历史及研究现状，介绍了最常用的两种 分数阶微分和积分的定义r i e m a 衄一l i o u v i l l e ( 简称r - l ) 定义和c a p u t o 微分算 子定义。然后给出分别基于这两种定义的分数阶微分方程的求解方法时频域 转换方法和预估一校正解法，并给出了1 s 4 ( q _ o 1 0 9 ，步长o 1 ，逼近误差2 d b 和3 d b ) 的逼近公式及预估一校正公式。 1 6 分数阶系统中的湿沌及其同步撺制研究 3 1 引言 第三章典型分数阶系统的混沌现象 混沌及其应用是近年来非线性科学研究领域中的一个热点问题。混沌系统有 着复杂的动力学行为，但目前已知的混沌吸引子并不多。1 9 6 3 年，l o r e n z n 在三 维自治系统中发现了第一个混沌吸引子：1 9 8 6 年，l o c h u a 等人1 4 8 , 4 9 j 构造了第 一个真正能够用物理手段实现的混沌系统，观察到了双卷波、双重双卷波、双钩 等形状的奇怪吸引子；1 9 9 9 年陈关荣等利用反控制方法发现了一个与l o r e n z 系统 类似但不拓扑等价的c h e r t 混沌系统i 2 0 0 1 年，吕金虎等人发现在这两个对偶系 统之间存在一个新的混沌系统，称为m 系统1 8 叫；2 0 0 2 年，吕金虎、陈关荣等人 又提出一个新的混沌系统统一系统l i l j ，这个系统连接了l o r e n z 吸引子和c h e n 吸引子，并包含h l 系统作为它的一个特例；同年，s c e l i o v s k ，和陈关荣描述了一 个更一般的系统，它能够统一经典的l o r e n z 系统、c h e n 系统、u i 系统以及统一 混沌系统，即一类混沌系统的广义l o r e n z 标准型1 4 7 】；2 0 0 4 年，刘崇新等又提出了 种新的混沌系统l i u 系统l ”j ，实际上l i u 系统是广义l o r e n z 标准型混沌系 统中的一种特殊情形1 4 6 1 。 以上这些系统都是3 阶混沌系统，由庞加菜一本迪生定理川可知自治连续整 数阶系统产生混沌的最低阶数是3 阶，但是总阶数低于3 阶的自治分数阶系统也 可以产生混沌。近年来，许多学者对分数阶混沌系统进行了深入的研究【1 3 - 2 4 , 4 5 】；2 7 阶的c h u a s 系统i ”j 能产生混沌吸引子；2 。l 阶的 j e r k ”模型州及分数阶电子混沌 振荡器i ”j 能产生类似双涡卷混沌吸引子；分数阶l o r e n z 系统1 1 5 j 产生混沌的最低阶 数为2 9 1 ：在不同情况下，分数阶c h e r t 系统1 1 7 , 1 8 产生混沌的最低阶数分别为2 9 2 和o 3 ；分数阶r i s s s l e r 系统一j 在2 4 阶能产生混沌吸引子，在3 8 阶可以产生超混 沌吸引子；最近，文献1 5 7 ，5 8 1 研究了分数阶g e n e s i o t e s i 系统和分数阶i k e d a 延迟 系统的混沌动力学行为。以上研究结果表明当系统的阶数为分数时仍出现混沌状 态，且更能反映系统呈现的工程物理现象，从而促进了分数阶混沌的研究以及分 数阶微积分理论的发展，也为混沌保密通讯的研究提供了丰富的源泉。 由吕金虎与陈关荣提出的单参数统一混沌系统以及由刘崇新等提出的一类含 有平方项被称为临界混沌系统的三阶连续自治混沌系统l