（金融学专业论文）期权定价的幂律跳跃扩散模型.pdf

参宝 i0：8 1-1 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 饲考墨 学位论文使用授权声明 日期：2 0 妒年岁月，f 日 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机衅交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：何每努 导师签名： 日期：少加年罗月3 日日期：跚f 绰f 月31 日 期权定价的幂律跳跃扩散模型 专业：金融学 硕士生：何智 指导教师：曹宏铎副教授 摘要 本文在m e r t o n 的期权定价跳跃扩散模型的逻辑框架之下，对股票价格收益 率动力学方程进行了两个方面的修正：首先是将计数过程由p o i s s o n 过程修正为 本文所定义的带有幂律性质的更新过程，然后对跳跃发生的幅度也进行了修 正从而，本文赋予股票价格运动过程发生跳跃的时间和幅度以幂律分布特征 通过实证研究，本文所作出的两个修正可以更加准确地描述股票价格的运动 过程，可以同时得到具有尖峰胖尾的收益率分布和波动聚集性因此，本文的模 型可以更加准确地为期权等金融衍生品进行定价，同时也可以为金融风险管理提 供有效的工具，所以本文具有一定的理论价值和现实意义 关键词：期权定价模型；跳跃扩散模型；更新过程；幂律分布 a no p t i o np r i c i n gm o d e l ： j u m p d i f f u s i o nm o d e lo fp o w e r - l a w m a j o r ：f i n a n c e n a m e ：h ez h i s u p e r v i s o r ：c a oh o n g d u o a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h em e r t o n so p t i o np r i c i n gj u m pd i f f u s i o nm o d e l ，w e c a r r i e do u t 咖a s p e c t so ft h ea m e n d m e n t f i r s t l y , t h ec o u n t i n gp r o c e s s ( p o i s s o n p r o c e s s ) w i l lb ea m e n d e db yt h er e n e w a lp r o c e s sw i t hp o w e r - l a wn a t u r e s e c o n d l y , t h em a g n i t u d eo ft h ej u m ph a v ea l s ob e e ng i v e nt h ec h a r a c t e r i s t i c so fp o w e r - l a w n a t u r e b ye m p i r i c a lr e s e a r c h ，w ef o u n dw ec o u l da c c u r a t e l yd e s c r i b et h ep r o c e s so f t h es t o c kp r i c em o v e m e n tt h r o u g ht h ea m e n d m e n tm o d e l ，a n dw ec a l la l s og e ta y i e l d o ff a t - t a i l e dd i s t r i b u t i o na n dv o l a t i l i t yc l u s t e r i n g ，t h u sy o uc a l lm o r ea c c u r a t e l yp r i c e f o ro p t i o n sa n do t h e rf i n a n c i a ld e r i v a t i v e sp r o d u c t s ，a n dg e ta ne f f e c t i v ef i n a n c i a lr i s k m a n a g e m e n tt o o l s s ot h i sp a p e rh a sa ni m p o r t a n tt h e o r e t i c a lv a l u ea n dp r a c t i c a l s i g l l i f i c a n c e k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n gm o d e l ；j u m pd i f f u s i o nm o d e l ；r e n e w a lp r o c e s s ； p o w e r - l a wd i s t r i b u t i o n 目录 摘要i a b s t r a c t 】 i 目录 图目录v 表目录 第1 章引言l 1 1 研究理论背景与现实意义1 1 2 文献综述3 1 3 研究方法与创新7 1 4 论文内容与结构8 第2 章幂律跳跃扩散模型1 0 2 1 股票价格运动的动力学方程1 0 2 2 模型评价与比较、1 1 2 3 本章小结1 3 第3 章计数过程1 4 3 1 更新过程1 4 3 2 实证研究1 5 3 3 更新函数2 l 3 4 风险管理应用2 3 3 5 本章小结2 4 第4 章股票收益率跳跃幅度2 6 4 1 跳跃幅度的假设2 6 4 2 实证研究2 7 4 3 识别跳跃过程2 9 。4 4 本章小结3 0 n l 第5 章模型特征分析与期权定价3 2 5 i 胖尾特征3 2 5 2 尖峰特征3 4 5 3 波动聚集性：3 6 5 4 期权定价3 6 5 5 本章小结3 7 第6 章结论与展望3 8 6 1本文的主要结论3 8 6 2 本文存在的不足和展望3 8 参考文献4 0 致谢4 4 图目录 图3 - i等待时率密度函间分布的概数1 8 图3 2p o i s s o n 过程、真实过程、更新过程的事件序列2 0 图3 - 3 等待时间期望在双对数坐标系中的函数关系2 2 图3 - 4f 分布下跳跃等待天数概率的分布散点图2 3 图4 1上证综合指数跳跃幅度的概率密度函数2 9 图5 - 1 股票日收益率的概率密度函数3 3 图5 - 2 股票价格走势数值模拟3 5 v 表目录 表3 - 1 历史收益率和波动率对当期波动率的回归结果1 6 表3 - 2 等待时间概率分布的回归分析1 7 表3 - 3 等待天数的频数及概率1 8 表4 - 1 上证综合指数收盘点数跳跃幅度统计2 7 表4 - 2 上证综合指数跳跃幅度的回归分析2 8 表5 1模拟股票收益率时间序列的描述性统计3 5 、 第1 章引言 1 1 研究理论背景与现实意义 早在2 0 世纪初，法国数学家b a c h e l i e r 开始利用b r o w n i a n 运动来研究股票 价格的运动f a m a ( 1 9 6 4 ) 提出了著名的有效市场假说，认为在有效市场中， 股票价格将会反映市场中的一切信息，而股票价格的运动则会表现出随机游走的 特征基于有效市场假说，b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 提出了可以得到欧式看涨期 权和欧式看跌期权价格解析解的期权定价模型，为金融资产定价提供了理论依 据，对金融理论和实务的发展产生了重大影响 但是，大量的实证研究表明金融市场并不是强有效市场，因而对传统金融经 济学的研究假设和框架提出了质疑与批评o s b o r n e ( 1 9 6 4 ) 发现股票价格收益 率分布具有胖尾的特征，同时很多学者也通过实证研究发现股票收益牢分布的尖 峰胖尾特性因此，假设股票收益率服从正态分布的b l a c k s c h o l e s 模型便刁 1 ，p 0 ) ，( 2 2 ) 即f o k k e r p l a n c k 方程( b o u c h a u d p o t t e r s ，2 0 0 0 ) j ，) 是独立同分布非负 随机变量，令y = l n j ，而y 则是非对称的分布，其概率密度函数为 ( j ，) = p 。a + y q e y l y 卸 + g 么一( 一y ) 一口- e y l y 。o ， ( 2 3 ) 其中，口+ 0 ，o t 0 ，厦 l ，厦 l ，p 0 ，q 0 ，p - i - q = 1 ，p 和g 分别 为股票价格向上跳跃和向下跳跃的概率，股票价格向上和向下发生跳跃的幅度的 概率密度函数分别为f ( y ) = a + y 叫+ e7 ( y 0 ) 和f ( y ) = a 一( 一y ) 唧一ey ( y 1 ， 0 ) ( 3 - 2 ) 【1 】邓永录，梁之舜随机点过程及其麻川 m 北京：科学出版社，1 9 9 8 ：1 2 3 1 5 0 股票价格每发生一次跳跃的时间间隔x 。n , a 分布f ，而分布f 的概率密度 函数f ( x ) 则显示出这样的特点：赋予股票价格在较短的等待时间后发生跳跃以 较高的概率；而随着每两次股票价格发生跳跃的等待时间的增长，其将被赋予较 低的概率；而在更长的等待时间后股票价格才发生跳跃的情形并不频繁，但较 p o i s s o n 分布赋予更高的权重，即允许在非常长的时间里无事发生，但其中伴随 着强烈的阵发活动 3 1 2 与p o i s s o n 过程的比较 p o i s s o n 过程具有平稳增量，在问隔时间f 内，事件发生1 1 次的概率满足 以( ，删一忡) = 胛) = p 一等， 即事件出现一次的概率与时问问隔的长度成正比正是由于p o i s s o n 过程具有平 稳增量，其分布只与间隔时间有关，而于初始时刻无关，体现出“无记忆”的特 点，即p o i s s o n 过程的间隔时间服从均值为1 2 的指数分布但是，越来越多的 实证研究指出实际现象与p o i s s o n 过程小相符合，事件发生的间隔时间并非像 p o i s s o n 过程那样地均匀，而间隔时间可以用具有胖尾性质的分布更好地进行拟 合 更新过程与p o i s s o n 过程一样，都是计数过程p o i s s o n 过程是事件发生间隔 时间相互独立、均服从指数分布的随机变量，而更新过程则将间隔时间的分布修 改为任意的分布 3 2 实证研究 我们假设，股票价格收益率在经过极短或极长的等待时间后发生跳跃的概率 是较小的，而每两次跳跃的间隔时间则更加倾向于某一段时间下面，我们对这 一股票价格收益率发生跳跃间隔时间的假设进行实证检验首先，需要根据公式 ( 3 - 2 ) 构造待检验的模型： i n f ( x ) = i n a 一口i n x 一二+ f ( 3 3 ) 1 x 为了分析的简便，我们约定公式( 3 - 3 ) 中的x 为每两次跳跃之间的等待天数，f ( x ) 为等待x 天后股票价格发生跳跃活动的频率 现在，我们研究上证综合指数的跳跃活动首先，选取上证综合指数从2 0 0 6 年1 月4 日到2 0 0 9 年7 月2 日共8 4 9 个交易日的收盘点数，并将其按照周分为 1 7 3 组下面，我们试图识别哪一个交易日的收盘指数发生了跳跃按照公式( 3 - 4 ) 和公式( 3 5 ) 可以得到每周的指数波动率一，其中s 。为每周第i 天的收盘点数，材， 为每周第i 天的收益率，并假设其期望值为0 驴，n 伊4 ， 一= 去私 ( 3 5 ) 下面，我们通过构造g a r c h ( i ，1 ) 模型来得到预期的指数波动率在公式( 3 6 ) 中，u 川为第n - l 周的收益率，仃。和仃川分别为第刀周和第n - 1 周的的指数波 动率，万为代表长期波动因素的常数项，占为残差项 吒2 =u l r + p , o - l l + s( 3 6 ) 我们利用第3 周到第1 7 3 周共1 7 1 组数据对公式( 3 6 ) 进行拟合，回归结果 见表3 - 1 根据回归结果，第 周的指数波动率可由上一期的收益率和波动率进 行如下的表示： e ( 一) = 0 0 0 0 2 7 6 + 0 0 6 2 4 3 7 u i l + 0 2 2 9 6 0 2 i( 3 7 ) 表3 - 1历史收益率和波动率对当期波动率的同归结果 系数估计丁检验值 尸值 万 0 0 0 0 2 7 65 3 6 5 5 3 8 0 0 0 0 0 届 0 0 6 2 4 3 74 1 2 2 8 8 70 0 0 0 l ： 0 2 2 9 6 0 22 9 8 1 4 9 8 0 0 0 3 3 r s q u a r e d 0 2 2 2 6 9 7 a d j u s t e dr s q u a r e d 0 2 1 3 4 4 3 f s t a ，i s t i c 2 4 0 6 5 9 5 利用公式( 3 7 ) 可以计算出对第 周的预期指数波动率，然后将每周第i 天的 1 6 材；! 与该周的e ( 2 ) 相比较，如果甜? e ( 仃：) ，则说明第f 天的收盘指数发生了跳 跃，而如果“? e ( 仃：) ，则说明第f 天的收盘指数没有发生跳跃我们根据这一 标准对从2 0 0 6 年1 月1 6 日至0 2 0 0 9 年7 月2 日共8 4 1 个交易日进行收盘点数是否发生 跳跃的判断，并统计出两次跳跃之间的等待天数及其频数，统计结果见表3 - 3 由此，我们得到1 8 组数据，根据公式( 3 3 ) 进行回归分析，回归结果见表3 2 表3 - 2 等待时间概率分布的回归分析 参数 l n 彳 口 8i n 系数估计 0 8 3 9 3 2 4- 2 0 6 4 3 0 1- i 9 8 3 0 4 0- i 9 4 4 0 2 50 1 7 6 4 3 7 丁检验值 1 4 2 2 9 5 7- 9 7 3 0 1 7 5- 2 4 8 3 5 3 36 9 3 1 4 9 28 2 2 1 0 8 5 尸值 0 1 7 5 20 0 0 0 00 0 2 5 30 0 0 0 00 0 0 0 0 r s q u a r e d0 9 4 9 2 2 20 8 0 8 5 8 1 a d j u s t e d r s q u a r e d 0 9 4 2 4 5 l0 7 9 6 6 1 7 f s t a t i s t i c1 4 0 2 0 0 4 6 7 5 8 6 2 4 根据回归结果，我们可以得到等待时间分布的概率密度函数： 1 9 8 3 0 4 f ( x ) = 2 3 1 4 8 x 。2 0 6 4 3 们e ，( 3 8 ) 该概率密度函数的图形如图3 - 1 所示 、 a o 0 2 5 0 0 2 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 c b 一。一 1 ，1 0 一- - 一一+ - z 一z 1 0 2 05 0i 0 02 0 05 0 0i 0 0 0 02 0 04 6 0 08 0 0i 0 0 0 1 7 咀 m 缸 n 啪 0 e 二i 二= = 三! i = = ：= ：= 匕；= 斗_ l 1 s2 02 5 图3 一l等待时间分布的概率密度函数 注：图中红色虚线代表本文所定义的分布f ，黑色实线代表指数分布( a ) 红色曲线为分布 f 的概率密度函数，由公式( 3 9 ) 给出其具体表达式，黑色曲线为指数分布的概率密度函数， 、 由公式( 3 1 1 ) 给出其具体表达式；( 6 ) 湿示出分布f 和指数分布概率密度函数在尾部的图 形，可以看到分布f 较指数分布在尾部赋予更大的权重：( c ) 给出在双对数坐标下，分布f 概率密度函数的图形，可以看出其为一条斜率为一2 的直线，显示出幂律分布的特点；( d ) 在 半对数华标下，指数分布的概率密度函数为一条斜率为负的直线；( e ) 将回归分析所使用的 1 8 个散点加入到( a ) q ，；( 厂) 将( p ) 放置在双对数坐标系下所显) - - 。、。，：k 1 9 8 3 0 4 在此，我们注意到2 3 1 4 8 x - 2 0 6 4 3 0 l e _ 出= 1 0 7 9 8 8 ，为了保证定积分结 果为l ，以满足概率密度函数的性质，我们将公式( 3 8 ) 修正为公式( 3 9 ) i 9 8 3 0 4 f ( x ) = 2 1 4 3 5 7 x 一2 0 6 4 3 0 1 e x ( 3 - 9 ) i 9 8 3 0 4 由 2 1 4 3 5 7 x - 2 0 6 4 3 0 1 p 一_ - 出计算在经过丁天的等待后股票市场指数发生跳 一 1 9 8 3 0 4 跃的概率，并由f2 1 4 3 5 7 x 也0 6 4 3 0 1 p _ 出计算累积概率，计算结果见表3 3 表3 - 3 等待天数的频数及概率 天数频数频率 分布f 概率累积概率指数分布概率累积概率 16 5 0 2 9 6 8 0 40 1 5 2 30 1 5 2 3 0 1 6 1 7o 1 6 1 7 24 40 2 0 0 9 1 30 2 4 6 50 3 9 8 80 1 3 5 60 2 9 7 3 32 7 o 1 2 3 2 8 8 0 1 4 8 3 0 5 4 7 10 1 l3 7 o 4 11 0 42 5o 1 1 4 1 5 50 0 9 2 60 6 3 9 70 0 9 5 30 5 0 6 3 1 8 续表3 - 3 天数频数频率分布f 概率累积概率指数分布概率累积概率 51 80 0 8 2 1 9 20 0 6 2 30 7 0 2 l0 0 7 9 90 5 8 6 1 670 0 3 1 9 6 3 0 0 4 4 5 0 7 4 6 60 0 6 6 90 6 5 3 l 780 0 3 6 5 30 0 3 3 30 7 7 9 90 0 5 6 10 7 0 9 2 870 0 3 1 9 6 30 0 2 5 80 8 0 5 70 0 4 7 00 7 5 6 2 950 0 2 2 8 3 10 0 2 0 50 8 2 6 20 0 3 9 40 7 9 5 7 1 030 0 1 3 6 9 90 0 1 6 70 8 4 2 90 0 3 3 1 0 8 2 8 7 1 120 0 0 9 1 3 20 0 1 3 90 8 5 6 80 0 2 7 70 8 5 6 4 1 20 0 1 1 70 8 6 8 50 0 2 3 20 8 7 9 6 1 320 0 0 9 1 3 2 0 0 0 0 9 0 8 7 8 50 0 1 9 50 8 9 9 1 1 410 0 0 4 5 6 60 0 0 8 60 8 8 7 lo 0 1 6 30 9 1 5 4 1 51 0 0 0 4 5 6 6 0 0 0 7 50 8 9 4 5 o 0 1 3 70 9 2 9 1 1 60 0 0 6 60 9 0 1 1o 0 1 1 50 9 4 0 6 1 70 0 0 5 80 9 0 6 90 0 0 9 6 0 9 5 0 2 1 810 0 0 4 5 6 60 0 0 5 20 9 1 2 20 0 0 8 l0 9 5 8 2 1 90 0 0 4 70 9 1 6 80 0 0 6 80 9 6 5 0 2 00 0 0 4 20 9 2 1 10 0 0 5 70 9 7 0 7 2 110 0 0 4 5 6 60 0 0 3 80 9 2 4 90 0 0 4 70 9 7 5 4 2 2l0 0 0 4 5 6 60 0 0 3 50 9 2 8 3 0 0 0 4 00 9 7 9 4 2 30 0 0 3 20 9 3 1 50 0 0 3 30 9 8 2 7 2 40 0 0 3 l0 9 3 4 40 0 0 3 00 9 8 5 5 2 50 0 0 2 70 9 3 7 l0 0 0 2 3 0 9 8 7 9 2 60 0 0 2 50 9 3 9 60 0 0 2 00 9 8 9 8 2 710 0 0 4 5 6 60 0 0 2 30 9 4 1 9o 0 0 1 6o 9 9 1 5 合计 2 1 9 l 0 9 4 2 0 o 9 9 1 5 一 下面，我们再来考虑等待时间服从指数分布的情况，此时股票价格的跳跃是 p o i s s o n 过程等待时间分布的概率密度函数为： f ( x ) = e 一肛( 0 ) ( 3 1 0 ) 实证分析的过程同前文一样，回归结果见表3 - 2 同样考虑到概率密度函数 的性质，我们可以得到公式( 3 1 1 ) 所示的指数分布概率密度函数，并计算在经过 丁天的等待后收盘点数发生跳跃的概率及累积概率，计算结果见表3 - 3 f ( x ) = 0 1 7 6 4 3 7 e 却嗍3 h( 3 1 1 ) 由表3 - 3 我们发现，通过本文所定义的分布f 而得到的概率存在一个缺点， 即等待天数为1 天的概率小于等待天数为2 天的概率，这与频率统计结果不符， 但等待天数在2 天以内的累积概率达到0 3 9 8 8 ，较指数分布更加符合频率统计 1 9 结果同样，由分布f 所得到的概率比由指数分布得到的结果更加符合频率统计 结果，而且分布f 赋予尾部事件以更高的概率，等待天数在2 7 天以内的累积概 率为9 4 ，而指数分布却达到了9 9 ，因此使用分布f 可以更好地模拟出极端事 件的发生 我们将股票市场指数收盘点数发生一次跳跃称为发生一次事件，将事件描绘 在时间轴e 可以得到一个事件序列在图3 2 中，我们可以将真实发生的事件序 列与由p o i s s o n 过程和前文得到的更新过程所模拟出的事件序列进行比较我们 发现，由p o i s s o n 过程产生的模拟事件序列与真实事件序列相比具有很大的不同， 因为事件在时间轴上的分布显得更加平均，较长等待时间的出现是比较罕见 的相比之下，本文所定义的更新过程则与真实事件序列更为接近，都呈现出在 较长时问的等待中出现密集的阵发事件的特点实际上，从图3 - 1 中我们也可以 发现，分布f 的概率密度函数较指数分布而言，为密集的阵发事件和不活跃的偶 发事件都赋予了较高的概率，这一点与真实世界的情况是很接近的 a 一。一一。+ 。一。一一b c 图3 - 2p o i s s o n 过程、真实过程、更新过程的事件序列 注：图中的横轴代表时问，每一个点代表在时刻，发生的指数跳跃，每两个点之间的线段长 度则代表等待时问的长短( d ) p o i s s o n 过程所模拟出的1 0 0 个连续事件的事件序列，在任 意时刻有事件发生的概率是五，在给定的时问段中有刀个事件发生的概率是 p ( n ) = 【( 办) ”e 一刀】( 刀! ) ，两个事件之问的等待时间分布是尸( _ f ) = 知。7 ，i | j 本图使用的等 待时间分布的概率密度函数为实证分析所得到的公式( 3 一1 1 ) ；( 6 ) 描绘出上证综合指数从 2 0 0 6 年1 月1 6 日到2 0 0 7 年1 1 月2 9 日共4 5 1 个交易日所发生的1 0 0 次跳跃事件的序列；( c ) 南本文所定义的更新过程产生的模拟1 0 0 个连续事什的事件序列，每两个点之间的等待时间 的k = 度服从本文所定义的分布f ，其概率密度函数为实证分析所得到的公式( 3 9 ) 2 0 3 3 更新函数 令m ( t ) = 研( f ) 】，m ( t ) 则被称为更新过程n ( t ) 的更新函数，同时有式 r e ( t ) = f ( r ) + 上m ( t - y ) d f ( y ) ，t o ( 3 1 2 ) 成立将公式( 3 1 2 ) 进行l a p l a c e 变换，可以得到 s 痢( j ) = f o ) + s 历0 ) f 0 ) ，( 3 1 3 ) 其中，户( j ) = 上 ( x ) 】= r p 一“( x ) d x 通过公式( 3 一1 3 ) 解得历( j ) ，利用聊( o ) = 0 ， 再对其求逆变换就可以得到m ( t ) 由更新函数可以得到等待天数的期望值，见公 式( 3 一1 4 ) 1 i r a 型：! ( 3 一1 4 ) i 了。瓦巧 u 。1 q f 工o 、o h ， 当等待时间分布服从指数分布( 见公式( 3 - 1 0 ) ) 时，计数过程为p o i s s o n 过 程，发生跳跃次数的期望为，此时，根据实证分析结果，在8 4 1 个交易日中 跳跃次数的期望值大约为1 4 8 次，等待天数的期望值大约为5 6 7 天由于指数 分布具有无时间记忆的特点，因而模拟出的跳跃间隔时间显得比较均匀，但这与 实际情况并不相符 当等待时间分布服从分布f ( 见公式( 3 2 ) ) 时，期望值的存在取决于参数o i 的取值，即仅口 2 时存在期望值，否则e ( x ) =a x - a + l e _ 出不收敛，本文简便 地将发生跳跃次数的期望记为9 ( f ) 根据实证分析结果，等待天数的期望值大约 为3 0 8 4 天，因而允许股票价格跳跃过程出现较长的等待时间同时，分布f 是 具有时间记忆性的，在时y l jt 。等待刀天后股票价格出现跳跃的概率依赖于已经等 待的天数由图3 3 ，我们可以发现，当等待天数足够大的时候，函数 h ( x ) = a x - a + l e 。呈现出幂律分布的特点，如公式( 3 1 5 ) 所示 h ( x ) 芘x ”+ 1( 3 1 5 ) i l 】费勒概率沦及其应用( 第_ 卷) 【m 】北京：科学出版社，1 9 9 4 ：3 9 8 4 1 3 由公式( 3 1 5 ) 所存在的关系，我们可以得到等待天数的条件期望，如公式 ( 3 - 1 6 ) 所示同理，我们也可以得到股票价格发生波动的条件概率，如公式( 3 1 7 ) 所示由公式( 3 1 7 ) ，我们可以发现已知在第r 期股票价格发生跳跃之后，随着 时间的推移再发生第二次跳跃的概率在逐渐减少，即在一次跳跃发生之后往往会 紧跟着发生另一次跳跃等待天数的概率所存在的幂率性是由等待时间概率密度 函数的幂律性造成的，图3 - 4 显示出等待天数的概率呈现出幂律性 研x l y o ：j c o ( 3 - 1 6 ) ( 1 + 二x ) 口 其中，y 为自上一次跳跃发生之后已经等待的天数，x 为继续等待的天数，即在 一次跳跃发生x + y 天之后股票价格会再次发生跳跃 雌笋 1 7 ) 其中，n 为预期下一次跳跃距离此次跳跃的等待天数，即自一次跳跃发生y 天之 后，再等待n y 天股票价格将会发生新的跳跃 图3 - 3 等待时间期望在双对数坐标系中的函数关系 注：图中黑色实线代表函数h ( x ) = a x - a t + l e 。，将其在( 0 ，佃) 上积分即可得到等待时问的 口 数学期望e ( x ) = f 彳x - a + l e - i d r ，红色虚线代表函数y = x 1 。6 4 3 们( 口) 在双对数啦标系 中，函数局( x ) 在等待天数较小的阶段与函数y = x - l 0 6 4 3 们有明显的不同，其斜率( 绝对值) 在为0 之后随着等待天数的增加而逐渐增加；( b ) 当等待天数足够大的时候，函数h ( x ) 在双 对数坐标系中成为斜率为一1 0 6 4 3 0 1 的直线，即体现出幂律分布的特点： a 。：二：二二上二l i 二u 1 01 52 02 5 图3 4f 分布下跳跃等待天数概率的分布散点图 注：( a ) 展示了由等待时间概率密度函数( 公式( 3 9 ) ) 计算得到的跳跃发生等待天数的概率 分布，而( b ) 是在双对数坐标系中的情形 p o i s s o n 过程假设股票市场历史上的波动情况与现在的波动情况无关，关注 于等待时间的长短，而不是起始时刻的初始状态但是，市场中的交易主体会对 市场信息反映过度或者反映不足，他们对股票市场走势的预期往往基于历史交易 资料和当前市场所处的宏观环境以及所有能够掌握到的信息，而任何信息的不完 备或是具有偏差的解读都会造成事件发生的时间记忆特点从这个角度来讲，本 文所定义的更新过程比p o i s s o n 过程可以更加准确地模拟出股票价格的跳跃情 况 3 4 风险管理应用 通过前文的讨论，我们可以发现更新过程的引入除了可以更加准确地描述股 票价格的运动过程，而且在实际应用领域对金融风险管理也是具有一定参考意义 的如果将p o i s s o n 过程作为描述股票价格的跳跃过程，实际上隐含着默认在任 何一个时刻股票价格发生跳跃的概率都是相同的，因而通过p o i s s o n 过程模拟得 到的股票价格运动跳跃过程的发生则显得十分的均匀，显然这与实际情况并不相 符而木文所定义的更新过程则可以模拟得到股票价格在较长时间不发生跳跃过 程的情形，也可以得到跳跃过程在短时间内密集发生的状况，这更加符合真实的 情况 通过公式( 3 1 6 ) 和公式( 3 - 1 7 ) ，我们可以认识到本文所定义的更新过程实际 上在说明着这样的事实：在不同的时间点，股票价格运动过程发生跳跃的概率并 不是相同的当等待时间足够的长( 例如在日时间序列下的3 天之后) ，利用公 式( 3 - 1 6 ) 可以得到在等待若干天数之后未来股票价格发生跳跃的期望天数，利用 公式( 3 - 1 7 ) 可以得到在等待若干天数之后未来某天的股票价格发生跳跃的概率， 而这样的指标对实际的风险管理工作是具有一定参考价值的实际上，公式( 3 - 1 6 ) 和公式( 3 - 1 7 ) 可以成为一个运用于实际市场操作领域的指标，而且该指标来源于 市场本身，获取和实际应用起来简便易行 从金融风险管理的角度来说，人们更加关注于未来发生损失的可能性以及程 度，并希望能够通过某些手段进行准确地刻画与测量，以便风险管理工作的开展 与进行实际上，人们已经深刻地认识到股票价格时时刻刻都会发生变化，而这 种价格的变动则被称之为市场风险，进而人们越来越多地开始重视于极端事件的 发生极端事件有些是市场外部的冲击，例如政府政策的变化、战争等突发事件 的影响，而有的冲击则来自于市场内部，产生于市场自身的运行过程，是市场自 身的一个组成部分m e r t o n 将跳跃扩散模型引入股票价格收益率动力学方程， 则正是看到了这种来自于市场内部产生的冲击，认为引入跳跃过程则可以更好地 对现实进行描绘然而正如前面所讲到的，m e r t o n 使用的p o i s s o n 过程存在着与 现实不相符合的一面，因而更新过程的引入则显得十分必要正是更新过程的引 入才使得股票收益率动力学方程可以描绘到如此微妙的地方：它可以让股票价格 在任何一个时点发生跳跃的概率并不相同，而这种不相同的概率赋予是依赖于当 时市场所处的状态的这似乎表明市场存在一定的记忆性，即今天市场的现状 并非凭空而来，而是基于其历史的，而这则与现实世界的情形更为贴切 从实际操作角度来说，基于股票价格收益率服从正态分布的v a r 显得对极端 事件无可奈何，因而需要引入其他指标对v a r 进行修正，而跳跃扩散模型则可以 较好地解决这个问题，同时更新过程可以得到量化的结果，因此对金融风险管理 的实际操作具有一定的现实指导作用 2 4 3 5 本章小结 本章介绍了本文对m e r t o n 的期权定价跳跃扩散模型的第一个修正的地方， 即将本文所定义的更新过程取代了与现实并不相符合的p o i s s o n 过程相对于 p o i s s o n 过程，本文所定义的更新过程赋予等待时间的概率密度函数以幂律的性 质，不再使用具有“记忆性”特征的指数分布更新过程与p o i s s o n 过程同样都 是计数过程，而实际卜更新过程就是对p o i s s o n 过程在数学上的一个推广 本文通过实证研究证明了股票价格发生跳跃过程的等待时间分布是具有幂 律分布特征的，并且通过比较由本文所定义的更新过程和p o i s s o n 过程所得到的 模拟事件序列，可以得到前者与真实发生的事件序列更为接近的结论，因此本文 所定义的更新过程既允许长时间内无事发生，也允许短时问内事件集中发生，这 样就可以更好地刻画股票价格的运动过程，使模型可以对真实的股票运动进行更 好地模拟，从而增强模型对现实的解释能力通过实证研究，本文也得到了等待 时间分布概率密度函数的具体表达形式 通过引入更新函数，本文对更新过程进行了进一步的深入研究本文所定义 的等待时间分布是否存在期望值取决于参数口的取值，即仅口 2 时存在期望 值同时，等待时间分布是具有时间记忆特征的，由此可以得到股票价格发生跳 跃的条件概率和条件期望，而这两者则可以应用于实际市场操作领域，成为一种 简便易行的市场指标 最后，本文所定义的更新过程模型是可以应用于金融风险管理领域的在实 际的金融操作中，人们已经开始越来越重视极端事件的发生，而跳跃扩散模型便 是一个很好的解决工具，而更新过程的引入则使得模型中的跳跃过程与现实股票 价格的运动方式更为接近，从而可以更好的进行应用同时，本文的模型可以得 到具体的量化指标，这对于完善v a r 的使用显得更加具有现实意义 第4 章股票收益率跳跃幅度 本文在前一章讨论了股票价格运动过程发生跳跃的频度，那么将在本章讨论 发生跳跃的幅度，这也是本文对m e r t o n 的期权定价跳跃扩散模型进行第二个地 方的修正 m e r t o n 在跳跃扩散模型中假设股票价格发生跳跃的幅度仍是服从正态分布 的，显然大量的实证文章并不支持这样的假设，而k o u 随后提出了双指数跳跃 扩散模型，对m e r t o n 原有的模型进行了修正在k o u 的模型中，股票价格向上 发生跳跃( 正收益率) 和向下发生跳跃( 负收益率) 是被区别对待的，这样的处 理可以用来解释股票收益率分布所具有的偏斜特征另外，k o u 将股票价格发生 跳跃的幅度假设为服从指数分布，这样的处理结果可以得到股票收益率分布所具 有的厚尾特征 实际上，大量的实证研究结果发现股票收益率的尾部分布是具有幂律分布特 征的，因而本文将股票发生跳跃过程的幅度也假设为服从幂律特征的分布，同时 也对股票价格发生跳跃的方向进行区别处理通过这样的假设，我们可以得到具 有胖尾和偏斜特征的股票收益率分布 4 1 跳跃幅度的假设 在讨论股票价格发生跳跃的时间频度之后，现在我们来讨论股票价格在每次 跳跃中的波动幅度股票价格发生跳跃的幅度是不对称的，即向上和向下发生跳 跃的幅度并不一致，在此我们假设股票价格向上或向下发生跳跃的幅度仍然服从 前文所定义的分布f 由分布，的概率密度函数的图形，我们可以知道分布f 赋予股票价格极小 幅度的波动以较小的概率，而随着波动幅度的上升，逐渐被赋予稍高的权重，当 波动幅度达到一定程度后，所赋予的概率就会逐渐降低，最终出现胖尾现象 股票价格出现某一幅度的价格波动是极为常见的，分布f 会为这利卜隋形赋予 较高的概率而随着波动幅度的进一步加大，甚至出现股票价格的剧烈震动，这 样的情形在股票市场中会时有发生，但并不频繁，分布，会为其赋予较低的概 率因此，分布f 概率密度函数的后半段所呈现出的下降趋势就符合了真实世界 的情形，尤其是可以描绘出极端事件的发生 现在，我们试图为分布f 概率密度函数的前半段所呈现出的上升趋势找到合 理的解释首先我们要对前文的实证研究进行进一步的讨论，而关注的焦点则转 移到从2 0 0 6 年1 月1 6 日到2 0 0 9 年6 月3 0 日共8 3 9 个交易日中所找出的2 2 0 个上证综合指数收盘点数的跳跃过程 4 2 实证研究 由于股票价格向上和向下发生跳跃的幅度是不对称的，因此我们需要对向上 跳跃和向下跳跃进行分别讨论从2 0 0 6 年1 月1 6 目到2 0 0 9 年6 月3 0 日上证综 合指数收盘点数所发生的2 2 0 次跳跃中，向上跳跃发生了1 11 次，而向下跳跃发 生了1 0 9 次 对于公式( 3 2 ) ，我们将x 定义为l n u ，即对第f 天的收益率取自然对数，将 f ( x ) 定义为股票价格发生幅度为i n u ，的跳跃的概率表4 一l 将上证综合指数收 盘点数的跳跃幅度l n u 。划分为若干区间，并按照跳跃方向的不同分别统计了各个 区间内跳跃发生次数的频率 表4 - 1上证综合指数收盘点数跳跃幅度统计 统计区间区间中位数向上跳跃次数频率向下跳跃次数频率 0 0 1 5 0 0 0 1 7 50 0 1 6 2 5l0 0 0 9 1 7 0 0 1 7 5 - 0 0 2 0 0o 0 1 8 7 5 5 0 0 4 5 0 4 530 0 2 7 5 2 3 0 0 2 0 0 - 0 0 2 2 5o 0 2 1 2 5 1 1 0 0 9 9 0 9 960 0 5 5 0 4 6 0 0 2 2 5 0 0 2 5 00 0 2 3 7 5 80 0 7 2 0 7 2 1 0o 0 9 l7 4 3 0 0 2 5 0 0 0 2 7 50 0 2 6 2 51 70 1 5 3 1 5 31 1o 1 0 0 9 1 7 0 0 2 7 5 - 0 0 3 0 00 0 2 8 7 5 1 80 1 6 2 1 6 270 0 6 4 2 2 0 0 3 0 0 - 0 0 3 2 50 0 3 1 2 5 8 0 0 7 2 0 7 270 0 6 4 2 2 0 0 3 2 5 0 0 3 5 0 0 0 3 3 7 560 0 5 4 0 5 470 0 6 4 2 2 0 0 ：3 5 0 - 0 0 3 7 50 0 3 6 2 5 8 0 0 7 2 0 7 280 0 7 3 3 9 4 续表4 - 1 统计区间 【又= 间中位数向上跳跃次数频率 向下跳跃次数频率 0 0 3 7 5 0 0 4 0 00 0 3 8 7 560 0 5 4 0 5 460 0 5 5 0 4 6 0 0 4 0 0 0 0 4 2 50 0 4 1 2 550 0 4 5 0 4 580 0 7 3 3 9 4 0 0 4 2 5 0 0 4 5 00 0 4 3 7 540 0 3 6 0 3 62o 0 1 8 3 4 9 0 0 4 5 0 0 0 4 7 50 0 4 6 2 510 0 0 9 0 0 980 0 7 3 3 9 4 0 0 4 7 5 0 0 5 0 00 0 4 8 7 520 0 1 8 0 1 840 0 3 6 6 9 7 0 0 5 0 0 0 0 5 2 50 0 5 1 2 520 0 1 8 0 1 810 0 0 9 1 7 4 0 0 5 2 5 - 0 0 5 5