（计算数学专业论文）几类矩阵扩充问题和两类约束矩阵方程问题.pdf

摘要 矩阵扩充问题就是给定一个矩阵凡，在某种约束条件下构造矩阵彳，使得厶为爿的 一个子矩阵；约束矩阵方程问题就是在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程的 解，文章主要讨论如下问题 问题i 给定x ，b 仨r ”，以彳艘”俾”) ，l g 0 ， 则存在唯一的矩阵雪彳艘，使得 陋一g i l 2 + | 陋一日1 1 2 = 感，4 陋一秆i 陋叫) 且雪的表达式为 雪= 妻中( ( g g 7 ) a + 人( 月一日7 ) 人) 其中如鳓m ，九2 嘲琏l 扫 引理2 4 刚给定4 ，b 月“，存在唯一j 置”，使得 6 7吃，f 肛 卜， 一 一 栉 掌 、，一 k ， 、ii 吒吆瓯 忙一刎2 + i 阻一刎2 = m i n 且岩的表达式为 j = 丢( 4 + 丑) 定理2 2给定彳r 一，若s 非空，则问题2 2 存在唯一解j s ，令 嗍州= 睦甜 r 时互。= ( 嚣曩襄 ，r 巧五b 工= | | ! 7 时互。= lg 2 。吒包，i ，r 巧五b 工= i 无 ig 3 。g 3 ：g 。ji e 。 且分块形式分别与引理2 2 中u 4 u ，定理l 中7 g 1 ， 量叫n 巾毫时昱z 譬户7 ( 2 1 1 3 ) j i ：兑、 l ( 2 1 1 4 ) 匕j r g 2 工的分块相一致，则问 ( 2 1 1 5 ) 矗= i - 螽三，碧7 昏 ：蕾等斟 矗： 1 一剐罐嘞华卜r ，岛：d 一龋吃岛p l 一华一t 峰7 牮jl 一肇一西岛j g 笠：要甲b ：“一兑) 一( 乞一圪) r ) 墨：+ ( 吒一镌) 】 甲= ( ) ，坳2 罱离，2 1 ，2 c 一s 1 2 如s ” 证明；若问题2 1 解集s 非空，易知s 是一个闭凸集，因此问题2 2 有唯一最佳逼 近解，根据定理2 1 知s 中任意元素具有如( 2 1 4 ) 式所示，则根据m 6 阴协范数的正交 不变性有 i p 一卅1 2 = l p u 7 一心羔) 一( 时艺兰芹耶 = i i 丑。一时g 1 0 2 + 0 气一芹g 2 昱1 1 2 + 0 五：1 1 2 + 互。1 1 2 = 0 7 五。0 2 + 0 时五。0 2 + 0 7 互。1 1 2 + 6 g l 一时互。1 1 2 + 0 互：0 2 7 + 弦瓦丑0 2 + l 眵五只1 1 2 + 五只0 2 + b 一黟瓦b0 2 + 忆。1 2 所以恤一到= 。躲彳一训等价于 0 7g l 一7 时互。| 1 2 + 0 r g ：工一f 巧互：b 工1 1 2 = m i l l 忙一训2 + | | g 1 3 一矧2 = 疵 | l | g 2 ，一划2 + k 一镌0 2 = 幽 1 1 1 g 3 3 一瓦忙m i n g 3 3 4 艘。巾卜删“1 竹 即 i j ；i 。一霉，i i = m 氓x ，一舣加4 吨吖。m “一，2 + 纠 一铒+ 性一矧2 = 幽 慨一晰+ 阢一j ；引| 2 = 幽 【| | g 。一吒0 2 + 0 一s ：g 。墨：一吃= m i l l ，g 2 ：4 艘” 根据引理2 3 、2 4 ，从上式可以导出 耻牮 耻学，耻华 瓦一兹 2 心= 华 = 丢甲b 。：“一吃) 一( c 。一吃) 7 ) & + ( 我一镌) 】 牝帕2 南“刊， 所以可得0 。，向，故问题2 2 的解为( 2 1 1 5 ) 所示 2 1 4 算法与算例 数值算法 1 输入，z ，e 4 ，彳；根据( 2 1 1 ) 计算p 的谱分解； 2 按引理2 3 中( 2 1 2 ) ( 2 1 6 ) 计算五，置，置，岛，d l ，d 2 ； 3 根据( 2 1 7 ) 计算【d 1 d 2 只】的商奇异值分解式及m ，厶。，：； 4 按( 2 1 5 ) 计算4 ，按( 2 1 8 ) 对m - 1 c 材。进行分块，确定q ，o ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) ； 5 若( 2 1 9 ) ，( 2 1 1 0 ) 成立，转入下一步，否则无解； 6 按( 2 1 1 3 ) ，( 2 1 1 4 ) 对4 一d 7 彳d ，7 u ；互。u 2 ，r 巧互2 最2 分块： 8 7 计算岛，6 ：，按( 2 1 1 5 ) 计算j 数值算例1 给定 ro 小i 一4 口= 牡= 1 6 8 4 9 3 4 1 5 0 1 3 1 0 9 0 1 5 0 5 7 6 4 1 2 2 5 8 0 4 5 8 3 6 8 3 2 7 1 9 2 7 loooo0oo 0l q - oo q _ oo oo 鱼oo 鱼oo 2 广- 2 一 o oo 宰oo鱼o 22 oo 啦 ol 生 oo oo 鱼oo 鱼oo 2 广 2 广- ooo 宰oo 一鱼o z2 o ooo0o01 1 5 3 5 l l o 1 5 4 7 3 2 4 4 7 1 4 2 7 4 0 2 2 7 3 7 2 3 7 1 0 l o 5 2 3 3 2 3 6 2 2 彳= 0 1 2 4 1 2 1 o 4 o 5 0 根据上述7 步算法并利用胁f 西计算可得 彳= o 一4 0 0 0 0 o 9 2 3 9 1 8 4 7 8 1 0 0 0 0 o 3 8 2 7 o 7 6 5 4 o 4 o o o o o 1 8 4 7 8 1 8 4 7 8 o o 7 6 5 4 o 7 6 5 4 0 0 9 2 3 9 1 8 4 7 8 0 3 2 6 7 8 0 o 1 7 6 7 8 一o 3 8 2 7 一1 8 4 7 8 一1 8 4 7 8 3 2 6 7 8 o o 9 2 3 9 一1 7 6 8 7 o o 7 6 5 4 9 12 1 8 一1 5 03 3o ol o一2 2o ol 1 0 0 0 0 o o o 9 2 3 9 o o o j 8 2 7 0 。x = 一l l1 2 14 2 2o 4 12 3 24 1 32 1 21 5 一l3 1 一lo 5一o 70 2 o 4o 7 一o 7 o 1 0o 2一1 7o 4 12oo 6 0oo 4o ooo 2一l o 3 一o 2ol o 2l一2o 3 o 3 8 2 7 o 7 6 5 4 0 1 7 6 7 8 o o o 2 6 7 8 o 9 2 3 9 一o 7 6 5 4 一o 7 6 5 4 1 7 6 7 8 o o 3 8 2 7 o 2 6 7 8 o 1 8 4 7 8 o o o 3 8 2 7 一o 7 6 5 4 0 0 9 2 3 9 1 8 4 7 8 o ”。邶。 数值算例2 给定( 当p = 瓯) ro 1 2 、 4 ：i 一1 oli ，互： 【一2 一l o j x = 1 2 2 4 l 2 3 1 1 2 1 1 5 l 3 2 3 4 3 2 4 2 5 1 6 1 5 2 3 5 6 4 3 5 2 。6 2 o 2 3 7 8 4 2 2 2 8 1 1 ，b = 3 3 322o 5 2 31 7o 42 2 42 o 3o1 2 ll一223 o 2o 3 2 5 2 44 2 o2 6 0 2一l一2 4 321o1 2 233l1 2 1 9 3 6 95 1 86 3 o 1 5 12 5 13 8 o4 6 9 2 25 1l o 91 4 6 2 2 43 5 04 5 34 9 一2 3 93 4 84 5 24 7 2 34 14 71 5 1 1 4 52 6 13 9 94 7 8 2 5 13 5 54 8 95 3 7 根据上述7 步算法并利用埘研肠6 计算可得 彳= o 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 一3 1 2 5 0 一2 2 2 3 l 1 0 1 2 0 2 3 0 7 9 o 1 0 0 0 0 0 1 o 0 0 0 2 7 3 1 2 3 5 4 1 5 一1 5 0 1 5 o 2 3 0 7 9 2 o o o o 1 o 0 0 0 o 一2 5 1 0 7 2 3 2 1 7 o 1 5 0 1 5 1 0 1 2 0 3 1 2 5 0 2 7 3 1 2 2 5 1 0 7 o o 2 3 2 1 7 3 5 4 1 5 2 2 2 3 l i o 2 2 2 3 1 3 5 4 1 5 2 3 2 1 7 o o 2 5 5 1 0 7 2 7 3 1 2 3 1 2 5 0 1 0 1 2 0 1 5 0 1 5 0 2 3 2 1 7 2 5 1 0 7 0 1 o o o o 2 o o o o 2 3 0 7 9o o一2 3 0 7 9 1 5 0 1 5一1 0 1 2 0 3 5 4 1 52 2 2 3 l 一2 7 3 1 23 1 2 5 0 1 0 0 0 0 一2 o o o o o一1 o 0 0 0 1 0 0 0 0o 2 2。o屯2 2。o。嘶。2 。乇椰之。 2 2 线性约束下反中心对称矩阵扩充及其最佳逼近 定义2 2 设彳= ( ) r ，满足口= 一口。舳州叫，f ，= 1 ，2 ，玎，则称彳为珂阶反中 心对称矩阵，所有n 阶反中心对称矩阵全体记为4 岱r 本节主要讨论如下问题 问题2 3 给定x ，b 胄，4 r ”，l q 忆求彳彳c 默使得 a z = 口， = 彳( 【l ：g 】) 问题2 4 给定彳e 置，求j s ，使得 归一捌= 噫卜4 6 其中s 是问题2 3 的解 2 2 1 问题2 3 解存在条件及其通解表达式 一分别2 _ | ，2 七+ 1 ，下文中d 分别取 击旺盖 ，击睦吾蔓 设z 口置“”，记 。7 x = ( 主 ，。7 口= ( 主) ，五，e r 。细，x ：，垦r “ 且五，砭的奇异值分解如下 五= 【，( 含： y 7 = u a k 7 ，x ：= 攻0 ：) q 7 = 只& 蜴 q 2 ， 其中( ，= ( 阢) d r “州“，矿= 以k ) e 锨”u 胄0 4 m ，k 足， 咧) = ， a = 抛g ( 磊，正气) ，4 o ，f = l ，2 ；，= 化b ) o r h ， q = 娩q 2 ) 锨，融2 ) = ，2 ，e r ，q 1e 震嘞，& = 坊昭( 墨，s 2 s ) 引理2 5 【1 9 1 给定置口置“4 ，蜀，五的奇异值分解如( 2 2 1 ) 所示，则问题 a r ：曰，4 e a c 欢有解的充要条件为 且通解表达式为 州+ d 品 其中 v 即! ：= ：， ( 2 2 2 ) 1 i ) 。) 。n 。g r ( ”。m 吨) 、7 d 、0j 舛o g 4 = d ( 0 骂p 7 令也o ) d = ( 口嘎) ，d le r 帅“，d 2 r 蝉，矩阵对【d 2 分解忉为 ( 2 2 3 ) d l 】的广义奇异值 d 2 = 摆。f ，d l = 龙2 ，；， ( 2 2 4 ) 其中膨是非奇异的g g 矩阵，若令= 础( 岛，d 1 ) ，螽= 一彻暇日) ， “= r 口坂d 1 ) + 阳玎妖d 2 ) 一，l 0 置“- 量m “，m o 皿m f o 0 1 磊 f o ： o 0 1 点 z ，= l ：鲁墨i 一耋一nz ：= l ：念芝i ，。一耋一九 l o ooj g 一io ooj g 一 ，l 是单位矩阵，o i ，0 2 是零矩阵，且墨= 掘g ( q ，口2 ，口 ) ，q 0 ，a = l ，n ) ， 最；诫昭( 6 ，6 2 ，吒) ，6 f o ，( f = 1 ，n ) ；矩阵对【d 1 u 2 d 2 b 】的广义奇异值分解为 d i u 2 = 耽3 z j ，d 2 马= 昵4 z ； ( 2 2 5 ) 其中矽是非奇异的q 鼋矩阵，若令z 2 = 训q u 2 ，仍最) ，磊= 乞一翮后( d 2 昱) ， ，2 = r 口呶d i u 2 ) + 阳诚【d 2 b ) 一f 2 ，z l o 足扣。卜耻一 ，z 2 0 霞。吩p 吨， f 厶 oo1 品 f o oo1 彘 z ，= l ：0 墨l 乞一一儿 ， z 。= l ：0 ；如一一托4 3 一l oo 0 3l 乞一磊一儿 ， 。一l oo l i ，2 一易一托 i o ooj g 一，2lo o o j g 一，2 厶，厶是单位矩阵，0 3 ，0 4 是零矩阵，且墨= 幽碱q ，c 2 ，c ，2 ) ，q o ，f = l ，圪， 瓯= 诫昭( 吐，以，d ) ，d ， 0 ，_ ，= 1 ，如，且令 则有以下结论 a 一也o b 。也o ) r = c ( 2 2 6 ) 形。c 形一，； 萋塞囊墓 墓i y 。 。2 2 ， ic 2 ，锡 c c 2 4l ，矿- 1 c f r r ；ic j ii 1 0 3 3c i z l 一点一n 一( 2 2 7 ) l c 。c 4 2c 4 3 jq 一 1 2 定理2 3 己知x ，口e r 一，则问题2 3 有解的充要条件为 b 、x ：x 1 = b l ，b 攀：xl = b t c 1 3 ，c 1 ，c 2 4 ，o ，c “，c 3 1 ，c 4 。，c 4 2 ，c 3 = o 通解为 州+ d ( 去 其中4 如( 2 2 - 3 ) 所示 f g 。= 1 i l g 2 譬 d r( 2 0 j 扣：叫暖妒6 2 利2 嶝 k 2 s ，( c 笠一s 。g 。马) 酊1 c n s - 、 q ，毛为符合g l ，g 2 分块的任意矩阵 证明：由引理2 5 知肛= 口，彳彳a 淡的解如( 2 2 1 ) 所示，由于4 是矩阵彳 的q 阶顺序主子式，则 4 = 也讹牡也。 ( 4 + 协警h 也。) r 亿。) d ( 去警m 咿卟也。h 也。y 即d 2g 1 暖讲+ 马g 2 碍珥= c ( 2 2 9 ) 利用矩阵对瞳d 1 】和【d 1 d 2 最】的广义奇异值分解( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ，有 l 矸g iz 1 ；+ 2 ；g 2 2 2 ：= 形_ 1 c 矿。 记 f k 。 孵g ：z ：= i 比 i e 。 彘 k 2 k 托 k ，、i + 磊一，i i j z ，一点一n 七一，2 一儿 j g 。z l = lg 2 。g ： fg 1 。g i ： l g 3 - g 3 2 七一，2 + 炙一屯，2 fg l ， g l ：墨 o o 、fc l 。c 。：q ，c 1 、 i 墨g 2 - 墨g 1 2 s + s 2 只s 2 o ii q ic 岛c 么c _ i i o 巧：瓯场 o iic 3 - c 3 ：g ，c 3 。l l ooo 叫l c 4 lc 4 2c 4 3 气j 因而g i = c 1 ，g l ：= g ：s 1 ，g 2 。= 矸1 c 2 ，= s ，c 。，= g 3 ，e ：= c 岛酊1 c 1 3 ，c 1 ，巳，白，吼，岛，c 4 l ，c 4 2 ，= o ，s g 。马+ s ：圪s = z 、0j 恕 s 嗡 q x 瓯 s ， 螽n 弘咣i i k 函锄国如 从而可知方程( 2 2 9 ) g 1 ，g 2 有解的充要条件，即知问题2 3 有解的充要条件为 b i x ：x l = b ，b l x ：x 、= b 2 c 1 3 ，c 1 ，已，气，c 3 l ，c 4 1 ，c 4 2 ，c = o 且可知g l ，g 2 的表达式，故问题2 1 的解如( 2 2 8 ) 所示 2 2 2 问题2 2 解的表达式 引理2 6 n 4 1 对于给定矩阵 ，以r ”， 疋= 讲昭( q ，口2 口。) ，a o ，i = l m ，= 蹰g ( 6 t ，也九) ，6 o ，扛l 肼； 疋= 蕊曙p i ，c 2 c ，) ，q o ，扛1 朋，影= 旃昭( d l ，以以) ，西 o ，f = 1 埘； 则极小问题 中= 慨躐一以旷+ 慨鼢一，：旷= m i i l 中，存在唯一s 震，且s 有表达式 s = p 【s 。，l s 6 一j i + s 。，2 s d 】 显然，若问题2 3 的解集合s 为非空，则s 为一个闭凸集，给定彳置“”，相应的问 题2 4 存在唯一解量，即有如下定理 a 卅肚嶝射 f 磊。q ：e 。1f 。：兑1 研互。u ：z 。= 1 幺。g ：砭，1 ，；互：只z ：= l 瓦艺名l lg 3 - g 3 ：q ，ji e ：e ，j 其中4 l 置畦，0 l l 胄f 衅，g 笠r p ，z l r 。一吩+ 一) x ”4 + f - ， 则问题2 4 有唯一解，且可表示如下 础+ d 盎。静7 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) r ”7 ， fc 。c 。：对o 。1f z ， 茸： z ，1 昏降爱封昏弦尥学s d 吲它3 j g 2 2 = p 【d + 墨1 墨( s ；1 c 名断1 一哎) 马s 】 p = c p ，r 。，2 ，助= ：；：；，t ， ，- ，乃 ( 2 2 1 2 ) 证明：若问题2 3 的解集合s 非空时，易知s 是一个闭凸集，因而问题2 4 存在唯一 1 4 解，任给爿s 可表示为( 2 2 8 ) ，根据f ，d 锄船范数正交不变性，则有 h 2 中舻一( q & g f 1 1 2 = 忆。一g l 畦0 2 + 悟：一g 2 巧1 2 + 慨8 2 + 0 五1 1 2 = i 旧互。z 。一孵g l 五1 1 2 + 8 彬互：昱z 2 一孵g 2 z ：0 2 + 互。u0 2 + 8 互：捌。2 + 8 互。0 2 + 0 五1 1 2 旷萄，磊：茜，1 = l 包。五瓦i 一 心，瓦瓦j + 陬u 8 2 + 0 互：e 0 2 + 睢骓跗咯啊针b 旷恻2 则i i j 一彳i i _ m i n 等价于如下三个极小化问题 怜，一吒0 2 + l 瞄。一g 3 1 8 2 + l 陆一g 3 ：卜i 陆一g 3 30 2 + i b ，一g 1 ，卜n l i n 恽。一k 。0 2 + 帏一k ：2 + l ，一墨，1 1 2 + i 瞄一吖+ 幅一蚶= n l i n 艮一g 挖h 眩一跗嵫一s 吆岛) 甜= m i n 由前两式可得 g 2 。= g 么，g 3 。= g 3 。，g 3 ：= g 3 ：，g 磊= g 3 ，g 1 ，= g 1 ， k = k 。，k 2 = k 2 ，k ，= k ，e 。= k 。，e = l 由第三式及引理2 6 得p 及g 叠的表达式，以及亩，o ：，将0 。，0 ：代入( 2 1 1 2 ) 即得问 题2 4 的解表达式 2 2 3 算法与算例 数值算法： l 输入j ，e 4 根据引理2 5 计算( 2 2 3 ) 式4 ； 1 5 2 u日以 n g g g 嗡 o k 瓯 s 2 根据( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 计算矩阵对【d 2d l 】，i a u 2d 2 只】广义奇异值分解； 3 根据( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 计算q ；着 c 1 ，c l 。，c 2 4 ，c 。，c 。，c 3 。，c 4 ，c 0 ，c 4 3 均为零矩阵，则继续，否则停止； 4 按( 2 2 1 0 ) ，( 2 2 1 1 ) 对d 7 ( j 一4 ) d ，矸互。z l ，；互：昱z 2 进行分块， 计算露，或； 5 按( 2 2 1 2 ) 计算五 数值算例： 给定 = io 4 5 8 4 4 | r o 4 2 2 3 5 、 l1 1 o 75 5j z = 一l 2 3 2 6 3 1 2 l l 4 5 2 0 l l 2 l l 一3 4 3 0 1 ，口= 6 3 1 5 7 一l l 2 3 3 一1 4 一1 6 1 5 3 2 l 一4 7 一1 3 8 1 0 1 2 1 7 6 7 3 0 1 6 2 2 根据上述算法，利用 如砌6 可算得 4 = 一= 0 5 4 7 8 1 3 0 9 5 0 7 1 2 l 1 3 5 3 7 一1 2 8 1 3 2 6 1 0 2 2 0 1 2 7 2 2 3 5 0 o 4 0 0 0 o 4 0 0 0 1 1 0 0 l o 3 7 5 5 7 2 8 0 0 2 3 3 6 5 5 4 4 4 8 2 1 5 4 4 5 o 3 6 0 7 一o ，4 4 3 0 o 7 l o o 一0 6 2 8 l o 7 2 7 3 一o 3 3 5 6 o 2 2 0 5 o 3 4 1 7 2 2 0 0 0 5 8 0 0 0 o 7 0 0 0 1 8 0 0 0 o 9 5 3 l 2 4 2 3 5 0 2 6 4 1 1 1 5 6 2 3 7 0 7 2 6 l l l 3 9 9 3 4 1 1 8 0 4 一1 3 7 8 8 一1 9 0 2 3 2 1 6 6 l o 9 6 8 5 3 5 0 0 0 4 4 0 0 0 5 5 0 0 0 1 6 2 7 1 1 3 4 7 1 一1 4 6 1 6 一l 。9 6 1 9 1 5 6 2 3 ，彳= 1 2 8 0 3 一o 4 4 8 4 2 5 0 l o 1 8 9 4 6 一1 6 0 7 8 o 4 2 3 2 0 4 8 0 5 一1 1 4 3 6 1 0 1 7 2 一1 3 7 9 4 3 0 6 4 8 2 2 1 1 9 0 8 6 5 3 一o 4 9 7 0 o 0 4 4 2 一1 1 0 l o 135o l34l 2l 2 2 23一lo 一5oo一2 3ool 一2o31 3ol一2 1 1 4 3 6 一o 4 8 0 5 一o 4 2 3 2 1 6 0 7 8 1 8 9 4 6 2 5 0 1 0 o 4 4 8 4 一1 2 8 0 3 1 1 0 1 0 0 0 4 4 2 o 4 9 7 0 0 8 6 5 3 2 2 1 1 9 3 0 6 4 8 1 3 7 9 4 一1 0 1 7 2 6 一o 9 6 5 8 2 1 6 6 i 1 9 0 2 3 1 3 7 8 8 一1 1 8 0 4 3 9 9 3 4 2 6 1 1 1 2 3 7 0 7 一1 5 6 3 2 1 9 6 1 9 1 4 6 1 6 一1 3 4 7 l 1 6 2 7 l 一5 5 0 0 0 一4 4 0 0 0 3 5 0 0 0 61o1 o352 一ll o3 20o4 一l232 22一l一2 1431 oll2 0 3 4 1 7 一o 2 2 0 5 o 3 3 5 6 0 7 2 7 3 o 6 2 8 l o 7 l o o o 4 4 3 0 o 3 6 0 7 一1 1 1 5 6 一o 0 2 “ 一2 4 2 3 5 一o 9 3 5 l l 8 0 0 0 一o 7 0 0 0 一5 8 0 0 0 一2 2 0 0 0 一2 2 3 5 0 2 0 1 2 7 2 6 1 2 0 i 2 8 1 3 1 3 5 3 7 一o 7 1 2 l 一1 0 3 9 5 一o 5 4 8 7 1 5 4 4 5 4 4 4 8 2 3 3 6 5 5 2 8 0 0 2 3 7 5 5 7 一1 1 0 0 0 一o 4 0 0 0 o 4 0 0 0 第三章最小二乘约束下几类矩阵扩充问题 考虑到线性方程丘r = 口约束有解的条件一般很难达到，因而扩充问题无解，故在 本章中，我们主要讨论最小二乘i i a y 一刎= m i i l 约束下实对称、实反对称矩阵扩充问题及 其最佳逼近问题以及d 对称矩阵扩充问题 3 1最小二乘约束下实对称矩阵扩充及其最佳逼近 本节主要讨论如下两个问题 问题3 1 给定工，口五一；以舣”，( 1 g 蔓功，求_ s l 使得 a = 4 ( 【l ：g 】) 其中墨是问题八彳) = 0 魃一捌= m j l l ，_ = 4 7 的解集 问题3 2 给定彳r 一，求j s ，使得 0 彳一捌= 删彳一卅 其中s 是问题3 1 的解集 特别地，若，( 4 ) = o ，则问题3 1 、3 2 转化为线性约束下实对称矩阵扩充及其最佳 逼近问题 3 1 1 问题3 1 有解条件及其通解表达式 引理3 1 伫1 】已知z 。口置，且x 的奇异值分解为 x ：u f 岛o p ( 3 1 1 ) luu ， 其中u = “以) d 冠，y = 以k ) ”。，m 旆( 并) = r ，u i r ，k r ， & = 掘g o 。，j ：s ，) ，毛 o ，f = l ，2 ，y ，则最小二乘问题，( 4 ) = i l a r 一纠| _ m i n ， = 彳7 的通解解如下 彳= 吖吖甓秽冶u 埔 【，7 ) l职b k 酹1 g j 1 7 舯g 刚”胁”一啪m ”，办2 去，1 o i = l ，吒， 例( 舢研镒甚咖q m p f = 4 一ko h 也o ) r 艘一 肘7 脚= 眨才耻胪一 ( 3 1 3 ) 令 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 定理3 1 已知x ，占置，4 舰”，( 1 g 一) ，脚t ( x ) = ，z ，最的奇异 值分解分别为( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) 所示，则问题3 1 有解的充要条件为 巧2 = o ，= o ( 3 1 7 ) 若有解，通解表达式为 一= 4 + ( f 岔。受 7 畦 其中 g 1 2e 震4 却- ，吲，g 么e 艘”一 肄。- ，_ ( 3 。l 。8 ) 证明：x 的奇异值分解和。的定义均与引理3 1 中一致，根据引理3 1 知最小二乘问 题厂( 彳) = a r 一硎= n i i n ，= 彳7 的解如( 3 1 2 ) 所示 由于 4 = 也o b 也o ) r = k 。“k 。) r + 也。) 【，( ：三 u 也。) r = 也o h 也o ) r + 最g 巧 故有( 3 1 2 ) 中对称矩阵g 满足 最g 蹬= 以一ko 地也o y = ， ( 3 1 9 ) 因为( 3 1 2 ) 中g 满足对称条件，则令 1 8 则有 即 矿g ；f 身 l u l 2乏 s 顶受意焉= m 7 删= ( 急笔) 降h 磊笔) 故( 3 1 9 ) 有对称解，即问题3 1 有解的充要条件是 e ：= o ，屹= 0 且可得g 1 1 = z - 1 e i z 4 ，g 笠歙”1 州”+ ，则 g = ( r 孑1 受 r ，v q ：e 震1 帅1 ) ，屹艘。一州一们c s 。， 将( 3 1 1 0 ) 代入( 3 1 2 ) 即得问题3 1 的通解表达式 推论3 1 若条件与定理3 1 中一致，且令4 = 鲋+ 一( 厨+ ) 7 u 一崩+ ) ，则问题3 1 中( 4 ) = 0 有解的充要条件为 证明：根据定理3 1 证明过程及文 2 3 中定理1 可得 3 1 2 问题3 2 解的表达式 引理3 2 【2 1 1 给定彳矗，则存在唯一矿艘”，使得 艘。0 】，一4 0 = 0 矿一爿 且p 的表达式为矿= 圭似+ 4 7 ) 定理3 2 给定j e 且，若集合s 非空，则问题3 2 存在唯一解j s ，令 u 7 c j 一4 = ( 耄毫 ，7 五= ( 象惫 叫川， 其中互，r ，每。震一，则问题3 2 解的表达式为 1 9 呵 誉 徊 x q繁 f 嘛 如亦解 通 fz 一- 只。一t 4 = 4 + 11 ， b ( g ：- + ) + 镌) 1 ， ，r 矾 ( 3 l 1 2 ) + g ：；2 ) i 其中4 如( 3 1 4 ) 所示 证明：若集合s 非空，易知s 是一个闭凸集，故问题3 2 存在唯一解j e s ，根据定 理3 1 可知，任给4 o、 ，( f 1 戛乏 7 p 7 根据m 砌船范数的正交不变性，则有 所以 8 彳一卅1 2= p 一4 一吖： ，( 。薯! 受 旷 【，7 8 2 卜伊一f 吖f 抄 = l 互t i l 2 + o 互：1 1 2 + i i 互。8 2 + 0 彳拉一 吖磐 l ”1 2妒 = 忸。0 2 + 情：1 1 2 + 忆，1 1 2 + l 瞄。一z 。互，。1 0 2 + i 瞄：一g 1 ：8 2 + i b 。一嚷卜0 乞一吆1 1 2 忙叫阻p 靠罂幽 由引理2 4 和引理3 2 知忙一彳8 = m m g 1 ：= 三( 莓：+ 弼) ， 将上式代入( 2 1 8 ) ，可得问题3 2 的解( 3 1 1 2 ) 彘瓦 。翠，裂 阳、 隋 似 贝 4 “ 拈 r 控 g 当 吼 仅l 且 = 当 3 1 3 数值算法及算例 数值算法： 1 输入工，召，4 ，j ； 2 按( 3 1 1 ) 计算x 的奇异值分解，确定中，“，巧，； 3 按( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 5 ) 计算4 ，f ； 4 对也o p = 亿b ) 中的e 按( 3 1 3 ) 奇异值分解，计算盯，z ； 5 按( 3 1 6 ) 对m 7 删进行分块，若( 3 1 7 ) 成立，转入6 ，否则无解； 6 按( 3 1 1 1 ) 分别对u 7 ( 彳一4 ) u 和7 孔进行分块，计算色：，最：，包。； 7 按( 3 1 1 2 ) 计算j 数值算例：给定 厶= ( ：a ， z 2 23 3l 42 54 2l 3 2 b = 2 81 5 41 9 2 01 0 1 68 2 51 3 1 72 5 。4 = 根据上算法，利用 如砌6 计算得 4 = = 3 2 9 5 33 8 2 4 7一1 7 4 6 24 1 9 8 3一1 6 8 1 25 “3 5 、 3 8 2 4 74 1 7 1 01 1 1 8 85 5 7 8 78 7 6 5 6 2 0 0 0 9i 1 7 4 6 21 1 1 8 84 2 4 0 42 9 1 0 0 5 2 1 7 3 一o 3 3 3 2i 一4 1 9 8 3 5 ，5 7 8 72 9 l o o一4 0 1 3 33 7 4 8 82 8 2 3 9 l l o 7 4 5 68 7 6 5 65 2 1 7 33 7 4 8 86 2 7 7 4一1 8 4 7 8i 5 4 4 3 52 0 0 0 9 一o 3 3 3 22 8 2 3 9一1 8 4 7 8o 9 8 8 6j l j d 0 0 02 o o o o一3 9 7 2 0 一2 7 4 7 41 2 0 9 0 28 “9 5 2 0 0 0 0 1 o o o o一6 5 0 7 7 9 3 3 3 2 1 0 6 3 9 8 一o 7 9 4 9 3 9 7 2 0 一6 5 0 7 7 7 8 9 3 92 6 5 9 7一1 2 6 5 31 6 8 7 2 5 2 7 4 7 49 3 3 3 22 6 5 9 73 5 4 7 21 1 7 2 40 6 3 2 5 1 2 0 9 0 2 一l o 6 3 9 8 1 1 2 6 5 31 1 7 2 46 9 8 8 7 一1 3 7 1 3 8 4 4 9 5 0 7 9 4 9 1 6 8 7 2一o 6 2 3 5 1 3 7 1 3 o 5 1 2 8 肋聊从一们= o 2 9 2 3 2 l 3：- ，。舢。mo“o o以之6 o oo。o巧，。 2 o”乞5 2 o o 6 o 3 2 最小二乘约束下实反对称矩阵扩充及其最佳逼近 本节主要讨论如下问题 问题3 3 给定x ，曰e r ；4 4 艘”，( 1 窖茎帕，求彳s 使得 4 = 4 ( 【1 ：碍】) 其中s 是问题，( 4 ) = 8 肛一捌i - l 血，4 = 一彳7 的解 问题3 4 给定彳露，求五s ，使得 卜j 卜熙卜彳0 其中s 是问题3 3 的解集 特别地，若( 彳) = o ，则问题3 3 ，3 4 转化为线性约束下反对称矩阵扩充及其最佳 逼近问题 本节的问题问题3 3 、3 4 的相关结论和证明过程与3 1 节类似，因而本节只给出相 关结论而不给与证明 3 2 1 问题3 2 有解条件及其通解表达式 引理3 3 已知x ，口胄，且z 的奇异值分解为 x = u r 妒 2 其中u = g ，i ) d 置“”，矿= 以) o 尼”。，m 七( x ) = r ，阢足“，k r ”， 瓯= 诫唱( _ ，屯s ，) ，j ， o ，f = l ，2 ，则最小二乘问题厂( 句= 0 魃一剐= m j l l ， 彳= 一彳7 的解有如下表示 4 ：4 m ( w 暑麓；曼砰u ) 一酹1 麓矿巩、i u r ( 3 2 2 ) lu ；b k 酹 g j 、7 舯船艘伽”胁”，九2 南1 鼠御如魄脚 令也。矽= 心马) ，丑胄”7b r a x ”) ，嗍= 吒，最的奇异值分解为 只= m ：妒 ， 其中吖d 置”，0 露m ，z = 蛳g ( 磊，盈，瓯) ，令 例r 研茹秽冶q h l p 2 挪 f ：厶一( lo b 。仉o ) re 爿歙一( 3 2 5 ) 一笔) 心猷懒 2 m 定理3 3 已知x ，曰r ，4 仨彳艘”，o s g 一) ，r 口，埔( x ) = r ，x ，最的奇值 分解分别为( 3 2 1 ) ，( 3 2 3 ) ，则问题3 3 有解的充要条件为 只2 = o ，易2 = o ( 3 。2 7 ) 若有解，通解表达式为 州+ r 麓一寸7 晖 2 舯 喜e 中g 1 2 r 1 q 4 一r - 1 ( 砬4 s r ”，- 1 m 一 推论3 2 若条件与定理3 3 中一致，且令4 = 鲋+ 一( 麟+ ) 7 ( j r 一肠+ ) ，则问题3 3 中，( 爿) = o 有解的充要条件为 i y 7 曰= 一丑7 x ，口：丑y + x 【e 2 = o ，屹= o 通解亦如( 3 2 8 ) 所示 3 2 2 闯题3 4 解的表达式 引理3 4 1 2 给定彳e 震一，则存在唯一矿一艘一，使得 ，躲。旷彳i | = l i 矿一卅r e m “。“l l 且矿的表达式为矿= 圭( 彳一a 7 ) 定理3 4 给定彳r ，若集合s 非空，则问题3 4 存在唯一解五s ，令 乏_ 劫= 眨孙乐磊硎m 罔4 弛叫三盎棠 其中4 如( 3 2 4 ) 所示 3 2 3 数值算例 算例给定 = 匕 跏町 石= 2 3 3l 4 2 54 2l 3 2 丑= 9 11 5 4 26 1 0 25 1 71 9 2 7 41 0 6 7 61 3 8 根据上算法，利用朋硎曲计算得 4 = 彳= 0 2 8 8 1 6 2 9 0 9 7 6 8 7 0 0 9 7 0 8 l 2 9 8 6 5 2 8 8 1 6 0 3 1 5 3 3 1 8 1 2 1 7 3 1 1 5 一1 7 5 9 4 ，爿= 2 9 0 9 7 3 1 5 3 3 0 2 3 3 4 6 6 9 6 8 4 一l 3 3 9 5 o o o o o2 0 0 0 0 一2 0 5 1 4 2 0 0 0 0 o 0 0 0 0 一9 1 4 7 4 2 0 51 49 1 4 7 4 一o 0 0 一8 5 5 1 4 4 4 0 2 2 6 6 6 3 7 1 1 0 6 7 77 3 2 0 3 5 1 3 3 4 3 1 4 9 32 6 4 2 9一o 4 7 6 7 加聊a r 一研= o 7 4 1 3 l2ool 3 3ol一2一l l 0 1 2 5 32l1 3 12 6663 653512 o2lllo 6 8 7 0 0 1 8 1 2 l 一2 3 3 4 6 o 1 1 0 7 6 2 0 5 3 6 8 5 5 1 4 4 4 0 2 2 6 6 6 3 7 0 0 0 0 0 一0 4 6 9 6 1 5 4 2 0 9 7 0 8 l 7 3 1 1 5 6 9 6 8 4 1 1 0 7 6 o o 8 9 4 8 一1 1 0 6 7 7 7 3 2 0 3 5 1 3 3 4 o 4 6 9 6 o o o o o 1 6 1 0 4 2 。9 8 6 5 1 7 5 9 4 1 3 3 9 5 2 0 5 3 6 一o 8 9 4 8 o 一3 1 4 9 3 2 6 4 2 9 o 4 7 6 7 1 5 4 2 0 一1 6 0 1 4 o 0 0 0 0 3 3 最小二乘约束下d 对称矩阵扩充 定义3 1 阎设d = 幽曙( 矾，以，一，以) e r ”，其中4 o ，j = l ，2 ，- ，疗，4 且， 问题3 5 给定x ，曰r ，凡r ”，d = 蕊昭( 吐，畋，一，以) r ，其中z 0 ， 其中s 是问题，( 锄= l 魃一捌= m i n ，彳d 2 册的解 特别地，当d = j r ，( 彳) = o 时，问题3 5 就转化为线性条件约束下对称矩阵扩充 问题而对于d 对称矩阵扩充问题没有讨论，本文主要讨论d 对称矩阵扩充问题，将对 称矩阵扩充问题进行了拓展 3 3 1 主要引理 引理3 5 圆已知j ，口胄，d = 硪昭( 矾，d 2 ，一，以) e r ”，4 o ，f = l ，2 ，一，一， 设d 2 x 有如下奇异值分解，d 2 x = u ( ：】矿7 = u z 曙，其中u = “) e 。置， u 足”，矿= 以k ) 锹，z = 兹孵 ，五，4 ) ，4 o ，1 2 ，巧盂“7 ；则 问题，( 彳) = 0 魃一捌= m i i l ，4 e d 2 舰的解可表示为 彳= 嗄研焉拶矿f k 卜 叫， 其中 g 艘忙州”，m = ( 办) 矗，九2 哥 万，1 “s r 令也。妙= 亿最) ，也o ) d 2 u = 娩q 2 ) ，只，q 1e 震一，马，q 2 r 州”，根 据矩阵对商奇异值分解【埘，则存在正交矩阵疗r 一，矿r ”，和非奇异矩阵 疗7 另y = l ， 旷7q 2 j ，= 三2 ( 3 3 2 ) f ，l oo 0 1 善 f o l o o 0 1 鼋+ 善一7 z l 2 l ：i ：j g 一；一， 艺2 2 l ：0 芝：j ，一；一， c s s 3 ， i o o 0 2o j g 一善一，【o o ，2o j z 一手一， 、3 j j f = r 册( 巧，q ；) ，手= f 一阳h 颤q 2 ) ，y = r 翻故最) + m