（水工结构工程专业论文）基于ODE求解器的大型高墩渡槽结构动力与隔震分析.pdf

摘要 基于常微分方程( o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称o d e ) 求解器，本文 将大型高墩渡槽的动力特性分析、地震响应分析，以及非线性隔震分析，转换为 解析地求解o d e 体系的特征值问题和半解析地求解o d e 体系的一般边值问题， 这种解析和半解析方法，物理概念明确，计算量小，结果可靠，还便于修改参数， 因此对大型高墩渡槽抗震隔震的初步设计有一定的实用价值。全文分为： ( 1 ) 基于h o u s n e r 简化水体模型，应用h a m i l t o n 原理导出了大型高墩渡槽 平面弯曲振动时的微分方程和边界条件，并建立了相应的准二维和三维c e l ( c o u p l e de u l e f i a n l a g r a n g i a n ) 有限元模型作比较分析。 ( 2 ) 导出了大型高墩渡槽自由振动时边界条件含特征值的o d e 体系及其振 型的正交化关系和归一化条件，利用逆幂迭代和非线性牛顿迭代，结合平凡o d e 和等效o d e 技术，给出了解析地求解大型高墩渡槽动力特性的方法，编制了计 算程序。结果表明，解析法不仅有很好的精度和可靠性，还易于改变模型参数进 行研究。改变槽墩高度，只对低阶结构振型的频率影响较为显著；而改变水深， 则只对低阶水体振型的频率影响较为显著。 ( 3 ) 根据g a l e r k i n 法，建立了与大型高墩渡槽受迫振动微分方程体系等效 的变分原理及相应的泛函，并基于已得的各阶自振频率和振型的解析解，利用 r i t z 法和振型函数的正交性，导出了非耦合的运动方程，以及正规坐标单自由度 体系的d u h a m e l 积分，进而给出了一种半解析地求解大型高墩渡槽横向地震响 应的振型叠加法，编制了计算程序。结果表明，半解析法计算成本非常低，其结 果与有限元解吻合较好，可用来预测结构的峰值响应；地震响应的大小与结构的 基本周期和地震波的卓越周期密切相关，当二者接近时，结构的地震反应明显。 ( 4 ) 应用h a m i l t o n 原理，推导了设置铅芯橡胶支座( l i m ) 的大型高墩渡 槽隔震体系的运动微分方程和边界条件，并利用n e w m a r k 方法，将其在时域上 离散化为o d e 体系，导出了其直接积分格式，从而给出了一种半解析地求解高 墩渡槽非线性隔震响应的n e w m a r k 法。然后，根据l r b 的双线性恢复力模型， 选取了几种不同的隔震方案，并编制程序计算了各方案的地震响应。结果表明， 半解析法的结果令人满意；设置l r b 隔震支座，对地震响应有显著的削减作用。 关键词：大型高墩渡槽；抗震；隔震；o d e 求解器；半解析法 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b yu s i n go d e ( o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) s o l v e r , t h ea n a l y s i so f d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c ，s e i s m i cr e s p o n s ea n dn o n l i n e a rv i b r a t i o ni s o l a t i o nf o r l a r g e s i z e da q u e d u c tw i t hh i 曲p i e ri sc o n v e n e d t os o l v i n go d e s e i g e n v a l u ep r o b l e m a n a l y t i c a l l ya n dg e n e r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ms e m i - a n a l y t i c a l l y w i t hc l e a r p h y s i c a lc o n c e p t ，l o wc o m p u t a t i o n a lc o s t ，r e l i a b l er e s u l t sa n de a s yp a r a m e t e r m o d i f i c a t i o n , t h e s ea n a l y t i c a la n ds e m i a n a l y t i c a lm e t h o d sa r ep a r t i c u l a r l yu s e f u lf o r p r e l i m i n a r yd e s i g no fh i g h - p i e ra q u e d u c t t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) a p p l y i n gh o u s n e rm o d e l ，t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ( b c s ) ，w h i c hd e s c r i b et h ei n p l a n eb e n d i n gv i b r a t i o no fh i g h - p i e ra q u e d u c t ，a r e d e r i v e db a s e do nh a m i l t o np r i n c i p l e ，a n dc o r r e s p o n d i n gq u a s i2 da n d3 dc e l ( c o u p l e de u l e r i a n - l a g r a n g i a n ) f i n i t ee l e m e n tm o d e l sa r ed e f i n e dr e s p e c t i v e l yf o r f u r t h e rc o m p a r i s o n ( 2 ) f e a t u r i n ge i g e n v a l u ei nb c s ，t h eo d es y s t e mi s d e r i v e df o r t h ef r e e v i b r a t i o no fh i g h p i e ra q u e d u c t f r o mt h i so d e s y s t e m ，t h em o d eo r t h o g o n a l i z a t i o n a n dn o r m a l i z a t i o nc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d t h e n , b ym e a n so ft r i v a lo d ea n d e q u i v a l e n to d et e c h n i q u e ，a l la n a l y t i c a la l g o r i t h mi n c l u d i n gl i n e a ri n v e r s ei n t e r a t i o n a n dn o n l i n e a rn e w t o n sm e t h o di si n t r o d u c e df o rn a t u r a lf r e q u e n c ee x t r a c t i o no f h i g h - p i e ra q u e d u c t t h ec o d ep r o g r a m m e di nt h i sa l g o r i t h mp r o v e sn o to n l yt h e a c c u r a c ya n dr e l i a b i l i t y i ni t sr e s u l t s ，b u ta l s ot h ec o n v i n e n c ei np a r a m e t e r m o d i f i c a t i o n b e s i d e s ，i ts h o w st h a tt h ec h a n g eo fp i e rh e i g h to n l ya f f e c t sa q u e d u c t s l o w - o r d e rm o d e ss i g n i f i c a n t l y , w h i l et h ec h a n g eo fw a t e rd e p t hj u s ti n f l u e n c e sw a t e r s l o w - o r d e rm o d e sn o t a b l y ( 3 ) as e m i a n a l y t i c a l m o d a ls u p e r p o s i t i o ni nt e r m so fs m a l ln u m b e ro f a n a l y t i c a l l ys o l v e de i g e n m o d e si sp r e s e n t e dt oo b t a i ns e i s m i cr e s p o n s eo fh i g h - p i e r a q u e d u c t f i r s t l y , b a s e do ng a l e r k i nm e t h o d ，i tr e q u i r e s t od e r i v et h ev a r i a t i o n p r i n c i p l ea n dc o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a lf r o mt h ef o r c e dv i b r a t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y s t e m s e c o n d l y , a p p l y i n gr i t zm e t h o da n dm o d eo r t h o g o n a l i z a t i o n , w eo b t a i nt h e u n c o u p l e de q u a t i o n so fm o t i o ni nt e r m so fn o r mc o o r d i n a t e sf r o mt h ev a r i a t i o n t t p r i n c i p l ea n df u n c t i o n a l f i n a l l y , t h ed u h a m e li n t e g r a l so ft h e s eu n c o u p l e ds i n g l e d o fs y s t e m sa r ec a l c u l a t e dt oo b t a i nt h es e i s m i cr e s p o m e t h ec o d ep r o g r a m m e di n t h i sa l g o r i t h mp r o v e st h a ti t sr e s u l t sa r ei ng o o da g r e e m e n t 、 ，i n lt h ef e mr e s u l t sa n d i t sc o m p u t a t i o n a lc o s ti si n e x p e n s i v e ，t h e r e f o r e ，i ti sa p p l i c a b l et op r e d i c t es t r u c t r u e s p e a ks e i s m i cr e s p o n s e i na d d i t i o n , i ta l s os h o w st h a tt h ee a r t h q u a k e sp r e d o m i n a n t f r e q u e n c ya n dt h ea q u e d u c t sb a s i cf r e q u e n c ya r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h es e i s m i c r e s p o n s e ( 4 ) as e m i - a n a l y t i c a ln e w m a r ki n t e g r a t i o ns h e m ei sp r e s e n t e df o rn o n l i n e a r v i b r a t i o ni s o l a t i o na n a l y s i so fh i g h - p i e ra q u e d u c t ，w h i c hi n v o l v e sf i r s t l yd e r i v i n gt h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n sb a s e do nh a m i l t o np r i n c i p l ef o rt h e l r bi s o l a t i o ns y s t e m ，a n dt h e no b t a i n i n gt h eo d e s y s t e mo fd i r e c ti n t e g r a t i o ns h e m e b yn e w m a r kd i s c r e t i z a z t i o ni nt i m ed o m a i n t h ec o d ep r o g r a m m e di nt h i sa l g o r i t h m c a l c u l a t e st h es e i s m i cr e s p o n s eo fs t r u c t u r e s 、析t 1 1d i f f e r e n tl r b sd e f i n e db yb i l i n e a r r e s t o r i n gf o r c em o d e l i ts h o w st h a tt h es e m i - a n a l y t i c a lm e t h o dl e a d st os a t i s f a c t o r y r e s u l t s w h a t sm o r e ，i ta l s op r o v e st h a tl r bh a sag r e a te f f e c to nr e d u c i n gs t r u c t u r a l d y n a m i cr e s p o n s e k e y w o r d s ：l a r g e s i z e da q u e d u c t 、砘t l ll l i 吐p i e r ；s e i s m i ca n a l y s i s ；v i b r a t i o n i s o l a t i o n ；o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns o l v e r ；s e m i - a n a l y t i c a lm e t h o d m 主要符号表 口一槽身宽 h 一水深 b 一槽单跨长 三一槽墩高 m p 一槽墩单位长度质量 日一槽墩截面抗弯刚度 必一单跨槽身质量 m o 一水体脉冲质量 尬( i = l ，3 ，力一水体第f 阶对流质量 以一槽身转动惯量 一槽身质心 一水体脉冲压力作用点与墩项的距离 h i ( 卢j ，3 ，5 ) 一水体第f 阶对流压力作用点与墩顶的距离 u 一槽墩任意点沿水平方向相对于地面的位移 蝴一墩顶彳点沿水平方向相对于地面的位移 u j ( i = 1 ，i d 一水体第f 阶对流质量沿水平方向相对于地面的位移 0 一墩顶转角 一地面运动的位移 岛一地面运动的速度 南一地面运动的加速度 一槽身及水体的自重产生作用于墩顶的轴向荷载 如一隔震支座的刚度 一隔震支座的变形 ( q ) 一正规坐标向量 。 睁】一振型矩阵 叫+ 】广义质量 k + 】一广义刚度 p 】一广义荷载 其余符号及其所代表的物理量已在文中相应位置注明。 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特另j ) j n 以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 2 0 0 9 年7 月，) 日 学位论文使用授权说明 南京水利科学研究院、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志有权保留本人所送交学位论文的复 印件或电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论 文外，允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊 登) 授权南京水利科学研究院研究生部办理。 _ 八乙 论文作者( 签名) ： 边丑垒2 0 0 9 年7 月i 7 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 从5 0 年代提出“南水北调”设想后，经过几十年研究，南水北调的总体布 局已确定为：分别从长江上、中、下游调水，以适应西北、华北各地的发展需要， 即南水北调西线、中线和东线工程。工程竣工后将使长江、淮河、黄河、海河相 互联接，从而构成我国水资源“四横三纵、南北调配、东西互济”的总体格局。 南水北调中线主体工程由水源区工程和输水工程两大部分组成，在输水工程 总干渠的线路上，设有很多大型渡槽，其槽身断面形式，有矩形的，也有u 形 的；其下部支承的结构形式，有拱式的，有排架式的，还有墩柱式的。为跨越山 沟、洼地、河流等障碍物，有些渡槽的下部支承净高超过二三十米，远大于其支 承截面高度，这就造成支承在横槽向以弯曲型变形为主，因此可将这种支承偏柔 的渡槽视为高墩渡槽。高墩渡槽的结构形式与高架桥梁类似，主要的不同在于上 部槽内有巨大的水体，其重量往往能达到结构自重的几倍，这就形成了一种“头 重脚轻”的结构形式。地震作用下，水体质量产生的巨大惯性力对结构抗震十分 不利。 2 0 0 8 年5 月1 2 日，四川省汶川县发生8 0 级强烈地震，这次地震是新中国 成立以来震级最强、造成的灾害损失最大的一次地震。此次地震对震区水利水电 工程的影响范围和程度很大，有些工程受损严重，给人民生命财产和社会经济发 展带来严重威胁。因此，针对南水北调工程，迸一步开展水工结构抗震相关领域 的研究，预防和减轻因地震引发的严重工程灾害仍是一个十分艰巨的任务。 1 2 研究背景和现状 我国南水北调工程的3 条线路大部分都穿过地震区，根据初步统计【l 】，以相 应于基本烈度的5 0 年超越概率1 0 计，工程位于相当于度区的峰值加速度在 0 1 9 以上者，东线占6 7 ，中线占5 9 ，西线占9 1 。其中位于峰值加速度0 2 9 以上的高地震烈度区，东线占6 ，中线占8 ，而西线则达2 3 。对于南水北 调这样跨流域长距离的输水工程来说，作为重要交叉建筑物的大型渡槽一旦遭受 震害损坏，全线输水即告中断。因此，大型渡槽的工程抗震问题是非常突出的。 第一章绪论 然而，与渡槽抗震相关的设计依据却相对滞后。随着越来越多的大型输水工 程的建设，我国的设计规范中亟待补充这方面的内容。较早的水工建筑物抗震 设计规范( s d j1 0 7 8 ) ：“渡槽等水工建筑物，由于缺少动力特性资料及实际运 用经验，还不能在本规范中概括，有待于进一步积累资料，于今后修订时逐 步补充【2 】。上一个版本的水工建筑物抗震设计规范( d l5 0 7 3 1 9 9 7 ) 嘲和正 在使用的规范( d l5 0 7 3 2 0 0 0 ) 4 】中仍未提及渡槽抗震设计，使我国目前的渡槽抗 震设计无所遵循。 汶川地震后，针对渡槽突出的抗震问题和相对滞后的设计依据这样的现状， 2 0 0 9 年发布的新版水工建筑物抗震设计规范编制工作大纲【5 】中已将渡槽的抗 震计算、设计标准及抗震措施纳入了编写范围之内。 近年来，渡槽抗震研究的不断深入，为设计规范的编写提供了依据。总的来 说，已有的研究侧重于两个方面，一方面是流体与结构的相互作用问题，另一方 面是渡槽的隔震问题。 1 2 1 流体与结构相互作用研究概述 结构与周围介质( 土、水、气) 的相互作用问题是一直以来都是研究难点， 并且经常在工程中遇到。仅结构与流体的相互作用这一流固耦合问题，就广泛存 在于航空航天( 飞行器与液体燃料) 、石油化工( 大型储油罐和原油) ，建筑工程 ( 高层结构与调频液体阻尼器( t l d ) ) 等领域之中，这些领域在结构与流体相 互作用方面的研究成果值得借鉴。 航空航天领域中，陈科【6 】通过引入改进的势函数描述了刚体和液体之间的动 边界，利用伽辽金方法对充液贮箱刚体平动与液体非线性晃动的耦合动力学方程 进行了离散；贺元军【7 】用变分原理建立了在低重力环境下液体晃动的压力体积分 形式的l a g r a n g e 函数，并将速度势函数在自由液面处作波高函数的级数展开， 从而导出并求解了自由液面运动学和动力学边界条件非线性方程组。 石化行业中，孙建刚【8 】在考虑地基与储罐相互作用的情况下，采用有限元法 对储罐在水平地震荷载作用下的液面晃动及储罐提离反应进行了分析。j a ek w a n k i m 9 等考虑液体晃动产生的流固耦合效应，采用r a y l e i g h r i t z 法给出了解析地 求解矩形弹性贮液容器的在水平和竖向地面激励下动力响应的方法，并将2 维和 3 维模型的计算结果与边界元、有限元进行了比较。 2 第一章绪论 建筑工程中，钱稼茹【lo 】建立了液体在刚性环形容器内晃动的t l d 一结构相 互作用理论模型。贾影【1 l 】采用流体体积函数法( v o f ) 直接求解不可压缩、粘性、 瞬变和具有自由表面流体的n s 方程，计算了t l d 体系中液体晃动时的动水压 力。楼梦麟【1 2 】通过试验研究了矩形t l d 对结构地震反应的减震机理和减震效果， 以及地震动的频谱特性和峰值加速度大小对t l d 减震效率的影响。 水利工程中，w e s t e r g a a r d 【1 3 】于19 3 3 年首次求解了水平简谐地面运动时垂直 刚性坝面上的动水压力，得出的等效附加质量计算公式还被推广到弹性结构的抗 震分析上。其后的f o k 1 4 1 、y a n g 1 5 1 等研究了重力坝、拱坝在地震时坝体与水体的 相互作用问题。 借鉴其他领域的宝贵经验，一些学者进行了考虑流固耦合的渡槽动力研究： 李遇春【1 6 。8 】将高墩渡槽简化为高墩矩形水箱耦联系统，应用流体线性势流理 论及h a m i l t o n 原理导出了耦联系统的运动方程，进而解析地分析了高墩渡槽的 横向自由振动特性，将所得耦联系统的频率进一步分为反映水体晃动的“流体振 荡频率和反映结构固有运动的“结构振荡频率 ，还运用l a p l a c e 变换及其数 值逆变换解析地分析了耦联系统的地震反应，此外，还采用边界元计算了强震下 流体的非线性晃动及其对槽身的水平力及翻转力矩。 王博、徐建国【1 9 之2 】提出了渡槽薄壁结构空间动力分析模型，考虑其横向、竖 向、纵向、自由扭转和约束扭转变形，研究了设计水位、支架高度、支架截面尺 寸、支座刚度变化等对模态的影响，并分析了一致地震输入和多点地震输入时的 动力反应，后还将该模型发展为渡槽薄壁结构弹塑性动力分析模型，集薄壁结构 线弹性模型和非线性多弹簧模型为一体。通过预应力钢筋混凝土槽身及高强混凝 土支架模型的低周反复荷载拟静力试验，验证了数值模型的合理性。 吴轶【2 3 艺5 1 采用任意拉格朗日一欧拉( a l e ) 有限元方法分析大型矩形、u 形 渡槽结构中流体的大幅晃动问题，研究了不同水位的渡槽结构在谐波激励和地震 作用下的振动反应。结果表明，水体在一定的外激励下的非线性晃动作用十分显 著，其大幅晃动产生的动水压力对渡槽槽身应力有显著的影响。在晃动过程中， 水体对渡槽结构体系起到了类似于调频液体阻尼器的减震作用，这种减震作用随 结构自身特性和外激励不同而不同。 刘云贺口6 ，2 刀应用有限元法提出了以流固接触点对的瞬态接触内力作为待定 第一章绪论 变量的流固动力耦合模型。还对h o u s n e r 简化水体模型在渡槽抗震领域中适用 性做了探讨。 张伯划2 8 1 对南水北调中线穿黄u 形渡槽进行了分析研究，综合考虑了槽内 水体与槽壁的动力相互作用、桩与土和桩与结构的动力相互作用，提出了合理确 定地震动参数的途径。 杨世浩【2 9 】在合理模拟临跨的静荷载及质量影响的基础上，用三维有限元对 南水北调工程沼河大型渡槽典型槽段单跨渡槽进行地震动力分析。 1 2 2 结构隔震技术概述 除了流固耦合问题之外，大型渡槽研究中另一个重点是渡槽结构的隔震问题。 传统结构抗震设计方法是依靠增加结构构件自身的强度、变形能力来抗震的。该 方法中，容许很大的地震能量从地面传递给结构，结构构件的损伤不可避免的。 近几十年来，一些研究人员提出一些隔震技术，即通过采用隔震装置来尽可能地 将结构或部件与可能引起破坏的地面运动或支座运动分离开来，大大减少传递到 上部结构的地震力和能量。对于一个隔震系统，它满足三个基本的功能： 【1 】一定的柔度( 柔性支承) ：用来延长结构周期，降低地震力； 【2 】耗能能力( 阻尼、耗能装置) ：降低支承面处的相对变形，以便使位移在 设计允许的范围内； 3 】一定的刚度、屈服力：在正常使用荷载下( 如风，制动力等) 结构不发 生屈服和有害振动。 隔震系统中，柔性支承装置的类型有橡胶支座、滚轴、滑板、缆索悬吊、柔 性套管桩等；阻尼耗能装置的类型有金属弹塑性( 如低碳钢、铅等) 阻尼器，摩擦 型阻尼器，粘滞液体阻尼器、调质阻尼器等。 隔震技术在桥梁工程中得到了广泛应用。1 9 7 3 年以来，新西兰有4 8 座公路 桥和1 座铁路桥采取了隔震措施，其中包括4 座用隔震系统加固来提高抗震性能 的桥梁。意大利于1 9 7 4 年至今已建成1 5 0 余座隔震桥梁。美国第一次将隔霞技 术用于桥梁是在1 9 8 4 年，用于对s i e r r ap o i n tb r i d g e 进行抗震加固。第一座隔震 桥是s e x t o nb r i d g e 。目前美国已有1 0 0 多座桥采用了隔震技术，其中包括对既有 桥的加固，大部分隔震装置均为铅芯橡胶支座，也有一些采用摩擦滑动隔震装置、 4 第一章绪论 高阻尼橡胶支座等隔震装置。在日本，最早建成的隔震桥梁是静岗县横跨k e t a 河的宫川大桥，完成于1 9 9 0 则年，为三跨连续钢架梁桥，使用铅芯橡胶支座隔 震。在阪神地震后，采用隔震技术的桥梁日益增多，大部分隔震桥梁采用铅芯橡 胶支座、高阻尼橡胶支座【3 0 1 。 经过多年的基础研究和工程实践，我国在桥梁隔震方面已取得一定经验。周 云【3 1 1 对能力谱法在隔震技术在桥梁方面应用做了广泛探讨，特别是在连续刚构 桥上隔震技术的应用更做了细致研究。李建中旧对桥梁隔震的优化设计理论进 行了研究；王淑波【3 3 1 对桥梁隔震的等效线性作了探讨，并提出了一种改进方法； 王志强p 4 1 对隔震桥梁的分析方法及设计理论作了大量的研究，对铅芯橡胶支座 和高阻尼橡胶支座作了拟静力试验提出了修正的双线性分析模型。江宜城【3 5 1 对 装有铅芯橡胶支座的隔震大跨连续梁桥进行了考虑地震动空间变异性的随机响 应分析。 借鉴桥梁隔震所取得的宝贵经验，国内学者对渡槽的隔震也进行了相关研究： 张俊发p 6 ，3 7 1 以梁式渡槽为对象，在槽墩与上部结构之间设置叠层橡支座、 铅芯橡胶支座等不同类型支座，采用非线性时程分析法，研究了在不同地震波激 励下的地震作用效应。 李敏霞1 3 8 1 在理论分析的基础上，对南水北调中线工程北京段南泉河大型渡 槽工程结构，按几何相似比l ：1 0 研制了结构模型及多组隔震耗能混合减振支座， 在振动台上成功地进行了多工况的地震模拟试验。 刘云贺p 9 1 采用流固动力耦合模型和双线性模型探讨了大型渡槽采用铅芯橡 胶支座( l e a dr u b b e rb e a r i n g ，简称l r b ) 的隔震效果及隔震机理。 张艳红【4 0 】探讨大型渡槽的隔震机理、隔震装置和隔震目标，提出隔震渡槽 的地震反应分析方法，并结合某实际渡槽工程对各种支承方案下渡槽的地震反应 及使用隔震技术后渡槽的隔震效果进行具体分析。 1 2 3 基于o d e 求解器的计算方法概述 大型结构的工程分析，在以有限单元法为代表的离散化数值解法似乎成为主 流的时候，一些学者1 4 1 ，蚓在对解析或半解析方法的研究方面做了很多尝试，这 不仅因为了离散化方法自由度多，计算量大，而且因为人们对结构分析的解析方 5 第一章绪论 法曾经做过相当多的工作，有很好的基础；再者，解析方法也有很多自身的优点： 物理概念清楚，能抓住问题本质，易于揭示结构受力和变形的特点和规律，便于 改变参数计算等等。现在国内外的研究者们已经开发研制了相当有效的常微分方 程求解器( o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns o l v e r ，简称o d e 求解器) ，为发展解 析或半解析解法提供了强有力的工具。 以o d e 求解器为支撑的计算方法，最有代表性的是一种新型的半解析方法 有限元线法( f e m o l ) 【4 3 4 4 。该方法在对插值方向进行离散的同时，保证 了另一方向的解析性，所以称之为半解析法。一方面，通过利用分片插值技术， 它使得有限元法求解的灵活性，广泛通用性得以继承与延伸；另一方面，先进的 常微分方程求解器的可靠性及自适应功能使得有限元线法中固有的半解析性质 得到可靠的保证和充分的发挥。在应用方面，f e m o l 已在p o i s s o n 方程问题、 弹性力学平面问题、薄板弯曲问题、中厚板弯曲问题、中厚扁壳弯曲问题、旋转 体问题、以及三维弹性力学问题等领域作了大量的工作【4 5 】。 基于o d e 求解器的解析和半解析简化计算方法在实际工程应用方面也初步 取得良好效果并显示出极大的竞争力，特别是在高层建筑的简化动力分析h 6 巧o 】 中，已经有了很多应用实例，如计算简体结构的振动、框架剪力墙薄壁筒斜交 结构的振动、大底盘多塔楼的振动等等。 1 3 研究目的、意义和思路 对于大型渡槽的计算分析，已有的研究主要采用有限元、边界元等数值方法， 还有的采用纯理论方法导出了一些繁琐的计算公式，目前尚无将o d e 求解器用 于渡槽动力分析的相关研究。本文的研究首次将o d e 求解器与大型高墩渡槽联 系起来，其目的在于将基于o d e 求解器的解析法和半解析法应用于大型高墩渡 槽动力分析中。这种基于o d e 的解析和半解析方法，相对于基于矩阵的有限单 元法而言，没有对控制方程进行离散或只是部分离散，计算成本低廉，还便于进 行参数研究，因此，它对大型高墩渡槽抗震隔震的初步设计有一定的实用价值。 本文的研究包含两条线，主线是以o d e 求解器为支撑，基于大型高墩渡槽 微分方程体系，用解析和半解析方法求解它的动力特性、地震响应和非线性隔震 响应；另一条线是采用a b a q u s 有限元软件的耦合的欧拉拉格朗日求解器 ( c o u p l e de u l e r i a n - l a g r a n g i a ns o l v e r ，简称c e l 求解器) ，基于渡槽有限元模型， 6 第一章绪论 计算了它的动力特性和地震响应，这样，解析和半解析方法的正确性就可以通过 有限元得到验证。 1 4 本文所作的工作 本文的核心包括两个方面，第一是将渡槽的动力特性分析，即自由振动问题， 转换为o d e 体系的特征值问题，然后输入o d e 求解器解析地求解；第二是将 渡槽的地震响应分析和非线性隔震分析，即受迫振动问题，转换为o d e 体系的 一般边值问题，然后输入o d e 求解器半解析地求解。本文结合导师负责的湖北 省水电工程施工与管理重点实验室开放基金项目大型渡槽抗震安全性与施工技 术研究，主要做了如下几方面的创新性工作。 ( 1 ) 基于h o u s n e r 简化水体模型，应用h a m i l t o n 原理导出了大型高墩渡槽 平面弯曲振动时的微分方程和边界条件，并建立了相应的准二维和三维c e l ( c o u p l e de u l e r i a n - l a g r a n g i a n ) 有限元模型作比较分析。 ( 2 ) 导出了大型高墩渡槽自由振动时边界条件含特征值的o d e 体系及其振 型函数的正交化关系和归一化条件，给出了解析地求解大型高墩渡槽动力特性的 方法，编制了计算程序。 ( 3 ) 根据g a l e r k i n 法，建立了与大型高墩渡槽受迫振动微分方程体系等效 的变分原理及相应的泛函，并基于已得的各阶自振频率和振型的解析解，利用 r i t z 法和振型函数的正交性，导出了非耦合的运动方程，以及正规坐标单自由度 体系的d u h a m e l 积分，进而给出了一种半解析地求解高墩渡槽横向地震响应的 振型叠加法，编制了计算程序。 ( 4 ) 应用h a m i l t o n 原理，推导了设置铅芯橡胶支座( l r b ) 的大型高墩渡 槽隔震体系的运动微分方程和边界条件，并利用n e w m a r k 方法，将其在时域上 离散化为o d e 体系，导出了其直接积分格式，从而给出了一种半解析地求解高 墩渡槽非线性隔震响应的n e w m a r k 法。然后，根据l r b 的双线性恢复力模型， 选取了几种不同的隔震方案，并编制程序计算了各方案的地震响应。 7 第二章o d e 求解器和c e l 求解器 第二章o d e 求解器和c e l 求解器 本文的研究主要是在数值计算软件m a t l a b 的常微分方程求解器( o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns o l v e r ，简称o d e 求解器) 支撑下完成的，而对比计算工作 则是利用商用有限元软件a b a q u s 的耦合的欧拉- 拉格朗日求解器( c o u p l e d e u l e r i a n l a g r a n g i a ns o l v e r ，简称c e l 求解器) 完成的。 2 1o d e 求解器 在科学研究和工程计算中遇到的许多常微分方程，它的求解问题可分为：初 值问题( i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，i v p ) 和边值问题( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，b v p ) 。 两者相比，解决边值问题的难度更大。一般来说，微分方程边值问题可能没有解 析解，可能有唯一解，也可能有无数解。有时求解析解的代价太大，只得借助数 值计算。 m a t l a b 作为数值计算软件中的佼佼者，提供了求解广义微分方程一般边值问 题所需的完整指令组【5 l 】，包括常微分方程边值问题解算( s o l v e r ) 指令、被解算 指令调用的o d e 文件格式指令、积分算法参数选项( o p t i o n s ) 指令，以及输出 处理指令等。虽然m a t l a b 的o d e 求解器在一些方面不如公开发表的f o r t r a n 7 7 常微分方程求解程序c o l s y s ，但以m a t l a b 作为开发平台，程序编制、调试的 工作量较f o r t r a n 大大降低。因此，本文选用m a t l a b 的o d e 边值问题求解器b v p 4 c 作为支撑进行计算分析。 2 1 1 主要特点及功能 m a t l a b 常微分方程边值问题求解器b v p 4 c 是有限差分程序，采用配点法，配 点多项式为c l 型连续，在积分区间上4 阶精度。b v p 4 c 具有可靠的误差估计、 误差重分布以及配点网格自适应性调节等功能。配点法用一系列格点将积分区间 划分为子区间，然后求解满足边界条件以及所有子区间配点条件的代数方程组， 从而得到原方程数值解。配点网格的选取和误差控制由迭代求解的残差决定，求 解器检查子区间的迭代残差是否在误差内，如果迭代残差不能满足精度要求，求 解器就重新划分网格并重新迭代。 b v p 4 c 可对一阶常微分方程组进行积分，从而求解常微分方程两点边值问题。 8 第一二章o d e 求解器和c e l 求解器 y = 厂( z ，y ) z 1 2 ，b 】 b c ( ) ，( n ) ，y ) ) = 0 ( 2 1 ) 对于求解带未知参数a 的边值问题，即求解常微分方程特征值问题： y 7 = 厂( 蜀y ，a ) b c ( y c a ) ，y c b ) ，a ) = 0 ( 2 2 ) 需要添加附加的边界条件以满足方程求解未知参数的需要。 2 1 2 常微分方程和边界条件标准形式 b v p 4 c 需要用户将高阶o d e 体系化为一阶o d e 体系的标准形式再求解，具 体步骤如下： ( 1 ) 把任意阶o d e y c n ) = 厂( c ，y ，y 一，) ，( n - 1 ) ) ( 2 3 ) 写成一阶o d e 体系的替代形式 y t = y ，y z = y 7 ，y n = y ( n - 1 ) ( 2 4 ) 这样就可得有n 个一阶o d e 的等效体系 y ；= y 2 ； = ( t ，y ，y ，y ( n - 1 ) ) ( 2 5 ) ( 2 ) 类似地，两点边界条件也有 y i c a ) = 尼1 ( ) y l ( 6 ) = 厶，( t ) ； 蝣( n ) = ( t ，y ，y 7 一，y ( n - x ) ) 蝣( 6 ) = 厶n ( t ，) ，y ，y c n - 1 ) ) ( 2 6 ) 2 1 3 使用方法 使用时，用户需要编制三个子程序提供给b v p 4 c ： o d e f u n ：将原问题的常微分方程组编写为等价的一阶o d e 标准体系； b c f u n ：将原问题的边界条件编写为等价的一阶b c 标准体系； s o l i n t ：提供初始网格划分以及配点网格上的初始猜测解，初始猜测解的质 量对求解结果至关重要。 9 第二章o d e 求解器和c e l 求解器 和c o l s y s 相比，b v p 4 c 标准体系的j a c o b i 矩阵一般能自动生成，无需用户 输入，从而大大减少了前期输入的工作量，显著降低了出错概率，这是该求解器 的一大优点。 此外，用户还要可以通过调用b v p s e t 对b v p 4 c 求解的参数选项进行调整，诸 如：相对误差限值，绝对误差限制，o d e 和b c 标准体系的j a c o b i 矩阵，自适 应网格划分的最大格点数等等。 求解完毕后，用户可以调用b v p v a l 输出方程积分区间内任一点的解答。 2 2c e l 求解器 在传统的拉格朗日描述( 物质描述或l 描述) 中，计算网格固定在物质上 随之一起运动，网格单元随着物质的变形而变形。拉格朗日单元总是1 0 0 充满 一种物质，拉格朗日物质边界和单元边界在计算过程中保持一致。因此，l 描述 能准确确定物体的移动界面，并可跟踪质点的运动轨迹，但在特大变形问题中， 物质的扭曲将导致网格的畸形而使计算失败。 在欧拉描述( 即空间描述或e 描述) 中，计算网格固定在空间中，即网格 单元在物质的变形过程中保持不变，因此可很容易处理物质的扭曲。欧拉单元并 不总是1 0 0 充满物质，它可以部分充满，或者是空腔，物质允许从网格中的一 个单元流入另一个单元。欧拉物质边界一般和单元边界不一致，前者必须在每个 时间增量步重新计算。 c e l 求解器【5 刁各取所长，将每个时间增量的算法分为两步，首先是传统的l 阶段，然后是e ( 输运) 阶段。在时间增量步的l 阶段，网格结点临时固定在物 质上，其速度为物质的速度，网格单元随物质的变形而变形；在时间增量步的e 阶段，网格速度为零，不发生变形，前一个阶段严重变形的单元自动重新进行网 格映射，相应地，物质在相邻单元之间的流动这时就要计算出来，而欧拉单元和 拉格朗日单元之间发生的相互作用通过预先定义欧拉拉格朗日接触条件来计算。 大型商业软件a b a q u s 中已植入功能强大的c e l 求解器。a b a q u s 通过对原 有单元性能的拓展以及通用接触算法的完善，使c e l 求解器可模拟流体大幅晃 动、泼溅现象，为解决复杂的流固耦合问题提供了非常有效的途径。 具体而言，在a b q a u s 中，欧拉单元e c 3 d s r 是拉格朗日单元c 3 d 8 r 的拓 1 0 第二章o d e 求解器和c e l 求解器 展，它添加了物质体积分数的属性，并支持欧拉输运阶段的计算。欧拉单元中各 种物质的体积分数( v o l u m ef r a c t i o n ) 可以通过预定义场( p r e d e f m e df i e l d s ) 来指 定。体积分数指的是每个网格单元中，各种成分的物质( 流体、空腔、气体等)