（电机与电器专业论文）异步牵引电机温度场分析.pdf

a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ：w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fh i g h - s p e e dr a i l w a y , t h ec a p a c i t yi s i n c r e a s i n g , a n dm o r ea n dm o r em a t e r i a lo fh i g he l e c t r o m a g n e t i s ma n dh e a tb u r t h e na r e a d o p t e di nt h ed e s i g no ft r a c t i o nm o t o r s ，w h i c hr e s u l ti nt h et e m p e r a t u r eg e t t i n gh i g h e r a n dh i g h e r 砀et e m p e r a t u r e - r i s ei st h em o s ti m p o r t a n tf a c t o r st h a ti n f l u e n c et h er u n n i n g r e l i a b i l i t y , s oi ti si m p o r t a n tt oa n a l y z et h et e m p e r a t u r ef i e l di nt r a c t i o nm o t o r s w k l ed e s i g nt r a c t i o nm o t o r s ，t h er e l a t i o no fs t a b l et e m p e r a t u r e - r i s ea n ds o m e o t h e rt a r g e t ss h o u l db er e a s o n a b l yd i s t r i b u t e d ，w h i c hi n f l u e n c et h ef i n a lr e s u l to ft h e d e s i g n t h ed i s t r i b u t i o no ft h et e m p e r a t u r es h o u l db ec a l c u l a t e df i r s t ，t h e nt h ec a p a b i l i t y a n dc o n s u m eo ft h em a t e r i a lc o u l db ea d j u s t e d ，w h i c hw i l lm a k et h ed e s i g nm o r e r e a s o n a b l e ，a n dh e l pt oa v o i dt h eu n s u c c e s s f u ld e s i g n i tm a k e ss e n s et os t u d yt h e t e m p e r a t u r ef i e l do ft h et r a c t i o nm o t o r s n ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l da n dt e m p e r a t u r ef i e l di sr e s e a r c h e db yt a k i n g3 0 0 k w a s y n c h r o n o u st r a c t i o nm o t o r s a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo ft h ee l e c t r o m a g n e t i s m ，t h e m a t h e m a t i c a lm o d e lo f2 de l e c t r o m a g n e t i cf i e l di sf o u n d ，a n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h e l o s si sg o ta f t e ra n a l y z i n gt h es t a r t u p - p r o c e s s t h e na c c o r d i n gt ot h et h e r m a lt h e o 咄t h e m a t h e m a t i c a lm o d e lo f3 di sf o u n d ，a n dt h el o s sa n dc o e f f i c i e n to fc o o la r ea l s og i v e n w i t ht h es o f t w a r ea n s y s ，t h et e m p e r a t u r ef i e l di sc a l c u l a t e da n da n a l y z e d b y c o m p a r i n gt h er e s u l to fc a l c u l a t e da n dm e a s u r e d ，t h ea p p r o a c hi sp r o v e dt ob er i g h t f i n a l l y , s o m ef a c t o r sw h i c hi n f l u e n c et h ed i s t r i b u t i o no ft h et e m p e r a t u r eo fs t a t o ri s a n a l y z e d , a n dg e ts o m eh e l p f u lc o n c l u s i o n s i nt h i st h e s i s ，t h et e m p e r a t u r ef i e l do fa s y n c h r o n o u st r a c t i o nm o t o r si sa n a l y z e db y u s i n gc o u p l e dm e t h o d ；t h ef i n i t em o d e la n dt h ee d g eo ft h es o l u t i o nr e g i o na r ef o u n d ； t h ec o e f f i c i e n ti sg i v e n , a n ds o m ef a c t o rw h i c hi n f l u e n c et h ed i s t r i b u t i o no ft h e t e m p e r a t u r ef i e l di sa n a l y z e d ，w h i c hc o u l dp r o v i d ec o n s u l tf o rt h ed e s i g no ft h et r a c t i o n m o t o r s k e y w o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ；t e m p e r a t u r ef i e l d ；a s y n c h r o n o u st r a c t i o nm o t o r s ； f i m t ee l e m e n t ；a n s y s c l a s s n o ：t m 3 0 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印律和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：覆 互骞 签字圈襄：泗解荔月譬日 导师签名： 签字冒期： 年月 日 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位做作者躲冱王膏签字日期：砌9 年占月? 日 致谢 本论文的工作是在我的导师刘慧娟副教授的悉心指导下完成的，刘慧娟副教 授严谨的治学态度和科学的王作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两 年来刘慧娟老师对我的关心和指导。 刘慧娟副教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都 给予了我很大的关心和帮助，在此向刘慧娟老师表示衷心鲶谢意。 张奕黄教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷 心的感谢。 在实验室工作及撰写论文期间，郭四洲等同学对我论文中的研究工作给予了 热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 引言 1 1 课题研究的意义 1 引言 随着电机制造业的发展，电机的单机容量不断增加，电机的电磁负荷及热负 荷也随之提高，进而引起电机各部分温度升高，这直接影响电机的使用寿命和运 行的安全可靠性，所以对现代电机的发热与冷却问题进行研究显得日益重要。 在牵引电机的设计阶段，只有初步计算和确定试制样机的温度分布和电机相 关要求部件的平均温升，才能较好地对电机各项性能指标、技术要求和材料消耗 等方面进行合理的分配及调整，进而使设计方案更加合理化，避免在试制过程中 因温升的原因而造成研发的失败和费用的提高。所以，准确的计算电机内温度的 分布，对异步牵引电机的设计有十分重要的指导意义。 众所周知，异步牵引电机的结构非常复杂，再加上转子旋转的作用，使得冷 却气体在定转子之间、或在定子和转子通风槽内的流动形态变得更加复杂，因此 电机的发热与冷却问题的研究涉及到流体力学、传热学、电磁场理论和计算方法 等多种学科及领域。解决电机发热与冷却问题，需要进行大量的工作和深入的研 究。 在异步牵引电机电磁场和温度场的计算和分析中，绝缘层常常被忽略掉。但 是在一个很薄的绝缘层上可能会有一个显著的温度变化，为了精确的得出异步牵 引电机的温度分布，进而准确的进行异步牵引电机设计，需要将定子绕组绝缘进 行等效处理。 本文根据电磁场、传热学理论，从损耗的角度对异步牵引电机的电磁场、温 度场进行耦合分析，分别建立了异步牵引电机内部的电磁场、温度场的数学模型 和物理模型，应用有限元分析软件a n s y s 进行了仿真计算，并分析了特殊位置的 温度值，找出了电机内的最高发热点。最后还分析了定子绕组股线绝缘及轴向通 风沟风速、风温的变化对异步牵引电机温度场分布的影响。不仅对异步牵引电机 的设计和安全运行具有重大的意义，而且具有可观的工程意义。 1 2 国内外研究现状 目前国内外很多学者对电机内电磁场、温度场、耦合场以及影响电磁场和温 度场的某些因素进行了大量的研究工作。 北京交通大学硕士学位论文 电磁学主要研究源( 电荷、电流) 与场( 电场、磁场) 之间的相互关系和相互作 用f i j 。从1 8 7 3 年麦克斯韦总结了前人的研究成果，建立了电磁场理论一直到今天， 电磁场方面已经取得的很大的成就。有限元法( f e m ) 的二维、三维求解已经有 了很大发展，包括对稳态、瞬态场问题和非线性问题、运动媒质问题的处理【2 1 1 3 ”1 1 5 l ， 其中用有限元法解决工程问题的论文所占的比例最大。在电机损耗的计算方面， e n i s a a c 等学者考虑各相异性的情况下计算了铁芯损耗f 7 1 ，还有一些学者计算了 电机内的涡流损耗1 】【6 】1 8 1 。j u n gh ol e e 在考虑铁芯损耗以及饱和的情况下分析了电 机的动态参数【9 1 。大中型异步电动机端部场的计算方面f lo 】也取得了很大的进展。 三维电磁场的数学模型、周期性边界条件以及在电机中的计算方面也完成了很多 的工作j i l l 1 2 l 。在电机的参数计算、优化设计的方面也有很多的研究性的工作 t 3 1 1 1 4 】【”1 6 l 。此外，边界元法( b e m ) 可以用来分析二维、三维问题，但边界元与 有限元相比较，那一种方法更有前途，仍没有定论。采用棱边单元( e d g ee l e m e n t ) 方式构造f e m 和b e m 的基本函数，是对传统节点单元方法的革新，对于描述场 的变化和连续性提供了有效的物理框架。提出了有限元的其它泛函，其中包含了 能量的上界解、下界解及构成方法。所研究场域外部问题的处理有多种方法，特 别是k e l v i n 变换( 用于与f e m 结合) 已被广泛采用。网格的自动形成和误差分析 已经取得了很大进展，但是自适应三维网格的生成还有待于深入研究。电磁场分 析的逆问题和优化问题发展很快，几种随机化的总体优化方法正在平行研究，但 是尚未形成通用性强、易于操作的高效方法。软件的操作与运行环境已经有了长 足的进步，开发出了一批电磁场分析的商品软件，其中包括用以计算三维恒定电 场、磁场和涡流场及其后处理的功能，在实际工作中给设计工程师带来了很大的 方便。利用计算电磁学的工具已能够进行电磁设备的有效设计，避免制造昂贵的 样机，能够研究许多传统方法不能解决的问题，因而这一工具在许多工业领域的 到了日益广泛的应用。 起动性能作为电机的重要性能指标，在设计阶段准确计算电机的起动性能是 非常必要的。最早电机设计中，求解起动性能是通过采用简化的等值磁路来模拟 实际电机内的磁场，根据电机的尺寸、形状算出起动时各部分电阻、漏抗等参数 来实现的。但由于起动时，转子电流比正常运行时要大的多并且频率等于电源频 率，这使得转子导条内有明显的集肤效应及漏磁引起铁磁部分的饱和现象，因此 起动时电机内的电磁场分布十分复杂，用磁路来简化模拟计算，计算结果与实际 值出入较大。关于涡流场的数值解法，s t o l l 给出了保证场变量具有唯一解的两种 边界条件f 1 7 l ，c h a d 提出了关于二维时变场的复泛函呻1 和一种边界条件的具体处 理方法，并应用于矩形开口槽导体及自由空间中导体集肤效应的计算【l9 】1 2 叭。后来 哈尔滨电工学院的谢德馨指出了c h a d 的错误并进行了修正。对于稳态正弦电磁 2 引言 场，由于磁场强度和磁感应强度的值在一个周期内是不断变化的，相应的磁导率 也是变化的，故引入有效磁导率是必要的【2 l 2 2 1 。有效磁导率的概念是由 n a d e m e r d a s h 等人提出的【2 引。关于有效磁导率的计算在文献枷2 5 1 中作过介绍。 2 0 世纪7 0 年代，伊藤元哉、奥田宏史等人介绍了用有限元法计算鼠笼感应电动机 起动电流的一种方法【2 6 l 。2 0 世纪8 0 年代哈尔滨电工学院的谢德馨等人在这些基 础上作了进一步的计算1 2 】l ”】【2 8 】【2 9 l 【3 0 l 。 国际上a l o n s o 等学者分析了谐波对电机温升的影响1 3 h 。a u s t i nh b o n n e t t 等 学者发表文章对运行温度和性能作了深入的研究【3 2 1 。m s h a n e l 等学者对电机的冷 却系统内的流体的特性加以分析【3 3 】。e g u r e v i c h 对发电机的转子温度场3 4 1 ，r ，k r o k 对发电机在负载不对称情况下的转子温度场3 5 1 进行了计算。a d ig e r l a n d o 对大型 异步电动机的定子绕组的温度场进行了计算m 】。r k r o k 对发电机运行时的故障诊 断进行了研究【3 7 1 。 国内学者汤蕴璎、张大为用有限元法对水轮发电机定子最热段三维温度场进 行了计算【3 8 1 。魏永田对转子部分的温度场进行了研究【3 9 l 。李德基对大型发电机定 子绕组槽部温度场和汽轮发电机直接氢冷转子三维温度场进行了计算 4 0 1 。胡敏强 等学者采用圆柱坐标系下六面体有限元方法计算了大型水轮发电机定子铁芯的温 度场【4 1 1 。颜威利，方日杰等学者分别用有限元法和热网络法对电磁铁三维稳态温 度场和大型水轮发电机定子温度场进行了计算【4 2 1 【4 3 l 。许承千等运用稳定导热问题 的有限差分法分析电机的三维温度场计算【4 3 1 ，李伟力等基于流体相似理论和三维 有限元法计算大中型异步电动机的定子三维温度场及采用六面体、八节点有限元 方法对大型同步发电机定、转子和端部的温度场的计算也有一些研究工作4 4 1 【4 5 】f 4 6 1 。 a r m o r 等学者发表了定子铁芯温度场方面的文章，采用路的方法对发电机定 子绕组绝缘中的热机械应力进行了数值计算和分析【4 7 】。澳大利亚学者k p r e i s 在 1 9 9 4 年发表了电场、热场和应力场的耦合计算的文章【档4 9 】，法国学者e r i c c h a u v e a u 等人发表了异步电机电磁场、温度场二者耦合场计算方面的文章唧】。k a y h a m e y e r 发表文章将耦合计算方法加以分类，指出耦合关系可分为强耦合关系与弱 耦合关系，并对各种耦合场、路之间的联系进行了分析【5 1 1 。国外的一些学者对电 磁场与电路相结合的方法也进行了研究【5 2 1 。此外，m i l a nc u n d e v 对同步发电机的 有限元法进行了分析和研究1 5 3 1 。 国内的李德基、王绍禹、周德贵等学者对电机温度场，特别是绝缘老化后的 温度场、转子绝缘应力场都进行了认真的研究和分析m 】。杜炎森、胡敏强等学者 在求解温度场的理论方法和汽轮发电机端部电磁场及温度场等方面作了大量的研 究工作【5 5 1 。此外，由于绕组绝缘对电机电磁场计算时的电密分布以及温度场的分 布都有影响1 5 6 ，根据定子绕组的实际结构【5 7 弱1 将定子绕组处的绝缘进行等效处理 3 北京交通大学硕士学位论文 将会提高大型大中型异步电动机电磁场、温度场的计算准确度。 1 3 本论文的主要工作 本文基于大中型异步电机电磁场、温度场、耦合场的研究现状，对大中型异 步电机稳态运行时的电磁场及温度场进行有限元分析；采用有限元法计算了具有 轴向通风系统的异步牵引电机包括定转子在内的电机整体的二维电磁场及定子的 三维温度场，找出电机在运行过程中温度最高点所在，并采用有限元法对若干影 响定子温度场的相关因素进行了数学模拟研究，得出了一些有益的结论。 本文的工作主要包括以下几个方面 ( 1 ) 根据电磁场理论建立了异步牵引电机二维电磁场的数学模型，并对其进 行了有限元离散及泛函分析，推导出电磁场有限元求解的总体方程； ( 2 ) 以株洲电机厂3 0 0 k w 异步牵引电机为实例，分析了起动过程，并获得了电 机在不同转速下稳态运行时的电流及损耗分布； ( 3 ) 根据传热学理论和有限元理论建立异步牵引电机的三维温度场模型，并 对其进行有限元离散及泛函分析，推导出温度场有限元求解的总体方程； ( 4 ) 结合相关的经验公式，给出了电机内损耗及散热系数的计算方法； ( 5 ) 以株洲电机厂的3 0 0 k w 异步牵引电机为实例，应用a n s y s 软件分析定转子 的温度场，并用实验结果进行验证，表明该方法的实用性和准确性； ( 6 ) 研究了绕组股线绝缘及电机轴向通风沟风速、风温的变化等因素对电机 内温度分布的影响。 4 异步牵引电机电磁场的有限元分析 2 异步牵引电机电磁场的有限元分析 由于铁磁介质的非线性，加上边界形状较为复杂，使得电机内的许多正弦磁 场问题需要用数值法来求解。有限单元法是从变分原理或加权余量法出发，结合 单元剖分和分片插值，用以求解数理方程的一种离散化数值方法。由于它具有单 元剖分灵活，算法统一、通用的优点，并适用于电子计算机的计算，因而近年来 在工程中得到广泛的应用。对于电机中的各种二维和三维电磁场问题，有限单元 法是一种有效的数值方法。 2 1正弦时变电磁场的微分方程 2 1 1 时变电磁场的方程 电机中有许多问题属于随时间而变化的电磁场问题，需要用时变电磁场的理 论来研究。整个时变电磁场的变化规律可用麦克斯韦方程组来表达 v x h = j + 望 o t v x e = ：一o b 研 v d = p v b = ：0 其中，h - 一磁场强度( m ) ； b - 磁感应强度( t ) ： e 电场强度( v m l ) ； p 一电位移( c m 2 ) ； 卜电流密度( a i m 2 ) ； p 电荷密度( c m 3 ) 。 另外有 ( 2 - 1 ) d = 占ej = e r eh = v b( 2 - 2 ) 称为成分方程，其中s 、仃和1 ，分别为电容率、电导率和磁阻率。对于线性介 5 北京交通火学硕士学位论文 质，它们是常数；对于非线性介质它们随场强的变化而变化。 对于电机内正弦时变场，与传导电流相比，位移电流可忽略不计；而且，电 机内部无自由电荷积聚，故有 v d - o 詈= o ( 2 - 3 ) 从而得到描述电机内正弦时变电磁场麦克斯韦方程组方程组的微分形式为 成分方程也简化为 2 1 2矢量磁位的方程 v h = j v x e ：= 0 b 西 v b = 0 j = 仃eh = v b ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 根据向量分析，一个散度为零的向量场总可以表示为另一个向量的旋度场。 由于磁感应强度的散度恒等于零，故为便于计算，可定义向量磁位a ，使 义 b = v 么 且满足洛仑兹条件即v 彳= 0 ，以使彳解唯一。 将式( 2 - 6 ) 代入式( 2 1 ) 有 ，o r ( n 詈) = 。 ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 根据向量分析，一个旋度为零的向量场可以表示为一标量的梯度场，故可定 式中，缈为标量。 e = 一g r a d q ，一百0 , 4 6 ( 2 - 8 ) 写为 异步牵引电机电磁场的有限元分析 将式( 2 - 6 ) 代入( 2 5 ) 有 再代入式( 2 4 ) ，可得 h = v b = v v x a v x ( v v x 爿) = j 在直角坐标系下，将上式展开成三个分量的形式 v a = 即 ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 芸) f + ( 警一芸卜( 誓一等弘 c 2 ， 导( v 芸卜号( y 等) - 昙( y 等) + 鲁( v 誓) - 以 一尝( y 誓) - 昙( v 誓) + 昙( v 等) = c 2 也， 一丢( y 警) 一号等) + 导( v 警) - 以 对于二维的情况，彳和，都只有z 轴分量，式( 2 - 1 2 ) 可简化为 去( v 豢) + 旦a y ( v 丝a y 叫苏l 苏ij 2 ( 2 - 1 3 ) 为了书写简便，在后文中4 统一用a 表示，正统一用，表示。则式( 2 一1 3 ) 可 丢( v 罢) + 号( y 爹) = 一j 7 ( 2 - 1 4 ) 丝万 ，。一 、a一砂4 、，j、j 丝一砂弘i ， 、， 、 a 一瑟 a 一缸 北京交通大学硕士学位论文 根据式( 2 - 2 ) 和( 2 - 8 ) ，式( 2 1 4 ) 可写成 丢( v 罢) + 昙( v 爹) = 唧却+ 盯詈 c 2 一5 ， 对于正弦电磁场，由于 彳= r e j p 问 在引入有效磁导率的情况下，方程( 2 - 1 5 ) 转化为复数方程 ( 2 - 1 6 ) 昙 屹鲁 + 专( 屹軎 = 歹缈盯五+ 盯吕m d 缈 c 2 一- 7 ， 式中，为角频率；匕为有效磁导率。 式( 2 - 1 7 ) 即为描述正弦电磁场的涡流方程。 2 2正弦时变电磁场的有限元分析 以变分原理为基础的有限元法在求解磁场问题时，其过程大致如下： ( 1 ) 建立问题的变分表述从待解的磁场边值问题出发，利用变分原理把问题 转化为等价的变分问题，既能量泛函的极值问题； ( 2 ) 单元剖分将求解区域剖分成一系列子区域，即单元； ( 3 ) 选择分片插值函数选取分片光滑的插值函数去逼近整个求解域内光滑的 磁位函数； ( 4 ) 对变分问题离散化把磁位的插值函数代入能量泛函，对变分问题进行离 散化，得到以n 个节点磁位为未知数的n 阶联立代数方程组； ( 5 ) 求解代数方程组用强加边界条件修改方程组，然后求解修改后的方程得 到各个节点的磁位近似解，并由此算出各个单元和节点的磁感强度值； ( 6 ) 结果分析。 8 异步牵引电机电磁场的有限元分析 2 2 1时变电磁场的变分 对于正弦时变电磁场，满足涡流方程，其边值问题为 q ：昙阿特 = 一巾盯j 岛：a = 4 ( 2 1 8 ) s 2 ：1 ，- = 一2 9 d ，z 式中，q 求解区域； 、屯区域q 的外边界。在置上给出了彳的第一类边值，在岛给出 了彳的外法向导数，即第二类边界条件。 在式( 2 - 1 8 ) 的一式的两边乘上变分艿么，并进行二重积分，得 亚b 卜鲁 + 昙卜軎廿j 蚴= n ( 盯刚d + + y c o c r a 户二蛐c 2 m ， 由格林公式可得 蚺制匕钞蚴绷 = 叫警警+ 万o a 可o s ap + 4 i 代入式( 2 1 9 ) 并作移项，得 盟匕降誓+ 軎等卜+ 皿 丢 k 鲁) + 导卜軎p 妫2 。， 一“k 挚凼= 。 9 考虑到 因此 北京交通大学硕士学位论文 警a 删a a 万 1ai 一= d i l缸l 良i 等= 万a y 一= ，i l 砂 ii f c k l a ma s ；4 + 軎等卜 厦嵋 m 神万卜 ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 对于式( 2 - 2 1 ) 中的第三项积分，其中边界为区域的所有边界，包括外部边界 和媒质分界线，。当，上满足边界条件巧= 群何= 群 则对于向量磁位么满足 ( 2 - 2 4 ) 这时式( 2 2 1 ) 中第三项线积分在墨，屯，厂，+ 四段上进行。考虑到墨上彳= 4 ， 有6 a = 0 ；向内部。所以 1 2 匕筹万五西+ 屹塑o n 万二出一j + k 筹万j 豳 1 2 匕鲁万j 凼+ f ( = 扣j 西 乜 1 0 一卜讣凼 ( 2 - 2 5 ) 剞 s 谢 凼 缎 跏 法 丝锄 ，j j 匕 一 j+ 一彳 在 、， 丝锄 异步牵引电机电磁场的有限元分析 现将式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 5 ) 代入( 2 - 2 1 ) ，便得到 皿k m 神万卜 + 儿( 删缈+ 扣仃二户j 出砂一j 凼= 。 根据求导法则有 匕 鲁万 鲁 + 軎万 軎 万 匕( 鲁 2 一拶匕( 鲁 26 k ( 軎 2 一万k ( 軎 2 = 屹b s b 2 2 将式( 2 2 7 ) 代入式( 2 2 6 ) 得到 2 2 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 见匕古万吾螂+ n ( 叼m 却+ 弘仃五二蛐一f 2 j 凼= 。 ( 2 2 8 ) 式( 2 - 2 8 ) 可改写成 f c 吨扣巾+ f c 删枷f c 万降卜小龇帅瑚， 毕 北京交通大学硕士学位论文 将上式的左端看成一个泛函w 的变分，那么上式可等价为泛函w 取极值，从 上式容易看出泛函w 为 晦叫扣巾+ i c 一枷f c 万降卜小砒一s o ， 由于泛函w 的二次变分恒大于零，所以泛函w 取极小值。 在条件变分问题中，第二类边界条件体现在能量泛函中具有一项线积分，它 由能量泛函求极值自动满足，区域中的内部媒质的交接面条件也自动满足，只有 第一类边界条件没有满足，作为附加条件列出，故与式( 2 - 1 8 ) 所示边值问题等价 的条件变分问题如下 晦i c 扣+ 业一砺压万降汹3 ， 2 2 2单元的剖分插值 有限元法是基于网格剖分，将求解区域剖分成许多形状和大小不同的三角形 单元。通过求解各单元节点的磁位值，然后插值得到三角形单元内各点的磁位值。 在三角形单元中，任意一点的磁位a 可以在三个节点的磁位之间随坐标x ，y 的变 化按线性插值得到，亦即满足磁位线性插值函数。 任取一单元，设其编号为e ，其三个节点按逆时针方向的编号为i 、j 、m 。由 于单元磁位是坐标x ，y 的线性函数，故有 彳= 口l + a 2 x + a a y 式中口l 、a ：、口3 为待定常数。 1 2 ( 2 - 3 2 ) 异步牵引电机电磁场的有限元分析 将三个节点的坐标及其磁位代入上式，便得到以口。、a 2 、吩为未知量的线性代 数方程组如下 解此方程组，便可得到 式中， 彳f = a i + a 2 x i + a 3 y l a j2 a l - f a 2 x i + a 3 y f a m = a l - i - a 2 x 。+ 口3 y i 铲去( 驰+ 吩缸o m ) 旷去( 驰+ 岛缸屯j 。) 吩= 去( 矗+ 。n 缸) a i 2 x t y m x m y j a j 2 x m y j x i y m n m 2 x l y j x j y t b i = y j y 椎，b j = y 。一y i ，b 。= y i y j c t2x m x j c j2x i x m ， c m2x j x t ：拼 1 1 y m 将式( 2 - 3 4 ) 代入( 2 - 3 2 ) = 三( 6 ：勺一乞q ) ( 2 - 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 6 ) j = 去h m 础+ ( 吩吩w ) j 州却w ) 五m ( 2 - 3 7 ) = n ta + n ja j + n m 氐 1 3 北京交通大学硕士学位论文 式中， m = 互1 、a ，+ 岛x + q y ) m = 去( 吩+ 包工+ 勺y ) ( 2 - 3 8 ) 以= 去( 口，+ 屯x + y ) 上式称为单元的形状函数。并且有 警= 。：h i 。盟o x 互坠o y 。；荟。等名苏扣- 。 。 i ；篾。砂。 _ _ a a ：m- _ a a ：_ _ a a ：虬( 2 - 3 9 ) a 4a 4a 以 这样，整个求解区域的函数值就可以用每个三角形单元的顶点的函数值所构 造的线性插值函数表达出来。显然，在任意两个相邻的三角形单元的公共边和公 共顶点上，由于插值函数取相同的值，故保持了线性插值函数的整体连续性。 2 2 3单元分析 所谓单元分析是指对于每个单元计算其能量泛函对三个节点磁位的一阶偏导 数。对于式( 2 - 3 1 ) 所示的能量泛函包括四项，令 第一项 w ( a ) = ( 彳) + 吸( 彳) + 呢( 彳) + 呢( 么) ( 2 - 4 0 ) r 1 ( 五) = 他旧匕刍d 古b ( 2 - 4 1 ) 1 4 对于任意单元e 有 ( 2 - 4 2 ) 由于b = 所以 异步牵引电机电磁场的有限元分析 著茜n 陋斗砂 = f 【印咖去卜 = f 【匕f 痂古j 着 = f 【咋去兰撕 署= i 【匕 = i iv a a 一 根据式( 2 - 3 9 ) 有 a t 一= a 4 卜 。卜n 誓警+ 誓等 蛐卜 ( 2 - 4 3 ) = 去( 酵+ 孑) 五+ 去( 6 ；6 1 ，+ q 勺) 互+ 去( 岛屯+ c ：f ) 蠢( 2 - 4 4 ) = 毛4 f + 毛4 + 4 ，l 1 5 旦叫 塑砂 、 丝知 ，j。一 旦弘 型缸 。l 扣 北京交通大学硕士学位论文 同理 著2 擀慨) 五+ 去( 州) 碥( 。气地( 2 _ 4 5 ) = k j t a + k # a j + k 洄a m ；a z t 52 去( 岛k + c f ) 五+ 去( 1 + 勺) 4 + 去( 醒+ h ( 2 4 6 ) = k4 + 4 + 4 ，i 第二项( j ) = 心盯删d 缈么劬= 一亚( 歹二弘毋 式中，_ ，电流密度。 由于单元很小，可认为单元电流密度分布均匀，为常值，则对于单元e 有 = 一歹i i a 嚣d x d y 2 一ji i a n f l x d y2 一拿j ( 2 4 7 ) 盟：一垒j = 一一， a 与 3 冬：一会j ( 2 4 8 ) a 4 j 一一心( 学 蛐- 秒i 肼2 蚴 对于任一单元e 署= 暑( 三归心2 撕) - o = 一i 一，打，_ 1 月一， w l l1 。j n 7 l a 4a 4 二 1 6 ( 2 4 9 ) 爿，一 n 旦拟 = 冬叫 理同 异步牵引电机电磁场的有限元分析 由于单元尺寸较小，在单元中。可认为是常值。于是 同理 署2 三如i 【云c 分劬 = 扣仃f 【2 j 嚣撕咖盯机蛐 5 。， = 弘盯( m 五+ m 与+ 虬乞弘渺 = 盒如( 2 互+ 与+ t ) 篆嚣篙 协叫 薏2 扣( 互+ 4 + 2 4 ) 第四项呢( 彳) = 一lq a d s 嘞 利用有限元法计算电磁场，在剖分时满足单元仅有一条边落在第二类边界上， 且落在第二类边界上的边为加，故 呢( 彳，= 岛( 一；) 二凼 ( 2 - 5 2 ) 由于此项线积分是沿直线从j 点积分到m 点，因此可以选择j 点为原点，从j 点指向m 点的直线坐标为s ，将线积分方便地化为定积分。在而上，磁位在j 点 和i l l 点之间线性插值，因此磁位线性插值函数可写成 式中墨为的加的边长， 五= k 卜专t 1 7 ( 2 5 3 ) 北京交通大学硕士学位论文 且 将式( 2 - 5 3 ) 代入式( 2 5 2 ) ，便将这项能量泛函转化为如下的能量函数 ( 2 - 5 4 ) c 4 ，t ，= f ( 一；) ( ，一毒 z + 詈幺 出 c 2 5 5 ， 一 设q 在加上为常数，则可积分得到 于是 呢( 与，t ) = 一警每一竽z a w , ：0 ，丑：一，一a w , ：一q s i a 4a 彳， 二 a 4 。 二 把这四项合并起来，得到 a 形 a 4 a 矿 a a , a 形 a 4 ，l k 。+ 扣。 咿皂洳 k 戚+ 皂如 f - - p 。( 彳) + p 。 皂如 ”扣a v 皂洳 + 盒如 k j m + 皂洳 k 。+ i aj 仃 n 4 f a j 以 a ， 一， 3 a 1 g s 一，十一 32 a g 墨 一，1 一 32 ( 2 - 5 6 ) ( 2 - 5 7 ) ( 2 - 5 8 ) 在此，为了计算方便，各量及系数矩阵中元素右上角均未标符号e ，但与总体 合成后的不同。 1 8 异步牵引电机电磁场的有限元分析 2 2 4总体合成 上一节单元分析得到了对于某一单元以单元顶点为未知数的表达式。总体合 成是指将所有单元的系数矩阵中的各元素按其下标的地址迭加到总的系数矩阵中 相应的元素中去。总体系数矩阵和总体列向量中每个三角形单元所加进的非零元 素称为单元“贡献”。 总体合成的步骤为 ( 1 ) 单元编号改为总体编号； ( 2 ) 单元方程组按照全部节点扩展，即把单元贡献添加到总体矩阵的相应位 置，其他位置添零； ( 3 ) 把各个扩展的单元矩阵相加。 设总节点数为n ，在不考虑第一类边界条件的前提下，将形成一个r l 阶线性代 数方程组，记成 疗。 4 = 所( ，= l ，刀) ( 2 5 9 ) h = l 其中，1 是方程的编号，h 是每一个方程左端项中各项的编号。式( 2 5 9 ) 也 可以写成矩阵形式如下 即 4 ： 4 【后】似) = p = 目 ( 2 - 6 0 ) ( 2 - 6 1 ) 系数矩阵【后】和右端向量 p ) 的形成方法如下，首先将【后】和 p 中的所有元素 清零。然后按单元编号的次序，对于每一个单元，计算单元贡献【| j 】。和 p 。，并根 据f ，j ，m 之值，将b 迭加到【尼】的第i 行、第j 列的位置，将岛迭加到【七】的第f 行、 第j 列的位置，同时将b 迭加到 p 的第所亍的位置，等到所有单元贡献全部迭加 进去，【尼】和 p 就形成了。 1 9 北京交通大学硕士学位论文 2 2 5 第一类边界条件 在本论文研究中，仅存在第一类边界条件。本节讨论第一类边界条件的处理。 设在n 个总节点中有一个第一类边界节点，其编号为，那么方程( 2 5 9 ) 中的第 j 个方程应该取消，同时其它方程应该改为 相应的，其矩阵形式应改为 0 毛。 1 o 0 k 4 ； 4 ； 4 ( ，= l ，n ；l z ) ( 2 - 6 2 ) p t k i ，4 o 4 。 p 。一k a i o ( 2 - 6 3 ) 这就是说，对右端向量 p l 作如下修改：在，= ，这一行中p t 改为彳，。，在， 的那些行中，p l 改为研- k l , a i 。；对系数矩阵【后】作如下的修改：，= ，这一行和| j l = ，- 这一列中，主对角线元素如改为1 ，其余非主对角线元素改为o 。 当有多个第一类边界节点时，可以对各个边界节点用式( 2 - 6 3 ) 的方式逐个进 行处理。 当第一类边界条件为齐次，而且边界节点的编号放在总节点编号最后的情况。 设总节点数为r l ，前面以个节点的磁位彳未知，最后n n 。个节点落在具有第一类 齐次边界条件的边界上，磁位a = 0 。这时式( 2 - 5 9 ) 的修改结果为 刀 b 以= p t 一4 0 = 易 ( ，= l ，珂；，刀+ l ，以) ( 2 6 4 ) h = l h = n + 1 4 b 一 所 1 1 4 。蚺 h ；o ；k 异步牵引电机电磁场的有限元分析 式( 2 6 0 ) 的修改结果为 毛。 毛。 k k l玎疗 o 0 o ： 0 1； 1 4 ； 彳 ，i 4 + ， ； 4 l 琶 ： p 。 0 ： o ( 2 - 6 5 ) 从以上结果可以看出，对于这种情况，在一开始形成后1 和 p l 时，就只需要 考虑前l r l 个节点，即形成阶甩的k 1 和以维的 p ，形成后不必进行修改。这可以 减少计算量。但当第一类边界条件为非齐次时，或边界节点编号不再最后时，不 能作这样的简化处理。 由于能量泛函求极值等价于能量泛函对三个节点的磁位的一阶偏导数为零， 所以经过单元分析、总体合成以及边界条件处理后能够得到一个与正弦时变场边 值问题等价的全部节点满足的复系数非线性方程组。 2 2 6总体方程的求解 正弦时变场边值问题可以等价为一个全部节点满足的复系数非线性方程组。 用第一类边界条件修改后，方程组的系数矩阵成为对称、稀疏、正定阵，因此方 程组存在唯一解。对于非线性方程组的求解可采用欠松弛迭代、牛顿一拉夫逊迭代 等方法。通过求解该方程组，可以得到各个节点的磁位值。本论文中方程的求解 采用牛顿一拉夫逊迭代法。 2 3本章小结 本章首先由麦克斯韦方程和介质成分方程导出了正弦时变场向量磁位满足的 涡流方程，将电磁场的求解归结为求解向量磁位的偏微分方程。根据变分原理， 将涡流方程看成某一泛函的欧拉方程，由此推出了泛函，得到了与涡流方程边值 问题等价的条件变分问题。条件变分问题的求解采用离散化方式，通过场域剖分， 得到了有限单元和单元对应的节点，对于每二个单元，认为单元内各点的磁位值 2 l 北京交通大学硕士学位论文 可由单元节点的磁位值按坐标线性插值得到。这样泛函转化为以所有节点的向量 磁位值为自变量的函数，再根据函数求极值原理得到了一个与条件变分问题等价 的非线性复系数方程组，通过求解方程组，可以得到各个节点的向量磁位值。 异步牵机电机电磁场的计算 3 异步牵机电机电磁场的计算 3 1场路耦合模型 本文采用场路耦合法，把电机的直线部分与端部分开考虑，如图3 - 1 所示。 回路模型中的漏感只剩下电机端部漏感丘；直线部分用二维电磁场多有限元法计 算，以矢量磁位作为变量，不但可以考虑电机磁极形状、齿槽影响、转子涡流和 铁芯饱和等非线性因素，而且免去了参数计算等困难，也简化了迭代过程。 u 有限元区 ( a ) 电机的线圈结构示意图( b ) 场路耦合法的电机绕组模型 图3 - 1 场路耦合法的电机绕组模型 f i g3 一lw i n d i n gm o d e lo f f e mc o u p l e dw i t he l e c t r i cc i r c u i t s 在保证异步牵引电机等效电路中阻抗不变的原则下，采用电路的方式来模拟 异步牵引电机端部的影响。对定子端部阻抗采用电阻和电感来等效其作用，对转 子端部阻抗采用折算导条电阻率和磁导率的方法，将其计及到转子槽阻抗中。同 时，为了计及谐波的影响，采用电感模拟定子谐波漏抗，并采用折算磁导率法将 转子谐波漏抗折算到转子槽漏抗中。 ( 1 ) 定子线圈端部相电阻的计算 墨= 等等 口t 6 v 。 式中，口l 定子绕组并联支路数； ( 3 - 1 ) 北京交通大学硕士学位论文 即 墨每根导线截面积； m 每支路导线并绕根数； p 导线电阻率； c 线圈半匝长； ，定子铁心长； 乙。每相串连导线数。 ( 2 ) 定子线圈端部漏抗及谐波漏抗等效电感的计算 = ( - 。+ t 。) 去 式中，髟。、置，定子端部漏抗及定子谐波漏抗； 国电机角速度。 ( 3 ) 导条折算电阻率的计算 转子电阻为导条电阻和端环电阻磁的和，即 足= 心- 1 - r g ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 设岛为折算后的导条