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浙江工业大学硕士学位论文 三维人脸模型的约束纹理映射算法研究 摘要 计算机辅助的三维颅面复原采用计算机图形学技术从颅骨数据样本复原人脸面貌，可 以应用于刑侦、考古、医学等领域。本文研究内容作为计算机辅助的三维颅面复原项目的 部分，研究一种约束纹理映射算法，使得三维颅面复原的效果具有照片真实感。 约束纹理映射是一类特殊的纹理映射算法，它保证了模型在纹理映射时特征区域的匹 配。本文对国内外学者提出的多种约束纹理映射算法进行研究和比较，提出了一种基于三 维颅面的约束纹理映射算法。本方法首先通过手工交互在模型和纹理上添加约束点，用来 标记模型以及纹理上对应的特征位置；在网格模型上添加约束点的同时，采用逐点插入法 将约束点插入到网格模型中，并使用局部优化法对网格进行优化，保证新产生的网格为 d e l a 加a y 三角网格；然后，对纹理进行d e la _ u 1 1 a y 三角划分，根据纹理上约束点的拓扑连接 关系，对模型采用逼近的最短路径进行三角剖分；接着对分割后的网格以及纹理采用径向 基函数实现纹理映射；最后根据网格点所处的位置和属性，采取相应的方法进行优化。 同以往的约束纹理映射算法相比，本文算法不需要预先把网格模型参数化到二维空间； 在映射方法上，本文算法首先把复杂的网格模型根据约束点分割成小片网格三角片，再根 据径向基函数能够对离散数据进行平滑插值的特性，使用径向基函数对非约束点纹理坐标 进行插值求解，实现纹理映射。此方法既保证了纹理映射的有效性，又可以提高纹理映射 的平滑度。 最后，本文实现了一个约束纹理映射的原型系统，该系统采用手工交互在模型和纹理 的特征位置标记约束点，并实现三维颅面模型的约束纹理映射，从而验证了本算法的有效 性。 关键词：三维颅面复原，约束纹理映射，约束点，d e l 踟a y 三角化，网格剖分 浙江工业大学硕士学位论文 c o n s t r a i n e dt e x t u r em l a p p i n ga l g o r i t h m s f o r3 df a c em o d e l a b s t r a c t c o m p u t e r - a i d e d3 dc m i o f - a c i a lr e c o n s 觚c t i o ni sat e c h n o l o g yt 0 r e c o v e rt 1 1 e3 df a c e m o d e lf 如ms k u l ld a _ t au s i i 冯c o m p u t e rg r a p h i c s ，w m c hc a nb ea p p l i e dt oc r i m i i l a li n v e s t i g a t i o n ， a r c h e o l o g y ，m e d i c a lv i s 砌i z a t i o n ，f a c ea 1 1 i m a t i o na 1 1 ds oo n i nm i sp 印e r ，w ep r o p o s ea i l a p p r o a c ho fc o n s 臼面n e dt e ) ( t u r em a p p i n gf o r3 df a c em o d e lt 0s 蜘e n g m e nm er e a l i s mo ft h e c r 撕o f a c i a lr e c o n s t l l l c t i o nr e s u l t s t h ec o n s 仃a i n e dt e x t u r l em a p p i n ga l g o r i t h i i li sa 1 1a p p r o a c ho ft e x n l r em 印p i n g ，a 1 1 di tc a n i n a i n t a i nt h ea l i g n r l l e n to ft h ec o 玎e s p o n d i i l gf e a _ t u r e si nm et e x t u r em 印p i n gp r o c e s sb yt h e p r e d e f i n e dc o n s t r a i l l e dp o i n t s f i r s t l y ，w em a r kc o n s 仃a i n e dp o i n t so nt h em o d e la n dt e x t u r e ，t 1 1 e c o n s t r a i n e dp o i n t sa r eu s e dt 0m a t c hm et e x t u r ec o o r d i n a t ef o rf e a t u r ep o i n t s ， a u l dw e i n t e 印0 1 a t et h e s ep o i n t so n t o 廿l e3 di n e s h i nt h i ss t e p ，w eo p t i r n i z em en e wm e s hw i t hl o c a l o p t i m i z a t i o np r o c e d u r e ( l o p ) t om a l ( es u r et h a tt h em e s hi sd e l a u n a yt r i a n g l em e s h s e c o n d l y ， w ed i v i d et h et e x t u r eb yd e l a u n a y 仃i a i l g u l a t i o n a c c o r d i i l gt ot 1 1 et o p o l o g yo ft h ec o n n e d p o i n t si n l et e x j c u r e ，w ed i v i d et h em e s hi n t ot r i a n g l e sb ya p p r o x i i l l a t e ds h o r t e s tp a 血t h i r d l y ， w eu s et 1 1 er a d i a lb a s i sf m l c t i o n ( i 出f ) i m e 巾o l a t i n gt og e tt 1 1 eu i l - c o n s n a i n e dp o i m s t e x t u r e c o o r d i n a t e 筋mt h ea s s o c i a t i o no ft h ec o n s t r a i n e dp o i n t s f i n a l l y ，w eo p t i m i z et 1 1 er e s u l tt o i e d u c en l ed i s t o r t i o no ft e x t i l r e c o m p a r e d 埘t 1 1o t h e rm e t h o d s ，o u rm e m o d d o e s n tn e e dt op a r 锄e t e r i z e3 dm e s ht o2 d s p a c e i no u ra l g o r i t l l i i l ，w ed i v i d et h ef a c i a lm o d e lt os i m ht r i a n g l e sa n d t l l e n 、耽u s et h er b ft 0 i m p l e m e n tt h et e x t l l r em a p p i n g i nm i sw a y ，w ee n s u r em a tm er e s u l to ft h et e x t u r em a p p i i l gi s v a l i da n dm ak et l l er e s u l ts m o o t h e r f u r t h e m o r e ，、v ed e v e l o p e dac o n s t r a i n e dt e x t u r em 印p i n gs y s t e mw i t l l 也ea f o r e m e m i o n e d m e m o d i no u rs y s t e m ，ag o o dt e ) 血l r e - m 印p i n gr e s u nc a ni m m e d i a t e l yb eg e n e r a t e db y s e 而- a u t o m a t i c a l l ym a r k i n gs o m ec o n s t m i n e dp o n so nn l ec o r r e s p o n d i n g3 df 如em o d e la n d i i 浙江工业大学硕士学位论文 t e ) ( t u r ei m a g e ，觚dm ee x p e r i m e i l _ t a ir e s u h sv a j i d a t eo u rm e m o d k e yw o r d s ：3 dc r a l l i o f i a c i a lr e c o n s m l c t i o n ，c o n 曲r a i n e dt e ) m u 伦m a p p i i 培，c o i l s 仃a i n e dp o 血， d e l a u l l a yt r i a n g u l a t i o n ，m e s ht r i a n g u l a t i o n 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得浙江工业大学或其它教育机构的 学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 储躲锄砀 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：d 嘲年畛月仞日 日期：沙产ll 月伽日 浙江工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1研究背景与意义 本项目是作为计算机辅助的三维颅面复原技术的一部分展开研究的。所谓三维颅面复 原是从颅骨样本恢复出人的面貌的一类技术。三维颅面的复原技术可以应用于现实世界 中的多个领域，如考古学中古尸的面容复原、刑侦案件中受害人身份识别、医疗脸部外科 手术中的手术教果预测等。颅面复原技术发展的历史悠久，迄今为止，大体可以分为二维 复原与三维复原技术。存二维和二维复原技术中，又可以分成手工复原和计算机辅助复原 。 虽早的三维面颅复原研究可以追溯到1 9 世纪后期，该方法【4 1 在提取人头骨骼之前， 先拍摄人脸的照片，然后根据尸体性别年龄等信息，用石膏代替软组织对头颅骨骼进行填 充最后形成面部模型如图l 一1 。但是此方法对颅骨有损坏，而且费时费力，一般需要几 个月时间才能完成。随着计算机事业的发展，图形学技术得到了广泛的应用和发展，计算 机辅助的二维人脸复原技术随之成为了计算机图形学领域研究的热点。 图1 1石膏填充法的面颅复原 计算机辅助的= 维而颅复原技术主要有两种方法蚓：一是基于特征点的变形方法，一 是基于可变形模版的方法，基于特征点的变形方法研究了不同人种的头颅和皮肤关系之后 根据特征点和特征点所在位置的软组织厚度对应关系作为依据对头骨模型进行变形，如文 浙江工业大学硕士学位论文 献。而可变形模版则采用活动肌肉与头颅骨自身形体比例法的关系来重新建立三维人头 模型，如文献闭。采用计算机辅助的三维人脸复原结果如图l 一2 ( a ) 所示。但是，无论哪种 复原方法鉴于其方法的主要过程都是对网格进行处理，所以得到的结果必然如图1 - 2 ( a ) 所示，只有空洞、单调的网格模型。为了使得复原结果更具真实感，最简单的方法是对所 得网格模型进行纹理映射，映射结果如图1 - 2 ( b ) 。 a 1 = 维人腚复原结果 ( b ) 纹理映射结果 图l _ 2 计算机辅助的三维人脸复原结果 纹理映射技术是给三维网格模型添加细节的技术，是真实感图形技术的重要组成部分 是计算机图形学研究的重要内容。随着对真实感图形学技术的不断发展，纹理映射技术也 得到了长足的进步。现在现实中比较常用的纹理映射方法有平面纹理映射、球面纹理映射 以及圆柱形纹理映射，此类方法通过一个纹理映射函数，为模型上每一个顶点和纹理图片 上的各个点建立起一一对应的关系。因此，在纹理映射中往往不能保持模型和纹理的特征 2 浙江工业大学硕士学位论文 对应关系。在对三维颅面复原结果进行纹理映射时，为了使得复原结果具有照片真实感， 则要求在纹理映射时保持模型与纹理的特征对应关系，所以普通的纹理映射算法不能得到 一个令人满意的结果。在文献【9 】中采用圆柱形纹理映射来对网格模型进行纹理映射，其优 点是计算简单，计算量小；但是这种方法存在严重缺点，即对于人脸上某些区域如鼻子等 部位不能很好的对应，会发生错位，从而使得整体纹理映射效果很差。对于这种复杂的模 型，则需要一种特殊的纹理映射算法，在模型和纹理之间建立起一种特征约束关系，使其 在纹理映射过程中保持特征匹配。约束纹理映射弥补了传统纹理映射技术的不足，此方法 通过人机交互建立起模型与纹理之间的约束关系，使得在传统纹理映射技术难以顾及的细 节方面能够得到完善。 因此，约束纹理映射算法的研究对于计算机辅助的三维人脸复原技术是一个重要的环 节；对于计算机合成具有真实感的人脸技术更具有深远的意义，可以广泛应用于虚拟现实、 考古、刑侦以及人脸合成等方面。 1 2国内外研究现状 在计算机辅助的三维颅面复原技术的发展过程中，实现复原的方法一直是三维颅面技 术的主题内容，对于增强复原结果真实感的研究不多。在文献【9 】中，作者提出了使用圆柱 形纹理映射方法对复原结果进行纹理映射，但是这种纹理坐标统一分配的过程对于很多模 型都不能做到特征匹配。李一波等人1 0 1 提出在复原结果上进行五官组合修饰，但是所得 结果并不理想。文献【1 1 】中尝试通过建立光照模型来模拟人脸纹理，但效果不好。随后， 很多学者又通过多视角照片来进行三维模型重建【1 2 ，1 3 ，1 4 ，”】。但是这些方法都不能很好且很 快地完成模型和纹理的特征匹配工作。 为了保证模型和纹理的特征对应，国内外开始了约束纹理映射算法的研究，即如何在 纹理映射的同时保持纹理和模型的特征匹配。一般复杂的网格模型的纹理映射处理比较困 难，而这种复杂模型大多数能够被分解成一些圆盘同胚的网格片【l 引，这样可以对每片网 格片进行参数化及纹理映射，所以大部分的约束纹理映射研究都是建立在这种可分解成圆 盘同胚的网格模型的基础上的。 第一个有效的约束纹理映射算法是e c k s t e i l l 等提出的。此方法首先参数化模型到 二维空间，然后对参数化后网格上的点进行简化，直至仅余约束点为止，这样可以先确定 约束点的纹理坐标，最后根据简化的逆过程把简化的点逐步添加回简化后网格上。随后 l e v y 等提出了另外一种基于纹理形变优化的约束方法【1 8 】，该方法把约束点对应关系作为 一3 一 浙江工业大学硕士学位论文 约束条件添加到参数化的目标函数中，通过优化映射函数使得纹理形变最小，这种方法可 以在少量约束点时产生较好的效果，当约束点过多时可能会产生无效的情况。t 觚g 等人 提出一种基于径向基函数( 1 之a d i a lb a s i s 缸l c t i o i l ，r b f ) 插值的约束纹理映射算法【”】，该方法 把人机交互指定网格模型上的约束点坐标和对应的纹理坐标作为输入条件，直接使用径向 基函数插值得出非约束点的纹理坐标，但这种方法对于径向基函数的选择有一定要求，并 且不能保持约束纹理映射的有效性。l 圯v o y 等又提出一种m a t c h a k e r 约束纹理映射方 法【2 0 】，是第一个可以确保约束纹理映射的有效性的方法。此方法首先参数化网格模型； 随后根据指定的特征点三角化纹理，并相应地剖分参数化后的平面网格；对分割的纹理片 和网格片进行匹配及映射；最后再进行优化。这种方法流程复杂，并且算法效率较低。最 近，郭延文在m a t c h m a k e r 的基础上又提出了一种分而治之的约束纹理映射算法【2 1 1 ，他根 据约束点对模型和纹理进行三角剖分，随后采用f l o a t e r 等提出的基于平均值坐标的凸组 合方法【2 2 】来求得各个网格三角形内部每个顶点的纹理坐标来实现纹理映射，最后对结果 进行优化。该方法根据约束点直接对网格模型进行剖分，破坏了网格的结构，而且使用凸 组合方法得到的结果也不是很理想。 因此，为计算机辅助的三维人脸复原技术设计一个有效的、稳定的、高效的约束纹理 映射算法是十分必要的。 1 3研究内容与组织结构 由上文可知，虽然国内外已经存在现成的约束纹理映射算法，但是在效率、有效性上 都有待提高。本文研究内容作为计算机辅助的三维人脸复原技术的一部分，主要以约束纹 理映射算法为研究目标，给各种复杂的人脸网格模型进行精确纹理映射为目的，参考了国 内外众多现有的研究方案，提出了基于三维颅面的约束纹理映射算法： 1 通过手工交互在纹理与模型上添加约束点来建立模型和纹理之间的特征约束关系。 在模型上添加约束点的同时，每当添加一个约束点，则在网格上插入该点，并同时使用局 部优化法( l o c a lo p t i r i l i z a t i o np r o c e d u r e ，l o p ) 对网格进行优化处理，保证新网格为 d e l a m a y 三角网格。 2 在约束点添加完毕后，对纹理则根据约束点进行d e l a u i l a y 三角划分；对于模型则 根据纹理上的约束点的拓扑连接关系，采用逼近的最短路径法进行网格三角剖分。 3 对分割后的网格模型和纹理使用径向基函数( i 己a d i a lb a l s i sf u i l c t i o n ，i 沿f ) 插值实 现纹理映射。 一4 一 浙江工业大学硕士学位论文 4 对网格进行优化。根据网格上点的不同属性，分为约束点和非约束点，约束点在 优化时保持坐标不变，而非约束点则根据其一阶邻域坐标对其进行调整。 本文在结构上可以分为六章，组织如下： 第一章为绪论部分，主要介绍本文内容的研究背景计算机辅助的三维颅面复原技 术、本文的研究意义以及国内外研究状况，最后给出了本文研究内容与组织结构。 第二章为纹理映射技术介绍，主要介绍纹理映射的分类，映射方法的分类；随后介绍 了比较常用的纹理映射算法，如球面纹理映射，圆柱形纹理映射；最后介绍了几种约束纹 理映射算法。 第三章为约束纹理映射中的网格处理，由于本文提出的算法包含对网格的操作，因此 本章节作为第四章的预备知识进行介绍。主要介绍本文算法所用的相关网格操作方法，包 括d e l a 吼a y 三角化的相关理论、网格参数化的基本理论以及径向基函数的基本结构与插 值理论。 第四章基于三维颅面的约束纹理映射是本文重点，主要介绍基于三维颅面的约束纹理 映射算法的主要步骤，包括约束点的添加、约束点的插入、纹理的d e l a u i l a y 三角划分、 三维网格的剖分、纹理映射以及结果的优化。最后对本文方法所得结果进行分析比较。 第五章为原型系统的实现，在本文算法的基础上，我们开发实现了一个约束纹理映射 的原型系统。本章简要阐述了系统程序实现的流程以及程序的主要功能，最后展示了其他 实验的结果。 第六章为总结与展望，总结本文工作内容，并给出本文需要改进的地方。 浙江工业大学硕士学位论文 第2 章纹理映射技术 纹理映射技术是给三维网格模型添加细节的技术，是真实感图形技术的重要组成部分， 是计算机图形学研究的重要内容。近年来，计算机合成具有真实感的人脸模型的研究是计 算机图形学研究的热点，而纹理映射又在此领域占有重要地位。因此，提高纹理映射效果 已经成为计算机图形学领域亟待解决的问题。 2 1 纹理映射介绍 纹理映射是给三维网格添加细节的一个过程。7 0 年代中期，c a 缸n u u l l 【2 3 1 首次采用纹理 映射算法生成景物表面的纹理细节。自此之后，纹理映射技术得到了迅猛的发展和广泛的 应用。本节主要介绍纹理映射的一些基本概念。 2 1 1 纹理的分类 纹理的分类方式有很多种，根据纹理的定义域的不同，可以分成二维纹理和三维纹 理；根据纹理的表现形式不同，则可以分成颜色纹理、几何纹理和过程纹理三类。 1 根据定义域 二维纹理的纹理空间口4 1 通常是定义在( o “1 ，o 1 ，1 ) 的二维空间，对于三角网格 m 和纹理t 的映射函数可以写成：m ( x ，y ，z ) = 丁( 材，力，其中尸( x ，y ，z ) 是网格上的点，纹理映 射其实就是为他分配一个纹理坐标的过程。 而三维纹理【2 5 1 是二维纹理的扩展，它是由多个二维纹理组成的二维纹理的集合。 2 根据表现形式 颜色纹理指的是呈现在物体表面上的各种花纹、图案和文字等，如大理石墙面、墙上 贴的字画等都可以用颜色纹理来模拟。 几何纹理是指基于景物表面的微观几何形状的表面纹理，如树干、岩石、人的皮肤皱 纹等。目前几何纹理算法主要有b l m 算法和c o o k 算法【2 6 1 。 过程纹理可以表现各种规则和不规则的动态变化的自然景观，如水波、云、烟雾等等。 浙江工业大学硕士学位论文 2 1 2 纹理映射方法 纹理映射是指给三维网格分配二维纹理坐标的过程，根据纹理空间和图形空间之间的 映射方式不同，把纹理映射分为正向纹理映射和反向纹理映射阢2 舯。 1 正向纹理映射 正向纹理映射是从纹理空间到屏幕空间方向的映射，即将在纹理空间中预先定义的二 维纹理映射到屏幕的象素上。正向纹理映射也称为纹理扫描方法，实际上是将纹理空间中 定义的二维纹理函数经过映射函数映射到物体空间中的三维物体表面，再经投影变换投影 到图像空间。 设“，v 表示纹理坐标，x ，少表示屏幕坐标，f 表示正向映射函数。则正向纹理映射 可以表示为： ，：_ ( 2 1 ) ( 甜，1 ，) + ( x ，y ) = ( | j ( “，v ) ，( ”，力) 从上述算法可知，在正向纹理映射中，对纹理空间中每条扫描线 l ，经过二维到三维 的变化和三维到二维的投影后，不能保证纹理像素和屏幕像素间的一一对应关系。故屏幕 上有些像素可能因为没有纹理与之对应而产生空洞，或者多条纹理在一处重叠而造成图形 的扭曲。因此，正向纹理映射很少被采用。然而正向纹理映射也有其优点，在正向纹理映 射算法中，对纹理元素的处理是按顺序进行的，因而可以将纹理图像文件存储在外部设备 上，在使用时按顺序读取，可节省存储空间。如果采用正向纹理映射方法，可以充分利用 内存中顺序存储的纹理像素来加快图形生成速度。 2 反向纹理映射 反向纹理映射也叫纹理逆映射或者屏幕扫描法，是纹理映射中普遍使用的方法，在反 向纹理映射中，按屏幕扫描线顺序访问图像元素，对纹理图案进行随机采样，需要动态的 存储图案来提高纹理采样的速度。 反向纹理映射算法可以表示为： f 一1 ：r 2 一尺2 ( 2 2 ) ( 纵v ) ( x ，y ) = ( j i ( ”，v ) ，g ( 甜，) ) 反向纹理映射要求计算反向映射函数，随机地采样纹理，要求动态存储纹理图案，需 要较大的存储空间。由于反向纹理映射是按屏幕扫描线顺序进行处理的，容易采用传统的 显示算法，如扫描线算法、光线跟踪算法等，并且可以有效地实现图形混淆，因此已被广 泛采用。 浙江工业大学硕士学位论文 2 2 球面纹理映射 三维颅面复原所得的结果是一个封闭的网格模型，在常用的纹理映射算法中，适用于 封闭网格模型的映射方法主要有球面纹理映射和圆柱形纹理映射。 球面纹理映射是一种比较常用的纹理映射方法，由映射范围的不同，分为球面整体纹 理映射和球面局部纹理映射。 1 球面整体纹理映射 球面纹理映射是将矩形纹理图案映射在整个球面上，如图2 1 。 ，节 一 。、 q ，j 上一 0 l 厂爿卅 、 ! 钐再_ 、- 图2 1 整体球面纹理映射【2 9 】 根据上图，将球面上任意一点( 目，纠与纹理图上的纹理坐标( “，v ) 建立一对一映射关系。 如图2 1 中尸( 目，9 ) 点的纹理坐标为( v ) ，其中目的取值范围为 o 2 万】，缈的取值为【o 万】， i “= 秒2 万 则其映射函数可以写成：t v = 伊万。 如果对球上每一点都采用这种方法求解，将会占用很多资源。我们可以使用调和映射 的方法求解。首先把球体近似分解为小三角形，通过上述方法求得网格上的点，并映射到 纹理图片的表面，从而得到每个三角形网格三个端点在纹理图片上的纹理坐标，然后再求 得三角形网格内部的点所对应的纹理坐标。 2 球面局部纹理映射 球面局部纹理映射方法是将一个圆形纹理平面上的某区域映射到球体表面的一个局 部区域。 一8 一 浙江工业大学硕士学位论文 设纹理平面上任一点q 的极坐标( ，口) ，映射到球面上对应点尸的经纬坐标为( 秒，伊) 。 首先将纹理平面上的径向线段映射为球面上的一段经线，令尸点的经度0 与q 点的极 角a 相等，即a = 0 。为将纹理平面上的任一圆弧映射为球面上的一段纬线，令p 点的 纬度9 为q 点的极径r ( 设为( o ，1 ) 之间) 的函数，即，= 厂( 伊) 。而后，我们需要定义 一种准梯形面片与准四边形面片，用于算法的描述。 图2 2球面局部纹理映射2 9 】 y 如上图所示，在圆形纹理平面上指定面片q l q 2 珐q 4 ，其一对直角边位于极角为q 与吃 的两条径向线段上，而另一对曲线边则位于极径为1 与眨的两段圆弧上，根据上述映射关 系，与该平面片对应的是球面上的曲面片丑昱b 只，其一对曲边分别位于经度为岛与岛的两 条经线上，另一对曲边分别位于纬度为仍与仇的两条纬线上。在这里，为了更好地满足 纹理映射的面积等比性，可令纹理平面上的准梯形面积与球面上与之相应的准四边形的面 积成比例。如图2 2 ，面片q l q 2 q 3 q 4 的面积为： 品= ( 吃2 一，i 2 ) ( 吃一嘶) 2 ( 2 3 ) 曲面片量b b 局的面积为： 昂= ( s i n 统一s i n 仍) ( 岛一岛) ( 2 4 ) 又因为= 研，吃= 岛；则： 浙江工业大学硕士学位论文 而昂= 也2 一，i 2 ) 2 ( s i n 讫一s i n 仍) 为保持其比例关系，将，= 厂( 伊) 改写成： ( 2 - 5 ) ，2 = 彳s i n 伊+ 口( 2 - 6 ) 其中么，b 是待定系数。 在这里，我们认为纹理的平面中心与球面的正极点相对应，映射纹理的区域为纬度坐 标不小于的局部球面，于是有如下关系：，- = o 时，矿= 万2 ；厂= 1 o 时，9 = 妒。代入公 式( 2 6 ) 可得： ，= 乒i 而订焉而 ( 2 - 7 ) 然后可以算出纹理坐标： 肛r c o 孵爿：0 5 7 ( 2 8 ) ，= ，s i n 口= ，s i n p 2 3 圆柱形纹理映射 圆柱形纹理映射也是一种常用的纹理映射方法，它将空间三维坐标仅卫z 夕转化为 圆柱坐标( ，目，办) ，其中，为圆柱体半径，秒为角度，乃是圆柱体的高，而此空间圆柱体是 由纹理图片仉1 ，夕围成的，其中( o v l ，o “1 ) ，则映射公式可以表示为： b = ，c o s 2 删 y = ，s i n 2 删 ( 2 - 9 ) l z = v 办 其中，s = 甜，f = ，。 文献9 1 将圆柱形纹理映射应用于颅面模型，如图2 3 所示。圆柱形纹理映射需要采集 参考人物三个视角的照片，即正面、左侧面、右侧面照片。对三张照片进行组合集成，生 成一张纹理图片，如p 点，它属于正面与坐侧面两张照片，则需对其进行加权合成。把纹 理如同圆柱一样包围在模型的外侧。如求p 点所对应的模型上点的坐标，只需将p 点投影 到圆柱体轴线上，与模型交于g 点。则g 点所对应的纹理坐标就是p 点坐标。 浙江工业大学硕士学位论文 w 1 qp 。q e c t “0 二弋一、 圈2 3圆柱形纹理映射【w 如要使用圆柱形纹理映射，则首先要把纹理和模型进行配准，然而眼睛，嘴巴等位置 并非这么简单就容易对齐的，而且每个人脸的五官比例都不一样，同样的纹理可以对一个 人脸模型可以正常的、准确的进行映射，当对不同的模型进行纹理映射时，可能会发生特 征错位的现象。 2 4 约柬纹理映射 随着计算机事业的飞速发展，计算机合成具有真实感的人脸模型的研究成了计算机图 形学研究的热点，更是难点，特别是当虚拟人频繁的出现在如虚拟现实、娱乐场所和外科 手术模拟等领域时，怎么增加虚拟人的真实感成了一项十分关键的问题。对于三维人脸模 型，纹理映射是一种非常常用的增加模型真实感的方法，但普通的纹理映射算法己经不能 够很好的胜任这种复杂曲面的纹理映射工作，因此，约束纹理映射算法应运而生。 众所周知，纹理映射算法是给网格上每个顶点分配纹理坐标的过程，即对三维网格 进行二维参数化的过程，而约柬纹理映射算法则是特殊的参数化过程。它通过约束点来限 浙江工业大学硕士学位论文 制三维同格的参数化。自从2 0 叭年e c l s t e i l l 旧提出第一个有效的约束纹理映射算法，随 后国际上很多学者又提出了多种的约束纹理映射算j 岳，各种方法各有优劣。比较具有代表 性的有l e ”y 等提出的基于纹理形变优化的约束纹理映射算法、k 阳e v o v 等提出的 m n c l l i i l a k e r 算法以及t a n g 等提出的基于r b f 的约束纹理映射算法。 24i 基于纹理形变优化的约束纹理映射 此方法由te v v 等提出，加罔! 一4 所示 图2 4l e v y 等所使用的特征匹配方法”1 他们使用一种间接曲面，它围绕在网格模型外层，纹理直接映射在这种间接曲面上， 通过在间接曲面上移动约束点来达到特征匹配。他们认为3 d 一2 d 的特征匹配过程可以通 过纹理映射转换成2 d 一2 d 的过程。 其方法流程如下： l 交互控制添加约束点； 2 建立参数化函数，并把约束点对应关系： c ( 胪卧鹕) 2 + 吁窘) 2 + ( m ( 2 _ 】0 ) 加入到参数化函数中，作为目标函数。其中吖模型上的约束点的坐标，“u ，) 为反参数化 函数t 为纹理约束点珥所对应的模型约束点坐标，最后一部分为平滑系数： 3 使用共轭梯度法优化目标函数，使得纹理变形最小。 其结果如图2 5 所示： 浙江工业大学硕士学位论文 图2 5 基于纹理形变优化的约束纹理映射结果 此方法不对原网格进行操作，只对网格参数化空间进行操作，通过手工移动和调整约 束点，可以得到较好的结果，但是当约束点过多时可能会失效。 2 4 2m a t c h m a k e r 算法 这是由v l a d j s l a yk r a e v o y 等删提出的算法，是第一个可以确保约束纹理映射有效性 的方法。其流程如图2 6 ： i 对模型以及纹理添加约束点，并把网格模型参数化到二维平面，如图2 6 ( a j ，( b ) ： 2 在参数化后的网格周围添加虚拟边界，并对虚拟边界和网格模型的边界进行三角 化处理，如图2 6 ( c ) ； 3 对参数化后的网格模型和纹理根据约束点进行三角分割如图2 6 ( e ) ( d ； 4 对分割完成后的网格片和纹理片进行匹配如图2 6 ( g ) ； 5 纹理映射，如图2 6 f h ) ； 6 优化所得结果2 6 m 。 此方法虽然保证了约束纹理映射的有效性，但是需要预先对模型参数化并加上虚拟边 界，模型和纹理匹配等算法都相对复杂，而且效率较低。 浙汀工业大学硕上学位论文 窿 24 3 基于r b f 插值的约束纹理映射 此方法是由t a n g 等9 1 人提出来的，它把模型约束点与纹理约束点的对应关系作为已 知条件，使用径向基函数来求解非约束点的纹理坐标。其步骤如下i 1 在纹理以及模型上添加约束点； 2 以模型上约束点的坐标与对应的纹理坐标作为径向基函数的己知输入来插值求得 所有非约束点的纹理坐标； 3采用共轭梯度法来对映射结果进行优化，使得纹理形变最小。 其实验结果如图2 7 。此算法虽然可以完成约束纹理映射过程，但是不能保证约束纹 理映射的有效性，而且映射结果的好坏很大程度上在于基睡数的选择。 浙汀工业大学硕士学 _ 7 _ 论文 图2 7 基于r b f 的约束纹理映射算法结果 2 5 本章小结 本章首先简要介绍纹理映射的基本知识，如纹理的分类以及纹理映射算法的分类。随 后选取了对于封闭曲面比较适用的球面纹理映射和圆柱形纹理映射做了简单介绍，同时指 出对于复杂的颅面模型，这些算法并不适用。最后，介绍了适用于由复杂的自由衄面构成 的网格模型的约束纹理映射算法，并在其中选取了3 种比较经典的约束纹理映射算法：基 于纹理彤变优化的约束纹理映射、m a t c h m a k e r 算法、基于r b f 的约束纹理映射，并给出 他们算法的优缺点。 浙江工业大学硕士学位论文 第3 章约束纹理映射中的网格处理 在本文绪论部分已经提到，计算机辅助的三维颅面复原技术所得的结果是一个网格模 型。在对颅面网格模型进行纹理映射的同时保持特征的匹配是本文的研究目标。而纹理映 射可以理解为将一个三维网格模型进行二维参数化的过程。因此，网格处理对于本文算法 是必不可少的环节。 3 1 d e l a u n a y 三角化 d e l a u n a y 三角划分是目前最流行也是最优化的网格划分方法之一。本文通过d e l 锄a y 三角化对纹理进行三角划分。在约束点插入时，使用d e l 跏a y 三角形的空外接圆性质对 新产生的网格进行优化。 3 1 1 d e l a 衄a y 三角剖分特性 1 9 3 4 年，前苏联科学家d e l a 眦a y 提出【3 0 】：对于任意给定的平面点集合只存在着唯一 的一种三角剖分方法，满足剖分后三角形的最小内角之和最大最大最小角和性质，这 就是d e l 硼a y 三角剖分。d e l a u n a y 三角剖分还具有空外接圆性质。空外接圆是指d e l a 吼a y 三角剖分中任意三角形外接圆内不包括其他节点。空外接圆性质保证了所有的d e l 眦1 a y 三角形不互相重叠，并且覆盖整个平面。 3 1 2 d e l a u 的y 三角化基本原理 假设矿= v l ，v 2 ，v 3 ，v ，3 是欧几里德平面q 上的一个点集，并且这些点不共线， 四点不共圆。用d ( v f ，巧) 表示巧，0 之间的欧几里德距离。设x 是平面上的点，则区域 k f ) = 缸r i d 瓴崎) d _ ) ，= 1 ，2 ，o 称为v o r o n o i 多边形，而个v 0 r o n o i 多边形组 成一个v 0 r o n o i 图，如下图： 浙江工业大学硕士学位论文 图3 1v b r o n o i 图 在v o r o n o i 图中，三个具有相同顶点的v o r o n o i 多边形所包含的平面点构成一个 d e l a u i l a y 三角形。如图3 2 。 图3 - 2d e l a u n a y 三角形 由图3 - 2 可知，组成d e l a l l l l a y 三角网的三角形互不重叠，每个三角形的外接圆区域 内不包含集合中的其他点。一个d e l a 吼a y 三角形由相邻的三个节点构成。组成一个三角 形的三个顶点所属的三个v o r o n o i 多边形有一个公共顶点，这个顶点就是这个d e l a u n a y 三角形的外接圆圆心。 3 1 3 d e l a u n a y 三角化算法 自从d e l a u n a y 算法诞生以来，国际上很多学者分别提出了各种高效、快速的三角化 方法。而平面区域的三角剖分的常用方法有三种：一是逐点插入法；二、分治算法；三、 三角网生成算法。 逐点插入法【3 l 3 2 1 的基本思想是将未处理的点直接插入到已经存在的d e l 釉a y 三角网 格中，并对新产生的三角网格采用局部优化算法( l o p ) 【3 3 1 进行优化，保证生成的网格为 浙江工业大学硕士学位论文 d e l a u n a y 三角网格。 分治算法【3 4 】的基本思想是使问题简化，把点集划分到足够小，使其易于生成三角网， 然后把子集中的三角网合并生成最终的三角网。同样，分治算法在合并时也是使用局部优 化算法保证生成的是d e l a 吼a y 三角网格。 三角网生成法3 5 1 的基本思想是任选一点，找到与它距离最近点相连成为一条初始基 线。按d e l a u i l a y 三角形的性质寻找能够和这条基线组成d e l a u n a y 三角形的第三个顶点。 重复进行这一过程直到所有顶点都在d e l a u n a y 三角网内。 上述三种算法在时间复杂度上，逐点插入算法时间复杂度为d ( 3 坨) ，分治算法时间 复杂度为d ( l g ) ，三角网生成法的时间复杂度为d ( 3 坨) ，为顶点总数。从时间复杂 度上看，分治算法最好，而且分治算法构网速度快，时间效率高，但需要大量递归运算， 所以内存占用较大。本文为了使得纹理映射速度更快，故采用分治法对纹理图片进行三角 划分。 3 2 网格参数化 网格参数化是将三维网格上各个点映射到二维平面的过程。参数化的过程就是找到一 个函数，使得网格上的点与二维空间的点一一对应。在纹理映射过程中，我们要为每一个 三维模型上的顶点指定一个二维纹理坐标，因此，纹理映射过程可以通过网格参数化的形 式实现，而其参数化的目标二维空间就是二维纹理空间。 3 2 1 网格参数化简介 三角网格参数化可以这么理解：给定一个由空间点集k 尺3 组成的三角网格m 和一 个二维空间q ，寻求一个映射函数，使得映射到二维空间的网格与原始网格拓扑同构， 并保证映射到二维空间三角形不重叠的同时，谋求某种与原始网格之间的几何度量的变形 最小3 6 1 。通常，可以利用微分几何、弹性理论、等积映射、调和映射、保角映射和等测 度映射等理论来对变形最小化问题建模，并应用有限元分析以及数值分析等数学工具来求 解变形最小化问题。 3 2 2 基本概念 1 三角网格的表示 浙江工业大学硕士学位论文 三角形网格模型m 可用三元组表示： 肘= ( ，) ( 3 1 ) 其中= 1 ，2 ，) 表示m 的顶点集合，为顶点个数；是包含m 中所有拓扑连接关系 的集合；p 肘为m 中所有顶点的属性集合。 2 同构映射和同形映射 同构映射是指两个网格m 和s 的拓扑连接关系相同，也就是说存在一个映射函数加一s 使得两个网格上的顶点能够一一对应。而锄一s 就称为m 到s 的同构映射。 同形映射是指网格m 上的任意一点可以通过映射函数一矽与网格形上唯一的一点对 应，则称鳓一为同形映射。 3 参数化的有效性 参数化有效性的充要条件为： ( 1 ) 原始网格顶点和二维空间的映射点在参数化映射下是一一对应的； ( 2 )参数化后，二维空间下的三角网格不重叠。 4 参数化的度量 评价参数化结果的好坏有两个标准，一个是直观的标准，另一个是定量的标准。视觉 上的平滑效果好坏是衡量参数化变形的一个直观标准；而参数化的常用的变形定量标准有 以下两种： ( 1 )用二维空间网格与原始网格之间的面积相对误差和角度相对误差等来衡量变 形程度【3 2 】。 ( 2 )基于几何变形度量空间的方法【3 7 】，这是一种基于纹理扭曲程度的度量标准， 可以反映局部三角形变形又可以衡量整体网格参数化的变形。 3 2 3 平面参数化方法 本文所提到的方法所用的参数化方法都是平面参数化方法。平面参数化就是把一个空 间三角网格映射到平面三角网格，如图3 3 ，并在保证平面三角网格参数化有效性的同时 使得形变最小化。主要常用的有如下几种方法：凸边界方法，非凸边界方法，封闭网格参 数化方法。 浙江工业大学硕士学位论文 1 凸边界法 图3 3网格参数化 凸边界方法的基本思想是把网格的边界映射到一个平面凸集的边界，把网格的内点映 射到这个凸集的内点。这类方法主要有凸组合方法和能量最小化方法。 凸组合方法由t 嘣e 在1 9 6 0 年提出【3 8 1 ，其基本思想是把网格的边界映射到一个平面 上的凸多边形上，而内点则取以它为中心点的一阶邻域的平均值。1 、m e 证明了该方法所 得的三角形不会互相重叠。在t u 他的基础上，f l o a t e r 通过给每条边附加一个与边长相关 的权值改进了凸组合方法【3 9 】。它的基本思想是边界点固定，内点参数化由他相邻的加权 凸组合给出。 该方法在参数化的同时，会造成较大的角度变形，但是它能够在参数化时保持一阶邻 域形状不变，所以也称为保形参数化。另外，由于将该方法求解问题转化为一个大型的稀 疏线性方程组，而整个参数化过程只需要求解线性系统，所以速度很快，现在它已经成为 一个应用非常广泛的参数化方法。 能量方程最小化方法在于寻求一个能量方程，称为目标函数，指定该目标函数地边界 条件，然后求解目标函数的极值得到一个参数化。一个比较经典的方法就是引入弹性理论 的h o o k e 法则，把网格的各条边视为具有弹性的弹簧