（应用数学专业论文）两个生态系统的动力学行为分析及控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 生态系统的持久性、多样性问题是数学生态理论中的一个重要组成部分。随 着非线性学科的发展，人们也在生态系统中发现了许多混沌现象。系统结构及其 时空动态与混沌及种群灭绝之间的关系，是保护生物学及多样性研究的一个重要 方面，在实际应用方面有着广阔的前景。l o g i s t i c 人口增长模型是我们研究生态系 统最基本的模型。对于l o t k a ，v o l t e r r a 捕食者一食饵系统而言，为与实际更吻合，每 一个捕食者除了与食饵有关外，还与捕食者的捕食能力有关，它应该是一种包含 着饱和因素的关系。由h o l l i n g 在六十年代首先建立的具有功能反应的种群生态学 的动力学模型，为生态系统的研究提供了一条途径。 本文分析了一类具有收获系数的单种群模型的差分方程，得到了该模型的不 动点及其稳定的参数区域和吸引的参数区域，利用混沌动力学知识分析其2 周期 解的稳定区域，根据l i y o r k 定理和邓小炎的方法得到了模型的3 周期解的存在， 即存在混沌现象。研究得到利润随收获强度的增加先变大然后减小，当收获强度 超过某一值时，就无利润可言，反而会亏本。利用一种基于l y a p u n o v 指数的状态 反馈控制策略，使混沌状态的单种群模型变为可测。该控制策略可将混沌状态的 单种群模型快速的收敛于给定的任意值。 对具有h o l l i n gi i i 型功能反应的一类食饵捕食系统进行了定性分析，利用动 力系统知识研究了该系统平衡点的性态及稳定性，给出了正平衡点全局渐进稳定 的充分条件和生态解释，并讨论了该系统极限环不存在的条件。 对于一类具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应且同时进行捕获的捕食与被捕 食系统。利用动力系统知识研究了该系统平衡点的性态及稳定性，得到了正平衡点 的存在性和稳定性。利用b e n d i x s o n 环域定理，得到了该系统极限环的存在性与唯 一性的结论。运用d u l a c 函数法得到了该系统极限环的不存在。同时利用m a t l a b 给出了数值举例的相图，验证了定性分析的结论的正确性。利用混合自适应模糊 辨识和模糊控制方法实现了种群生态系统的控制，仿真效果理想。 关键词：生物数学，b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能反应，h o l l i n gi l l 型功能反应 收获系数，极限环，混沌，控制 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r o b l e ma b o u tp e r s i s t e n c ea n dd i v e r s i t yi ne c o l o g i c a ls y s t e mi sa r ti m p o r t a n t p a r to fm a t h e m a t i c a le c o l o g y w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，c h a o sh a s b e e nf o u n di ns o m ee c o l o g i c a ls y s t e m s t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p a t i a ls 1 础t 1 1 r e a n dp o p u l a t i o ne x t i n c t i o ni sar e s p e c ti nc o n s e r v a t i o nb i o l o g y t h es t u d ya b o u ti th a s w i d ep r o s p e c t s ，l o g i s t i cs i n g l e s p e c i e sm o d e li st h eb a s i cm o d e li nt h ee c o l o g i c a l s y s t e m f o rl o t k a - v o l t e r r ap r e d a t o r - p r e ys y s t e m ，c o n s i d e r i n gt h ef a c t ，t h ep r e d a t o r r e l a t e st ot h ep r e ya n di t ss t a b i l i t yo fc a t c h i n g t h i sf u n c t i o n a lr e s p o n s es h o u l db et h e r e l a t i o n s h i pw i t ht h es a t u r a t e df a c t o r t h ed y n a m i cm o d e lo fap o p u l a t i o nw i t hh o l l i n g t y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s ew a sf i r s te s t a b l i s h e db yh o l l i n gi n19 6 0 s i ti sau s e f u lt o o lf o r t h er e s e a r c ho f t h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t yo f e c o l o g i c a ls y s t e m i nt h i sp a p e r , ad i f f e r e n c ee q u a t i o no fas i n g l e s p e c i e sm o d e lw i t hh a r v e s t i n gi s e s t a b l i s h e d t h ef i x e d - p o i n ta n di t ss t a b l er e g i o n sa n da t t r a c t i v er e 百o n sa r ed e d u c e d f r o mt h et h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a c c o r d i n gt ot h ec h a o t i cd y n a m i c a l s y s t e m st h e o r y , t h es t a b l er e g i o n so ft w op e r i o d i cs o l u t i o n s a r ea n a l y z e d b a s e do n l i y o r kt h e o r e ma n dd e n gx i a o y a n sm e t h o d ，t h e r ee x i s t st h r e ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，t h a t i st os a y , c h a o se x i s t s b e n e f i t sb e c o m el a r g ef i r s tt h e ns m a l lw i t ht h ei n c r e a s i n g h a r v e s t i n gi n t e n s i t y w h e nh a r v e s t i n gi n t e n s i t ys u r p a s s e sac e r t a i nv a l u e ，b e n e f i t sa r e n o n eo f m e a n i n g t h ec h a o t i cs i n g l e s p e c i e sm o d e lc a nb e c o m em e a s u r a b l eb yf e e d b a c k c o n t r o lt a c t i c sb a s e do nl y a p u n o ve x p o n e n t w ec a nc o n t r o lt h ec h a o t i cm o d e lt oa n y a l l o w a b l ev a l u ei ns h o r tt i m eb yt h i st a c t i c s t h ep a p e ri sd e v o t e dt ot h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so f t w os p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e l w i t hh o l l i n gi i tf u n c t i o n a lr e s p o n s e a c c o r d i n gt ot h ed y n a m i c a ls y s t e m st h e o r y , c o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yo fn o n t r i v i a le q u i l i b r i u mp o i n t sa r eo b t a i n e d t h e b i o l o g i c a li n t e r p r e t a t i o n so ft h e s ec o n d i t i o n sa r ed i s c u s s e d w ea l s od i s c u s s t h e c o n d i t i o n so f n ol i m i tc y c l e u s i n gt h em e t h o do fq u a l i t a t i v ea n a l y s i s ，w es t u d yt h es y s t e mw i t h t h e b e d d i n g t o n d e a n g e l i sf u n c t i o n a lr e s p o n s eo f p r e d a t o rt op r e ya n do b t a i nc o n d i t i o n so f e x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v eb a l a n c ep o i n ta n dt h el i m i tc y c l eb y p o i n c a r e b e n d i x o nt h e o r y t h ec o n d i t i o n so f n ol i m i tc y c l ea l s oa r ed i s c u s s e db yd u l a c f u n c t i o n a tt h es a l t l et i m e ，w ec a r r yo u tp h a s ep o r t r a i t so ft h en u m e r i c a le x a m p l ew i t h m a t l a b ，p r o v i n g t h ec o n c l u s i o nd e d u c e db yt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i s b a s e do nt h ec o n t r o l l a wi nt h i sp a p e r , w ec o n t r o lac l a s so f e c o l o g i c a ls y s t e ma n dg i v es i m u l a t i o n k e yw o r d s ：b i o m a t h e m a t i c s ，b e d d i n g t o n - d e a n g e l i sf u n c t i o n a lr e s p o n s e ，h o l l i n gi i i f u n c t i o n a lr e s p o n s e ，h a r v e s t i n gc o e f f i c i e n t ，l i m i tc y c l e ，c h a o s ，c o n t r o l i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：1 司船、 口i 拜b 月i f 日 指导教师签名：衫易乙， d 6 年5 月修曰 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 碣枣 日期：口6 年易月心日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言 本章概述了单一种群模型和具有功能反应的生态模型的研究背景和研究现 状，阐述了本课题的研究内容，介绍了本课题的构思起点和研究意义。 1 1 本课题的研究背景和现状 目前，人们主要利用两种形式的人口增长模型来研究人口数量状况，一种是 英国经济学家马尔萨斯于1 7 9 8 年提出的指数型人口增长模型： _ - d n ：，( 1 1 1 ) a t 由于该模型没有考虑食物、能源等环境方面的限制，因此该模型不能正确地反映 人口的实际增长情况，已不大被使用；另一种由荷兰生物学家v e r h a u s t 于1 9 3 8 年 提出的以昆虫数量为基础的l o g i s t i c 人口增长模型 1 】： 堕：rn(1一一ndtk ( 1 1 2 ) 具中k 表不饱和种群重，该模型绿合考愿，环境等万向对人口增长所产生的影响， 是一种被广泛使用的比较好的模型。 模型( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 是描述种群在自然环境下增长的规律的模型，这些种群没 有受到人类的开发，如果考虑到人类的捕获，则模型川就是 i d n = n f ( n ) 一 ( 1 1 3 ) 其中h 为常数，是捕获率， 若h 不是常数，而是与n 成比例的量，则有模型 百d n = n f ( n ) 一h n ( 1 1 ，4 ) 1 9 2 6 年，v o l t e r r a 最先提出了由捕食者和食饵所构成的的两种群相互作用的数 学模型，这就是著名的l o t k a - - - v o l t c r r a 模型： j 妄刮r 啪 陲。扩反y o 。1 5 江苏大学硕士学位论文 其中x 为t 时刻的食饵规模，y 为t 时刻捕食者的种群规模，且q ，白，q ，4 是均为具有 生态意义的正常数，b l x y 表示单位时间内被y 个捕食者所吃掉的食饵的数量，从而 6 ，x 表示单位时间内每一个捕食者所吃掉的数量。这种功能性反应被确定与食饵数 量成正比，忽略了消化饱和因素，与实际情况完全不符合。1 9 6 5 年，h o l l i n g 在试 验的基础上对不同的物种，提出了三种不同的功能性反应函数( z ) 分别是： i ( x ) ： i 。 i6 b i i 舭) = 志 i l i 如) = 羔 奠陶形分别帚： y o x 兰口 适用于藻类、细胞等低等生物 x 口 y 适用于无脊椎动物 适用于脊椎动物 y 幽l1h o l l i n gi 型功能性反应图1 2l t o t l i n g1 i 型功能性反应图l _ 3h o l l i n gi i 型功能性反应 f i g 1 ih o l l i n gif i gi 2h o l l i n gi if i g 1 3h o l l i n gi i i f u n e t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n a lr e s p o n s e f u n c t i o n a lr e s p o n s e 事实上，在一些微生物动力学及化学动力学的研究中，当营养集中达到一定程度 时，种群的增长就会出现抑制作用，在微生物用于水分解或水净化时，经常会出现 这种现象。在描述这种抑制作用的研究中，a n d r e w s ，b o o n 和l a n d e l o u t ， e d w a r d s ，y a n g 和h u m p h r e y 等做了大量工作，其中a n d r e w s 给出了h o l l i n g 类 功能性函数( 又称n o n o d - - h a l d a n e 函数) ：( x ) ：_ ；了。 口十o x 十x 一 对于功能反应项i i ，这种模型从生物学的角度讲有其局限性，为此p m a t s o n 和a ，b e r r y m a n 提出了比率相关的功能反应的模型( z ) = l 。又有人在此基础上 口十z 进行了改进提出了b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能反应妒( x ) = 一。 江苏大学硕士学位论文 在现实生活中，人类为了自身生存就开发自然资源，其生物模型为 i d x = a l x - - 6 1 砂 鼍= c i 列- d l y - v 垒=口。z一61拶一“dt 1。 塑a y v 云t = c i x y - d l y 叫 具甲u ，v 是。哥颤或u 是天十x 的函数，v 是关于y 的函数。 这四类功能性反应函数充分考虑了捕食者种群规模的饱和因素。 邓小炎川研究了具有l o g i s t i c 模型的单种群模型： 鲁训( 1 - 旁+ k o ( g 叫 ( 1 “) 其中， o 为内禀增长率，m 为区域内资源允许的单种群最大密度，为区域外种 群密度，岛o 为比例常数。当 o ，模型为： t + l = “一t 2 ( 1 1 7 ) 其中“( 0 ，1 ) ，( 0 ，u ) ( i i ) 当k o r + l 时，t g a = l + r - ，k 。揣( 。) ，模型为： ”一t 2 + 她+ 墨4 丑2 ( 1 1 8 ) 其帆x 笋枷出昙+ 砉，水删。 ( i i i ) 当k o 0 , 0 a 2 ( 1 击k + 志，。 或 淼 出一西砂一西 或 江苏大学硕士学位论文 ( 其中r 是( 五一1 ) 2 + 世 2 + ( 世+ 1 ) 五2 = 3 的解，；2 圭 一1 + i 万j f 了i 雨) ( 1 ) 当。 u 罟时，( 1 1 7 ) 有唯一全局渐近稳定的平衡点，当1 9 x 三时，有 局部渐近稳定平衡点。 ( 2 ) 当一1 五 o 时，存在r ( 五) o ，一1 + i 2 + 3 - - t ，当置( o ，r 时，模型( 1 1 8 ) 有唯一全局渐近稳定的平衡点。当k 【r ，一1 + 车+ 奇有吸引域为 。 x ：o x i 3 时，模型( 1 1 7 ) 有唯一稳定的2 一周期解。 ( 4 ) 当o 兄 2 且 。 k o ，一1 + 万2 + 2 3 - - r 目寸，模型( 1 1 9 ) 有吸引域为 x ：o x 1 + a 一_ ) 的渐近稳定的平 衡点。 ( 5 ) 当一1 + 妄+ 嘉 岸 三+ 砉时，模型( 1 1 8 ) 有唯一稳定的2 一周期解。 ( 6 ) 当一1 + 三+ 嘉 0 时，式( 1 1 1 1 ) 的正平衡位置( 1 ，一a t + 一a 2 + 一a 3 ) 为不稳定 的，并且在其外围存在唯一的极限环。 t z y w e ih w a n gr 2 “研究了具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应系统 伊d x - - x 一面 n ，竭 计“斋习 。 得到当d 石1 扬时，奇点( 1 ，o ) 是全局渐近稳定的a 当d 0 , a 4 - - 采 。 得到对系统( 1 1 1 3 ) ，当 口：一厂( 盯。，码，口。) i 充分小时，有1 ) 若口 o ，则在正平衡点 e ( “+ ，v + ) 附近产生超临界的分支，在占 ，v + ) 附近分支出唯一且不稳定的极限环； 茹 薷 争鲁 江苏大学硕士学位论文 2 ) 若a 0 时奇点为结点，且当丑 0 时奇点和对应的零解均是 不稳定的；当 1 0 江苏大学硕士学位论文 且不在d 内任何子区域中恒为零，则系统( 2 1 1 ) 不存在全部位于d 内的闭轨线与奇 异闭轨线。 2 1 3 判定极限环存在的b e n d i x s o n 环域定理 设有平面自治系统( 2 1 1 ) ，若存在一环域g ，其中不含系统( 2 ，1 1 ) 的奇点，凡 于g 的内、外境界线厶，厶相遇的轨线均正向( 负向) 穿入g 的内部，则g 内至 少存在一个极限环，它们把内境界线厶包含在其内部。若仅存在一个极限环r ， 它必定是稳定( 不稳定) 的。 2 2 混合自适应模糊辨识与控制的设计 221 模型描述及控制问题 考虑如下非线性系统： 侄 = x 2 2 而 = f ( x t 工2 f z 。) + g ( x l ，x 2 。x n ) “= f ( 兰) + g 逸) “ 或等价地 ( 2 2 1 ) p 2 m 如1 ) + g ( 蝣1 ) “5 厂( 曲+ g ( 咖 ( 2 锄 【y2 x 其中，g 是未知的连续函数，墨= ，x ：z 。】= x ，x z ”】7 是可控的和可观测 的。“r 和y r 分别是系统的输入和输出。 系统的控制目标是使对象的输出y ( r ) 跟踪有界参考模型输出儿( f ) ，假设 g ( 力 o 且所有信号有界，则控制系统的设计目标为：利用模糊逻辑系统辨识原不 确定非线性系统，并设计反馈控制系统，使得( 1 ) 当所有变量有界时，即 j i x ( t ) l m ： 。，胆( f ) l f m 。 0 0 ( 旦o ) 见下文) i “- ( o l i m 。 0 0 ，则闭环系统必定 是致稳定的，其中m 。m 。必。为设计者根据性能指标选择的实际参数，( 2 ) 跟 踪误差e = y 。一y 尽可能快地收敛到零，( 3 ) 控制器参数取最优值。 江苏大学硕士学位论文 2 22 模糊辨识 利用局研型模榭j 艺辑糸统( 由中心半均反模糊器，乘积推理规则，单值模糊 产生起以及高斯型隶属函数构成的模糊逻辑系统) 来为原系统中的厂( 点) ，g 瞧) 建模。 m - - y ，i u ne x p ( 一( 兰专堕) ：) 砌旦，) = 之_ 生三! 一 ( 2 。兰 n 。x p ( _ ( 互善) 2 ) 】 。 my - - 。i ne x p ( 一( 王 萼) 2 ) 利旦。) = 号 - 5 ( 2 2 1 6 ) 其中膨，m 。，口，万为设计参数。 定义最小逝似误庄w2 ( 五陧，) 一。( 兰) + g ( 五陧。) - g ( 。) j “c 则( 2 2 1 1 ) 式变形为e = k e + 忍m 件埕喇g ) 一啦) + 蜊致) 一g 叫酲) k 】 将夕( 封旦，) 和言吲曼；) 在和色处进行泰勒展开： 刑即一州爵) = b 一爵) 7 掣+ 啦，一g 利即一幽他甜警+ 啦。咆( 2 ) 令v = w + 羽9 一够j2 ) + 他一- 1 2 弘 ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) f 2 2 1 9 ) f 2 2 2 0 ) ( 2 ，2 2 1 ) 兰查垄堂翌主堂堡垒奎 将( 2 2 1 9 ) ，( 2 2 2 0 ) 代入( 2 2 1 7 ) 得： 肚酗墟卅最鹕勘7 警好妒警) ( 2 z 忽) 定义模型误差g = s ( f ) = 曼。( f ) 一膏。( f ) f 2 2 2 3 1 由( 2 2 1 ) ，( 2 2 5 ) 知： s = 则旦，) _ 他+ 划旦。) 一荆- 。 2 w + 夕雄，) 刊够) + 测) 一划磊珑 好驴警也咆) 7 警酢 ( 2 ：埘) 记坞勘7 警也圳_ 0 2 警唧 ( 2 z ) 令占= w + 脚 从文 3 】中的调节律可以看到参数向量旦，旦。均是由跟踪误差e 来调节的，当 e = o 时，谚= o ，易= 0 ，嚣= o ，= 0 ，幺= o ，即参数向量旦，o - g 即使未取得最优值 也不再被调整。e 加并不意味着g 嚼，乌趣，系统( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 并不能很 好地逼近系统( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 。 调整自适应律将模型误差占引入新的自适应律中 巳的调整： 下文中厂( 墨匣) 和季( 到旦。) 均简写为矿和髫。 当影= 占时，采用 = 否则采用 帆魍j 毒嘲盖 。 眦嘲珈 b 2 2 6 ， 一 m ， 江苏大学硕士学位论文 幺= 嚣， 投影算子 卟川声蝴啪。) 岳】_ 川州驯静善 旦。的调整： 当- - i = a 时，采用 否则采用 投影算子 ( 舢啪。尝叫 y t ( y c + e r 剐芋+ ( y 6 + e t p b 。) 善 溉，静卺“。 o ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) ( 2 2 2 9 ) r 2 2 3 0 ) ( 2 2 3 1 ) f 2 2 3 2 ) 矿一凹 印 西 如 喜( 噶 帆 髑 哆 旧 纠 吣 叫 绷 吩 吩 纠蚓 枷 劲 堕阪至甓 盟 盟 f 酽 + 归 归 堕谚 隧 ，。 防n ，一 m 、 = h 如 加 “ 0 秀堕嘲 魄 哪 旧 矿 归 渺 堕峨 朝 用 旧 采 例，l 吼f 叫 l l 嘭 菅一锡 弛 吓 专( 嗳 峰 旧 糌 一 叱 啦 幽蚓 崎嘴 枷 伽 ， 阢、 5 江苏大学硕士学位论文 其中y ，一，y ：为正数。 删僻法计算掣： 篁塑：兰 彰哆 警= 挈亏警嘭6 ， ( ) 2 掣= 挈- - i 警a 6 ， ( 嘭) 3 其中弓2 耳ne x p h 孚) 2 ) ，6 ， m z ；。 1 - 1 r 2 2 3 3 ) ( 2 ，2 3 4 ) f 2 2 3 5 ) 类似地警也可姚s s h z 2 。s 椰的算法懈只不过用g 来代鼽 224 稳定性分析 令_ ( f ) = 吉彰旦，( ，) = 丢旦：旦；。提出如下稳定定理： 定理：考虑模型( 2 2 1 ) 或( 2 2 2 ) ，其控制器由式( 2 2 7 ) 确定，自适用律式由( 2 2 2 6 ) - - ( 2 ，2 3 2 ) 来确定，如果状态变量有界，则总体控制方案有如下性能： 1 参数有界，即怆，( r ) | j - 3 ，陋。( 0 4 m ；，占，或g 。 2 j i e ( f ) f 如口+ 6 j v ( r ) f 2 d f 。对所有的r o 成立，式中的口，6 为常数v 取( 2 2 2 1 ) 的形式。 3 如果v 平方可积，则有蜊e ( r ) j - 0 。 证明：1 i 巨( f ) i i 勺，如果式( 2 2 2 7 ) 1 黼一行成立，可知当怛，( ，) 8 占、- i f 的总和，。表示所有，= j 的总和，y - 。1 。表示所有霹= 占的总 和。当式( 2 2 2 7 ) 的第一行( 第二行) 成立时，有= o ( 1 ) ，当式( 2 2 2 6 ) 的第一行 ( 第二行) 成立时，有，z = 0 ( 1 ) ，当式( 2 2 3 1 ) 的第一行( 第二行) 成立时，有厶= o ( 1 ) ， 当式( 2 2 ，2 9 ) 的第一行( 第二行) 成立时，有，。= o ( 1 ) ，式( 2 2 3 0 ) 的第一行( 第二 江苏大学硕士学位论文 仃，厩业盯，伺1 52 u ( 1 ) ar 回让明最后血坝非止。 当， = l 时，l i e , ( f ) i l = 吖，且( 弦+ 9 埕) 够t + 历a f _ 0 。 由模型的生物学意义可知一a n t2 + 6 m 0 则0 n t b a 。 参数域根据模型所对应的影射应是m 取值范围到其自身的连续影射确定。因而有 0 1 ，则模型的参数域为：0 n ： b a ，l b 0 。根据不 动点稳定性条件 厂( ) f i 求得0 b 0 。 下面考虑不动点吸引域 注意到 f ( n ) = n 4 ，f ( n ) = n 一州2 + 6 + 洲一6 + 有 l 厂( ) 一n l = i n n + - a n a n + 6 f 由i ( ) 一n j i n - n l ， 推得平衡点n 的吸引域为 ：0 2 现结合模型中n 的取值范围作进一步分析： 注意到模型中n 的取值范围( o ，b a ) ，再结合模型的参数域，从而有 a 当2 b 3 时，吸引域为 n ：0 n 2 a ) b 当1 b 2 时，吸引域为 n ：0 n b a ) ，平衡点是全局渐进稳定的。 综上所述有 定理1 ：当l b 0 时，模型有唯一全局渐进稳定的平衡点。当2 b 3 时，有吸引域为 n ：0 n 2 口) 的渐进稳定的平衡点。 31 2 倍周期分岔现象 倍周期分岔可以理解为随着模型参数取值区间的变化，不动点由一分二，二 分四，四分八的加倍。对于模型( 3 1 2 ) 在其参数域内，当l