（电气工程专业论文）基于复调制细化谱分析的间谐波检测方法研究.pdf

华北电力大学工程硕士学位论文摘要 摘要 由于间谐波的存在，使得单工频周期的快速傅里叶变换无法得到准确的谐波信 息，而延长采样时间又会急剧增加运算量，不利于实时系统实现。为此使用复调制 细化谱分析方法( z o o mf f t ) 方法进行间谐波的检测，该方法通过移频将感兴趣的 频段移动到原点处，然后低通滤波以避免频谱混叠，再进行重采样，可以在感兴趣 的频段内得到较高的频率分辨率，而对于其他频段则使用分辨率较低的算法，从而 在不显著增加计算量的情况下提高谐波测量的精度。仿真结果表明，当有间谐波存 在时该算法仍然可以取得较高的精度，有利于在电力系统中实现间谐波的实时测 量。 关键词：谐波分析，间谐波，z o o mf f t ，电能质量 a b s t r a c t t h ei m p r o v i n gt h eq u a l i t yo fp o w e rs u p p l ya n de c o n o m i c a lo p e r a t i o no fp o w e r s y s t e md e p e n d so nt h ea c c u r a t ea n dr e a l t i m ed e t e c t i o no fh a m o n i cv o l t a g e b u tt h e e x i s t i n go fi n t e rh a r m o n i cm a k et h ed e t e c t i o no fh a r m o n i cb e c o m ed i 衔c u l t y i n t e r h a r m o n i ci sak i n do fh a m o n i cw h i c hi sn o ta ni n t e g e ro ft h ef u n d a m e n t a lf r e q u e n c y c o m p o n e n t n o tl i k eh a r m o n i c ，t h ei n t e rh a r m o n i cc a n tb em e a s u r e da c c u r a t e l yb ys i n g l e p e r i o df a s tf o u r i e rt r a n s f o 咖i no r d e rt og e tt h ea c c u r a t es p e c t r u mo fv o l t a g et h es a m p l e t i m em u s te x t e n d e d e x t e n s i o ns 锄p l i n gt i m ew i l lc a u s es i g n i n c a n ti n c r e a s i n go f c a l c u l a t i o n t h i sm a k e sv e r yb i gd i f n c u l t yt ot h er e a l - t i m ep o w e rq u a l i t ym o n i t o r i n g s y s t e m t h ez o o mf f tm e t h o dc a ns l a k et h i sd e t e c t w h e nt h ez o o mf f ti si m p l e m e n t ， t h ei n t e r e s t i n gf r e q u e n c yb a n di sm o v e dt ot h ez e r ob yc o m p l e xm u l t i p l i c a t i o n ，al o w p a s sf i l t e ri su s e dt oa v o i dt h es p e c t r u ml e a k ，t h ef i l t e r e dd a t ai sr e s a m p l ea n dg e tas h o r t s a m p l e s b yt h i sw a y t h ez o o mf f tm e t h o dc a ng e tt h eh i g hf r e q u e n c yr e s o l u t i o ni nt h e i n t e r e s t i n gf r e q u e n c yb a n da n dl o wf r e q u e n c yr e s o l u t i o ni nt h eo t h e rf r e q u e n c yb a n d t h r o u g ht h i sm e t h o d sc a ne n h a n c et h ea c c u r a t eo fh a r m o n i cm e a s u r e m e n tw i t h o u tl a r g e i n c r e a s i n go fc a l c u l a t i o n i no r d e rt ot e s tt h i sm e t h o dt h em a t l a bi su s e dt os i m u l a t i o nt h e i n t e rh a r m o n i co fp o w e rs y s t e m ，t h ef f ta n dz o o mf f ti si m p l e m e n ta tt h es a m et i m e t od e t e c tt h e s ei n t e rh a r m o n i c t h es i m u l a t i o np r o v et h ez o o mf f tm e t h o dc a nd e t e c t t b ei n t e rh a r m o n i ca c c u r a t e l i ux i a n r u i ( p o w e rs y s t e ma n di t sa u t o m a t i o n ) d i r e c t e db yp r o f y a nx i a n g w u k e yw o r d s ：h a r m o n i ca n a l y s i s ，i n t e rh a r m o n i c ，z o o mf f t ，p o w e rq u a i i t y 华北电力大学工程硕士学位论文摘要 摘要 由于间谐波的存在，使得单工频周期的快速傅里叶变换无法得到准确的谐波信 息，而延长采样时间又会急剧增加运算量，不利于实时系统实现。为此使用复调制 细化谱分析方法( z o o mf f t ) 方法进行间谐波的检测，该方法通过移频将感兴趣的 频段移动到原点处，然后低通滤波以避免频谱混叠，再进行重采样，可以在感兴趣 的频段内得到较高的频率分辨率，而对于其他频段则使用分辨率较低的算法，从而 在不显著增加计算量的情况下提高谐波测量的精度。仿真结果表明，当有间谐波存 在时该算法仍然可以取得较高的精度，有利于在电力系统中实现间谐波的实时测 量。 关键词：谐波分析，间谐波，z o o mf f t ，电能质量 a b s t r a c t t h ei m p r o v i n gt h eq u a l i t yo fp o w e rs u p p l ya n de c o n o m i c a lo p e r a t i o no fp o w e r s y s t e md e p e n d so nt h ea c c u r a t ea n dr e a l t i m ed e t e c t i o no fh a m o n i cv o l t a g e b u tt h e e x i s t i n go fi n t e r h a r m o n i cm a k et h ed e t e c t i o no fh a r m o n i cb e c o m ed i 衔c u l t y i n t e r h a r m o n i ci sak i n do fh a m o n i cw h i c hi sn o ta ni n t e g e ro ft h ef u n d a m e n t a lf r e q u e n c y c o m p o n e n t n o tl i k eh a r m o n i c ，t h ei n t e rh a r m o n i c c a n tb em e a s u r e da c c u r a t e l yb ys i n g l e p e r i o df a s tf o u r i e rt r a n s f o 咖i no r d e r t og e tt h ea c c u r a t es p e c t r u mo fv o l t a g et h es a m p l e t i m em u s te x t e n d e d e x t e n s i o ns 锄p l i n gt i m ew i l lc a u s es i g n i n c a n ti n c r e a s i n go f c a l c u l a t i o n t h i sm a k e sv e r yb i gd i f n c u l t yt ot h er e a l - t i m ep o w e rq u a l i t ym o n i t o r i n g s y s t e m t h ez o o mf f tm e t h o dc a ns l a k et h i sd e t e c t w h e nt h ez o o mf f ti si m p l e m e n t ， t h ei n t e r e s t i n gf r e q u e n c yb a n di sm o v e dt ot h ez e r ob yc o m p l e xm u l t i p l i c a t i o n ，al o w p a s sf i l t e ri su s e dt oa v o i dt h es p e c t r u ml e a k ，t h ef i l t e r e dd a t ai sr e s a m p l ea n dg e tas h o r t s a m p l e s b yt h i sw a y t h ez o o mf f tm e t h o dc a ng e tt h eh i g hf r e q u e n c yr e s o l u t i o ni nt h e i n t e r e s t i n gf r e q u e n c yb a n da n dl o wf r e q u e n c yr e s o l u t i o ni nt h eo t h e rf r e q u e n c yb a n d t h r o u g ht h i sm e t h o d sc a ne n h a n c et h ea c c u r a t eo fh a r m o n i cm e a s u r e m e n tw i t h o u tl a r g e i n c r e a s i n go fc a l c u l a t i o n i no r d e rt ot e s tt h i sm e t h o dt h em a t l a bi su s e dt os i m u l a t i o nt h e i n t e rh a r m o n i co fp o w e rs y s t e m ，t h ef f ta n dz o o mf f ti si m p l e m e n ta tt h es a m et i m e t od e t e c tt h e s ei n t e rh a r m o n i c t h es i m u l a t i o np r o v et h ez o o mf f tm e t h o dc a nd e t e c t t b ei n t e rh a r n l o n i ca c c u r a t e l i ux i a n r u i ( p o w e r s y s t e ma n di t sa u t o m a t i o n ) d i r e c t e db yp r o f y a nx i a n g w u k e yw o r d s ：h a r m o n i ca n a l y s i s ，i n t e rh a r m o n i c ，z o o mf f t ，p o w e rq u a i i t y 声明户明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于复调制细化谱分析的间谐波检测 方法研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 华北电力人学j ：程硕+ 学位论文 1 1 问题的提出 第一章绪论 电能作为一种经济、清洁、容易控制和转换的能源在现代社会得到了广泛的应 用，随着科学技术的发展和国民经济的增长，人类社会对电能的需求日益增加，高 质量的电能对于保障工农业生产和居民正常生活有着重要的意义。 随着电力电子技术的广泛应用与发展，供电系统中增加了大量的非线性负载， 特别是静止变流器：从低压小容量家用电器到高压大容量的工业用交直流变换装 置，由于静止变流器是以开关方式工作的，会引起电网电流、电压波形发生畸变， 引起电网的谐波“污染 。另外，冲击性、波动性负荷，如电弧炉、大型轧钢机、 电力机车等运行中不仅会产生大量的高次谐波，而且使得电压波动、闪变、三相不 平衡只趋严重，这些对电网的不利影响使电气设备寿命缩短，网损加大，增加了电 网发生谐波谐振的可能性，使继电保护和自动装置不能正常动作或者误动，导致仪 表指示和电度计量不准以及计算机和通信受干扰等一系列重要问题。而伴随工业规 模的扩大和科学技术的进步，新工艺、新技术应用于工业生产的各个领域，越来越 多的用户采用了性能好、效率高但对电源特性变化敏感或者会对供电系统注入干扰 的新设备，其结果从工业用电开始逐渐到全供电系统，电能质量低劣产生的危害逐 步显示出来，据国际会议报告介绍：目前，在美国，由于电能质量下降，每年所引 起的损失达1 3 3 亿美元，劣质电能带来的巨大损失使的人们对其关心程度不断加强。 有关电能质量问题的研究已引起了各国电力工作者的高度重视。 为了适应电力市场发展，我国于1 9 9 5 年通过了电力法，并于1 9 9 6 年4 月1 日起实施。电力法规定：“供电企业应当保证供给用户的供电质量符合国家标准 ( 第二十八条) ，“上网电价实行同网同质同价( 第三十七条) 。国家技术监督局先 后颁布了六项电能质量相关标准，分别是：电能质量供电电压允许偏差g b t 1 2 3 2 5 2 0 0 3 、电能质量电压波动和闪变g b1 2 3 2 6 2 0 0 0 、电能质量公用电网 谐波g b t1 4 5 4 9 1 9 9 3 、电能质量三相电压允许不平衡度g b t1 5 5 4 3 1 9 9 5 、 电能质量电力系统频率允许偏差g b t1 5 9 4 5 1 9 9 5 电能质量暂时过电压和 瞬态过电压g b t1 8 4 8 1 2 0 0 1 。这些电能质量标准分别从发电、供电、用电端对电 能质量提出了要求，这些标准的发柿无疑为提高我国的电能质量水平起到了促进作 用。 电力系统中各种扰动引起的电能质量问题主要可分为稳态和暂态两大类，间谐 华北电力人学i ：科硕十学何论文 波问题就属于稳态电能质量问题的范畴。随着电力电子元件等非线性设备在电力系 统中的广泛应用，由此而产生的间谐波对电网的污染也越来越严重。此问题已引起 广泛关注。谐波一般指频率为工频整数倍的成分。而对非整数倍基波频率的成分则 称之为间谐波。间谐波及其影响广泛存在于电力系统中，这些间谐波的存在会导致 现有谐波补偿装置失效，甚至损害。 1 2 间谐波的基本概念 “谐波 一词来源于声学，国际公认的谐波定义为：“谐波是一个周期电气量 的正弦波分量，其频率为基波频率的整数倍。电力系统谐波的定义是对周期性非正 弦电量进行傅立叶级数分解，除了得到与电网基波频率相同的分量，还得到一系列 大于电网基波频率的分量，这部分电量称为谐波。谐波频率与基波频率的比值称为 谐波次数。实际电网中有时也存在一些频率不是基波频率整数倍的正弦分量，称为 分数次谐波或间谐波，低于工频的问谐波称为次谐波。 1 2 1 间谐波的产生【卜6 】 电力系统中的间谐波源主要包括以下几种。 1 电弧炉 电弧炉是利用电弧能来冶炼金属的一种电炉，目前的应用非常广泛。电弧炉冶 炼基本分为两个阶段，熔化期和精炼期，熔化期由于存在大量固体未熔物，炉子状 态不稳定，这时电流波形不规律，谐波含量大，含有大量丰富间隙波并伴随电压波 动和闪变。 2 轧钢机 由循环变流器供电的同步轧钢电动机工作时会产生大量的间谐波，主要原因是 循环变流器的电流幅值和相位均被调制。因为电机转速可调，要求电流、电压和频 率变化( 基速下) ，或电压不变、频率变化( 基速以上) 。触发角不断变化，触发时对应 的周期也变化，因此谐波中除了谐波外每个谐波旁有一系列的旁频谐波。间谐波是 循环变流器供电时的特有现象。问谐波频谱宽度与电机的转速有关，即和供电频率 有关。电机转速越高，供电电流的频率越高，间谐波频带越宽。间谐波频带宽度可 以用间谐波系数k 来表示，电动机转速越高，k 值就越大。在电机基速以上运行时， 各次谐波附近间谐波的频带几乎连成一片。 3 感应电机 应电动机的定子和转子中的线槽会由于铁心饱和而产生不规则的磁化电流，从 2 华北电力人学丁程硕十学位论文 而在低压电网中产生间谐波。在电机j 下常转速下，其干扰频率在5 0 0 h z 2 0 0 0 h z 范 围内，但电机起动时干扰频率范围更宽。这种电动机当装在较长( 1 k m ) 低压架空线 末端时会使电网受到干扰，间谐波电压可以达到1 。 1 2 2 间谐波的危害 虽然谐波电压或电流的幅值很小，一般不会对系统或设备造成直接破坏，但间 谐波会在变压器电抗和电容器组间激励起难以预料的谐振，另外，在使用无源滤波 器的场合也会经常出现间谐波严重放大的情况，同样会危及设备的安全运行。频率 高于基波频率的问谐波会干扰音频设备正常工作，会对电动机噪声和振动影响很 大。气隙磁通和转子电流因间谐波而相互作用产生的力可分解成多频分量。若力的 分量频率与电动机定子的固有频率很接近且在“圆周振型 阶数上耦合较深，就会 产生强的噪声和振动；频率低于基波频率的问谐波会引起电压闪变，只要间谐波频 率接近谐波或是基波频率，闪变就会发生。 研究证明，间谐波电压必须限制到足够低的水平： ( 1 ) 2 5 h z 以下间谐波应限制到o 2 以下，以免引起灯光闪烁( 闪变) ； ( 2 ) 对于音频脉冲控制的接收机，间谐波电压应限制到o 3 以下，否则会被干 扰； ( 3 ) 2 5 k h z 以下的间谐波电压应不超过0 5 ，否则会干扰电视机，且引起感应 式电动机噪声和振动以及低频继电器的异常运行； ( 4 ) 2 5 5 k h z 的间谐波电压如超过o 3 ，则会引起无线电收音机或其它音频设 备的噪声； 鉴于以上研究结果，i e c 6 l 0 0 0 3 6 中建议将间谐波电压水平限制到0 2 以下。 1 3 研究现状 目前常用的谐波与间谐波检测多采用各种变换方法( 傅立叶变换、短时傅立叶变 换、小波变换、正交变换) 和人工智能方法等。 傅立叶变换( f o u r i e ft r a n s f o 眦) 由法国著名数学家傅里叶于1 8 2 2 年提出。基于 傅立叶变换( f o u r i e r ) 的谐波测量是当今应用最多也是最广泛的一种方法【7 02 1 。它已由 离散傅立叶变换( d f t ) 过渡到快速傅立叶变换( f f t ) 。当信号频率和采样频率不一致 时，使用该方法会产生频谱泄漏效应和栅栏效应，使计算出的信号参数( 即频率、幅 值和相位) 不准确，尤其是相位的误差很大，无法满足测量精度的要求，因此必须对 算法进行改进以减少频谱泄漏，主要方法有利用加窗插值算法对快速傅立叶算法进 3 华北电力人学jj ：科硕十学位论文 行修正( 又称窗口傅立叶变换或短时傅立叶变换) 、利用锁相电路( p l l ) 使信号频率与 采样频率同步、修正采样点法以及频谱细化技术如c z t 和z o o mf f t 。 小波( w a v e l e tt r a n s f o m ) 变换是一种十分有效的时频分析工具，最早由h a a r 于1 9 1 0 年提出，已是数学中一个迅速发展的新领域。它采用的是不同尺度的分析 方法，在信号的不同部位得到最佳的时域分辨率和频域分辨率，为非平稳信号的分 析提供了一条新的途径。小波空间的分解应用于信号处理领域可实现信号在各频带 上的分离。小波变换与f o u r i e r 变换、窗口f o 嘶e r 变换( g a b o r 变换) 相比，它是一个 时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算 功能对函数或信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，它克服了f o u r i c r 变换 在频域完全局部化而在时域完全无局部性的缺点。小波变换在数学领域本身的许多 学科、信号分析、图像处理、量子力学、电子对抗、计算机识别、数据压缩、c t 成像、地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、机械故障诊断、大气 与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学方面都已取得了具有科学意义 和应用价值的重要成果。近年来，已有文献介绍应用小波变换方法进行电能质量评 估、电磁暂态波形分析和电力系统扰动建模等电能质量问题的研究【1 3 05 1 。常用的小 波基函数有d a u b e c h i e s 小波、b 样条小波、m o r l e t 小波和m e v e r 小波等；常用的算 法有m a l l a t 在多分辨分析( m r a ) 基础上提出的塔式快速小波算法一一m a l l a t 算法。 目前用小波变换方法进行电能质量扰动检测主要分为连续小波变换和多分辨率分 析两类，连续小波变换的缺点是计算量大，存在较大冗余；而多分辨率分析的方法 由于进行了二抽取，难以直接根据变换结果进行检测，需要重构信号。 二次变换( q u a d r a t i ct r a n s f o n n ) 是一种基于能量角度来考虑的时域变换方法。信 号的能量函数可分别用时间和频率的函数来表示，同时信号的能量函数必须能用基 于时间和频率的能量密度函数来表示。也就是说，信号的能量分布是时间和频率的 双线性函数，它构成了时域二次变换的基础。二次变换不仅可以准确地测量基波和 谐波分量的幅值，而且能够准确地检测到信号发生尖锐变化的时刻。其不足之处是 无法准确地估计原始信号的谐波分量幅值，以及不具有时域分析功能。 p r o o n y a n a l y s i s 的思想类似于小波【1 6 ，1 7 1 。该方法认为信号总是可以由一系列的 衰减正弦波构成。这些衰减正弦波类似于小波函数( 但不满足容许性条件，所以不 能构成小波函数) 。这种分析方法和小波一样，可以做多尺度的信号分析，用来做 电力系统的数据分析十分有用。它的缺陷就是计算时间太长，以至于不可能在实时 系统中应用，但用来做离线的数据分析确实是相当好的一个工具。 正交变换是数学变换中最常用的一种变换，日本学者h a k a 西等基于正交变换， 于1 9 8 4 年提出了瞬时功率理论，瞬时功率理论的基本思想是将电流分解成互相垂 4 华北电力人学i ：程硕十学位论文 直的两个分量，一个与电压波形相同、相位一致，称为瞬时有功电流，另一个则称 为瞬时无功电流。这种方法在检测瞬时谐波电流、瞬时无功电流方面特别有效，不 足之处是不能检测各次谐波的瞬时谐波电流，只能检测瞬时总谐波电流【l 引。 神经网络，又称为人工神经网络，它和后面提到的模糊逻辑、专家系统、遗传 算法一样，都属于人工智能方法。神经网络的基本思想是模拟动物神经细胞群学习 特性的结构和功能而构成的一种信息处理系统或计算机系统。神经网络首先由1 9 4 3 年心理学家w s m c c u l l o c h 和数学家w a p i t t s 提出。在理论上，神经网络具有对任 意连续函数的逼近能力、学习能力。神经网络已广泛应用于许多重要领域，如模式 识别、信号与图象处理、控制与优化、预测与管理、通信等。它在电力系统中的应 用也非常深入，其内容涉及到负荷预测、故障诊断、动态和静态安全评价，机组组 合和优化调度以及谐波检测与预测等诸多方面。理论分析表明，一个由三层神经元 构成的前馈网络可以形成任意复杂的判决区域，即使模式空间的分布出现内齿合状 情况，网络也能对模式集进行正确分类。误差反向传播神经网络模型理论上可以映 射任意复杂的非线性关系。正因为如此，神经网络在电能质量的谐波测量、扰动类 型识别中得到了较好的应用【1 3 ，1 9 之1 1 。但是其也有许多缺点，a n n 再使用之前需要 大量的有代表性的样本供其学习，如何寻找到这样的样本是个问题，而且其学习算 法一般收敛速度较慢，学习完成之后，如果系统结构发生改变，则需要增加新的样 本重新学习，并且a n n 缺乏解释自身行为和输出结果的能力。 支持向量机由于其出色的学习性能，已成为国际上机器学习领域的研究热点。 目前在手写数字识别、文本分类、人脸检测等模式识别问题以及函数逼近、信息融 合等领域获得了应用，在电力系统的负荷预测、故障诊断、电压稳定以及谐波检测 等领域也有了成功的应用【2 2 1 。 1 4 本文的主要工作 由前面的分析可知，间谐波是一种不容忽视的电能质量扰动，对其进行准确和 快速的测量治理间谐波问题的前提条件。目前常用的间谐波检测算法虽然在精度上 可以满足要求，但是运算量过大，不利于间谐波的实时在线检测，因此有待于进一 步研究。本文准备对间谐波检测方法进行深入研究，根据现代电能质量检测的需要， 提出一种比较合理的间谐波检测算法，并利用虚拟仪器技术实现间谐波的实时检 测。本文的主要工作如下： 1 本文对f f t 方法进行详细的分析，指出了其在分析间谐波时的局限性，并 在此基础上提出使用复调制细化谱分析( z f f t ) 的方法进行间谐波分析，该方法在 满足精度的要求前提下提高了间谐波检测的实时性。 s 华北电力人学+ i ：程硕十学位论文 2 为了验证z f f t 方法的下确性，本文使用m a t l a b 软件对论文所提的算法进行 仿真，对所提算法进行验证。 3 与传统仪器相比，虚拟仪器具有许多优点，本文利用虚拟仪器技术对论文所 提的算法进行编程，实现问谐波的实时测量，并进行实验研究，验证算法是否正确。 6 华北电力人学+ i ：释硕士学位论文 2 1 傅里叶变换 第二章基于f f t 的谐波检测方法 傅立叶变换定义了频率的概念，采用它可以分析信号能量在各个频域成分中的 分布。输入信号( f ) r ( 印( 其中t 为复平面的单位圆) 则r ( d 等价于以2 万为周 期的平方可积函数，此时有傅立叶展开 厂( f ) = ge x p ( 洳) 其中g = 去f ( 缈) e x p ( f 研) d 缈为厂的傅立叶系数，如果厂( f ) r ( d ( r 为实 轴) 则 巴 ( f ) = l f ( 缈) e ) 【p ( f 研) d 国 其中f ( 国) = 去厂( f ) e x p ( 泐) 出为厂( f ) 的傅立叶系数，傅立叶变换就是根据这 两种展开式通过g 和f ( 缈) 研影( f ) 的性质。 傅立叶分析得到广泛的应用是因为它具有三大优点：一是e x p ( 洳) 是r ( 丁) 的一 组正交基，而q 是厂这组正交基上的“坐标”，g 的大小在r 内完全刻画了厂的特 征，且( f ) r ( 丁) 营i q l 2 ，这与信号厂具有有限能量的性质相一致；二是使许 多在时域内难以看清的问题在频域内一目了然；三是导数运算在g 和，( 缈) 中变成 了乘子运算，微分运算在频域中变成了傅氏变换算子的代数运算，从而简化了信号 分析。 对于连续时间信号x ( t ) 进行d f t 分析，首先要对x ( t ) 进行抽样，往往采用图2 - l 所示系统。 抽样脉冲 图2 1f f t 分析信号流程图 抽样可以等效成为以下三步： ( 1 ) 用时间矩形窗截取一段得到而( f ) 7 华北电力人学j f ：科硕+ 学位论文 ( f ) = x ( f ) 宰缈( f ) ( 2 一1 ) 式中国( f ) = ：嚣 一l ( 2 ) 用冲激信号岛( f ) = 万。一咒r ) 在t = o t 。段对x ( f ) 进行抽样，得时间抽样信号 n = o ，一l x ，( t ) = _ ( f ) 万( f 一刀t ) 刀= o ( 2 2 ) 式中t ，为抽样时间间隔，抽样点数为n = t 。t ， ( 3 ) 对时间抽样信号x ，( t ) 进行量化得到序列x ( n ) ，如果量化是无限精度的，则 可以认为 x ( n ) = x ( 靠瓦) 一，( t ) 时间抽样信号x ，( t ) 的傅立叶变换为 x 。( q ) 2 ，二t ( f 弦一皿出 ( 2 3 ) 把式( 3 2 ) 代入上式得 x ，( q ) = ，：芝z 。o ) 万。一刀z 弦一皿衍 n = o ： = 芝而( f 弦一励万。一万c ) 班 一l 2 x l ( ，z z ) p 帕瓦 = 0 由于抽样信号拉氏变换每一个周期与整个z 平面成映射关系，有 x ( z ) _ ，x ，( s ) 2 参塾( 卜加 由此式可得 x ，( q ) 2 軎x 。( q 一朋q ，) j = ( 2 4 ) ( 2 5 ) 即冲击抽样信号的频谱x ，( q ) ，是其相应模拟信号x 。( t ) 的频谱以q ，为周期的周 期延拓，只是幅度为原来的1 t ，这样，由式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 得到 华北电力人学l ：程硕十学位论文 x ，( q ) 2 軎x 。( q 一，z q ，) = _ ( 以c 弦偷 ( 2 6 ) 1 ) ，一l 工j 埘= 一h = o 由奈奎斯特取样定理知道，当q ，大于两倍x ，( q ) 最高频率分量q 。时，x ，( q ) 重复地再现了x 。( q ) ，( 幅度为其1 t ，) 。因此，在q ，大于两倍q 。情况下，截取 x ，( q ) 一个周期( 。正) ，并对其进行n 点抽样，抽样间隔石= 嘉，厂= 锐，这 样，式( 2 6 ) 成为 由于 所以 1 一l 墨( 瓴) = 軎x ，( 顿) = 而伽c ) e 2 确“瓦 ( 2 7 ) 上， 糟= 0 ；正= 务正= 专 以( 顿) = 丢彳。( 奶) = 篓而( ，z c ) p 。努赫 2 窟 设x ( n ) = t ( ，l 疋) ，w = p 万则 1 一l t ( 锐) = 軎x ，( 研) = x ( ，z ) 略= x ( 后) ( 2 8 ) 工s 片嚣o 式( 2 7 ) 就是著名的傅立叶变换公式。式( 2 8 ) 表明，当满足q ，2 q 。条件时， 抽样信号的傅立叶变换值是截取的有限长时间信号x 。( f ) 的连续傅立叶变换五( q ) 的 抽样，在幅度上为其专，即 x ( 尼) = 毒x l ( 瓴) 七= 。一l ( 2 9 ) 更一般的结论，由式( 2 6 ) 、式( 2 7 ) 得到 以( 蜕) = 工( 后) 即( 假定抽样与计算都是无限精度) 抽样信号离散傅立叶变换值x ( 后) 等于抽样信号 连续傅立叶变换抽样。 确定性连续时间信号分两大类： 华北电力人学i ：群硕十学位论文 第一类：信号x ( t ) 在时间上有限，由傅立叶变换知道，其频谱x ( q ) 宽度无限。 第二类，信号x ( t ) 在时间上无限，其频谱x ( q ) 宽度有限。 我们分析的是周期信号，因此仅对后者的情况加以分析： 已经知道，当抽样频率q ，2 q 。使( 3 8 ) 成立，即 x 。( 奶) = e x ( j i ) ( 2 1 0 ) 那么，截短信号频谱墨( q ) 与原时间信号x ( t ) 的频谱x ( q ) 之间关系如何呢? 由 公式( 3 1 ) 知道 而( f ) = x ( f 砂( f ) 根据傅立叶变换性质有 五( q ) = x ( q ) 宰形( q ) ( 2 一1 1 ) 式中，矿( q ) 为矩形窗缈( f ) 的频谱 由式( 2 1 0 ) 、式( 2 1 1 ) 得到 x 。( 蜕) = x ( 锐) 木( 奶) = e x ( 七) 因此瓦x ( 尼) 只能是x ( 顽) 的近似分析，近似程度取决于窗函数的性质，即 形( q ) 。 2 2 用傅立叶算法进行谱分析 满足d i r i c h l e t 条件的函数x ( t ) ，在 0 ，t 区间上可用f o u r i e r 级数表示： 其中 x ( f ) = 4 口。了 2 船 ( 2 一1 2 ) 砧；扣滓班咆e m 咆c o s 丸一弘冲丸弘一以( 2 - 1 3 ) a 。为k 次谐波复振幅，一。为其相位。 谱分析就是求出各次谐波对应的彳t ，设f 为很小的时间间隔，t = n 缸，x ( t ) 在 f 。= n 缸的时候采样值为x 。，用各个x 。代替( 2 1 3 ) 式中的x ( t ) ，即用求和代替积分 时，就得到了现有的频谱分析方法d f t ，其计算爿。的公式为： 么胛：专艺( p 吖! 笋础& ) ：吉艺e 伪孑 ( 2 一1 4 ) 将被采样信号用一个周期性的函数来表示，即 l o 华北电力人学l ：程硕十学位论文 x ( f ) = 工o + 幻) 式中：t 为周期函数的周期，k = 0 ，1 ，2 ，3 ，。 满足狄罩贺利条件，则被分解为： x ( f ) = ( 口女c o s 慨h 钆s i n 慨f ) ( 2 1 5 ) 其中，k = l ，2 ，3 ，o 上式亦可写成： x o ) = 厶+ 4c o s ( 缈l f + 伊i ) + 彳2c o s ( 国2 f + 伊2 ) + + 以c o s ( 缈。f + 纯) + + 玩+ 蜀s i n ( 缈l f + 妒1 ) + b 2s 砒缈2 f + 缈2 ) + + 色s i n ( 国。f + 妒。) + ( 2 1 6 ) a 为直流分量； 4 = 吼2 + 玩2 ( 2 一1 7 ) 口t = 4c o s 吼 ( 2 1 8 ) 以= 一彳ts i i l 缈t ( 2 1 9 ) 辔仇= 尘 ( 2 2 0 ) 口七 彳，c o s ( 缈。f + 缈。) 为基波向量，其他各项为谐波向量，从而可以方便地求出基波及 各次谐波的幅值相角。 ： 2 3 快速傅里叶变换( f f t ) 直接进行傅里叶分解的话运算量过大，不利于算法的实现，因此制约了傅里叶 变换的应用，快速傅里叶变换的出现极大的减少了进行傅里叶变换时的运算量，使 傅里叶变换在现代信号处理领域获得了广泛的应用。下面分别介绍一下两种常见的 快速傅里叶算法。 2 3 1 按时间抽取( d i t ) 的f t t 为了将大点数的d f t 分解为小点数的d f t 运算，要求序列的长度n 为复 合数，最常用的是= 2 m 的情况( m 为正整数) 。该情况下的变换称为基2 f f t 。下 面讨论基2 情况的算法。 先将序列x ( n ) 按奇偶项分解为两组 黪笔善例 ，学一 2 ， 【x ( 2 厂+ 1 ) = x 2 ( ，) 2 将d f t 运算也相应分为两组 l l 华北电力大学1 ：程硕十学位论文 一l x ( 七) = 肼玎石( 刀) - x ( 圳咿 h = 0 v 一1 ，一l = x ( 刚毋+ x ( 刚咿 一= 0 n = 0 为偶数n 为奇数 = x ( 2 ，) 嚼睹+ z ( 2 ，+ 1 ) 孵h 1 r = 0r = o 2 一l2 一l = 五( ，) 呒睹+ 噼工：( ，) 蝶砖 ，2 一l j v 2 一l = 工。( ，) 啼：+ 蝶x ：( ，) 嘲：( 因为蝶砖= 略：) r = o，= 0 = x l ( 七) + z x 2 ( 七) 其中墨( 后) 、x 2 ( 后) 分别是x 。0 ) 、x 2 伽) 的n 2 点的d f t ，2 一1v 2 一l ， x 。( 尼) = 五( ，) 略2 = x ( 2 ，) 略2 ，os 后s 詈一l ，= o，= o 二 v ，2 一l，2 一ll ， x 2 ( 七) = x 2 ( ，) 略2 = x ( 2 ，+ 1 ) 略：，o 后等一1 至此，一个n 点d f t 被分解为两个n 2 点的d f t 。 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) x l ( 七) 和x 2 ( 后) 只有n 2 个点( 尼：o ，1 ，冬一1 ) ，则由x ( 尼) ：石l ( 七) + 噼五( 后) 只 能求出x ( 七) 的前n 2 个点的d f t ，要求出全部n 点的x ( 尼) ，需要找出x 。( 七) 、x ：( 尼) 和x ( 后+ 2 ) 的关系，其中七：o ，1 ，冬一1 。由式子x ( 七) ：彳。( 后) + 嘴五( 露) 可得 x ( 后+ 2 ) = 墨( 后十2 ) + 蝶+ 他五( 后+ 2 ) 化简得 x ( 七+ 2 ) = ：x l ( 七) 一孵z 2 ( 七) ，后：o ，1 ，要一1 ( 2 2 5 ) 这样n 点d f t 可全部由下式确定出来： 雠譬苫臻篇硼一，譬。2 6 ，i 工( 后+ 2 ) = x l ( 后) 一蝶x 2 ( 后) 2 上式可用一个专用的碟形符号来表示，这个符号对应一次复乘和两次复加运 笪。 b 口+ 孵6 口一孵6 图2 2 蝶形运算符号 1 2 华北电力人学i ：程硕+ 学位论文 通过这样的分解以后，每一个n 2 点的。f t 只需要( 譬) 2 = 等次复数乘法， 两个n 2 点的。f t 需要2 ( 鲁) 2 = 等次复乘，再加上将两个n 2 点。f t 合并成为 n 点。f t 时有n 2 次与w 因子相乘，一共需要等+ 譬等次复乘。可见，通 过这样的分解，运算量节省了近一半。 因为= 2 肘，n 2 仍然是偶数，因此可以对两个n 2 点的d f t 再分别作进一步 的分解，将两个n 2 点的d f t 分解成两个n 4 点的d f t 。 例如对x 。( ，) ，可以在按其偶数部分及奇数部分进行分解： 雠竺竺 ，鲁一t 协2 6 ， h ( 2 ，+ 1 ) = ( ，) 一7 4 则的运算可相应分为两组： 彳。( 七) = x 。( 2 ，) 昭恐+ 工。( 2 ，+ 1 ) 嘴少 ，= o，= o ，4 一l4 一l = 而( ，) 嘴。+ 孵，：x 。( ，) 嘴。 ( 2 2 7 ) ，= of = o 厂 = x 3 ( 尼) + 矽名2 x 4 ( 尼)尼= o ，l ，等一1 将系数统一为以n 为周期，即噼，：= 蝶，可得 j 五( 后) = 置( 后) + 睇置( 七) 七：o ，1 ，一，盟一1 ( 2 2 8 ) 【x l ( 尼+ 4 ) = x 3 ( 尼) 一嚼x 4 ( 后) ”4 同样，对墨( 后) 也可进行类似的分解。一直分解下去，最后是2 点的d f t ，2 点d f t 的运算也可用碟形符号来表示。这样，对于一个= 2 3 = 8 的d f t 运算，其 按时间抽取的分解过程及完整流图如下图所示。 唧 x 【1 l 【2 j 1 3 l x 1 5 l 【6 l x 【7 j 8 点d f t 1 0 l 【1 l 【2 l 1 3 l 【4