（电磁场与微波技术专业论文）基于daubechies小波的mrtd在电磁散射及辐射中的研究.pdf

哈尔滨- | 程人学硕十学付论文 摘要 由于计算机技术的飞速进步和工程中不断出现的电磁问题，使得用来计 算电磁场的数值方法也在蓬勃发展。1 9 6 6 年由y e e 提出的时域有限差分法 ( f d t d ) 是目前使用最为广泛的数值计算方法之一，提高计算效率，降低 网格密度并保持适当的精度是其追求的主要目标。1 9 9 6 年，k r u m p h o l z 和 k a t e c h i 首次提出时域多分辨分析法( m m ) ，它通过降低网格点密度，在 f d t d 基础上可以大大地节省计算机的c p u 时间和内存量。 本论文的研究内容主要是围绕m r t d 展开的。首先通过介绍多分辨分析 ( m r a ) 和f d t d 来引出m r t d 的基本理论以及一些关键技术，以基于h a a r 小波函数的m r t d 为例，模仿f d t d 已有理论，介绍该方法的差分格式、数 值稳定性、吸收边界条件、激励源设置、近远场外推等；然后提出基于 d a u b e c h i e s 小波基的m r t d 算法，系统推导其差分公式，并计算出解的稳定 性和数值色散特性；最后利用该算法仿真出一维、二维和三维目标的电磁散 射，并研究了对称振子天线的辐射问题，通过实验结果可以显示出该方法可 以接近奈奎斯特采用定理极限，进而论证了时域多分辨分析法不但有良好的 色散特性，而且具有计算速度快，精度高，使用计算机的存储空间和内存使 用量少等多个优点。 时域多分辨分析法作为一种更新、更方便、更有效的电磁场数值计算方 法，以其具有的多种优点，在电磁场数值计算领域的地位和作用正在迅速提 高，今后必成为热门的研究方向，将有更加广阔的发展前景和空间。 关键词：多分辨分析；时域有限差分法；时域多分辨分析法；电磁散射；辐 射 哈尔滨t - 1 1 人学硕十学位论文 a b s t r a c t w i t ht h e r a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g ya n dm o r ea n dm o r e e l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m se m e r g i n g i n e n g i n e e r i n g ，t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d a l g o r i t h m sa r ea l s ob o o m i n g i n19 6 6 ，y e ep u tf o r w a r dt h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) ，a n dt h e ni tb e c a m et h em o s tw i d e l yu s e dn u m e r i c a lm e t h o d i t s a i mw a st oi m p r o v et h ee f f i c i e n c ya n da c c u r a c ya n dr e d u c et h ed e n s i t yo fg r i d s i n 1 9 9 6 ，k r u m p h o l za n dk a t e c h if o rt h ef i r s tt i m ep r o p o s e dt h e m u l t i r e s o l u t i o n t i m ed o m a i n ( m r t d ) ，b yr e d u c i n gt h ed e n s i t yo fg r i d s ，i tc o u l dg oal o n gw a yt o s a v et h ec o m p u t e r sc p ut i m ea n dm e m o r y c a p a c i t y t h i sr e s e a r c hi sm a i n l yc a r d e do u ta r o u n dt h em r t d f i r s to fa l l ，t h e m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ( m r a ) a n df d t dm e t h o da r ei n t r o d u c e di no r d e rt o l e a dt h em r t d st h e o r ya sw e l la san u m b e ro fk e yt e c h n o l o g i e s t a k et h eh a a r w a v e l e t - b a s e dm r t df o re x a m p l e ，a c c o r d i n gt of d t d st h e o r y ，t oi n t r o d u c ei t s d i f f e r e n c es c h e m e ，n u m e r i c a ls t a b i l i t y ，a b s o r p t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，e x c i t a t i o n s e ta n dt h en e a r - a n df a r f i e l dt e c h n o l o g y a n dt h e n ，t h ed a u b e c h i e sw a v e l e t - b a s e d m r t dm e t h o di sp r o p o s e d ，i t sd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sd e r i v e da n dt h en u m e r i c a l s o l u t i o no ft h es t a b i l i t ya n dd i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c sa r ec a l c u l a t e d a tl a s t ，t h i s a l g o r i t h m i su s e dt os i m u l a t et h et w o - d i m e n s i o n a la n dt h r e e - d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g o fat a r g e ta n dt h er a d i a t i o no fs y m m e t r yd i p o l e a n t e n n a t h er e s u l t ss h o wt h a t t h i sm e t h o dc o u l db ec l o s et ot h en y q u i s tl i m i t t h e o r e m ，f u r t h e r m o r e ，d e m o n s t r a t et h i sm e t h o dh a sn o to n l yag o o dd i s p e r s i o n p r o s p e r i t y ，b u ta l s ot h ec a l c u l a t i o nc a p a b i l i t yw i t hah i 曲s p e e da n dh i g hp r e c i s i o n ， m e a n w h i l e ，i tj u s tu s e sl e s sc o m p u t e rs t o r a g es p a c ea n dm e m o r y ，a n ds oo n a san e we l e c t r o m a g n e t i cf i e l dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o d ，t h em r t d m e t h o di sm o r ec o n v e n i e n ta n dm o r ee f f e c t i v e b e c a u s eo fi t sm u l t i p l ea d v a n t a g e s ， 哈尔滨l ：稃大学硕十学位论文 i tm u s td e v e l o pr a p i d l yo nt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，a n d b e c o m eah o tr e s e a r c hd i r e c t i o n t h e r e f o r e ，i tw i l lh a v eag o o df u t u r ea n db r o a d p r o s p e c t k e yw o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ；m u l t i r e s o l u t i o nt i m ed o m a i n ；e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ；r a d i a t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用 已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 t 作者( 签字) ：寸夕弼 日期：锣p 年3 月i 罗日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 囤在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ：r 夕稿 日期： 妒r 年3 月f 7 日 导师( 签字) ：堇g 二, , - 4m - 3 月1 尹 哈尔滨一i ：程人学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 电磁场数值计算方法 1 1 1 数值算法概述 在应用电磁学领域，对各种电磁现象和电磁特性的研究方法主要分为解 析方法和数值方法，在数值计算方法中通常又分为时域方法和频域方法。自 从计算电磁学作为一门学科问世，频域方法一直占据着主导地位，然而随着 人们在应用电磁学领域研究的深入，传统的点频法【1 】和窄频带法【2 j 已经不能满 足需要，科学实践的需求推动了时域数值技术的发展和成熟。以计算机硬件 技术的发展为契机，逐步发展成直接在时域对具有宽频带特性的瞬变电磁场 计算，从而对物理量和物理现象有了更深刻、更直观的理解。时域数值技术 的优点是可以给出关于问题空间的时域信息，经过简单的时频变换可得到宽 带范围的频域信息，相对于传统的频域方法可以显著地节约计算量。目前， 时域数值算法已经成为研究主流，并在成熟的算法基础上发展了一些广泛使 用的商业软件，如电磁场仿真及处理软件c s t ，a n s o f t ，i e 3 d 等。 最近几十年是电磁场时域技术蓬勃发展的时期，各具优势和特色的新颖 时域算法层出不穷【3 。7 j ，在经历了理论和实践两方面检验的基础上，一些有生 命力的时域算法逐步被推广应用。其中主要有：属于频域技术的有限元法1 8 l ， 矩量法【9 】和单矩法【1 0 1 等；属于时城技术的时域有限差分法【1 l 】，传输线矩阵法 1 1 2 1 和时域积分方程法【1 3 1 等；此外，还有高频技术中的几何衍射理论【1 4 】和衍射 物理理谢1 5 j 等，各种方法都具有自己的特点和局限性，在实践中又经常把它 们相互配合而形成各种混合方法，下面将对电磁计算方法进行分类评述。 1 1 2 解析法 直接频域的方法可以分为积分方程形式和微分方程形式。积分方程形式 哈尔滨t 稃人学硕十学位论文 是把电磁场的作用作为边值问题来对待，对电场或磁场根据边界条件导出积 分方程或积分一微分方程。但这些方程不具有一般性，不得不对具体的几何 边界和材料特性进行再推导。矩量法是运用最广泛的解这类积分方程的近似 方法，首先把积分方程转换为等效的矩阵方程，而后进行求解计算。这种方 法适用于任意形状和非均匀性问题，但可能导致非常大的矩阵而且可能是病 态的，使其运用范围受到了限制。近期采用快速傅立叶变换和共轭梯度法等 迭代技术，使得矩量法的应用范围得到了扩展【1 6 】。 微分形式的方法主要是有限差分法和有限元法。有限元法需要微分方程 的变分形式，这并不是对所有问题都能办到的。这两种方法的主要缺点是需 要较多的存储空间和计算时间。属于微分方程形式的还有单矩法，该方法的 要点是，根据问题的维度用球面或柱面环绕给定的结构，其最小半径选择为 把结构全部包围在内，以便使外部区域的散射场能用球或柱函数表示，而在 内部区域可用有限元法解方程。这种方法保持了有限元法的优点。 1 1 3 渐近法 对于电大物体，若其媒质特性和几何参数是缓慢变化的，则电磁波的传 播具有局域性质，即给定观察点的场只取决于曲面的有限区域上的场的分布。 在这种情况下电磁场的计算可以来用所谓高频近似，这里主要是指衍射的几 何理论( g t d ) 。g t d 是从几何光学中引伸出来的，在其中引入了衍射射线， 以消除几何光学射线边界上场的不连续性，并在这些边界间的区域中，尤其 是在几何光学所预计的零场区中引入适当的场以作修正。g t d 法根据局部场 原理，把物体分解为一些典型的几何构形，再以这些典型的几何结构的衍射 场为基础进行场的计算。g t d 法己被证明解决很多电大问题是很有用的，但 在阴影边界附近和反射边界附近的过渡区，以及在沿g t d 公式预计为无限大 场的焦散方向等方面存在一定的计算误差1 1 7 j 。 2 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 1 1 4 数值法 直接时域法也可分为积分方程和微分方程两种形式。积分方程形式叫做 滞后位积分法，在这种方法中用格林函数和散射体表面的边界条件建立时域 积分方程。方程求解的基本方法是，把空间变量的积分区域和时间变量都离 散化，从而把积分方程化为线性方程组。与直接频域法不同的是，方程组不 是按求逆矩阵的方法求解，而是基于如下的考虑：在外加激励没有到达散射 体时，其上的感应电流处处为零，由于场的传播速度是有限的，空间中各点 在激励的影响没有到达之前场值亦为零，而且空间某点某时刻的响应仅受满 足滞后关系的那些源的影响。这样可以从初值开始计算，并按时间步进的方 式求出各时间取样点的场值。这种方法的主要优点是计算区域限制在结构的 表面，其缺点是需要时间的后存储，以完成推迟积分，这大大增加了对存储 空间的要求。采用微分形式的主要是时域有限差分法。这是一种保持麦克斯 韦旋度方程中的时间变量，不经变换而直接在时域一空城中求解的方法，它 能提供方程的齐次部分( 瞬时) 和非齐次部分( 稳态) 的全部解答。它在每 一网格反复地运行由麦克斯韦旋度方程直接转换来的有限差分格式，从而实 现在计算机的数字空间中对波的传播及与物体的作用进行模拟。在这种模拟 中不需要后存储，一般只涉及上一时间步的场值。这种方法的缺点是计算区 域不仅在结构的表面，还必须包括内部和足够的外部空间，以便有效地满足 辐射条件。但由于它以最普遍的麦克斯韦方程作为出发点，故有非常广泛的 适用范围。传轴线矩阵法则是利用场的传播与电压和电流在空间传输线网络 中传播的类似性并按亨利原理的多次散射过程进行描述。它与时域有限差分 法是非常相近的，每一种传轴线矩阵算法都存在一种等效的时域有限差分算 法，反之亦然【1 羽。 1 2m r t d 的引出 自从计算电磁学作为一门学科问世以来，频域方法一直占据着主导地位。 哈尔滨_ r 程大学硕+ 学 = 7 ：论文 但是，随着研究的深入，面对的问题越来越复杂，而且分析对象的复杂性不 仅表现在外形上，还可能包括多种材料成分和许多精细的孔、缝、腔等结构。 对于这些问题频域的方法往往显得笨拙，有时甚至无能为力。频域技术的局 限性和分析问题的复杂性构成了当代工程电磁学的一大矛盾，这一矛盾和技 术不断进步的需求推动了时域技术的发展和应用。以计算机硬件技术的迅猛 发展为契机，人们逐步具有了直接在时域对具有宽频带特性的瞬态电磁场进 行计算和分析的能力，从而能更深刻、更直观地理解物理量和物理现象。时 域数值技术的一个突出优点是可以给出关于问题空间的丰富的时域信息，而 且经过简单的时频变换，即可得到宽带范围的频域信息，相对频域方法只能 处理点频和窄带问题而显著地节约了计算量。目前，时域数值算法已经成为 主要流派，具有优势和特色的新颖时域算法层出不穷，在经历了理论和实践两 方面检验的基础上，一些具有生命力的时域算法逐步被推广应用l l 乳矧。 矩量法是解决积分方程和微分方程的强有力的数学技术之一，甚至矩量 法是积分方程数值分析的标准工具，它也成功地应用在微分方程的数值分析 之中，并且论证y e e 的f d t d 是场量基于脉冲函数展开。由于矩量法可以用 任意的正交基函数展开，选择一个更加合适的基，例如小波或尺度函数，将 会导出传统矩法不可比拟的时域方法。小波分析是当前数学中一个迅速发展 的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义，多分辨分析即 是以尺度函数和小波函数为完备基函数的分析方法，近年来，基于小波基的 数值分析方法研究电磁波的传播特性引起了学者的广泛兴趣，将多分辨分析 应用到麦克斯韦方程就得到了多分辨时域有限差分法，同时表现了许多优点。 m r t d 仍然将计算空间分成与f d t d 相似的空间网格，将时变场利用尺 度变换和小波变换，采用伽略金离散方法进行展开。在所需精度较低时，为 节省内存，利用尺度函数将场量展开；当需要了解突变的高频场，或要求结 果精度较高时，则将场量在尺度函数和小波函数共同展开。f d t d 与m r t d 区别在于基函数选取的不同，f d t d 可看成是m r t d 中函数选取为h a a r 函 数的一个特例。m r t d 法基于尺度函数或尺度函数和波函数的复合，能向可 4 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 变网格方向发展，如何根据具体问题选择合适的尺度数与小波函数对场量进 行展开，是应用该方法时需要解决的主要问题。m r t d 要比f d t d 显示出更 良好的线性色散特性，与精确解十分接近，便于对计算结果的色散特性进行 评估。目前，m r t d 法的主要缺点是无论如何选它的展开基底，其时间稳定 性条件比f d t d 法都要苛刻，虽然m r t d 算法计算大目标可以以几何级数的 量级节省计算机内存，但由其基函数互相有重叠，导致了边界条件的复杂性， 因此吸收边界条件还有待进一步的研究。f d t d 从算法提出到边界条件完善 走过了很长的路，m r t d 的完全匹配边界条件的研究必然极富挑战性，有重 大的理论价值根据具体问题所要求的精度以及计算资源等情况，选择适当的 算法，才能充分发挥各自优势。 m r t d 未来的发展趋势表现在以下5 个方面 1 提高计算精度的同时，保持算法的稳定性； 2 边界问题的处理和介质的处理； 3 增强计算电大尺寸对象的能力； 4 为高效地解决复杂研究对象的建模问题，自适应、智能化的建模技术会更 多地出现在包括时域算法在内的各种算法中： 5 在算法理论愈发复杂化的同时，为方便应用，利用电磁场时域算法编制的 成熟商业软件会不断涌现。 总之，时域数值技术，包括m r t d ，具有多种优点的方法在电磁场数值 计算领域的地位和作用正在迅速提高，成为热门的研究方向，展现了蓬勃的 生命力和广阔的应用前景。 1 3 本文的主要工作和内容安排 本论文来源于黑龙江省博士后基金项目( 项目编号l r b 0 6 1 0 2 ) 。由于电 磁场时域数值计算方法的地位和作用正在迅速提高，f d t d 虽然应用广泛但 同时具有一些自身无法克服的缺点，如前所述的不能计算电大尺寸的问题， 色散问题等等，因此寻求新的计算方法是必要的。m r t d 在小波矩量法的基 5 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 础上结合小波多分辨分析，并运用f d t d 的各种技术发展而成。相比较而言 m r t d 具有一些天然的优势，在前述问题上均有不同程度的改善。并且m r t d 与f d t d 有着一些必然的联系，目前国内的m r t d 研究还处于萌芽状态，本 文在了解f d t d 的基础上探讨的m r t d 的各种实际问题，基本出发点是立足 f d t d 发展得来的。综上所述，补充与完善m r t d 理论，建立初步的迭代公 式，运用简单模型得到最基本的计算结果，并与f d t d 结果进行比较是本文 的主要目标。 本文的内容安排 第1 章通过介绍目前电磁场数值计算方法的发展背景和现状，主要阐述 数值计算f d t d 方法的分类和基本知识，进而引入m r t d 方法，并对其进行 简要介绍和叙述其未来发展趋势。 第2 章介绍m r t d 的数学理论基础一小波分析中的多分辨分析和数值计 算方法中的时域有限差分法，并对这两个基本理论进行详细的叙述和介绍。 小波是当前数学界的发展热门，小波基函数正交性，紧支撑性，多分辨性等 的固有属性成就其作为电磁场数值计算采样基和展开基的优势所在。f d t d 是电磁场数值计算中一种有效的方法，能够使用多种形式的网格，为分析模 拟非均匀介质以及复杂系统中的场和波分布特性提供了极大的方便，并且适 合并行算法的处理，符合计算电磁方法的未来发展趋势。 第3 章介绍m r t d 算法的原理和基本理论，以基于h a a r 小波的m r t d 为例，推导m r t d 的一般迭代公式及其抽样原则，分析该方法所涉及的一些 基本理论，如解的稳定性，数值色散问题，激励源设置，吸收边界条件和近 一远场外推等等。 第4 章提出基于d a u b e c h i e s 小波的m r t d 算法，对其差分格式进行推导 和论证，然后得到该方法解的稳定性和数值色散分析情况，并论证广义完全 匹配层用于m r t d 数值仿真中的有效性和合理性。 第5 章利用时域多分辨分析法分析目标的电磁散射和双极子天线的辐射 情况，进而通过仿真得到散射截面和天线的一些参数，并将所得结果与其他 6 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 电磁算法和理论值进行比较，进而说明该方法的优越性。经过实验可以得到， 在相同精度要求下，时域多分辨分析法不但具有更好的色散特性，而且可以 减少计算机的存储空间和内存使用量，展示了极强的优势。 7 哈尔滨l ：稗人学硕+ 学位论文 第2 章多分辨分析及时域有限差分法 2 1 多分辨分析理论 2 1 1 小波分析 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和 应用十分广泛的双重意义。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工 程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要， 经验性地建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。早在七十年代， a c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研究 为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且j o s t r o m b e r g 还构造了历史上非 常类似于现在的小波基；1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正的 小波基，并与s m a l l a t 合作建立了构造小波基的方法及其多尺度分析之后， 小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 撰写的小 波十讲( t c nl e c t u r e so i lw a v e l e t s ) ) ) 对小波的普及起了重要的推动作用。它 与傅立叶变换、窗口傅立叶变换相比，这是一个时间和频率的局域变换，因 而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进 行多尺度细化分析即多尺度或多分辨分析，解决了傅立叶变换不能解决的许 多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它在调和分析发展史上具 有程碑式的意义【2 4 2 7 1 。 现在，小波分析已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。事实 上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、 图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分 类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理； 大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造 快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面 8 哈尔滨。1 ：稗大学硕十学何论文 的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别 与诊断，去污等。在医学成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间， 提高分辨率等1 2 9 。2 1 。小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重 要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特 征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功 的有小波包最佳基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变 换向量压缩等；小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处 理与滤波，时频分析，信噪分离与提取弱信号，求分形指数，信号的识别与 诊断以及多尺度边缘检测等；在工程技术等方面的应用，包括计算机视觉， 计算机图形学，曲线设计等【3 3 。5 1 。 2 1 2 小波变换理论 小波( w a v e l e t ) ，即为小区域的波，它具有紧支撑特性。考虑函数空间 r ( r ) ( 平方可积实数空间或者说能量有限的全体信号的空间) ，则在该空间 内其傅立叶变换l 王，( ) 满足下述条件【3 6 1 ： 正咩虮( 容许性 ( 2 - 1 ) 其中一个函数或者信号妒( f ) 称为基本小波或者小波母函数( 式中r = 尺一 o ) 表示非零实数全体) 。 其特点主要有 1 在时域具有紧支集( 即函数定义域有限) 或近似紧支集。一般选取同时具 有时域局部性和频域局部性的实数或复数函数作为小波母函数。 2 具有正负交替的波动性。将小波母函数妒( t ) 进行伸缩和平移，设其伸缩 因子( 或尺度因子) 为a ，平移因子为f ，则有 州r ) 纠7 劬( 等) ( 2 2 ) 9 哈尔滨r 程大学硕十学位论文 该函数称为依赖于参数口，r 的小波基函数。若尺度因子口和平移因子r 取连 续变化的值，则妒。，( f ) 为连续小波基函数。 将任意若r ( r ) 空问中的函数触) 在小波基下进行展开，称这种展开为函 数触) 的连续小波变换，其表达式为： ( 啪) = ( ) 4 正几) 砑2 知几) 曩学卜( 2 - 3 ) 小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换，然而不同的是小波基 具有尺度a ，平移6 两个参数，因此将函数在小波基下展开，就意味着将一 个时间函数投影到二维的时间尺度相平面上。且由于小波基本身所具有的特 点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。从形式 上可以看出，函数的小波变换( a , b ) 数值表明的本质是原函数或者信号触) 在x f 点附近按妒。 ( x ) 进行加权的平均，体现的是以妒。 ( x ) 为标准的m ) 快慢变化情况。这样，参数6 表示分析的时间中心或时间点，而参数a 体现 的是以x = b 为中心的附近范围的大小。因此，当b 固定不变时，小波变换 ( a , b ) 体现的是原函数或信号触) 在x = b 点附近随着分析和观察的范围逐 渐变化所表现出来的变化。换句话说，小波变换就是用具有相同形状、不同 带宽和主频的滤波器对信号舷) 进行滤波，它能将各种交织在一起的不同频 率组成的混合信号分解成不同频率的块信号。改变平移参数b ，可以选取对 信号触) 进行分析的区域；改变尺度参数a ，将会影响对信号触) 的时间分辨 率和频率分辨率。 由上可知，作为小波的函数一定要满足容许条件，在时域一定要是有限 支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域 必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面往往只能取一个折中。 此外，希望母小波形成的妒。( x ) 是两两正交的，或是双正交的；进一步，希 望小波具有高阶的消失矩，希望与其相关的滤波器具有线形相位等等。根据 上述要求可以对现已提出的小波函数作一个粗略地分类。第一类是所谓地经 典小波，在m a t l a b 中把它们称作原始小波，这是一批在小波发展历史上 1 0 哈尔滨j r 稃人学硕十学位论文 比较有名的小波，如h a a r 小波、m o r l e t 小波、m e x i c a nh a t 小波、g a s s i a n 小 波等；第二类是d a u b e c h i e s 构造的正交小波，如d a u b e c h i e s 小波、对称小波、 c o i f l e t s 小波、m e y e r 小波等等；第三类是由c o h e n ，d a u b e c h i e s 构造的双正 交小波【3 7 。3 9 1 。 2 1 3 多分辨分析 1 9 8 8 年，m a l l a t 与m e y e r 合作提出了多分辨分析( m r a ) 的框架，其主 要思想是将r ( r ) 分解为一串具有不同分辨率的子空间序列。该子空间的序 列的极限就是r ( r ) ，然后将r ( 尺) 中的厂描述为具有一系列近似函数的逼近 极限，其中每一个近似函数都是厂在不同分辨率空间上的投影。通过这些投 影可以分析和研究厂在不同分辨率子空间上的性态和特征，这就是多分辨分 析这个名称的由来【删。 设 j 汜是r ( 尺) 的一串闭合子空间序列，如果满足以下五条，则称 ) 姚为r ( 尺) 的一个多分辨分析。 1 单调性：巧c 匕+ 。； 2 平移不变性：若石( f ) 巧，贝, l j x ( t 一尼) ； 3 进制伸缩相关性：若x ( f ) 巧，则x ( 乃) _ + 1 4 逼近性：耍丐；r ( 尺) ，；= ! 哆= o ) ； 5 r i e s z 基的存在性：存在g ，使得 g ( z 一七) ) 越是的r i e s z 基。 l 2 ( 尺) 的m r a 定义为属于r ( r ) 的子域完备的屹构成的集合，假设属于 的一个尺度函数或父小波函数，且平方可积，存在这样的集合 驴( f 一以) l ，z z 构成的r i e s z 基。由于妒c k ，存在序列 魂) ，2 ，使 得尺度函数满足下列关系 哈尔滨t 稗大学硕十学位论文 妒( x ) = 压；妒( 2 x 一七) ( 2 - 4 ) 这个函数方程就是双尺度方程，晚低通滤波器的系数，并且 ；仇= 1 ( 2 - 5 ) 则函数集 一l ，l z ) 构成了圪空间的r i e s e z 基，历表明尺度，咒为平移。 函数驴( z ) 通常是归一化的。 因为 _ ) 膨不是r ( 尺) 的正交分解，所以不能从 ，) 得到r ( r ) 的规范 正交基。为了使r ( r ) 中的函数能在新的正交基下展开，通过正交补法，从 _ ) 膨构造出r ( 尺) 的正交子空间序列 ) 膨( 即小波子空间序列) ，使 r ( 月) 得到正交分解 l ( r ) 2 ；旦 ( 2 - 6 ) 并满足 巧o 一哆+ - ( 2 - 7 ) 如果函数集扣( x - n ) ，z zj ) 构成哌空间的r i e s z 基，函数妒( x ) 称为母小 波函数。小波函数集扣。一i m ，咒z ) 就构成r ( 尺) 的r i e s z 基，妒。一的定义类 似于一。由于妒( 石) 是k 空间的一个基本元素，存在序列 岛) z 2 满足 妒( x ) = 2 g 。q ，( 2 x 一七) ( 2 - 8 ) 在式( 2 8 ) 中正交小波的带通滤波器的系数可以用低通滤波器的系数表示 g t = ( - 1 ) 七h f 柚) ( 2 9 ) 在这里要提出函数妒( x ) 也有n 阶消失矩 p ( z ) x d r = 0 ，k = 0 , 1 n 一1 ( 2 1 0 ) 是所用小波家族的阶。 从以上讨论可以看出，任意的尺度函数一( z ) 屹和任意的小波函数 1 2 哈尔滨。i ：程大学硕十学1 = 7 ：论文 妒m ( x ) e w 有下列性质 圪；一。o 圪一，= w r , 一，o 畈2o 屹2 = 睨。一：o w oo v o 上面的性质是子域分解，而且有如下的小波性质 1 尺度函数的相同分辨层形式和正交系统 r ，。，t = 6 础 2 小波函数的相同分辨层形式和正交系统 p m 渺m 暑26 。1 i c 3 尺度函数正交于所有的小波函数，无论他们的层平移如何 r 9 l 一妒p ，窖= 0 ，ms 口 4 小波函数正交于不同层，无论他们的平移如何 s 单m 砷p 嚏20 ，m q 2 2 时域有限差分法 2 2 1f d t d 简介和发展 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) 时域有限差分法是1 9 6 6 年由k s y e e 首次提出的一种电磁场数值计算 法，对电磁场e 、日分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个 层或日场分量周围有四个日或e 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间 变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求 解空间电磁场，这种抽样方式被称为y e e 元胞。用该方法解决任何问题均按 初值问题处理，依时间步进行迭代计算，在每一个时间步交替地计算空间每 一个离散点的电场和磁场。作为一种时域方法，f d t d 模拟只要一次运行， 就可以得到一定带宽频率成份的所有信息。而频域方法则需要各个频率点逐 个计算。f d t d 方法能够使用多种形式的网格，为分析模拟非均匀介质以及 复杂系统中的场和波分布特性提供了极大的方便。f d t d 方法中每个网格上 1 3 哈尔滨t 程人学硕十学位论文 的场量只与相邻网格的场量及上一个时间步的数值有关，这个特点极其适合 并行算法的处理，符合了计算电磁方法的未来发展趋势【4 1 1 。 近几十年来，时域有限差分法得到了迅速发展，其应用范围也越来越广。 在实际应用中有诸多的优化及改进形式。众所周知，f d t d 方法在电磁学领 域是一种非常有效的数值计算方法，已广泛应用于天线，电磁兼容，生物电 磁场以及散射等问题的计算与模拟。随着越来越多的人关注f d t d 并不断将 其完善，使得f d t d 技术越来越成熟。亚网格技术的出现解决了尺寸参数小 于一个网格的问题，提高了f d t d 的适用范围。而色散介质中的差分格式使 得f d t d 的处理方法得到进一步完善。b e r e n g e r 提出的将麦克斯韦方程扩展 为场分量分裂形式，并构成完全匹配层，这是一种全新的吸收边界，已得到 广泛应用。新近发展的隐式差分a d i f d t d 方法又进一步摆脱了时间步长的 限制，使得f d t d 的实用性进一步增强。 然而尽管f d t d 有很多优点，却还有很多限制，如实际的电磁场媒质建 模问题就要求巨大的计算容量，这就需要较高的计算机资源，原因就是f d t d 的计算效率还不够高。为了保证色散误差足够小，空间网格尺寸必须足够小， 这就使得f d t d 在计算电大尺寸目标时受到限制，于是需要寻求更具优势的 计算方法。 麦克斯韦方程旋度方程为【4 2 l v x 日：一0 1 + j ( 2 1 6 ) d f v x 层：一票一j 。 ( 2 - 1 7 ) a l 其中e 为电场强度，单位为伏特米( v m ) ；d 为电通量密度，单位为库仑 米2 ( c m 2 ) ；日为磁场强度，单位为安培米( a m ) ；b 为磁通量密度，单 位为韦伯米2 ( w b m 2 ) ；j 为电流密度，单位为安培米2 ( a m 2 ) ；j m 为磁 流密度，单位为伏特米2 ( v m 2 ) 。 1 4 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 各向同性线性介质中的本构关系为 d e e b = l h 1 = o r e jm = o r h ( 2 1 8 ) 兵甲表不介质介电系数，早位为纭于豆木( f m ) ；衣不能寻系双，早位刀 亨利米( h m ) ；o r 表示电导率，单位为西门子米( s m ) ；表示磁导率， 单位为欧姆米( q m ) 。 在直角坐标系中，式( 2 1 6 ) 和式( 2 - 1 7 ) 可以写为 孕一等=阜+e(2-19)orz,03 o t _ 三一二g o + d z 警一粤一拿+仃er(2-200 xo t ) - 一一三= o + 仃j d z 等一粤；f 车+ t ( 2 - 2 1 0 r f _ ,z-z0yo t ) 二一上# f o + j 批 鲁一鲁；一肛警一1 吼- 1 ( 2 垅)i 一o ；一“o d 一 i 么- 二二j 如8 za t 7 。、 鲁一鲁警一。一( 2 - 2 3 0 r _ - ) 2 一i 一“一i 8 z a x 。 a t 3 鲁一鲁一t 警一- ： c 2 彩，- 一2 = 一- 一一 1 z - z 斗j a xa v 西 ” 在f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图2 1 所示，即y e e 元 胞，可见e 和日各分量在空间的取值点被交叉地放置，使得在每个坐标平面 上每个e 分量由四个日分量所环绕，同时每个日分量也由四个e 分量所环 绛汶样的由磁场窄问分配符合砉青斯韦方稗的基本兽求。 哈尔滨一r ：程大学硕十学何论文 1 ，k + 1 ) i - 1 , j + 1 ，七) 图2 1 直角坐标系中的y e e 元胞 y e e 采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节点的编号和 其空间坐标位置按照下面的方式对应起来 o ，_ ，七) 一g x ，j a y ，七z ) ( 2 2 5 ) 而该点的任意函数f ( x ，y ，乏0 在时刻n a t 的值可以表示为 f ”o ，_ ，七) = f ( i a x ，j a y ，k a z ，l & )( 2 2 6 ) 其中，缸，缈，& 分别为沿z ，y ，z 方向上离散的空间步长，f 是时间步长。 y e e 采用中心差分来代替对时间和空间的微分，具有二阶精度 掣；塑型塾等塑幽 4 - d ( ( 缸) z ) ( 2 - 2 7 ) 一=。-_-_一 ，l ，、r -l- ，- a x缸 ”77、7 掣；竺堑丝箬垫趔+ d ( ( f ) 2 ) ( 2 - 2 8 ) 以缸 ” 按照式( 2 - 2 7 ) 和式( 2 2 8 ) ，由麦克斯韦方程得到的式( 2 1 9 ) - ( 2 2 4 ) 可化为差 分方程。由此可得差分方程式如下 1 6 哈尔滨一i ：稃人学硕十学位论文 e “o + 1 1 2 ，k ) 1a(i+。12,j,k)jt 2 e ( i + 1 2 ，k ) = - 。- - 一 1 + c r ( i + 1 2 , j , k ) k t 2 e ( i + 1 1 2 ，k ) 明“1 2 ，似) + 石老丽 研“胆( f ，+ 1 2 ，k + 1 2 ) 1 一丝! ! ! 兰! 生! 丝篁 2 , u ( i ，- + 1 2 ，k + 1 2 ) 窖一 1 + 鲤! ! ! ! 兰! 生! 望篁 2 1 ( i ，j + 1 2 ，七+ 1 2 ) ( 2 2 9 ) 孵啦+ l 2 , k + l 2 ) + 鬲毒杀丽( 2 - 3 。) 其他节点f “( f ，j + 1 2 ，七) 、e “o ，j ，k + 1 2 ) 、h ；州2 ( + 1 2 ，_ ，k + 1 2 ) 、 h ? 州2 ( i + 1 2 ，j + 1 2 ，k ) 可同样求得。 根据上述f d t d 差分方程组可得出计算电磁场时域推进计算方法，如图 2 2 所示。 图2 2f d t d 在时域的交叉半步逐步推进计算 1 7 泰 一 +一1 孺杰 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 2 2 3f d t d 关键技术 1 数值稳定性 f d t d 方法实际上是以一组有限差分方程来代替麦克斯韦旋度方程，即